Chuyen de rut gon bieu thuc toan 9

DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho biểu thức với a >0 và a a Rút gọn biểu thức M. b So sánh giá trị của M với 1. Giải: Đkxđ: a >0 và a a b Ta có , vì a > 0 => => nên Vậy M < 1. Ví dụ 2: Cho biểu thức a Tìm điều kiện để P có nghĩa. b Rút gọn biểu thức P. c Tính giá trị của P với . Giải: a Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : b Đkxđ : c Thay vào biểu thức , ta có: Nhận xét về phương pháp giải: Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không. Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng. Ví dụ 3: Cho biểu thức với a Rút gọn biểu thức A. b Tìm x để A < 2. c Tìm x nguyên để A nguyên. Giải: a Đkxđ: b Ta có , A < 2 tức là Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình () có nghiệm khi Vậy với thì A < 2. c Ta có Mà nên ta có: • x – 3 = 1 x = 2 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 3 x = 0 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 9 x = 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 9 x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên. Ví dụ 4: Cho biểu thức với và a Rút gọn B; b Tìm x để B = 3. Giải: Đkxđ : và a b Ta có và B = 3, tức là ( tm đkxđ) Vậy với x = 16 thì B = 3.

VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC A NỘI DUNG * Kiến thức lý thuyết cần ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0 A2  A AB  A A  B B A B ( Với A 0 ; B > ) A B  A A B = ( Với A 0 ; B 0 ) B ( Với B 0 ) A2 B ( Với A 0 ; B 0 ) A B = - A2 B ( Với A < ; B 0 ) 10 A  B B A B  C AB A B B A �B  C A� B ( Với AB 0 B 0 ) ( Với B > ) C ( A mB ) A  B2  C( A m B ) A B (ví i A �0, A �B ) (ví i A �0, B �0, A �B) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến * DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I CÁC VÍ DỤ: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20  45  18  72 b/ ( 28   )  84 c/   � d/ � � � Giải: a/   120 20   2 2 �1 200 � : � �8 45  18  72 = 2.5  32.5  32.2  2.2 =  9 6 =   3  (9  6) 15   b/ 28     84 = 2.7    2.21 = 2.7  21   21 = 14      21 21 c/     120 =  30   2.30 =   30  30 11 GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + � d /� � �  2 �  � � �1 � �1 200 � :    10 : � � �8 � � 2 � � �8 � 8 2�  2  12  64  54 � 2 2 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A  1  5 5 b/ B  42 6 c/ C 2   2 3 Giải: a/ A  1   5 5     c/ C  5    2   53  b/ B     3 3   3 5  42 6  3 2   1  1  1  1     1  1   1  1   2 2 1   2 3     3 1         1       1    1   GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   34   1  3    1  1  1   3     32   1    3 1   1    3 1 3  1 3 + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2       2    b/     c/  2    2  8 Giải: a/ 2       2    BĐVT ta có : 2      1 2           VP Vậy đẳng thức chứng minh b/     BĐVT ta có : 2  2   2  2 3   1    42  42    1   1 1    VP 2 Vậy đẳng thức chứng minh c/  2    2  8 BĐVT ta có :   5    5  GV: Hoàng Nghĩa Quang 22   5  22   5 Trường THCS Lương Thế Vinh  1 VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   2   2 2   52 52     2   2   2 52 2 42 4   VP 54 Vậy đẳng thức chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  10 b/ 2003  2005 2004 c/ Giải: a/  10 Ta có: Và   2 10          24  10     25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 =>  24   25  Hay 2   10  �   10 b/ 2003  2005 2004 Ta có:  2003  2005   2003  2005  2003.2005  4008   2004  1  2004  1  4008  20042  Và  2004   4.2004  2.2004  20042 20042   20042  20042   20042 2 Vì  4008  2004   4008  2004   2003  2005  2 2004   2003  2005  2004 c/ Ta có:  Và 5 52.3  75 32.5  Vì 75 > 45 => 75  45  45 75  45   *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TỐN GV: Hồng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai A  A đưa đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… II BÀI TẬP: a/ b/ c/  Thực phép tính:  12  75  27 : 15 ; 252  700  1008  448 ; 2 3 7  72  20  2  Rút gọn biểu thức sau: a/  1  ; 2 b/ 3 2  6 2; c/ 2 � 2 2 :�   � 2 � � � � � 3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  2  ; b/ c/ 21 14  13 4.Cho ;  11 A  11  96 B 2 1  Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a/ b/ c/     5    5   20  33 ;  10    10    10 ; 1    9 1 2 99  100 * DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I CÁC VÍ DỤ: � 1 � a 1  * Ví dụ 1: Cho biểu thức M  � với a >0 a �1 �: a  �a  a  �a  a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a �1 � a   �  �: a  a a  � �a  a  a/ M  �  1 a a   a1 b/ Ta có M    a1 a 1 a1 a 1    a a1 1  a  a  1   a  a  1 a  1 a  , a > => a  => a1 : a 1   a1 a1 a a  nên  a 1 Vậy M < * Ví dụ 2: Cho biểu thức  P    x  x    x     x x x 2  x  x  a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với x 3  2 Giải: GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức    a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ :     x x    x  x x 0 x  0 2 x 0 x 1 0 0  x 1 1    x 2 2  x 3  3 b/ Đkxđ : x 1; x  2; x 3  P       x x  x x 1 x  x x     x   x  x 2 x  x  3    x 1  2  x  x  x        x     x x 1  x  x 2   x    x  x   x  3 x    x  x      x  1  x 2 x  x   x  1           x  x   x  3 x      x    x 2 x x  x 1 x    x  x 1    x 1  x x      1 x   2 x x c/ Thay x 3  2   vào biểu thức P  P 2    21  21 2  2 21 21  2 1 21 2 x x  , ta có: 21  1 * Nhận xét về phương pháp giải: Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đờng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng * Ví dụ 3: Cho biểu thức 2x x   11x A   với x  3 x  3  x x2  GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x  3 A 2x x   11 x 2x x 1  11 x      x  3  x x  x  x   x  3 x  3 x x  3   x  1 x  3    11 x  x  x  x  x  x    11 x    x  3 x  3  x  3 x  3 3x  x x  x  3 3x     x  3 x  3  x  3 x  3 x  b/ Ta có A 3x x , A < tức 3x 3x 3x  2 x  3 2  20 0 x x x 3x  x  x 6  0  0(*) x x x6 0 Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm  x 30   6 x 3 Vậy với   x  A < 3x 9 3       x   U (9) c/ Ta có A  x x x Mà U (9)  1;3;9 nên ta có:   x – = - x = ( tm đkxđ ) x – = < => x = ( tm đkxđ ) x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < = > x = ( tm đkxđ )  x – = - x = - ( tm đkxđ )   x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị nguyên GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức * Ví dụ 4: Cho biểu thức  2x 1    x3 x . B     1 x  x  x   x 1   x   với x 0 x 1 a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x 0 x 1  2x 1    x3 x .  a/ B    1 x  x  x  x     x     x  1 x  x  1     x 1 2x 1  x  x   x  1 x  x  1 1  x  x  x  x 1   x  1 x  x  1  x  1  x    x1   x  x  x 1  2x 1  x  x  b/ Ta có B  x  B = 3, tức x  3  x 4  x 16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 B = * Ví dụ 5: Cho biểu thức 3  1  1 x  y x  x y  y  A     : với x > , y > y  x  y x y   x x y  xy a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y >  1  1  A     :  a/ y  x  y x y   x  x y x  y    :   xy xy x  y    x  y    :  xy  xy   GV: Hoàng Nghĩa Quang  x  x3  y x  x y  y3 x y  xy  x  y x   xy  y  xy x  y  xy x  y    y  x  y xy  x  y  10 Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   x y xy b/ Ta có    xy x  y x xy A y  0   x x y x xy y  Vậy A = xy xy  xy 0 x  y 2  Do đó y 16 16 1 xy ( xy = 16 ) � �x  y � x  y  � xy  16 � * MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN (Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao) Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận II BÀI TẬP: � �� � �� � x  :�  � Bài1: Cho biểu thức A  � �3 x  3x � �� x 3� 27  3x 1) � Rút gọn A GV: Hoàng Nghĩa Quang 11 Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2) Tìm x để A < –1 �x  Bµi 2: Cho biĨu thøc A = � �2 x � a) Rót gän biĨu thức A; b) Tìm giá trị x để A > - � �x  x x  x � � � � � x   x 1 � � � � � � x �� 10  x � B =   : x   Bµi 3: Cho biĨu thøc � � � � �x   x x 2� x 2� � �� a) b) Rót gän biĨu thức B; Tìm giá trị x để A > Bµi 4: Cho biĨu thøc C = a) b)   x 1 x x 1 x  x  Rót gän biĨu thøc C; Tìm giá trị x để C < Bài 5: Rót gän biĨu thøc : GV: Hồng Nghĩa Quang 12 Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a) D= x   x2  x   x2   x   x2  x   x2  ; b) � x x � � x x � P=�  1 � � � � � � � x  x  � � � � ; c) Q= x 1 : x2  x x x  x  x ; d) H= x 1 x  x  1 GV: Hoàng Nghĩa Quang 13 Trường THCS Lương Thế Vinh VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2x  x  Bµi 7: Cho biểu thức P = Q = x 2 a) b) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; Tìm giá trị x để P = Q Bài 8: Cho biểu thức B  a) b) c) x  x  2x  x 2 x x   9 x x3 :     x   x x  2 x x  2  x   Rót gän biĨu thøc B Tìm x để B > Với x > ; x 9 , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1) �3x  9x  1 �   : Bµi 9: Cho biÓu thøc P = � � �x  x  � x  x  x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên; P c) Tính giá trị P với x = – Bµi 10: Cho biĨu thøc : � x 2 x 3 x  �� x � P=�   :  �� � �x  x   x x  �� x 1 � � �� � a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để � P Bµi 11: Cho A  2x x 1 x  10   víi x  Chøng x 3 x 2 x 4 x x x minh giá trị A không phụ thuộc vào biến số x Bài 12: Cho biÓu thøc  a 1  M =  ab     a 1 ab  a  1 :   ab  ab     ab  a  1 ab   a) Rót gän M b) Tính giá trị M a= vµ b= 14 3 1 VietMaths.Net - Chuyên : Rỳt gn biu thc c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña M nÕu 15 a  b 4 ... (*) có nghiệm  x 30   6 x 3 Vậy với   x  A < 3x 9 3       x   U (9) c/ Ta có A  x x x Mà U (9)  1;3; 9 nên ta có:   x – = - x = ( tm đkxđ ) x – = < => x... 2 x x   9 x x3 :     x   x x  2 x x  2  x   Rót gän biĨu thøc B Tìm x để B > Với x > ; x 9 , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1) �3x  9x  1 �   : Bµi 9: Cho biÓu... gọn biểu thức a/ b/ c/     5    5   20  33 ;  10    10    10 ; 1    9 1 2 99  100 * DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I CÁC VÍ DỤ: � 1 � a 1  * Ví dụ 1: Cho biểu