CHỦ đề 3 PT bậc 2 và VI ET

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC VÀ HỆ THỨC VI- ET I Tóm tắt lý thuyết 1) phương trình bậc tổng quát:  a �0  ax  bx  c  (1) Phương trình có:   b  4ac +) Nếu   phương trình (1) vơ nghiệm x1  x2   +) Nếu   phương trình (1) có nghiệm kép: +) Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b 2a x1  b   b   ; x2  2a 2a Trường hợp: b  2b ' ta có:  '  b '  ac Khi đó: +) Nếu  '  phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu  '  phương trình (1) có nghiệm kép: +) Nếu x1  0 phương trình (1) x1  x2   có b' a hai nghiệm phân biệt b '  ' b '  ' ; x2  a a 2) Hệ thức Vi-ét: b � S  x1  x2   � � a � � P  x x  c x , x a Nếu phương trình (1) có hai nghiệm thì: � Đảo lại: Nếu hai số x1 , x2 thỏa mãn: �S  x1  x2 � �P  x1.x2 x1 , x2 nghiệm phương trình: x  S x  P  Các hệ thức liên hệ hai nghiệm thường vận dụng để giải toán: 2 1) x1  x2   x1  x2   x1.x2 3 2) x1  x2   x1  x2   x1 x2  x1  x2  3) x14  x24   x12  x22   x12 x22  4)  x1  x2  x1  x2     x1  x2   x1  x2  2  x1.x2  x12 x22 x1 x2 x12  x22 ( x1  x2 )  x1.x2    x1.x2 x1.x2 5) x2 x1  x1 x2 1 x12  x22  x1  x2   x1 x2   2  x12 x22 x1 x2  x1.x2   2 6) 7)  x1  x2    x1  x2   x1.x2 Điều kiện nghiệm phương trình bậc hai a �0 � � Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: � �0, ( ' �0)   ( '  0) � � P0 Phương trình có hai nghiệm dấu khi: � Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P  (Khi phương trình có hai nghiệm trái dấu khơng cần điều kiện   P < hiển nhiên   (  '  0) (  '  0) ) Phương trình có hai nghiệm dương khi: � a �0 �  ( '  0) � � �S  x1  x2  � �P  x1.x2  a �0 � �   0, ( ' �0) � � S 0 � � Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: � P  Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P  a) Chứng minh phương trình x  2mx  3m   ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m Với giá trị m hai nghiệm x1; x2 x 2 x 2 0 thỏa mãn       Ví dụ Cho phương trình: (với m tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dấu c) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm khác dấu d) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương e) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm Lời giải a) Để phương trình cho có nghiệm thì: x  m   m2  4m   0, �� '  1 �۳ ( m 4m 3)  m�� 6m m m� phương trình cho có nghiệm Vậy a) Phương trình cho có hai nghiệm dấu khi: 2 � '  � m  1  m  4m   �  � � m �� �� � m3 � �P  m  4m   � � m  �m  �   Vậy m > phương trình có hai nghiệm dấu c) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi: P < II BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng Tìm giá trị tham số biết hệ thức đối xứng nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = x  x2  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Lời giải a) Với m = 6, ta có phương trình: x – 5x + = ∆ = 25 – 4.6 = Suy phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m ۣ m Để phương trình cho có nghiệm ∆ �0 Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = (1); x1x2 = m (2) 25 (*) x  x2  Mặt khác theo (3) Từ (1) (3) suy x1 = 4; x2 = x1 = 1; x2 = (4) Từ (2) (4) suy ra: m = Thử lại thoả mãn Thí dụ Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x = 10 x=0 � � x=-8 Lời giải 1) Với m = - ta có phương trình: x2 + 8x = � x (x + 8) = � � 2) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’ �0 � (m - 1)2 + (m + 3) ≥ � m2 - 2m + + m + ≥ 15 (m  )   � m2 - m + > � m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt  m �x1 + x = 2(m - 1) (1) � x x = - m - (2) Theo hệ thức Vi ét ta có: �1 2 Ta có x1 + x = 10 � (x + x )2 - 2x x = 10 � (m - 1)2 + (m + 3) = 10 2 m=0 � � 2m (2m - 3) = � � � m= � � 4m2 - 6m + 10 = 10 Thí dụ Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = 3 b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Lời giải : a) Với m = ta có phương trình: x2 – 6x + =  5; x   Giải ta hai nghiệm: x1 = / b) Ta có: ∆ = m – m �2 �  / �0 � � m �-2 (*) � Phương trình (1) có nghiệm � Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m x1x2 = Suy ra: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = � x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = � (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = � 4m2 – + 4m = � m1  � m  2 � m2 + m – = � � Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy có nghiệm m2 = - thỏa mãn Vậy m = - giá trị cần tìm Thí dụ Cho phương trình: x2 - 2x + m = (1) a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: = Lời giải a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - = Vì a - b + c = - (- 2) + (- 3) = nên x1 = - 1; x2 = b) Phương trình có nghiệm � > � - m > � m < Khi theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = m (1) 1 x12  x 22 (x1  x )2  2x1x   �  � 1 x2 x2 x12 x 22 (x1x ) 2 (2) Từ (1), (2), ta được: - 2m = m m + 2m - = = + = => = nên m = -1 + (loại); m = - - (T/m m < 1) Vậy giá trị m cần tìm là: m  1  Thí dụ : Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= (1) a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn Lời giải a) Với m = - ta phương trình: x2 + 4x = x(x + 4) = x = ; x = - b) Phương trình (1) có nghiệm > (m -1)2 - (m+ 1) = m2 - 3m = m(m - 3) > m > ; m < (1) Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2(m - 1) x1x2 = m + (2) x1 x x12  x 22 (x1  x )  2x1x   x1 x Ta có: x x1 = x1x x1 x (x  x )  2x1x  4�  � (x1  x )  6x1x x x x x 1 nên (3) 2 Từ (2) (3) ta được: 4(m - 1) = 6(m + 1) 4m - 8m + = 6m + 2m2 - 7m - = m = 49 + = 57 nên m = < ; m = > Đối chiếu đk (1) nghiệm thoả mãn Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013) Cho phương trình: x  6x  m  (Với m tham số) Tìm m để phương trình 2 cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1  x2  12 Lời giải Để phương trình có nghiệm (*) Mặt khác ta cóTM ĐK (*) Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013) Cho phương trình: x  6x  m  (Với m tham số) Tìm m để phương trình 2 cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1  x2  12 Lời giải Để phương trình có nghiệm (*) Mặt khác ta cóTM ĐK (*) Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013-2014) Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn Lời giải PT cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: (*) �x1  x2   2m � �x1.x2  m  2m  Với theo Vi-et ta có: 1 1   �   2 x  x2 x1 x2 15m  x1  x2   x1 x2 x1 x2 15m Ta có � � (1) 1   m  6m  m  2m  15m 1   4 m   m   15 m m Đặt t  4 � 1   �� � t  4 t  12 t  t  15 � Ta cos (1) trở thành ( ) Với ta có thỏa mãn (*) Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) Cho phương trình x  2mx  m   3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  26m Lời giải x  2mx  m   � � 15  '  m2  m   � m  �  m 2� � Ta có: Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m Theo định lý Viet: x1  x2  2m; x1 x2  m  x13  x23  26m �  x1  x2   x1 x2 ( x1  x2 )  26m � 8m3  6m(m  4)  26m � m(8m  6m  2)  � m  0; m  1; m   Thí dụ 10 (Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình năm học 2012-2013) Cho phương trình x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = (1) (x ẩn số, m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tìm m để x1  x  17 Lời giải   (4m  1)  8(m  4)  16m  8m   8m  32  16m2  33   16m2  33  m �� nên phương trình (1) ln có hai Vì nghiệm phân biệt với với m 2) Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m nên �x1  x  (4m  1) � �x1.x  2(m  4) theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  17 � ( x1  x2 )  289 � ( x1  x2 )  x1 x2  289 Theo ycbt: � (4m  1)  8( m  4) = 289 � 16m2  33  289 � 16m  256 � m  �4 m  �4 giá trị cần tìm Vậy Thí dụ 11 (Trích đề chuyên Nam Định năm 2015-2016) Cho phương trình x   m  1 x  m   (1) (với m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  16 Lời giải a) Với m  , ta có phương trình (1) trở thành x  x   Ta có a  b  c     nên phương trình có nghiệm phân biệt x1  1; x2  Vậy với m  , phương trình cho có nghiệm phân biệt x1  1; x2  x   m  1 x  m   b) (0,75 điểm) (1)  '   m  1   m     2m Phương trình (1) phương trình bậc ẩn x có x1 , x2 ���� ' 0 7 m m (*) Phương trình (1) có nghiệm x  x   m  1 ; x1.x2  m  Khi theo định lý Viét ta có 2 x12  x22   x1  x2   x1 x2   m  1   m    2m  8m  16 Do m0 � x12  x22  16 � 2m  8m  16  16 � � m4 � Vậy Kết hợp điều kiện (*) ta có m  giá trị thỏa mãn Thí dụ 12 (Trích đề Thi vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm 2017-2018) Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  3m   , m tham số, x ẩn số a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm 2 b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh x1  x2  x1 x2 � Lời giải 1a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm 2 PT có nghiệm �  '  (m  1)  (2m  3m  1) �0 � m  m �0 � m(m  1) �0 � m0 � � � m 1  � � �m �1 � � m0 � � �� �� m �0 � � m 1  � � � � m �1 � � � m  � � m 1 � �0 m ۣ 1b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x1  x2  x1 x2 � Theo Viet ta có: �x1  x2  2(m  1) � �x1.x2  2m  3m  x1 , x2 Chứng minh � 1� � P | x1  x2  x1.x2 |  | 2m  m  1| � m  � � � 16 1 � 1� �m �1 �  �m  � � � m  �� 4 4 � 16 � Có �9 � � �9 P  �  �m  ��� m � �8 16 � � � � , dấu xảy Suy Câu 13 Cho phương trình x  ax  b   với tham số 1) Giải phương trình b  5 2) Tìm giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt mãn điều kiện: Lời giải 1) Khi b  5 ta có phương trình: Do a + b + c = nên phương trình có nghiệm x1 , x thoả 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   a  4(b  1)  (*) Khi theo định lý Vi-et, ta có �x1  x2  a � �x1 x2  b  (1) � �x1  x  � x1  x   3x1x  x1  x    � Bài toán yêu cầu (2) 2  x1  x2    x1  x2   x1 x2   4(2)  Từ hệ (2) ta có: , kết hợp với (1) � a 1 a  1, b  3 � �� � b   2 a  1, b  3 � � Các giá trị thoả mãn điều kiện (*) nên chúng giá trị cần tìm Ví dụ 14 Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác x1 x2   x2 x1 thỏa điều kiện Lời giải.1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – =  x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0) x1 x2   x2 x1 2 2) Với x1, x2  0, ta có :  3( x1  x2 )  8x1 x2  3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 Ta có : a.c = -3m2  nên   0, m  b c 2  3m a x1.x2 = a 0 Khi   ta có : x1 + x2 = Điều kiện để phương trình có nghiệm  mà m    > x1.x2 <  x1 < x2 Với a =  x1 = b '  ' x2 = b '  '  x1 – x2 =  '   3m 2 Do đó, ycbt  3(2)(2  3m )  8(3m ) m    3m  2m (hiển nhiên m = không nghiệm)  4m4 – 3m2 – =  m2 = hay m2 = -1/4 (loại)  m = 1 Thí dụ 15 (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm học 2016-2017) 2 2 Cho phương trình: x  2mx  m  m   (m tham số) Với giá trị m x  x2  phương trình có hai nghiệm x1 x cho ? 2 Lời giải a) Phương trình: x  2mx  m  m   có hai nghiệm thì:   ' m �۳ m m  m m Theo hệ thức Vi-ét ta có: �x1  x  2m � �x1x  m  m  Ta có: x1  x  � x12  x 22  x1x  64 �  x1  x   2x1x  x1x  64 (1) Trường hợp 1: m �6 � x1x �0 � � �m  m    m    m  3 �0 Nếu x1 x dấu thì: 6 �m �2 � �� m �3 � (*) Khi (1) �  x1  x   64 � 4m  64 � m  �4 (thỏa mãn (*)) Trường hợp 2: Nếu x1 x trái dấu thì: x1x  � m  m    m    m    � 2  m    �  x1  x   4x1x  64 � 4m  m  m   64 Khi (1) (**) � m   16 � m  10 (không thỏa mãn điều kiện (**) Kết luận: m  �4 Dạng Tìm giá trị tham số biết hệ thức không đối xứng nghiệm Ví dụ Cho phương trình bậc ẩn x, tham số m: x  mx  m   (1) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1  3x2  Lời giải Phương trình có hai nghiệm x1 , x2  �0 Theo hệ thức Vi-ét ta có: �x1 + x = -m (1) � (2) �x1.x = m + x1  x2  nên �x1 + x = -m � 2x1 +3x = � Mà: ta có hệ: �x  3m  � �1 �x2  2m  Do đó: x1.x = m + � (-3m - 5)(2m + 5) = m + Giải ta được: m = - m =  Vậy: với m = - m =  đề thỏa mãn điều kiện:  �0 phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1  3x2  Thí dụ Cho phương trình: x   m  1 x  m   (m tham số) 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  2(m  1) x2 �3m  16 Lời giải Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì: �۳ ' Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: Theo đề bài: m (*) � x1  x2   m  1 � x1.x2  m  � �x   m  1 x  m2  �1 x12  2(m  1) x2 �3m  16 �  m  1 x1  2(m  1) x �4m  20 �  m  1  x1  x2  �3m  16 �  m  1 �4m  20 � 8m 16 �� m Vậy m �2 giá trị m cần tìm Thí dụ Trích đề thi Chun T.P Hồ Chí Minh năm 2010-2011) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  2m 1 Lời giải Ta có: ’=   4m2  4m 3   Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m Ta có : x1 =2m-1 ; x2 =2m+3 10 x1, x2  x1  x2  , với thỏa x1  x2 Do phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lý Viet Biểu thức A = = == = Do nên , suy A  Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A , đạt Ví dụ (Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + = có hai nghiệm x1 , x2 cho T = x1(x1 – x2) + x22 đạt giá trị nhỏ Lời giải Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + = Phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 khi:  '   m  1   m  1 � �x1  x2   m  1 �  '  2m �0 � m �0 Theo hệ thức Vi-et thì: �x1.x2  m  T = x1  x2  x1.x2 T = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = m2 + 8m + Do m �0 nên T �1 Vậy giá trị nhỏ T 1, m = 2 Ví dụ Cho phương trình x  2mx  m   (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình 24 x  x22  x1 x2 Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ Lời giải a/ Phương trình (1) có ∆’ = m - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S = M=  24 ( x1  x2 )  x1 x2  b c  2m  m2 a ;P= a 24 6  = 4m  8m  16 m  2m  6 (m  1)  Khi m = ta có ( m  1)  nhỏ � M  6 �M  (m  1)  lớn m = (m  1)  nhỏ m = Vậy M đạt giá trị nhỏ - m = Ví dụ (Trích đề Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2009-2010) 13 Cho phương trình: ax  bx  c  ( a �0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: �x1 �x2 �2 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a  3ab  b Q 2a  ab  ac b c x1.x2  x1  x2   a , a Lời giải Theo Viét, ta có: b �b �   � � a �a � 2 2a  3ab  b b c Q 2  2a  ab  ac = a a ( Vì a �0) Khi  3( x1  x2 )  ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 )  x1 x2 = Vì �x1 �x2 �2 nên x1 �x1 x2 x2 �4 2 2 � x1  x2 �x1 x2  �  x1  x2  �3x1 x2  2  3( x1  x2 )  3x1 x2  Q� 3  ( x  x )  x x 2 Do Dạng So sánh nghiệm phương trình với số (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Long An năm 2014-2015) Loại Cho phương trình ax  bx  c  Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2     x1  x2 Phương pháp giải: Bưới 1: - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm > Bước 2: Tính giá trị hai nghiệm theo tham số Bước 3: So sánh nghiêm sát với  giải tính giá trị tham số cần tìm Ví dụ Cho phương trình x  x  m  Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  Lời giải Ta có:    4m Phương trình có nghiệm phân biệt Ta có: x1  �m   4m   4m x2  2 14   4m 2 Vì x  x2  nên Suy  4m  ⇒ m  2 2  m  Giá trị m cần tìm Loại Cho phương trình ax  bx  c  Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1    x2 Phương pháp giải: Từ x1    x2 suy ra: x1     x2   Đặt y = x -  thay x = y +  vào phương trình ta được: a  y     b  y     c   * Ta chuyển sang tìm giá trị tham số để phương trình (*) có ngun trái dấu Ví dụ Tìm m để phương trình:  2m  1 x   m2  1 x   tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1   x2 Lời giải Từ x1   x2 suy ra: x1    x2  Đặt y = x - 1thay x = y + vào phương trình ta được:  2m  1  y  1   m2  1  y  1   �  2m  1 y   m  4m   y  m  3m  (*) Ta cần tìm m cho phương (*) có hai nghiệm trái dấu: �m  3 m  3m P0�  �  m  3m   2m  1  � � � 2m  0m � Dạng Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm ngun hữu tỷ Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) Cho phương trình x  2mx  m   Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm ngun Lời giải Gọi x1 , x2 (x1  x2 ) hai nghiệm nguyên phương trình Ta có: x1  x2  2m; x1 x2  m  Suy x1  x2  x1 x2  � 2( x1  x2 )  x1 x2   15 � (2 x1  1)(2 x2  1)  15 TH1: �2 x1   1 �x1  �� �m4 � �2 x2   15 �x2  TH2: x1   5 �x1  2 � �� �m0 � x2   � �x2  15 TH3: �2 x1   15 �x1  7 �� � m  3 � �2 x2   �x2  x1   3 �x1  1 � �� � m 1 � x2   � �x2  TH4: Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện tốn Thí dụ (Trích đề Chun Phú n năm 2011-2012) Cho phương trình a(a+3)x2 - 2x - (a+1)(a+2) = (a tham số, nguyên) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ b) Xác định a để phương trình có nghiệm ngun Lời giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ: - Với a(a+3) = hay a = a = -3: Phương trình trở thành: -2x -2 = có nghiệm x = -1 - Với a(a+3)  hay a  a  -3 p/t cho phương trình bậc hai 2 Ta có: a(a  3)   (a  1)(a  2)  a  3a   a  3a   Nên phương trình cho có nghiệm: x1  1 x2  (a  1)( a  2)  1 a (a  3) a(a  3) Vì a ngun nên suy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ 2 Ghi : Nếu thí sinh tính  '  (a  3a  1)  0, a Vì a nguyên nên  '  a  3a  số nguyên Vậy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ b) Xác định a để nghiệm phương trình nghiệm nguyên: (1) Nếu a = a = -3: phương trình có nghiệm ngun x = -1 (2) Nếu a  0, a  -3: Theo câu a), phương trình có nghiệm x1 = -1 ngun nên để p/trình có nghiệm ngun x2 phải nghiệm nguyên Nghĩa là: phải chia hết cho a(a  3) � a  3a   a (a  3)  2 � �2 � a (a  3)  1 a  3a   � �� � � a (a  3)  a  3a   � � a (a  3)  � a  3a   � Khi ta có khả xảy : � 16 Vì a nguyên nên có phương trình a  3a   có hai nghiệm nguyên a = -1 a = -2 Vậy: a � 3; 2; 1;0 phương trình cho có nghiệm ngun Cho phương trình: x2 – 4x + m + = (m tham số) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x < < x2) Khi nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? m = 2, phương trình cho thành: x2 – 4x + = Phương trình có a + b + c = – + = nên có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu  ac <  m + <  m < -1 �x1  x  � x x  m1 Theo định lí Vi-et, ta có: �1 Xét hiệu: |x1| - |x2| = -x1 – x2 = -4 < (vì x1 < < x2)  |x1| < |x2| Vậy nghiệm x1 có giá trị tuyệt đối nhỏ nghiệm x2 Dạng Các toán tham số phương trình bậc cao Ví dụ (Trích đề Chun Nguyễn Trãi –Hải Dương năm 2010-2011) Cho phương trình: x  ax  bx   (1) 1) Tìm số hữu tỷ a b để phương trình (1) có nghiệm x   2) Với giá trị a, b tìm trên; gọi x1; x2 ; x3 ba nghiệm phương trình S (1) Tính giá trị biểu thức 1   x15 x25 x35 Lời giải 1) x  ax  bx   (1) Tìm a, b �Q để (1) có nghiệm x   Thay x   vào (1)ta có :     a 2     b  1  �  4a  b  15   a  2b  25 +/Nếu  4a  b  15  �0 3 => 7a  2b  25  4a  b  15 +/ Suy (vơ lí VT số vơ tỷ , VP số hữu tỷ) a  2b  25  � �  4a  b  15  � �4a  b  15  17 Giải hpt ,kết luận : a  5 � � b5 � S 2) Với a=-5 ;b=5 Tính giá trị biểu thức +/ a  5 � � b5 � (1) có dạng 1  5 5 x1 x2 x3 x  x  x   �  x-1  x  x  1  Khơng tính tổng qt coi x3  x1 , x2 nghiệm phương trình x  x  1  ( có  '   ) => �x1  x2  � �x1 x2  +/ x12  x22   x1  x2   x1 x2  14 +/ x13  x23   x1  x2   x12  x22  x1 x2   52 x15  x25   x12  x22   x13  x23   x12 x22  x1  x2   724 +/ =>S = 725 Ví dụ (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2015-2016) Tìm m để phương trình:  Lời giải x    x  3  x    x    m có nghiệm phân biệt x    x  3  x    x    m � ( x  x  8)( x  x  15)  m  1 Phương trình  x  x    x  1  y  y �0  , Đặt phương trình (1) trở thành:  y    y  16   m � y  25 y  144  m  (2) x  1  y Nhận xét: Với mỗi giá trị y  phương trình:  có nghiệm phân biệt, phương trình (1) có nghiệm phân biệt � phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt '  � � '  4m  49  49 � � �  m  144 �S  � �25  �P  � 144  m  � � 49    m  144 Vậy với phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài tập tổng hợp hay: 18 Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a  4b �2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax  4bx  671  9a  Lời giải Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a  4b �2013 (1) Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a  4b �2013 (1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 18ax  4bx  671 9a  (2) TH1 : Với a = (2) � 4bx 671  x  671 4b b 0 Vậy (2) có nghiệm 2 TH2 : Với a �0, ta có :  '  4b  18a(671 9a)  4b  6a.2013 162a Từ (1) �4b2  6a(18a  4b)  162a2  4b2  24ab  54a2  (2b  6a)2  16a2 �0,a, b Vậy pt ln có nghiệm Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm học 2016-2017) 2 Cho phương trình: x  2mx  m  m   (m tham số) Với giá trị m x  x2  phương trình có hai nghiệm x1 x cho ? 2 Lời giải Phương trình: x  2mx  m  m   có hai nghiệm thì:   ' m �۳ m m  m m Theo hệ thức Vi-ét ta có: �x1  x  2m � �x1x  m  m  Ta có: x1  x  � x12  x 22  x1x  64 �  x1  x   2x1x  x1x  64 (1) Trường hợp 1: m �6 � x1x �0 � � �m  m    m    m  3 �0 Nếu x1 x dấu thì: 6 �m �2 � �� m �3 � (*) Khi (1) �  x1  x   64 � 4m  64 � m  �4 (thỏa mãn (*)) 19 Trường hợp 2: Nếu x1 x trái dấu thì: x1x  � m  m    m    m    � 2  m    �  x1  x   4x1x  64 � 4m  m  m   64 Khi (1) (**) � m   16 � m  10 (không thỏa mãn điều kiện (**) Kết luận: m  �4 ac �2 Ví dụ Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d � b  d Chứng minh phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x ẩn) ln có nghiệm Lời giải Xét phương trình: x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2)    (a  4b)  (c  4d ) a  2ac  c  2 ac  2(b  d ) (a  c)  2 ac  2(b  d ) + Với b+d 0  >0 � pt cho có nghiệm ac �2 � ac > 2(b + d) =>    0 + Với b  d 0 Từ b  d => Ít hai biểu giá trị 1 ,  0 => Ít hai pt (1) (2) có nghiệm ac �2 Vậy với a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d � b  d , phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x ẩn) ln có nghiệm Ví dụ Cho hàm số y = f(x) với f(x) biểu thức đại số xác định với số �1 � �� thực x khác không Biết rằng: f(x) + 3f �x �= x2  x ≠ Tính giá trị f(2) �1 � � �= x x �0 Lời giải Xét đẳng thức: f(x) + 3f �x � (1) �1 � f�� Thay x = vào (1) ta có: f(2) + �2 �= �1 � f � �+ 3.f(2) = Thay x = vào (1) ta có: �2 � a + 3b = � � �1 � � 13 f�� 3a + b = a=� Giải hệ, ta 32 Đặt f(2) = a, �2 �= b ta có � 20 f(2) = - 13 32 Vậy Ví dụ Chứng minh phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = có nghiệm 5(a2 + b2) ≥ Lời giải Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x �0 � 1 � a x0 + + = � x0 + + a � �+ b = x0 x0 � x x x � 0 Suy + ax0 + b + = y0 Đặt x0 + x x 02 + = y 02 - , y x0 2 � y02 - = - ay0 - b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: y -  =  ay + b  2 (y  2) � a  b � 02 �  a + b   y + 1 y  (1) 2 (y 02  2) � y  Ta chứng minh (2) Thực vậy: (2) � 5(y  4y  4) �4(y0  1) � 5y0  24y0  16 �0 4 � 5(y 02  4)(y02  ) �0 y �2 với nên (1) a + b � Từ (1), (2) suy 5(a + b ) , đpcm CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHƯA THAM SỐ Dạng Biện luận nghiệm phương trình �mx  y  20 (1) � Ví dụ Cho hệ phương trình: �x  my  10 (2) (m tham số) Với giá trị m hệ cho: a) Vơ nghiệm b) Có nghiệm c) Vơ số nghiệm �x  10 � Lời giải Cách Với m = hệ có nghiệm nhất: �y  Với m �0 hệ phương trình tương đương với: 21 m � y x5 � � � �y  1 x  10 � m m (a ) (b) Dễ thấy (a) (b) hai đường thẳng hệ tọa độ Oxy, số nghiệm hệ số giao điểm hai đường thẳng (a) (b) a) Hệ phương trình cho vơ nghiệm (a) (b) song song tức là: �m 1  � �4 m � m  2 � �5 �10 � m Vậy m = - hệ cho vơ nghiệm b) Hệ cho có nghiệm (a) (b) cắt tức là:  m 1 �۹� m m c) Hệ cho có vơ số nghiệm (a) (b) trùng tức là: � m 1  � �4 m �m2 � 10 �5  � m Vậy m = hệ cho có vơ số nghiệm Cách từ PT(2) suy ra: x = 10 – my thay vào (1) ta được: y (4  m2 )  20  10 m (3) Ta có số nghiệm hệ cho số nghiệm Phương trình (3) �20  10m �0 �m �2 � � m  2 � � �m  �2 a) Hệ cho vô nghiệm khi: �4  m  Vậy với m = - hệ cho vơ nghiệm m2 b) Hệ có nghiệm khi: �۹� m 20  10m  � �m2 � c) Hệ cho vô số nghiệm khi: �4  m  Ví dụ (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2012-2013) �x + y = 2m +1 � �2 2 � Cho hệ phương trình: �x y + y x = 2m - m - , với m tham số a) Giải hệ phương trình với m =2 b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m Lời giải a) Giải hệ phương trình với m =2 22 Với m = 2, hệ phương trình là: �x + y �x + y �x + y = =5 � =5 � � � � �2 � � � �xy ( x + y ) = � � xy = �x y + y x = � Do đó, x, y nghiệm phương trình X2-5X +1= Giải ra X1 = + 21 - 21 , X2 = 2 � �� + 21 - 21 � - 21 + 21 � � � � � � ; , ; � � � � � � � � � � � 2 � Vậy hpt có hai nghiệm: b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m � x+ y = m +1 � � �xy ( x + y ) = (2m +1)( m - 1) Hệ cho viết lại là: � (1) Nếu m =- hệ trở thành: �x �R x+y =0 � � � x+ y =0 �� � � � � �xy ( x + y ) = �y =- x Hệ có vơ số nghiệm (2) Nếu m �- hệ trở thành: x + y = 2m +1 � � � � =m- �xy Nên x,y nghiệm phương trình: X - (2m +1) X + m - = (*) 2 P/t (*) có D =(2m+1) - 4(m - 1) = 4m + > 0, " m nên ln có nghiệm Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m Ví dụ (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm 2017-2018) � x  xy  � 2 Cho hệ phương trình �4 x  xy  y  m , m tham số x, y ẩn số a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Lời giải 2a) Giải hệ phương trình với m  �2 x  � x  xy  y � � �� x � 2 �4 x  xy  y  � x  xy  y  � Với m=7 ta có: (do x  khơng thỏa mãn) 23 2 x  �2 x  � � 4x  4x � � x � x � 2 � 1� � x  x  x  1   x  1  x � x  x   �  x  1 �x  � � 8� � x  � x  �1 Với x  � y  x; y    1; 1 ,  1;1 Với x  1 � y  1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  m để hệ phương trình có nghiệm 2b) Tìm tất giá trị Ta có x  khơng thỏa mãn suy x �0 Rút y từ PT thứ vào PT thứ hai ta có: 2 x  �2 x  � 4x  4x � � m x � x � � x  x  x  1   x  1  mx 2 Hệ có nghiệm có nghiệm khác � x  mx   có nghiệm khác Đặt t  x , t �0 Thay vào phương trình ta 2 8t  mt   (1) Như yêu cầu toán �  1 có nghiệm dương Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu ac  suy (1) ln có nghiệm dương Do với số thực m hệ phương trình ln có nghiệm Dạng Tìm giá trị tham số để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện cho trước ( m  1) x  y  3m  � � Ví dụ Cho hệ phương trình: �x  (m  1) y  m (1) (2) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y = Lời giải Bước Tìm điều kiện để hệ cho có nghiệm Từ (2) suy ra: x = m - (m-1)y Thế vào x = m - (m-1)y vào (1) ta được: (3) (m – 1)(m – (m – 1)y) = 3m – � y (m  2m)  m  4m  Hệ phương trình có nghiệm (3) có nghiệm tức �m �0 m  2m �0 � � m �2 (*) � là: Bước Tìm m thỏa mãn điều kiện x + y = 24 � 3m  x � � m � �y  m  m Với điều kiện m �0 m � hệ cho có nghiệm là: � 3m  m    � m   2m � m  m Với điều kiện x + y = ta có: m (**) Từ (*) (**) suy không tồn m thỏa mãn yêu cầu tốn mx  y  1 � � Ví dụ Cho hệ phương trình: �x  y  m Tìm m để phương trình có nghiệm (x, y) thỏa mãn: y  x Lời giải Từ phương trình thứ suy ra: y = -m – x Thế vào phương trình thứ ta được: mx – m – x = -1 � x(m-1) = m – (*) Hệ có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm tức m � � x 1 � Khi đó, hệ có nghiệm �y   m  Ta có: y = x �  m   � m  2 Vậy m = - giá trị cần tìm Ví dụ (Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) 2x  y   a � � Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình �x  y  3a  y Có nghiệm (x; y) cho T = x số nguyên 2x  3y   a � �x  a  � � Lời giải Ta có: �x  y  3a  hệ cho có nghiệm (x, y) với �y  a y a Mà T = x = a  =  a  a 1  � � a   1 hay Vì a nguyên, để T nguyên điều kiện � a0 � � a  2 � Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm học 2016-2017) 2 2 � �x y  2x y  x y  2xy  3x   �2 2017 y  x  y  3m � Cho hệ phương trình Tìm giá trị m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện  x  y2   x  y1    25  x ; y1   x ; y2  Lời giải Ta có: �x y2  2x y  x y  2xy  3x   (1) � �2 2017  y  3m (2) �y  x 2 2 Ta có (1) � x y  x y  2x y  2xy  3x     x 1 � ��  xy  1   �  V�l� � (x  1) x y  2xy   Thay x = vào phương trình (2) ta y  y  3m   (3) Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:  x  y2   x  y1    �  y1  y2  y1y  (4)     3m  1  � 12m   � m  Theo đề bài: x1  x  Với m theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có : �y1  y  � �y1y   3m thay vào (4) ta có:   3m  � m  (thỏa mãn) Kết luận: m = Ví dụ (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Quảng Nam năm 2008-2009) Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức Lời giải a) Khi m = ta có hệ phương trình b) Giải tìm được: Thay vào hệ thức ; ta Giải tìm Ví dụ Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: 26 Lời giải Ta có: �mx  y  m  � �2 x  my  2m  Để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm Để x, y số nguyên m + Ư(3) = Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 27 ... – m 2 �  / �0 � � m � -2 (*) � Phương trình (1) có nghiệm � Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = 2m x1x2 = Suy ra: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = � x 12 + 2x1 + x 22 + 2x2 = � (x1 + x2 )2 – 2x1x2 + 2( x1... �x2 2 nên x1 �x1 x2 x2 �4 2 2 � x1  x2 �x1 x2  �  x1  x2  �3x1 x2  2  3( x1  x2 )  3x1 x2  Q� 3  ( x  x )  x x 2 Do Dạng So sánh nghiệm phương trình với số (Trích đề tuyển sinh vào... x2 nghiệm phương trình x  x  1  ( có  '   ) => �x1  x2  � �x1 x2  +/ x 12  x 22   x1  x2   x1 x2  14 +/ x 13  x 23   x1  x2   x 12  x 22  x1 x2   52 x15  x25   x12