CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Chuyên đề: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG VẬN DỤNG CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ A/ TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG I/ PHƯƠNG PHÁP * Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận a - Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, - Nếu chữ số tận a 3, 7, 9: Phân tích: am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, Từ tính chất 1c => chữ số tận x chính chữ số tận ar - Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp Từ tính chất 1d => chữ số tận x chính chữ số tận 6.ar * Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng * Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số A = nk với n, k ∈ N - Nếu A = 10a + b = ab ⇒ b chữ số cuối A Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r ∈ N; ≤ r ≤ 69 Chữ số cuối A chính chữ số cuối số rk - Nếu A = 100a + bc = abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A = 1000a + bcd = abcd bcd ba chữ số cuối A - Nếu A=10m.am + a m−1 a = a m a1 a a m−1 a m chữ số cuối A II/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tìm chữ số tận số: a) 799 b) 141414 c) 4567 HD: a) Xét 99 = 4k + (với k = 24) => 799 = 74k + = 74k.73 Theo tính chất 1c => 74k có chữ số tận => 799 có chữ số tận chữ số tận 73 Mà 73 = 343 có chữ số tận => 799 có chữ số tận b) Dễ thấy 1414 = 4k + ( với k = 353) => 141414 = 144k + = 144k 142 Theo tính chất 1d => 144k có chữ số tận => 141414 có chữ số tận chữ số tận 6.142 Mà 6.142 = 1176 có chữ số tận => 141414 có chữ số tận c) Ta có 567 = 4k + (với k = 141) => 4567 = 44k + = 44k.43 Theo tính chất 1d => 44k có chữ số tận => 4567 có chữ số tận chữ số tận 6.43 Mà 6.43 = 384 có chữ số tận => 4567 có chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 HD: Nhận thấy: lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(k - 2) + 1, k thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất => Mọi lũy thừa S có chữ số tận chữ số tận số tương ứng: => Chữ số tận tổng S chữ số tận tổng: (2 + + … + 9) + 199.(0 + + + … + 9) + + + + 70 = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài 3: Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 HD: Nhận thấy Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + , n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ số tận ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T Bài 4: Tìm chữ số tận 187324 HD: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận 1.Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác ) tận Do 187324 = (1874)81 = (….1)81 =(…1) Vậy chữ số tận 187324 Bài Cho A = + 22 + 23 + + 220 Tìm chữ số tận A HD: Cách : Chứng minh AM5 cách nhóm A thành nhóm số Ta lại có A M2 nên A M10 A tận Cách : Hãy chứng minh A = 221-2 A = 221 - = ( 24 ) − = 165.2 − = 6.2 − , tận Bài 6: Tìm chữ số cuối số: A = 9 HD: Xem số M = 9k ; k ∈ N - Nếu k chẵn ⇔ k = 2m ta có: M =92m = 81m = (80+1)m = (10q +1)m = 10 t + ( với m, q, t ∈ N) Vậy: M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẽ ⇔ k=2m+1 ta có: M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 = 10q + ( với m, t, q ∈ N) Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 số lẻ 71 Do đó: A = 9 có chữ số cuối Bài 7: Tìm chữ số cuối số: B = 23 HD: B = = 281 = (25)16 = 3216.2 = (30+2)16.2 = 10q +217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22 = 10t + 25 = 10t + Vậy B có chữ số cuối Bài 8: Tìm chữ số cuối số A = 9 HD: Ta có: 92m tận 92m+1 tận Suy ra: 99 tận 9, (9 số lẻ.) Vậy A= 9 tận Bài 9: Tìm chữ số tận của: C = 62002, D = 22001 HD: Ta có: 61 tận 62 tận 63 tận Vậy 6n tận suy 62002 tận Ta có: 24 = 16 tận Suy 22002 = (24)500.22 = (a 6).4 = k với a, k ∈ N ⇒ 22002 tận Bài 10: Tìm chữ số cuối số: M = 71999, G = 18177 HD: *Ta có 74 = 2401 tận M = 71999 = (74) = ( n1 ).343 = c3 ⇒ tận Vậy M = 71999 tận *Ta có 184 = n6 tận Suy ra: G = 18177 = (184 )44 181 = t 18 = k Vậy G = 18177 tận 72 Bài 11: Tìm chữ số tận số sau: a/ 79 b/ 14 14 14 c/ 3567 HD: a/ Có: 99 = (8+1)9 = 4k + => = 74k+1 = 7.74k = 492k có chữ số tận 7.1 = b/ Ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k => 14 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận 1414 c/ Có 567 = (4+1) 67 = 4k+1 => 3567 = 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận 3.1 = Bài 12: Tìm chữ số tận tổng: T = 23 + 37 + 411 + .+ 20048011 HD: Nhận xét số mũ số hạng tổng có dạng 4(n-2) +3 với n ≥ Vậy nên ta tìm quy luật chữ số tận số a4k+3 với a = {0, 9} Ta có : số có tận : 0; 1; 5; ak có tận 0; 1; 5; xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận 34k+3 = 27.81k có tận 44k+3 = 64.28k =64.162k có tận 74k+3 = 343.2401k có tận 84k+3 = 512.162k có tận Vậy chữ số tận T chữ số tận T’ = (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận T III/ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM Bài 13: Tìm chữ số tận X, Y: X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Bài 14: Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống nhau: U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 73 Bài 15: Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004 B/ TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y  Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am M 2m Gọi n số tự nhiên cho an - M25 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq M4 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - M25 => apn - M25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) M100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - M100 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av Vì an - M100 => aun - M100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG - Các số có tận 01 ,25 ,76 nâng lên luỹ thừa (khác 0)cũng tận 01 ,25 ,76 - Các số 320 ( 815) ,74 ,512 ,992 có tận 01 - Các số 220 , 65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận 76 - Số 26n (n > 1) có tận 76 Bài 16: Tìm hai chữ số tận 71991 HD: Ta thấy : 74 = 2401 , số có tận 01 nâng lên luỹ thừa tận 01 Do : 71991 = 71988.73 = (74)497.343 =(…01)497.343 = (….01).343 =….43 Vậy 71991 có hai chữ số tân 43 Bài 17: Tìm hai chữ số tận 2100 HD: 74 Chú ý : 210 = 1024 ,bình phương số có tận 24 tận 76,số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76 Do ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Bài 18 Tìm hai chữ số tận của: a) 5151 ; 99 b) 9999 ; c) 6666 ; d) 14101.16101 HD: ( ) a) 1551= 512 25 ( ( 99 ) 51 = 01 ) 25 ( ) 51 = 01 51 = 51 ( k ) ( k ) b) 9999 = 992 k +1 = 992 99 = 01 99 = 01 99 = 99 ( ) c) 6666 = 65 133 = ( 76 ) d) 14101.16101 = ( 14.16 ) 101 133 ( ) = 76 = 56 ( = 224101 = 2242 ) 50 ( 224 = 76 ) 50 ( ) 224 = 76 224 = 24 Bài 19: Tìm hai chữ số tận số: a) a2003 b) 799 HD: a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n - M25 Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 M25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) M25 => 23(220 - 1) M100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N) Vậy hai chữ số tận 22003 08 b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n - M100 Ta có 74 = 2401 => 74 - M100 Mặt khác: 99 - M4 => 99 = 4k + (k Є N) Vậy 799 = 74k + = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07 Bài 20: Tìm hai chữ số tận số: C=2999, D=3999 HD: *Ta có: 220 có chữ số tận 76 Suy ra: C=2999=(220)49.219=( y 76 ) n88 (với y, n, q ∈ N) 75 Vậy C=2999 có chữ số tận 88 *Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =( k 01 )50 = z 01 Nên 3D tận 01, mà 3.3999  ⇒ chữ số hàng trăm 31000 ⇒ 31000 tận 201 Vậy 3999 có hai chữ số tận 67 Bài 21: Tìm hai chữ số tận số a) M = 78966 b) N = 247561 c) Q = 816251 HD: a)Ta có 74 có hai chữ số tận 01 Suy M = 78966 = (74)2241.72 = ( a 01 )2241.49 = c01 49 = n 49 (với a,c,n ∈N) Suy M = 78966 có hai chữ số tận 49 b)Ta có 242 tận 76 Suy N = 247561 = (242)3765.24 = ( m76 )3765.24 = k 76 24 = n 24 (với m, k, n ∈ N) Vậy N = 247561 có hai chữ số tận 24 c) Ta có 815 có hai chữ số tận 01 Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( k 01 )1250.81 = m81 (Với k, t, m ∈ N) Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận 81 Bài 22: Tìm hai chữ số tận số a) Z = 26854 b) C = 68194 HD: a)Ta có 264 có hai chữ số tận 76 ⇒ Z = 26854 = (264)213.262 = ( n76 )213 676 = k 76 676 = c76 (Với n, k, t ∈ N) Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận 76 b) Ta có 684 có hai chữ số tận 76 Suy C = 68194 = (684)48.682= ( n76 )48.4624 = k 76 4624 = t 24 (với n, k, t ∈ N) Vậy C=68194 có hai chữ số tận 24 Bài 23: Tìm hai chữ số cuối số: C = 2999 HD: Ta có: 210 + =1024 + = 1025 : 25 suy 210 –  25 Ta lại có 21000 – = (220)50 –  220 – suy 21000 –  25 76 Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 21000  Suy 21000 tận 76 ⇒ 2999 tận 38 88 2999  ⇒ 2999 tận 88 Vậy C=2999 có hai chữ số tận 88 Bài 24: Tìm hai chữ số tận số: D = 3999 HD: Ta có: 92m tận ; 92m+1 tận Ta tìm số dư phép chia 95 +1 cho 100 Ta có: 95 + =10(94 – 93 + 92 – + 1) Số: 94 + 92 +1 tận 93 + tận Suy (94 – 93 + 92 – + 1) tận ⇒ 94 – 93 – 92 – + = 10q + ⇒ 95 + = 100q + 50 ⇒ 910 – = (95 + 1)(95 – 1) = 100t Ta lại có: 31000 - = 9500 – = (910)50 – suy 31000 –  100 ⇒ 31000 tận 01 Mặt khác 31000  Suy chữ số hàng trăm 31000 phải (để 201 chia hết cho 3) ⇒ 31000 chữ số tận 201 Do 3999 tận 67 Bài 25: Tìm hai chữ số tận số A= 9 HD: A= 9 n 9 = (10 -1) có dạng: (10 – 1) với n=9 ta lại có n −1 n A = C n 10n - C n 10n-1 + ……+ C n 10 - C n Suy A có hai chữ số cuối n −1 n Với a = C n 10 - C n = 10n -1 Số n = 99 tận Suy 10n tận 90 ⇒ a =10n -1 tận 89 Vậy số A = 9 có hai chữ số cuối 89 Bài 26: Tìm hai chữ số tận tổng: a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 HD: 77 a) Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a100 - chia hết cho ; a chia hết cho a chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a100 - ⋮ 25 Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) ⋮ 100 Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042 => Hai chữ số tận tổng S1 chính hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 Ta có: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S1 30 b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 => Hai chữ số tận tổng S2 chính hai chữ số tận tổng 13 + 23 + 33 + + 20043  n ( n + 1)  = ÷   Áp dụng cơng thức: + + + n = ( + + + n ) 3 => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00 Vậy hai chữ số tận tổng S2 00 C/ TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG TRỞ LÊN I/ PHƯƠNG PHÁP Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Nếu x = 1000k + y, k ; y Є N ba chữ số tận x chính ba chữ số tận y (y ≤ x) Do 1000 = 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = a m chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 125 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am chính ba chữ số tận aq  Tìm ba chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 1000 78 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am chính ba chữ số tận av  Tìm ba chữ số tận av Tính chất => Tính chất 6: Nếu a Є N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125 Chứng minh: Do a20 - chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư => a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG - Các số có tận 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001 ,376 , 625 - Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 Bài 27: Tìm bốn chữ số tận 51992 HD: 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =(…0625) Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 Bài 28: Tìm ba chữ số tận số T = 5946 HD: Ta có 53 có ba chữ số tận 125 Suy T = 5946 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 5= t 625 (Với n, m, t ∈ N) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận 125 Bài 29: Tìm chữ số tận số: P = 51994 HD: Ta có: 54 = 0625 tận 0625 55 tận 3125 56 tận 5625 57 tận 8125 58 tận 0625 59 tận 3125 510 tận 5625 511 tận 8125 79 512 tận 0625 Chu kỳ lặp Suy ra: 54m tận 0625 54m+1 tận 3125 54m+2 tận 5625 54m+3 tận 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M=51994 có chữ số tận 5625 Bài 30: Tìm ba chữ số tận 123101 HD: Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác: 123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 - chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài 31: Tìm ba chữ số tận 3399 98 HD: Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N) Vậy ba chữ số tận 3399 98 chính ba chữ số tận 999 Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100: => ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau dựa vào phép nhân ??9x9 = 001 để xác định ??9 = 889) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 Trường hợp 3: Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: B1: Tìm dư phép chia số cho 125 B2: Suy khả ba chữ số tận B3: Kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài 32: Tìm ba chữ số tận 2004200 HD: Do (2004, 5) = (tính chất 6) 80 => 2004100 chia cho 125 dư => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư => 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết tận 376 Bài 33: Tìm bốn chữ số tận 51992 HD: 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625) Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 II/ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM Bài 34: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia hết cho Bài 35: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống Bài 36: Tìm hai chữ số tận của: a) 3999 b) 111213 Bài 37: Tìm hai chữ số tận của: S = 23 + 223 + + 240023 Bài 38: Tìm ba chữ số tận của: S = 12004 + 22004 + + 20032004 Bài 39: Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a101 ba chữ số tận a Bài 40: Cho A số chẵn khơng chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200 Bài 41: Tìm ba chữ số tận số: 199319941995 2000 Bài 42: Tìm sáu chữ số tận 521 D/ VẬN DỤNG TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ Bài 43: Chứng minh 8102 - 2102 chia hêt cho 10 HD: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân 6.Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận nên chia hết cho 10 Bài 44: Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 HD: Theo tính chất 1a => 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp 81 => Chữ số tận n2 + n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Bài 45: Chứng minh 261570 chia hết cho HD: Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376.Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài 46: Chứng tỏ 175 + 244 − 1321 chia hết cho 10 HD: Tìm chữ số tận 175 ; 244 – 1321 => Chữ số tận 175 + 244 − 1321 => 175 + 244 − 1321 ⋮ 10 Bài 47: Chứng minh với số tự nhiên n a) n − chia hết cho 5; b) 34 n+1 + chia hết cho 5; c) 24 n+1 + chia hết cho 5; d) 24 n+ + chia hết cho 5; e) 92 n+1 + chia hết cho 10 HD: a) n − = (7 ) n − = 2401n − = = − , tận Vậy n − 1M5 b) 34 n +1 + = (3n ) n + = 81n.3 + = 1.3 + , tận Vậy 34 n+1 + 2M5 c) 24 n +1 + = (24 ) n + = 16 n.2 + = 6.2 + , tận Vậy 24 n+1 + 3M5 d) 24 n+ + tận nên chia hết cho e) 92 n +1 + = (92 ) n + = 81n.9 + = 1.9 + , tận Vậy 92 n+1 + chia hết cho 10 82 Bài 48 Chứng minh 261570 chia hết cho HD: Ta thấy :265 = 11881376, số có tận 376 nâng lên lũy thừa Nào (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài 49: Chứng minh 19911997-19971996 10 HD: Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Ta có 19911997 19971996 có chữ số tận Suy 19911997-19971996 10 Bài 50: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia hết cho 20052005 HD: Số 20052005 có tận nên chia hết cho Ta có n2 + n + = n(n+1) +1 có chữ số tận 1, 3, nên khơng chia hết cho Vậy không tồn n Bài 51: Cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n + 3p4n - )⋮5 HD: Vì P số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1; 3; 7; Nếu P có tận P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu P có tận p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận p8n có tận nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu p có tận tương tự tận p4n p8n có tận nên tổng chia hết cho Nếu p có tận thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận 1và p8n = ( p n ) có tận Nên tổng chia hết cho Tóm lại với p nguyên tố lớn tổng ln chia hết cho Nhận xét chung phương pháp: Tách an dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1, .9} Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh Bài 52: Chứng minh n5 n có chữ số tận cung giống HD: 83 Để chứng minh n5 n có chữ số tận chứng minh n5 – n  10 Ta có: A =n5 – n = n(n4-1).(n2+1) = (n-1).n(n+1).(n2+1) Ta có 10 =2.5 (2.5)=1 (n-1), n, n+1 số tự nhiên liên tiếp Suy A  Chứng minh A  n  Ạ  Nếu n  dư suy n-1  ⇒ A 5 n: dư suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+15 ⇒ A5 n: dư suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+15 ⇒ A5 n: dư suy n+1  ⇒ A5 Vậy A2 A5 ⇔ A  10 Vậy n5 n có chữ số tận Bài 53: Tìm số dư phép chia: a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Bài 54: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25 HD: Trước hết ta tìm hai chữ số tận 517 Do số lẻ => Ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - M100 Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + M50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) M100 Mặt khác: 516 - M4 => 5(516 - 1) M20 => 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18 * Chú ý: Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp: B1: Tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận B2: Dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị 84 ... có chữ số tận chữ số tận số tương ứng: => Chữ số tận tổng S chữ số tận tổng: (2 + + … + 9) + 199.(0 + + + … + 9) + + + + 70 = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài 3: Tìm chữ số tận. .. minh ba chữ số tận a101 ba chữ số tận a Bài 40: Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200 Bài 41: Tìm ba chữ số tận số: 199319941995 2000 Bài 42: Tìm sáu chữ số tận 521 D/... M100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP