chuyên đề rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn toán

Chuyên đề rút gọn biểu thức ôn thi vào lớp 10 môn Toán: + Hệ thống lại các kiến thức liên quan tới việc rút gọn biểu thức + Hệ thống lại các dạng bài toán có sau phần rút gọn biểu thức + Các bài tập củng cố, khắc sâu kiến thức phần rút gọn biểu thức

CHUYÊN ĐỀ I:

RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN SAU PHẦN RÚT GỌN

I Kiến thức cần nhớ

1 Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

1 (A+B)2 = A2 +2AB +B2

2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2

3 A2 –B2 = (A-B )(A+B)

4 (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3

5 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3

6 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)

7 A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)

2 Các công thức biến đổi căn thức:

1 A có nghĩa khi A ≥ 0

2 A 2 A

3 AB  A. B ( Với A  0; B 0 )

4

B

A B

A

 ( Với A  0; B > 0 )

5 A2B A B ( Với B 0 )

6 A B = A2B ( Với A  0; B 0 )

A B = - A2B ( Với A < 0 ; B 0 )

B B

 ( Với AB  0 và B  0 )

8 A B B

B

A

 ( Với B > 0 )

9

10

3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng hằng đẳng thức + Phương pháp tách hạng tử

4 Các tính chất cơ bản của một phân thức

A A M =

B B M (M là một đa thức khác 0)

A A : N =

B B : N (N là một nhân tử chung)

II Các dạng bài

A Các dạng toán rút gọn

Dạng 1: Phân tích mẫu bằng phương pháp đặt nhân tử chung

1) Phân tích thành nhân tử :

a) x + 2 x b) x - 2 x c) x x x   x  1

2) Rút gọn các biểu thức sau:

2 2

( )

0, )

A A B

A B

 (víi

0, 0, )

A B

 (víi

 

x

với x > 0; x ≠ 4

C



















1

2 2

x

x x

2

1 2

1





















x x x

x

2

1 1

2

2













x x x x

x

P x x x x x x















1

1

, với x>0

Dạng 2: Phân tích mẫu bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

1 Phân tích thành nhân tử :

a) x - 4 b) x - 25 c) x x 1 d) x 3 1

2 Rút gọn các biểu thức sau:

1 5 2

4 2

M

x x



 với x > 0, x 4

N

x 25



9 x



Q

    với x0 , x1

R

    với x0 , x1

1

1

A

x

     

      

   , x 0 ,x  1

2 3 9

9

B

x





  , với x 0 ,x  9

4 16 :

C

  

    

1

2 1

D

x

    

Dạng 3: Phân tích mẫu bằng phương pháp tách hạng tử

1 Phân tích thành nhân tử :

a) x 5 x6 b) x x 6 c) x2 x 3 d) x2 x 15

2 Rút gọn các biểu thức sau:

    với a 0 , a9 , a4

B



C = 15 11 3 2 2 3

    với x0 , x1

        

với x0, x9, x25

E

    , x 0 ;x 1

G

    , với x 0 ;x 1

15 11 3 2 2 3

H

    , với x 0 ,x  1

Dạng 4: Rút gọn từng phân thức rồi thực hiện phép tính

Q =

1 1

1 1















x x x x

x x

A

       , với -1<x<1 và x 0

     

     

     

C

   , với x> 0 và x1

1

2 1

1

3

3











x

x x

x

B Các bài toán sau phần rút gọn:

Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức.

Thường gặp:

Loại 1: Tính GTBT P khi x = a (a R).

HD : Thay x = a (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức P ta được:

P = …

Vậy, với x = a thì P = …

x 1





Loại 2: Tính GTBT P khi x = m ± n p (với m , n , p R)

Dùng HĐT 1,2 biến đổi x  tìm x rồi thay vào biểu thức P (làm giống loại 1)

BT1: Tính x biết x = 4 + 2 3 ; 2 3

x

2





x 1





  Tính P khi x = 4 + 2 3; 2 3

x

2





Loại 3: x nằm trong biểu thức chứa dấu GTTĐ

HD: + Giải PT, BPT chứa dấu GTTĐ  tìm được x Đối chiếu ĐKXĐ

+ Thay x (t/m ĐKXĐ) vào biểu thức P ( giống loại 1)

x 1





  Tính P biết |2x - 3| = 5 Giải:

Rút gọn ta được: P x 1

x 1





 với x  0, x ≠ 1

2 3 5 4(t/ m)

2 3 5

2 3 5 1( )

x

     

  

Thay x = 4 vào P ta được

4 1 2 1 1

2 1 3

4 1

P    





Vậy 4 1 2 1 1

2 1 3

4 1

P    



 khi |2x - 3| = 5

Bài tập tự luyện

1) Cho biểu thức:

5

5 25

10





x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức A (

5

5







x

x

b) Tính giá trị của A khi x = 9

2) Cho biểu thức:

3

3 1

2 3

2

19 26





















x

x x

x x

x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức P (

3

16







x

x

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 7  4 3

x

x x

x M

















9

11 3 3

1 3

2

, với x 0 ,x 9

a) Rút gọn biểu thức M ( M =

3

3



x

x

) b) Tính giá trị của M khi x 3  4  2 3





































) 1 (

2 2 : 1

x x

x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức P (

1





x

x

b) Tính giá trị của P khi 2 3

3 2

2







Bài toán 2: Giải phương trình, bất phương trình.

Dạng 1: Giải PT

Loại 1 : Tìm x để P = a ( a  R)

HD: P = a  (biểu thức rút gọn) = a  …  x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko)

Trả lời:

x 1





2



Loại 2 : Tìm x để P = A(x)

HD : P = A(x)  (biểu thức rút gọn) = A(x)

 … (giải PT bậc 2 hoặc PT tích)  x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko)

Trả lời:

Ví dụ: P x 2 1 x 1

x 2 x x 2 x 1

  với x > 0 và x 1 

Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5 

Giải : Rút gọn ta được P x 1

x



 với x > 0 và x 1 

2P 2 x 5

x 1

2 2 x 5

x

2 x 1 x 2 x 5

2 x 2 2x 5 x

2x 3 x 2 0

x 2 2 x 1 0

x 2 0

2 x 1

x 2(loai)

2 x 1

x x (t/ m)

 



   

   

  

 





 

 





   

Vậy :

Bài tập tự luyện

1) Cho biểu thức: P x x x x x x















1

1

, với x>0 a) Rút gọn biểu thức P (

x

x x

P  1) b) Tìm x để P133 ( dạng bậc hai)

















1

: 1 1

1

x

x x

x x

a) Rút gọn biểu thức P (

1

1 2







x

x

b) Tìm x để P 23 ( x=1, không thỏa mãn ĐKXĐ)

3

2













x

x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức A ( 3 3





x

b) Tìm giá trị của x để A31( Bậc nhất, x=36 thỏa mãn ĐKXĐ)

Dạng 2: Tìm x để P > a; P < a; P  a; P  a (với a R)

HD:

+ Chuyển a từ VP sang VT (để VP = 0)

+ Quy đồng mẫu (chú ý không được khử mẫu)

+ Xét dấu tử mẫu  tìm được x

+ Kết hợp ĐKXĐ (vẽ trục số) rồi trả lời

x 1





  Tìm x để P 0 ; để P 1

2

 ; để P 1

2



Giải : Rút gọn ta được: P x 1

x 1





 với x  0, x ≠ 1

x 1

x 1



  x 1 0  (vì x 1 0  do x  0)  x 1

 x 1 Kết hợp ĐKXĐ ta được 0  x < 1 thì P < 0

Bài tập tự luyện

1) Cho biểu thức

5

5 25

10





x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức A (

5

5







x

x

c) Tìm x để

3

1



A









































3

2 2 : 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức P ( 33







x

P ) b) Tìm x để P 21

3) Cho biểu thức: 4 7 3 1 1 1 3

















x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M 43

Bài toán 3: Chứng minh, so sánh.

Thường gặp: + So sánh P và a

+ Chứng minh P > a; P < a; P  a; P  a (với a  R)

HD: Xét hiệu P - a, rồi so sánh với số 0 (Xét dấu tử, mẫu)

Ví dụ 1: Cho A x



  với x  0 ; x  1 Chứng minh A 1

3



Xét hiệu

2

A

Vì x  0 ; x  1 nên ( x 1) 2  0 ( x 1) 2 0

Vì x  0 nên 3 x  x 1  0

Do đó A 1 0

3

A 3

1 2 1

x





  với x > 0 , x1

So sánh B với 1

Giải: Rút gọn ta được B = x 1

x



với x > 0 , x1

x -1

B - 1 = - 1

x

x - 1 - x x -1 x





Có -1 < 0 -1 0

x

x > 0 ( do x > 0 )



 





 B - 1 < 0 hay B < 1

Bài tập tự luyện

1) Cho biểu thức: 22 1 1 2













x x x x

x

a) Rút gọn biểu thức M (

x

x

M   2) b) So sánh M và 1 2) Cho biểu thức:

1

1 1

1 1

2



















x x

x

x x

x

x

a) Rút gọn biểu thức A (

1







x x

x

A ) b) Chứng minh A31

3

1 9

3

























x

x x

x

x

a) Rút gọn biểu thức B (

3

1







x

x

b) Chứng minh rằng

3

1



B

2

1















x x

x

x

a) Rút gọn biểu thức M (

2

1







x

x

M ) b) So sánh M và M2

5) Cho biểu thức:

3

3 2 1

2 3 3 2

11 15





















x

x x

x x

x

x

a) Rút gọn biểu thức P (

3

5 2







x

x

P ) b) Chứng minh rằng P32

Bài toán 4: Tìm x để biểu thức nguyên

Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên.

HD: Đưa P về dạng P = số a + sè b

mÉu

P nguyên  sè b

mÉu nguyên  số b  mẫu  mẫu  Ư(số b)

L p b ngập bảng ảng

x

x P

Đối chiếu ĐKXĐ rồi trả lời.

x 1





  Tìm x nguyên để P nguyên.

Giải: P x 1

x 1





 với x  0 ; x  1

P nguyên  x 12

 nguyên  2  x 1  x 1  (2)Ư(2)

Vậy x = 0 thì P nhận giá trị nguyên

Ư(2)

Dạng 2: Tìm x để biểu thức nguyên.

HD: Đưa biểu thức P về dạng x 

Vì x 0 nên …0

Chia 2TH sau đó kết luận P ở khoảng nào

Vì PZ nên P = ….

Thay P vào, tìm x và kêt luận

x 1





  Tìm x nguyên để P nguyên.

Giải: P x 1

x 1





 với x  0 ; x  1

x 1

P

x 1





 P x 1  x 1

P x P  x 1

 xP 1 P 1

x P 1

P 1

 

 



Ta có x 0 P 1 0

P 1

 

  



P 1 0 P 1

   



P 1 0 P <1

   

    

 

Vì PZ nên P = {-1; 0}

Với P = -1 thì x ( 1) 1 0

1 1

  

   x = 0 (thỏa mãn)

Với P = 0 thì x 0 1 1

0 1



 

  x = 1 (loại) Vậy với x = 0 thì biểu thức P nguyên

Bài tập tự luyện

1) Cho biểu thức:

2





x

x

2

4



















x

x x

x

x

a) Rút gọn biểu thức B (

16

2







x

x

b) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để B(A-1) là số nguyên

2) Cho biểu thức: M x x x x x . x x1

1

2 1

2





















a) Rút gọn M ( 21





x

b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên

x

x x

x M

















9

11 3 3

1 3

2

, với x 0 ,x 9

a) Rút gọn biểu thức M ( M =

3

3



x

x

) b) Tìm các số tự nhiên x để giá trị của M là số tự nhiên

4) Cho biểu thức:

1

) 1 ( 2 2

1

2



















x

x x

x x x

x

x x

a) Rút gọn biểu thức P ( Px x 1)

b) Tìm x để biểu thức

P

x

Q2 nhận giá trị là số nguyên

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức dạng:

+ P  f (x k ) thực hiện xét mẫu

+ P  g f((x x)) trong đó f(x) và g(x) cùng bậc thực hiện chia tử cho mẫu và xét mẫu

+ P  g f((x x)) trong đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi

+ P = ax2 + bx + c

Ví dụ:

VD1: P  f (x k ) thực hiện xét mẫu

3

2













x

x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức A (

3

3





x

A ) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

3

3 3

1 3

1 0 3 3 0























x x

x x

x

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy, maxA = 1 khi x = 0

VD2: P  g f((x x)) trong đó f(x) và g(x) cùng bậc thực hiện chia tử cho mẫu và xét mẫu

Tìm GTNN của P 2 x 1

x 1





 với x  0, x  1

VD3: P  g f((x x)) trong đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi

1) Cho biểu thức P x x x x x x



















1

1

, với x>0 a) Rút gọn biểu thức P (

x

x x

P  1) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B

x

x x

x

x

B  1  1  1

Chỉ ra hai số x và

x

1

dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x và

x

1

MinB = 3 khi x = 1

2) Cho hai biểu thức 3

2

x P x





4 2

Q

x x



 với x > 0, x 4 Tìm giá trị của x để biểu thức P

Q đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Rút gọn ta được

2

x Q

x



 với x > 0, x 4

:

2 2

x

 

Vì x > 0 nên x 0và 3 0

x 

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương x và 3

x ta được:

3

2 3

x x

 

 P 2 3

Q

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 3

x  x = 3(t/m)

Vậy , khi x = 3 thì giá trị nhỏ nhất của Q P là 2 3

VD 4: P = ax2 + bx + c

Cho biểu thức A =x x1 với với x  0 Tìm GTNN của A

Giải: A =x x1 = 1 2 3

( )

2 4

x  

Vì 1 2

( ) 0 2

x   với mọi x 0

( )

2 4 4

x    với mọi x 0

3 4

A

  với mọi x 0

Dấu “ = ” xảy ra khi 1 0 1

x   x (t/m) Vậy GTNN của A là 3

4khi x=1

4

Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số để có x thỏa mãn hệ thức cho trước.

HD: Đưa về giải và biện luận PT bậc nhất, bậc hai

P

       

Tìm m để có các giá trị của x thỏa mãn P x1 m x 1 2

Giải:

Rút gọn ta được 2

1

x P x





 với x  0, x ≠ 4 và x ≠ 9

 

0 *

P x m x

mx x m

   

   

Nếu m = 0, PT (*) có dạng x  0 x0(t/ m)

Nếu m ≠ 0, PT (*) là PT bậc hai đối với x, có P = 1 > 0

PT (*) có nghiệm x thỏa mãn x  0, x ≠ 4 và x ≠ 9

1

2 0

1

3 3

10

m

m

m m

m

m



   











 





  



Vậy

1 0

2 2

5

3

10

m

m

m



 





















thì có các giá trị của x thỏa mãn P x1 m x 1 2

Bài tập tự luyện







































1 3

6 9 : 1 9

1 1

3

2 1

x

x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức P (

1





x

x x

b) Cho m>1 Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thỏa mãn P = m

1

1 1



















x x

a) Rút gọn biểu thức M (

1





x

x

b) Tìm a để phương trình M = a có nghiệm

3) Cho biểu thức

3

3 2 1

2 3 3 2

11 15





















x

x x

x x

x x

a) Rút gọn biểu thức P (

3

5 2







x

x

b) Chứng minh rằng P32

c) Tìm m để có x thỏa mãn P( x 3 ) m

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1

A

x



1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của A khi x = 9

3) Tìm giá trị của x để 1

2

A 

4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

5) Tìm m để phương trình mA  x  2 có hai nghiệm phân biệt 6) Tính các giá trị của x để A < 1

7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: Cho biểu thức 1 1 1

2

x



     

1) Rút gọn M

2) Tính giá trị của M khi: a) x 4

b) x  3 2 2

c) 2 2 3 x  

3) Tìm x đề 6 x M 

4) Tìm x để 1 2 M 

5) Tìm x nguyên để M nguyên

6) So sánh M và 1

7) Tìm GTNN của M

Bài 3: Cho biểu thức: 1 : 1 1 1 1 x x A x x x                      với x 0;x 1 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị của M khi:

a) 1

4

x 

b) x  6 2 5   6 2 5 

c) x  1 4

3) Tìm x đề 4

3

A 

4) Tìm x để 3

2

A

5) Tìm x nguyên để A nguyên

6) Chứng minh rằng: 1

2

A

7) Tìm GTNN của A

Bài 4: Cho biểu thức P x 2 x 1 1

1) Rút gọn P

2) Tính giá trị của P với

3) So sánh P với 1

3

Bài 5: Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3

Q

1) Rút gọn Q

2) Tìm x để 1

Q 2



3) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên

4) Chứng minh rằng 2

Q 3



1 x



1) Rút gọn biểu thức B

2) Tính giá trị của biểu thức B khi 8 8

x

0 x

9

  , hãy so sánh B và B

x 4



1) Rút gọn biểu thức M

2) Tính giá trị của biểu thức B khi x 9 4 5  

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của M

1) Rút gọn biểu thức N

2) Tính các giá trị của x để N 0

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của N

Bài 9: Cho hai biểu thức 7

A

x 8



B

x 9

x 3







1) Chứng minh x 8

B

x 3







2) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên

Bài 10: Cho biểu thức x x 1 x x 1 2 x 2 x 1  

x 1



1) Rút gọn A

2) Tìm x để A < 0

3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Bài 11: Cho biểu thức

1) Rút gọn P

2) Tìm các giá trị của x để P > 0

3) Tính giá trị nhỏ nhất của P

Bài 12: Cho biểu thức

2 2

1) Rút gọn C

2) Tính giá trị của biểu thức C khi x 8 2 7 

3) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng – 3

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn 1

3



5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x 3

Bài 13: Cho biểu thức 1 x

A







1) Khi x 6 2 5,   tính giá trị biểu thức A

3) Tìm x để biểu thức M B A   nhận giá trị nguyên

Bài 14:

1) Tính giá trị của biểu thức x 1

A

x 2





 với x 7 4 3 

B





3) Tìm x để B

A

Bài 15: Cho hai biểu thức x 2 x

A



B

x 1

x 1







1) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A

2) Tìm các giá trị của x để B = 1

3) Tìm m để B x

m

A  có nghiệm

Bài 16: Cho biểu thức x 3 1 x



1) Tính giá trị của B khi x 27 10 2  18 8 2

2) Chứng minh 1

B 3



Bài 17: Cho biểu thức A 2 x x 1 3 11 x;

9 x

x 3 x 3

 



x 3 B

x 1





 1) Tính giá trị B tại x = 36

2) Rút gọn A

3) Tìm số nguyên P để P = A.B là số nguyên

Bài 18: Cho biểu thức 2

B

x 2



 với x 0,x 4.  Tìm x để B = 2

A

  với x 0, x 4. 

2) Tính B

P

A



3) Tìm x thỏa mãn P  x 1    x 2 x 1 2x 2 2x 4     

Bài 19: Cho biểu thức P 2 x 2

x 9 x 3

 

  và Q 6

x 3 x





1) Tính giá trị Q tại x = 121

2) Rút gọn P

3) Tìm giá trị của x để A Q 2 x 1

P 2



 

4) So sánh A và A2







































1

2 1

: 1

1 1

2

x x

x x

x x

x x

1) Rút gọn P

2) Tính Pkhi x=5  2 3

1

2 1

1 2

1

































a

a a a

a

a a a a a

a a

1) Rút gọn P

2) Cho P=1 66

 , tìm giá trị của a?

3) Chứng minh rằng P > 32

Bài 22: Cho biểu thức :P= 2 1

1

2













a

a a a

a

a a

1) Rút gọn P

2) Biết a >1 Hãy so sánh P với P

3) Tìm a để P=2

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của P