ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ VIỆT PHƯƠNG HIỆU ỨNG NỤ CƯỜI TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ VIỆT PHƯƠNG HIỆU ỨNG NỤ CƯỜI TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 604615 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội Nm 2011 Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Ch-ơng 1.1 1.2 1.3 2.2 Kiến thức thị tr-ờng tài 1.1.1 Các thị tr-ờng tài 1.1.2 Cæ phiÕu chøng khoán phái sinh Thị tr-ờng toán học 1.2.1 Giá đ-ợc xem nh- trình ngẫu nhiên 1.2.2 Thông tin thị tr-ờng biểu diễn toán học 1.2.3 C¬ hội có chênh lệch thị giá nguyên lý AAO 10 1.2.4 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị tr-ờng đầy đủ 11 Mô hình Black - Scholes 11 1.3.1 Giíi thiƯu mô hình kết 11 1.3.2 Cơ sở dẫn đến mô hình Black - Scholes 1.3.3 Xác định tham số chuyển động Brown h×nh häc 14 1.3.4 Công thức Black - Scholes giá hợp đồng quyền chọn mua 16 Ch-¬ng 2.1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 13 Hiệu ứng nụ c-ời 20 Mô hình Dupire (1994) 20 2.1.1 Mô hình 20 2.1.2 C«ng thøc Dupire 21 2.1.3 HiƯu øng nơ c-ời độ biến động quyền chọn mua Châu Âu 22 2.1.4 Các vấn đề gặp phải thực hành h-ớng giải 25 Mét sè h-íng tiếp cận đà đ-ợc nghiên cứu Ch-ơng 26 Định giá với nụ c-ời mô hình thị tr-ờng LIBOR ký kết tr-ớc 28 3.1 Bài toán nụ c-ời mô hình thÞ tr-êng LIBOR ký kÕt tr-íc 28 3.2 Hai m« hình thay cổ điển 31 3.3 3.2.1 Tr-êng hỵp thay thÕ loga chuÈn 31 3.2.2 Mô hình co d·n h»ng sè cđa ph-¬ng sai 33 Lớp mô hình tổng quát 36 3.3.1 Tr-ờng hợp cụ thể: Hỗn hợp chuyển động Brown hình học 39 3.3.2 Mở rộng mô hình hỗn hợp chuyển động Brown hình học cho phép độ lệch độ biÕn ®éng tiỊm Èn 41 3.3.3 3.4 Mô hình tổng quát kiểu Dupire 45 Ví dụ áp dụng vào liệu thÞ tr-êng 49 KÕt luËn 51 Phụ lục 52 1.1 Mô hình thị tr-ờng LIBOR 52 1.1.1 Mô hình 1.1.2 Hai độ đo th-ờng dùng 55 Tµi liƯu tham kh¶o 52 59 Lêi më đầu Toán học tài đời từ sớm nh- đòi hỏi tự nhiên xà hội Những mô hình toán học dùng để nghiên cứu thị tr-ờng tài đời nhằm mục đích giảm thiểu rủi ro tài chính, đ-ợc nhà đầu t-, chuyên gia tài dùng để phòng hộ bảo hiểm Việc đời thị tr-ờng Quyền chọn đòi hỏi phải xây dựng mô hình để định giá hợp đồng quyền chọn Hai ng-ời thành công việc xây dựng mô hình để định giá quyền chọn với thời gian liên tục hai nhà Toán học ng-ời Mỹ Fisher Black Myron Scholes từ năm 1973 Trong mô hình đó, tài sản sở đ-ợc giả thiết có giá tuân theo chuyển động Brown hình học dSt = àdt + dWt S giá trị tài sản, dịch chuyển số, St ®é biÕn ®éng h»ng sè vµ W lµ chun ®éng Brown tiêu chuẩn Với mô hình Black - cho bởi: Sholes ng-ời ta định giá chứng khoán định giá hợp đồng quyền chọn có kể đến yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-êng Víi nhiỊu lý kh¸c nhau, gi¸ cđa c¸c hợp đồng quyền chọn tính công thức Black - Scholes không phù hợp với thực tế Bằng thực nghiệm ng-ời ta thấy độ biến động số mà hàm thời gian giá thực thi hợp đồng quyền chọn, hàm lồi, đồ thị có chiều lồi quay xuống d-ới có hình dáng nụ c-ời, kiện gọi "Hiệu ứng nụ c-ời" Rất nhiều nhà nghiên cứu đà cố gắng đặt toán phù hợp tốt, xác đến mức cã thĨ, víi d÷ liƯu vỊ qun chän Mét sè h-ớng tiếp cận nh-: Đầu tiên h-ớng tiếp cận dựa giả thiết mô hình hiển thay trình giá tài sản, lËp tøc dÉn ®Õn hiƯu øng nơ c-êi hay ®é lệch độ biến động Một ví dụ trình co d·n h»ng sè cđa ph-¬ng sai (CEV) cđa Cox (1975) vµ Cox & Ross (1976) H-íng tiÕp cËn thø hai dựa giả thiết tính không đếm đ-ợc giá trao đổi hành Cách đ-ợc nghiên cứu Breeden Litzenberger (1978), sau Dupire(1994,1997), Derman Kani(1994,1998) Họ đà đ-a đ-ợc biểu thøc hiĨn cho ®é biÕn ®éng Black - Scholes nh- hàm giá thực thi kỳ hạn H-ớng tiềp cận có hạn chế ng-ời làm phải nội suy trơn giá quyền chọn giá thực thi liên tiếp để lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi H-ớng tếp cận thứ ba, đ-ợc nghiên cứu Rubinstein(1994), Jackwerth Rubinstein(1996), Britten - Jones Neubeger(2000) gồm việc tìm xác suất không rủi ro mô hình tam thức/nhị thức giá tài sản, dẫn đến phù hợp tốt giá quyền chọn theo tiêu chuẩn trơn (mịn) Ngoài có h-ớng tiếp cận thị tr-ờng không đầy đủ Nó bao gồm mô hình độ biến động ngẫu nhiên, nh- mô hình Hull White (1987), Heston (1993) Tompkins(2000a,2000b), mô hình khuếch tán nhảy, nh- mô hình cđa Merton(1976) hay Prigent, Renault vµ Scaillet (2001) H-íng tiÕp cận cuối dựa gọi mô hình thị tr-ờng độ biến động tiềm ẩn Các ví dụ Schonbucher (1999), Ledoit Santa Clara (1998) Với đề tài "Hiệu ừng Nụ c-ời toán tài chính" luận văn này, sau tìm hiểu mô hình Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, t«i thÊy việc đ-a mô hình tổng quát cần thiết, nhiên toán định giá cho hợp đồng quyền chọn toán mở có nhiều h-ớng giải việc giải vấn đề cách triệt để ch-a thực đ-ợc thời gian ngắn Nói chung, toán tìm phân phối không rủi ro để định giá quán cho tất quyền chọn gi-ờng nh- có nhiều điểm không xác định Một lời giải đ-ợc đ-a có giả thiết phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với số tham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, ta sử dụng tham số cho phù hợp với độ biến động Bằng cách áp dụng cách t-ợng tự nh- Dupire(1994,1997), ta đặt toán tìm lớp mô hình dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số đủ linh hoạt cho mục đích thực hành Khi tạo trình liên kết h-ớng tiếp cận phân phối không rủi ro có tham số h-ớng tiếp cận mô hình thay thế, dẫn đến mô hình hiển với mật độ không rủi ro có tham số linh hoạt Với điều kiện th-ờng gặp thực tế mô hình LIBOR ký kÕt tr-íc (FLM) lµ sù lùa chän thn tiƯn nhiều tình Trong luận văn cố gắng định nghĩa vấn đề liên quan đến mô hình FLM để thay cho mô hình loga chuẩn cổ điển, truy lại cấu trúc độ biến động nh- đà quan sát thị tr-ờng Luận văn gồm ba ch-ơng với nội dung sau đây: ã Ch-ơng Trình bày sơ l-ợc thị tr-ờng tài số khái niệm tài có liên quan Mô hình Black - Scholes công thức Black - Scholes định giá quyền chọn với thời gian liên tục ã Ch-ơng Nhắc đến khái niệm "Hiệu ứng Nụ c-ời" Mô hình Dupire với cách xây dựng công thức Dupire làm sở tham khảo xây dựng mô hình thay ch-ơng ã Ch-ơng Xây dựng lớp khuếch tán để lập mô hình lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc d-ới độ đo tắc chúng, dựa giả thiết phụ thuộc hàm trơn thời điểm đáo hạn lÃi suất ký kết tr-ớc chuyển động Brown kết hợp Đồng thời xây dựng lớp mô hình phù hợp cách gần nh- xác với độ biến động thị tr-ờng cho đầu vào ã Phần phụ lục Trình bày tóm tắt số yếu tố mô hình thị tr-ờng LIBOR Lời cảm ơn Bản luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình PGS TS Trần Hùng Thao (Viện Toán học - Viện khoa học công nghệ Việt Nam) Thầy đà dành nhiều thời gian h-ớng dẫn tận tình nh- giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy Tôi xin cảm ơn nhóm seminar "Toán tài chính" Viện Toán học đà giúp bổ sung, củng cố kiến thức thị tr-ờng tài nh- tìm hiểu mô hình toán học tài Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, nh- thầy cô đà tham gia giảng dạy khoá cao học 2007 - 2009, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tr-ờng Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất ng-ời đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Học viên: Lê Việt Ph-ơng(1) (1) E-mail: Vietphuong2088@gmail.com Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc qua thị tr-ờng tài số khái niệm tài có liên quan Mô hình Black - Scholes công thức Black - Scholes định giá quyền chọn với thời gian liên tục 1.1 Kiến thức thị tr-ờng tài 1.1.1 Các thị tr-ờng tài Từ lâu ta đà nghe nói tới trung tâm giao dịch chứng khoán nh- NewYork, London, Tokyo gần trung tâm giao dịch chứng khoán thµnh lín cđa ViƯt Nam nh- Hµ Néi, Thµnh phố Hồ Chí Minh Các báo hoạt động buôn bán thị tr-ờng th-ờng xuyên xuất trang tờ nhật báo tin thời tin tài quốc gia có kinh tế thị tr-ờng Còn nhiều thị tr-ờng tài khác nữa, thị tr-ờng có đặc tr-ng xác định loại hàng hoá tài đ-ợc mang trao đổi Các thị tr-ờng tài quan trọng thị tr-ờng cổ phiếu, thị tr-ờng trái phiếu, thị tr-ờng tiền tệ, thị tr-ờng hợp đồng giao sau hợp đồng quyền chọn Hàng hoá trao đổi thị tr-ờng đ-ợc phân thành hai loại tài sản sở tài sản phái sinh - Tài sản sở gồm: Cổ phiếu, trái phiếu hay đơn vị tiền tệ Tài sản sở đ-ợc gọi tài sản nguyên khởi hay tài sản tảng - Tài sản phái sinh bao gồm tài sản phụ thuộc, tức hàng hoá mà giá trị rút đ-ợc từ giá trị tài sản sở Tài sản phái sinh hay phái sinh tài đ-ợc gọi tài sản phụ thuộc Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn phái sinh tài điển hình 1.1.2 Cổ phiếu chứng khoán phái sinh Một công ty huy động vốn cách bán cổ phần họ cho nhà đầu t- Ng-ời sở hữu cổ phần nhận đ-ợc cổ tức không tuỳ thuộc vào công ty làm ăn có lÃi không có định chia lÃi cho cổ động hay không Ngoài họ có toàn quyền bán chuyển nh-ợng cho ng-ời khác Giá cổ phiếu phản ánh cách nhìn dự đoán nhà đầu t- chi trả cổ tức, khoản tiền kiếm đ-ợc t-ơng lai nguồn vốn mà công ty kiểm soát Nh- phần lớn thời gian giá cổ phiếu đ-ợc phán định ng-ời muốn trả giá cho vào ngày định tr-ớc Cho tr-ớc chứng khoán, tức loại cổ phiếu trái phiếu Khi đó, phái sinh chứng khoán hợp đồng đặc biệt mà giá trị ngày t-ơng lai phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị t-ơng lai chứng khoán Cá nhân hÃng xây dựng nên hợp đồng mang bán gọi ng-ời viết Cá nhân hÃng mua hợp đồng đ-ợc gọi ng-ời giữ Chứng khoán mà hợp đồng vào để lập nên đ-ợc gọi tài sản tảng 1.1.2.1 Các hợp đồng kỳ hạn a) Hợp đồng ký kết tr-ớc Là loại hợp đồng ký kết hai bên đối tác A B (Th-ờng công ty tài nhà môi giới đầu t-, nhà đầu t- tài ) Với quy -ớc sau: (a) Đến thời điểm đáo hạn T hợp đồng, bên A phải giao cho bên B khối l-ợng sản phẩm tài (Cổ phiếu, trái phiếu, tiền tệ ) khối l-ợng hàng hoá có giá thị tr-ờng X thời điểm T (b) Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A khoản tiền F (0, T ) định tr-ớc từ lúc ký kết (c) Không có chi phí giao dịch tr-ớc thời điểm T (d) Đến thời điểm T hai bên bắt buộc phải thực thi quy -ớc đó, theo số điều khoản cụ thể b) Hợp đồng giao sau Hợp đồng giao sau hai đối tác A B giống với hợp đồng ký kết tr-ớc quy -ớc (a), (c), (d) khác với hợp đồng ký kết tr-ớc quy -ớc (b), đ-ợc thay quy -ớc (b) (b) Đến thời điểm đáo hạn T , bên B phải trả cho bên A khoản tiền F (t, T ), khoản tiền hoàn toàn xác định giá thị tr-ờng thời điểm t (t < T ) Ngoài sản phẩm ghi nợ hợp đồng phải tài sản đ-ợc niêm yết thị tr-ờng thức Một điểm phân biệt hai loại hợp đồng ký kết tr-ớc giao sau là: hợp đồng ký kết tr-ớc, hai bên đối tác thoả thuận ràng buộc trực tiếp với thông qua điều khoản hợp đồng Còn hợp đồng giao sau hai bên mua bán quan hệ gián tiếp với thị tr-ờng thức thông qua tổ chức trung gian gọi "Quỹ đền bù" hợp đồng giao sau ng-ời giữ hợp đồng ng-ời bán hay ng-ời mua Việc chuyển tiền qua lại ng-ời giữ hợp đông quỹ đền bù đ-ợc tiến hành hàng ngày đ-ợc gọi "Lệnh gọi đền bù" Việc giao dịch hợp động đ-ợc thực theo hình thức hét to hiệu 1.1.2.2 Các hợp đồng quyền chọn a) Hợp đồng quyền chọn mua Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có hội mua cổ phần chứng khoán t-ơng lai với giá đảm bảo tr-ớc Các điều kiện hợp đồng là: (a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng trả cho ng-ời viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp ®ång (b) NÕu ng-êi viÕt hỵp ®ång nhËn ®-ỵc sè tiền giá thực thi ng-ời giữ trả ng-ời viết phải giao cổ phần chứng khoán cho ng-ời giữ vào ngày đáo hạn Nh- ng-ời giữ hợp đồng có quyền chọn đầu t- Nếu đến ngày đáo hạn giá cổ phiếu thấp giá thực thi ng-ời có quyền không thực thi Còn giá cổ phiếu cao giá thực thi ng-ời giữ trả chi phí thực thi có đ-ợc cổ phần có giá trị Nếu hợp đồng cho phép ng-ời giữ sử dụng vào ngày đáo hạn ta nói quyền chọn mua thuộc kiểu Châu Âu Còn loại khác hạn chế hợp đồng quyền chọn mua kiểu Mỹ Ng-ời giữ hợp đồng đ-ợc phép thực thi hợp đồng thời điểm tr-ớc ngày đáo hạn b) Hợp đồng quyền chọn bán Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có hội đ-ợc phép bán cổ phần chứng khoán t-ơng lai với giá đảm bảo tr-ớc, ng-ời ta không sở hữu cổ phiếu Các điều kiện hợp đồng là: (a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng đ-a cho ng-ời viết cổ phần chứng khoán t-ơng đ-ơng số tiền theo giá thị tr-ờng lúc cổ phần chứng khoán (b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc cổ phần chứng khoán số tiền t-ơng đ-ơng ng-ời giữ hợp đồng giao cho phải trả chi phí thực thi cho ng-ời giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn hợp đồng Cũng nh- với hợp đồng quyền chọn mua, hợp đồng quyền chọn bán ng-ời giữ 3.3.3 Mô hình tổng quát kiểu Dupire Xét mô hình thị tr-ờng ký kết tr-ớc thuộc lớp tổng quát xác định Fj (t) = h(t, Wt ) víi mäi ≤ t ≤ Tj−1 ®ã W chuyển động Brown, hàm h thỏa mÃn: A1) h ∈ C 1,2(D), víi D = [0, Tj−1 ] × R; A2) h(t, ω) > víi mäi (t, ) D; A3) Với t > 0, hàm h(t) : R → R+ , ω → ht (ω) := h(t, ) có giới hạn âm vô cùng, lim ht () = 0, tăng thật sự, tức dht ()/d > (t-ơng đ-ơng với h(t, )/d > 0), với t > 0, hàm ht khả nghịch hàm ng-ợc h1 khả t vi A4) E j {h(Tj−1 , WTj−1 )} tån t¹i hữu hạn E j {h(Tj1 , WTj1 )|Ft} = h(t, Wt ) víi mäi ≤ t ≤ Tj−1 , Fj martingale Mô hình có -u điểm truy lại cách xác nụ c-ời độ biến động tỷ giá kỳ hạn kết hợp Theo mô hình hỗn hợp chuyển động Brown hình học công thức thích hợp hiển mà đòi hỏi tích phân ph-ơng pháp số Tuy nhiên phù hợp mô hình tự động tính toán nhanh hiệu Bây giả sử giá hợp đồng quyền chọn mua thời điểm khởi tạo lại thời điểm đáo hạn Tj1 , Tj sẵn có (trong thị tr-ờng) vô số giá thùc thi Mét c¸ch chÝnh x¸c, kÝ hiƯu Cj (K) giá hợp đồng quyền chọn mua với giá thực thi K , điều kiện độ chênh thị giá sau đ-ợc thỏa mÃn: B1) Cj ∈ C 2((0, +∞)); B2) lim+ Cj (x) = τj P (0, Tj )Fj (0) vµ lim Cj (x) = 0; x→+∞ x→0 B3) lim+ x→0 B4) dCj (x) dx d2 Cj (x) dx2 = −τj P (0, Tj ) vµ lim x x→+∞ dCj (x) dx = 0; > víi mäi x > 0, kÐo theo −τj P (0, Tj ) < dCj (x) dx < víi x > Mệnh đề 3.3.4 Hàm hTj1 vững với giá hợp đồng quyền chọn mua cho tr-ớc đ-ợc xác định ẩn từ ph-ơng trình: h1 Tj1 (x) =− −1 Tj−1 Φ − dCj (x) dx τj P (0, Tj ) ,x > Ph-ơng trình đ-ợc định nghĩa tốt giả thiết Cj 45 (3.35) Chøng minh Theo Breeden & Litzenberger (1978) vµ áp dụng (3.16) ta thu đ-ợc V (0, Tj1 , Tj , τj , K) = τj P (0, Tj )[Qj {Fj (Tj−1 ) ≤ K} − 1] ∂K h−1 Tj−1 (K) −1 = τj P (0, Tj ) Φ Tj−1 = −τj P (0, Tj )Φ − h−1 Tj1 (K) Tj1 áp đặt điều kiện phù hợp xác với giá trần thị tr-ờng ta phải có h−1 dCj Tj−1 (K) (K) = −τj P (0, Tj ) dK Tj1 Điều kiện dẫn đến (3.35) thông qua hàm ng-ợc hàm phân phối chuẩn, giả thiết đạo hàm dCj (x)/dx bị chặn Hệ 3.3.5 Hàm hTj1 biểu diƠn hiĨn nh- sau: hTj−1 (ω) = víi dCj dx dCj dx −1 −τj P (0, Tj )Φ − ω Tj1 , R (3.36) kí hiệu hàm ng-ợc đạo hàm cấp Cj Chứng minh Lấy x = hTj1 () (3.35) ta thu đ-ợc: ω = Φ−1 Tj−1 − dCj (hTj−1 (ω)) dx τj P (0, Tj ) Tác động hàm vào hai vế ta có điều phải chứng minh Hệ 3.3.6 Hàm hTj1 d-ơng, khả vi, tăng thật có giới hạn âm vô cùng: lim hTj1 () = (3.37) Hơn Qj - kỳ vọng hTj1 (WTj1 ) hữu hạn Fj (0) Chứng minh Vì (3.35) với x > (miền xác định h1 Tj1 miền giá trị hTj1 ) nên hTj1 d-ơng thật 46 Hơn d hT () = d j1 τj P (0, Tj ) − 2Tωj−1 e d2 Cj (hTj1 ()) 2Tj1 dx2 d-ơng thật điều kiện B4) Khi giới hạn (3.37) kéo theo từ (3.36) giả thiết B3) B4) Cuèi cïng, (3.16) nªn ta cã +∞ E j [hTj−1 (WTj−1 )] = − lim xQj {Fj (Tj−1 ) ≥ x} + Qj {Fj (Tj−1 ) ≥ x}dx x→+∞ = − lim xΦ − x→+∞ h−1 Tj−1 (x) Tj−1 +∞ + Φ − h−1 Tj−1 (x) Tj−1 dx +∞ 1 dCj dCj lim x (x) − (x)dx τj P (0, Tj ) x→+∞ dx τj P (0, Tj ) dx =0− lim Cj (x) − lim+ Cj (x) x→0 τj P (0, Tj ) x+ = = Fj (0) ta đà sử dụng (3.35) giả thiết B2), B3) Trên quan điểm tính toán, giá trị hàm hTj1 điểm thu đ-ợc cách giải từ định nghĩa (3.36) giải ph-ơng trình h−1 Tj−1 (x) = theo biÕn x b»ng ph-¬ng pháp số Mệnh đề 3.3.7 Giá trị tỷ giá kỳ hạn Fj thời điểm t < Tj1 vững với hTj1 là: Fj (t) = ht (Wt) (3.38) ht () = E j [hTj1 (WTj1 )|Wt = ω] ω+ +∞ Φ = Tj−1 Φ−1 (− τj P (0,T j) Tj−1 − t dCj (z)) dz (3.39) dz Chøng minh V× kú väng cđa hTj1 (WTj1 ) d-ới Qj hữu hạn, Fj (0) nên ph-ơng trình (3.39) xác định (Qj , Ft) - martingale với giá trị hTj1 (WTj1 ) thời điểm Tj1 tính chất Markov chuyển động Brown Khi ph-ơng trình thø hai (3.39) suy tõ (3.35) vµ (3.20) Tõ (3.39) ta thÊy r»ng ht d-¬ng víi mäi t < Tj−1 Gi¶ thiÕt ht kh¶ vi cÊp hai, tích phân đạo hàm hoán đổi diễn biến tỷ giá kỳ hạn đ-ợc cho nh- sau: 47 Hệ 3.3.8 Diễn biến (không dịch chuyển) Fj vững với giá trị tỷ giá kỳ hạn (3.39) lµ dFj (t) = = ∂ht −1 (h (Fj (t)))dWt ∂ω t +∞ exp − [h−1 (Fj (t)) + 2(Tj−1 −t) t Tj−1 Φ−1 (− τj P (0,T j) dCj (z))]2 dz 2π(Tj−1 − t) (3.40) dzdWt Chứng minh Điều phải chứng minh kéo theo từ giả thiết tính khả vi ht , (3.21) (3.35) Để kiểm tra biến đổi đ-ờng cong độ biến động tiềm ẩn đ-ợc tạo thành từ trình tỷ giá kỳ hạn t-ơng lai, ta cần định giá cách giải tích giá hợp đồng quyền chọn mua thời điểm < t < Tj1 t-ơng lai Từ công thức định giá tổng quát (3.22): hTj1 (h1 t (Fj (t)) + ω) +∞ V (t, Tj−1 , Tj , K) =τj P (t, Tj ) h−1 T j−1 2π(Tj−1 − t) (K)−h−1 t (Fj (t)) ω2 j−1 −t) − 2(T e dω −1 h−1 t (Fj (t)) − hTj−1 (K) − Kτj P (0, Tj )Φ Tj−1 − t ta có kết sau: Mệnh đề 3.3.9 Giá t < Tj1 giá trần khởi tạo lại Tj1, toán Tj giá thực thi K , đ-ợc cho V (t, Tj1, Tj , j , K) K = τj P (t, Tj ) Fj (t) − K + Φ −1 h−1 Tj−1 (z) − ht (Fj (t)) Tj−1 − t K = τj P (t, Tj ) Fj (t) − Φ Tj−1 Φ−1 (− τj P (0,T j) dCj (z)) dz dz (3.41) + h−1 t (Fj (t)) Tj−1 − t dz Chøng minh TÝch ph©n (3.22) cã thĨ viÕt l¹i nh- sau: h−1 T j−1 · · · =Fj (t) − (K)−h−1 t (Fj (t)) hTj−1 (h−1 t (Fj (t)) + ω) 2π(Tj−1 − t) −∞ =Fj (t) − KΦ + =Fj (t) − KΦ e dω −1 h−1 Tj−1 (K) − ht (Fj (t)) Tj−1 − t −1 h−1 Tj−1 (K)−ht (Fj (t)) −∞ ω2 j−1 −t) − 2(T d hT (h−1 (Fj (t)) + ω)Φ dω j−1 t −1 h−1 Tj−1 (K) − ht (Fj (t)) Tj−1 − t K + Φ 48 ω Tj−1 − t dω −1 h−1 Tj−1 (z) − ht (Fj (t)) Tj1 t dz sử dụng định nghĩa Fj (t) (ph-ơng trình đầu tiên), tích phân phần (ph-ơng trình thứ hai) đổi biến z = hTj−1 (h−1 t (Fj (t)) + ω) (ph-¬ng trình thứ ba) Cuối ta thu đ-ợc ph-ơng trình thứ (3.41), ph-ơng trình lại suy từ (3.35) Nhận xét 3.3.10 Mệnh đề (3.3.4) (3.3.7) phát biểu lại cách t-ơng đ-ơng hàm định giá tổng quát Cj đại l-ợng không thiết phù hợp với tất hợp đồng quyền chọn quanto thị tr-ờng Thực tế, giả thiết phân phối tham số linh ho¹t cho Fj (Tj−1 ) = hTj−1 (WTj−1 ) ®Ĩ tr¸nh c¸c vÊn ®Ị vỊ néi suy cỉ ®iĨn Chẳng hạn, ta xét hỗn hợp mật độ loga chuẩn t = Tj1 , hệ số số hàm mật độ là: N pTj1 (x) = λi i=1 víi N i=1 xσi 1 x − µi Tj−1 + σi2Tj−1 exp − ln 2σ Tj−1 Fj (0) 2πTj−1 λi eµi Tj1 = Trong tr-ờng hợp ta có N λi eµi Tj−1 Bl(Ke−µi Tj−1 , Fj (0), σi Cj (K) = τj P (0, Tj ) Tj−1 ) i=1 Từ ta suy (3.35) (3.38) Khi dùng ph-ơng trình để tính toán cho công thức hiển không đòi hỏi thuật toán số (ngoài thuật toán chuẩn để tính toán hàm siêu việt) Hơn nữa, cách tính đà trình bày có số -u điểm: Thứ nhất, đỏi hỏi hạn chế tham số mô hình để đảm bảo độ biến động địa ph-ơng đ-ợc định nghĩa tốt; thứ hai, hệ số số, dễ tham số hóa hơn; thứ ba tính toán nhanh chóng giá hợp đồng quyền chọn mua t-ơng lai, kiểm tra nhanh tiến triển t-ơng lai cấu trúc độ biến động 3.4 Ví dụ áp dụng vào liệu thị tr-ờng Trong phần ta xét khả phù hợp mô hình mở rộng (3.35) dựa liệu độ biến động lÃi suất Một cách xác, sử dụng độ biến động giá hợp đồng quyền chọn mua lấy từ độ biến động giá trần châu âu in-the-money out-the-money niêm yết ngày 14 tháng 11 năm 2000 Chúng ta tập trung vào ®é biÕn ®éng cđa hỵp ®ång qun chän mua hai năm với lÃi suất LiBOR sở đ-ợc đặt lại 1,5 năm LÃi suất ký kết tr-ớc sở 5,32%, giá thực thi đ-ợc xét 4%, 4,25%, 4,5%, 4,75%, 5%, 5,25%, 5.5%, 5,75%, 6%, 6,25%, 6,5% độ biến động kết hợp 15,22%, 15,14%, 15,10%, 15,08%, 15,09%, 15,12%, 15,17%, 15,28%, 15,40%, 15,52%, 49 15,69% §Ỉt N = 2, vi = Vi (1, 5), i = 1, vµ λ2 = − λ1 , tìm giá trị chấp nhận đ-ợc λ1 , v1 , v2 vµ α lµm cùc tiĨu bình ph-ơng sai lệch phần trăm giá mô hình thị tr-ờng, với thỏa mÃn ràng buộc < K với giá thực thi đà giao dịch K Ta thu đ-ợc = 0, 2412, = 0, 7588, v1 = 0, 1527, v2 = 0, 2381 = 0, 0078 Hình minh họa ®é biÕn ®éng tiỊm Èn thu ®-ỵc sù so sánh với độ biến động thị tr-ờng Hình 50 Kết luận Tóm lại, luận văn này, đà trình bày khái niệm kết "Hiệu ứng nụ c-ời" mà chất tìm cách xác định độ biến động tiềm ẩn giá chứng khoán hợp đồng tài chính, đặc biệt hợp đồng quyền chọn Ngoài kết kinh điển Dupire xét tác động hiệu ứng nụ c-ời với hợp đồng quyền chọn kiểu Châu Âu, tổng hợp số kết hiệu ứng nụ c-ời hợp ®ång ký kÕt tr-íc vỊ l·i st LIBOR vµ ®-a mô hình Dupire tổng quát cách xây dựng lớp mô hình thay cho chuyển động Brown hình học mô hình lÃi suất ký kết tr-ớc, d-ới độ đo tắc chúng, mô hình thị tr-ờng LIBOR Lớp mô hình thay dễ xử lý giải tích chúng cho công thức dạng đóng giá hợp đồng quyền chọn mua Các đ-ờng cong độ biến động tiềm ẩn biểu diễn hình dạng thực thị tr-ờng với số l-ợng tham số không hạn chế giúp cho mô hình thay phù hợp với liệu thật thị tr-ờng xác tới mức mong muốn đa số tr-ờng hợp Chúng nhận thấy có hai h-ớng cần nghiên cứu t-ơng lai: i) Nghiên cứu biến đổi đ-ờng cong độ biến động tiềm ẩn t-ơng lai mô hình đà xét; ii) Tính ổn định theo thời gian tham số mô hình Thực ra, từ tr-ớc đến nay, vấn đề mà đà phải đối mặt nghiên cứu mô hình độ biến động địa ph-ơng Vì thời gian khả có hạn, hy vọng tiếp tục h-ớng nghiên cứu sau Cũng lý đó, luận văn có nhiều thiếu sót, kính mong thầy bảo để tiến Học viên 51 Phụ lục 1.1 Mô hình thị tr-ờng LIBOR Mô hình thị tr-ờng LIBOR (LMM) lần đ-ợc đề xuất vào năm 1995 ba nhà toán học Brace, Gatarek Musiela thuộc đại học New South Wales Thực mô hình đà đ-ợc sử dụng thực tế tr-ớc đ-ợc nghiên cứu, LIBOR viết tắt London Inter-Bank Offer Rate số quen thuộc với giao dịch tài quốc tế Nó đ-ợc hiệp hội ngân hàng Anh (BBA) xây dựng sở tổng hợp bảng lÃi suất ngân hàng thành viên theo quy tắc trung bình cộng nhóm 50% bảng lÃi suất tập hợp từ ngân hàng thành viên Trong mô hình thị tr-ờng LIBOR, biến lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc quan sát đ-ợc trực tiếp từ thị tr-ờng Hơn nữa, LMM lÃi suất ký kết tr-ớc có phân phối loga chuẩn, mô hình phù hợp với thị tr-ờng niêm yết giá trần sử dụng công thức Black thực tế LMM hoạt động thị tr-ờng lÃi suất LMM công cụ để định giá phòng hộ phái sinh lÃi suất LMM giả thiết biến đổi thị tr-ờng đó, phái sinh lÃi suất đ-ợc phòng hộ tái tạo cách xác Quá trình áp dụng LMM đòi hỏi liệu thị tr-ờng LMM đ-ợc thiết lập cho điều khiển giá trị tạo mô hình phù hợp tốt tới mức với giá trị thực tế thị tr-ờng Trong LMM toàn việc định giá đ-ợc thực mà sử dụng lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc Chẳng hạn việc toán phái sinh lÃi suất đ-ợc viết d-ới dạng lÃi suất ký kết tr-ớc thân lÃi suất ký kết tr-ớc đ-ợc lập mô hình chuyển ®éng Brown h×nh häc L·i st LIBOR ký kÕt tr-íc không đ-ợc buôn bán thị tr-ờng, ta mua Tuy nhiên, lý thuyết định giá chênh thị giá dựa việc phòng hộ với tài sản phái sinh buôn bán đ-ợc chẳng hạn nh- trái phiếu Để giải vấn đề LMM sử dụng ph-ơng trình chuyển động trình giá trái phiếu, từ suy ph-ơng trình cho lÃi suất ký kết tr-ớc Khi việc xác định độ biến động tức thời lÃi suất ký kết tr-ớc dẫn tới điều kiện ph-ơng trình giá trái phiếu Diễn biến giá trái phiếu thu đ-ợc tạo thành sở định giá LMM 1.1.1 Mô hình Xét thị tr-ờng LIBOR M bao gồm N + tài sản, hay N + tr¸i phiÕu Ta coi N + trái phiếu t-ơng ứng với N + thời điểm đáo hạn Ti , (i = 1, , N + 1) cho tr-íc, víi < T1 < < TN +1 Giả thiết T0 = 52 Quá trình giá trái phiếu thứ i đ-ợc kí hiệu Bi (.) Khi dBi (t) = ài (t)dt + βi (t)dW (t) Bi (t) d = µi (t)dt + βij (t)dW (t) (1.42) j=1 Bi (0) = b0,i i = 1, , N + b0,i giá trái phiếu quan sát đ-ợc thị tr-ờng thời điểm Một thoả thuận lÃi suất LIBOR ký kÕt tr-íc ®èi víi thêi ®iĨm Ti , (i = 1, , N ) thoả thuận để vay 1$ tõ thêi ®iĨm Ti ®Õn thêi ®iĨm Ti+1 Thời kỳ tích luỹ thoả thuận i = Ti+1 − Ti, (i = 1, , N ) LÃi suất đ-ợc thoả thuận đ-ợc gọi l·i suÊt LIBOR ký kÕt tr-íc cho vay tõ thêi ®iĨm Ti ®Õn thêi ®iĨm Ti+1 Theo quy -íc lÃi suất đ-ợc tính nh- sau: Thu hoạch thời điểm Ti+1 1$ đ-ợc vay thời ®iĨm Ti b»ng céng l·i st nh©n víi thêi gian tích luỹ Một cách xác ta định nghĩa l·i suÊt LIBOR ký kÕt tr-íc Li : [0, Ti] ì R xác định + iLi (t) = Bi (t) Bi+1 (t) ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N (1.43) Ta muèn chØ râ ®é biÕn ®éng tøc thêi cđa l·i st LIBOR ký kết tr-ớc Nếu i trình dự báo đ-ợc, bị chặn địa ph-ơng trình giá trái phiếu phải đ-ợc xác định cho điều sau dLi (t) = + i (t)dW (t) Li (t) ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N (1.44) Tiếp theo điều kiện i đ-ợc tính toán cho ph-ơng trình (1.44) Ta định nghĩa trình si : [0, Ti] ì Rd xác định sij (t) = Li (t)σij (t) ≤ t ≤ Ti , j = 1, , d, i = 1, , N Ph-¬ng trình (1.44) trở thành dLi (t) = + si (t)dW (t) ≤ t ≤ Ti, i = 1, , N (1.45) Từ ph-ơng trình (1.43) ta có Bi (t) ) d( δi Bi+1 (t) Bi (t) (µi (t) − µi+1 (t) − (βi(t) − βi+1(t)).βi+1(t)) dt + (βi (t) − βi+1 (t)) dW(t) = δi Bi+1 (t) (1.46) dLi (t) = 53 víi t, ≤ t ≤ Ti , j = 1, , d, i = 1, , N Đẳng thức thứ hai đ-ợc suy từ hệ công thức Ito định lý Kunita - Watanabe So sánh (1.45) (1.46) ta nhận thấy i cần thoả mÃn ®iỊu kiƯn sau δi si (t) + δi Li (t) βi (t) − βi+1(t) = ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N (1.47) Víi t [0, T ] ta định nghĩa i(t) số nguyên i thoả mÃn Ti1 < t < Ti Tøc lµ, i(t) kÝ hiƯu chØ sè cđa trái phiếu đáo hạn t Do i βi(t)(t) − βi+1(t) = (βj (t) − βj+1 (t)) j=i(t) i = j=i(t) (1.48) δj sj (t) + δj Lj (t) ≤ t ≤ T, i = i(t), , N Gi¶ sư β : [0, T ] ì Rd trình F dự báo đ-ợc bị chặn địa ph-ơng bất kỳ, liên tục Ti , Ti+1 , i = 1, , N + Nếu i thoả mÃn i (t) = β(t) − i−1 j=i(t) δj sj (t) + δj Lj (t) β(t) nÕu ≤ t ≤ Ti−1 (1.49) nÕu Ti−1 < t Ti ph-ơng trình (1.45) thoả mÃn Điều cho thấy tính toán điều kiện cần đủ ®èi víi βi (1.45) lµ ®óng NhËn xÐt 1.1.1 Điều kiện i đảm bảo ph-ơng trình (1.44) Vì (1.44) điều kiện ®èi víi Bi (t)/Bi+1 (t) víi ≤ t ≤ Ti, (i = 1, , N ) ®ã (1.44) không đ-ợc điều kiện Bi (t) ®èi víi Ti−1 < t ≤ Ti , (i = 1, , N + 1) tøc lµ l·i suÊt LIBOR ký kết tr-ớc không quan tâm đến trái phiếu đáo hạn Điều phản ánh công thức thông qua khả thoả mÃn đầy đủ hàm i(.)(.) thông qua hàm (.) Việc xác định diễn biến giá trái phiếu sử dụng (1.49) bảo đảm lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc thoả mÃn (1.45) thoả mÃn (1.44) Diễn biến giá trái phiếu sử dụng (1.49) đ-ợc định nghĩa là: dBi (t) = µi (t)dt + βi (t)dW (t) Bi (t) i−1 δj µ (t)dt + β(t) − sj (t) dW (t) i + δj Lj (t) = j=i(t) µi (t)dt + β(t)dW (t) 54 nÕu ≤ t ≤ Ti−1 nÕu Ti−1 < t ≤ Ti (1.50) 1.1.2 Hai ®é ®o th-ờng dùng 1.1.2.1 Độ đo QSpot hợp đồng LIBOR giao Xét ph-ơng án đầu t- trái phiếu sử dụng chiến l-ợc sau trái phiếu đáo h¹n t¹i T1 B1(0) 1/B1 (0) (ii) T¹i thời điểm T1, nhận $, mua trái phiếu - T2 B1(0) B2 (T1) 1/B1 (0)B2 (T1) (iii) T¹i thêi ®iĨm T2, nhËn $, mua tr¸i phiÕu - T3 B1(0)B2 (T1 ) B3 (T2) (i) Tại thời điểm 0, bắt đầu với 1$ mua Ta gọi ph-ơng án ph-ơng án LIBOR giao Nói chung, thời điểm Ti Ti+1 , ph-ơng án LIBOR giao giữ l-ợng i+1 j=1 trái phiếu Tj+1 Do giá trị B(t) thời điểm t, ≤ t ≤ T cña Bj (Tj−1 ) ph-ơng án LIBOR giao là: B(t) = Bi+1 (t) i+1 j=1 Bj (Tj−1 ) , Ti ≤ t < Ti+1 Chú ý ph-ơng án LIBOR giao tự tài trợ Vi phân ngẫu nhiên trình giá LIBOR giao dB(t) = ài(t)(t)dt + i(t)(t)dW (t), B(t) 0tT Th-ơng trình giá tài sản trình giá ph-ơng án LIBOR giao phải martingale độ đo QSpot xét Do đó, vi phân ngẫu nhiên giá trái phiếu giá tệ đ-ợc tính giống nh- cách suy ph-ơng trình (1.46) d(Bi (t)/B(t)) = (ài (t) µi(t) (t) − (βi (t) − βi(t)(t))βi(t)(t))dt + (βi(t) − βi(t)(t))dW (t) (Bi (t)/B(t)) víi t, ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N + Sau đây, độ đo QSpot đ-ợc xây dựng hiển với giả thiết tồn trình F khả đoán bị chặn địa ph-ơng (giả thiết độ chênh thị giá) : [0, T ] ì Rd cho µi (t) = βi (t).ϕ∗(t) ≤ t ≤ T, i = 1, , N + Định nghĩa trình Spot : [0, T ] ì Ω −→ Rd ϕSpot := ϕ∗ (t) − βi(t)(t), t T Vì thoả mÃn điều kiện độ chênh thị giá sau àV (t) = V (t).(t) 55 0tT nên biến đổi sang Spot thoả mÃn àV1 (t) àV2 (t) (V1 (t) − βV2 (t))βi(t)(t) = (βV1 (t) − βV2 (t))ϕSpot (t) (1.51) trình giá ph-ơng án V1 , V2 t, t T Định nghĩa martingale địa ph-ơng M : [0, T ] × Ω −→ R bëi t ϕSpot (s)dW (s), M(t) := 0tT Và định nghĩa trình W QSpot : [0, T ] × Ω −→ Rd bëi t W QSpot (t) = W (t) + ϕSpot (s)ds, 0tT (1.52) Từ định lý Girsanov suy W QSpot martingale địa ph-ơng độ đo QSpot định nghĩa đạo hàm Radon - Nikodym cña nã t dQSpot (t) := exp dP t ϕSpot (s)dW (s) − ϕSpot (s) 2ds , 0≤t≤T (1.53) t ϕSpot (s)ds lµ trình biến đổi hữu hạn, W QSpot có cấu trúc biến đổi bình Vì ph-ơng giống nh- chuyển động Brown Hơn nữa, W QSpot martingale địa ph-ơng d-ới QSpot Đặc tr-ng Levy chuyển động Brown suy W QSpot chuyển động Brown hình học d-ới QSpot Ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên cho trình giá trái phiếu trình giá LIBOR giao biểu diễn qua QSpot - chuyển động Brown W QSpot d(Bi (t)/B(t)) = (ài (t) − µi(t) (t) − (βi (t) − βi(t)(t))βi(t)(t))dt (Bi (t)/B(t)) + (βi (t) − βi(t)(t))(dW QSpot (t) − ϕSpot (t)dt) = (βi (t) − βi(t)(t))(dW QSpot (t) víi t, ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N + Đẳng thức sau suy từ (1.51) Ta suy th-ơng martingale d-ới QSpot Vì QSpot độ đo cần tìm Một ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên đ-ợc suy cho c¸c l·i st LIBOR ký kÕt tr-íc biĨu diƠn qua W QSpot Thay thÕ (1.52) vµo (1.46) sử dụng (1.51) ta đ-ợc + i Li (t) (βi(t) − βi+1(t)).(βi(t)(t) − βi+1(t))dt + (βi (t) − βi+1 (t)).dW QSpot (t) δi n δj sj (t).si(t) dt + si (t).dW QSpot (t) = + δ i Li (t) j=i+1 dLi (t) = 56 víi t, ≤ t ≤ T, i = 1, , N đẳng thức sau sử dụng ph-ơng trình (1.47) (1.48) Chú ý thành phần dịch chuyển không xuất ph-ơng trình trên, định giá phái sinh độc lập với lợi nhuận kỳ vọng thực tế tài sản sở Cuối nhắc lại i (.) Li (.)si(.) dLi (t) = Li (t) i j=i(t) δj Lj (t)σj (t).σj (t) dt + σi (t).dW QSpot (t) + δiLi (t) (1.54) víi ≤ t ≤ Ti , i = 1, , N 1.1.2.2 Độ đo QTn+1 hợp đồng LIBOR giao sau Ta xét tệ trái phiếu, chẳng hạn Bn+1 với n (n {1, , N }) Một ph-ơn án đầu t- chứa trái phiếu tự tài trợ Tỷ số trình giá tài sản trình giá trái phiếu phải martingale d-ới độ đo QTn+1 xét Nói riêng Bn /Bn+1 martingale Do lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc thứ n biến đổi afin Bn /Bn+1 martingale d-ới độ đo QTn+1 Điều hữu ích tính toán giá hợp đồng quyền chọn mua mô hình thị tr-ờng LIBOR Vi phân ngẫu nhiên giá trái phiếu giá tệ đ-ợc tính giống nh- cách mà ta suy ph-ơng trình (1.46) d(Bi (t)/Bn+1 (t)) = (µi (t) − µn+1 (t) − (βi(t) − βn+1 (t))βn+1 (t))dt + (βi (t) − βn+1 (t))dW (t) (Bi (t)/Bn+1 (t)) víi t, ≤ t ≤ min(Ti, Tn+1 ), i = 1, , N + Hoµn toµn giống tr-ờng hợp độ đo QSpot , trình Tn+1 : [0, Tn+1 ] ì Rd W QTn+1 : [0, Tn+1 ] ì Rd đ-ợc ®Þnh nghÜa cïng víi mét ®é ®o QTn+1 cho W QTn+1 chuyển động Brown d - chiều d-íi QTn+1 Mét c¸ch chÝnh x¸c ϕTn+1 , W QTn+1 QTn+1 đ-ợc định nghĩa nh- sau: Tn+1 (t) := ϕ∗(t) − βn+1 (t), ≤ t ≤ Tn+1 t W QTn+1 ϕTn+1 (s)ds, (t) := W (t) + ≤ t ≤ Tn+1 t dQTn+1 (t) := exp dP t ϕTn+1 (s)dW (s) − (1.55) ||ϕTn+1 (s)||2 ds , ≤ t Tn+1 Tn+1 thoả mÃn àV1 (t) − µV2 (t) − (βV1 (t) − βV2 (t))βn+1(t) = (βV1 (t) − βV2 (t))ϕTn+1 (t) 57 (1.56) Víi V1 , V2 trình giá ph-ơng án đầu t- < t < Tn+1 Ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên cho trình giá trái phiếu xét trình giá trái phiếu thứ n + đ-ợc biểu diễn QTn+1 - chuyển ®éng Brown W QTn+1 d(Bi (t)/Bn+1 (t)) = (µi (t) − µn+1 (t) − (βi (t) − βn+1 (t))βn+1 (t))dt (Bi (t)/Bn+1 (t)) + (βi(t) − βn+1 (t))(dW QTn+1 (t) − ϕTn+1 (t)dt) = (βi (t) − βn+1 (t)).dW QTn+1 (t) víi ≤ t ≤ min(Ti , Tn+1 ), i = 1, , N + Đẳng thức thứ hai nhận đ-ợc từ (1.56) Ta suy th-ơng martingale d-ới QTn+1 Vì QTn+1 độ đo mà ta cần tìm Một ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên đ-ợc suy cho lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc đ-ợc biểu diễn qua W QTn+1 víi n ∈ {1, , N } Thay (1.55) vào (1.46) sử dụng (1.56) ta đ-ợc + δiLi (t) (βi (t) − βi+1 (t)).(βn+1(t) − βi+1(t))dt + (βi(t) − βi+1 (t)).dW QTn+1 (t) δi n δj sj (t).si (t) dt + si (t).dW QTn+1 (t) =− + δiLi (t) j=i+1 (1.57) dLi (t) = víi ≤ t ≤ min(Ti , Tn+1 ), i = 1, , N + Đẳng thức cuối sử dụng ph-ơng trình (1.47) ngắn gọn ta quy -íc kÝ hiƯu n xj := j=i − n xj nÕu in j=i n xj j=i víi i n nguyên Chú ý thành phần dịch chuyển không xuất (1.57) Cuối nhắc lại r»ng σi (.) ≡ Li (.)si(.) n δj Lj (t)σj (t).σj (t) dLi (t) =− dt + σi (t).dW QTn+1 (t) Li (t) + δi Li (t) j=i+1 víi ≤ t ≤ min(Ti , Tn+1 ), i = 1, , N 58 (1.58) Tài liệu tham khảo [1] Trần Hùng Thao, năm 2003, Nhập môn Toán học tài chính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hµ Néi [2] Andersen, L., and Andressen, J, 2000, Volatility Skews and Extensions of the LIBOR Market Model, Applied Mathematical Finance 7, trang 1-32 [3] B Dupire, 1993, Pricing and hedging with smiles, RISK Magazine [4] B Dupire, 1994, Pricing with a smiles, RISK Magazine, January [5] Derman E and I Kani, 1997, Stochastic implied trees: arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility, Goldman Sachs Quantitative Strategies Technical Notes, April [6] Heston S, 1993, A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, Review of Financial Studies 6, trang 327-343 [7] JP Morgan, 1999, Event risk and jump diffusion in option pricing, Risk Magazine, September 59