TÍCH vô HƯỚNG một số ỨNG DỤNG của TÍCH vô HƯỚNG file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Tích vơ hướng có nhiều ứng dụng giải toán Sau tiếp cận ứng dụng giải tốn hình học I CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VNG GĨC Phương pháp giải r r rr Sử dụng điều kiện a ^ b Û ab =0 uuur uuu r uuur uuu r Chú ý: Ta có AB ^ CD Û AB CD = , để chứng minh AB CD = thơng uuur uuu r thường phân tích AB, CD qua hai vectơ khơng phương Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh hai đường chéo AC BD vng góc với AB + CD = BC + AD Lời giải Ta có AB + CD - BC - AD uuu r uur uuu r uur = CB - CA + CD - BC - CD - CA uuu r uur uuu r uur uur uuu r uuu r = - 2CB CA + 2CD.CA = 2CA CD - CB uur uuur = 2CA.BD ( ) ( ( ) ) Do đường chéo AC BD vng góc với uur uuur CA.BD = Û AB + CD = BC + AD Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N thuộc cạnh AB AD cho AM = DN = x a) Chứng minh CN vng góc với DM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur b) Giả sử P điểm xác định BP = yBC tìm hệ thức liên hệ x, y a để MN vng góc với MP Lời giải (hình 2.11) uuur a) Ta có DN = - r x uuur uuuu x uuur AD , AM = AB a a uuur uuu r uuur uuur x uuur Suy CN = CD + DN = - AB AD a uuuu r uuu r uuuu r DM = DA + AM = uuuu r uuur x uuur uuur AB - AD a ỉx uuur uuur ưỉ uuur Hình 2.11 x uuur ỗ AB - AD ữ - AB - AD ÷ ÷ ÷ Suy DM CN = ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ a ốa øè ø =- x uuur2 x uuur x2 uuur uuur uuur uuur AB + AD - AB AD + AB AD a a a uuur uuur Vì ABCD hình vng nên AB AD = uuuu r uuur Do DM CN = - ax + ax = Vậy CN vng góc với DM uuuu r uuur uuuu r b) Ta có MN = AN - AM = a - x uuur x uuur AB - AD ; a a uuur uuur uuu r a - x uuur uuur MP = MB + BP = AB + yAD a uuuu r uuur Suy MN ^ MP Û MN MP = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur ö æ a - x uuur x uuur öæ a - x uuur ữ ữ ỗ ỗ AB AD AB + yAD ữ ữ ỗ ữỗ ữ= ỗ a ỗ a a ố ứố ứ ( a - x) a uuur2 x uuur AB - y.AD = Û a ( a - x) = axy Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thỏa mãn uuur uuur uuur uuur BM = BC , AN = AB Gọi I giao điểm AM CN Chứng minh 3 BI ^ IC Lời giải uur uuuu r Giả sử AI = kAM Ta có uur uur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur ỉuuur uuur uuur CI = AI - AC = kAM - AC = k AB + BM - AC = k ỗỗAB + BC ữ ữ ữ- AC ỗố ứ ( ) uur uuur ổuuur uuur uuur ÷ uuur 2k uuur ổ k ữ ỗ ỗ - AC = AB + ç - 1÷AC Hay CI = k çAB + AC - AB ữ ữ ữ ỗ ỗ3 3 è ø è ø uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác CN = AN - AC = AB - AC uur uuur Vì CI , CN phương nên 2k = - k Þ k= uur uuuur uuur uuur 3æuuur uuur uuur uuur uuur ÷ AI = AM = AB + BM = ỗ AB + AC AB = ữ ỗ ữ 7AB + 7AC 7 7ỗ 3 ố ứ ( uur uur ) uuur Suy BI = AI - AB = uuur uuur uuur uuur uuur AB + AC - AB = - AB + AC 7 7 uur uuur uur uuur ỉ2 uuur uuur uuur uuur ÷ IC = AC - AI = AC - ỗ AB + AC = AB + AC ữ ỗ ữ ỗ 7 ố7 ứ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uur uur ỉ uuur uuur ửổ uuur uuur ỗ AB + AC ữ AB + AC ữ ữ ữ ữỗ ữ ç 7 è øè ø Do BI IC = ỗ ỗ ỗ = uuur2 uuur uuur uuur 1ổ ỗ 10 AB + AC 32 AB AC ữ ữ ỗ ữ ố ứ 49ỗ uuur uuur Vì tam giác ABC nên AB = AC , AB AC = AB AC cos A = AB uur uur Suy BI IC = Vậy BI ^ IC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ACM , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI vng góc với CM Lời giải (2.12) uuur r uuur r Đặt AB = x; AC = y : AB = AC = a Ta có : uuur uuuu r uuur uuur uuur 1r r CM = AM - AC = AB - AC = x - y (1) 2 Gọi J trung điểm CM, ta có : uuur r r uuur uuu uuuu AG = AJ = (AM + AC ) 3 1 uuur uuur r 1r = ( AB + AC ) = x + y 32 Hình 2.12 Mặt khác ìï uur r a2 uur uuur ïï AI x = ìï IA = (IA + AB )2 ìï IA2 = IB ìï IA = IB ï ïí ï ï uur uuur Þ íï uur Þ í Þ í ïï IA = IC ïï IA = IC ïï I A = (IA + AC )2 ïï r a2 ỵ ỵ ïỵ ïï AI y = î Từ (1) (2) ta có : (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur uuur uur r r ỉ1 r r ưỉ ÷ ç CM GI = CM AI - AG = ç x y AI - x - y ÷ ÷ ữ ỗ ữỗ ữ ỗ2 ỗ ứ ố øè ( ) r uur r uur r r 1r r = x.AI - y.AI x + x.y - x.y + y = 12 6 a2 a2 a2 a2 = + = 12 Suy GI vuông góc với CM Bài tập luyện tập: Bài 2.96: Cho điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC + BD = AD + BC Chứng minh AB ^ CD Bài 2.97 : Cho hình vng ABCD , M điểm nằm đoạn thẳng AC cho AM = AC , N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Bài 2.98: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Trên cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE = = MB NC EA Chứng minh AN ^ ME Bài 2.99: Cho tam giác ABC , độ dài cạnh 3a Lấy M, N, P nằm cạnh BC, CA, AB cho BM = a, CN = 2a, AP = x Tính x để AM vng góc với PN Bài 2.100: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK ^ AC Gọi M, N trung · điểm AK CD Chứng minh BMN = 900 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.101: Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = 2a , đáy lớn BC = 3a , đáy nhỏ AD = a I trung điểm CD Chứng minh AI ^ BD Bài 2.102: Cho tứ giác lồi ABCD , hai đường chéo AC BD cắt O Gọi H K trực tâm tam giác ABO CDO Và I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK vng góc với IJ Bài 2.103: Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC, M trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc với DB Bài 2.104: Cho tam giác ABC khơng cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB tương ứng A', B' C' Gọi P giao điểm BC với B'C' Chứng minh IP vng góc AA' µ = 600 Lấy điểm E Bài 2.105: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = A uuur uuur tia AC đặt AE = kAC Tìm k để BE vng góc với trung tuyến AF tam giác ABC Bài 2.106: Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b, AB = c G trọng tâm , I tâm đường tròn nội tiếp Tìm điều kiện a, b, c để IG vng góc với IC Bài 2.107 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M, P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh : uuur uuur uuur uuur MP ^ BC Û MA.MC = MD.MB Bài 2.108: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vng góc với trung tyến AM ABC III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải THỨC HÌNH HỌC Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức r r • Cho a, b Khi ta có rr r r r r r r £ a b dấu xảy cos a, b = hay a; b + ab ( ) hướng rr r r r r r r ab ³ a b cos a , b = - hay a; b + dấu xảy ( ) ngược hướng r r r2 u ³ Dấu xảy u = • • Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki ) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm Chứng minh MA + MB + MC ³ MAGA + MB GB + MC GC ³ GA +GB +GC Lời giải uuur uuur ( uuur uuur ) Ta có MA.MG = MA.MG cos MA; MG £ MA.MG uuur uuu r uuur uuur Tương tự MB GB ³ MB GB ; MC GC ³ MC GC uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Suy MAGA + MB GB + MC GC ³ MAGA + MB GB + MC GC Mặt khác uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MAGA + MBGB + MC GC = ( MG +GA ) GA + ( MG +GB ) GB + ( MG +GC ) GC uuur uuu r uuu r uuur = MG ( GA +GB +GC ) +GA +GB +GC = GA +GB +GC Suy MAGA + MB GB + MC GC ³ GA +GB +GC (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có MA2 + MB + MC +GA +GB +GC ³ 2MAGA + 2MB GB + 2MC GC Kết hợp (*) suy MA2 + MB + MC +GA +GB +GC ³ MAGA + MBGB + MC GC +GA +GB +GC hay MA + MB + MC ³ MAGA + MB GB + MC GC Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: 2 ma, GB = mb, GC = mc 3 Þ GA + GB + GC = ( ma2 + mb2 + mc2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) • Ta có GA = Suy với điểm M ma MA + mb.MB + mc.MC ³ ( a + b2 + c2 ) 3( MA + MB + MC ) ³ a2 + b2 + c2 3( MA + MB + MC ) ³ 2( ma MA + mb.MB + mc MC ) Đặc biệt • Với M º O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có OA + OB + OC ³ OAGA + OB GB + OC GC ³ GA + GB + GC Mặt khác ta có OA = OB = OC = R , ta có R ( GA + GB + GC ) £ 3R hay ma + mb + mc £ 1 + + ³ ma mb mc R R suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải R ( GA + GB + GC ) ³ GA + GB + GC hay ma2 + mb2 + mc2 3R £ ma + mb + mc 3R ³ GA + GB + GC hay ma2 + mb2 + mc2 £ 27 R , 9R ³ a2 + b2 + c2 • Với M º I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có IAGA + IB GB + IC GC ³ GA + GB + GC r r r IA = , IB = , IC = Mặt khác A B C ta có sin sin sin 2 ma mb mc a2 + b2 + c2 + + ³ A B C 2r sin sin sin 2 • Với M º H ta 3( HA + HB + HC ) ³ a2 + b2 + c2 Xét tam giác ABC nhọn ta có HC = CA ' CA ' AC cosC = = = 2R cosC sinCHA ' sin B sin B Tương tự ta có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC ỉp ÷ Do cos2 A + cos2 B + cos 2C ỗ ữ ỗ ữ ố3R ứ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh A B C a +b + c cos MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 Lời giải (2.13) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có Vì A B C cos uur cos uur cos uur r uur uur uur r IA + IB + IC = a.IA + bIB + cIC = 0Þ IA IB IC A A cos cos uuur uur , tương tự ta có A 2 MA.IA cos MA = MA.IA ³ IA IA B cos uuur uur B MB IB cos MB ³ IB C cos uuur uur C MC IC cos MC ³ IC Mà A B C uuur uur cos uuur uur cos uuur uur MA.IA + MB IB + MC IC IA IB IC Hình 2.13 cos æ A ö B C cos uur cos uur cos uur ữ uuu rỗ ỗ A B C ữ IA + IB + IC ÷ ÷ = MI ỗ + cos IA + cos IB + cos IC ỗ ữ ỗ ữ IA IB IC 2 ỗ ữ ỗ ữ ố ứ A B C a +b + c = cos IA + cos IB + cos IC = AE + BF +CD = 2 2 Do cos A B C a +b + c MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 Tổng quát Cho đa giác lồi A1A2 An ( n ³ ) ngoại tiếp đường tròn tâm J Chứng minh n với điểm M å i=1 cos Ai ( MAi - J Ai ) ³ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với G trọng tâm Qua điểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC điểm A', B', C' 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lại có APHQ hình bình hành nên HP = AQ, HQ = AP HP HQ AQ AP Mà điều hiển nhiên ta có = Û = AB AC AB AC VPAC ~VQAB (g.g) Suy Vậy ta có đpcm Bài 2.109: Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC , ta có: uur uur uur ( xIA + yIB + zIC ) ³ ( uur uur uur uur uur uur ) Û ( x2 + y2 + z2 ) R + xyIA.IB + yzIB.IC + xzIC IA ³ Û ( x2 + y2 + z2 ) R + 2( xy cos2C + yz cos2A + zx cos2B ) R ³ Û xy cos 2C + yz cos 2A + zx cos 2B ³ - ( x + y2 + z2 ) Nhận xét: • Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: cos 2C + cos 2A + cos 2B ³ - • Khi chọn: x = z = 1, y = - , ta có: cos 2C - cos 2A + cos 2B £ Bài 2.110: Gọi H trực tâm tam giác Với điểm M thuộc đường tròn (O) ta có: T = MA + MB + MC uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur = (MO + OA)2 + (MO + OB )2 + (MO + OC )2 uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur = 6R + 2MO(OA + OB + OC ) = 6R + 2MO.OH uuur uuur = 6R + 2R.OH cosa(a = (MO,OH )) Từ suy 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur T nhỏ Û cosa = - Û MO ngược hướng với OH uuur uuur • T lớn Û cosa = Û MO hướng OH uuu r uuur uur uuu r uuur uuur ( BA + BC ).( CA + CB ) Bài 2.111: Ta có cosa = BD.CK = BD.CK 4.BD.CK • uuu r uur uuur uur uuu r uuur BACA + BC (CA - BA) - BC = 4.BD.CK = BC (doBA ^ CA) 2.BD.CK Mặt khác 2.BDCK £ BD + CK 1 Mà BD + CK = (2.AB + 2.BC - AC 2) + (2AC + 2BC - AB 2) 4 = Do cosa ³ 5BC ( BC = AB + AC ) BC = 5BC Đẳng thức xảy BD = CK tam giác ABC vuông cân đỉnh A Vậy cos a = Bài 2.112: Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có : T = MB GB MC GC MAGA MB GB MC GC = 3.(MAGA + + ) + + a.ma bm b cm c aGA bGB cGC Theo BĐT Cauchy ta có 1 ama = a 2b2 + 2c2 - a2 = (3a2)(2b2 + 2c2 - a2) 2 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải £ 3a2 + (2b2 + 2c2 - a2) = (a2 + b2 + c2) 2 3 Do ama £ (a2 + b2 + c2) Đẳng thức xảy 3a2 = 2b2 + 2c2 - a2 Û b2 + c2 = 2a2 Chứng minh tương tự: bmb £ cmc £ 3 Vậy T ³ (a2 + b2 + c2) Đẳng thức xảy a2 + c2 = 2b2 (a2 + b2 + c2) Đẳng thức xảy a2 + b2 = 2c2 3 (MAGA + MB GB + MC GC ) a2 + b2 + c2 Mặt khác MAGA + MB GB + MC GC ³ (a + b2 + c2) Vậy minT = D ABC M º G Bài 2.113: Ta có T = 2.cos A MA + MB AB + MC AC AB AC uuur uuur uuur uuur A MB AB MC AC ³ 2.cos MA + + AB AC Do ta có: uuur uuur u u u r A A AB AC 2.cos MA + MB + MC ³ 2cos MA + MA( + ) + AB + AC (1) 2 AB AC Lấy E, F AB, AC cho AE = AF = 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Dựng hình thoi AESF ta có AS = 2cos r A Suy u = 2cos A với 2 uuur uuur r AB AC Do : u= + AB AC uuur uuur uuur AB AC uuur r A A 2cos MA + MA( + ) = 2.MA.cos é + cos( MA , u) ù ³ 0(2) ê ú û AB AC 2ë A Từ (1) (2) suy 2.cos MA + MB + MC ³ AB + AC Vậy minT = AB + AC chì M trùng A uuu r uuu r uuur Bài 2.114: Ta có ( xGA + yGB + zGC ) ³0 Û ( x + y + z ) ( xGA + yGB + zGC ) ³ a2yz + b2zx + c2xy ( a yz +b2zx + c2xy ) Û ( x + y + z ) ( xm a2 + ym b2 + zm c2 ) ³ a) Cho x = a, y = b, z = c ta ama2 + bmb2 + cmc2 ³ b) Cho x = abc a b c ,y= ,z= ta ma mb mc ambmc + bmcma + cmamb ³ abc c) Cho x = bc, y = ca, z = ab ta ma2 mb2 mc2 a3 + b3 + c3 + + ³ a b c ab + bc + ca uuu r uuu r uuur Bài 2.115: ( xOA + yOB + zOC ) ³0 Û ( x + y + z ) ( xOA + yOB + zOC ) ³ a2yz + b2zx + c2xy Û R ( x + y + z ) ³ a2yz + b2zx + c2xy 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Cho x = y = z suy a2 + b2 + c2 £ 9R b) Cho x = a, y = b, z = c suy R ³ 2r c) Cho x = y = - z suy R + a2 + b2 ³ c2 d) Cho x = bc, y = ca, z = ab suy 4S £ ( ab + bc + ca ) abc a +b3 + c3 e) Cho x = b + c, y = c + a, z = a + b suy 2 ( a - b) + ( b - c ) + ( c - a ) £ 8R ( R - 2r ) uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Bài 2.116: Ta có c.MA ' = AB MA ' ³ AB MA ' = AB MO + AB OA ' Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta uuur uuur uuur uur cMA '+ aMB '+ bMC ' ³ MO AB + BC + CA + cOA '+ aOB '+ bOC ' ( ) Suy cMA '+ aMB '+ bMC ' ³ cOA '+ aOB '+ bOC ' Nhận xét: Hoàn tồn tương tự ta chứng minh tốn tổng quát: Cho O điểm nằm đa giác lồi A1A2 An ( n ³ ) Qua O kẻ đường thẳng song song với Ai Ai +1, i =1, n (xem Ai+1=A1) tương ứng cắt cạnh Ai +1Ai +2 Bi Chứng minh : n å Ai Ai +1 ( MBi - OBi ) ³ i =1 Bài 2.117: Gọi I điểm nằm tam giác ABC cho · · · AIC = 900, BIA = 1500, CIB = 1200 uur uur uur r IA IB IC Khi ta có +2 + =0 IA IB IC Vì uur uur uur uuur IA uuur IB uuur IC MA + 2MB + 3MC ³ MA + 2.MB + 3.MC = IA + 2IB + 3IC IA IB IC 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Dấu có M º I ur ur ur r Bài 2.118: Theo định lí nhím ta có A1A2e1 + A2A3e2 + + AnA1en = ur i = 1, n vectơ đơn vị hướng đa giác tương ứng với e, i uuuuur vng góc với Ai Ai +1 (xem Ai +1 º A1 ) Ta có A1A2.MB1 = Mặt khác A1A2 A A uuuur uuur MB1.OB1 ³ MB1.OB1 OB1 OB1 uuur A1A2 uuuur uuur A1A2 uuur uuur uuur MB1.OB1 = ( MO +OB1 ) OB1 = A1A2MO + A1A2.OB1 OB1 OB1 uuur Þ A1A2.MB1 ³ A1A2MO + A1A2.OB1 Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta n å i =1 n n uuur n ur Ai Ai +1.MBi ³ MO.å Ai Ai +1.ei + å Ai Ai +1.OBi = å Ai Ai +1.OBi i =1 n Suy å i =1 i =1 Ai Ai +1 ( MBi - OBi ) ³ i =1 ur ur ur r Bài 2.119: Đa giác A1A2 An có tâm O e1 + e2 + + en = ur uuur với ei , i = 1,2, vectơ đơn vị hướng với OAi , i = 1,2 MA1 = 1 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur ur MA1.OA1 ³ MA1.OA1 = ( MO +OA1 ) OA1 = MO.e1 +OA1 OA1 OA1 OA1 Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta uuur ur ur ur MA1 + MA2 + + MAn ³ MO ( e1 + e2 + + en ) +OA1 +OA2 + +OAn Suy MA1 + MA2 + + MAn ³ OA1 +OA2 + +OAn uuur uuur uuur r Bài 2.120: Ta có SMBC MA + SMCA MB + SMAB MC =0 (Xem 1.21) 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ur ur ur r ur ur ur Suy sin a.e1 + sin b.e2 + sin ge3 = (*) với e1,e2,e3 vectơ đơn vị uuu r uuu r uuur hướng với OA,OB,OC Ta có uuur ur sin a uuur uuur sin a uuur uuur uuur MAOA = MO + OA OA = sin a.MO.e1 + sin a.OA OA OA Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế kết hợp (*) ta MA sin a ³ ( ) MA sin a + MB sin b + MC sin g ³ OA sin a + OB sin b + OC sin g Nhận xét: Cho M º G, N º I ta có · · + GC sin AIB · · · + IC sinAIB · GA sin BIC + GB sinCIA ³ IA sin BIC + IB sinCIA • ỉ B Cư ổp A A ã ữ p+ ữ ữ= sinỗ ữ= cos Mt khỏc sin BIC = sinỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 2ứ ố ố2 ø B C · · Tương tự sinCIA = cos , sin AIB = cos 2 A B C a +b+c Và cos IA + cos IB + cos IC = AE + BF + CD = ; 2 2 2 GA = ma, GB = mb, GC = mc Ta toán 3 Cho tam giác ABC Chứng minh : ma cos • A B C + mb cos + mc cos ³ ( a + b + c ) 2 Cho M º O, N º I ta OA cos A B C a +b+c , kết hợp định lý sin ta có + OB cos + OC cos ³ 2 2 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải cos A B C + cos + cos ³ sin A + sin B + sinC 2 Cho M º H , N º I kết hợp với tanA.HA = a, tanB.HB = b, tanC.HC = c tam giác ABC nhọn • Ta A B C a cos a cos 2+ 2+ ³ a +b +c tan A tan B tanC a cos Bài 2.121: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam uur uur uur r giác ta có aIA + bIB + cIC = uuu r uuur uuur uuur Suy ( a + b + c ) MI = aMA + bMB + cMC Û b + c) ( au+ uur uuur Û + c.MC ( a + b + c ) MI = a.MA + bMB MI = a2MA + b2MB + c2MC + uuur uuur uuur uuur +2abMA.MB + 2bcMB MC + 2caMC MA abc a) P ³ abc dấu xảy M º I uuur uur · Ta có MI = MO + OI + 2MOOI = R + OI - 2R.OI cosMOI · b) P đạt giá trị lớn MI2 đạt lớn Û cosMOI = - 1Û · MOI = 1800 Hay M giao điểm tia IO với đường tròn (O) · P đạt giá trị nhỏ MI2 đạt nhỏ Û cosMOI = 1Û · MOI = 00 Hay M giao điểm tia OI với đường tròn (O) 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) P đạt giá trị nhỏ MI đạt nhỏ hay M hình chiếu I lên d uuur uuuur Bài 2.122: aiOAi MAi ³ OAi MAi , " i = 1, n Þ n n å a OA MA ³ å i i i i =1 n n å a OA MA ³ å Û i i i i =1 i =1 uuur uuuur aiOAi MAi i =1 n uuur uuur uuur uuur n uuur n OAi MO + OAi = MO.å OAi +å aiOAi = å aiOAi2 ( ) i =1 i =1 i =1 (1) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : MAi2 + aiOAi2 ³ 2ai MAi OAi , " i = 1, n, > n Þ å i =1 n MA + å aiOAi MAi ³ i i =1 n Þ å n å i =1 n n MA + å aiOA ³ 2å aiOAi MAi i i i =1 i =1 n MAi2 ³ i =1 å aiOAi MAi (2) i =1 Từ (1)(2) suy điều phải chứng minh Bài 2.123: a) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC uuur AB AC AB AC - MA ( + ) £ | - MA || + |= MA ( + ) = 2.MA AB AC AB AC AB AC uuur uuur uuur uuur uuur AB AC uuur AB uuur AC Þ 2MA + MB + MC ³ - MA ( + ) + MB + MC = AB + AC AB AC AB AC Suy M º A uur uur uur r b) Gọi I trung điểm đường cao AH Ta có a2IA + b2IB + c2IC = (Theo 1.24) Kết hợp 14 ta thu bất đẳng thức a2.IA ( MA - IA ) + b2.IB ( MB - IB ) + c2.IC ( MC - IC ) ³ với điểm M Áp dụng định lí sin suy 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ( MA - IA ) IA sin2 A + ( MB - IB ) IB sin2 B + ( MC - IC ) IC sin2 C ³ với điểm M 2x , IB = Giả sử tam giác ABC cân cạnh x IA = 10x Suy 2MA + 10( MB + MC ) ³ 6x2 Vậy I điểm cần tìm Bài 2.124: Gọi A', B', C', trung điểm BC, CA, AB O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm tam uuur uuur uuuu r giác ABC ta có: OA ' + OB ' + OC ' ³ ( ) Û OA '2+ OB '2+ OC '2 ³ 2OB '.OC '.cosA + 2OC '.OA '.cosB + 2OA '.OB 'cosC · Mặt khác OA ' = OB cos BOA ' = OB cos A = R cos A Tương tự ta có: OB ' = R cos B , OC ' = R cosC Suy cos2 A + cos2 B + cos2C ³ 6cos A.cos B cosC Dấu " = " xảy tam giác ABC 2 2 2 Bài 2.125: a) Ta có 3( MA + MB + MC ) ³ a + b + c cho M trùng với tâm ngoại tiếp tam giác ta 9R ³ a2 + b2 + c2 Áp dụng định lí sin ta có 9R ³ 4R sin2 A + 4R sin2 B + 4R sin2 C Hay sin2A + sin2B + sin2C £ b) Áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ³ ( a + b + c ) câu a c) Áp dụng bất đẳng thức a + b + c ³ 33 abc câu a 34 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải d) Ta có A, B, C góc tam giác 900 - A A A ba góc tam giác theo câu a ;900 ; 900 2 ta suy cos2 A B C + cos2 + cos2 £ 2 Bài 2.126: Ta có uuur uuuur uur uur uuur uuur uur uuur uur uuuur SM A ' B ' = ( SA + SB ) ( SB ' - SA ' ) = ( SA.SA ' - SB S ' B ' ) = 2 Bài 2.127: Vì AA' tiếp xúc với (O'), BB' tiếp xúc với (O) nên ìïï AN AB ' = AA '2 Mặt khác AA ' = BB ' nên í ïïỵ B ' M B ' A = B ' B AN AB ' = B ' M B ' A Þ AN = B ' M Þ AM = B ' N Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân A; AM, AD trung tuyến, phân giác tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC E, F Chứng minh BE = CF ì BE BA = BM BD BE BA BM BD Þ = HD: Ta có ïí ïïỵ CF CA = CM CD CF CA CM CD Mặt khác BA BD BM BE = ; = 1Þ = Þ BE = CF CA CD CM CF Bài 2.129: (hình 2.25) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: PA / ( I ) = AC AB = AM AN = PA / ( O ) (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC = Hình 2.25 PA / ( O ) AB 35 Hình 2.26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Bài 2.130: (hình 2.26) Kẻ CH ^ OP Ta có tứ giác CEPH nội tiếp nên OP OH = OE OC Vì tam giác OBC vng B BE đường cao nên OE OC = OB = R Suy OP OH = R Þ OH = R2 OP Vì O, P cố định nên H cố định Vậy tập hợp điểm C đường thẳng vng góc với OP H Bài 2.131: (hình 2.27)Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Ta có MH MI = MC MD MC MD = MA.MB suy MH MI = MA.MB Þ Û Hình 2.27 ( MB + BH ) ( MB + BI ) = MB ( MB + BA ) ( MB + BH ) ( MB - BH ) = MB + MB.BA 2 2 Û MB - BH = MB + MB BA Û BM = BH BA Vì A, B, H cố định suy M cố định đpcm Bài 2.132: (hình 2.28)Ta có AM = AN = AE 36 Hình 2.28 6666 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur Trong tam giác AEB , EH ^ AB Þ AE = AH AB = AH AB uuur uuur Suy AM = AN = AH AB Vậy AM AN hai tiếp tuyến (C) Bài 2.133: (hình 67)B trung điểm AC Ta có PA /( C ) = AE AF = AB = AB 2.AB = AD.AC Do tứ giác DCFE nội tiếp Suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCFE mà M nằm AC nên MD = MC = DC Từ ta tính AM = AM = AB MC = AB Þ 4 MC Hình 67 Bài 2.134: (hình 2.29) Gọi E giao điểm thứ hai PQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB CD cắt PQ F.Ta có OQ - R = QAQB = QP QE Mà P, Q cố định nên PQ khơng đổi Þ QE khơng đổi E cố định · · · Mặt khác PDC nên tứ giác DAEF nội = PBA = PEA tiếp suy PO - R = PD.PA = PE PF Hình 2.29 Mà P, E cố định nên PE khơng đổi Þ PF khơng đổi F cố định Vậy CD ln qua điểm cố định F Bài 2.135.(hình 2.30) Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn Gọi H hình chiếu M O1O2 , I trung điểm O1O2 Ta có: 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải PM / ( O1 ) = PM / ( O2 ) Û MO12 - R12 = MO22 - R22 Û MO12 - MO22 = R12 - R22 Û ( MH + HO12 ) - ( MH + HO22 ) Û HO12 - HO22 = R12 - R22 Û ( HO - HO2 ) ( HO = R12 - R22 ) + HO2 = R12 - R22 Û O2O1.2HI = R12 - R22 Û IH = R12 - R22 O1O2 ( 1) Hình 2.30 Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2 Nhận xét: Đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chú ý hệ sau có nhiều ứng dụng: Cho hai đường tròn (O) (I) Từ tốn ta suy tính chất sau: a) Trục đẳng phương hai đường tròn vng góc với đường thẳng nối tâm b) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng c) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn d) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn e) Nếu điểm có phương tích hai đường tròn điểm thẳng hàng f) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 38 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 39 ... Chứng minh CD qua điểm cố định Bài 2.135: Cho hai đường tròn khơng đồng tâm ( O1; R1 ) ( O2; R2 ) Tìm tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG... NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Phương pháp giải a) Bài tốn: Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A, B Chứng minh... tyến AM ABC III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải THỨC HÌNH HỌC Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức