Phương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giảiPhương trình lượng giác bài tập có lời giải
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Vòng tròn lượng giác
2 Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt
3 Các công thức lượng giác
- Các hằng đẳng thức lượng giác
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi, nhân ba
- Công thức hạ bậc
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
- Công thức biến đổi theo tan
2
x
t =
II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1 Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002)
Tìm x ∈[0;14] nghiệm đúng phương trình cos 3 x−4 cos 2x+3cosx − = 4 0 (1)
Giải
(1)⇔(4 cos x−3cos ) 4(2 cosx − x−1) 3cos+ x− =4 0
4 cos2 (cos 2) 0 cos 0 (k )
2
π
π π
π
≤ + ≤ ⇔ − = − ≤ ≤ − ≈ ,mà k ∈ » nên k ∈{0;1; 2;3}
Vậy nghiệm của phương trình là: ;3 ;5 ;7
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình (2 cos x−1)(2sinx+cos )x =sin 2x−s inx (2)
Giải
(2)⇔(2 cosx−1)(2 sinx+cos )x =s inx(2 cosx−1)⇔(2 cosx−1)(s inx+cos )x = 0
cos
2
t anx 1 tan
s inx cos
x
k l
π
π
=
»
Ví dụ 3: Giải phương trình sin2x+sin 32 x=cos 22 x+cos 42 x (3)
Giải
⇔ −2 cos 4 cos 2x x=2 cos 6 cos 2x x⇔2 os2 ( os6c x c x+cos4 )x
2
k x
x
π π
=
= +
»
Chú ý:
• Khi giải phương trình lượng giác có chứa tanu, cotu, có ẩn ở mẫu, có chứa căn bậc chẵn thì
phải đặt điều kiện để phương trình xác định
Trang 2• Ta có thể dùng các cách sau để kiểm tra điều kiện xem có nhận hay không
+ Thử nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện hay không
+ Dùng đường tròn lượng giác
+ So điều kiện trong quá trình giải
Ví dụ 4: Giải phương trình 2
tan x−t anx tan 3x=2 (4)
Giải
x
≠
Ta có (4) t anx(t anx tan 3 ) 2 s inx s inx s in3x 2
cos cos cos 3
x
⇔sin (s inx.cos 3x x−cos sin 3 )x x =2 cos2x c os3x⇔s inx.sin( 2 )− x =2 cos2x c os3x
⇔ −2 sin2x.cosx=2 cos2x c os3x⇔ −sin2x=cos os3x c x (do cosx ≠ 0)
−
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: ( )
Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2003)
π
Giải
Điều kiện cosx ≠0⇔s inx≠ ± 1
2 2
x
π
2 2
(1 s inx)(1 os )
(1 cos ) 0
1 sin
x x
2
1 os
(1 cos ) 0
1 s inx
x
−
+ (1 cos ) 1 cos 1 0
1 sin
x x
x
−
+
⇔(1 cos )( cos+ x − x−s inx)=0
2
(k )
t anx 1
4
x
π π
= −
»
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 2 ; (k )
4
Ví dụ 6: Giải phương trình
(t anx cot 2 )
x x
+
Giải
Điều kiện sin2x ≠ 0
Ta có: * sin4 os4 (sin2 os )2 2 2 sin2 cos2 1 1sin 22
2
* tan cot 2 s inx os2 1
cos sin 2 sin 2
Trang 3Vậy
2
1
1 sin 2
1 2
(6)
sin 2 2 sin 2
x
−
2
π
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là (k )
2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Có dạng: a sin2u+bsinu+ =c 0 (a≠0)
aco s2u+bco us + =c 0 (a≠0)
atan2u+btanu+ =c 0 (a≠0)
2
acot u+bcotu+ =c 0 (a≠0)
- Cách giải: Đặt t = sinu hay t = cosu với t ≤ 1
t = tanu (điều kiện ,
2
π
t = cotu (điều kiện u≠kπ,k∈» )
Các phương trình trên trở thành at2+bt+ = c 0
Giải phương trình trên tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm nghiệm của phương trình
Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên (0; 2π) của phương trình 5 s inx os3x+sin3x 3 cos 2
1 2 sin 2
c
x x
+
Giải
Điều kiện sin 2 1
2
x ≠ −
Ta có sin 3x+cos3x=(3sinx−4 sin3x) (4 os+ c 3x−3cos )x = −3(cosx−s inx) 4( os+ c 3x−sin3x)
=(cosx−s inx)− +3 4( osc 2x+cos sinx x+sin2x)=(cosx−s inx)(1 2 sin 2 )+ x
(7)⇔5 s inx+(cosx−s inx) = +3 (2 cos x−1)
2
1 cos
x
=
=
2 (k )
3
π
⇔ = ± + ∈» (thỏa mãn điều kiện)
Vì x∈(0; 2π) nên 5
Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2005)
Giải phương trình cos 3 os22 x c x−cos2x = 0 (8)
Giải
Trang 4Cách 1: (8.1)⇔(4 cos 23 x−3cos 2 ) os2x c x− =1 0⇔4 cos 24 x−3cos 22 x− =1 0
2
2
os 2 1
1
os 2 (vô nghiêm)
4
sin 2 0 2 (k )
2
π
3
2 os4 (loai)
2
π π
=
» Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực
⇔
os4 1 (k )
2
Ví dụ 9: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2005)
Giải
1sin 22 1 1 2sin 2x2 1sin 2 1 0
sin 22 sin 2 2 0 sin 2 1
sin 2 2 (loai)
x
x
=
= −
Ví dụ 10: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B, năm 2004)
Giải phương trình 5sinx− =2 3(1 s inx)tan− 2x (10)
Giải
Điều kiện cosx ≠0⇔s inx≠ ± 1
Khi đó:
2
2
1
s inx (nhân do sinx 1)
s inx 2 (vô nghiê )
m
= −
2 6
5 6
2 6
k
π π π
π π
»
Trang 5Ví dụ 11: (khối A năm 2006)
2 os sin sin x cos
0
2 2 sin
x
=
Giải
Điều kiện s inx 2
2
≠ Phương trình đã cho tương đương với
2
3sin 2 sin 2 4 0
sin 2 1
2
,
4
x
π
π π
π
»
»
Do điều kiện, nghiệm của phương trình là: 5 2 ,
4
π
Ví dụ 12: Giải phương trình 2 2
3cot x+2 2 sin x=(2 3 2) cos+ x (12)
Giải
Điều kiện s inx ≠0⇔cosx≠ ± 1
Chia cả hai vế của phương trình cho sin x ta được: 2
2
Đặt cos2
sin
x
t
x
= ta được phương trình 3t2−(2 3 2)+ t+2 2=0 2
2 / 3
t t
=
⇔
=
• Với t = 2 ta có cos2 2 cos 2(1 os )2 2 os2 cos 2 0
sin
x
osx 2 (loai)
2 (k )
cos
2
c
x
π π
=
»
• Với 2
3
t = ta có cos2 2 3cos 2(1 os )2 2 os2 3cos 2 0
x
osx 2 (loai)
2 (k ) 1
3 cos
2
c
x
π π
= −
» Kết luận: Kết hợp đ/k được nghiệm của phương trình là
Ví dụ 13: Giải phương trình 3
4
Giải
Đặt
Trang 6Khi đó (13) trở thành: tan3 tan 1 1 tan 1
t
t
−
với cost≠ và tan0 t ≠ 1 tan3 2 tan tan (tan 1)(tan2 2 tan 2) 0
1 tan
t
t
− ⇔tant= ∨0 tant= − (nhận so điều kiện) 1
⇔ , (k )
4
Vậy nghiệm của phương trình (13) là: ; (k )
4
3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Có dạng: a sinu+bcosu= (*) c
- Cách giải: Đ/k phương trình có nghiệm: 2 2 2
Cách 1:
Chia cả hai vế của phương trình cho a2+b2 ≠ Đặt 0
α=
+
và
α=
+
với α∈[0; 2π] thì
(*) cos s inu sin cosu c
α
+ Cách 2:
+ Nếu u=π+k2π là nghiệm của phương trình (*) thì a sinπ +bcosπ =c⇔ − = b c
+ Nếu u≠π +k2π đặt tan
2
u
t = thì (*) trở thành:
2
−
⇔(b c t+ )2−2at c b+ − = 0
Giải phương trình trên tìm được nghiệm t Từ tan
2
u
t = ta tìm được được u
Ví dụ 15: Tìm 2 ;6
Giải
Chia cả hai vế phương trình (12) cho 2 ta được 1cos 7 3sin 7 2
sin cos 7 os sin 7 2
k h
»
nên ta phải có:
⇒ k = 2, h = 1, h = 2
Vậy 53 ;35 ;59
3sin 3x− 3 os9c x= +1 4 sin 3x (16)
Giải
Trang 7(13) ( 3 )
3sin 3x 4 sin 3x 3 os9c x 1 sin 9x 3 os9c x 1
1sin 9 3 os9 1 sin 9 sin
2
k
π
»
Ví dụ 17: Giải phương trình tan x−3cotx=4(s inx+ 3 cos )x (17)
Giải
Điều kiện s inx 0 sin 2 0
≠
≠
s inx 3 cos (s inx 3 cos )(s inx 3 cos 2 sin 2 ) 0 1 3
s inx cos sin 2
x
3
3
3
3
π π π
π π π
= − +
»
Kết hợp điều kiện được nghiệm của phương trình là:
3
π
= + (k ∈» )
Ví dụ 18: Giải phương trình 4 4 1
os sin
(18) Giải
2
π
4
π π
π
π π
= − +
»
3 Phương trình đối xứng đối với sinu và cosu
- Có dạng: (s inua +cos )u +bsin cosu u= (*) c
- Cách giải: Đặt s inu cos 2 os
4
với điều kiện t ≤ 2
2
1 sin cos
2
t
Thay vào PT (*) ta được phương trình: bt2+2at−(b+2 )c = 0
Trang 8Giải phương trình trên tìm được t, rồi so với điều kiện t ≤ 2
Giải phương trình cơ bản 2 os
4
ta tìm được nghiệm của phương trình
Chú ý: Nếu phương trình có dạng: (sinu cos )a + u +bsin cosu u= (**) c
Thì đặt s inu- cos 2 sin
4
với điều kiện t ≤ 2
2
1 sin cos
2
t
Ví dụ 19: Giải phương trình s inx+sin2x+cos3x=0 (19)
Giải
2
1 sin s inx cos sin x cos 0
s inx 1 (1)
s inx cos sin x cos 0 (2)
= −
⇔
2
π
• Xét (2): Đặt s inx cos 2 os
4
, điều kiện t ≤ , thì 2
2
1 sin cos
2
t
Khi đó (2) trở thành:
2
1
t t
t
= −
−
= +
Do đó:
2 , 0 2
4
π
2
3 1 s inx
x x
π
Giải
• Điều kiện: cosx ≠0⇔s inx≠ ± 1
• Khi đó: ( )20 t anx 3 tan( 2 1) 3 1 s inx 1 tan( ) ( 2 ) 4 1 os 4 1 s inx( )
2
2 2 2
3 tan 1 t anx 1 s inx 0
3 tan 1 s inx cos sin x cos 0
3 tan 1 (1)
s inx cos sin x cos 0 (2)
x
x
⇔
π
Trang 9• Giải (2): Đặt s inx cos 2 sin
4
, đ/k t ≤ 2 và t ≠ ± 1 Khi đĩ (2) cĩ dạng
2
1
t
t
= − +
loại do điều kiện
2
3
2 4
π
π
ϕ
π
»
Ví dụ 21: Giải phương trình 3 3
Giải
( ) ( )
s inx cos 1 sin x cos s inx cos 0
s inx cos 0 1
1 sin x cos s inx cos 0 2
x
⇔
4
π
• Giải (2): Đặt s inx cos 2 sin
4
, đ/k t ≤ 2 khi đĩ
2
1 sin x cos
2
t
Phương trình (2) cĩ dạng:
2
2
1
2
t
−
Vậy
2 , 1
2
x
π
π π
»
»
Chú ý: Phương trình lượng giác cĩ dạng: 2 2
Ta đặt: t=t anx±cotx⇒t2=tan2x+cot2x± 2
( t anx cot 2 ,
sin 2
x
= + = điều kiện t ≥ do sin 22 x ≤ ) 1
3 tan x+4 tanx+4 cotx+4 cot x+2= 0 (22)
Giải
sin 2
x
= + = , với điều kiện t ≥ , ta cĩ 2 tan2x+cot2x=t2− 2
Khi đĩ phương trình (22) trở thành:
2
2
t
=
= −
Ta cĩ
2
2 sin
2
4
x
π π π
π
»
»
Trang 105 Phương trình đằng cấp
- Có dạng: a sin2u+bsin cosu u+ccos2u=d
- Cách giải:
* Kiểm tra xem cosu = o có thỏa mãn phương trinh hay không (nếu thỏa mãn thì ,
2
π
là nghiệm)
* Chia cả hai vế của phương trình cho 2
c u ≠ , ta được phương trình
Đặt t = tanu ta có phương trình: 2
(a−d t) +bt+ −c d = 0 Giải phương trình trên tìm được t = tanu
Ví dụ 23: Giải phương trình cos2x− 3 sin 2x= +1 sin2x (23)
Giải
Vì cosx = không là nghiệm nên chia cả hai vế của (23) cho 0 cos2x ≠ , ta được 0
(23)⇔ −1 2 3 t anx= 1 tan+ x +tan x
Đặt t =t anxta có phương trình: 2 0
3
t
t
=
= −
Vậy
,
t anx 0
(23)
,
3
π π π
=
= −
»
»
Giải
2
π
= + ∈» thì cosx = và s inx0 = ± thì phương trình (23) vô nghiệm 1
Do cosx = không là nghiệm nên chia hai vế của (23) cho 0 cos3x ta có:
2
3tan 3 tan t anx 1 0
t anx 1 3 tan 1 0
t anx 1
t anx
3
4
6
x
k
π π π π
= −
⇔
= ±
= − +
= ± +
»
Ví dụ 25: Cho phương trình
4 6− m sin x+3 2m−1 s inx+2 m−2 sin xcosx− 4m−3 cosx = 0 (25)
a) Giải phương trình khi m =2
b) Tìm m để phương trình (23) có duy nhất nghiệm trên 0;
4
π
Giải
Trang 11Khi ,
2
π
= + ∈» thì cosx = và s inx0 = ± nên phương trình (23) thành 1
(4 6m) 3 2( m 1) 0 1 0
Chia cà hai vế của phương trình cho cos3x ≠0 thì
(4 6− m)tan3x+3 2( m−1 t anx 1 tan) ( + 2x)+2(m−2 tan) 2x−(4m−3 1 tan) ( + 2x)= 0
Đặt t =t anx ta được phương trình:
2
1 2 4 3 0 (*)
t m t m t m t t mt m − + + − − + = ⇔ − − + − = a) Khi m =2 thì (* trở thành (t−1) (t2−4t+5)=0⇔ = t 1 tan 1 , 4 x x π k k π ⇒ = ⇔ = + ∈» b) Ta cĩ 0; 4 x π ∈ thì t anx= ∈t [0;1] Xét phương trình 2 2 4 3 0 t − mt+ m− = (*) 2 3 2 2 t m t − ⇔ = − (do t = 2 khơng là nghiệm) Đặt 2 2 ( ) 2 t y f t t − = = − (C) và (d): y=2m Ta cĩ ( ) 2 2 4 3 ' '( ) 2 t t y f t t − + = = − t - ∞ 0 1 2 3 + ∞
y' + + - - +
y 2
3
2
Do (*) luơn cĩ nghiệm trong t = ∈1 [ ]0;1 nên yêu cầu bài tốn
( ) : 2 ( )
d
=
⇔
không co ùđiểm chung với (C) cắt (C) tại một điểm duy nhất t = 1
2
< <