Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)

Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VƯƠNG THỊ HUỆ CHI BÀI TỐN BÙ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Mục lục Lời nói đầu Chương Bài tốn bù tuyến tính 1.1 Bài tốn bù tuyến tính (LCP) 1.1.1 Mô tả toán 1.1.2 Nguồn gốc tốn bù tuyến tính 1.2 Quan hệ với toán VI MPEC 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.2 Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân 1.3 Sự tồn nghiệm toán LCP 4 12 12 15 18 Chương Phương pháp giải toán 2.1 Phương pháp Lemke 2.1.1 Phương pháp Lemke 2.1.2 Ví dụ minh họa 2.1.3 Sự hội tụ hữu hạn 2.2 Phương pháp điểm 21 21 21 24 27 31 Chương Một số ứng dụng toán bù tuyến tính 3.1 Trò chơi Steckelberg 3.2 Trò chơi song ma trận 3.2.1 Trò chơi song ma trận 3.2.2 Nghiệm trò chơi song ma trận 35 35 36 36 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 bù tuyến tính Lời nói đầu Bài tốn bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt LCP), R W Cottle G B Dantzig đề xuất năm 1968, tốn tổng qt mơ tả thống tốn qui hoạch tuyến tính, qui hoạch tồn phương trò chơi song ma trận Các nghiên cứu tốn bù tuyến tính đem lại nhiều lợi ích, vượt ngồi khn khổ tốn bù Chẳng hạn, thuật toán xoay bù (comple-mentarity pivot algorithm) lúc đầu đề xuất cho tốn bù tuyến tính mở rộng trực tiếp để tạo thuật tốn hiệu tính điểm bất động Brouwer Kakutani, tính trạng thái cân kinh tế, giải hệ phương trình phi tuyến tìm nghiệm tối ưu cho toán qui hoạch phi tuyến Bài toán bù tuyến tính tốn tìm véctơ z ∈ Rn nghiệm hệ z ≥ 0, q + M z ≥ 0, z T (q + M z) = rõ hệ vô nghiệm, với véctơ q ∈ Rn ma trận M ∈ Rn×n cho trước Ký hiệu toán LCP (q, M) hay đơn giản LCP không cần rõ q M (T ký hiệu chuyển vị vectơ hay ma trận) Bài tốn bù tuyến tính LCP (q, M) có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, qui hoạch tồn phương, trò chơi song ma trận, cân thị trường nhiều tốn kinh tế, cơng nghiệp vật lý khác Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày khái qt tốn bù tuyến tính, mối quan hệ tốn bù tuyến tính với toán bất đẳng thức biến phân toán qui hoạch tốn học với ràng buộc cân Tìm hiểu phương pháp giải số ứng dụng tốn bù tuyến tính vào mơ hình trò chơi Luận văn viết thành ba chương Chương “Bài tốn bù tuyến tính" trình bày khái niệm tốn bù tuyến tính, nguồn gốc toán tồn nghiệm tốn Bài tốn bù có nhiều ứng dụng liên quan chặt chẽ với số toán dạng tổng quát hơn, quan tâm nghiên cứu, tốn bất đẳng thức biến phân toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân Vì chương đề cập tới hai toán Chương “Phương pháp giải tốn bù tuyến tính” giới thiệu hai phương pháp tiêu biểu giải tốn bù tuyến tính: phương pháp Lemke (1968) phương pháp điểm (Kojima, 1988) Phương pháp Lemke có nhiều điểm giống với phương pháp đơn hình qui hoạch tuyến tính, khác cách chọn biến để đưa vào sở, phương pháp cho phép giải tốn bù tuyến tính khơng suy biến sau số hữu hạn bước Tuy vậy, trường hợp xấu thời gian chạy hàm mũ Phương pháp điểm dựa ý tưởng thuật toán điểm giải qui hoạch tuyến tính, cho phép giải tốn bù tuyến tính với ma trận M nửa xác định dương thời gian đa thức Chương "Một số ứng dụng tốn bù tuyến tính" trình bày hai mơ hình trò chơi thường gặp ứng dụng tốn bù tuyến tính: trò chơi Stackelberg trò chơi song ma trận Trò chơi Stackelberg liên quan chặt chẽ với toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân (MPEC) mở rộng ý tưởng trò chơi Nash Có thể tìm nghiệm cân Nash trò chơi song ma trận nhờ lập giải tốn bù tuyến tính thích hợp Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm Luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn giảng viên Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Vương Thị Huệ Chi Chương Bài tốn bù tuyến tính Chương trình bày khái niệm toán bù tuyến tính, nguồn gốc tốn tồn nghiệm tốn Bài tốn bù có nhiều ứng dụng liên quan chặt chẽ với số toán dạng tổng quát hơn, quan tâm nghiên cứu, tốn bất đẳng thức biến phân toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng, chương giới thiệu hai toán Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3], [4], [6] [7] 1.1 1.1.1 Bài tốn bù tuyến tính (LCP) Mơ tả tốn Bài tốn bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt LCP) tốn tìm véctơ không gian véctơ thực hữu hạn chiều thỏa mãn hệ bất đẳng thức Cụ thể, tốn bù tuyến tính phát biểu sau Định nghĩa 1.1.([3], tr.1) Cho véctơ q ∈ Rn ma trận M ∈ Rn×n , tìm véctơ z ∈ Rn cho: z≥0 (1.1) q + Mz ≥ (1.2) z T (q + M z) = (1.3) véctơ z không tồn Ta ký hiệu toán LCP (q, M ) Trong tài liệu tốn, tìm thấy trường hợp riêng tốn bù tuyến tính sớm từ năm 1940, nhiên toán bù bắt đầu thu hút ý từ năm 1960, toán trở thành chủ đề nghiên cứu riêng Sau số thuật ngữ thường dùng tốn bù tuyến tính: Véctơ z thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) (1.2) gọi chấp nhận Nếu véctơ chấp nhận z thỏa mãn chặt (như bất đẳng thức) bất đẳng thức (1.1 ) - (1.2) gọi chấp nhận chặt Bài toán LCP (q, M ) gọi chấp nhận (hay chấp nhận chặt) có tồn véctơ chấp nhận (hay chấp nhận chặt) Tập tất véctơ chấp nhận toán LCP (q, M ) gọi miền chấp nhận ký hiệu FEA (q, M ) Đặt w = q + Mz (1.4) Véctơ chấp nhận z LCP (q, M ) thỏa mãn (1.3) zi wi = với i = 1, 2, , n (1.5) Điều kiện (1.5) thường dùng thay cho điều kiện (1.3) zi wi gọi cặp bù chúng gọi bù Véctơ z thỏa mãn (1.5) gọi véctơ bù Vì thế, LCP tốn tìm véctơ chấp nhận bù Một véctơ gọi nghiệm (solution) LCP Bài toán LCP (q, M ) gọi giải (solvable) có nghiệm Ký hiệu tập nghiệm LCP (q, M ) SOL (q, M ) Chú ý q ≥ LCP (q, M ) giải với véctơ nghiệm tầm thường Cách xác định w thường dùng để diễn đạt theo cách khác toán LCP (q, M ), thuận tiện cho xây dựng thuật tốn giải Cụ thể tốn tìm véctơ không âm w z Rn thỏa mãn (1.4) (1.5) Để tiện cho trích dẫn sau, ta viết lại điều kiện (1.1) - (1.4) toán LCP dạng w ≥ 0, z ≥ 0, w = q + M z, z T w = Ràng buộc z T w = gọi ràng buộc bù (Complementarity Constraint) viết dạng z⊥w, ⊥ ký hiệu "vng góc" Trường hợp riêng tốn LCP (q, M ) q = đáng ý Bài toán gọi toán bù tuyến tính tương ứng với ma trận M Một tính chất đặc thù tốn LCP (0, M ) z ∈ SOL(0, M ) λz ∈ SOL(0, M ) với số thực λ ≥ Bài tốn bù tuyến tính có véctơ nghiệm tầm thường Câu hỏi "liệu tốn đặc biệt có nghiệm khác thường hay khơng" có ý nghĩa quan trọng lý thuyết thuật tốn Ví dụ 1.1(Bài tốn chiều) Cho trước hai số thực q, m ∈ R, tìm hai biến số z, w ∈ R cho z ≥ 0, w ≥ 0, w = q + mz z(q + mz) = Đó tốn bù tuyến tính R Hình 1.1 minh họa hình ảnh hình học tốn trường hợp q > 0, m < Bài tốn Hình 1.1 có nghiệm: q (z = 0, w = q) (z = − , w = 0) m Nói chung, tốn có nghiệm? Câu trả lời cho bảng sau (tùy thuộc giá trị q m) Có thể phát biểu tốn bù (Complementarity Problem, viết tắt CP) dạng tổng quát sau Định nghĩa 1.2 (xem [4], tr 4-5) Cho nón K ⊆ Rn (tức x ∈ K ⇒ λx ∈ K với số λ ≥ 0) hàm F : K → Rn Bài toán bù, ký hiệu CP (K, F ), toán tìm véctơ z ∈ Rn thỏa mãn điều kiện: K z⊥F (z) ∈ K ∗ ⊥ ký hiệu "vng góc" K ∗ nón đối ngẫu (dual cone) K xác định K ∗ = d ∈ Rn : z T d ≥ với z ∈ K , tức K ∗ gồm tất véctơ không tạo thành góc tù với véctơ K Thay cho ký hiệu ⊥ , ta viết toán bù CP (K, F ) dạng z ∈ K, F (z) ∈ K ∗ z T F (z) = Bài tốn bù tuyến tính LCP trường hợp riêng toán bù CP K = Rn+ (do K ∗ = Rn+ ) F (z) = q + M z với q ∈ Rn M ∈ Rn×n Luận văn chủ yếu tập trung xét tốn bù tuyến tính LCP 1.1.2 Nguồn gốc tốn bù tuyến tính Về lịch sử, toán LCP xem diễn đạt thống toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch tồn phương tốn trò chơi song ma trận Thực ra, tốn qui hoạch tồn phương tiếp tục nguồn ứng dụng quan trọng toán LCP Một số thuật tốn có hiệu cao để giải qui hoạch toàn phương dựa cách diễn đạt tốn LCP Còn tốn trò chơi song ma trận, toán LCP phương tiện để khám phá cơng cụ hiệu quả, có tính chất kiến thiết, để tính tốn nghiệm cân Bài tốn bù tuyến tính có nhiều ứng dụng phong phú đa dạng Trong mục ta mô tả số ứng dụng cổ điển ứng dụng số tính chất đặc biệt ma trận M toán LCP tương ứng • Qui hoạch tồn phương Xét tốn qui hoạch tồn phương (Quadratic Program, viết tắt QP) f (x) = cT x + xT Qx → với điều kiện Ax ≥ b, x ≥ 0, Q ∈ Rn×n đối xứng, c ∈ Rn , A ∈ Rm×n b ∈ Rm Trường hợp Q = ta nhận tốn qui hoạch tuyến tính (Linear Program, viết tắt LP) Nếu x nghiệm tối ưu địa phương tốn QP tồn véctơ y ∈ Rm cho cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện Karush-Kuhn-Tucker, gọi tắt điều kiện KKT : u = c + Qx − AT y ≥ 0, x ≥ 0, xT u = 0, (1.6) v = −b + Ax ≥ 0, y ≥ 0, y T v = (1.7) Thêm vào đó, Q ma trận nửa xác định dương, nghĩa hàm mục tiêu f (x) lồi (1.6) - (1.7) điều kiện đủ véctơ x nghiệm tối ưu tồn cục tốn qui hoạch tồn phương lồi Các điều kiện (1.6) - (1.7) xác định tốn bù tuyến tính LCP (q, M ) với c Q −AT q= M = −b A Để ý ma trận M không đối xứng (trừ A khơng có 0) Q đối xứng Tuy thế, M có tính chất gọi song đối xứng (bisymmetry) Theo định nghĩa, ma trận vuông N song đối xứng sau hoán vị tập hàng cột, đưa ma trận dạng G −AT N= A H với G H đối xứng Nếu Q nửa xác định dương qui hoạch tồn phương lồi M ma trận song đối xứng (Nhớ ma trận vuông Q nửa xác định dương z T Qz ≥ với véctơ z) Một trường hợp riêng quan trọng tốn tồn phương QP có ràng buộc dấu biến x Khi đó, tốn QP có dạng đơn giản f (x) = cT x + xT Qx → với điều kiện x ≥ Nếu Q nửa xác định dương tốn dạng đơn giản hồn tồn tương đương với tốn LCP (c, Q) Có nhiều ứng dụng cơng nghiệp vật lý dẫn tới mơ hình qui hoạch toàn phương lồi dạng đặc biệt mà ta vừa tương đương với toán bù tuyến tính LCP (c, Q) Các ứng dụng bao gồm toán tiếp xúc, toán chất lỏng nhớt, toán vật cản, toán xoắn chất dẻo đàn hồi nhiều toán biên tự khác LCP có vai trò quan trọng việc giải số tốn ứng dụng • Trò chơi song ma trận Trò chơi song ma trận (Bimatrix Game), ký hiệu G(A, B), gồm hai người chơi, gọi người chơi I người chơi II Mỗi người chơi (Player) có số hữu hạn hành động (actions), gọi chiến lược đơn (pure strategies), quyền lựa chọn Trong loại trò chơi khơng thiết người thắng, người thua Vì thế, thuật ngữ trò chơi song ma trận thường có nghĩa trò chơi hữu hạn (finite), hai người (two-person), tổng khác không (nonzero-sum) Trò chơi đối kháng hai người với tổng khơng thường xét qui hoạch tuyến tính Ta hình dung người chơi I có m chiến lược đơn, người chơi II có n chiến lược đơn Các chữ A B ký hiệu trò chơi G(A, B) ma trận cấp m × n với phần tử biểu thị chi phí hai người chơi phải trả Như vậy, người chơi I chọn chiến lược đơn i (i = 1, , m) người chơi II chọn chiến lược đơn j (j = 1, , n) người chơi phải trả chi phí tương ứng aij bij Do khơng đòi hỏi tổng hai chi phí nên có aij + bij = Chiến thuật hỗn hợp (mixed strategy) hay chiến thuật ngẫu nhiên (randomized strategy) người chơi I véctơ x ∈ Rm với thành phần xi biểu thị xác suất chọn chiến lược đơn i, tức x ≥ m i=1 xi = Chiến lược hỗn hợp người chơi II định nghĩa tương tự Do đó, x y cặp chiến lược hỗn hợp tương ứng người chơi I II ... ứng dụng tốn bù tuyến tính vào mơ hình trò chơi Luận văn viết thành ba chương Chương Bài tốn bù tuyến tính" trình bày khái niệm tốn bù tuyến tính, nguồn gốc toán tồn nghiệm tốn Bài tốn bù có... nói đầu Chương Bài tốn bù tuyến tính 1.1 Bài tốn bù tuyến tính (LCP) 1.1.1 Mô tả toán 1.1.2 Nguồn gốc tốn bù tuyến tính 1.2 Quan hệ với toán VI MPEC ... thiết, để tính tốn nghiệm cân Bài tốn bù tuyến tính có nhiều ứng dụng phong phú đa dạng Trong mục ta mô tả số ứng dụng cổ điển ứng dụng số tính chất đặc biệt ma trận M toán LCP tương ứng 8 •