Đang tải... (xem toàn văn)
sáng kiến kinh nghiệm trung học sơ sở: Một số ứng dụng của định lí vi ét trong chương trình toán 9 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Trong trường THCS môn toán được xem là môn công cụ có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy, đặt nền móng và có sự hỗ trợ rất nhiều cho các môn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Vì vậy trong việc dạy toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức đồng thời sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư duy của học sinh. Cùng với việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải toán. Tôi nhận thấy trong chương trình toán 9 ở chương 4 phần đại số thì khiến thức về hệ thức Viét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ, các đề thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi ét trong sách giáo khoa có nội dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong quá trình dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 2017, 2017 2018 tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Viét vào giải toán còn rập khuôn chưa được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Viét vào được vào nhiều loại toán. Đứng trước thực trạng này, tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí Viét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả năng tư duy phát triển các năng lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú học tập của học sinh. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng của định lí Viét trong chương trình toán 9” II. Mục đích nghiên cứu: Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Viét sẽ giúp học sinh vận dụng thành thạo những ứng dụng của hệ thức Viét trong giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao. Trang bị cho học sinh một số kiến thức về ứng dụng của định lí Viét nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và sử dụng các kiến thức đã học để là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan. Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: + Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp. + Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. + Rèn luyện kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. + Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. + Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy. + Đặt ra các tình huống có vấn đề nhằm giúp các em biết cách tìm tòi kiến thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và nhận dạng, hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị quyết số 29NQTW là Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao ở các lớp học dưới và phân hóa dần ở các lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn. Để thực hiện tốt Nghị quyết thì Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành nghề và có ý thức hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động. Nội dung của hệ thức Viét và ứng dụng hệ thức Viét : Hệ thức Viét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì: Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt) + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = Nếu a b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = + Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P 0. Nội dung của hệ thức Viét và ứng dụng hệ thức Viét nằm ở chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: + Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Viét và ứng dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. + Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. II. Thực trạng vấn đề: Theo chương trình học như trên, thì học sinh được học Định lý Viét nhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Viét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Viét chưa linh hoạt. Qua việc dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp tôi nhận thấy các em học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc hai có chứa tham số. Các bài toán cần áp dụng hệ thức Viét rất đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi vào một số trường THPT... Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số bài toán dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, ... thì với học sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải. Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi game, bi da, đánh bài ... Một số gia đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt. Kết quả bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Viét trong năm học 2016 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên đề: Lớp Sĩ số học sinh Điểm giỏi TL % Điểm khá TL % Điểm TB TL % Điểm dưới TB TL % 9A5 40 02 5 07 17.5 11 27.5 19 47.5 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9 9A7 36 04 11.1 05 13.9 07 19.4 20 55.6 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Viét trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Viét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. Rèn luyện các kỹ năng nhận dạng, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Viét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử dụng hệ thức Viét từ đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Viét và ứng dụng của nó. Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo. Kết quả nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Viét vào giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp. Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. Rèn kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy. Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ thức trong giải toán về phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) () Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt: Xét phương trình () ta thấy : a) Nếu a + b + c = 0 phương trình () có nghiệm và b) Nếu a b + c = 0 phương trình () có nghiệm và Ví dụ 1(Bài 2653 Sgk Toán 9_tập 2): Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 35x2 37x + 2 = 0 ; c) x2 49 x 50 = 0 Giải: a) Phương trình: 35x2 37x + 2 = 0. Ta có a + b + c = 35 + ( 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = = c) Phương trình: x2 49 x 50 = 0 Ta có a b + c = 1 49 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1= 1; x2 = = 50 Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các hệ số a b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? Ví dụ 2(Bài 3154 Sgk Toán 9_tập 2): Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: ; d) Giải: b) Phương trình: Ta có , nên phương trình có hai nghiệm: x1= 1; x2 = = d) Phương trình: Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m 0).
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Trong trường THCS mơn tốn xem mơn cơng cụ có tác dụng rèn luyện phát triển tư duy, đặt móng có hỗ trợ nhiều cho mơn học khác Một mặt phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định tốn học Vì việc dạy tốn đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức đồng thời sử dụng phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư học sinh Cùng với việc học toán học sinh bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tốn Tơi nhận thấy chương trình tốn chương phần đại số khiến thức hệ thức Vi-ét quan trọng, tính ứng dụng rộng rãi việc giải tốn Kiến thức thường xuất kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ, đề thi học sinh giỏi lớp 9, Trong tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi - ét sách giáo khoa có nội dung thời lượng tương đối ít, lượng tập chưa đa dạng Trong q trình dạy tốn trường THCS Bn Trấp năm học 2016 - 2017, 2017 - 2018 nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn rập khn chưa linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi-ét vào vào nhiều loại tốn Đứng trước thực trạng này, tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức định lí Vi-ét sử dụng thành thạo chúng vào dạng tập, qua làm tăng khả tư phát triển lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú học tập học sinh Đó lý tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng định lí Vi-ét chương trình tốn 9” II Mục đích nghiên cứu: Thông qua kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét giúp học sinh vận dụng thành thạo ứng dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp em giải số tập nâng cao Trang bị cho học sinh số kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét nhằm nâng cao lực học mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo sử dụng kiến thức học để công cụ giải tập có liên quan Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: + Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp + Đưa tập tương tự, tập nâng cao + Rèn luyện kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể + Giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo + Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy + Đặt tình có vấn đề nhằm giúp em biết cách tìm tòi kiến thức nhiều khơng tốn bậc hai mà dạng toán khác Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp nhận dạng, hiểu toán, áp dụng thành thạo phương pháp để giải tập Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận vấn đề Chương trình giáo dục phổ thông đáp ứng nhiệm vụ nêu Nghị số 29-NQ/TW "Xây dựng chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thơng theo hướng đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao lớp học phân hóa dần lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn học, chủ đề hoạt động giáo dục tự chọn" Để thực tốt Nghị Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể xác đinh mục tiêu Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển phẩm chất, lực hình thành phát triển cấp tiểu học; tự điều chỉnh thân theo chuẩn mực chung xã hội; biết vận dụng phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh tri thức kỹ tảng; có hiểu biết ban đầu ngành nghề có ý thức hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề tham gia vào sống lao động Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét : Hệ thức Vi-ét: Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì: b � x1 x2 � � a � c �x x �1 a Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt) + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = - c a �S u v �P u.v + Nếu có hai số u v thỗ mãn: � u v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 có: + Tiết lý thuyết: Học sinh học định lí Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng + Tiết Luyện tập : Học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học II Thực trạng vấn đề: Theo chương trình học trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều thời gian sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Qua việc dạy tốn trường THCS Bn Trấp tơi nhận thấy em học sinh vận dụng máy móc chưa thực linh hoạt, chưa khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng tốn, đặc biệt dạng phương trình bậc hai có chứa tham số Các toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi vào số trường THPT Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả học môn Tốn em lớp học khơng đồng Bên cạnh phận khơng nhỏ học sinh yếu kỹ biến đổi biểu thức cho dạng tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai Vì găp số tốn dạng: Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước lập hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số, với học sinh đại trà, đa số em thường tỏ lúng túng, khơng biết cách giải Bên cạnh tác động xã hội làm số học sinh khơng làm chủ nên đua đòi, ham chơi, không tâm vào học tập mà dẫn thân vào tệ nạn xã hội chơi game, bi da, đánh Một số gia đình có điều kiện lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến việc học hành em dẫn đến em có kết học tập không tốt Kết kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét năm học 2016 - 2017 lớp 9A5,6,7 chưa áp dụng nội dung chuyên đề: Lớp Sĩ số Điểm TL Điểm TL Điểm TL Điểm TL học sinh giỏi % TB % % % TB 9A5 40 02 07 17.5 11 27.5 19 47.5 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9 9A7 36 04 11.1 05 13.9 07 19.4 20 55.6 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức việc vận dụng hệ thức Vi-ét q trình giảng dạy, tơi củng cố phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày tốn gặp dạng Rèn luyện kỹ nhận dạng, phân dạng tốn có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp học sinh nắm đề đưa phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Các em khơng gặp bất ngờ, khó khăn gặp dạng tốn có sử dụng hệ thức Vi-ét từ em cảm thấy dần hứng thú, say sưa học chuyên đề Hệ thức Vi-ét ứng dụng Khơng áp dụng sáng kiến vào trình giảng dạy cá nhân mà tơi đưa nội dung chun đề cho bạn đồng nghiệp trường tham khảo Kết nhận phản hồi tích cực bạn đồng nghiệp Qua áp dụng SKKN thấy đa số học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán bản, đạt kết học tập tốt III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp Đưa tập tương tự, tập nâng cao Rèn kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy Tạo hứng thú qua dạng toán áp dụng hệ thức giải tốn phương trình bậc hai thơng qua tốn có tính tư duy, giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Cho phương trình ax2 + bx + c = (a 0) (*) Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có hệ số có quan hệ đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu a + b + c = phương trình (*) có nghiệm x1 x2 c a c b) Nếu a b + c = phương trình (*) có nghiệm x1 1 x2 a Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = ; c) x2 - 49 x - 50 = Giải: a) Phương trình: 35x2 - 37x + = Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = c = a 35 c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = Ta có a - b + c = - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = c = 50 a Lưu ý : Đối với câu a, HS thường hay nhầm lẫm phương trình có hệ số a - b + c = Vì trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ hệ số, đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: b) 3x x ; d) m 1 x 2m 3 x m m �1 Giải: b) Phương trình: 3x x Ta có a b c , nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = c = a 3 d) Phương trình: m 1 x 2m 3 x m m �1 Phương trình cho phương trình bậc hai (do m �0) Ta có a b c m 2m 3 m , nên phương trình có hai nghiệm: c a x1= 1; x2 m4 m 1 Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta nhẩm nghiệm sau: Phương pháp: b c x1.x2 a a - Bước 1: Tính x1 x2 - Bước 2: Nếu �Z b a c �Z ta dễ dàng tìm nghiệm pt a Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2) Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 - 7x + 12 = ; b) x2 + 7x + 12 = Giải: a) Ta có: b c 3.4 12 a a Vậy ta nhẩm hai nghiệm x1= 3, x2 = b) Tương tự câu a) ta có -3 + (-4) = -7 (-3)(-4) = 12 Ta nhẩm hai nghiệm x1 3; x2 4 Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: x 500 x 507 1,5 x 1, x 0,1 x 3x Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại + Cách 2: Thay giá trị nghiệm biết vào hai hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét lại để tìm giá trị tham số Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2) Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x phương trình tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1), biết nghiệm x1=7 b) Phương trình x2 - 13x + m = (2), biết nghiệm x1=12,5 Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1) Cách 1: Thay x1 = vào phương trình (1) ta m 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 35 Mà x1= nên x2 5 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 35 Mà x1 = nên x2 5 Mặt khác x1 x2 m � m 2 b) Đáp số : x2 0,5 , m 6, 25 Nhận xét : Đối với ví dụ cách giải nhanh gọn Tuy nhiên với ví dụ cách lại nhanh Vì gặp dạng tốn tùy vào vị trí tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2) c) Phương trình x 3x m 3m , biết nghiệm x1 2 d) Phương trình x m 3 x , biết nghiệm x1 Hướng dẫn: c) Theo hệ thức Vi-ét: 2 x2 Mà x1 x2 3 � x2 4 m 3m m 3m � m 3m 10 hay 2 4 Suy m1 2; m2 e) Đáp số : x2 , m 11 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1 x2 tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Tốn 9_tập 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 5x + ; b) 3x2 + 8x + Giải: a) Phương trình 2x2 – 5x + = có hai nghiệm x1 = 1, x2 = � 3� � x – x x 1 �x � x 1 x 3 � 2� b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = có hai nghiệm x1 = 4 10 4 10 , x2 = 3 � 10 � � 10 � � 3x x � x � � � � �x � � � � � � Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 6x + ; b) 2x2 + 5x + Ứng dụng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai cho Phương pháp: Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính giá trị biểu thức chứa nghiệm - Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = uv = Giải: �S u v Vậy u; v nghiệm phương �P uv Theo hệ thức Vi-ét, ta có : � trình có dạng: x – Sx P hay x – x Giải phương trình ta tìm u = 3, v = u = , v = Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_Tập 2, Nhà xuất GD) Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm a) – b) c) Giải: �S 3 � (– 3) nghiệm phương trình có dạng: �P 3.7 21 a) Ta có : � x – Sx P � x – x 21 2 b) Đán số: x x 3 �S � c) Ta có : � P 1 � � 1 � nghiệm phương trình: x 3x 1 Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a) -5 ; b) 3 ; c) 3 6.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_Tập 2, Nhà xuất GD) Cho phương trình x x 15 có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1 x1 x2 a) b) x1 x2 ; Giải: Phương trình x x 15 có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 1 x x 1 15 x1 x2 2 1 2 1 a) Ta có: x x x x 15 ; x x x x 15 2 2 1 Vậy x , x hai nghiệm phương trình: x x hay 15 x x 15 15 2 b) Ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1.x2 1 43 15 30 2 Vậy x1 x2 hai nghiệm phương trình: x x Bài tập áp dụng: x1 43 0 30 1 x2 x1 x2 6.3 Giải hệ phương trình: Ứng dụng (1) thường sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai �f ( x, y ) �f ( y , x ) �� �g ( x, y ) �g ( y , x ) ẩn có dạng: � Để giải loại hệ ta tiến hành sau: - Biểu diễn phương trình qua x + y xy - Đặt S = x + y P = xy, ta hệ chứa hai ẩn S P - Giải hệ để tìm S P - Các số cần tìm nghiệm phương trình t St P Theo yêu cầu mà giải phương trình tìm t biện luận phương trình chứa t để rút kết luận mà đề đặt Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: �x y �x y �x y 2 �x y 34 a) �2 b) �2 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy , ta có hệ phương trình: � S 3 �2 �S P �S � �P �x y �xy Do ta có: � Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta X1 = 1; X2 = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : x1 ; y1 1; , x2 ; y2 2;1 b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ phương trình: � S 2 �S �� �2 �S P 34 �P 15 �x y �xy 15 Do ta có: � Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x (-y) nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ta X1 = 3; X2 = -5 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : x1 ; y1 3;5 , x2 ; y2 5;3 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: �x xy y a) � �x xy y �xy ( x 1)( y 2) 2 �x x y y b) � Giải: �S P a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ phương trình : � �S P � S = , P = S = -3; P = �x y �xy Do ta có: � Suy �x y 3 �xy � x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = (1) X2 + 3X + = (2) Giải (1) được: X1 = 0; X2 = Giải (2): 32 4.1.5 11 � phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : x1 ; y1 0; , x2 ; y2 2;0 �SP 2 �S P b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau: � Suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - = S S 2 P 2 P Giải ta X1= -1; X2 = Vậy �x x 1 �y y Từ ta có (I) � � x2 x (II) � �y y 1 Hệ (I) vô nghiệm Hệ (II) có hai nghiệm là: x1 ; y1 1;1 , x2 ; y2 2;1 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là: x1 ; y1 1;1 , x2 ; y2 2;1 Bài tập áp dụng ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011) �xy x y Giải hệ phương trình : � 2 �x y x y 11 (I) Hướng dẫn: � x 1 y 1 6 � Hệ phương trình (I) � � Đặt u = x+1; v = y-1 Ta có � �x1 y 1 13 Có hai trường hợp : uv 5 u 3 � u2 � � �x �x �� �� �� �� uv v2 � v3 � � �y �y +Trường hợp 1: � � � u v 25 � uv � u v 5 � u 3 � u 2 � �x 4 �x 3 �� �� �� �� uv v 2 � v 3 � � �y 1 �y 2 + Trường hợp 2: � Ứng dụng 7: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp: Dựa vào quan hệ dấu tổng tích hai số với dấu hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta xét dấu hai nghiệm tìm điều kiện tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện dấu Điều kiện chung P>0 �0 �0 ; P > S>0 P>0 �0 �0 ; P > ; S > S0 �0 �0 , P > S < Dấu nghiệm x1 x2 S P Trái dấu � m P