Phơng trình bậc hai một ẩn Ch II: Phơng trình bậc hai một ẩn Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax 2 + bx = 0 + Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích. + Ví dụ: giải phơng trình: 063 2 xx 202 003 0)2(3 == == = xx xx xx Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax 2 + c = 0 + Phơng pháp: -Biến đổi về dạng mxmx == 2 - Hoặc mxmx mxmx mxmxmx == ==+ =+= 0 0 0))((0 2 2 + Ví dụ: Giải phơng trình: 22084 22 === xxx Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau: a) 7x 2 - 5x = 0 ; b) 3x 2 +9x = 0 ; c) 5x 2 20x = 0 d) -3x 2 + 15 = 0 ; e) 3x 2 - 3 = 0 ; f) 3x 2 + 6 = 0 g) 4x 2 - 16x = 0 h) -7x 2 - 21 = 0 h) 4x 2 + 5 = 0 Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng công thức nghiệm: 1. công thức nghiệm : Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 * Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -b - 2a ; x 2 = -b + 2a * Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = -b 2a * Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm 2. ví dụ giải p.t bằng công thức nghiệm: Giải phơng trình: 043 2 = xx ( a =1; b = - 3; c = - 4) Ta có: 25169)4.(1.4)3( 2 =+== 0525 >== Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 4 1.2 5)3( 1 = + =x 1 1.2 5)3( 2 = =x Bài tập luyện tập Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau: Bài 1: 1.a) 2x 2 - 7x + 3 = 0 ; b) y 2 8y + 16 = 0 ; c) 6x 2 + x - 5 = 0 d) 6x 2 + x + 5 = 0 ; e) 4x 2 + 4x +1 = 0 ; f) -3x 2 + 2x +8 = 0 2.a)3x 2 + 12x - 66 = 0 b) 9x 2 - 30x + 225 = 0 1 acb 4 2 = Phơng trình bậc hai một ẩn c) x 2 + 3x - 10 = 0 d) 3x 2 - 7x + 1 = 0 e) 3x 2 - 7x + 8 = 0 f) 4x 2 - 12x + 9 = 0 g) 3x 2 + 7x + 2 = 0 h) x 2 - 4x + 1 = 0 Bài 2: a/ 2x 2 - 5x + 1 = 0 b/ 5x 2 - x + 2 = 0 c/ -3x 2 + 2x + 8 = 0 d/ 4x 2 - 4x + 1 = 0 e/ - 2x 2 - 3x + 1 = 0 f/ 5x 2 - 4x + 6 = 0 g/ 7x 2 - 9x + 2 = 0 h/ 23x 2 - 9x - 32 = 0 i/ 2x 2 + 9x + 7 = 0 k/ 2x 2 - 7x + 2 = 0 l/ x 2 - 6x + 8 = 0 m/ x 2 + 6x + 8 = 0 Bi 3: a) 5x 2 - 6x - 1 = 0 ; b) -3x 2 +14x 8 = 0 ; c) 4x 2 + 4x + 1 = 0 d) 13x 2 - 12x +1 = 0 ; e) 3x 2 - 2x - 5 = 0 ; f) 16x 2 - 8x +1 = 0 Bài 4: a/ (x + 2) 2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1) 2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2) c/ 10x 2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 d/ x 2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 d/ 2x 2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 e/ 5x 2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x 2 Bài 5: a, 2x 2 - 2 2 x + 1 = 0 b, 2x 2 - (1-2 2 )x - 2 = 0 c, 1 3 x 2 - 2x - 2 3 = 0 d, 3x 2 - 2 2 x = 3 7 Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng P 2 đặc biệt: 1. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = 1 và a c x = 2 2. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = - 1 và a c x = 2 3. Ví dụ: Giải phơng trình: 0352 2 =+ xx Ta có: 2 3 ;103)5(2 21 ===++=++ xxcba Giải phơng trình: 043 2 = xx Ta có: 4 1 )4( ;10)4()3(1 21 = ===+=+ xxcba Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt: a) 7x 2 - 9x + 2 = 0 ; b) 23x 2 - 9x - 32 = 0 ; c) x 2 - 39x - 40 = 0 ; d) 24x 2 - 29x + 4 = 0 ; Các dạng toán về biện luận ph ơng trình bậc hai: 1. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt: + Điều kiện: 0 > ; (hoặc 0 / > ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x 2m = 0 (1) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: mmmcba 84)2.(1.42)2;2;1( 2 +===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 2 1 480840 >>>+> mmm Bài tập luyện tập Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim. a/ x 2 + 3x + 3m + 5 = 0 b/ x 2 - 2x + 4m - 1 = 0 2 Phơng trình bậc hai một ẩn c/ - x 2 + 4x + m + 2 = 0 d/ x 2 + (2m + 1)x + m 2 + 1 = 0 Bài 2: Cho phơng trình : x 2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = -2 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho phng trỡnh: x 2 + kx + 3 = 0 1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phân biệt? 2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li? Bài 4: Cho phơng trình : x 2 - 2(m - 1 ) x + 2m 2 + 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 4 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x 2 2mx + m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 1 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phơng trình : kx 2 +(2k+1)x +k -1 = 0 a) Giải phơng trình với k = 3 b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép: + Điều kiện: 0= ; (hoặc 0 / = ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x k = 0 (1) Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ? Giải: kkkcba 44).(1.42);2;1( 2 +===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 1440440 ===+= mkk Bài tập luyện tập Bi 1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp. a/ x 2 4x + k = 0 b/ x 2 + 5x + 8m + 4 = 0 c/ - x 2 - 5x + 3m + 1 = 0 d/ x 2 (k + 2)x + k 2 + 1 = 0 Bài 2: Cho phng trỡnh: 5x 2 + 2x 2m 1 = 0 1/Gii phng trỡnh khi m = 1 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Bài 3:: Cho phơng trình: x 2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phơng trình với m = -2 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài 4:: Cho phơng trình: x 2 + (m + 1)x + m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài 5: Cho phng trỡnh: kx 2 (2k-1)x + k + 1 = 0 1/Gii phng trỡnh khi m = 1 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú ? 3. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm : + Điều kiện: 0< ; (hoặc 0 ' < ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x +n = 0 (1) Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm? Giải: nnncba 44.1.42);2;1( 2 ===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 1440440 ><<= nnn Bài tập luyện tập Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ? a/ x 2 + 2x + m + 3 = 0 b/ - x 2 - 3x + 2m - 1 = 0 c/ mx 2 (2m 1)x + m + 1 = 0 d/ mx 2 2(m+2)x + m-1 = 0 4.Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho tr - ớc .Tìm nghiệm thứ 2 3 Phơng trình bậc hai một ẩn Cách tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho tr - ớc +) Ta thay x = x 1 vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số Cách tìm nghiệm thứ 2 Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 x + 2m 6 = 0. (1) a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x 1 = 1. b/ Tìm nghiêm còn lại. Giải: a/ Thay x 1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 36206211 2 ===+ mmm Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x 1 = 1. b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có: 1 0 0)1(0 063.2 2 2 = = == =+ x x xxxx xx Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0 Bài tập luyện tập Bài 1: Cho phơng trình : 2x 2 - 6x + m + 6 = 0 a) Giải phơng trình với m = -3 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2 Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x 2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x 2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại Bài 4: Cho phơng trình: x 2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0 Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại Bài 5: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x 2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1. (Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của phơng trình Trình bày ở mục 6 1 ) 5. Chứng minh ph ơng trình luôn luôn có nghiệm : Ph ơng pháp: - Lập biểu thức - Biện luận cho 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = mBA + 2 )( với 0 m Ví dụ: Cho phơng trình 05)2( 2 =+ mxmx Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Giải: Ta có: 5);2(;1 === mcmba [ ] 204)44()5.(1.4)2( 2 2 ++== mmmmm 844 2248 222 ++=+= mmmm 08)4( 2 >+= m Vì 0 > với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài tập luyện tập Bi 1 . Cho phng trỡnh: 2x 2 mx + m 2 = 0 4 Phơng trình bậc hai một ẩn Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m. Bài 2: Cho phng trỡnh: x 2 (k 1)x + k 3 = 0 1/Gii phng trỡnh khi k = 2 2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k. Bài 3: Cho phng trỡnh: x 2 + (m 1)x 2m 3 = 0 Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m. Định lý Vi-et và hệ quả: 1.Định lý Vi ét: Nu x 1 , x 2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c * o lại: Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thì hai số đó l nghiệm (nếu có)của pt bậc hai: x 2 S x + p = 0 2 Toán ứng dụng định lý Viét: a)Tìm nghiệm thứ 2; biết ph ơng trình có một nghiệm 1 xx = : Phơng pháp: +Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để tính nghiêm thứ hai. Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 Ví dụ: Biết rằng phơng trình : x 2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Giải: Cách1: Thay x = 1 vào pt ta có: 10451.21 ==+ mm Thay m = 1 vào pt ta đợc: x 2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 Theo Định lý Vi ét ta có: a b xx =+ 21 121 22 ==+ xx Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1. Cách2: Thay x = 1 vào pt ta có: 10451.21 ==+ mm Thay m = 1 vào pt ta đợc: x 2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 Theo Định lý Vi ét ta có: a c xx = 21 . 11.1 22 == xx Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1. Bài tập luyện tập: Bài 1: Cho phng trỡnh: x 2 2x + m = 0 Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li. Bài 2 Biết rằng phơng trình : x 2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x 2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại 5 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn b).LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI khi biÕt hai nghiÖm x 1 ;x 2 Ví dụ : Cho 1 3x = ; 2 2x = lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2 1 2 5 6 S x x P x x = + = = = Vậy 1 2 ;x x là nghiệm của phương trình có dạng: 2 2 0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + = Bµi tËp luyÖn tËp: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm: 1/ x 1 = 8 vµ x 2 = -3 2/ x 1 = 36 vµ x 2 = -104 6 . còn lại 5 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn b).LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI khi biÕt hai nghiÖm x 1 ;x 2 Ví dụ : Cho 1 3x = ; 2 2x = lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Gi¶i: Theo hệ. x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c * o lại: Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thì hai số đó l nghiệm (nếu có)của pt bậc hai: x 2 S x + p = 0 2 Toán ứng dụng định lý Viét: a)Tìm. phơng trình (1) có một nghiệm x 1 = 1. b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có: 1 0 0)1(0 063.2 2 2 = = == =+ x x xxxx xx Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0 Bài tập luyện tập Bài 1: Cho phơng trình