Một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học

Bài viết này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học.

Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 119 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT TRONG CƠ HỌC SV Trần Đức Nghĩa Lớp D12X6, Trường ĐHXD Miền Trung Tóm tắt: Bài viết nhằm tìm hiểu số ứng dụng tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt học Từ khóa: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, khối lượng, mơ-men Mở đầu Tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt nội dung quan trọng chương trình mơn Giải tích Qua q trình học chun đề học phần Giải tích 2, tơi nhận thấy việc nắm vững kiến thức loại tích phân giúp áp dụng giải nhiều toán lĩnh vực khác vật lý, học,… Từ tơi tìm hiểu số ứng dụng tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt học Tác giả xin chân thành cám ơn thầy Đồn Văn Hiệp có gợi ý góp ý chỉnh sửa để giúp tơi hồn thành viết Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính vật thể vật rắn dạng khối 1.1 Khối lƣợng Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V khơng đồng chất, biết khối lượng riêng M(x,y,z) là:    (M )   ( x, y, z) Ta chia V cách tùy ý thành n khối nhỏ không dẫm lên tích V1,…, Vn Trong khối thứ i lấy tùy ý điểm Mi (xi, yi, zi) Ta có khối lượng xấp xỉ vật thể là: m   ρ  Pi  ΔVi =  ρ  xi , yi ,zi ΔVi n n i=1 i=1 Qua giới hạn ta được:  ΔVi Mi m    ( x, y, z )dxdydz V 1.2 Momen quán tính tọa độ trọng tâm 1.2.1 Momen quán tính Theo định nghĩa học momen qn tính chất điểm khối lượng m, nằm cách đường thẳng L khoảng r đường L là: Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 120 I L = mr Ta xét mở rộng cho vật thể chiếm miền thể tích V có khối lượng riêng (x,y,z) đường thẳng L không gian cách P(x,y,z) đoạn r(x.y.z) Bằng cách chia nhỏ khối V qua giới hạn ta momen quán tính V L : I L =  r ρ  x, y,z  dxdydz V Nói riêng, mơ men qn tính vật thể nói trục Ox, Oy Oz là:   I x =  y + z ρ  x, y,z  dxdydz V  =   x  + y ρ  x, y,z  dxdydz I y =  x + z ρ  x, y,z  dxdydz V Iz 2 V 1.2.2 Tọa độ trọng tâm Vật thể V với khối lượng riêng (x,y,z) có tọa độ trọng tâm G xác định công thức:   xG =  xρ  x, y,z  dxdydz m V    yG =  yρ  x, y,z  dxdydz m V    zG =  zρ  x, y,z  dxdydz m V  Nếu vật thể đồng chất  = const => m = .V Do đó:   xG = V     yG = V    zG = V    xdxdydz V  ydxdydz V  zdxdydz V 1.3 Ví dụ minh họa Ví dụ Tính mơ men qn tính khối trụ trục z V V R y x Giải: Ta chọn trục khối trụ Oz, chọn mặt phẳng đáy làm mặt phẳng Oxy Bán kính hình trụ R, chiều cao h, tỉ khối là:  = const Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013  121  I z = ρ  x + y dxdydz Ta có: V 2 R h R4 1 Dùng tọa độ trụ ta được: I z    d  r dr  dz  .2. h   R h  (  R h ) R  MR 2 0 Với M = R2h khối lượng khối trụ Ví dụ Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn mặt nón z2 - x2- y2 = 0; (z >0) mặt cầu x2+ y2+ z2=1 z y x Giải: Giao tuyến mặt nón mặt cầu xác định : x2+ y2= z2 x2+ y2 = 1- z2  - z2 = z2  2z =  z = 2 Do bán kính vectơ điểm giao tuyến làm với trục oz góc 4 G(x,y,z) trọng tâm Vật thể nhận Oz làm trục đối xứng nên G phải nằm Oz Suy G(0,0,z) Mặt khác, V đồng chất nên  = const Chuyển sang tọa độ cầu ta có: V =  r sinθdrdθdφ V' Miền V’ giới hạn :   r 1  π  0 θ   0  φ  2π π π  1 2- V =  r dr  sinθdθ  dφ = 2π  r dr  sinθdθ = 2π  +1   r dr  π Do đó: 0 0  0 π Mặt khác ta có:  zdxdydz =  rcosθr sinθdrdθd = V V/ 1 2π Do đó: zG =  V 3 2 zdxdydz = =  1+  V 8  2-   Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 Vậy: 122  3  G  0;0;  1+   8    Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính vật thể vật rắn dạng cung 2.1 Khối lƣợng cung vật chất Xét cung vật chất AB có chiều dài L, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm M(x,y,z) dây cung (M) -  (x,y,z) Ta chia nhỏ cung AB thành n cung nhỏ điểm chia: {A = A0, A1, , An-1 , An = B} Khối lượng cung thứ i Ai Ai 1 : mi   (M i ).li Trong Mi điểm tùy ý cung Ai Ai 1 , li độ dài cung Ai Ai 1 n 1  m AB    ( M i )li i 0 Qua giới hạn ta được: m  mAB    ( x, y, z)dl AB Nếu AB đồng chất  = const Do : m    dl   l AB AB 2.2 Momen quán tính, trọng tâm cung khơng gian 2.2.1 Momen qn tính Xét cung vật chất AB khơng gian, có khối lượng riêng  (x,y,z) Một đường thẳng L không gian cách AB khoảng r(x,y,z) Để tính momen quán tính AB L ta chia nhỏ AB thành n cung nhỏ không dẫm lên Trên cung nhỏ thứ i ta lấy điểm Mi(xi, yi, zi) bất kỳ, khoảng cách từ Mi đến L r(xi ,yi ,zi) Xét momen quán tính cung nhỏ thứ i L : Ii  r  (M i ).li Suy ra: I n I i 1 Qua giới hạn ta được: IL  r i ( x, y, z ). ( x, y, z )dl AB Áp dụng cho L Ox, Oy, Oz ta có : Thơng báo Khoa học Cơng nghệ* Số 2-2013 123 I x   ( y  z )  ( x, y, z)dl , I y   ( x  z )  ( x, y, z)dl , I z   ( x  y )  ( x, y, z )dl AB AB AB 2.2.2 Tọa độ trọng tâm Tọa độ trọng tâm G AB xác định bởi: x m yz m m y  xz m m xy z m Với : m  mAB    ( x, y, z)dl AB myz   x. ( x, y, z )dl AB mxz   y. ( x, y, z )dl AB mxy   z. ( x, y, z )dl AB Nếu AB đồng chất ρ= const thì: x y z l AB l AB l AB  xdl AB  ydl AB  zdl AB 2.3 Ví dụ minh họa Cho nửa vòng tròn thép đặt mặt phẳng Oyz với phương trình y2 + z2 = 1, z  Biết khối lượng riêng  (x,y,z) = – z Hãy tìm khối lượng tâm nửa vịng trịn Ta gọi trọng tâm nửa vòng tròn G(x,y,z) Do nửa vòng tròn nằm mặt Oxy nên x = Nửa vịng trịn có trục đối xứng Oz nên G phải nằm Oz nên y = Suy G(0,0,z) Nửa vịng trịn có phương trình tham số : Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 x    y  cos t  z  sin t  x dl  '2 124 ( 0t  )     y '  z '2 dt  02  sin t  cos t dt  dt Khối lượng: m   ( x, y, z )dl     sin t dt  2   AB   z. ( x, y, z)dl   sin t   sin t dt  mxy  AB z Vậy: mxy G(0,0, m    4  8 ) 4  Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính vật thể vật rắn dạng mặt 3.1 Khối lƣợng mặt S Xét mặt cong S có diện tích S, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm M(x,y,z) nằm S  =  (M) =  (x,y,z) Tương tự cách xác định khối lượng cung, cách chia nhỏ mặt S thành n mặt nhỏ không dẫm lên qua giới hạn ta công thức tính khối lượng mặt S : m   (x, y, z)dS S Trong dS yếu tố diện tích Nếu mặt S mặt đồng chất  = const m = .S 3.2 Momen quán tính trọng tâm 3.2.1 Momen quán tính Tương tự, momen quán tính mặt S đường thẳng L không gian: I L   r ( x, y, z )  ( x, y, z )dS S Trong đó: r(x,y,z) khoảng cách từ M(x,y,z) S đến L 3.2.2 Trọng tâm Trọng tâm G(x,y,z) mặt S xác định công thức: m yz  x  m  m  xz y  m  m xy  z  m  Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 125 Trong đó:   m yz   x  ( x, y , z )dS S    mxz   y  ( x, y, z )dS S  m   xy  z  ( x, y , z )dS S  3.3 Ví dụ minh họa Xác định trọng tâm mặt S đồng chất cho phương trình: z  2 x2  y , z0 Biết S nhận trục Oz làm trục đối xứng Giải: Mặt S nhận Oz làm trục đối xứng nên trọng tâm G (0,0,z)  = const nên: z zdS S  S z  2 Nên: x2  y2 1  x z'x  x, z'y  y  dS    y2 dxdy Mặt S cắt mặt z = theo giao tuyến x2 + y2 = Vậy hình chiếu S xuống mặt Oxy miền D: x2 + y2=   dS   1  x S Cũng ta tính được:  zdS   S Do đó:  dS   d  S z   y dxdy D 2 Chuyển sang tọa độ cực:   1  r rdr  2  r  2    2 5 1 50  22 15 50  22 307  15  15 310 2 5    TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài giảng học phần Giải tích thầy Đoàn Văn Hiệp 2013 Trường ĐHXD Miền Trung [2] Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng 2005 Tốn cao cấp (Giải tích nhiều biến), NXB ĐHQG TP HCM [3] Jean - Marie Monier 2006 Giải tích 4, NXB GD  ... cung, cách chia nhỏ mặt S thành n mặt nhỏ không dẫm lên qua giới hạn ta cơng thức tính khối lượng mặt S : m   (x, y, z)dS S Trong dS yếu tố diện tích Nếu mặt S mặt đồng chất  = const m = .S... dạng mặt 3.1 Khối lƣợng mặt S Xét mặt cong S có diện tích S, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm M(x,y,z) nằm S  =  (M) =  (x,y,z) Tương tự cách xác định khối lượng cung, cách chia nhỏ mặt. .. trục đối xứng Giải: Mặt S nhận Oz làm trục đối xứng nên trọng tâm G (0,0,z)  = const nên: z zdS S  S z  2 Nên: x2  y2 1  x z'x  x, z'y  y  dS    y2 dxdy Mặt S cắt mặt z = theo