Chuyên đề PT bậc hai

Chứng minh rằng với mỗi một trong ba phương trình sau phải có nghiệm và Bài 1.4.. Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả mãn thì phương trình sau có nghiệm.. Chứng minh rằng nếu các p

Chuyên đề Phương trình bậc hai

1 Cho phương trình x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2

2 Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - 1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m.

b) Đặt A = 2(x12 + x22) - 5x1x2

+ Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9

+ Tìm m sao cho A = 27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia.

3 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0.

Tìm giá trị của m để biểu thức P = 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

4 Cho phương trình x2 + mx + n - 3 = 0 (m, n là tham số)

a) Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm m và n để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn hệ:

5 Cho phương trình x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 (k là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình, tìm k sao cho x12 + x22 = 18.

6 Cho phương trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Giải phương trình với m bất kì.

c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m.

7 Cho phương trình

có 2 nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

8 Giả sử phương trình x2 + 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 CMR:

9 Cho phương trình x2 + mx + m - 2 = 0.

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

10 Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng.

b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2

b1) Chứng minh a = m2 - 8m + 8

b2) Tìm m sao cho A = 8

b3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.

11 Cho phương trình (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = - 2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện 2x1 - x2 = 3.

12 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0

a) Giải phương trình khi m = 4.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình.

CMR biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m.

(Hoàn thành trước 15-04-09)

-13 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0.

a) Giải phương trình khi m = 129.

b) Tìm giá trị của m sao cho các nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn : 2(x1 +x2) - 3x1x2 + 9 = 0

c) Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.

14 Cho phương trình (m - 3)x2 - 2(m + 1)x - 3m + 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b) Cho m = 5, không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:

A = x12 + x22 và B = x13 + x23

c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên.

15 Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 +

x22.

16 Cho phương trình:

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m (a.c < 0)

17 Cho phương trình:

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) *Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

18 Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn:

19 Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m.

20 Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 = 2x2.

b) Tính theo m giá trị của biểu thức:

21 Cho phương trình x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.

a) Giải phương trình khi m = 3.

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

22 Cho phương trình x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0.

a) Tìm m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn (2x1 + 1)(2x2 +1) = 8 b) Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.

23 Cho phương trình x2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b) Chứng minh rằng phương trình không thể có nghiệm bằng - 1

c) Biểu thị x1 theo x2.

24 Cho các phương trình x2 + mx - 1 = 0 (1) và x2 - x + m = 0 (2) Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó.

Số nghiệm của phương trình bậc hai

Đặt Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi , có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi và có nghiệm khi và chỉ khi Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của sau đó mới tính trong trường hợp hệ số này khác

Bài 1.1 Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau phương trình

có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2 Chứng minh rằng phương trình

vô nghiệm với và là độ dài ba cạnh của một tam giác

Bài 1.3 Chứng minh rằng với mỗi một trong ba phương trình sau phải có nghiệm

và

Bài 1.4 Cho là các số thực không đồng thời bằng Chứng minh rằng phương trình

có nghiệm

Bài 1.5 Cho là các số thực thoả mãn Chứng minh rằng phương trình

có nghiệm

Bài 1.6 Cho là các số thực thoả mãn Chứng minh rằng phương trình

có nghiệm

Bài 1.7 Cho là các số thực thoả mãn Chứng minh rằng ít nhất một trong ba

Bài 1.8 Cho là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm

Bài 1.9 Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả mãn thì phương trình sau có nghiệm

Bài 1.10 Chứng minh rằng với mỗi phương trình sau luôn có nghiệm

Bài 1.11 Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai và có các

hệ số thoả mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm

Giải phương trình bậc hai có tham số

Đừng có tính của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của có thể bằng

Bài 2.1 Giải và biện luận phương trình

Bài 2.2 Giải và biện luận phương trình

Bài 2.3 Giải và biện luận phương trình

Phải xét trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện

Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ

Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

e)Phương trình dạng

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên

Bài 3.1 Giải các phương trình

a)

Bài 3.2 Giải các phương trình

Bài 3.3 Giải các phương trình

Bài 3.4 Giải các phương trình

Bài 3.5 Cho phương trình Tìm để phương trình có

a) nghiệm phân biệt

b) nghiệm phân biệt

c) nghiệm phân biệt

d) nghiệm

e) nghiệm

Bài 3.6 Giải các phương trình

c)

Bài 3.7 Giải các phương trình

a);

Định lý Viét và các áp dụng

Định lý Viét Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là và thì ta có và

Nhẩm nghiệm

Nếu thì phương trình có các nghiệm Nếu thì phương trình có các nghiệm

Bài 4.1.1 Giải các phương trình

Bài 4.1.2 Giải các phương trình

a) ;

Xét dấu các nghiệm

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi , phương trình có hai nghiệm âm khi và chỉ khi và , phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi và

Bài 4.2.1 Tìm giá trị của để phương trình sau có nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a)Một nghiệm;

b)Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c)Hai nghiệm âm phân biệt

a)Hai nghiệm cùng dấu;

b)Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Đúng một nghiệm dương

Bài 4.2.4 Tìm để phương trình có đúng một nghiệm không dương

Bài 4.2.5 Tìm để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm

Bài 4.2.6 Cho biểu thức

Tìm để có thoả mãn

Bài 4.2.7 Tìm để có sao cho

Bài 4.2.8 Tìm để có sao cho

Tính giá trị của một biểu thức đối xứng của các nghiệm

Để tính giá trị của biểu thức với đối xứng, ta chuyển về biểu thức chỉ có hai biến

Bài 4.3.1 Gọi là các nghiệm của phương trình Tính

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

Bài 4.3.2 Không giải phương trình hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của

phương trình bậc hai

Bài 4.3.3 Giả sử là nghiệm của phương trình và là nghiệm của phương

Bài 4.3.4 Gỉa sử là các nghiệm của phương trình Tính theo và tìm một đa thức bậc có hệ số nguyên nhận làm nghiệm

Bài 4.3.5 Gọi là các nghiệm của phương trình Tính giá trị các biểu thức sau

;

;

tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba Chứng minh rằng

Bài 4.3.7 Gỉa sử phương trình có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng

là một hợp số

phương trình, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

phương trình Chứng minh rằng

Dãy

Nhớ là ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp của dãy trên

Bài 4.4.1 Cho là các nghiệm của phương trình với là một số nguyên Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , số là một số nguyên không chia hết cho

Bài 4.4.2 Chứng minh rằng nếu các số thực thoả mãn và thì chúng cũng thoả mãn với mỗi số nguyên dương

Bài 4.4.3 Cho là một số nguyên dương và là các nghiệm của phương trình

a)Chứng minh rằng là một số nguyên;

b)Tìm bé nhất để là bội của

Bài 4.4.4 Cho là một số nguyên lẻ và phương trình có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì và là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 4.4.5 Tìm số dư khi chia cho

Bài 4.4.6 Gọi là các nghiệm của phương trình Kí hiệu với là

số nguyên dương

b)Tìm một hệ thức liên hệ với là số nguyên dương bất kì Từ đây hãy tính

;

c)Chứng minh rằng là số nguyên dương với mỗi nguyên dương;

d)Tìm số dư khi chia cho

b)Đặt Chứng minh rằng là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là ; c)Tìm chữ số hàng đơn vị của

Bài 4.4.8 Tìm chữ số cuối cùng của

Tìm hai số biết tổng và tích

Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng

a)Tổng bằng , tích bằng ;

b)Tổng bằng , tích bằng

Hệ phương trình đối xứng kiểu 1

Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng với và là các biểu thức đối xứng của

và Để giải hệ này ta dùng phép đặt và

Bài 4.6.1 Giải các hệ phương trình

b) ;

Bài 4.6.2 Giải các hệ phương trình

Bài 4.6.3 Giải các hệ phương trình

Bài 4.6.4 Giải các hệ phương trình

Bài 4.6.5 Giải các hệ phương trình

Tìm tham số để

Nếu đối xứng thì ta chuyển về , nếu trái lại ta có hai cách để làm Chuyển về giải hệ

sau đó thay vào Hoặc có thể dùng phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp đối xứng Cả hai cách làm đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của

phương trình

Bài 4.7.1 Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

Bài 4.7.2 Xác định để các nghiệm của phương trình

Bài 4.7.5 Cho phương trình có Chứng minh rằng trong hai nghiệm của phương trình, có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Bài 4.8.1 Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm là

Bài 4.8.2 Gọi là các nghiệm của phương trình Hãy lập phương trình bậc hai

Bài 4.8.3 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thoả mãn và

Bài 4.8.4 Gọi là các nghiệm của phương trình Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là và

Bài 4.8.5 Tìm các số sao cho phương trình có nghiệm nguyên và

Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm

Phương pháp chung để giải bài toán dạng này là khử từ hệ

Bài 4.9.1 Cho phương trình Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc

Bài 4.9.2 Cho phương trình Xác định để phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

Nghiệm của hai phương trình bậc hai

Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương trình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),…

Bài 5.1 Tìm các số thực sao cho và hai phương trình bậc hai và

có nghiệm chung duy nhất

Bài 5.2 Tìm để hai phương trình sau có nghiệm chung và

Đáp số

Bài 5.3 Tìm để hai phương trình sau có nghiệm chung và

nghiệm chung

Bài 5.6 Xác định để phương trình có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm

a)Tìm để hai phương trình có nghiệm chung

b)Tìm để hai phương trình tương đương

Bài 5.8 Tìm để hai phương trình và có nghiệm chung

Bài 5.9 Cho hai phương trình và Tìm để hai phương trình có nghiệm chung và bé nhất

Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung là Từ đây suy ra cùng dấu, hay Đặt rồi tìm để hệ

có nghiệm Đáp số là

Bài 5.10 Cho hai phương trình và Tìm để hai phương trình có nghiệm chung và bé nhất

Phương trình bậc hai trên

Điều kiện cần để phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ là của nó phải là một bình phương đúng

Bài 6.1 Tìm tất cả các số nguyên để phương trình

có nghiệm nguyên

Bài 6.2 Với giá trị nguyên nào của thì phương trình có các nghiệm là các số hữu tỷ

Bài 6.3 Gỉa sử là số nguyên tố Chứng minh rằng phương trình không thể

có nghiệm hữu tỷ

Lời giải Dùng phương pháp hiệu bình phương của Fermat.

Bài 6.4 Chứng minh rằng nếu và phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm

đó phải là số nguyên

Bài 6.5 Chứng minh rằng nếu là các số nguyên lẻ thì phương trình không thể

có nghiệm hữu tỷ

Giao điểm của đường thẳng và Parabol

Cho đường thẳng có phương trình và parabol có phương trình Khi đó số giao điểm của và đúng bằng số nghiệm khác nhau của phương trình ,

và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm của phương trình này

a)Xác định toạ độ các giao điểm của và ;

b)Tìm thuộc cung của để diện tích tam giác lớn nhất

Tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 7.3 Cho Tìm để tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng

Bài 7.4 Cho và hai điểm có hoành độ bằng và tương ứng Tìm trên cung của sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

Bài 7.5 Cho Chứng minh rằng với mỗi , các tiếp tuyến kẻ từ đến vuông góc với nhau

Bài 7.6 Cho Tìm để cắt theo một dây cung có độ dài bé nhất

b)Xác định nếu đường thẳng tiếp xúc với tại song song với

Bài 7.8 Cho đường thẳng có phương trình Tìm để cắt

tại hai điểm phân biệt , khi đó tìm toạ độ trung điểm của

Bài 7.9 Chứng minh rằng với mỗi , đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt Gọi hai điểm nói trên là , tìm để diện tích của tam giác bằng

Bài 7.10 Tìm để tiếp xúc với tại điểm có hoành độ bằng

1 Cho phương trình x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2

2 Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - 1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m.

b) Đặt A = 2(x12 + x22) - 5x1x2

+ Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9

+ Tìm m sao cho A = 27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia.

3 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0.

Tìm giá trị của m để biểu thức P = 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

4 Cho phương trình x2 + mx + n - 3 = 0 (m, n là tham số)

a) Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm m và n để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn hệ:

5 Cho phương trình x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 (k là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình, tìm k sao cho x12 + x22 = 18.

6 Cho phương trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Giải phương trình với m bất kì.

c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m.

7 Cho phương trình

có 2 nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: