TÍCH vô HƯỚNG một số ỨNG DỤNG của TÍCH vô HƯỚNG file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Tích vơ hướng có nhiều ứng dụng giải toán Sau tiếp cận ứng dụng giải tốn hình học I CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VNG GĨC Phương pháp giải r r rr Sử dụng điều kiện a ^ b Û a.b = uuur uuur uuur uuur Chú ý: Ta có A B ^ CD Û A B CD = , để chứng minh A B CD = thơng uuur uuur thường phân tích A B , CD qua hai vectơ không phương Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác A BCD Chứng minh hai đường chéo AC BD vng góc với AB + CD = BC + AD Lời giải Ta có AB + CD - BC - AD uuur uur uuur uur = CB - CA + CD - BC - CD - CA uuur uur uuur uur uur uuur uuur = - 2CB CA + 2CD CA = 2CA CD - CB uur uuur = 2CA BD ( ) ( ( ) ) Do đường chéo AC BD vng góc với uur uuur CA.BD = Û A B + CD = BC + A D Ví dụ Cho hình vng A BCD cạnh a Gọi M, N thuộc cạnh AB AD cho A M = DN = x a) Chứng minh CN vng góc với DM http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur b) Giả sử P điểm xác định BP = yBC tìm hệ thức liên hệ x , y a để MN vng góc với MP Lời giải (hình 2.11) A uuur x uuur x uuur uuuur a) Ta có DN = - A D , A M = A B a a N D uuuur uuur uuuur x uuur uuur DM = DA + A M = A B - A D a uuuur uuur ỉx uuur èa uuur ưỉ uuur = - øè x uuur ÷ AD ÷ ÷ a ø uuur uuur Vì A BCD hình vng nên A B A D = uuuur uuur Do DM CN = - ax + ax = Vậy CN vuông góc với DM uuuur uuur uuuur a - x uuur x uuur AB - AD ; b) Ta có MN = A N - A M = a a uuur uuur uuur uuur a - x uuur MP = MB + BP = A B + yA D a uuuur uuur C Hình 2.11 x uuur x uuur x uuur uuur uuur uuur A B + A D - A B A D + A B A D a a a Suy MN ^ MP Û MN MP = B P uuur uuur uuur uuur x uuur Suy CN = CD + DN = - A B AD a ỗ Suy DM CN = ỗỗ A B - A D ữ ữ ữỗỗ- A B ỗ M http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur ổa - x uuur x uuur ửổ ỗỗa - x A B + yA D ữ ỗỗ AB - AD ữ ữ ữ ữỗ a ữ= çè a a øè ø Û (a - x ) a2 uuur x uuur 2 A B - y A D = Û (a - x ) = axy a Ví dụ 3: Cho tam giác A BC Lấy điểm M, N thỏa mãn uuur uuur uuur uuur BM = BC , A N = A B Gọi I giao điểm AM CN Chứng minh 3 BI ^ IC Lời giải uur uuuur Giả sử A I = kA M Ta có uur uur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur æuuur uuur ö uuur CI = A I - A C = kA M - A C = k A B + BM - A C = k ỗỗA B + BC ữữữ- A C ỗố ứ uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r æ ổk 1 2k ỗỗ - ữ A C = A B + Hay CI = k ççA B + A C - A B ÷ ÷ ữ ữ ữA C ỗố 3 ứ ốỗ ø ( uuur uuur uuur Mặt khác CN = A N - A C = ) uuur uuur AB - AC uur uuur k Þ k = Vì CI , CN phương nên 2k = uur uuuur uuur uuur æuuur uuur uuur ö uuur uuur AI = AM = A B + BM = ỗỗA B + A C - A B ÷ ÷= AB + AC 7 ỗố 3 ứữ ( uur uur ) uuur Suy BI = A I - A B = uuur uuur uuur uuur uuur AB + AC - AB = - AB + AC 7 7 uur uuur uur uuur ỉ2 uuur uuur uuur uuur IC = A C - A I = A C - ỗỗ A B + A C ữ = AB + AC ữ ữ ỗố 7 7 ø uur uur ỉ uuur uuur ÷ ửổ uuur uuur ữ ỗỗ- A B + A C ÷ AB + AC ÷ ÷ ÷ 7 ố ứốỗ ứ Do ú BI IC = ỗỗỗ http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải = uuur uuur uuur uuur 1ổ ỗỗ10A B + 6A C - 32A B A C ÷ ÷ ÷ ø 49 ỗố uuur uuur Vỡ tam giỏc A BC u nên A B = A C , A B A C = A B A C cos A = AB 2 uur uur Suy BI IC = Vậy BI ^ IC Ví dụ 4: Cho tam giác A BC cân A Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác A CM , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC Chứng minh GI vng góc với CM Lời giải (2.12) uuur r uuur r Đặt A B = x ; A C = y : A B = A C = a Ta có : uuur uuuur uuur uuur uuur r r CM = A M - A C = A B - A C = x - y 2 A (1) M I Gọi J trung điểm CM, ta có : uuur uuur uuuur uuur A G = A J = (A M + A C ) 3 1 uuur uuur 1r 1r = ( AB + AC) = x + y G C B Hình 2.12 Mặt khác uur ìï IA = (IA + ìï IA = IB ìï IA = IB ï ïí uur Þ ïí Þ ïí ïï IA = IC ïï IA = IC ïï I A = (IA + ỵ ỵ ïỵ Từ (1) (2) ta có : ìï uur r uuur a2 ï A I x = ï AB) uuur Þ íï uur 2 ï r a AC ) ïï A I y = ïỵ (2) http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur uuur ỉ1 r r ưỉuur r r ữ ỗ CM GI = CM A I - A G = ỗỗ x - y ữ ữ ữ ữỗỗA I - x - y ứ ữ ỗố ứố r uur r uur r r 1r r = x A I - y A I x + x y - x y + y = 12 6 ( = ) a2 a2 a2 a2 + = 12 Suy GI vng góc với CM Bài tập luyện tập: Bài 2.96: Cho điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC + BD = AD + BC Chứng minh A B ^ CD Bài 2.97 : Cho hình vng A BCD , M điểm nằm đoạn thẳng AC cho AM = AC , N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Bài 2.98: Cho tam giác A BC vuông cân đỉnh A Trên cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE = = MB NC EA Chứng minh A N ^ ME Bài 2.99: Cho tam giác A BC , độ dài cạnh 3a Lấy M, N, P nằm cạnh BC, CA, AB cho BM = a, CN = 2a, A P = x Tính x để AM vng góc với PN Bài 2.100: Cho hình chữ nhật A BCD Kẻ BK ^ A C Gọi M, N trung · điểm AK CD Chứng minh BMN = 900 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.101: Cho hình thang vng A BCD có đường cao A B = 2a , đáy lớn BC = 3a , đáy nhỏ A D = a I trung điểm CD Chứng minh A I ^ BD Bài 2.102: Cho tứ giác lồi A BCD , hai đường chéo AC BD cắt O Gọi H K trực tâm tam giác ABO CDO Và I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK vng góc với IJ Bài 2.103: Cho tam giác A BC cân A Gọi H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC, M trung điểm HD Chứng minh A M vng góc với DB Bài 2.104: Cho tam giác A BC khơng cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác A BC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB tương ứng A', B' C' Gọi P giao điểm BC với B'C' Chứng minh IP vng góc AA' µ Bài 2.105: Cho tam giác A BC có AB = 4, AC = A = 600 Lấy điểm E uuur uuur tia AC đặt A E = kA C Tìm k để BE vng góc với trung tuyến AF tam giác A BC Bài 2.106: Cho tam giác A BC có BC = a,CA = b, A B = c G trọng tâm , I tâm đường tròn nội tiếp Tìm điều kiện a, b, c để IG vng góc với IC Bài 2.107 : Tứ giác A BCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M, P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh : uuur uuur uuur uuur MP ^ BC Û MA.MC = MD.MB Bài 2.108: Cho tam giác A BC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vng góc với trung tyến AM A BC III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải THỨC HÌNH HỌC Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức r r • Cho a, b Khi ta có r r rr r r r r + a b £ a b dấu xảy cos a, b = hay a; b ( ) hướng rr r r r r r r ( ) + a b ³ - a b dấu xảy cos a, b = - hay a; b ngược hướng r2 r r • u ³ Dấu xảy u = • Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki ) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác A BC có trọng tâm G M điểm Chứng minh MA + MB + MC ³ MAGA + MB GB + MC GC ³ GA + GB + GC Lời giải uuur uuur ( uuur uuur ) Ta có MA MG = MA MG cos MA ; MG £ MA MG uuur uuur uuur uuur Tương tự MB GB ³ MB GB ; MC GC ³ MC GC uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy MA GA + MB GB + MC GC ³ MA GA + MB GB + MC GC Mặt khác uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA GA + MB GB + MC GC = (MG + GA )GA + (MG + GB ).GB + (MG + GC ).GC uuur uuur uuur uuur = MG (GA + GB + GC ) + GA + GB + GC = GA + GB + GC Suy MAGA + MB GB + MC GC ³ GA + GB + GC (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có MA + MB + MC + GA + GB + GC ³ 2MAGA + 2MB GB + 2MC GC Kết hợp (*) suy MA + MB + MC + GA + GB + GC ³ MAGA + MB GB + MC GC + GA + GB + GC hay MA + MB + MC ³ MAGA + MB GB + MC GC Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: 2 m a , GB = m b , GC = m c 3 Þ GA + GB + GC = (m a2 + m b2 + m c2 ) = (a + b2 + c ) • Ta có GA = Suy với điểm M m a MA + m b MB + m c MC ³ (a + b2 + c ) (MA + MB + MC ) ³ a + b2 + c (MA + MB + MC ) ³ (m a MA + m b MB + m c MC ) Đặc biệt • Với M º O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có OA + OB + OC ³ OA GA + OB GB + OC GC ³ GA + GB + GC 2 Mặt khác ta có OA = OB = OC = R , ta có R (GA + GB + GC ) £ 3R hay m a + m b + m c £ 1 + + ³ ma mb mc R R suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải R (GA + GB + GC ) ³ GA + GB + GC hay m a2 + m b2 + m c2 3R £ ma + mb + mc 3R ³ GA + GB + GC hay m a2 + m b2 + m c2 £ 27 R , 9R ³ a + b2 + c • Với M º I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có IA.GA + IB GB + IC GC ³ GA + GB + GC r r r Mặt khác IA = ta có , IB = , IC = A B C sin sin sin 2 ma mb mc a + b2 + c + + ³ A B C 2r sin sin sin 2 • Với M º H ta (HA + HB + HC ) ³ a + b2 + c Xét tam giác A BC nhọn ta có HC = CA ' CA ' A C cosC = = = 2R cosC sin CHA ' sin B sin B Tương tự ta có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC ỉp ÷ ö Do cos A + cos B + cos C ỗỗ ữ ữ ố 3R ứ 2 Ví dụ 2: Cho tam giác A BC điểm M Chứng minh A B C a + b+ c cos MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 Lời giải (2.13) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A B C cos uur cos uur cos uur r uur uur uur r IA + IB + IC = Ta có a IA + b.IB + c.IC = Þ IA IB IC A A cos cos uuur uur A 2 MA IA , tương tự ta có MA IA ³ Vì cos MA = IA IA A' B uuur uur B MB IB cos MB ³ IB C cos uuur uur C MC IC cos MC ³ IC A cos A B C cos uuur uur cos uuur uur cos uuur uur 2 MC IC MA IA + MB IB + Mà IA IB IC O G B' B C' Hỡnh 2.13 ổ A B C uuur ỗỗ cos uur cos uur cos uur ÷ ÷ A B C IA + IB + IC ÷ ữ = MI ỗỗ + cos IA + cos IB + cos IC ữ ỗỗ IA ữ IB IC 2 ữ ỗố ữ ứ A B C a + b+ c = cos IA + cos IB + cos IC = A E + BF + CD = 2 2 Do cos A B C a + b+ c MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 Tổng quát Cho đa giác lồi A1A2 An ( n ³ ) ngoại tiếp đường tròn tâm J Chứng minh n với điểm M å i= 10 cos Ai (MAi - JA i ) ³ C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur uuur Bài 2.107 C1: Þ 2MP BC = MA + MD ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MC + MB )( ) uuur uuur = MA.MC - MD.MB + MD.MC - MA MB uuur uuur uuur uuur = MA.MC - MD MB uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy MP ^ BC Û MP BC = Û MA.MC = MB MD C2: Gọi H giao điểm MP BC · · Ta có MP ^ BC Û MCH + CMH = 90° · · · · Û MCH + PMA = 90° Û MCH = MDA uuur uuur uuur uuur Û tứ giác A BCD nội tiếp Û MA.MC = MD.MB uuur uuur uuur uuuur uuur uuur Bài 2.108: Ta có PQ = HQ - HP , 2A M = A B + A C uuur uuuur uuur uuur Do 2PQ A M = HQ - HP ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur A B + A C = HQ A B - HP A C )( ) Mặt khác, ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur HQ , A B = - HP , A C Þ cos HQ , A B = - cos HP , A C ( ) ( ) ( ) ( ) uuur uuuur HP HQ Suy A M ^ PQ Û PQ A M = Û HQ A B = HP A C Û = AB AC Lại có A PHQ hình bình hành nên HP = A Q, HQ = A P HP HQ AQ AP = Û = Mà điều hiển nhiên ta có AB AC AB AC VPA C ~VQA B (g.g) Suy Vậy ta có đpcm 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.109: Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp D A B C , ta có: uur uur uur x IA + yIB + zIC ³ uur uur uur uur uur uur Û (x + y + z )R + xyIA.IB + yz IB IC + xzIC IA ³ ( ) ( ) Û (x + y + z )R + (xy cos 2C + yz cos 2A + zx cos 2B )R ³ (x + y + z ) Û xy cos 2C + yz cos 2A + zx cos 2B ³ Nhận xét: • Khi chọn: x = y = z = , ta có: cos 2C + cos 2A + cos 2B ³ - • Khi chọn: x = z = 1, y = - , ta có: cos 2C - cos 2A + cos 2B £ Bài 2.110: Gọi H trực tâm tam giác Với điểm M thuộc đường tròn (O) ta có: T = MA + MB + MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = (MO + OA )2 + (MO + OB )2 + (MO + OC )2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur = 6R + 2MO (OA + OB + OC ) = 6R + 2MO.OH uuur uuur = 6R + 2R OH cos a ( a = (MO , OH )) Từ suy uuur uuur T nhỏ Û cos a = - Û MO ngược hướng với OH uuur uuur • T lớn Û cos a = Û MO hướng OH uuur uuur uur uuur uuur uuur ( BA + BC ).(CA + CB ) BD CK = Bài 2.111: Ta có cos a = BD CK 4.BD CK • uuur uur uuur uur uuur uuur BA CA + BC (CA - BA ) - BC = 4.BD CK = BC (doBA ^ CA ) 2.BD CK Mặt khác 2.BD.CK £ BD + CK 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Mà BD + CK = 1 (2.A B + 2.BC - A C ) + (2A C + 2BC - A B ) 4 5BC ( BC = AB + AC ) = BC = 5BC Do cos a ³ Đẳng thức xảy BD = CK tam giác A BC vuông cân đỉnh A Vậy cos a = Bài 2.112: Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có : T = MA GA MB GB MC GC MA GA MB GB MC GC = ( + + ) + + a m a b.m b c.m c a.GA bGB c.GC Theo BĐT Cauchy ta có am a = 1 a 2b2 + 2c - a = (3a )(2b2 + 2c - a ) 2 £ 3a + (2b2 + 2c - a ) = (a + b2 + c ) 2 3 Do am a £ (a + b2 + c ) Đẳng thức xảy 3a = 2b2 + 2c - a Û b2 + c = 2a Chứng minh tương tự: bm b £ 26 (a + b2 + c ) Đẳng thức xảy a + c = 2b2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải cm c £ (a + b2 + c ) Đẳng thức xảy a + b2 = 2c 2 Vậy T ³ 3 (MA GA + MB GB + MC GC ) a + b2 + c 2 Mặt khác MA GA + MB GB + MC GC ³ Vậy minT = (a + b2 + c ) 3 D A B C M º G Bài 2.113: Ta có T = cos A MA + MB A B + MC A C AB AC uuur uuur uuur uuur A MB A B MC A C ³ cos MA + + AB AC Do ta có: uuur uuur uuur A B A A AC cos MA + MB + MC ³ cos MA + MA ( + ) + A B + A C (1) 2 AB AC Lấy E, F AB, AC cho A E = A F = r Dựng hình thoi A ESF ta có A S = cos A Suy u = cos A với 2 uuur uuur r AB AC u = + Do : AB AC uuur uuur uuur A B uuur r A AC Aé cos MA + MA ( + ) = 2.MA cos ê1 + cos(MA, u ) ù ³ 0(2) ú û AB AC 2ë Từ (1) (2) suy cos A MA + MB + MC ³ A B + A C Vậy minT = AB + AC chì M trùng A 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur Bài 2.114: Ta có (x GA + y GB + z GC ) ³ Û (x + y + z )(x GA + y GB + z GC ) ³ a 2yz + b2zx + c 2xy (a yz + b2zx + c 2xy ) Û (x + y + z )(x m a2 + y m b2 + z m c2 ) ³ a) Cho x = a , y = b, z = c ta am a2 + bm b2 + cm c2 ³ abc a b c ta ,y = ,z = ma mb mc am bm c + bm cm a + cm am b ³ abc b) Cho x = c) Cho x = bc , y = ca , z = ab ta m a2 m b2 m c2 a + b3 + c + + ³ a b c ab + bc + ca uuur uuur uuur Bài 2.115: (x OA + y OB + z OC ) ³ Û (x + y + z )(x OA + y OB + z OC ) ³ a 2yz + b2zx + c 2xy Û R (x + y + z ) ³ a 2yz + b2zx + c 2xy a) Cho x = y = z suy a + b2 + c £ 9R b) Cho x = a , y = b, z = c suy R ³ 2r c) Cho x = y = - z suy R + a + b2 ³ c d) Cho x = bc , y = ca , z = ab suy 4S £ (ab + bc + ca ) e) Cho x = b + c , y = c + a , z = a + b suy 2 (a - b ) + (b - c ) + (c - a ) £ 8R (R - 2r ) 28 abc a + b3 + c 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Bài 2.116: Ta có c.MA ' = A B MA ' ³ A B MA ' = A B MO + A B OA ' Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta uuur uuur uuur uur cMA '+ aMB '+ bMC ' ³ MO A B + BC + CA + cOA '+ aOB '+ bOC ' ( ) Suy cMA '+ aMB '+ bMC ' ³ cOA '+ aOB '+ bOC ' Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh toán tổng quát: Cho O điểm nằm đa giác lồi A1A2 An ( n ³ ) Qua O kẻ đường thẳng song song với Ai Ai + 1, i = 1, n (xem Ai+1=A1) tương ứng cắt cạnh n Ai + 1Ai + Bi Chứng minh : å Ai Ai + (MB i - OB i ) ³ i= Bài 2.117: Gọi I điểm nằm tam giác A BC ·IC = 900 , BIA · = 1500 , CIB · = 1200 cho A uur uur IA IB +2 + Khi ta có IA IB Vì MA + 2MB + uur r IC = IC uur uur uuur IA uuur IB 3MC ³ MA + 2.MB + IA IB uur uuur IC 3.MC = IA + 2IB + IC 3IC Dấu có M º I ur ur ur r Bài 2.118: Theo định lí nhím ta có A1A2e1 + A2A3e2 + + An A1en = ur với ei , i = 1, n vectơ đơn vị hướng đa giác tương ứng uuuuur vng góc với Ai Ai + (xem Ai + º A1 ) Ta có A1A2 MB = A1A2 A A uuuur uuur MB 1.OB ³ MB 1.OB OB OB 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Mặt khác uuur A1A2 uuuur uuur A1A2 uuur uuur uuur MB 1.OB = (MO + OB ).OB = A1A2 MO + A1A2 OB OB OB uuur Þ A1A2 MB1 ³ A1A2 MO + A1A2 OB Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta n å uuur n ur Ai Ai + 1.MB i ³ MO å Ai Ai + 1.ei + i= i= n å n Ai Ai + 1.OB i = i= å Ai Ai + 1.OB i i= n Suy å Ai Ai + (MB i - OB i ) ³ i= ur ur ur r Bài 2.119: Đa giác A1A2 An có tâm O e1 + e2 + + en = uuur ur với ei , i = 1, 2, vectơ đơn vị hướng với OAi , i = 1, 1 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur ur MA1.OA1 ³ MA1.OA1 = (MO + OA1 ).OA1 = MO e1 + OA1 OA1 OA1 OA1 Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta MA1 = uuur ur ur ur MA1 + MA2 + + MAn ³ MO (e1 + e2 + + en ) + OA1 + OA2 + + OAn Suy MA1 + MA2 + + MAn ³ OA1 + OA2 + + OAn uuur uuur uuur r Bài 2.120: Ta có S MBC MA + S MCA MB + S MAB MC =0 (Xem 1.21) ur ur ur r ur ur ur Suy sin a e1 + sin b e2 + sin ge3 = (*) với e1, e2, e3 vectơ đơn vị uuur uuur uuur hướng với OA ,OB ,OC Ta có uuur ur sin a uuur uuur sin a uuur uuur uuur MA OA = MO + OA OA = sin a MO e1 + sin a OA OA OA Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế kết hợp (*) ta MA sin a ³ 30 ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải MA sin a + MB sin b + MC sin g ³ OA sin a + OB sin b + OC sin g Nhận xét: • Cho M º G , N º I ta có · + GB sin CIA · + GC sin AIB · ³ IA sin BIC · + IB sin CIA · + IC sin AIB · GA sin BIC ỉ ỉp A B Cư A · ÷ Mt khỏc sin BIC = sin ỗỗ p = sin çç + ÷ = cos ÷ ÷ ÷ ÷ çè 2ứ 2ứ ốỗ ã = cos Tng tự sin CIA B ·IB = cos C , sin A 2 Và cos A B C a+ b+ c IA + cos IB + cos IC = A E + BF + CD = ; 2 2 GA = 2 m a , GB = m b , GC = m c Ta toán 3 Cho tam giác ABC Chứng minh : m a cos • Cho M º O, N º I ta OA cos cos • A B C + m b cos + m c cos ³ (a + b + c ) 2 A B C a+ b+ c + OB cos + OC cos ³ , kết hợp định lý sin ta có 2 2 A B C + cos + cos ³ sin A + sin B + sin C 2 Cho M º H , N º I kết hợp với tanA.HA = a, tanB.HB = b, tanC.HC = c tam giác ABC nhọn 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A B C a cos a cos + + ³ a + b+ c Ta t an A t an B t an C a cos Bài 2.121: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam uur uur uur r giác ta có aIA + bIB + cIC = uuur uuur uuur uuur Suy (a + b + c )MI = aMA + bMB + cMC Û (a + b + c ) MI = a 2MA + b2MB + c 2MC + uuur uuur uuur uuur uuur uuur + 2abMA MB + 2bcMB MC + 2caMC MA Û (a + b + c )MI = a.MA + b.MB + c.MC - abc a) P ³ abc dấu xảy M º I uuur uur · Ta có MI = MO + OI + 2MO.OI = R + OI - 2R OI cos MOI b) P đạt giá trị lớn MI2 đạt lớn · · Û cos MOI = - Û MOI = 1800 Hay M giao điểm tia IO với đường tròn (O) P đạt giá trị nhỏ MI2 đạt nhỏ · · Û cos MOI = Û MOI = 00 Hay M giao điểm tia OI với đường tròn (O) c) P đạt giá trị nhỏ MI đạt nhỏ hay M hình chiếu I lên d uuur uuuur Bài 2.122: a iOAi MAi ³ a i OAi MAi , " i = 1, n Þ n å n a iOAi MAi ³ i= n Û å i= (1) 32 n a iOAi MAi ³ å i= å uuur uuuur a iOAi MAi i= uuur uuur uuur uuur n uuur n a i OAi MO + OAi = MO å a i OAi + å a iOAi2 = ( ) i= i= n å i= a iOAi2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có : a i MAi2 + a iOAi2 ³ 2a i MAi OAi , " i = 1, n , a i > n Þ n å a i MAi2 + i= å i= n Þ n a iOAi MAi ³ å n a i MAi2 + i= å n a iOAi2 ³ 2å a iOAi MAi i= i= n å a i MAi2 ³ i= å a iOAi MAi (2) i= Từ (1)(2) suy điều phải chứng minh Bài 2.123: a) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A B A C uuur A B A C AB AC - MA ( + ) £ | - MA || + |= MA ( + ) = AB AC AB AC AB AC 2.MA uuur uuur uuur uuur uuur A B A C uuur A B uuur A C Þ 2MA + MB + MC ³ - MA ( + ) + MB + MC = AB + AC AB AC AB AC Suy M º A uur uur uur r b) Gọi I trung điểm đường cao AH Ta có a IA + b2 IB + c IC = (Theo 1.24) Kết hợp 14 ta thu bất đẳng thức a IA (MA - IA ) + b2 IB (MB - IB ) + c IC (MC - IC ) ³ với điểm M Áp dụng định lí sin suy (MA - IA ).IA sin A + (MB - IB ).IB sin B + (MC - IC ).IC sin C ³ với điểm M Giả sử tam giác A BC cân cạnh x IA = Suy 2MA + 2x , IB = 10x 10 (MB + MC ) ³ 6x Vậy I điểm cần tìm 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.124: Gọi A', B', C', trung điểm BC, CA, AB O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm tam giác uuur uuur uuuur ABC ta có: OA ' + OB ' + OC ' ³ ( ) Û OA '2 + OB '2 + OC '2 ³ 2OB '.OC '.cos A + 2OC '.OA '.cos B + 2OA '.OB ' cosC · ' = OB cos A = R cos A Mặt khác OA ' = OB cos BOA Tương tự ta có: OB ' = R cos B , OC ' = R cosC Suy cos2 A + cos2 B + cos2 C ³ cos A.cos B cosC Dấu " = " xảy tam giác A BC Bài 2.125: a) Ta có (MA + MB + MC ) ³ a + b2 + c cho M trùng với tâm ngoại tiếp tam giác ta 9R ³ a + b2 + c Áp dụng định lí sin ta có 9R ³ 4R sin A + 4R sin B + 4R sin C Hay sin 2A + sin 2B + sin 2C £ b) Áp dụng bất đẳng thức a + b2 + c ³ (a + b + c ) câu a c) Áp dụng bất đẳng thức a + b + c ³ 3 abc câu a d) Ta có A, B, C góc tam giác 900 - A A A ;900 ; 900 ba góc tam giác theo câu a 2 ta suy cos2 A B C + cos2 + cos2 £ 2 Bài 2.126: Ta có uuur uuuur uur uur uuur uuur uur uuur uur uuuur SM A ' B ' = (SA + SB ).(SB ' - SA ' ) = (SA SA ' - SB S ' B ' ) = 2 34 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.127: Vì AA' tiếp xúc với (O'), BB' tiếp xúc với (O) nên ïìï A N A B ' = A A '2 Mặt khác A A ' = BB ' nên í ïïỵ B ' M B ' A = B ' B AN AB ' = B ' M B ' A Þ AN = B ' M Þ AM = B 'N Bài 2.128: Cho tam giác A BC không cân A; AM, AD trung tuyến, phân giác tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác A MD cắt AB, AC E, F Chứng minh BE = CF ìï BE BA = BM BD BE BA BM BD Þ = HD: Ta có í ïïỵ CF CA = CM CD CF CA CM CD Mặt khác BA BD BM BE = ; = 1Þ = Þ BE = CF CA CD CM CF Bài 2.129: (hình 2.25) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB N C Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: M A PA / (I ) = A C A B = A M A N = PA / (O ) I B Hình 2.25 (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC = PA / (O ) H A AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định C Suy I thuộc đường trung trực BC cố định P E O B Hình 2.26 Bài 2.130: (hình 2.26) Kẻ CH ^ OP Ta có tứ giác CEPH nội tiếp nên OP OH = OE OC 35 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì tam giác OBC vuông B BE đường cao nên OE OC = OB = R Suy OP OH = R Þ OH = R2 OP Vì O, P cố định nên H cố định Vậy tập hợp điểm C đường thẳng vuông góc với OP H Bài 2.131: (hình 2.27)Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB C K A H M I B D Ta có MH MI = MC MD Hình 2.27 MC MD = MA MB suy MH MI = MA MB Þ Û (MB + BH )(MB + BI ) = MB (MB + BA ) (MB + BH )(MB - BH ) = MB + MB BA 2 2 Û MB - BH = MB + MB BA Û BM = BH E BA Vì A, B, H cố định suy M cố định đpcm M H A B Bài 2.132: (hình 2.28)Ta có A M = A N = A E F N Δ Trong tam giác A EB , uuur uuur EH ^ A B Þ A E = A H A B = A H A B Hình 2.28 6666 uuur uuur Suy A M = A N = A H A B A Vậy AM AN hai tiếp tuyến (C) B D M C E O 36 Hình 67 F http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.133: (hình 67)B trung điểm AC Ta có PA /(C ) = A E A F = A B = A B 2.A B = A D A C Do tứ giác DCFE nội tiếp Suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCFE mà M nằm AC nên MD = MC = DC Từ ta tính AM 5 = A M = A B MC = A B Þ MC Bài 2.134: (hình 2.29) Gọi E giao điểm thứ hai PQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác PA B CD cắt PQ C F Q B A E P F.Ta có OQ - R = QA QB = QP QE Mà P, Q cố định nên PQ khơng đổi Þ QE khơng đổi E cố D Hình 2.29 · · = PEA · định Mặt khác PDC nên tứ giác = PBA DA EF nội tiếp suy PO - R = PD.PA = PE PF Mà P, E cố định nên PE khơng đổi Þ PF khơng đổi F cố định Vậy CD ln qua điểm cố định F Bài 2.135.(hình 2.30) Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn Gọi H hình chiếu M O1O2 , I trung điểm O1O2 Ta có: PM / (O1 ) = PM / (O2 ) Û MO12 - R 12 = MO 22 - R 22 Û MO12 - MO 22 = R 12 - R 22 Û (MH + HO12 ) - (MH + M HO 22 ) = R 12 - R 22 Û HO12 - HO 22 = R 12 - R 22 Û (HO - HO )(HO ) + HO = R 12 - R 22 O1 H O2 Û O 2O1.2HI = R 12 - R 22 Û IH = R 12 - R 22 O1O (1 ) Hình 2.30 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2 Nhận xét: Đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chú ý hệ sau có nhiều ứng dụng: Cho hai đường tròn (O) (I) Từ tốn ta suy tính chất sau: a) Trục đẳng phương hai đường tròn vng góc với đường thẳng nối tâm b) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng c) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn d) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn e) Nếu điểm có phương tích hai đường tròn điểm thẳng hàng f) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 38 ... Chứng minh CD qua điểm cố định Bài 2.135: Cho hai đường tròn khơng đồng tâm (O1 ; R ) (O2 ; R ) Tìm tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG... tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur uuur ỉ1 r r ưỉuur r r ữ ỗ CM GI = CM A I - A G = ỗỗ x - y ữ ữ ữ ữỗỗA I - x - y ứ ữ ỗố ứố r uur r uur r r 1r r = x A I - y A I x + x y - x y +... IG IC = Û uuur uur ab + CB CA éë(b (2a - b - c ) + a (2b - a - c )ù û= ( ) uuur uur Do ab + CB CA = ab(1 + cosC ) > nên dễ có b (2a - b - c ) + a (2b - a - c ) = Û a+ b+ c 2ab = a+b 23 http://dethithpt.com