SKKN phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giải một số bài toán bằng ứng dụng của tích vô

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian giảng dạy, tơi ln nghiên cứu tìm tòi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, kỹ giải toán cho học sinh cách tốt Trong chương trình tốn học phổ thơng việc đưa vào khái niệm tích vơ hướng cho phép từ chứng minh định lí cơsin tam giác từ định lí cơsin chứng minh định lí sin Đó định lí tảng tam giác đường trịn Từ cho phép mở rộng tốn hệ thức lượng khơng gian Các tốn lượng có nhiều ứng dụng thực tiễn như: Tính độ dài, diện tích, thể tích, tính khoảng cách, chứng minh vng góc, … Ngày đổi giáo dục toán học Việt Nam đặc biệt quan tâm đến phát triển lực Năng lực then chốt mà đổi giáo dục quan tâm như: Năng lực phát vấn đề cách sáng tạo, lực tính tốn, lực tư suy luận, lực ngôn ngữ, lực kết nối toán học với thực tiễn Việc nghiên cứu tích vơ hướng để giải tốn lượng có nhiều khả góp phần hình thành phát triển lực nói đặc biệt lực phát giải vấn đề Để có lực cần phải có tri thức Tri thức tốn học nói chung, tri thức tích vơ hướng đóng vai trị điều kiện thúc đẩy hoạt động nhằm phát triển lực người học Chính lí nói trên, tơi chọn đề tài: “Phát triển lực phát giải vấn đề cho học sinh thơng qua giải số tốn ứng dụng tích vơ hướng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau: Bổ sung số kĩ thuật để giải số dạng toán tích vơ hướng nhằm làm phong phú thêm vai trị tích vơ hướng -1- Đề tài đặc biệt quan tâm việc phát triển mở rộng tốn chương trình sách giáo khoa phổ thơng nhằm góp phần phát triển cho học sinh lực phát giải vấn đề 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu vai trị tích vơ hướng việc giải dạng tốn trường phổ thơng Nghiên cứu phương thức mở rộng phát triển tốn chương trình trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu sở lí luận tích vơ hướng chương trình tốn học phổ thơng b, Điều tra - Thực dạy kết kiểm tra - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp + Trao đổi với em học sinh cách học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong học tập sống, học sinh gặp tình có vấn đề cần giải Việc nhận tình có vấn đề giải tình cách thành cơng lực phát giải vấn đề Năng lực phát giải vấn đề khả học sinh nhận mâu thuẫn nhận thức vấn đề học tập vấn đề sống tìm phương pháp để giải mâu thuẫn, vượt qua khó khăn trở ngại, từ học sinh tiếp thu kiến thức, kĩ giải vấn đề thực tiễn Sách giáo khoa nhiều tài liệu trình bày kiến thức tích vơ hướng ứng dụng tích vơ hướng Tuy nhiên với thời lượng chương trình cịn nên chưa đề cập sâu kiến thức hệ thống tập áp dụng tích vơ hướng Trong khn khổ đề tài này, tơi bổ sung thêm số kiến thức tích vơ hướng đồng thời chọn lọc số toán mà trước tác giả giải cách khác, hướng dẫn học sinh giải ứng dụng tích vơ hướng Như học sinh khơng giải theo cách giải cũ mà ln tìm tịi cách giải -2- Qua phát triển lực phát giải vấn đề phát triển lực học tập thân 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sách giáo khoa nhiều tài liệu tốn học nhấn mạnh đến vai trị tích vơ hướng dạng tốn liên quan Tuy nhiên số vấn đề chưa quan tâm nghiên cứu cách sâu sắc tác giả Có thể điểm qua vấn đề bao gồm: a, Chưa làm sáng tỏ luyện tập cho học sinh dạng thể khác tích vô hướng Chẳng hạn chưa quan tâm tới công thức tính tích vơ hướng hai véctơ OA,OB : OA.OB (OA2 OB AB2 ) Công thức có nhiều ứng dụng việc chứng minh hệ thức bất đẳng thức độ dài b, Chưa khai thác cách khác để chứng minh hai đường thẳng vng góc Chẳng hạn, để chứng minh: AB CD việc chứng minh: AB.CD nhiều lại cần sử dụng: AB CD AC AD BC BD2 Công thức chứng minh nhờ tích vơ hướng c, Các tác giả chưa trọng khai thác cách thức định hướng giúp học sinh phát vấn đề giải vấn đề lượng Nói cách khác chưa huy động tiên đề cách có tốn sử dụng tích vơ hướng d, Các tác giả chưa khai thác mối liên hệ đồng dạng tích vơ hướng để làm sáng tỏ cho học sinh có lập luận: Các tốn lượng giải hình học đồng dạng giải sử dụng tích vơ hướng Giải vấn đề giúp học sinh nhìn nhận giải tốn theo cách khác Từ phát triển lực phát giải vấn đề cho học sinh 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục hạn chế nêu, đề tài nêu phương thức sau nhằm khai thác ứng dụng tích vơ hướng nhằm phát triển lực phát giải vấn đề cho học sinh việc học toán trường phổ thông 2.3.1 Phương thức 1: Bổ sung số kiến thức tích vơ hướng số kĩ thuật giải dạng tốn ứng dụng tích vơ hướng 2.3.1.1 Vai trò việc thực phương thức Việc thực phương thức đề nhằm vào mục đích sau: - Mở rộng tiềm huy động kiến thức giải toán hệ thức lượng -3- - Nhằm nhìn nhận dạng tốn theo nhiều cách giải khác ứng dụng tích vơ hướng 2.3.1.2 Nội dung cụ thể: a, Ngoài định nghĩa tích vơ hướng có chương trình sách giáo khoa phổ thông cần thiết phải đưa vào công thức sau tích vơ hướng: OA.OB (OA2 OB AB2 ) O Có thể lập luận đưa công thức sau: AB OB OA A Bình phương vơ hướng hai vế ta có: AB (OB OA)2 Từ đó: OA.OB (OA AB2 OA2 OB2 AB2 ) 2OA.OB B Hình OB 2 b, Điều kiện hai đường thẳng AB CD vuông góc Để chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc ta dựa vào mệnh đề sau: AB CD AC2 AD2 BC2 BD2 (*) Mệnh đề (*) chứng minh dựa vào mệnh đề tổng quát sau: “Tập hợp điểm M cho MA MB k ,( k 0) (1) đường thẳng vuông góc với AB H cho H cách trung điểm đoạn thẳng AB khoảng k M 2AB “ Chứng minh: MA MB k ,( k 0) ( MA MB )( MA MB ) k (1) (2) Gọi O trung điểm đoạn AB đó: (2) A (3) MO.BA k Gọi H hình chiếu M lên AB Khi đó: (3) 2( MH HO ).BA k HO BA k 2OH AB k OH H B O Hình k (4) 2AB (4) chứng tỏ H cố định tập hợp điểm M có chung hình chiếu H Từ suy M ;AB H Xét trường hợp đặc biệt (*) Đặt AC AD BC BD k (khơng tính tổng qt giả sử k > 0) -4- Khi A B thuộc vng góc với CD H cách trung điểm O CD k khoảng 2CD Điều có nghĩa là: AB CD Sau xét vài ví dụ Ví dụ 1: Tứ diện ABCD có AB CD; AC BD Chứng minh: AD BC Giải: Ngồi cách giải thơng thường, học sinh tư định hướng áp dụng mệnh đề (*) để giải ví dụ cách nhanh chóng AB CD AC AD BC2 BD2 (1) Theo giả thiết: AD CB CD2 (2) AC BD AB Trừ vế với vế: (2) - (1): AB AC BD CD2 DB2 DC2 AD BC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác người ta dựng hai hình vng ABDE ACGH Gọi M trung điểm đoạn EH Chứng minh đường thẳng AM vng góc với BC Giải: Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta dựa vào tích vơ hướng Cụ thể để chứng minh AM vng góc với BC, ta chứng minh: AM BC Ngoài áp dụng mệnh đề (*) nêu E M / H / G D A B Nhận thấy: EAC EAH HAC 90 (1) Hình EAH C HAB HAE EAB 90 EAH 0 Suy ra: EAC HAB Dễ thấy: AE AB ; AC AH (2) Từ (1) (2) dễ dàng suy được: BAH EAC BH CE Ta có: BM BE2 BH 2 EH (3) (4) -5- CM EH (5) Từ (4), (5) suy MB MC 2 (BE2 CE2 CH BH CE2 CH 2) 1(BE2 CH 2) 2 (2AB2 2AC2) AB2 AC2 Vậy MB MC AB AC MA BC (ĐPCM) Dễ dàng giải ví dụ sau: Ví dụ 3: Trong tam giác ABC AH đường cao AB AC HB HC2 Ví dụ 4: H trực tâm tam giác ABC HA BC HB AC HC AB2 Ví dụ 5: Cho đường gấp khúc khép kín AEBFCD thoả mãn AD = AE, BE = BF, CF = CD Dựng đường thẳng EM AB , FN BC , DP CA Chứng minh ba đường thẳng EM, FN, DP đồng quy Nhận xét: Bài toán xét đầy đủ trường hợp xảy để chứng minh theo cách thông thường vất vả dễ thiếu xót Giải: Gọi H giao điểm hai đường thẳng FN DP Ta có: FH BC FB2 FC2 HB2 HC2 DH AC DA2 DC2 HA2 HC2 Lấy (2) trừ (1) ta DA FB DC (1) (2) FC HA HB2 Mà AD = AE, BE = BF, CF = CD nên EA EB HA HB2 Do EH vng góc với AB hay ba đường thẳng EM, FN, DP đồng quy H Ví dụ 6: Cho hình chữ nhật ABCD Đường thẳng qua D vng góc với đường chéo AC cắt BC N Gọi E F trung điểm DC CN Chứng minh AE vng góc với DF A B Giải: Đặt DE EC x , CF FN y , AD BC a N y a Ta có: AB CD 2x, BN a y, BF a y F Ta có DN vng góc với AC nên: DA2 DC2 NA2 a x x ( a y ) y 2x Ta có: y NC2 ay (3) D x E x Hình C -6- AD AF ED EF a2 4x2 (a y)2 x2 (x2 y2) 2x ay (4) Từ (3) (4) dễ dàng suy AE vng góc với DF Một số toán luyện tập Bài Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu H lên AC M trung điểm HD Chứng minh AM vng góc với BD Bài Tam giác ABC có điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác, AB = AC, D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE vng góc với CD Bài Cho hình vng ABCD, I điểm cạnh AB (I khác A B) Tia DI cắt tia CB E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M Chứng minh đường thẳng DE vng góc với đường thẳng BM Bài Cho ngũ giác ABCDE với AB = AE, DE = DC ABC AED 900 Gọi N trung điểm BC Chứng minh AC vng góc với DN Bài Cho ngũ giác ABCDE với A B 900 ; AE = BC Chứng minh ba đường thẳng qua ba đỉnh A, B, D tương ứng vng góc với cạnh CD, DE AB đồng quy 2.3.2 Phương thức 2: Mở rộng phát triển toán sách giáo khoa phổ thơng nhờ sử dụng tích vơ hướng hoạt động khái quát hoá, tương tự hoá a, Vai trò việc thực phương thức - Thực phương thức giúp học sinh biết cách phát vấn đề phát triển cách giải vấn đề Từ góp phần mở rộng tiềm sách giáo khoa, góp phần phát triển lực tư hình học người học, bổ sung cho giáo viên lực dạy tốn trường phổ thơng - Thực phương thức nhằm giúp học sinh phát tìm tịi cách giải nhờ sử dụng tích vơ hướng Từ góp phần phát triển lực phát giải vấn đề dạy - học hình học - Tăng cường sở định hướng cách huy động đắn kiến thức cho việc lập luận giải dạng tốn b, Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh định lí Ptoleme nhờ sử dụng kiến thức tích vơ hướng Định lí Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme đẳng thức hình học Euclid miêu tả quan hệ độ dài bốn cạnh hai đường chéo tứ giác nội tiếp -7- Định lí mang tên nhà tốn học thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaus) Nếu A, B, C, D đỉnh tứ giác nội tiếp đường trịn thì: AC.BD AB.CD BC.AD Định lí phát biểu thành định lí thuận đảo: Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường A trịn tích hai đường chéo tổng tích D cặp cạnh đối diện O Đảo: Nếu tứ giác thoả mãn điều kiện tổng M C tích cặp cạnh đối diện tích hai B đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn Định lí chứng minh phương pháp hình học đồng dạng Hình Kẻ đường phụ AM cho BAC MAD;M BD Dễ dàng chứng minh BAC MAD ; BAMCAD BAC MAD AB MA BAM CAD AB AC A C AD AM AD BC AC MD AD BC M D BM CD AC BM AB.CD Từ hệ thức suy ra: AC BD AB.CD BC AD (ĐPMC) Ta chứng minh kiến thức tích vơ hướng ABCD nội tiếp BAC AB BDC AC BC DB AB.ACBD.DC (A, D nằm phía mặt phẳng bờ BC) DC BC2 (1) (cùng 2cos ) BD.DC.AB2 DB.DC.AC2 BD.DC.BC2 AC.AB.DB2 AB.AC.DC2 AB.AC.BC2 AC.BD[DC.AC AB.DB] AB.CD[AC.DC BD.BA] AD BC[ DB DC BC AD AB.AC.BC ] (2) AD Từ (2) ta chứng minh: AC DC BD.BA DB.DC.BC AD AB.AC.BC (3) AD (3) AC.DC.AD BD.BA.AD DB.DC.BC AB.AC.BC AC(DC.DA BA.BC) BD(AB.AD DC.BC) -8- AC 2S BD 2S S(2 R R) (Đúng) sin ADC sin BAD Trong đó: S SABCD ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác bán kính đường trịn ngoại tiếp ADC , BAD Từ (2), (3) suy ra: AC BD AB.CD BC.AD (ĐPCM) Ví dụ 2: Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác Chứng minh: m2 b2 c2 A a a Giải: Ngồi cách trình bày theo sách giáo khoa giải theo cách sau Ta có: B / M / Hình AM AB BM AM AC CM AM m a m2 (AB AC) AM 2 2 b b2 c2 c AB AC a2 (ĐPCM) 1 (AB AC)2 (AB2 4 2 1 m a b c a C AC2 2.AB.AC) (AB2 AC2 BC2) Mở rộng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến M điểm thuộc cạnh BC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh BC cho BM k;0 k Hãy tính độ dài đoạn AM theo a ; b; c k; a ; b; c độ BC dài cạnh tam giác ABC Giải: A Theo giả thiết: BM k BM k.BC BC BA AM k BC AM k BC BA B C AM ( k.BC BA)2 M k BC 2 k BC BA BA2 k BC k ( BC BA Khi đó: AM k2a2 ka k2a2 kc k ( a kb c2 Hình AC ) BA2 c2 (k2 b ) c2 k)a2 kb (1 k ) c2 -9- Vậy: AM (k k ) a kb (1 k ) c2 Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Hãy tính độ dài đoạn AG theo cạnh tứ diện Giải: Đặt AB a, AC b, AD c,CD x, BD y, BC z Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ABC , ta có: AN b2 2 a z A (1) M 2 Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến BCD , ta có: DN x 2y z2 a c y G b D B (2) Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung AN ND AD tuyến ADN , ta có: MN N z 2 Thay (1), (2) vào (3), ta được: a2 b2 z2 x2 y2 z2 x (3) C Hình 4 c2 a2 b2 x2 y2 c2 z2 MN 4 Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến AMN , ta có: AG2 AN AM MN (5) Thay (1) (4) vào (5), ta được: a2 b2 z2 c2 a2 b2 4 AG2 Vậy: AG 3(a2 b2 c2 ) x2 (4) x2 y2 16 y2 c2 z2 3a2 3b2 3c2 x2 y2 z2 16 z2 Ví dụ 5: Có thể nhờ kiến thức từ hình học đồng dạng hay tích vơ hướng để tính độ dài đường phân giác góc A ( AD la ) tam giác ABC theo ba cạnh -10- bc[(b c ) a2 ] a , b, c độ dài cạnh công thức sau: la , (b c) tam giác ABC đối diện với đỉnh A, B , C a, Các bước lập luận sử dụng hình học đồng dạng: - Dựa vào định lí Ta-lét chứng tỏ DB - Biến đổi tỉ lệ thức DB c DC b hay BD c DC DB b c Từ lập luận tương tự dẫn tới: DC ac (1) b c (2) Trong đó: D chân đường cao ab b c vẽ từ đỉnh A; D BC Chứng minh D chân đường phân giác góc A tam giác ABC AD AB AC DB.DC Thật vậy, ABD AMC theo dấu hiệu (gg), M giao AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra: AM AD(AD MD) AB.AC AD2 AB AD AC hay AM AD AB AC AB.AC DA.DM Mặt khác, DA.DM DB.DC (suy từ tam giác BAD tam giác CMD đồng dạng) Từ suy AD AB AC DB.DC (3) Thay biểu thức (1) (2) vào (3) suy bc[(b c)2 a2 ] ra: la (b c) b, Có thể lập luận dùng tích vơ hướng sau: A - Do la2 AD2 Từ cần khai triển véctơ AD theo AB, AC có độ dài c, b D M - Ta có: AD AB BD DB - Từ hệ thức D C c D B D B b suy B C c Hình b c c - Do DB, BC hướng suy ra: BC b c BC C -11- c - Từ hệ thức suy ra: AD AB b Hay AD b c b c c BC AB b c (AC AB) c AB AC b c Từ hệ thức cuối sử dụng cơng thức tích vơ hướng, lấy bình phương vơ hướng véctơ AD suy ra: la bc[(b c ) a2 ] (b c) Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O tam diện vuông, OA OB OC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM, CN Giải: Với tốn thơng thường giáo viên học sinh nghĩ tới phương pháp là: Dựng đường vng góc chung EF OM CN Từ tính EF Bây áp dụng tích vơ hướng để giải EF đường vng góc chung khi: Đặt hệ véctơ sở: OA véctơ sở a,OB b,OC OE xOM CF yCN EF.OM EF.CN c Chúng ta biểu diễn OM ,CN, EF theo C 1 + OM (OA OB ) a b 2 1 + CN (CO CA) ( a c ) a c 2 +EF EO OC CF OC CF OE 1 c yCN xOM ( y x )a xb (1 y )c 2 Tính EF theo cơng thức: EF EF 2 1 2 Ta có: EF (1 y) (*) 4(y x) x F O N A E B M Hình 10 -12- Mặt khác: EF OM 0 EF CN 1x 4 2x y x4 x 5y 5y x Thay vào (*) ta được: EF Vậy EF 1(y x) y9 ( )2 ( 4)2 ( )2 9 Ví dụ 7: Cho hình lập phương 9 EF ABCDA B C D có cạnh Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, AD, DD Tính khoảng cách hai đường thẳng MN PQ Giải: Tương tự với ví dụ Dựng đường vng góc chung EF MN PQ Từ tính EF ME xMN PF yPQ EF đường vng góc chung khi: EF.MN EF.PQ Đặt hệ vé ctơ sở: AB a, AD b , AA c Chúng ta biể u diễ n MN , PQ, EF the o véctơ sở (3 véctơ đơn vị) + MN AC ( AB 2 + PQ AD ) 2 x( a b 2 A (AD AB) y ( BD yPQ F b Q B’ c) A’ 2c Tính EF theo cơng thức: EF Mặt khác: D C’ y ( x 1) a ( x y 1)b Ta có: EF C E P c 2 M N 1 b) B b + EF EM MP PF xMN 1 AD (AD AD ) 2 a ( x 1) EF ( x y 1)2 4 D’ Hình 11 y2 (*) -13- 2x y (x 1) (x y 1) 4 EF.PQ (x y 1) y 1 (2 (2)2 Thay vào (*) ta được: EF ) 4 Vậy EF EF Tổng quát tốn ta giải ví dụ sau: Ví dụ 8: Cho hình lập phương x 3 EF.MN x 2y 1 ( 2)2 y có cạnh a Gọi M, N, P, Q lần ABCDA B C D lượt trung điểm cạnh AB, BC, AD, DD Tính khoảng cách MN PQ Giải: Dựng đường vuông góc chung EF MN PQ Từ tính EF ME xMN EF đường vng góc chung khi: PF EF.MN yPQ EF.PQ Đặt hệ véctơ sở: AB a, AD b, AA c Chúng ta biểu diễn MN , PQ , EF theo véctơ sở (3 véctơ có độ dài a) 1 + MN A ( AB AD ) a b C 2 2 1 1 c + PQ AD ( AD AD ) 2b B M A 2( x 1) a 2( x y 1)b y Tính EF theo cơng thức: EF Ta có: EF ( x 1) a D F Q B’ 2c) A’ 2c E P + EF EM MP PF xMN BD yPQ 1 x( a b ) 2( AD AB ) y ( 2b C N D EF ( x y 1)2 a y a2 4 C’ ’ Hình 12 (*) Mặt khác: -14- (x 1) 4 (x y 1) EF.MN EF.PQ Thay vào (*) ta được: EF 2 Vậy EF (x y 1) 2x y 1 y 3 x 2y y x a2 2 ( ) a ( ) a ( ) a2 4 3 a EF Bài tốn luyện tập Cho hình lập phương ABCDA B C D có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC, P thuộc cạnh DD cho DP DD Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AP Ví dụ 9: Ví dụ trang 118 Sách giáo khoa hình học 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD * Sách giáo khoa trình bày cách giải: Dựng OH đoạn vng góc chung SC BD Từ tính OH Chúng ta tư cách giải SE xSC Giải: EF đường vng góc chung khi: BF yBD EF.SC EF.BD S Đặt hệ véctơ sở: AB a, AD b, AS c Chúng ta biểu diễn SC, BD, EF theo véctơ sở (3 véctơ có độ dài a) + SC ( SA AC ) AS AB AD a b c E + BD AD AB a b A +EF ES SA AB BF xSC AS AB yBD x (a b c) c a y( a b) D F B Hình 13 C -15- ( x y 1) a ( x y )b ( x 1)c Tính EF theo công thức: EF EF 2 ( x y 1) ( x y ) ( x 1)2 a2 Ta có: EF (*) ( x y 1) ( x y ) ( x 1) Mặt khác: x EF SC EF.BD Thay vào (*) ta được: Vậy EF EF ( x y 1) ( x y) EF ( 1) (1) y ( 1) a 2 a2 6 a Bài tập tương tự: Bài (trang 126 sách giáo khoa hình học 11) có cạnh a Cho hình lập phương ABCDA B C D a, Hãy xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo BD BC b, Tính khoảng cách hai đường thẳng B B C D Ví dụ 10: Câu trang 123 Sách giáo khoa hình học 11 Trong kết sau đây, kết ? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có AB.EG bằng: A a2 B a2 C a2 * Phân tích: B Với tốn ta dễ dàng nhận EG AC vậy: AB.EG AB.AC A 2 D a 2C D (AB2 AC2 BC2) Chọn A (a 2a a ) a2 * Nhận xét: Với cách giải giúp tính nhanh tích vơ hướng hai véc tơ E mà khơng cần tính góc chúng F S G H Hình 14 Ví dụ 11: Câu trang 98 Sách giáo khoa hình học 11 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA SB SC A C -16B Hình 15 có ASB BSC CSA Chứng minh rằng: SA BC,SB AC,SC AB Giải: Từ giả thiết dễ dàng suy ra: AB BC AC Nhận thấy: SA BC SB SC AB AC2 (Hiển nhiên đúng) Tương tự: SB AC , SC AB Một số tốn luyện tập Tìm hiểu thêm định lí, tập sách giáo khoa phổ thơng giải ứng dụng tích vơ hướng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường * Bản thân: Khi nghiên cứu tích vơ hướng, kiến thức lâu biết ứng dụng tích vơ hướng giải tốn, thân bổ sung thêm kiến thức tích vơ hướng Qua thấy vai trị tích vơ hướng chương trình tốn phổ thơng Đặc biệt dựa vào tích vơ hướng để giải số toán mà lâu tác giả sử dụng cách giải khác Từ giúp thân có thêm kinh nghiệm việc phát giải vấn đề chứng minh định lí giải tốn * Học sinh: Thông qua đề tài học sinh phần bỏ bớt tính thụ động giải tốn Một tốn đặt có nhiều cách giải khác Học sinh phải ln tìm tịi, sáng tạo để tìm cách giải hay Vận dụng kiến thức tích vơ hướng để giải tốn giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc tích vơ hướng, thấy vai trị tích vơ hướng Qua phát triển lực phát giải vấn đề học học tập mơn tốn * Đồng nghiệp: Trong buổi sinh hoạt chuyên môn, thân trao đổi với Thầy cô tổ chuyên môn Thầy đánh giá cao Qua Thầy dần triển khai dạy học sinh lớp phụ trách KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: -17- Bạn đọc tìm thấy nhiều mệnh đề, tốn chương trình tốn học phổ thơng cịn dạng mở, việc tìm tịi phát để tổng quát hoá toán, mệnh đề bổ ích cho việc tự bồi dưỡng lực phát giải vấn đề, lực quan tâm đổi giáo dục toán học Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính; ln trau dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi nghiên cứu chương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết cao giảng dạy Bản thân phải thấy cố gắng quan tâm tới tiến em, khích lệ tun dương kịp thời để làm địn bẩy giúp em tiến Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Cần phát huy tính sáng tạo, tìm tịi cách giải Từ phát triển lực phát giải vấn đề dần nâng cao kết học tập 3.2 Kiến nghị: Đây sáng kiến khơng mang tính tuyệt đối việc dạy cho học sinh giải tốn ứng dụng tích vơ hướng Tuy nhiên trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực thân với giúp đỡ đồng nghiệp đúc kết số phương thức làm phong phú vai trị tích vơ hướng Đồng thời phát triển lực phát giải vấn đề học sinh học toán Hy vọng tài liệu giúp ích cho giáo viên học sinh Với khả ngôn ngữ thân cịn có phần hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót; mong hội đồng khoa học đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Hà Ngọc Long -18- Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ giải tốn hình học phẳng; NXB Giáo dục Đào Tam (2005), Hình học sơ cấp; NXB ĐHSP Đào Tam (2004), Phương pháp dạy học Hình học; NXB Đại học sư phạm; Hà Nội Nguyễn Chiến Thắng - Đào Tam (2017), Giáo trình hình học sơ cấp lịch sử tốn, NXB Đại học Vinh Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học & Tuổi trẻ (2010); Quyển 5; NXB Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (2003), Tuyển tập năm Tạp Chí Tốn Học Tuổi Trẻ (1991 – 1995) Lê Quang Ánh, Lê Quý Mậu (1998), Phương pháp giải tốn Hình học 10; Nhà xuất Đà Nẵng Bộ Giáo dục Đào tạo – Hình học 10 - NXB Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo – Hình học 11 - NXB Giáo dục 10.Bộ Giáo dục Đào tạo – Hình học 12 - NXB Giáo dục -19- DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hà Ngọc Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Trần Khát Chân Cấp đánh giá TT Tên đề tài SKKN Cách tìm hiểu khai thác định lý xếp loại SởGD&ĐT Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2012 - 2013 -20- ... học sinh có lập luận: Các tốn lượng giải hình học đồng dạng giải sử dụng tích vơ hướng Giải vấn đề giúp học sinh nhìn nhận giải tốn theo cách khác Từ phát triển lực phát giải vấn đề cho học sinh. .. lực phát giải vấn đề Năng lực phát giải vấn đề khả học sinh nhận mâu thuẫn nhận thức vấn đề học tập vấn đề sống tìm phương pháp để giải mâu thuẫn, vượt qua khó khăn trở ngại, từ học sinh tiếp... tích vơ hướng Như học sinh không giải theo cách giải cũ mà ln tìm tịi cách giải -2- Qua phát triển lực phát giải vấn đề phát triển lực học tập thân 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến