chuyên đề rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn toán

Chuyên đề rút gọn biểu thức ôn thi vào lớp 10 môn Toán: + Hệ thống lại các kiến thức liên quan tới việc rút gọn biểu thức + Hệ thống lại các dạng bài toán có sau phần rút gọn biểu thức + Các bài tập củng cố, khắc sâu kiến thức phần rút gọn biểu thức

CHUYÊN ĐỀ I: RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN SAU PHẦN RÚT GỌN I Kiến thức cần nhớ Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A ≥ A2 = A AB = A = B A B A ( Với A ≥ ; B > ) B A B = A B A B = A B A B = - A2 B A = B B AB ( Với B ≥ ) ( Với A ≥ ; B ≥ ) ( Với A < ; B ≥ ) ( Với AB ≥ B ≠ ) A B ( Với B > ) B B C C ( A mB ) = (ví i A ≥ 0, A ≠ B ) A − B A±B C C( A m B ) 10 = (ví i A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ) A− B A± B A ( Với A ≥ ; B ≥ ) = Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp tách hạng tử Các tính chất phân thức A A.M = B B.M A A:N = B B:N (M đa thức khác 0) (N nhân tử chung) II Các dạng A Các dạng tốn rút gọn Dạng 1: Phân tích mẫu phương pháp đặt nhân tử chung 1) Phân tích thành nhân tử : a) x + x b) x - x c) x x + x + x + 2) Rút gọn biểu thức sau: 1  x +1  x −2 A= + với x > x ≠ ÷ x +  x −1 x+2 x  x +1 B = ữ ữì x x + với x > 0; x ≠ x − x x −   2x − x     C = − ÷:  − x +   x +1 x x + x + x +1   ( )  x +1  .( x − x + 2) , với x>0 x ≠ A =  − x −  x−2 x x−2 1 M = − + , với x>0 x+2 x x x +2  x  x : P =  + , với x>0 x +  x + x  x Dạng 2: Phân tích mẫu phương pháp dùng đẳng thức Phân tích thành nhân tử : a) x - b) x - 25 c) x x + d) x − Rút gọn biểu thức sau: M= x −1 x − + với x > 0, x ≠ x−4 x +2 x 10 x − − với x ≥ 0, x ≠ 25 x − x − 25 x +5  x x 3x +   x −  P= + + − 1÷ ÷:  − x x + x − x −     N= Q= R=  A =   B= − + với x ≥ , x ≠ x +1 x x +1 x − x +1 x+2 x +1 + + với x ≥ , x ≠ x x −1 x + x +1 1− x  x   x + : − ÷   x −1 ÷ ÷, x ≥ 0, x ≠ x −1 x −1 ÷    x x 3x + + − , với x ≥ 0, x ≠ x +3 x −3 x −9  x  x + 16 C =  + ÷ ÷: x + , với x>0 x ≠ 16 x + x −    x +2 x −  x +1 D =  − ÷ ÷ x , với x > 0, x ≠ x − x + x +   Dạng 3: Phân tích mẫu phương pháp tách hạng tử Phân tích thành nhân tử : a) x − x + b) x + x − c) x + x − Rút gọn biểu thức sau: d) x + x − 15 A= a −9 a + a +1 − + a−5 a +6 a −2 a −3 B= x +2 − + x +3 x + x −6 2− x với a ≥ , a ≠ , a ≠ 15 x − 11 x − 2 x + + − với x ≥ , x ≠ x + x − 1− x x +3  x −5 x   25 − x x +3 x −5 − 1÷ : − + D =   ÷ với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ÷  x + x − 15 x +5 x −3÷  x − 25    10 x x −3 x +1 E= − + , x ≥ 0; x ≠ x+3 x −4 x + 1− x C= G= x x + 26 x − 19 x x −3 − + , với x ≥ 0; x ≠ x + x −3 x −1 x +3 H= 15 x − 11 x − 2 x + + − , với x ≥ 0, x ≠ x + x − 1− x x +3 Dạng 4: Rút gọn phân thức thực phép tính   a +3 a +2 a+ a  1   P= − : + ÷  a +2 a −1   a + a −1  a −1   ( )( ) x3 − x + + x −1 − x x −1 + x x −1 1+ 1− x 1− 1+ x A= + − , với -10 x ≠ x −   x x ( x + 1)  x x −1 2− ) − ( x=4) Bài toán 2: Giải phương trình, bất phương trình Dạng 1: Giải PT Loại : Tìm x để P = a ( a ∈ R) P = a ⇔ (biểu thức rút gọn) = a ⇔ … ⇔ x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko) Trả lời: x x −4 + − Ví dụ: Cho P = Tìmx để P = x −1 x −1 x +1 Loại : Tìm x để P = A(x) HD : P = A(x) ⇔ (biểu thức rút gọn) = A(x) ⇔ … (giải PT bậc PT tích) ⇔ x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko) Trả lời: HD:  x +1  x−2 + với x > x ≠ ÷ x +  x −1 x+2 x Ví dụ: P =  Tìm giá trị x để 2P = x + x +1 Giải : Rút gọn ta P = với x > x ≠ x 2P = x + ⇔ ⇔ ( x +1 = x +5 x ) ( x + = x x + ) ⇔ x + = 2x + x ⇔ 2x + x − = ⇔ ( )( ) x + 2 x −1 =  x +2=0 ⇔  x −  x = −2(loai) ⇔  x − 1 ⇔ x = ⇔ x = (t/ m) Vậy : Bài tập tự luyện  x  x : + 1) Cho biểu thức: P =   x + x , với x>0 x x +   a) Rút gọn biểu thức P ( P = x + x +1 x ) 13 ( dạng bậc hai)   x   x :  + − 2) Cho biểu thức: P =    x −  , x ≥ 0, x ≠ x − x −     b) Tìm x để P = a) Rút gọn biểu thức P ( P = x +1 x +1 ) ( x=1, không thỏa mãn ĐKXĐ) x x 3x + + − 3) Cho biểu thức: A = , với x ≥ 0, x ≠ x +3 x −3 x−9 a) Rút gọn biểu thức A ( A = ) x +3 b) Tìm giá trị x để A = ( Bậc nhất, x=36 thỏa mãn ĐKXĐ) b) Tìm x để P = Dạng 2: Tìm x để P > a; P < a; P ≥ a; P ≤ a (với a∈ R) HD: + Chuyển a từ VP sang VT (để VP = 0) + Quy đồng mẫu (chú ý không khử mẫu) + Xét dấu tử mẫu ⇒ tìm x + Kết hợp ĐKXĐ (vẽ trục số) trả lời x x −4 1 + − Ví dụ: Cho P = Tìm x để P < ; để P > ; để P < x −1 2 x −1 x +1 x −1 Giải : Rút gọn ta được: P = với x ≥ 0, x ≠ x +1 x −1 P x ≥ 0) x +1 ⇔ x a; P < a; P ≥ a; P ≤ a (với a ∈ R) HD: Xét hiệu P - a, so sánh với số (Xét dấu tử, mẫu) x Ví dụ 1: Cho A = với x ≥ ; x ≠ Chứng minh A < x + x +1 x x − x − x − −(x − x + 1) −( x − 1) A − = − = = = Xét hiệu x + x +1 3 x + x +1 x + x +1 x + x +1 ( ) ( ) ( Vì x ≥ ; x ≠ nên ( x − 1) > ⇔−( x − 1) < ( ) Vì x ≥ nên x + x + > 1 Do đó A − < ⇔ A < 3 1  x +1 + ÷: x −1  x − x +1  x− x  với x > , x ≠ Ví dụ 2: Cho B =  So sánh B với x −1 với x > , x ≠ x x -1 B-1= -1 x Giải: Rút gọn ta B = x -1- x x -1 = x -1 < =  -1 ( x > )  Có ⇒ B - < hay B < Bài tập tự luyện 1) Cho biểu thức: M = x−2 x+2 x − a) Rút gọn biểu thức M ( M = 2) Cho biểu thức: A = x+2 x x −1 + a) Rút gọn biểu thức A ( A = 1 + x x +2 x −2 x x +1 , với x>0 ) x + x +1 x − b) So sánh M 1 x −1 , với x ≥ 0, x ≠ b) Chứng minh A < ) x + x +1  x+3  x +  : 3) Cho biểu thức: B =  , với x > 0, x ≠ x + 3 x −  x−9 x +1 a) Rút gọn biểu thức B ( B = ) x +3 b) Chứng minh B >  x  : + 4) Cho biểu thức: M =  , với x ≥ 0, x ≠  x −2 x −2 x−4 ) a) Rút gọn biểu thức M ( M = x +1 b) So sánh M M2 ) x +2 15 x − 11 x − 2 x + + − 5) Cho biểu thức: P = , với x ≥ 0, x ≠ x + x − 1− x x +3 2−5 x a) Rút gọn biểu thức P ( P = ) b) Chứng minh P ≤ x +3 Bài toán 4: Tìm x để biểu thức nguyên Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên sè b HD: Đưa P dạng P = số a + mÉu sè b P nguyên ⇔ nguyên ⇔ số b Mmẫu ⇔ mẫu ∈ Ư(số b) mÉu Lập bảng mẫu Các ước số b x x P Đối chiếu ĐKXĐ trả lời x x −4 + − Ví dụ: Cho P = Tìm x nguyên để P nguyên x −1 x −1 x +1 x −1 P= Giải: với x ≥ ; x ≠ x +1 x −1 x +1− x +1 2 P= = = − = 1− x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 P nguyên ⇔ nguyên ⇔ M x + ⇔ x + ∈ Ư(2) x +1 -2 -1 x +1 -3 (Loại) -2 (Loại) x x (t/m) Loại P -1 Vậy x = P nhận giá trị nguyên Chú ý: lập luận x + ≥ với x ≥ ; x ≠ để loại bỏ giá trị âm Ư(2) Dạng 2: Tìm x để biểu thức nguyên HD: Đưa biểu thức P dạng x = Vì x ≥ nên … ≥ Chia 2TH sau kết luận P khoảng Vì P ∈ Z nên P = … Thay P vào, tìm x kêt luận x x −4 + − Ví dụ: Cho P = Tìm x ngun để P nguyên x −1 x −1 x +1 Giải: P= P= x −1 ⇔P x +1 ( x −1 với x ≥ ; x ≠ x +1 ) x +1 = x −1 ⇔ P x + P = x −1 ⇔ x ( P − 1) = −P − ⇔ x= −P − P −1 −P − ≥0 P −1 −P − ≥  P ≤ −1 ⇔ TH1:  (loại) P − > P > −P − ≤  P ≥ −1 ⇔ ⇔ −1 ≤ P < TH2:  P − < P 0 x ≠ 16 x + x − x +2   1) Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức B ( B = x +2 ) x − 16 b) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để B(A-1) số nguyên  x +2 x −  x +1  − 2) Cho biểu thức: M =  , với x > 0, x ≠  x − x + x + x   a) Rút gọn M ( M = ) x −1 b) Tìm x nguyên để M có giá trị số nguyên 3) Cho biểu thức: M = x x +3 x +1 + x −3 x a) Rút gọn biểu thức M ( M = + x −3 − 11 x , với x ≥ 0, x ≠ 9−x ) b) Tìm số tự nhiên x để giá trị M số tự nhiên 4) Cho biểu thức: P = x2 − x − 2x + x x + x +1 x a) Rút gọn biểu thức P ( P = x − x + ) b) Tìm x để biểu thức Q = + 2( x − 1) x −1 , với x> x ≠ x nhận giá trị số ngun P Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng: k thực xét mẫu f (x) f ( x) + P= đó f(x) g(x) bậc thực chia tử cho mẫu xét mẫu g ( x) f ( x) + P= đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi g ( x) + P= + P = ax2 + bx + c Ví dụ: VD1: P = k thực xét mẫu f (x) Cho biểu thức A = x + x +3 x − 3x + , với x ≥ 0, x ≠ x−9 x −3 a) Rút gọn biểu thức A ( A = ) b) Tìm giá trị lớn biểu thức A x +3 1 ≤ ⇔ ≤1⇔ A ≤1 Vì x ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ ≤ x +3 x +3 Dấu “=” xảy x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy, maxA = x = VD2: P = f ( x) đó f(x) g(x) bậc thực chia tử cho mẫu xét mẫu g ( x) Tìm GTNN P = VD3: P = x +1 với x ≥ 0, x ≠ x +1 f ( x) đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi g ( x)  x  x : + 1) Cho biểu thức P =   x + x , với x>0 x x +   a) Rút gọn biểu thức P ( P = B= x + x +1 x Chỉ hai số = x +1+ x x x + x +1 x x ) b) Tìm giá trị nhỏ B dương Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x x MinB = x = x+3 x −1 x − + Q = với x > 0, x ≠ x −2 x−4 x +2 P Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị nhỏ Q 2) Cho hai biểu thức P = Giải Rút gọn ta Q = x với x > 0, x ≠ x −2 10 P x+3 x x+3 = : = = x+ Q x −2 x −2 x x >0 Vì x > nên x > x Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương x ta được: x x+ ≥ x P ≥ ⇔ Q Dấu ‘=’ xảy x = ⇔ x = (t/m) x P Vậy , x = giá trị nhỏ Q VD 4: P = ax2 + bx + c Cho biểu thức A = x − x + với với x ≥ Tìm GTNN A 2 A = x − x +1 = ( x − ) + Giải: ( x − ) ≥ với x≥ 2 3 ⇔( x − ) + ≥ với x≥ 4 ⇔ A ≥ với x≥ 1 Dấu “ = ” xảy x − = ⇔ x = (t/m) Vậy GTNN A x= 4 Vì Bài tốn 6: Tìm giá trị tham số để có x thỏa mãn hệ thức cho trước HD: Đưa giải biện luận PT bậc nhất, bậc hai  x   x +3 x +2 x +2  + + Ví dụ : P = 1 − ÷:  ÷ ÷ x +1 ÷    x − 3− x x −5 x +  Tìm m để có giá trị x thỏa mãn P Giải: Rút gọn ta P = ( ) x + = m ( x + 1) − x −2 với x ≥ 0, x ≠ x ≠ x +1 P ( ) x + = m ( x + 1) − ⇔ mx − x + m = ( *) Nếu m = 0, PT (*) có dạng x = ⇔ x = 0(t/ m) Nếu m ≠ 0, PT (*) PT bậc hai x , có P = > PT (*) có nghiệm x thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ x ≠ 11  1  − ≤ m ≤ 1 − 4m ≥ 0  ≥  ⇔ m ⇔ ⇔ m ≠  4m − + m ≠ m ≠     m ≠  m ≠ 10 9m − + m ≠   10  ≤ m ≤    Vậy m ≠ có giá trị x thỏa mãn P    m ≠ 10  ( ) x + = m ( x + 1) − Bài tập tự luyện  x + 1  x + x  :  + Cho biểu thức P = 1 −   x + −  , x ≥ 0; x ≠ 9 x − x +     a) Rút gọn biểu thức P ( P = x+ x x −1 ) b) Cho m>1 Chứng minh có hai giá trị x thỏa mãn P = m   x −1 , với x ≥ 0, x ≠ +  2) Cho biểu thức M =  x + 1  x −1 a) Rút gọn biểu thức M ( M = x x +1 ) b) Tìm a để phương trình M = a có nghiệm 3) Cho biểu thức P= 15 x − 11 x+2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P ( P = b) Chứng minh P ≤ + x −2 1− x 2−5 x x +3 − x +3 x +3 , với x ≥ 0, x ≠ ) c) Tìm m để có x thỏa mãn P( x + 3) = m BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho biểu thức A = x +1 x −1 x +1 với x ≥ 0, x ≠ + − x − x −1 x +1 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = 3) Tìm giá trị x để A = 4) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 5) Tìm m để phương trình mA = x − có hai nghiệm phân biệt 12 6) Tính giá trị x để A < 7) Tính giá trị nhỏ biểu thức 1   x +1  − ÷  − x ÷ với x ≥ 0; x ≠ x +1    x −1  Bài 2: Cho biểu thức M =  1) Rút gọn M 2) Tính giá trị M khi: a) x = b) x = + 2 c) x = 2+ x 4) Tìm x để M < 3) Tìm x đề M = 5) Tìm x nguyên để M nguyên 6) So sánh M 7) Tìm GTNN M  x   x  + − 1÷ Bài 3: Cho biểu thức: A =  ÷ ÷:  ÷ với x ≥ 0; x ≠  x −1 x −1   x −1  1) Rút gọn A 2) Tính giá trị M khi: a) x = b) x = + − − c) x − = 4 3 4) Tìm x để A< 3) Tìm x đề A = 5) Tìm x nguyên để A nguyên 6) Chứng minh rằng: A ≥ 7) Tìm GTNN A Bài 4: Cho biểu thức P = x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P với 3) So sánh P với Bài 5: Cho biểu thức Q = 1) Rút gọn Q 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 13 2) Tìm x để Q = 3) Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên  x −3  x + x  − − Bài 6: Cho biểu thức B =  ÷:  ÷ x +2  x −1 1− x   x + x + 4) Chứng minh Q ≤ 1) Rút gọn biểu thức B 2) Tính giá trị biểu thức B x = 8 − −1 +1 , so sánh B B   x x +1 x +   − x − − + 1÷ Bài 7: Cho biểu thức M =  ÷:  x−4   x −2  x +2  x −2 3) Với ≤ x < 1) Rút gọn biểu thức M 2) Tính giá trị biểu thức B x = − 3) Tìm giá trị nhỏ M  Bài 8: Cho biểu thức N =  −  x   x +3 x +2 x +2  + + ÷:  ÷ x +1  x − − x x − x +  1) Rút gọn biểu thức N 2) Tính giá trị x để N < 3) Tìm giá trị nhỏ N Bài 9: Cho hai biểu thức A = 1) Chứng minh B = x x − 24 B = + x +8 x −9 x −3 x +8 x +3 2) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên ( )  x x −1 x x +1  x − x +1 − ÷: x −1 x − x x + x   Bài 10: Cho biểu thức A =  1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < 3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Bài 11: Cho biểu thức  x x −3  x +2 x −4 P= + − ÷:  ÷ x x −2  x −2 x −x  1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P > 3) Tính giá trị nhỏ P Bài 12: Cho biểu thức 14   2x +  + x2 x C= − − x  ÷ ÷ ÷ x + x + 1 + x  x −1   1) Rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C x = − 3) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C – 4) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn − 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x + 1− x Bài 13: Cho biểu thức A = 1+ x 1) Khi x = − 5, tính giá trị biểu thức A  15 − x  x +1 + 2) Rút gọn biểu thức B =  ÷: x +5 x −5  x − 25 3) Tìm x để biểu thức M = B − A nhận giá trị nguyên Bài 14: x +1 với x = + x −2 x 1− x x +4 2) Cho biểu thức B = + − Chứng minh B = 2− x x +1 x −2 x− x −2 B 3) Tìm x để P = < −1 A x+2 x x −3 Bài 15: Cho hai biểu thức A = B = − − x+ x −2 x +2 x −1 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A = 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để B = B x = m có nghiệm A  x  x +3 + : Bài 16: Cho biểu thức B =  với x > 0, x ≠ ÷ x +3 x −3  x −9 3) Tìm m để 1) Tính giá trị B x = 27 + 10 − 18 + 2) Chứng minh B > x x + − 11 x x −3 + + ; B= 9−x x +1 x +3 x −3 1) Tính giá trị B x = 36 2) Rút gọn A 3) Tìm số nguyên P để P = A.B số nguyên Bài 17: Cho biểu thức A = Bài 18: Cho biểu thức B = với x ≥ 0, x ≠ Tìm x để B = x −2 15 x với x ≥ 0, x ≠ + x−4 x −2 1) Cho biểu thức A = 2) Tính P = B A 3) Tìm x thỏa mãn P ( ) x + − x + x − = 2x − 2x + x − Q = x −3 x x −9 x +3 1) Tính giá trị Q x = 121 2) Rút gọn P Q x +1 3) Tìm giá trị x để A = = P 2 4) So sánh A A 2 x + x   x +2   : 1 −  − Bài 20: Cho biểu thức P=     x x − x − x + x +     1) Rút gọn P 2) Tính P x= +  2a + a − 2a a − a + a  a − a  − Bài 21: Cho biểu thức:P= +   a −1 − a − a a   Bài 19: Cho biểu thức P = 1) Rút gọn P 2) Cho P= 1+ , tìm giá trị a? a2 + a 3) Chứng minh P > Bài 22: Cho biểu thức :P= a − a +1 1) Rút gọn P 2) Biết a >1 Hãy so sánh P với 3) Tìm a để P=2 4) Tìm giá trị nhỏ P − 2a + a +1 a P ( )  ( a − 1) a − b a 3a : − + a − b  2a + ab + 2b  a + ab + b a a − b b  Bài 23: Cho biểu thức:P=  1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên 1   a +1 a + 2  − −  :  a   a −2 a −   a −1  Bài 24: Cho biểu thức: P=  1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị a để P >  x− x +7   x +2 x −2 x  + :  − − ÷ ÷ ÷ x −2  x −2 x +2 x−4÷  x−4  Bài 25: Cho A=  1) Rút gọn A 16 với x > , x ≠ 2) So sánh A với A ( )  x x − x x + 1 x − x + − : ÷ ÷ x−1  x− x x+ x  Bài 26: Cho biểu thức: A =  1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < 3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên   a   a − Bài 27: Cho biểu thức P = 1 + ÷:  ÷  a +1  a −1 a a + a − a −1 1) Rút gọn P 2) Tìm a cho P > 3) Cho a = 19 − Tính P Bài 28: Cho biểu thức P = x x + 26 x − 19 x x −3 − + x +2 x −3 x −1 x +3 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P x = − 3) Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ 2+ x x 4x + x −   x +3  + − − Bài 29: Cho biểu thức P =  ÷:  ÷ x−4 2− x 2+ x  2− x x −x 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P > 3) Tìm giá trị x để P = - 4) Với giá trị x P > P  x −1 x   x −2 − + Bài 30: Cho biểu thức P =  ÷: 1 − ÷ 9x − x − x + x +1     1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P =  x   x  − Bài 31: Cho biểu thức P =  ÷: 1 + ÷ x −1  x +1  x x − x + x −1 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P <  x   x +3 x +2 x +2  + + Bài 32: Cho biểu thức P =  − ÷:  ÷ x +1  x − − x x − x +   1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P < 3) Tìm số m để có giá trị x thỏa mãn P  x  x : + Bài 33: Cho biểu thức: P =   x+ x x x +   Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) 17 ( ) x + = m(x + 1) − 2 Tính giá trị P x = Tính giá trị P x = − 13 Tìm Max P Tìm x để P =  x + x +   x +1 x − + x  :  − − x   x x − x  x + Bài 34: Cho biểu thức: P =   x +1 Rút gọn P Tìm x để P = -1 Tìm x để P < − Tính giá trị P biết x = +  x +1 x +1 x + x +1 x +1 : − − Bài 35: Cho biểu thức: P =   − x x − 2 x +   Rút gọn P Tìm x để P = x+ x  x −4 2+ x : + Bài 36: Cho biểu thức: P =    x − 2 x − x x    Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) x   x −  − Tính giá trị P biết x = 3+ 3+ Tính giá trị P biết x = Tìm m để có x thoả mãn P = mx x − 2mx +    x −1 1− x    :  + Bài 37: Cho biểu thức: P =  x −  x x x + x     Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) 2 Tính giá trị P biết x = 2+ 3 Tìm giá trị x thoả mãn: P x = x − − x − 4 Chứng minh P >  x −4   x +2 : − Bài 38: Cho biểu thức: P =    x ( x − ) − x    Rút gọn P Tính giá trị P biết x = 3+ ( x ) − x   x −  Tìm giá trị n để có x thoả mãn x + P > x + n Tìm giá trị lớn biểu thức M = P x Bài 39: Cho biểu thức: P = x x −1 + x +1 − x −4 x −1 Rút gọn P 18 Tìm x để P < Tìm x để 2P < Tìm x để P < Tìm x để P = − Tìm P Tìm x để P = − x Với x > so sánh P  x x − − Bài 40: Cho biểu thức: P =   x +3 3− x Rút gọn P Tìm x để P < 3x − x +  :  x −9  x −2 Tìm x để P < Tìm x để P = Tính giá trị P x = − Bài 41: Cho biểu thức: P = x +2 1+ x + x − − 2x + x −1 1− x x Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Tính giá trị P biết x = − 3 Chứng minh 3P < Tìm giá trị P  2x + 1   a+2 a +1 x+3  +  : 1 −  Bài 42: Cho biểu thức: P =   x x −1 1− x   x + x + 1 Rút gọn P Tính giá trị P biết x = + 3 Tìm x để P < Tìm x để P < Tìm x để P = − Bài 43: Cho biểu thức: P = a a −1 + + a + a +1 1− a Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Tính giá trị P biết a = − 3 Tìm a để P = Chứng minh với a > a ≠ P <  x+2 x  : + + Bài 44: Cho biểu thức: P =    x x −1 x + x +1 1− x  Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Chứng minh P > với x thuộc TXĐ 19 x −1 Tìm max P x +2 Bài 45: Cho biểu thức: P = x +3 + x 2− x + x + x −8 x+ x −6 Rút gọn P Tìm x để P < Tìm x để P = Tìm x để P >0 x x + 26 x − 19 Bài 45: Cho biểu thức: P = x+2 x −3 − x x −1 x −3 + x +3 Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Tính giá trị P biết x = − 3 Tìm P  x +3 x +2 x +2   :  + + x +  x − − x x − x +  Bài 46: Cho biểu thức: P = Rút gọn P Tìm x để P < Tìm x để P = − x −3 So sánh P với Tìm Min P Tìm số m để có giá trị x thoả mãn: P( x + 1) + = m( x + 1) Bài 47: Cho biểu thức: P = 10 x + x − x+3 x −4 + x x +4 + x 1− x Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Chứng minh P > Tìm P Bài 48: Cho biểu thức: P = 16 x − x − x+3 x −4 + x x +4 + x 1− x Rút gọn P Chứng minh P > -3 Tìm maxP Tìm m để P thoả mãn: mP = x −  x   x   : 1 +  + Bài 49: Cho biểu thức: P =     x + x x − x + x − 1 − x     Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) Tìm x để P <  x  x +1 : + Bài 50 Cho biểu thức: P =   x + x +1 x x − x −   Rút gọn P (tìm điều kiện x để P có nghĩa) 2.Tính giá trị P x = + 2 − − 2 Tìm x để P = x Với x > 1, so sánh P với P 20 ... biểu thức: P = x x + 26 x − 19 x − + x −3 x+2 x −3 x −1 x +3 x + 16 a) Rút gọn biểu thức P ( P = ) x +3 b) Tính giá trị biểu thức P x = − 3) Cho biểu thức: M = x x +3 x +1 + a) Rút gọn biểu thức. .. giá trị biểu thức C lớn − 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x + 1− x Bài 13: Cho biểu thức A = 1+ x 1) Khi x = − 5, tính giá trị biểu thức A  15 − x  x +1 + 2) Rút gọn biểu thức B... 5) Cho biểu thức: P = , với x ≥ 0, x ≠ x + x − 1− x x +3 2−5 x a) Rút gọn biểu thức P ( P = ) b) Chứng minh P ≤ x +3 Bài toán 4: Tìm x để biểu thức nguyên Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên