Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 1 - GVBM: Lưu Văn Minh Chủ đề3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết) I. MỤC TIÊU: - HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm; về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm, Giải các hệ phương trình - Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m II. NỘI DUNG: A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Hệ phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng: ( ) ' ' ' ( ') ax by c d a x b y c d + = + = (I) Các cách giải: *) Phương pháp đồ thò: - Hệ (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=> ' ' a b a b ≠ - Hệ (I) có một nghiệm duy nhất <=> (d) cắt (d’) <=> ' ' ' a b c a b c = ≠ - Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d) ≡ (d’) <=> ' ' ' a b c a b c = = *) Giải bằng đại số: - Phương pháp thế - Phương pháp cộng đại số 2) Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Các cách giải phương trình bậc hai một ẩn: a) Công thức nghiệm: ∆ = b 2 – 4ac ∆ > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -b + 2a ∆ ; x 2 = -b - 2a ∆ ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = b 2a − ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm b) Công thức nghiệm thu gọn: ∆’ = b’ 2 – ac ∆ ’ > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = ∆-b' + ' a ; x 2 = ∆-b' - ' a ∆ ’ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = −b' a ∆ ’ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm c) Nhẩm theo hệ số a, b, c: - Nếu phưong trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì x 1 = 1; x 2 = c a - Nếu phưong trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì x 1 = - 1; x 2 = - c a 2. Đònh lý Vi ét: a) Nếu p.trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x 1 ; x 2 thì tổng và tích các nghiệm đó là: S = x 1 + x 2 = -b a ; P = x 1 .x 2 = c a Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 2 - GVBM: Lưu Văn Minh b) Nếu hai số x 1 ; x 2 có S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 3. C.minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m - Bước 1: Lập ∆ - Bước 2: Biến đổi ∆ về dạng: ∆ = A 2 ≥ 0 với mọi m hoặc ∆ = A 2 + k > 0 với mọi m 4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó ta tiến hành: • Lập ∆ • Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0. Từ đó suy ra điều kiện của m • Áp dụng đònh lý Vi ét tính S = x 1 + x 2 ; P = x 1 .x 2 • Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích • Thay S và P vào suy ra giá trò của m • Đối chiếu điều kiện và kết luận 5. Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m • Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm 6. Một số hệ thức khác: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: - Hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 hoặc 0 0P ∆ > < - Hai nghiệm đều dương ⇔ 0 S > 0 P > 0 ∆ ≥ - Hai nghiệm đều âm ⇔ 0 S < 0 P > 0 ∆ ≥ - Một số công thức cần lưu ý: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 .x 2 ; (x 1 - x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 .x 2 ; x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) B. LUYỆN TẬP: Hoạt động Nội dung Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) 2( 1) 3( 2) 5( ) 17 4( 3) ( 2) 2 6 x y x y x y y x − − + = + − + − − = − + b) 3 1 4 2 3 1 4 x y x y + = + = c) 2 3 3 3 4 1 6 4 x y x y x + + = − + = a) 2( 1) 3( 2) 5( ) 17 4( 3) ( 2) 2 6 x y x y x y y x − − + = + − + − − = − + 2 2 3 6 5 5 17 3 8 9 4 12 2 2 6 8 x y x y x y x y y x x y − − − = + − + = ⇔ ⇔ + − + = − + + = Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3) b) 3 1 3 4 2 9 12 6 4 2 3 4 3 4 16 12 16 1 4 x y x y x y x y x y x y + = + = + = ⇔ ⇔ + = + = + = Giải ta được (x; y) = ( 10 4 ; 7 7 − ) c) 2 3 7 2 2 14 3 3 4 11 2 12 11 2 12 1 6 4 x y x y x y x y x x y x y + + = + = + = ⇔ ⇔ − − = − = + = Giải ra ta được (x; y) = (2; 5) Bài 2: Cho hệ phương trình: a) khi a = -2 thay vào hệ PT đã cho ta được hệ PT: Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 3 - GVBM: Lưu Văn Minh 2 10 (1 ) 0 ax ay a x y + = − − + = a) Giải hệ phương trình khi a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 2 4 10 3 0 x y x y − − = − + = Giải ra ta được (x; y) = (-1; 3) b) 2 10 (1 ) 0 ax ay a x y + = − − + = <=> 2 10 2 (1 ) 2 0 ax ay a a x ay + = − − + = Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10 <=> (2a 2 – a).x = -10 (1) Phương trình 91) có nghiệm <=> (2a 2 – a) ≠ 0 1 0; 2 a a⇔ ≠ ≠ Vậy với 1 0; 2 a a≠ ≠ thì hệ p.trình đã cho có nghiệm Bài 3: Xác đònh giá trò của a, b để hệ phương trình 4 5 10 3 7 4 ax y b x by a + = − + = − có nghiệm x = 4; y = 3. Vì x = 4; y = 3 là nghiệm của hệ PT đã cho, nên thay vào ta được hệ PT: 4 12 5 10 4 5 22 12 3 7 4 4 3 5 a b a b b a a b + = − − = − ⇔ + = − + = − Giải ra ta được a = 27 1 2 ; 2 32 8 b− = Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 7x 2 -12x + 5 = 0; b) 1 2 1 x x x x + + = − + c) x 2 - 2(1+ 3 )x + 2 3 = 0 d) x 2 - ( )32 + x + 6 = 0 a) 7x 2 -12x + 5 = 0 (a = 7; b = -12; c = 5) Ta thấy a + b + c = 7 + (- 12) + 5 = 0 Vậy nghiệm phương trình x 1 = 1; x 2 = 5 7 b) 1 2 1 x x x x + + = − + (1) ĐK: x ≠ 0; x ≠ -1 (1) <=> x 2 + (x + 1) 2 = -2x(x + 1) <=> 4x 2 + 4x + 1 = 0 Giải ra ta được x 1 = x 2 = 1 2 − c) x 2 - 2(1+ 3 )x + 2 3 = 0 (a = 1; b = - 2(1+ 3 ); b’ = - (1+ 3 ); c = 2 3 ∆’ = b’ 2 – ac = [- (1+ 3 )] 2 - 2 3 = 4 > 0 => ' 2∆ = x 1 = 3 + 3 ; x 2 = 3 - 1 Bài 5: Giải các phương trình sau: a) 2 1 1 10 9 0 2 2 x x + − + + = ÷ ÷ ; b) (x 2 – 6x + 9) 2 + x 2 – 6x – 3 = 0 c) 8 2 7 8 2 7 4x x x x+ + + + + − + = d) (8x + 7) 2 .(4x + 3).(x + 1) = 9 2 a) Đặt t = 1 2 x + , ta có phương trình t 2 – 10t + 9 = 0 Giải ra ta được t 1 = 1; t 2 = 9 - Với t 1 = 1 thì 1 2 x + = 1 => x = 1 2 - Với t 2 = 9 thì 1 2 x + = 9 => x = 8 1 2 b) Đặt t = x 2 – 6x + 9 ta có phương trình t 2 + t - 12 = 0 Giải ra ta được t 1 = 3; t 2 = -4 - Với t 1 = 3 thì x 2 – 6x + 9 = 3 => x 1 = ; x 2 = - Với t 2 = -4 thì x 2 – 6x + 9 = -4 => x 3 = ; x 4 = Kết luận: c) 8 2 7 8 2 7 4x x x x+ + + + + − + = (đk: x ≥ -7) 2 2 ( 7 1) ( 7 1) 4x x⇔ + + + + − = 7 1 7 1 4x x⇔ + + + + − = Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 4 - GVBM: Lưu Văn Minh *) 7 1x + − < 0 <=> x + 7 < 1 <=> x < -6 Do đó -7 ≤ x < -6, ta có: 7 1 7 1 4x x+ + − + + = <=> 0 = 2 => phương trình vô nghiệm *) 7 1x + − ≥ 0 <=> x + 7 ≥ 1 <=> x ≥ -6 ta có: 7 1 7 1 4x x+ + + + − = 7 2x⇔ + = <=> x = -3 Vậy phương trình có nghiệm là x = -3. d) (8x + 7) 2 .(4x + 3).(x + 1) = 9 2 <=> 16.(8x + 7) 2 .(4x + 3).(x + 1) = 16. 9 2 <=> (8x + 7) 2 .(8x + 6).(8x + 8) = 72 Đặt t = 8x + 7, ta có PT: t 2 .(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t 4 – t 2 – 72 = 0 Giải ra ta được t = ± 3, khi đó x 1 = 2 1 5 ; 2 4 x− = − Bài 6: Cho phương trình x 2 + (2a – 5)x – 3b = 0 Xác đònh a; b để phương trình có hai nghiệm là x 1 = 2; x 2 = -3 Thay x 1 = 2; x 2 = -3 lần lượt vào phương trình, ta được: 4 3 6 3 6 3 24 2 a b a a b b − = = ⇔ = = = Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ R. Phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 = 0 ∆’ = [-(m+1)] 2 – 2m + 3 = m 2 + 4 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ R. Bài 8: Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 (m ≠ 1) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1 b) Không giải phương trình, hãy xác đònh giá trò của m để tích hai nghiệm bằng 3. Từ đó tính tổng hai nghiệm ấy. a) Phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 ∆’ = (-m) 2 – (m – 1)(m + 1) = m 2 – m 2 + 1 = 1 > 0 với mọi m. Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1. b) Theo hệ thức viet, ta có: 1 2 1 2 2 1 1 . 1 m x x m m x x m + = − + = − theo đề bài x 1 .x 2 = 3 ta suy ra 1 3 1 m m + = − <=> m = 2 Với m = 2, ta lại có x 1 + x 2 = 4 Bài 9: Cho phương trình x 2 + (k – 1)x – k = 0 a) Xác đònh k để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b) Xác đònh k để phương trình có hai nghiệm đều dương a) ∆ = (k – 1) 2 + 4k = = (k + 1) 2 Phương trình có nghiệm kép <=> ∆ = 0 <=> k = -1 Khi đó nghiệm kép là: x 1 = x 2 = 1 b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2 1 2 ( 1) . x x k x x k + = − − = − Phương trình có hai nghiệm đều dương <=> 2 1 2 1 2 0 ( 1) 0 ( 1) 0 1 0 0 0 . 0 k x x k k k k x x k ∆ ≥ + ≥ + = − − > ⇔ − < ⇔ < < = − > Bài 10: Cho phương trình: 2x 2 – 3mx – 2 = 0 a) CMR rằng với mọi giá trò của m thì a) ∆ = (-3m) 2 + 16 = 9m 2 + 16 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 5 - GVBM: Lưu Văn Minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trò của m để S = x 1 2 + x 2 2 đạt giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó. c) Tính 3 3 1 2 1 1 x x + theo m b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2 1 2 3 2 . 1 m x x x x + = = − Khi đó S = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2 x 1 . x 2 = 2 3 ( ) 2 m + 2 ≥ 2 Dấu “=” xảy ra khi 2 3 ( ) 2 m = 0 <=> m = 0 Vậy min S = 2 khi m = 0 c) Ta có: 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) 1 1 9 (3 4) ( . ) ( . ) 8 x x x x x x x x m m x x x x x x + + − + − + + = = = = Bài 11: Cho phương trình x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 a) Giải phương trình với m = 4 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Xác đònh giá trò của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trò tuyệt đối và trái dấu nhau. a) Khi m = 4, giải ra ta được nghiệm PT: x 1 = 3 2 2+ ; x 2 = 3 2 2− b) ∆’ = (m – 1) 2 – (m – 3) = = m 2 – 3m + 4 = 2 3 7 ( ) 0 2 4 m − + > với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2 1 2 2( 1) . 3 x x m x x m + = − = − Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x 1 + x 2 - 2 x 1 .x 2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = 4 d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trò tuyệt đối và trái dấu nhau khi và chỉ khi: 1 2 1 2 ' 0 3 0 3 . 0 1 2( 1) 0 1 0 m m x x m m m x x ∆ > − < < < ⇔ ⇔ ⇔ = − = = + = Bài 12: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 a) Giải phương trình khi m = 5 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Chứng minh rằng biểu thức S = x 1 (1 – x 2 ) + x 2 (1 – x 1 ) không phụ thuộc vào m a) Giải ra ta được x 1 = 6 35+ ; x 2 = 6 35− b) ∆’ = (m + 1) 2 – (m – 4) = = m 2 + m + 5 = 2 1 19 ( ) 0 2 4 m + + > với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0 <=> m – 4 < 0 <=> m < 4 d) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2 1 2 2( 1) . 4 x x m x x m + = + = − Khi đó: S = x 1 (1 – x 2 ) + x 2 (1 – x 1 ) = x 1 + x 2 - 2 x 1 .x 2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10 Điều này chứng tỏ biểu thức S = x 1 (1 – x 2 ) + x 2 (1 – x 1 ) không phụ thuộc vào m Bài 13: Cho phương trình: (2m – 1) x 2 – 2(m + 4) x + 5m + 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = - 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm a) Giải ra ta được x = 1 b) Ta có: ∆’ = (m + 4) 2 – (2m – 1).(5m + 2) = = -(9m 2 - 9m – 18) Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 6 - GVBM: Lưu Văn Minh 2 2 1 0 0 ' 0 (9 9 18) 0 1 1 2 2 ( 1)( 2) 0 1 2 m a m m m m m m m − ≠ ≠ ⇔ ∆ ≥ − − − ≥ ≠ ≠ ⇔ ⇔ + − ≤ − ≤ ≤ C. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số: a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1 b) Xác đònh giá trò của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ HD: a) Δ ’ = m 2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x 1 .x 2 = 1m 1m − + = 5 ⇒ m = 2 3 Khi đó: x 1 + x 2 = 1m m2 − = 6 c) x 1 + x 2 = 1m m2 − = 1m m2 − – 1 + 1 = 2m-(m-1) m+1 +1= +1= m-1 m-1 x 1 .x 2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x 1 .x 2 – (x 1 + x 2 ) + 1 = 0 d) 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ ⇔ 2(x 1 2 + x 2 2 ) + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2(x 1 + x 2 ) 2 + x 1 x 2 = 0 ⇔ 2. ( ) 1m 1m 1m m4 2 2 − + + − = 0 ⇔ 9m 2 = 1 ⇔ m = 3 1 ± Bài 2: Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + m 2 – 4m + 5 = 0 a) Đònh m để phương trình có nghiệm b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x 1 2 + x 2 2 theo m c) Tìm m sao cho x 1 2 + x 2 2 = 12 HD:a) Ta có ∆ ’ = (m + 1) 2 – m 2 + 4m – 5 = 6m – 4 Phương trình có nghiệm khi ∆ ’ ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 3 b) p dụng hệ thức Viet ta có S = x 1 + x 2 = 2(m + 1); P = x 1 . x 2 = m 2 – 4m + 5 x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 12 <=> 4(m + 1) 2 – 2m 2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m 2 + 16m – 6 = 12 <=> m 2 + 8m – 9 = 0 <=> m 1 = 1; m 2 = -9 (loại) Bài 3: Cho phương trình x 2 + 2 mx – m 2 + m – 1 = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m. Xác đònh dấu của các nghiệm b) Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x 1 2 + x 2 2 đạt giá trò nhỏ nhất HD: a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m 2 + m – 1 = -(m - 1 2 ) 2 - 3 4 < 0 nên ac < 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x 1 + x 2 = - 2 m; P = x 1 .x 2 = – m 2 + m – 1 x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 .x 2 = 2m 2 + 2m 2 – 2m + 2= 4m 2 – 2m + 2 = (m - 1 2 ) 2 + 7 4 ≥ 7 4 với mọi m.Vậy giá trò nhỏ nhất của x 1 2 + x 2 2 là 7 4 khi m = 1 2 Bài 4 : Cho phương trình: x 2 - 2x - m 2 - 4 = 0 a- Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 . b- Tìm m sao cho phương trính nghiệm x = - 2 và tính nghiệm kia. c- Tìm m sao cho : + ) x 1 2 + x 2 2 = 20 Trường THCS Mỹ Thành Ch ủ đề3: Phương trình-Hệ Pt - 7 - GVBM: Lưu Văn Minh +) x 1 = -2x 2 +) x 1 - x 2 = 10 Bài 5 : Cho phương trình: x 2 - 2(m+1)x + m 2 + 2 = 0 a) Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm số . b) Với giá trò nào của m thì hai nghiệm số x 1 và x 2 của phương trình nghiệm đúng hệ thức x 1 - x 2 = 4 Bài 6 : Cho phương trình : x 2 + 3x + 2 - m = 0 (1) a) Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm là 3 . b) Giải phương trình (1) khi m = 6 . c) Xác đònh m để hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x 1 2 + x 2 2 = 3. d) Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu . Bài 7 : Cho phương trình có ẩn số x ( m là tham số ). x 2 - mx + m - 1 = 0 a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x 1 ;x 2 với mọi m. Tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trò của m tương ứng . b) Đặt A = x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 +) Chứng minh A = m2 - 8m + 8. +) Tìm m sao cho A = 8 +) Tìm gia trò nhỏ nhất của A và giá trò của m tương ứng . RÚT KINH NGHIỆM : Trường THCS Mỹ Thành . 0 ax ay a x y + = − − + = <=> 2 10 2 (1 ) 2 0 ax ay a a x ay + = − − + = Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a( 1 – a) ].x = -10 <=> ( 2a 2 – a) .x = -10 (1) Phương trình. Giải bằng đại số: - Phương pháp thế - Phương pháp cộng đại số 2) Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Các cách giải phương trình bậc hai một ẩn: a) Công thức nghiệm: ∆ = b 2 – 4ac ∆ . một nghiệm duy nhất <=> (d) cắt (d’) <=> ' ' ' a b c a b c = ≠ - Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d) ≡ (d’) <=> ' ' ' a b c a b c = = *) Giải