Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP CHƯƠNG III: XÍCH MARKOV. Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 2: Giả sử hệ thống sản xuất có chất lượng sản phẩm tn theo xích Markov với kí hiệu cho sản phẩm tốt cho sản phẩm xấu ma trận xác suất chuyển. Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 4: Cho xích Markov với ma trận chuyển xác suất
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - THỐNG KÊ BỘ MƠN: Q TRÌNH NGẪU NHIÊN Giảng viên: Th.S Nguyễn Hữu Thái Nhóm: 16: Đinh Trình Bảo Ân TF1 Trần Thanh Bình TF2 Đặng Thị Thu Dung TF2 Nguyễn Thị Thanh Hoa TF2 Nguyễn Kim Nga TF2 Lớp: Tốn tài K 32 Thành phố Hồ Chí Minh ngày 30/03/2008 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên BÀI TẬP CHƯƠNG III: XÍCH MARKOV Bài : Cho xích Markov trạng thái 0, 1, với ma trận xác suất chuyển : 0,6 0,3 0,1 P = 0,3 0,3 0,4 0,4 0,1 0,5 a Tính P{X2 = 1, X1 = 1|X0 = } b Tính P{ X2 = 1, X3 = 1|X1 = } c Biết trình xuất phát với trạng thái X0 = Tính P{ X0 = 1, X1 = 0,X2= } d Giả sử phân phối đầu = 0,5 ; 1 = 0,5 Tính P{ X0 = 1, X1 = 1,X2= } P{ X1= 1, X2= 1,X3 = } Giải : a Tính P{X2 = 1, X1 = 1|X0 = } P{X2 = 1, X1 = 1|X0 = } = P{ X2 = 1|X1 = 1,X0 = } P { X1 = 1|X0 = } = P{ X2 = 1|X1 = 1} P { X1 = 1|X0 = } = P11 P01 = 0,3 0,3 = 0,09 b Tính P{ X2 = 1, X3 = 1|X1 = } P{ X2 = 1, X3 = 1|X1 = } = P{ X3 = 1|X2 = } P { X2 = 1|X1 = } = P11 P01 = 0,3 0,3 = 0,09 c Biết trình xuất phát với trạng thái X0 = nên ta có P{ X0 = } = P{X0 = 1, X1 = 0,X2= 2}= P{ X1 = 0|X0 = 1} P{X2 = 2|X1 = 0}.P{X0 = 1} = P 10 P02 = 0,3 0,1 = 0,03 d Phân phối đầu = 0,5 ; 1 = 0,5 = nghĩa : P{ X0 = } = 0,5 ; P{ X0 = } = 0,5 ; P{ X0 = } = ; P{ X0 = 1, X1 = 1,X2= } = P{ X1 = 1|X0 = } P { X2 = 0|X1 = }.P { X0 = } =P11 P10 = 0,3 0,3 0,5 = 0,045 P{ X1= 1, X2= 1,X3 = } = P{ X2 = 1|X1 = } P { X3 = 0|X2 = }.P { X1 = } = P11 P10 P{ X1 = } Mà P { X1 = } = P{ X1 = 1, X0 = i } = P{X1 = 1, X0 = 0} P{X1 = 1, X0 = 1} P{X1 = 1, X0 = 2} = P { X1 = 1|X0 = }.P { X0 = } + P { X1 = 1|X0 = }.P { X0 = } + P { X1 = 1|X0 = }.P { X0 = } = P01 + P11 1 + P21 = 0,6 0,5 + 0,3 0,5 + 0,1 = 0,45 Nên P{ X1= 1, X2= 1,X3 = } = 0,3 0,3 0,45 = 0,0405 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 2: Giả sử hệ thống sản xuất có chất lượng sản phẩm tn theo xích Markov với kí hiệu cho sản phẩm tốt cho sản phẩm xấu ma trận xác suất chuyển : 0,9 0,1 P= 0,8 0,2 Tính xác suất để phế phẩm xuất chu kì thứ Giải : Gọi = P{X0 = 0} 1 = P{X0 = 1} = - Ta có xác suất để phế phẩm xuất chu kì thứ : P { X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 1, X5 = } = P{X1=1} P{X2 = 1|X1 = 1} P {X3 = 1|X2 = 1} P{X4 = 1|X3 = 1} P{X5=0|X4 =1} = P{X1=1} P11 P11 P11 P01 (*) Mà P{X1=1} = P{X1=1,X0 = i } = P{X1=1,X0 = } + P{X1=1,X0 = 0} = P{X0=1} P{X1 = 1|X0 = 1} + P{X0=0} P{X1 = 1|X0 = 0} = ( 1- ) P11 + P01 = ( 1- ) 0,9 + 0,8 = 0,9 – 0,1 Thế vào ( * ) ta có : ( 0,9 – 0,1 ) 0,9 0,9 0,9 0,8 = 0,5832( 0,9 – 0,1 ) Bài 3: 0,5 0,5 P 0,5 0,5 0 f(0) = ); f(1) = f(2) = Yn = f(Xn) Ta có: P Yn i | Yn 1 in 1 , , Y0 i0 (i � 0,1 ) P f ( X n ) i | f ( X n 1 ) in 1 , , f ( X ) i0 P X n j | X n jn 1 , , X j0 (j 0 P X n j | X n jn 1 P f ( X n ) i | f ( X n 1 ) in 1 P Yn i | Yn 1 in 1 Vậy, trình {Yn, n >=0} xích Markov hay j � 1, 2 ) Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 4: Cho xích Markov với ma trận chuyển xác suất : 0,6 0,3 0,1 P = 0,3 0,3 0,4 0,4 0,1 0,5 a Tính xác suất giới hạn b Tính tỷ lệ thời gian ( dài hạn ) mà trình lưu trú trạng thái Giải : a Tính xác suất giới hạn Gọi , , xác suất giới hạn thoả : 1 2 0 0,6 0,3 0,4 0,3 0,3 0,1 0,1 0,4 0,5 0 0,4 0,3 0,1 Giải hệ ta : 1 0,3 0,7 0,4 2 0,4 0,1 0,5 0 0,47 0,24 0,29 b Tỷ lệ thời gian ( dài hạn ) mà trình lưu trú trạng thái =0,24 Bài 5: 1 P 1 a/ Zn = (Xn-1, Xn), Zn có trạng thái (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) P Z n (in , in ) | Z n (in , in ), , Z1 (i0 , i1 ) P X n in , X n in | X n in , X n in , , X i0 , X i1 P X n in , X n in | X n in , X n in P Z n (in , in ) | Z n (in , in ) Vậy Zn = (Xn-1, Xn) xích Markov trạng thái Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên b/ Xác định ma trận xác suất chuyển: Ta ký hiệu trạng thái Zn sau: (0,0): (0,1): (1,0): (1,1): p * 00 P Z 0 | Z1 0 P X 0, X 0 | X 0, X 0 P X 0 | X 0, X 0 P X 0 | X 0, X 0 P X 0 | X 0 P X 0 | X 0 1 p00 1. p * 01 P Z 1 | Z1 0 P X 0, X 1 | X 0, X 0 P X 0 | X 0, X 0 P X 1 | X 0, X 0 P X 0 | X 0 P X 1 | X 0 1 p01 1.(1 ) 1 p *02 p *03 0 ( p *00 p * 01 p *02 p *03 ) 1 p *10 P Z 0 | Z1 1 P X 0, X 0 | X 0, X 1 P X 0 | X 0, X 1 P X 0 | X 0, X 1 0.P X 0 | X 0 0 p *11 P Z 1 | Z1 1 P X 0, X 1 | X 0, X 1 P X 0 | X 0, X 1 P X 1 | X 0, X 1 0.P X 1 | X 1 0 p *12 P Z 2 | Z1 1 P X 1, X 0 | X 0, X 1 P X 1 | X 0, X 1 P X 0 | X 0, X 1 1.P X 0 | X 1 1 p10 1.(1 ) 1 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên p *13 P Z 3 | Z1 1 P X 1, X 1 | X 0, X 1 P X 1 | X 0, X 1 P X 1 | X 0, X 1 1.P X 1 | X 1 1 p11 1. p * 20 P Z 0 | Z1 2 P X 0, X 0 | X 1, X 0 P X 0 | X 1, X 0 P X 0 | X 1, X 0 1.P X 0 | X 0 1 p00 1. p * 21 P Z 1 | Z1 2 P X 0, X 1 | X 1, X 0 P X 0 | X 1, X 0 P X 1 | X 1, X 0 1.P X 1 | X 0 1 p01 1.(1 ) 1 p * 22 p * 23 0 ( p * 20 p * 21 p * 22 p * 23 ) 1 p *30 P Z 0 | Z1 3 P X 0, X 0 | X 1, X 1 P X 0 | X 1, X 1 P X 0 | X 1, X 1 0.P X 0 | X 1 0 p * 31 P Z 1 | Z1 3 P X 0, X 1 | X 1, X 1 P X 0 | X 1, X 1 P X 1 | X 1, X 1 0.P X 1 | X 1 0 p * 32 P Z 2 | Z1 3 P X 1, X 0 | X 1, X 1 P X 1 | X 1, X 1 P X 0 | X 1, X 1 1.P X 0 | X 1 1 p10 1.(1 ) 1 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên p *33 P Z 3 | Z1 3 P X 1, X 1 | X 1, X 1 P X 1 | X 1, X 1 P X 1 | X 1, X 1 1.P X 1 | X 1 1 p11 1. Vậy ta ma trận xác suất chuyển là: 0 0 * P 0 1 0 Bài 6: 0 1 P 0,1 0,6 0,3 0 a/ Xuất phát từ trạng thái 1, gọi u xác suất để trình kết thúc trạng thái Đặt T = min{n >= 0: Xn = Xn = 2} Xác suất cần tính: u P X T 0 | X 1 P X T 0 | X 1 u P X T 0 | X 1 P X T 0 | X k P X k | X 1 k 0 P X T 0 | X 0 P X 0 | X 1 P X T 0 | X 1 P X 1 | X 1 P X T 0 | X 2 P X 2 | X 1 1 p10 u p11 p12 0,1 0,6u u 0,1 0,6u u 0,25 Vậy xuất phát từ trạng thái 1, xác suất để trình kết thúc trạng thái 0,25 b/ Thời gian trung bình để trình bị hấp thu : E[T|X0 = 1] Ta có: T có phân phối hình học tham số p10 + p12 (do T số lần thực phép thử để XT = XT = 2; xác suất thành công p10 + p12) Suy ra: E T | X 1 1 2,5 p10 p12 0,1 0,3 Vậy, thời gian trung bình để trình bị hấp thu xuất phát từ trạng thái 2,5 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 7: 0,3 0,2 0,5 P 0,5 0,1 0,4 0 a/Xuất phát từ trạng thái 1,gọi u xác suất để trình kết thúc trạng thái Xuất phát từ trạng thái 0, gọi v xác suất để trình kết thúc trạng thái Đặt T = min{n >= 0: Xn = 2} Ta có: u P X T 2 | X 1 P X T 2 | X 1 v P X T 2 | X 0 P X T 2 | X 0 u P X T 2 | X 1 P X T 2 | X k P X k | X 1 k 0 P X T 2 | X 0 P X 0 | X 1 P X T 2 | X 1 P X 1 | X 1 P X T 2 | X 2 P X 2 | X 1 v p10 u p11 p12 0,5v 0,1u 0,4 u 0,5v 0,1u 0,4 v P X T 2 | X 0 (1) P X T 2 | X k P X k | X 0 k 0 P X T 2 | X 0 P X 0 | X 0 P X T 2 | X 1 P X 1 | X 0 P X T 2 | X 2 P X 2 | X 0 v p00 u p01 p02 0,3v 0,2u 0,5 v 0,3v 0,2u 0,5 (2) u 0,5v 0,1u 0,4 v 0,3v 0,2u 0,5 Từ (1) (2) ta u 1 v 1 Vậy xuất phát từ trạng thái 1, xác suất để trình kết thúc trạng thái b/ Thời gian trung bình để trình bị hấp thu : E[T|X0 = 1] Ta có: T có phân phối hình học tham số p12 (do T số lần thực phép thử để XT = 2; xác suất thành công p12) Suy ra: E T | X 1 1 2,5 p12 0,4 Vậy, thời gian trung bình để trình bị hấp thu xuất phát từ trạng thái 2,5 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 8: 0,7 0,2 0,1 P 0,2 0,6 0,2 0,1 0,4 0,5 Khi N lớn, tỷ lệ số nhân viên lớp xác suất giới hạn xích Markov Đặt phần trăm số nhân viên lớp là: x, y, z ta có: 0,7 x 0,2 y 0,1z x 0,2 x 0,6 y 0,4 z y 0,1x 0,4 y 0,5 z z x y z 1 0,3x 0,2 y 0,1z 0 0,2 x 0,4 y 0,4 z 0 0,1x 0,4 y 0,5 z 0 x y z 1 x 35,29% y 41,18% z 23,53% Vậy phần trăm nhân viên lớp là: 35,29%, 41,18%, 23,53% Bài 10: Cho xích Markov trạng thái 0, 1, Tính phân phối giới hạn trường hợp có ma trận xác suất chuyển : 0,6 0,3 0,1 P = 0,3 0,3 0,4 0,4 0,1 0,5 a Tỷ lệ thời gian trình lưu trú trạng thái bao nhiêu? b Giả sử lâu dài chi phí cho lưu trú trạng thái 0, 1, chu kì 2$, 5$, 3$ Tính chi phí cho chu kì q trình c nlim P {Xn+1 = 1|X0 = } d nlim P{Xn = 1, Xn+1 = 2|X0 = } e nlim P{Xn-1 = 1, Xn = 2|X0 = } Giải : a Tỷ lệ thời gian trình lưu trú trạng thái bao nhiêu? Gọi , , xác suất giới hạn thoả : 1 2 0 0,6 0,3 0,4 0,3 0,3 0,1 0,1 0,4 0,5 Giải hệ ta : 0,47 0,24 0,29 Vậy tỷ lệ thời gian lưu trú trạng thái = 0,24 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên b Giả sử lâu dài chi phí cho lưu trú trạng thái 0, 1, chu kì 2$, 5$, 3$ Tính chi phí cho chu kì q trình Chi phí cho chu kì : 0,6.2 + 0,3.5 + 0,1.3 = $ Chi phí cho chu kì : 0,3.2 + 0,3.5 + 0,4.3 = 3,3 $ Chi phí cho chu kì : 0,4.2 + 0,1.5 + 0,5.3 = 2,8 $ c nlim = } P {Xn+1 = 1|X0 Đặt p lim P X n1 1 | X 0 n q lim P X n 1 1 | X 1 n r lim P X n 1 1 | X 2 n p lim P X n1 1 | X 0 Ta có : n q lim P X n 1 1 | X 1 n r lim P X n 1 1 | X 2 n P X n 1 1 | X k P X k | X 0 Và p nlim i 0 p 0,6 p 0,3q 0,1r 0,4 p 0,3q 0,1r 0 Tương tự : 0,3 p 0,7q 0,4r 0 0,4 p 0,1q 0,5r 0 p q r 0,2424 Mặt khác : p 0,0808 q 0,0808 Từ (1) (2) (3) (4) r 0.0808 Vậy nlim = } = 0,0808 P {Xn+1 = 1|X0 d nlim P{Xn = 1, Xn+1 = 2|X0 = } P X n 1 2 | X n 1 lim P X n 1 | X 0 n P12 p 0,4.0,0808 0,03232 e nlim P{Xn-1 = 1, Xn = 2|X0 = } P X n 2 | X n 1 lim X n 1 | X 0 n P12 p 0,4.0,0808 0,03232 10 (1) (2) (3) (4) Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 11 : Giả sử khách hàng sử dụng dịch vụ điện thoại di động Việt Nam chọn nhãn hiệu Vinaphone, Mobiphone hay Vietell Khách hàng thay đổi số thuê bao sau tháng với ma trận xác suất chuyển : 0,6 0,2 0,2 P = 0,1 0,7 0,2 0,1 0,1 0,8 Tính thị phần dịch vụ di động lâu dài hãng Giải : Gọi , , xác suất giới hạn thoả : 1 2 0 0,6 0,1 0,1 11 0,2 0,7 0,1 0,2 0,2 0,8 0 0,4 0,2 0,2 Giải hệ ta : 1 0,1 11 0,3 0,2 2 0,1 0,1 0,2 0 0,2 0,3 0,5 Vậy thị trường dịch vụ di động hãng Vinaphone, Mobiphone Vietell : 20% ; 30% ; 50% Bài 12 : Phân loại lớp trạng thái xích Markov tìm tất lớp trạng thái liên lạc với , với ma trận xác suất chuyển sau : a 0 1 P= 0 0 / / 2 0 0 0 Ta có : 01 , 02, 03,12,13,23 Hai trạng thái xích Markov liên lạc đuợc với nên xích markov tối giản có lớp trạng thái tương đương {0,1,2,3} 11 Bài tập chương III IV 0 1 P= 0 0 b Quá trình ngẫu nhiên / / 2 0 0 Ta có : 01 , 02, 03,12,13,23 Đây xích tối giản nên có lớp trạng thái tuơng đương { 0,1,2,3 } 0 1 / / 1 / / 0 0 1/ 1/ 1/ 1/ 1 / / / / 4 c Ta có :0 1, Và khơng cặp trạng thái khác liên lạc với nên có lớp trạng thái tương đương : E1 0,1 , E2 2,3 , E3 4 1 / 2 / 1 / 1 / d Ta có : 1/ 0 1/ / 0 1/ 0 1/ / 0 1/ 0 / / 4 / / / / / 6 2, 3, Có lớp trạng thái tương đương : E1 0,2 , E2 1,3 , E3 4,5 Bài 13 : Xét xích Markov với trạng thái 0, 1, 2, 3, 0 1 / / 1 / / 0 1/ 1/ P= 1/ 1/ 1 / / 0 m a Xác định m Ta có : 1/4 + 1/4 + + + m = m = 1/2 12 Bài tập chương III IV b Quá trình ngẫu nhiên Tìm lớp trạng thái tương đương Ta có : 1, Có lớp trạng thái tương đương : E1 0,1 , E 2,3 , E3 4 c Xác định trạng thái thường xuyên vãng lai Ta có : P00 1 / P00 P X 0 | X 0 P X 0 | X k P X k | X 0 k 0 P00 P00 P01 P10 1 1 2 2 P00 P00( n ) (n) 00 P n 0 lim n n Vậy trạng thái thuờng xuyên Trạng thái thường xuyên P22 n n P lim n 0 n 22 n trạng thái thường xuyên trạng thái thường xuyên P44 n n P44 n n 2 n 0 n 0 Trạng thái trạng thái vãng lai Vậy, trạng thái thường xuyên là: 0, 1, 2, 3; trạng thái vãng lai 13 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 14 : Cho xích Markov với trạng thái 0, 1, 2, 3, 4, với ma trận xác suất chuyển 1 / / 0 1 / / / 0 0 0 P= 1 / / / 0 / 4 0 0 0 0 Tìm trạng thái thường xuyên ( hồi quy - recurrent ) & vãng lai (transient) Giải : Ta có lớp trạng thái tương đương : 0 , 1 , 2,4 , 3 , 5 Trạng thái : P00 n 3n P 2 n 00 n 0 trạng thái vãng lai Trạng thái : P11 n 4n P 3 n 11 n 0 trạng thái vãng lai Trạng thái : P22 n 1 P lim n 22 n n 0 Trạng thái trạng thái thường xuyên , nên trạng thái thường xuyên Trạng thái : P33 n 4n P 3 n 33 n 0 trạng thái vãng lai Trạng thái : P55 n 1 P lim n n 0 n 11 n trạng thái thường xuyên Vậy, trạng thái thường xuyên là: 2, 5; trạng thái vãng lai là: 0, 14 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên BÀI TẬP CHƯƠNG IV: QUÁ TRÌNH POISSON Bài 1: n n P{X Y n} �P{X k , Y n k } �P{X k}P{Y n k} k 0 k 0 1 ( 1 2 ) n! (1 2 )n ( 1 2 ) 2 k nk � e e e 1 2 e (n 0,1,2 ) � ( n k )! n! n! k 0 k ! k k !( n k )! n k nk n Vậy S=X+Y có phân phối poisson với tham số 1 2 Cách khác: Dùng hàm monnent cho X, Y ta có : Do X Y có phân phối Poisson nên ta có: t X (t ) e 1*( e 1) t Y (t ) e 2 *( e 1) t t t ( X Y ) (t ) X (t ) * Y (t ) e 1 ( e 1)2 ( e 1) e ( 1 2 )( e 1) Như X+Y có phân phối Poisson với tham số 1 2 Bài 2: P{X k | X Y n} P{X k , X Y n} P{X Y n | X k }P{X k } P{X Y n} P{X Y n} 1k 1 2n k 2 e e P{Y n k | X k}P{X k} P{X k}P{Y n k} k ! ( n k )! (1 2 ) n ( 1 2 ) P{X Y n} P{X Y n} e n! k n k k n k � �� � n! 1k 2n k k 1 2 Cn Cnk � �� � n n k !(n k )! ( 1 2 ) (1 2 ) �1 2 ��1 2 � Bài 3: Ta có: + N1 (0) 0; N2 (0) � N (0) N1 (0) N2 (0) + N1 (t ) �N ; N (t ) �N � N (t ) N1 (t ) N2 (t ) �N + Từ giả thuyết N1 (tn ) N1 (tn 1 ); N1 (tn 1 ) N1 (tn ); ; N1 (t1 ) N1 (t0 ) độc lập với N (tn ) N (tn 1 ); N (tn 1 ) N (tn ); ; N (t1 ) N (t0 ) độc lập với 15 (1) (2) Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Mà: N (tn ) N1 (tn ) N (tn ); N (tn 1 ) N1 (tn 1 ) N (tn 1 ) � N (tn ) N (t n 1 ) N1 (tn ) N (t n ) N1 (tn 1 ) N (t n 1 ) N1 (tn ) N1 (tn 1 ) N (tn ) N (tn 1 ) �N (tn ) N (tn 1 ) N1 (t n 1 ) N1 (tn ) N (t n 1 ) N (tn ) �� �N (t1 ) N (t0 ) N1 (t1 ) N1 (t0 ) N (t1 ) N (t0 ) Là độc lập với + Theo CM {N i (t ); t �0} có phân phối P{i } (3) � P{N (t ) N ( s)} P{N1 (t ) N (t ) N1 ( s) N ( s )} P{N1 (t ) N1 ( s) N (t ) N ( s)} P{N1 (t ) N1 ( s)} P{N (t ) N ( s)} Mà: N1 (t ) N1 ( s ) :~ P 1 (t s ) ; N (t ) N ( s) :~ P 2 (t s) � N (t ) N (s ) N1 (t ) N1 (s ) N (t ) N (s ) :~ P ( 1 2 )(t s) (4) Từ (1), (2), (3) (4) N t ; t �0 trình Poisson với tham số (1 2 )t Bài : Ta có: P{M k ; N n} P{M k | N n}P{N n} C p (1 p ) k n k nk p k (1 p ) n k n e p k e k � (1 p ) � P{M k} � � k !(n k )! k! (n k )! nk nk nk � n p k (1 p)n k ne e n! k !(n k )! p k e k (1 p ) p p e e k! k! Bài : a) Do X(t) trình Poisson nên X(t) P(t) ( t ) k t e P (X(t) = k ) = k! b) Cố định < s < t P (X (t) = n + k | X (s) = n ) P( X(s) n , X(t) n k ) P ( X ( s ) n) P( X ( s) n) * P( X (t s) n k n) P ( X ( s ) n) ( (t s)) k (t s ) P{X (t s) k} e k! c) E[ X (t ) X ( s )] E[ X ( s ) X (t ) X ( s ) X ( s) ] E[ X ( s ) X ( s) X (t ) X ( s) ] E[ X ( s)] E[ X ( s) X (t ) X ( s) ] E[ X ( s)] E[ X ( s)]E[ X (t ) X ( s)] Var[ X ( s )] E[X ( s )] E[ X ( s)] E[ X (t )] E[ X ( s )] Var[ X ( s )] E[ X ( s )] E[ X ( s)]E[ X (t )] E[ X ( s)] Var[ X ( s )] E[ X ( s )]E[ X (t )] s st 16 k Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 7: Ta có : X (t) số khách hàng vào cửa hàng thời điểm t Bưu điện mở cửa lúc :00 AM =2 X(t) P(t) (2 * 4) 2*4 *e P { X (12 - 8) = ) = P ( X (4) = } = = e-8 0! a) b) (2 * 1) * e 2 * e P { X(1) = } = 2! P {X (1) = X(3) = } = P {X (1) = 2, X (3 - 1) = 4} = P {X (1) = 2) * P (X (2) = 4} (2 * 1) ( * 2) * e * * e 2! 4! 64 e = = c) P X (1) 2, X (3) 6 P X (3) 6 P X (1) 2, X (3 1) 4 P ( X (3) 6) P {X (1) = 2| X(3) = 6} = P ( X (1) 2) * P ( X (2) 4) P ( X (3) 6) (2 *1) (2 * 2) *e * *e ! ! (2 * 3) *e 6! 80 243 P (X(3) 6 | X (1) 2) = P{X(3) – X(1) 4| X(1) = 2} = P{X(3) – X(1) 4} = – P{X(2) < 4} 4k 41 4 4 1 e 1 e ( ) 0! 1! 2! 3! k 0 k! 71 1 e 17 Bài tập chương III IV Bài 8: a) Quá trình ngẫu nhiên P X (1) �2 P X (1) 0 P X (1) 1 P X (1) 2 20 2 21 2 2 2 e e e 5e2 �0.6767 0! 1! 2! P X (1) �X (2) 3 P X (1) 1, X (2) 3 P X (1) 1, X (2) X (1) 2 P X (1) 1 P X (1) 2 21 2 22 2 e e 4e 4 �0,0733 1! 2! b) P X (1) �2 | X (1) �1 c) P{X(1) �2,X(1) �1) P{X (1) �2} P{X (1) �1} P{X (1) �1} P{X (1) 0} P{X (1) 1} P{X (1) 2} P{X (1) 0} P{X (1) 1} 5e 2 �0.5443 3e 2 1 20 2 21 2 22 2 e e e 0! 1! 2! 2 e 2 e 2 0! 1! E X (2) 2 E� ( X (1)) � � � Var( X (1)) ( E X (1) ) d) E[ X (1) X (2)] E[ X (1) X (3) X (1) ] E[ X (1)]E[ X (3) X (1)] E[ X (1)]{E[ X (3)] E[ X (1)]} E[ X (1)]E[ X (3)] E[ X (1)]2 2.6 2 Bài 9: Ta có = 3/ phút / 60 giây / 20 giây a) ( s ) s P{X ( s ) 0} e e s e s / 20 0! b) P{X ( s ) 2} P{X ( s) 0} P{X ( s) 1} e s / 20 (1 18 s ) 20 Bài tập chương III IV Quá trình ngẫu nhiên Bài 11: X(t) khách hàng vào cửa hàng đến thời điểm t Với 6 / a) b) P ( X ( ) 1, X (1) 1)) P( X( ) = 1|X(1) = 1) = 4 P ( X (1) 1) 1 P ( X ( ) 1, X (1 ) 0) P( X ( ) 1) * P( X ( ) 0) 4 4 P ( X (1) 1) P ( X (1) 1) (6 * )1 (6 * ) *e * * e 18/ 1* e 6 0! 1! 0, 25 (6 *1)1 6 * e 6 *e 1! P ( X (3) 5, X (1) 2)) P (X(1) = 2| X(3) = 5) = P ( X (3) 5) P ( X (1) 2, X (3 1) 2) P( X (1) 2) * P( X (2) 3) P ( X (3) 5) P ( X (3) 5) (6 *1) 6 (6 * 2)3 12 *e * *e 80 * e 18 80 3! 2! 18 (6 * 3) 243* e 243 * e 18 5! c) P {X (t) = m| X (T) = n} , < t < T m > n P{X (t) = m| X (T) = n} = 0; m < n : P{X (t) = m| X (T) = n} = P ( X (t ) m, X (T ) n)) P ( X (T ) n) P ( X (t ) m, X (T t ) n m) P ( X (t ) m) * P ( X (T t ) n m) P ( X (T ) n) P( X (T ) n) (t ) m t ( (T t ))n m (T t ) *e * *e n! t m * (T t ) n m m! ( n m)! * (T ) n T m!(n m)! Tn *e n! t t Cnm * ( ) m * (1 ) n m T T Bài 12: 19 Bài tập chương III IV a ) E W4 Quá trình ngẫu nhiên b) E[W4 | N (1) 2] E[W4 | W2 �1] E[W4 - W2 W2 | W2 �1] E[W4 - W2 | W2 �1] E[W2 | W2 �1] E[W4 - W2 ] � w2 f ( w2 )dw2 4 - 2� w2 2e w2 dw2 ( )e (dùng cơng thức tích phân phần lần) c) E X (4) X (2) | X (1) 3 E[ X (4) X (2)] E[ X (2)] 2 Bài 13: Ta có : P( N(s) = k| N(t) = n ) Với < s < t Nếu k > n P( N(s) = k| N(t) = n ) = k