SKKN: Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

Mục đích nghiên cứu: Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét sẽ giúp học sinh vận dụng thành thạo những ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao. Trang bị cho học sinh một số kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và sử dụng các kiến thức đã học để là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan.

MỤC LỤC  MỤC LỤC                                                                                                                                           1  Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU                                                                                                                 1  I.    Đặt vấn đề                                                                                                                                      1  Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ                                                                                            2 I Cơ sở lí luận vấn đề II Thực trạng vấn đề: III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: V Hiệu SKKN: 18  Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị                                                                                                 19 I Kết luận: 19 II Kiến nghị: 20  1 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề   Trong trường THCS mơn tốn được xem là mơn cơng cụ có tác dụng rèn  luyện và phát triển tư  duy, đặt nền móng và có sự  hỗ  trợ  rất nhiều cho các  mơn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái   độ  mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành   bậc tiểu học, mặt khác nó góp  phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ  cần thiết để  tiếp tục lên  THPT, TH chun, học nghề  hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi  hỏi những hiểu biết nhất định về tốn học. Vì vậy trong việc dạy tốn đòi hỏi  người giáo viên phải chọn lọc hệ  thống kiến thức đồng thời  sử  dụng đúng  phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư  duy của học sinh   Cùng với việc học tốn học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất   đạo đức, các thao tác tư duy để giải tốn.  Tơi nhận thấy trong chương trình tốn 9   chương 4 phần đại số  thì  khiến thức về hệ thức Vi­ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong  việc giải tốn. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương,  kiểm tra học kỳ, các đề  thi học sinh giỏi lớp 9,  Trong khi đó bài tốn về  phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi ­ ét  trong sách giáo khoa có nội   dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong q trình  dạy tốn tại trường THCS Bn Trấp năm học 2016 ­ 2017, 2017 ­ 2018 tơi  nhận thấy học sinh  vận dụng hệ thức Vi­ét vào giải tốn còn rập khn chưa  được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi­ét vào được vào nhiều loại tốn         Đứng trước thực trạng này, tơi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất   lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí  Vi­ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả  năng tư  duy phát triển các năng lực tốn học, đồng thời kích thích hứng thú   học tập của học sinh. Đó là lý do tơi chọn nghiên cứu đề  tài: “Một số   ứng  dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9”  II. Mục đích nghiên cứu:  Thơng qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi­ét sẽ giúp học sinh  vận dụng thành thạo nhưng  ̃ ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong giải phương   trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham  khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao Trang bị  cho học sinh một số  kiến thức về  ứng dụng của định lí Vi­ét   nhằm nâng cao năng lực học mơn tốn, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ  động sáng tạo và sử  dụng các kiến thức đã học để  là cơng cụ  giải quyết   những bài tập có liên quan  1 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên  cứu đề tài tơi đã đưa ra các biện pháp như sau: + Trang bị cho các em các dạng tốn cơ bản, thường gặp + Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao            + Rèn luyện kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp  trong từng trường hợp cụ thể + Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo +  Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thơng qua các bài   kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy +  Đặt ra các tình huống có vấn đề  nhằm giúp các em biết cách tìm tòi  kiến thức nhiều hơn nữa khơng chỉ bài tốn bậc hai mà cả các dạng tốn khác.  Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ  thống các phương pháp cơ  bản và  nhận dạng, hiểu được bài tốn, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để  giải bài tập Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề Chương trình giáo dục phổ thơng mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị  quyết số 29­NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thơng   theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao   các lớp   học dưới và phân hóa dần   các lớp học trên; giảm số  mơn học bắt buộc;   tăng mơn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị  quyết thì  Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể đã xác đinh mục tiêu của   Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình  thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực   chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để  hồn  chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành   nghề  và có ý thức hướng nghiệp để  tiếp tục học lên THPT học nghề  hoặc   tham gia vào cuộc sống lao động Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ thức Vi­ét :  Hệ thức Vi­ét:  Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0)  thì:  x1 + x2 = − x1.x2 = b a c a Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt) + Nhẩm nghiệm:  Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0)   2 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 =    c a Nếu a ­ b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = ­1, x2 = ­ + Nếu có hai số u và v thỗ mãn:  c a S =u+v    thì u và v là hai nghiệm của  P = u.v phương trình:   x2 – Sx + P = 0.  Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P   0 Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét  nằm   chương  IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có:  + Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi­ét và ứng dụng hệ  thức   Vi­ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và   tích của chúng + Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết  vừa học II. Thực trạng vấn đề:  Theo chương trình học như  trên, thì học sinh được học Định lý Vi­ét  nhưng khơng có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi­ ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt.  Qua việc dạy tốn tại trường THCS Bn Trấp tơi nhận thấy các em   học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử  dụng hệ thức Vi­ét vào giải nhiều dạng tốn, đặc biệt dạng phương trình bậc  hai có chứa tham số.  Các bài tốn cần áp dụng hệ thức Vi­ét rất đa dạng có mặt trong nhiều   kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi,   thi vào một số trường THPT   Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để  nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả  năng học mơn Tốn giữa các em  trong lớp học khơng đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận khơng nhỏ học sinh   còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai  nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số  bài tốn dạng: Tìm  giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện   cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số,    thì với học sinh đại trà, đa số  các em thường tỏ  ra lúng túng, khơng biết cách  giải Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số  học sinh khơng  làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, khơng chú tâm vào học tập mà  dẫn thân vào các tệ  nạn xã hội như  chơi game, bi da, đánh bài   Một số  gia   đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến  việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập khơng tốt  3 Kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc  ứng dụng hệ  thức Vi­ét trong   năm học 2016 ­ 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên  đề: Lớp Sĩ số Điể học sinh m  giỏi TL  Điểm  TL  % % Điểm  TL  TB % Điểm  dưới  TB TL  % 9A5 40 02 07 17.5 11 27.5 19 47.5 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9 9A7 36 04 11 05 13.9 07 19.4 20 55.6 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi­ét   trong q trình giảng dạy, tơi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết  và tiết luyện tập về hệ thức Vi­ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời   rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài tốn khi gặp các dạng này.  Rèn luyện các kỹ  năng nhận dạng, phân dạng tốn có sử  dụng hệ  thức  Vi­ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải  thích hợp trong từng trường hợp cụ thể.  Các em khơng còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài tốn có sử  dụng hệ thức Vi­ét từ  đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về  chun đề Hệ thức Vi­ét và ứng dụng của nó Khơng chỉ áp dụng sáng kiến vào q trình giảng dạy của cá nhân mà tơi  còn đưa nội dung chun đề  cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo   Kết quả  nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp  dụng SKKN trên tơi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi­ét vào   giải các bài tốn cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn.  III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:  Trang bị cho các em các dạng tốn cơ bản, thường gặp Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao Rèn kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp trong từng  trường hợp cụ thể Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thơng qua các bài  kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy Tạo hứng thú qua các dạng tốn áp dụng hệ  thức trong giải tốn về  phương trình bậc hai thơng qua các bài tốn có tính tư duy, g iúp học sinh có tư  duy linh hoạt và sáng tạo Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) (*) Ứng dụng 1:   Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai  4       Trường hợp 1:  Phương trình bậc hai có các hệ  số  có quan hệ  đặc   biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu a + b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 =  và  x2 = c a b) Nếu a  −  b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = −1 và  x2 = −c a Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Tốn 9_tập 2):   Khơng giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:   a)   35x2 ­ 37x + 2 = 0    ;       c)   x2 ­ 49 x ­ 50 = 0     Giải:      a) Phương trình: 35x2 ­ 37x + 2 = 0 Ta có a + b + c = 35 + (­ 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: c a x1 = 1,  x2 =   =  35     c) Phương trình: x2 ­ 49 x ­ 50 = 0 Ta có  a ­ b + c = 1 ­ 49 ­ 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:  c a x1= ­1; x2 =  −  = 50     Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các   hệ số a ­ b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải u cầu HS xác định rõ các   hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào?  Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2):   Khơng giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: b) ( ) 3x − − x − = ; d)  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + = ( m 1) Giải:  b) Phương trình:  3x − ( − ) x − = ( ) Ta có  a − b + c = + − − = , nên phương trình có hai nghiệm:  c a x1= ­1; x2 =  −  =  = 3 d) Phương trình:  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + = ( m 1)  Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m 0) Ta có   a + b + c = m − − ( 2m + 3) + m + = , nên phương trình có hai nghiệm:  c a x1= 1;  x2 = = m+4 m −1 Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm ngun đơn giản, ta   có thể nhẩm nghiệm như sau: Phương pháp:   5 b a ­ Bước 1: Tính  x1 + x2 = −  và  x1.x2 = ­ Bước 2: Nếu  − b a Z  và  c a c a Z thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2)  Nhẩm nghiệm của phương trình sau: a) x2 ­ 7x + 12 = 0 ; b) x2 + 7x + 12 = 0 Giải: a)  Ta có:  + = −b c =  và  3.4 = = 12 a a Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4.   b) Tương tự như câu a) ta có ­3 + (­4) = ­7 và (­3)(­4) = 12.   Ta nhẩm được hai nghiệm là  x1 = −3; x2 = −4 Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1.  x + 500 x − 507 = 2.  1,5 x − 1, x + 0,1 = ( ) ( ) 3.  − x + 3x − + = Ứng dụng 2: Tìm giá trị  của tham số  khi biết một nghiệm của  phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại Phương pháp:        + Cách 1: Thay giá trị  nghiệm đã biết vào phương trình để  tìm tham số,   sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét để tìm nghiệm còn lại      + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi­ét   để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét còn lại để tìm giá trị   của tham số Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2) Dùng hệ thức Vi – ét để  tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị  của m trong mỗi trường hợp sau:   a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7 b) Phương trình x2 ­ 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5 Giải:  a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1) Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được  m = −2   Theo hệ thức Vi­ét, ta có :  x1.x2 = −35   Mà x1= 7 nên  x2 = −5   Cách   2:  Vì   phương  trình  có   nghiệm  nên   theo   hệ   thức   Vi­ét,   ta  có   :  x1.x2 = − 35  Mà x1 = 7 nên  x2 = −5   Mặt khác   x1 +  x2 = − m m = −2 b) Đáp số :   x2 = 0,5 , m = 6, 25  6 Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên  với ví dụ  2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng tốn này thì tùy   vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2) c) Phương trình  x + x − m + 3m = , biết nghiệm  x1 = −2 d)  Phương trình  x − ( m − 3) x + = , biết nghiệm  x1 = Hướng dẫn:  −3 2 − m + 3m −m + 3m     Mà  x1 x2 =  hay  −2 = 4  Suy ra  m1 = −2; m2 = c) Theo hệ thức Vi­ét:  −2 + x2 = e) Đáp số :   x2 x2 = m − 3m − 10 = = , m = 11 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử  Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) có nghiệm x1  và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Tốn 9_tập 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 5x + 3 ; b) 3x2 + 8x + 2            Giải: a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 =  x –  5 x   + 3  = ( x − 1) x − = ( x − 1) ( x − 3) b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 =  − + 10 , x2 =  − − 10 3 x +  8 x   + 2  = x + − 10 x+ + 10   Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 6x + 9 ; b) 2x2 + 5x + 3 Ứng dụng 4:  Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có hai  nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó.  4.1. Tính giá trị  của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình  bậc hai đã cho  7    Phương pháp: Biến đổi biểu thức về  dạng chỉ  chứa tổng và tích hai   nghiệm, áp dụng hệ thức Vi­ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các   nghiệm Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_tập 2,Nhà xuất bản GD)           Cho phương trình  x 2 ­ 5x + 3 = 0. Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương  trình. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:   1 a)  A = x + x      ;    b)  B = x12 + x22    ; c) C = x13 + x23          Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2  nên theo hệ thức Vi­ét  ta có:  x +x S  x1 +  x2 = 5   x1.x2 =  3           a)  A = x + x = 1x x = P = 2 b)  B =  x12 +x2  = ( x1 + x2 ) − x1 x2 =  52 –  2.3  =  19           c)  C  = x13 +  x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 +  x2 ) = 53 − 3.5.3 = 80     1 e)  E = x + x    ;      f)  F = x1 − x2    ­ Mở rộng bài toán:   d)  D = x14 +  x2    ;   d)  D = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = (S − 2P )2 − 2P = 52 − 2.3 − 2.32 = 343 2 1 x12 + x22 S − P 52 − 2.3 19 + = 2 = = = x12 x22 x1 x2 P2 32 e)  E = f)  F = x1 − x2 = ( x1 −  x2 ) =   ( x1 + x2 ) −  4 x1 x2   =   52 −  4.3  = 13  4.2.  Tìm điều kiện của tham số  để  hai nghiệm của phương trình   thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức: Phương pháp:           ­ Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có nghiệm (hoặc nếu   nhận thấy phương trình ln có nghiệm thì chứng minh điều đó) +Sử dụng một số hệ thức thường gặp:   Theo hệ thức Vi­ét  ta có:   S = x1 +  x2     P = x1.x2           x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1x2 = S − 2P    ;           x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3PS ( ) x14 + x24 = x12 + x22 − x12 x22 = (S − 2P ) − 2P ; 1   x2 + x2 = x12 + x22 S − P = x12 x22 P2   ;              x1 − x2 = 1 x + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 P ( x1 −  x2 ) =  ( x1 + x2 ) −  4 x1 x2   =   S −  4 P    + Sử  dụng các hệ  thức trên biến đổi hệ  thức chứa nghiệm về  dạng chỉ   chứa tổng và tích hai nghiệm, từ  đó áp dụng hệ  thức Vi­ét ta được phương   trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham   số.     + Đối chiếu giá trị  tìm được của tham số  với điều kiện có nghiệm của   phương trình đã cho rồi kết luận  8 Các ví dụ:    Ví dụ  1: Tìm m để  phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có  hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :           a) x12 + x22 = 8   ;    b)  1 + =3 x1 x2 ; c)  x12 + x22 − x1 x2 = Giải:    Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có  ∆ ' = 1− m            Để phương trình (1) có nghiệm thì  '  0   1 − m           Theo hệ thức Vi­ét ta có:    m 1  x1 + x2 = −2 x1 x2 = m a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 ­ 2x1x2 = 4 ­ 2m     Để  x12 + x22 = 8   4 ­ 2m = 8   m = ­2 (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8  b) Ta có  Để   m = ­2  x + x2 −2 1 + = = x1 x2 x1 x2 m 1 + =3 x1 x2 −2 =3 m m= −2 (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  c) Ta có:  x12 + x22 − x1 x2 =                   7m = ( x1 + x2 ) 1 + =3 x1 x2 − x1 x2 = m= −2 ( −2 ) − 7m = m =  (t/m) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  x12 + x22 − x1 x2 = m =1 Nhận xét:  Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến  đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình   Đối với loại hệ  thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx 1  nx2  = p)  hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng x m ­ xn = p ) thì ta thường kết  hợp với một trong hai hệ  thức của Vi­ét để  được hệ  phương trình. Giải hệ  phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi­ét ta  tìm được giá trị của tham số Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số)  có hai  nghiệm x1, x2 thoả mãn :           a) 3x1 + 2x2 = 1       ;     b) x12 ­ x22 = 6   Giải:    Phương trình x  + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có  ∆ ' = 1− m  9            Để phương trình có nghiệm thì  '  0   1 − m           Theo hệ thức Vi­ét ta có:    m 1  x1 + x2 = −2 x1 x2 = m x1 + x2 = −2 (1) a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi­ét ta có hệ:   3x1 + x2 = (2)     x1 x2 = m (3)             Giải hệ  (1), (2)  ta được  x1= 5; x2= ­7             Thay vào (3) ta được m = ­35 (thoả mãn điều kiện) x12 − x22 = (1) b) Kết hợp giả  thiết với hệ  thức Vi­ét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (2)  Giải hệ  (1),  x1 x2 = m (3) 2 (2) ta được x1= −   ;   x2  =    Thay vào (3) ta được m = ­   (thoả  mãn điều  kiện) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình  mx2 ­ 2(m + 1)x + (m ­ 4) = 0  ( m là tham số) (1) Tìm giá trị m để: a) Phương trình (1) có nghiệm b) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn:  x1 = 2x2 c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3 d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm  x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Bài  tập 2:  Cho phương trình    x − 4mx + 2m − = (2)  ( m là tham số) Tìm   m   để   phương   trình   (2)   có   hai   nghiệm   x1;   x2  thoã   mãn:  2 x1 + 4mx2 + 2m − > 4.3. Tìm điều kiện của tham số để  biểu thức chứa hai nghiệm của   phương trình đạt các giá trị cực trị:     Phương pháp:            +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm           + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó   vận dụng hệ  thức Vi­ét đưa biểu thức về  dạng chỉ  chứa tham số. Từ  đó sử   dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng   thức ta sẽ giải được bài tốn (chú ý điều kiện có nghiệm)   Ví dụ:  Cho phương trình x2 ­ 2(m ­ 1)x + m ­ 5 = 0  (m là tham số).   Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị  nào của m thì biểu  thức: 2 a)   A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó 2 b)   B = x1 x2 − x1 − x2  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó Giải:    10 Ta có  ∆ '   =   ( m − 1) − ( m   − ) = m − 3m + = m − 2 + 15 > , nên phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m      Theo hệ  thức Vi­ét ta có: x1+ x2 = 2(m ­ 1)  và x1x2 = m ­ 5 a) Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 ­ 2x1x2  = 4(m ­ 1)2 ­ 2(m ­ 5)                                      = 4m  ­ 10m +14 =  2m − 2 5 31 31 Vì  (2m − ) 0∀m , nên  2m − + 2 4 + Dấu “=” xảy ra khi  2m − = Vậy Amin =  m= 31   khi   m =  4 31 (t/m) b) Ta có:  B = x1 x2 − x12 − x22 = 3x1 x2 − ( x1 + x2 )             B = ( m − ) − ( m − 1) = −4m + 11m − 19 = −4( m − Vì  −4(m − 11 ) 0∀m , nên  −4( m − 11 =0 11 m= Dấu “=” xảy ra khi  m − Vậy  BMa x = −183 16 11 183 ) − 16 m= − 11 183 ) − 16 183 16 11  (t/m) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 ­ mx+ (m ­ 2)2 = 0. Tìm giá trị  lớn nhất và  nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 2: Cho phương trình:  x 2m x m 2      (1) 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?         2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,  x2 sao cho biểu thức  M x1 x2  đạt giá trị nhỏ nhất?  Ứng dụng  5:     Tìm   hệ  thức  liên hệ   giữa  hai  nghiệm  khơng phụ  thuộc vào tham số      Phương pháp:              + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ  thức Vi­ét ta có hai hệ   thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ  một trong hai hệ thức ta   biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ   thức cần tìm.            + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức      (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình) Các ví dụ:     11 Ví dụ 1 :  Cho phương trình x2 ­ 2(m + 1) x + m = 0  (1).Tìm hệ thức liên  hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải:  Ta có     ' =  ( m + 1) − = m + m + = m + 2 2 + 1         Vì  m + 0∀m m+ + > 0∀m  hay  ' > 0  ∀m 2        Phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m x1 + x2 = 2(m + 1) (1)        Theo hệ thức Vi­ét ta có   x1 x2 = m (2)          Từ  (1)  và (2) ta được    x1 + x2 = ( x1 x2 + 1)  là hệ  thức liên hệ  giữa hai  nghiệm khơng phụ thuộc vào m Ví dụ  2: Cho phương trình mx2 ­ 2(m ­ 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số  ).  Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ  thức liên hệ  giữa hai nghiệm   khơng phụ thuộc vào m Giải :      Phương trình đã cho ln có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai,  do đó  m      Theo giả thiết phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi­ét ta  có:                                      2(m − 3) = 2− (1) m m   m +1 x1 x2 = = 1+ (2) m m x1 + x2 = Ta có (2)   6x1x2 = 6 +    (3) m Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8 Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8 2 Bài tập áp dụng : Cho phương trình  x − ( m + ) x + m + 4m + =  Tìm  hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Ứng dụng 6:  Lập phương trình bậc hai: Phương pháp: Nếu có hai số u và v thỗ mãn:  S =u+v    thì u và v là hai  P = u.v nghiệm của phương trình:   x2 – Sx + P = 0 (1).  Điều kiện để có hai số u và v  là: S2 – 4P   0 6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2: Phương pháp: ­ Tính tổng và tích các nghiệm đề bài u cầu  12 ­ Sử dụng ứng dụng (1)  để lập phương trình                              Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6 Giải:  Theo hệ thức Vi­ét, ta có : S =u+v =5  Vậy u; v là nghiệm của phương  P = uv = trình có dạng:  x –  Sx   +  P   =  0 hay x –  5 x   +  6  =  0 Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3 Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)    Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên a) – 3 và 7  b) 2 và  Giải:  a) Ta có : S = −3 + = P = −3.7 = −21 c)  −  và  + (– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng:  x –  4 x   − 21 =  0 x –  Sx   +  P   =  0 b) Đán số:  x − x + = 3 c) Ta có : S = 1− + + = ( )( ) ( P = 1− + = − ) +1   −     +   là nghiệm của  phương trình:   x − 3x + ( + 1) = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:      a)  ­5 và 8 ; b)   α  và  3α ; c)  −  và  3− 6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức  chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)   Cho phương trình    x − x − 15 =  có nghiệm x1, x2. Khơng giải phương  trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường   hợp sau: 1 a) và  ; b)  + x1  và  + x2 x1 x2 Giải:  Phương trình  x − x − 15 =  có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi­ét ta có: 15  và  x1 x2 = − 2 1 x1 + x2 −1 1 −2 = = = a) Ta có:  +  ;  = x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 15 x1 + x2 =  13 1 Vậy x , x  là hai nghiệm của phương trình: x + x − =  hay 15 x + x − = 15 15 = 2 −1 43         ( + x1 ) ( + x2 ) = + ( x1 + x2 ) + x1.x2 = + + = 15 30 b) Ta có:  ( + x1 ) + ( + x2 ) = + ( x1 + x2 ) = + Vậy 1 + x1  và 1 + x2  là hai nghiệm của phương trình: x − x + 43 =0 30 1  và  x2 + x1 x2 6.3. Giải hệ phương trình:  Ứng dụng (1) thường được sử  dụng vào giải hệ  phương trình đối xứng   Bài tập áp dụng:   x1 + hai ẩn có dạng:  f ( x, y ) = g ( x, y ) = f ( y, x) = g ( y, x) = Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau: ­ Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy ­ Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P ­ Giải hệ mới để tìm S và P ­ Các số cần tìm là nghiệm của phương trình   t − St + P = Theo u cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương  trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:            a)  x+ y =3                  x2 + y = b)   x− y =2 x + y = 34 Giải: a) Đặt S = x + y;   P = xy ,  ta có hệ phương trình:                    S =3    S − 2P =     S =3 x+ y =3    . Do đó ta có:  P=2 xy = Suy ra x, y là nghiệm của phương trình   X2 ­ 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 .        Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 1; ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;1) b) Đặt S = x ­ y; P = xy ta có hệ phương trình:               S =2 S + P = 34 S =2 x− y =2        Do đó ta có:  P = 15 xy = 15 Suy ra   x + (­y) = 2 và  x(­y) = ­15  hay  x và (­y) là nghiệm của phương trình                X2 ­ 2X ­ 15 = 0,  giải ra ta được X1 = 3; X2 = ­5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 3;5 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 5;3) Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình: x + xy + y =            a)        x + xy + y =    b)  xy ( x + 1)( y − 2) = −2 x2 + x + y − y =  14 Giải: S2 − P =       a)   Đặt S = x + y; P = xy  ta có hệ phương trình :         S+P=2              S = 2 ,  P = 0 hoặc S = ­3;  P = 5 Do đó ta có:  x+ y = x + y = −3     hoặc  xy = xy = Suy ra    x, y  là nghiệm phương trình  X2 ­ 2X = 0 (1)  hoặc  X2 + 3X + 5 = 0  (2) Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2 Giải (2):  ∆ = 32 − 4.1.5 = −11 <    phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 0; ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 )            b)       Đặt   x2  + x = S;     y2  ­ 2y = P ta đưa về  hệ  đối xứng hai  ẩn sau:  SP = −2        S + P =1 Suy ra S, P là nghiệm phương trình  X2 ­ X ­ 2 = 0  Giải ra ta được X1= ­1;  X2 = 2. Vậy  S P S  hoặc  P x + x = −1 x +x=2     ho ặ c  (II) y2 − y = y − y = −1  Từ đó ta có  (I) Hệ (I) vơ nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1) Bài tập áp dụng  ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011) Giải hê ph ̣ ương trinh :  ̀ xy − x + y = x + y + x − y = 11     (I) Hướng dẫn:  Hê ph ̣ ương trinh (I) ̀ ( u + v) uv = = 25 ( x+1) ( y −1) = ( x+1) + ( y −1) =13 Đặt u = x+1; v = y­1. Ta có          Có hai trường hợp : u+v =5 uv = u + v = −5 + Trường hợp 2:  uv = +Trường hợp 1:  u =3 u=2 x=2 x =1   v=2 v=3 y=3 y=4 u = −3 u = −2 x = −4 x = −3 v = −2 v = − y = −1 y = −2 Ứng dụng 7:  Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Dựa vào quan hệ về  dấu của tổng và tích hai số  với dấu của   hai số  đó, kết hợp với hệ  thức Vi­ét thì ta sẽ  xét được dấu của hai nghiệm   hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu.   15 ∆ Dấu nghiệm x1 x2 S P Điều kiện chung m Trái dấu  P  0 Cùng dấu  P > 0 ∆ ∆ ; P > 0 ; S > 0 Cùng dương  + + S > 0 P > 0 ∆ Cùng âm  ­ ­ S  0 ∆ ∆  , P > 0 và S        c)  Ta có  S = 5 > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   P =1> ∆' = >        d) Ta có  S = −5 <  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P =1> Ví dụ 2:  Cho phương trình: x2 + (2m ­ 1)x + m ­ 1 = 0 (m tham số)  (1) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có:          a) Hai nghiệm trái dấu          b) Hai nghiệm phân biệt đều âm          c) Hai nghiệm phân biệt đều dương          d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải:  2 Ta có:  ∆ = ( 2m − 1) − ( m − 1) = 4m − 4m + − 4m + = 4m − 8m + = ( m − 1) +               Vì  ( m − 1) 0∀m ( m − 1) + > 0∀m  với mọi m)      ∆ > 0∀m   a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P 0 ∀m − 2m < m −1 > m >1 m> m >          c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi                        ∆>0 ∀m S >0 P>0 − 2m > m −1 > m >1 m< khơng có giá trị  nào của m thoả mãn  16 d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau  tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau  Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi  ∆    S =0  1 ­ 2m = 0   m =  2 Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a   0) với Parabol  (P):y = mx2 (m   0): 8.1. Lập phương trình đường thẳng y = ax + b  (a   0) đi qua 2 điểm A  (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m   0) Cơ sở lý luận : Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hồnh độ giao   điển là nghiêm của phương trình: mx2 = ax + b   mx2 ­ ax ­ b = 0.  Vậy  m = Theo hệ thức Vi­et, ta có:   xA xB x A x B a m      (*) b m Từ (*) tìm a và b   Phương trình  (d) Ví dụ  1:   Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x 2. Gọi A và B là 2 điểm  thuộc  (P)  có hồnh độ  lần lượt xA  = ­ 1 ; xB  = 2. Lập phương trình đường  thẳng đi qua A và B Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a   0)  Phương trình hồnh độ giao điểm của (AB) và (P) :  x2 = ax + b   x2 ­ ax – b =0 (*) Ta có: xA = ­ 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*) xA xB a a Theo hệ thức Vi­ et, ta có:         b xA xB b       Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 8.2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm  M(xM; yM) Cơ sở lý luận : Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình: mx2 ­ ax ­ b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Vi­et, ta có: x1 x 1x x2 a b m Ví dụ 2: Cho (P):  y     a và b    phương trình tiếp tuyến x2 ; A   (P) có hồnh độ  xA = 2 lập phương trình đường  thẳng tiếp xúc với (P) tại A  Giải    : Giả  sử  phương trình tiếp tuyến tại A là (d) : y = ax + b. Phương trình  x2 hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :  = ax + b   x2 ­ 4ax ­ 4b = 0   (*)  17 Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*): x1 = x2 = 2 Theo Viet ta có:  x1 x 1x x2 4a 4b     a b Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x ­ 1 IV. Tính mới của giải pháp:  Qua 3 năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tơi   thấy khả  năng vận dụng các kiến thức về   ứng dụng hệ  thức Vi­ét  của học  sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải tốn linh   hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức mới góp phần nâng cao   chất lượng dạy và học trong nhà trường Các  ứng dụng của hệ  thức được sắp xếp khoa học, có tính logic, từ  dạng cơ  bản đến mở  rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.  Hầu hết các dạng bài đều xuất phát từ  các bài tập cơ  bản trong sách giáo  khoa, sách bài tập, sách mơ hình trường học mới, sau đó phát triển dần lên  nhằm kích thích tính tư duy sáng tạo của học sinh.  Việc phân dạng, chọn các ví dụ  tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư  duy cho học sinh thì sẽ  tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu,  nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách   giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ  nắm vững vấn đề, phát  hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa học nhất.  Sáng kiến kinh nghiệm được viết theo chun đề  nên mang tính tổng   quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra bám   sát theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, chú trọng hình thành và  rèn luyện các kĩ năng cho các em Qua việc nghiên chun đề thì người giáo viên giang day toan co mơt cai ̉ ̣ ́ ́ ̣ ́  nhin tông quat vê các  ̀ ̉ ́ ̀ ứng dụng của định lý Vi­ét trong chương trình tốn 9,  cập nhât th ̣ ương xun nh ̀ ưng d ̃ ạng toan, nh ́ ưng thu thuât giai toan hiêu qua.  ̃ ̉ ̣ ̉ ́ ̣ ̉ V. Hiệu quả SKKN:  Trên đây là là một số   ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong chương trình  tốn 9 mà tơi đã áp dụng giảng dạy thực tế  tại trường THCS Bn trấp, tơi  nhận thấy hiệu quả học tập của học sinh đã được nâng lên đáng kể  đặc biệt  là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong q trình ơn luyện, bồi dưỡng  học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Tơi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết  quả như sau:      + Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tốn cơ bản   đạt hiệu quả cao đối với học sinh trung bình. Đối tượng học sinh khá giỏi đã   18 biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về   ứng dụng định lý Vi­ét để  giải các  bài tốn khó, mới trong các đề thi + Đã cải thiện rất lớn về năng lực giải phương trình bậc hai và bậc ba của  học sinh. Học sinh phần nào đã biết cách phân dạng, sử  dụng khá linh hoạt  các phương pháp biến đổi để giải tốn, đặc biệt các em đã chú ý hơn việc tìm  điều kiện xác định và đã có ý thức kiểm tra lại kết quả có thỏa mãn điều kiện  của bài tốn hay khơng.     + Học sinh tiếp thu bài nhanh hơn dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học   tập và u thích bộ mơn tốn hơn + Học sinh tránh được những sai sót cơ  bản hay gặp phải trong q trình  giải tốn liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi­ét + Trong thời gian năm học 2017 ­ 2018 áp dụng SKKN này vào giảng dạy tơi   đã thu được kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi­ét  như sau:  Lớp Sĩ số Điể học sinh m  giỏi TL  Điểm  TL  % % Điểm  TL  TB % 9A3 39 10 25 11 28.2 13 9A5 40 11 27 14 35 9A7 36 13 36 10 27.7 Điểm  dưới  TB TL  % 33.3 05 12.8 15 09 22.5 19.4 06 16.6 + Qua nghiên cứu SKKN này người giáo viên đã hệ  thống, phân loại bài  tập thành từng dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đến mới, từ  cụ  thể  đến tổng  qt, từ  dễ  đến khó, từ  đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ  nhận   thức của học sinh + Giáo viên có tài liệu tham khảo khi giảng dạy các tiết tăng tiết tại trường   cũng như ơn luyện học sinh giỏi Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị I. Kết luận:  “Một số ứng dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9” là tài liệu  và kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng trong chương trình đại số  9    19 Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả  trong   việc giải các bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai và  phương trình bậc cao hơn. Qua q trình dạy còn giúp học sinh từng bước  hình thành và phát triển tư  duy tốn học để  vận dụng hiệu quả  vào các mơn  học khác, vào thực tiễn cuộc sống Một số ứng dụng của hệ thức Vi­ét giải là một tài liệu dạy học đem lại  hiệu quả cao trong q trình dạy nội dung chương 4 đại số 9.  Nhưng để đạt  hiệu quả  tốt nhất thì người giáo viên trước khi giải một bài tốn thì cần cho  học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ dễ đến khó để tìm ra phương pháp   phù hợp để giải. Sau đó cho học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng  và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải.  Đối với mỗi chun đề  tốn học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi  sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư  duy, hướng giải và phát triển bài tốn. Sau   đó ra bài tổng hợp để  học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp   cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề  và tơi tin chắc rằng  tốn học sẽ  là niềm say mê với tất cả  học sinh. Phần đơng các em đều có  hứng thú làm bài tập nếu như bài tập đó có phương pháp giải hoặc vận dụng   các phương pháp giải của một loại tốn khác.   Đê co thê găt hai đ ̉ ́ ̉ ̣ ́ ược những thanh cơng thì đoi hoi cac em h ̀ ̀ ̉ ́ ọc sinh phaỉ   co môt s ́ ̣ ự  nô l ̃ ực rât l ́ ớn, môt s ̣ ự  quyêt tâm hoc tâp h ́ ̣ ̣ ết kha năng cua ban thân ̉ ̉ ̉   minh. Chinh vi vây s ̀ ́ ̀ ̣ ự  đông viên, quan tâm, giup đ ̣ ́ ỡ cua lanh đao nhà tr ̉ ̃ ̣ ường,  gia đinh va nh ̀ ̀ ưng giao viên  la rât l ̃ ́ ̀ ́ ớn. Nhât la đôi v ́ ̀ ́ ơi l ́ ứa tuôi hoc sinh l ̉ ̣ ớp 9,   khi mà đăc điêm tâm li l ̣ ̉ ́ ưa tuôi cua cac em co tac đông không nho đên viêc hoc ́ ̉ ̉ ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̣ ̣   tâp cua cac em. Trong q trình d ̣ ̉ ́ ạy học giáo viên phải khéo léo lồng ghép các  tình huống “có vấn đề”  nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh.  Những ứng dụng của hệ thức là vấn đề  tương đối mới mẻ  và hết sức  khó khăn cho học sinh   mức trung bình nên giáo viên cần cho các em làm  quen dần. Vì các dạng tốn trong SKKN này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ  những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến  thức, biết tư duy sáng tạo tìm cách giải dạng tốn mới.  Do kinh nghiệm còn hạn chế  nên q trình viết khó tránh khỏi những   đơn điệu và hạn chế, nhưng tơi hi vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta  hiểu kỹ hơn về một số ứng dụng của hệ thức Vi–ét trong chương trình tốn 9.  Tơi thực sự mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các   thầy cơ giáo, các bạn đồng nghiệp để  đề  tài này thực sự  hấp dẫn và có hiệu  quả khi đến với các em học sinh II. Kiến nghị:   Giáo viên có chương trình hướng dẫn, định hướng cho học sinh chọn   mua sách tham khảo tất cả các mơn học. Đối với việc bồi dưỡng HSG tốn 9   20 nên chia từng mảng kiến thức cho từng giáo viên ơn tập để chất lượng giảng   dạy được nâng lên Nhà trường tiếp tục tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp 9 để  các em   có thể ơn tập, mở rộng kiến thức Phòng GD & ĐT Krơng Ana tổ  chức nhiều buổi chun đề  về  từng   mảng kiến thức khó để  giáo viên có thể  chia sẻ, học tập lẫn nhau và khơng   ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ.  Phổ  biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành các  chun đề để giáo viên chúng tơi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng   giảng dạy.  Bn Trấp, ngày 02 tháng 03 năm 2019 Người viết ­ Nguyễn Thị Cẩm Linh  21 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN  NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN  ………………………………………………………………………………  22 ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN  TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa, sách bài tập tốn 9 2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn trung học cơ  sở 3) Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp  10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 4) Bồi   dưỡng  học   sinh  giỏi  toán     (   Nhóm  tác   giả:  Nguyễn   Đức  Tân,  Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ  Quang Thanh…). Nhã xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 5) Sách 50 bộ  đề  tốn thi vào lớp 10 chun chọn ( Tác giả: Minh Tân ).  Nhà xuất bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 6) Sách Bài tập thực hành tốn 9, tập hai ( Tác giả: Qch Tú Chương,   Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hồng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 7) Các tài liệu tham khảo về hệ thức Vi­ét trên Internet,     23 ... I. Kết luận:  Một số ứng dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9  là tài liệu  và kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng trong chương trình đại số 9     19 Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả... Thơng qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi­ét sẽ giúp học sinh  vận dụng thành thạo nhưng  ̃ ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong giải phương   trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham ...  duy phát triển các năng lực tốn học, đồng thời kích thích hứng thú   học tập của học sinh. Đó là lý do tơi chọn nghiên cứu đề  tài:  Một số   ứng dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9   II. Mục đích nghiên cứu: