Vận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán oxy liên quan đến đường tròn trần duy thúc

Lời nói đầu Chào em học sinh thân mến! Câu hình học phẳng Oxy chắn xuất đề thi THPT Quốc Gia hàng năm Nhằm đáp ứng xu hướng đề Bộ Giáo Dục Đào Tạo nội dung câu Thầy biên soạn tài liệu với mục đích giúp Em chinh phục câu hình học phẳng Từ xây dựng lòng tin để đạt kết tốt kì thi Tài liệu chia thành chương: Chương Các toán liên quan đến đường tròn Chương Các tốn hình vng – hình chữ nhật Chương Các tốn hình thang – hình bình hành – hình thoi Chương Các toán tam giác Mỗi chương nhắc lại lí thuyết, có tập mẫu tập rèn luyện hướng dẫn tập rèn luyện Dù cố gắng chắn tài liệu khơng tránh khỏi sai sót định Hy vọng Bạn thông cảm mong nhận góp ý kiến từ Bạn đọc! Để lần sau tài liệu hoàn chỉnh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN Phần Một số kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung Cho đường tròn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực AB Thật ra, ΔIAB cân I (IA = IB = R) nên IH vừa đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác Tiếp tuyến tính chất hai tiếp tuyến cắt a Cho d tiếp tuyến đường tròn tâm (I; R) H tiếp điểm Khi đó: i) d ( I ; d ) = R ii) IH vng góc d b Giả sử AB, AC tiếp tuyến đường tròn (I; R) với B, C tiếp điểm đó: i) AI đường trung trực BC ii) Tứ giác ABIC nội tiếp Góc tâm a Định nghĩa: Góc tâm góc có đỉnh tâm hai cạnh hai bán kính b Tính chất: Hai góc tâm chắn hai cung Góc nội tiếp a Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh hai dây cung b Tính chất: i) Các góc nội tiếp chắn hai dây cung Đặc biệt, góc nội tiếp chắn dây cung ii) Các góc nội tiếp chắn dây cung iii) Góc nội tiếp ( ≤ 90° ) nửa góc tâm chắn dây cung iv) Góc nội tiếp chắn đường kính góc vng Góc tạo tiếp tuyến dây cung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a Định nghĩa: Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, có cạnh tia tiếp tuyến cạnh lại dây cung xAC góc tạo tiếp tuyến dây cung b Tính chất: i) Góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn ii) Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn dây cung Tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn Ta có phát biểu tương đương sau: a Tứ giác nội tiếp ⇔ tổng hai góc đối tứ giác 180° b Tứ giác nội tiếp ⇔ hai góc kề chắn cạnh c Tứ giác nội tiếp ⇔ góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh Phần Rèn luyện kĩ chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình hành uuur uuur uuur uur uuur uur b) AH = IM ; BH = IN CH = IP N, P trung điểm AC AB uuu r uur c) H, G, I thẳng hàng HI = 3GI d) Trong trường hợp A = 60° Chứng minh: AH = AI Chứng minh CH ⊥ AB  BH ⊥ AC ⇒ CH / / KB;  ⇒ BH / / KC a)   KB ⊥ AB  KC ⊥ AC Do đó, ABKC hình bình hành b) ABKC hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HK Do IM đường trung bình ΔAHK uuur uuur  AH / / IM ⇒ ⇒ AH = IM  AH = IM Các ý lại tương tự Bạn đọc thử chứng minh để nhớ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AG Mà AM đường trung tuyến ΔAHK nên G trọng uuu r uur tâm ΔAHK HI đường trung tuyến ΔAHK nên H, G, I thẳng hàng HI = 3GI c) G trọng tâm ΔABC nên AM = · · d) A = 60° ⇒ BIC = 120° ⇒ MIC = 60° (góc nội tiếp 1/2 góc tâm chắn dây cung) ΔIMC vng M Ta có: IM = IC.cos 60° ⇒ IC = IM ⇒ IA = IC = IM Mà AH = IM (câu b) Suy AH = AI Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(-1; 2), trực tâm H(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 0) Viết phương trình cạnh BC Phân tích: BC có vtpt ·AH = (2; −1) Nếu tìm điểm thuộc cạnh BC tốn giải? uuur uuur Gọi M trung điểm BC Nhớ lại AH = IM (BT1 câu b) Thế có điểm M Giải uuur BC có vtpt AH = (2; −1) Gọi M trung điểm BC Khi đó: uuur uuur 2 = 2( xM − 2) 1  AH = IM ⇔  ⇒ M  3; − ÷ 2  −1 = 2( yM − 0) uuur 1  BC qua M có vtpt AH nên BC: ( x − 3) −  y + ÷ = ⇔ BC : x − y − 13 / = 2  uuur uuur Chú ý: Trong làm em phải chứng minh AH = IM (xem BT1 câu b) 4 4 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 3), trọng tâm G  ; ÷ tiếp tuyến A 3 3 đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình x − y + = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Giải Đặt d : x − y + = tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ΔABC Gọi M, I trung điểm uuu r uur BC tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi đó: HI = 3GI (xem BT1 câu c) uuuu r uuuu r AM = 3GM (tính chất trọng tâm)  4   x =  xI − =  x I − ÷ I uuu r uur     ⇒ I  3;1 ⇔ Từ: HI = 3GI ⇔   ÷ 2 2  y − = 3 y −  y =  I ÷  I  I 3  Ta có: IA ⊥ d ⇒ IA : 3x + y + m = I ∈ IA ⇒ + + m = ⇔ m = −5 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy IA : x + y − = A = d ∩ IA nên tọa độ A nghiệm hệ: 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A(1; 2)  x − 3y + = y = Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA 2 uu r  3 5 3  1  IA =  − ; ÷ ⇒ IA = ⇒ IA2 = ( C ) :  x − ÷ +  y − ÷ = 2 2  2  2   4  xM − =  xM − ÷  uuuu r uuuu r 3   3  ⇒ M  ;1÷ Ta có: AM = 3GM ⇔  2   y −1 = 3 y −  M M  ÷  3  uuur BC qua M có vtpt AH = (0;1) nên BC có phương trình: 3  BC :  x − ÷+ ( y − 1) = ⇔ BC : y − = 2  B, C = BC ∩ ( C ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  y −1 = x = x =  2 ∨ ⇒ B (0;1), C (3;1) ∨ B(3;1), C (0;1)  3  1 5⇔ y = y = x − + y − =   ÷  ÷  2  2  Vậy: A(1; 2), B(0;1), C (3;1) A(1; 2), B(3;1), C (0;1) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(-1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -3) đỉnh B(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh A, C biết x A > xC Giải uur Ta có: IB = (−2; 4) ⇒ IB = 20 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IB có phương trình: ( x − 3) + ( y + 3) = 20 2 uuur uuur Gọi M trung điểm AC, ta có BH = IM (xem BT1 câu b)  uuur uuur  xM − = ( −1 − 1) x = BH = IM ⇔  ⇔ M ⇒ M (2; −2) y = −  M  y + = (3 − 1)  M Đường thẳng AC vng góc IM qua M có phương trình: AC : x − y − = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A, C = BC ∩ ( C ) nên tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình:  x − y − =  x = −1, y = ⇔ ⇒ A(5;1), C (−1;5)  2  x = 5, y = −1 ( x − 3) + ( y + 3) = 20 ( xA > xC ) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(5;1), C (−1;5) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 2), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -2), A = 60° Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = xB < xC Giải Với A = 60° ta chứng minh AH = AI Suy A thuộc đường trung trực IH uuu r Đường trung trực IH qua trung điểm N(2; 0) IH có vtpt HI = (2; −4) nên có phương trình ∆ : x − y − = Điểm A = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x − y − = x = ⇔ ⇒ A(4;1)  x + 5y − = y =1 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IA nên có phương trình: ( x − 3) + ( y + ) = 10 Gọi M 2 trung điểm BC, ta có  uuur uuur  x =  −3 = 2( x − 3) 3 3 AH = IM =⇔  ⇔ ⇒ M  ; − ÷ 2 2 1 = 2( y + 2) y = −  uuur BC qua M có vtpt AH = (−3;1) có phương trình BC : −3 x + y + = B, C = BC ∩ ( C ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  3− −3 + ,y= x =  −3 x + y + =  − −3 +   + 3 +  2  ⇔ ⇔ B ; ;−  ÷; C  ÷  2 2 ÷ 2 ÷  3+ 3+     ( x − 3) + ( y + ) = 10 ,y=− x =  2  − −3 +   + 3 +  ; Vì xB < xC Vậy điểm cần tìm A(4;1), B  ÷ ÷; C  ; − ÷ ÷ 2      37  Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trọng tâm G(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I  ; ÷  18 18  cạnh AC có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết x A > http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Giải Gọi M trung điểm AC, ta có IM ⊥ AC ⇒ IM : x + y + m = I thuộc IM nên suy IM : x + y − = M = AC ∩ IM nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 2 x − t − =   x = 5  ⇔ ⇒ M  ;1÷ Do G trọng tâm ΔABC, ta có  2   x + y − =  y = 5  uuur uuuu r  x B = −2  xB − = 3(1 − ) MB = 3MG ⇔  ⇒ B (−2;1) Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IB 2 ⇔ y =  B  yB − = 3(1 − 1) 2 7  37  1105  có phương trình: ( C ) :  x − ÷ +  y − ÷ = Các điểm A, C = AC ∩ ( C ) nên tọa độ A, C nghiệm 18  162  18   hệ phương trình: 2 x − y − =  x = 3, y =  2 ⇒ A(3; 2), C (2;0)  7  37  1105 ⇔  x = 2, y = x − + y − =  ÷  18 ÷  18  162    ( xA > ) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3; 2), B (−2;1), C (2;0) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3; 0) đỉnh C(3; -7) Tìm tọa độ đỉnh A, B ΔABC Giải Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IC có phương trình: ( x + 3) + y = 85 uuur uuur Gọi M trung điểm AB, ta có CH = IM (xem BT1 câu b)  uuur uuur  xM + = (3 − 3)  x = −3 IM = CH ⇔  ⇔ M ⇒ M (−3;3)  yM =  y = ( −1 + 7)  M Đường thẳng AB vng góc IM qua M có phương trình: AB : y − = A, B = AB ∩ ( C ) nên tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình:  x = −3 − 19, y =  y − = ⇔  2 ( x + 3) + y = 85  x = −3 + 19, y = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇒ A(−3 − 19;3), B(−3 + 19;3) ∨ A( −3 + 19;3), B( −3 − 19;3) Vậy tọa độ điểm cần tìm là: A(−3 − 19;3), B(−3 + 19;3) ∨ A( −3 + 19;3), B( −3 − 19;3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A có phương trình 13 x − y − = x − y − 14 = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC I(-6; 0) Giải Đặt d1 :13 x − y − = 0, d : x − y − 14 = đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A 13x − y − =  x = −4 ⇔ ⇒ A(−4; −9) Gọi H M lần Khi đó, tọa độ A nghiệm hệ phương trình   x − y − 14 =  y = −9 lượt trực tâm trung điểm BC Khi đó: H ∈ d1 ⇒ H (2h + 14; h), M ∈ d ⇒ M (m; uuur uuur AH = IM (xem BT1 câu b) 13m − ) Ta có: 2h + 14 + = 2(m + 6)  h − m = −6 uuur uuur  h = −1   AH = IM ⇔  29 ⇔   13m −  ⇔  13 m = h + =  − ÷ h − m = −    uuur Vậy H (12; −1), M (2; 4) Đường thẳng BC qua M có vtpt IM nên có phương trình BC : x + y − = Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IA có phương trình: ( x + 6) + y = 85 Các điểm B, C = BC ∩ ( C ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  x + y − =  x = 3, y = ⇔   x = 1, y = ⇒ B (3; 2), C (1;6) ∨ B(1;6), C (3; 2)  ( x + ) + y = 85 Vậy tọa độ điểm cần tìm A(−4; −9), B(3; 2), C(1;6) A(−4; −9), B(1;6), C (3; 2) Bài toán (BT2) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C ΔABC H trực tâm Chứng minh: a) IA ⊥ EF ; IB ⊥ DF IC ⊥ DE b) H tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF Chứng minh a) Kẻ tiếp tuyến xy A Khi đó: xAB = ACB (1) Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word BFC = BEC = 90° ⇒ tứ giác BCEF nội tiếp Suy AFE = ACB (2) (góc ngồi tứ giác nội tiếp) Từ (1) (2) suy AFE = xAB ⇒ xy || EF Mà xy ⊥ IA , IA ⊥ EF Các ý lại Em chứng minh tương tự nhé! b) Tứ giác BDHF nội tiếp ⇒ HDF = HBF (1) Tứ giác CDHE nội tiếp ⇒ HDE = HCE (2) Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ FBE = FCE (3) (1), (2) (3) ⇒ HDE = HDF Khi DH tia phân giác FDE Chứng minh tương tự ta có H giao điểm ba đường phân giác ΔDEF Nên H tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = Chân đường cao 2 kẻ từ B C E (0;1) F (1;3) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết x A > Giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) Ta có IA ⊥ EF (xem BT2 câu a) uuur IA qua I có vtpt EF = (1; 2) có phương trình IA :1( x − 1) + 2( y − 2) = ⇔ IA : x − y − = Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: ( x − 1) + ( y − ) =  x = 3, y = ⇔   x = −1, y =  x + y − = Vậy A(3;1) (vì x A > ) AC qua A E có phương trình AC : y − = C = AC ∩ ( C ) nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình: ( x − 1) + ( y − ) =  x = 3, y = 1(l ) ⇔ ⇔ C (−1;1) Ở ta loại x = 3, y = trùng điểm A AB qua A   x = −1, y = 1(n)  y − = F có phương trình AC : x + y − = B = AB ∩ ( C ) nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: ( x − 1) + ( y − ) =  x = 3, y = 1(l ) ⇔ ⇔ B (0; 4) Ở ta loại x = 3, y = trùng điểm A  x = 0, y = 4( n ) x + y − =   Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;1), C (−1;1), B(0; 4) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vng góc B MD Tam giác BMD nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 25 Xác định 2 tọa độ định hình chữ nhật biết đường thẳng CN có phương trình x − y − 17 = Đường thẳng BC qua điểm E (7;0) M có tung độ âm Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = Do ΔBMD nội tiếp đường tròn (C) N, C chân đường cao nên ta chứng minh IM ⊥ NC (xem BT2 câu a) IM qua I IM ⊥ NC nên có phương trình IM : 4( x − 4) + 3( y − 1) = ⇔ IM : x + y − 19 = M giao điểm (C) IM nên tọa độ M nghiệm hệ: ( x − ) + ( y − 1) = 25  x = 7, y = −3 ⇔ ⇔ M (7; −3) (vì tung độ M âm)   x = 1, y =  x = Đường thẳng BC qua M E có phương trình BC: x = Điểm C giao điểm BC NC nên tọa độ ( x − ) + ( y − 1) = 25 x = ⇔ ⇔ C (7;1) Điểm C trung điểm M B điểm C nghiệm hệ  y = x =   ⇒ B (7;5) DC qua C vng góc BC có phương trình DC: y − = ( x − ) + ( y − 1) = 25  x = 9, y = ⇔ Tọa độ D nghiệm hệ  Vì B D phải nằm phía so với  x = −1, y =  y − = uuur uuu r đường thẳng CN nên ta nhận D(−1;1) Do DA = CB ⇒ A( −1;5) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(−1;5), B (7;5), C (7;1), D( −1;1) Bài toán (BT3) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) Điểm E giao điểm tiếp tuyến A BC D chân đường phân giác kẻ từ A Chứng minh: ΔEAD cân Chứng minh Gọi K chân đường phân giác góc A, ΔDAK cân D (xem BT3) Đặt d : x − y − = đường phân giác giác ADB ΔDAK cân D suy AK ⊥ d ⇒ AK : x + y + m = Do điểm A thuộc AK nên ta có phương trình AK : x + y − = Gọi M’ điểm đối xứng M qua AK, M’ thuộc AB Ta có MM’ qua M MM ' ⊥ AK nên có phương trình x − y + = Gọi N = MM '∩ AK ⇒ N (0;5) N trung điểm M M’ ⇒ M '(4;9) Đường thẳng AB qua A M’ có phương trình AB: x − y + = Bài toán (BT4) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (C) có (I; R) K tâm đường tròn nội tiếp D giao điểm AK (C); J giao điểm AK phân giác góc ngồi B Chứng minh: D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phân tích: Tương tự trước đó, ta có tứ giác BMHN nội tiếp đường tròn đường kính BH Khi I uuur uuu r trung điểm BH B thuộc đường thẳng d nên có ẩn suy H có ẩn Từ AH BP = ⇒ H , B Vậy xong nhé…! Giải Ta có BMH = BNH = 90° ⇒ bốn điểm B, N, H, M thuộc đường tròn đường kính BH B ∈ d ⇒ B (2 − 2t ; t ) , I trung điểm BH suy uuur uuur H (2 + 2t ; −t ) ⇒ AH = (3 + 2t; −t − 4), BH = (2t − 1; −t − 2) uuur uuur Do H trực tâm ΔABC AH BH = ⇔ 5t + 10t + = ⇔ t = −1 Suy uuur H (0;1), B (4; −1) Đường thẳng AC qua A có vtpt BH = (4; −2) có phương trình AC : x − y + = Đường thẳng BC qua B P có phương trình BC : x − y − = Tọa 2 x − y + = ⇒ C (−5; −4) Vậy tọa độ điểm cần tìm là: B (4; −1) độ điểm C nghiệm hệ  x − 3y − = C (−5; −4) Ví dụ 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABC nhọn, đỉnh A(-2; -1) Gọi H, K, E hình chiếu vng góc A đường thẳng BC, BD, CD Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔHKE 2 ( C ) : x + y + x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C, D, biết H có hồnh độ âm Điểm C có hồnh độ dương thuộc đường thẳng x − y − = Phân tích: Các em cố gắng vẽ hình tốt ghi giả thuyết, phân tích xem tìm điểm trước Rõ ràng ta suy nghĩ đến điểm C H trước hai điểm có nhiều điều kiện Lại thấy đường tròn ngoại tiếp, mà điểm C thuộc (C) tốt nhỉ?? Thật khơng may, vẽ đường tròn em nhận điểm C không thuộc (C) Nếu vẽ tốt ta thấy đường tròn (C) dường qua tâm I hình bình hành?? Liệu ta gì?? Điểm C ẩn điểm A có tính I theo ẩn C (vì I trung điểm AC) Mà I thuộc (C) ta tìm I‼ Có vẻ hợp lí rồi! Vậy ta cố gắng chứng minh I thuộc (C), muốn ta chứng minh tứ giác IKHE nội tiếp ! Các Em theo dõi giải chi tiết ! Giải Ta có AHC = AEC = 90° ⇒ bốn điểm A, H, C, E thuộc đường tròn đường kính AC Gọi I tâm hình bình hành Ta có HIE = HAE = ( 180° − BCD ) Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  EKD = EAD   BKH = BAH Do đó: HKE = 180° − EKD − BKH = 180° − EAD − BAH = ( 90° − EAD ) + ( 90° − BAH ) = ABC + ADC = ( 180° − BCD ) = HIE Suy tứ giác HKIE nội tiếp Dẫn đến điểm I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp ΔHKE c−2 c−4 ; Gọi C (c; c − 3) ∈ d , ( c > ) ⇒ I  ÷ Do I thuộc (C) nên ta có phương trình   c − c − = ⇔ c = ∨ c = −1 (loại c > ) Suy C (2; −1) I (0; −1) Điểm E, H nằm đường tròn đường kính AC đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:  x = 0, y = −3  x + y + x + y + = ⇔  2  x = − ; y = − 11  x + ( y + 1) = 5   11  Vì điểm H có hồnh độ âm H  − ; − ÷, E ( 0;3) Đường thẳng BC qua H C nên có phương trình  5 BC : x − y − = Đường thẳng AB qua A song song CE nên có phương trình AB : x − y + = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: uuu r uuur uuu r uuur x − y +1 =  x = −4 ⇔ ⇒ B ( − 4; − 3) ⇒ BA = (2; 2), BC = (6; 2) ⇒ BA BC = 16 > ( t / m )   y = −3 x − 3y − =  uuu r uuur Vì BA = CD ⇒ D (4;1) Vậy B (−4; −3), C (2; −1), D(4;1) Bình luận: Tới Thầy nghĩ khả phân tích Em tiến chứ! Thầy nghĩ phần lại rèn luyện cách chứng minh kĩ tính tốn thật tốt Ví dụ 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A Điểm M thuộc BC (M khác trung điểm BC) Các điểm E, F hình chiếu M cạnh AB AC EF : x + y + = Cạnh BC có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết I(1; 2) trung điểm AM E có hồnh độ dương Phân tích: Chắc chắn ta phải nghĩ đến tìm điểm E, F, M điểm thuộc cạnh BC Vì điểm thuộc đường thẳng có phương trình Để cho ΔABC cân A?? Ta xem gì? Ta thử nghĩ đến trung điểm H BC AH đường cao đường phân giác ΔABC Ta dễ nhận điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn tâm I, với I trung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word điểm AM, MEA = MFA = MHA = 90° Thử nối IH lại thấy IH ⊥ EF ?? Nếu ta có tọa độ điểm H? Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Gọi H trung điểm BC I trung điểm AM Ta có: MEA = MFA = MHA = 90° suy điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn (C) tâm I ⇒ IE = IF (1) Mặt khác, ΔABC cân A suy ra: EAH = FAH ⇒ HE = HF (2) (tính chất góc nội tiếp) Từ (1) (2) dẫn đến IH đường trung trực EF nên IH vng góc EF Ta có IH ⊥ EF ⇒ IH : x − y + m = , mà I ∈ IH ⇒ IH : x − y + = Điểm H = IH ∩ BC ⇒ H (5; 4) Đường tròn (C) tâm I (1; 2) bán kính R = IH = có phương trình ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 20 Đường thẳng AH qua H(5; 4) vng góc BC nên có phương trình AH : x + y − = Điểm A = AH ∩ ( C ) nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: ( x − 1) + ( y − ) = 20  x = 5, y = ⇔ Điểm A(5; 4) loại trùng H, nên A(3; 6)   x = 3, y =  x + y − = Các điểm E , F = EF ∩ ( C ) nên tọa độ E, F nghiệm hệ: ( x − 1) + ( y − ) = 20  x = −1, y = ⇔ Vì E có hồnh độ dương nên E(3; 2) F(-1; 6)   x = 3, y = −2  x + y + = Đường thẳng AB qua điểm A(3; 6) E(3; 2) nên có phương trình AB : y = Điểm B = AB ∩ BC ⇒ B (4;3) Điểm H trung điểm BC nên C (6;5) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;6), B (4;3), C (6;5) Kết cần nhớ qua ví dụ 18: Cho ΔABC cân A; M điểm thuộc đoạn BC (khác trung điểm BC); E F hình chiếu M AB AC; I trung điểm AM; H trung điểm BC Khi đó: a) Các điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn tâm I b) HI đường trung trực EF Em nhớ chứng minh trước áp dụng vào giải toán nhé…! Ví dụ 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I D điểm cung BC không chứa A) P(4; 5) giao điểm AB DC Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔAPC có phương trình ( T ) : x + ( y − ) = 25 Phương trình đường thẳng DI : x + y − 10 = Tìm đỉnh ΔABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phân tích: Gọi K tâm đường tròn (T) Một số sai lầm xảy ta dự đoán PK = PD PK ⊥ PD vẽ hình đơi vơ tình vậy! Bởi có hai điều tìm D Nhưng chứng minh khơng Chịu khó vẽ hình lại ta thấy dự đốn sai Rõ ràng ta phải chuyển yếu tố (C) qua (T) (C) chưa có phương trình Gọi M = AD ∩ ( T ) , cần nhớ AM đường phân giác góc A (vì D nằm cung BC) Vậy PAM = CAM ⇒ MP = MC (tính chất góc nội tiếp đường tròn (T)) Vậy KM đường trung trực PC Nếu tìm M xong?? Phương trình ID dùng làm gì?? Ak… Nối PM ta thấy PM song song BC?? Nếu tốt PM || BC ⇒ BM ⊥ ID Khi viết phương trình PM có điểm M, dẫn đến có C Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Đường tròn (T) có tâm K(0; 2) Gọi M = AD ∩ ( T ) , D nằm cung BC nên AD đường phân giác góc A Xét đường tròn (C) có DAB = DCB (cùng chắn DB), mà DAB = DAC suy DAB = DAC = DBC (1) Xét đường tròn (T) có MPC = MAC (2) Từ (1) (2) suy MPC = PCB ⇒ PM || BC Mà BC vng góc ID nên PM vng góc ID PM qua P vng góc ID có phương trình: x − y − = Điểm M = PM ∩ ( T ) nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: 2  x = 0, y = −3  x + ( y − ) = 25 ⇔ Điểm M(4; 5) loại trùng P, nên   x = 4, y =  x − y − = M(0; -3) Do KP = KC MP = MC nên KM đường trung trực PC KM qua M K có phương trình x = PC qua B vng góc KM nên có phương trình y = Gọi N = PC ∩ KM ⇒ N (0;5) ⇒ C (−4;5) BC qua C vng góc ID nên có phương trình BC : x − y + 13 = ID đường trung trực BC nên ta  92 −11  tìm B  ; ÷ AP qua P P nên có phương trình AP : x + y − 14 =  5  Điểm A = AP ∩ ( T ) nên tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x + ( y − ) = 25  x = 0, y = ⇔ Điểm A(4; 5) loại trùng P, nên A(0; 7)   x = 4, y =  x + y − 14 =  92 −11  Vậy tọa độ điểm cần tìm A(0;7), B  ; ÷, C ( −4;5)  5  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vng A, có H chân đường cao kẻ từ A Gọi D E hình chiếu H cạnh AB AC Điểm K (−1; 2) thuộc AB M (0; −1) trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp ΔCDE có phương trình ( C ) : ( x − 1) + ( y − 3) = 10 Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết B có 2 hồnh độ dương Giải Ta có ADHE hình chữ nhật ⇒ ADE = AHE (1)  AHE + EHC = 90° ⇒ AHE = ECH (2) Từ (1) (2) suy Mà   EHC + ECH = 90° ADE = ECH ⇒ tứ giác DBCE nội tiếp Do điểm B, C, D, E thuộc đường tròn (C) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) Do M trung điểm BC nên IM đường trung trực BC BC qua M vng góc IM nên có phương trình BC : x + y − = Ta có B, C = BC ∩ ( C ) nên tọa độ điểm B C nghiệm hệ: ( x − 1) + ( y − 3) = 10  x = 2, y = ⇔ Do điểm B có hồnh độ dương nên B (2;0) C (−2; 2)   x = −2, y =  x + y − = Đường thẳng AB qua B K nên có phương trình AB : x + y − = AC qua C vng góc AB có  −22 32  ; ÷ phương trình AC : x − y + 10 = A = AB ∩ AC ⇒ A   13 13   −22 32  ; ÷, B (2;0), C ( −2; 2) Vậy tọa độ điểm cần tìm A   13 13  Ví dụ 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có A(4; 6) Gọi M N điểm thuộc cạnh BC CD cho MAN = 45° , điểm M (−4;0) đường thẳng MN có phương trình MN :11x + y + 44 = Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Giải Gọi F = AM ∩ BD, E = AN ∩ BD, I = NF ∩ ME Ta có FAN = FDN = 45° ⇒ FADN nội tiếp Mà ADN = 90° ⇒ NFA = 90° ⇒ NF ⊥ AM Tương tự MAE = EBM = 45° ⇒ ABME nội tiếp Mà ABM = 90° ⇒ ME ⊥ AN Do I trực tâm ΔAMN Gọi H giao điểm AI MN, AH vng góc MN Từ ta có AH : x − 11 y + 58 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  −24 22  ; ÷ Tứ giác ABME nội tiếp Điểm H = AH ∩ MN ⇒ H   5  ⇒ BEM = BAM (1) Tứ giác AEIF nội tiếp ⇒ IEF = IAF (2) Từ (1) (2) ta có IAF = BAM hay HAM = BAM Do ∆MAH = ∆MAB (cạnh huyền – góc nhọn) suy MB = MH , AB = AH Vậy AM đường trung trực BH AM có phương trình x − y + 12 = B H đối xứng qua AM nên ta tìm B (0; −2) uuur uuuu r AB = (4;8) ⇒ AB = BC = 5; BM = (−4; 2) ⇒ BM = Ta có uuur uuuu r uuur uuur BC = = ⇔ BC = BM ⇒ C (−8; 2) Mặt khác AD = BC ⇒ D (−4;10) BM Vậy tọa độ điểm cần tìm B (0; 2), C (−8; 2), D( −4;10)  8 Ví dụ 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I đỉnh A(3; 1) Điểm M  3; ÷ thuộc đoạn  3 ID F giao điểm AM BC Lấy điểm K thuộc tia CD cho KFA = 45° Tìm tọa độ đỉnh B, C, D biết KF : x + y − = Giải Ta có KFA = KCA = 45° ⇒ tứ giác KFCA nội tiếp Mà KCF = 90° ⇒ KAF = 90° ⇒ ∆AKF vuông cân A Đường thẳng AM có phương trình x −3 = Điểm F = AM ∩ KF ⇒ F (3;6) Gọi H trung điểm KF, ta có AH vng góc KF AH có phương trình x − y − = Điểm  11  H = AH ∩ KF ⇒ H  ; ÷ ⇒ K (8;1) Tứ giác AHCB nội  2 tiếp ABH = ACH = 45° Mà ABD = 45° , B, D, H thẳng hàng Đường thẳng BD qua H M có uuur uuu r phương trình BD : x − y + = B ∈ BD ⇒ B (3t − 5; t ), AB = (3t − 8; t − 1), FB = (3t − 8; t − 6)   11  uuur uuu r t = ⇒ B ; ÷  11   Ta có: AB.FB = ⇔ 10t − 55t + 70 = ⇔   2  Điểm B  ; ÷ loại trung H nên B(1; 2)  2 t = ⇒ B (1; 2) BC qua B vng góc AB có phương trình BC : −2 x + y = Đường thẳng DC qua K vng góc BC uuur uuur nên có phương trình DC : x + y − 10 = C = DC ∩ BC ⇒ C (2; 4) Ta có AD = BC ⇒ D(4;3) Vậy tọa độ điểm cần tìm B (1; 2), C (2; 4), D(4;3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; 2) K(1; 4) giao điểm AH đường tròn ngoại tiếp ΔABC Viết phương trình cạnh BC Giải Gọi D E chân đường cao kẻ từ A B Ta có tứ giác ADBE nội tiếp ⇒ EBC = EAD (cùng chắn DE), mà EAD = DBC (cùng chắn CK) Do EBC = KBC Vậy EBC = KBC BC vng góc HK nên BC đường trung trực HK D trung điểm HK nên D(2;3) uuur Đường thẳng BC qua D có vtpt HK = (−2; 2) có phương trình BC : x − y + = Ví dụ 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H K(1; 0) điểm đối xứng H qua BC D chân đường cao kẻ từ A E(2; 1) hình chiếu K AC F(0; 2) giao điểm ED AB Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ΔABC Gọi M giao điểm BH AC Ta có tứ giác AMDB ⇒ DBM = DAM Mặt khác, DBM = DBK (do H K đối xứng qua BC) Do ⇒ KBC = KAC ⇒ K thuộc đường tròn (C) Do ABKC nội tiếp nên KBF = KCA (1) Từ (1) (2) ta có KBF = KDF ⇒ tứ giác KDBF nội tiếp Mà KDB = 90° nên KBF = 90° hay KF vng góc AB AB qua F vng góc KF nên có phương trình AB : − x + y − = Đường thẳng AC qua E vng góc KE nên có phương trình AC : x + y − = 2 7 A = AB ∩ AC ⇒ A  ; ÷ AK có phương trình AK : x + y − = EF có phương trình EF: x + y − = 3 3 137  10 21  D = EF ∩ AK ⇒ D  ; ÷ BC qua D vng góc AK có phương BC : x − y + = 13  13 13   18 17   17 22  B = BC ∩ AB ⇒ B  − ; ÷ C = BC ∩ AC ⇒ C  ; ÷  13 13   13 13  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word    18 17   17 22  Vậy tọa độ điểm cần tìm A  ; ÷, B  − ; ÷, C  ; ÷  3   13 13   13 13  Ví dụ 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD tâm I Điểm M(1; 2) N(0; 1) trung điểm BC ID Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hồnh độ dương Giải Kẻ ME vng góc AD, ABME hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (C) đường kính MA hay BE EN đường trung bình tam giác AID ⇒ EN || AI ⇒ EN ⊥ BD ( AI ⊥ BD ) ⇒ ENB = 90° ⇒ N thuộc (C) dẫn đến ANM = 90° hay AN vuông góc MN Hơn nữa, ANM = ABN = 45° Do tam giác AMN vng cân N Đường thẳng AN qua N vng góc MN có phương trình AN : x + y − = uuur uuuu r A ∈ AN ⇒ A(t ;1 − t), AN = (t ; −t ), MN = (1;1) Từ  A(1;0) ( n ) AN = AM ⇒  Vậy A(−1; 2)  A(−1; 2) ( l ) Bình luận: Đối với tốn hình vng hay tốn có góc vng tỉ lệ cạnh nói chung Ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa để chứng minh tính chất sau: Chọn hệ trục tọa độ Ox ' y ' hình vẽ Ta có  a   a 3a  A(0;0), B(a;0), C (a; a), D(0;a), M  a; ÷, N  ; ÷  2 4  uuur  a 3a  r  −3a a  a 10 uuuu a 10 AN  ; ÷⇒ AN = ; AM  ; ÷⇒ AM = 2 4   4 uuur uuuu r Ta tính được: AN AM = AM = AN suy tam giác AMN vng cân N Sau giải tiếp Ví dụ 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH x − y + = , trung điểm cạnh BC M (3;0) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C tam giác ABC Phương trình EF x − y + = Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương Giải Gọi I trung điểm AH D chân đường cao kẻ từ A Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I bốn điểm BFEC thuộc đường tròn tâm M Do E, F giao tuyến hai đường tròn nên EF vng góc IM http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Ta có: IE = IH ⇒ IEH = IHE = BHD MEB = MBE ⇒ MEB + IEH = MBE + BHD = 90° Tức ta có ME ⊥ IE I giao điểm IM EF suy I(1; 6) Điểm E thuộc vào đường thẳng EF suy E (3t − 7; t ) Ta có uur uuur IE.ME ⇒ E (5; 4) ∨ E (−1; 2) Với E (2;3) ⇒ IE = ; E (−1; 2) ⇒ IE = Vì điểm A thuộc AH nên A(a;3a + 3) Ta có: IA = IE ⇔ IA2 = IE ⇔ ( a − 1) + ( 3a − 3) = 20 ⇔ a = ± 2 Vì A có hồnh độ dương nên A(1 + 2;6 + 2) Ví dụ 32 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D cắt đường tròn (C) E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Biết K (1;1), E (0; 4) AB có phương trình x − y + = điểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh A Giải Gọi F trung điểm BD K tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABD nên ta có KF ⊥ BD BKD = BAD (góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung) ⇒ BAD = BKF Mặt khác, EBC = EAC = BAD Từ điều trước ta suy EBC = BKF ⇒ EBC + FBK = BKF + FBK = 90° ⇒ KB ⊥ EB Ta có: B ∈ AB ⇒ B (b; b + 3) uuur uuu r KB ⊥ EB ⇔ KB.EB = ⇔ b = ∨ b = −1 Do B có hồnh độ dương nên ta chọn B (1; 4) A ∈ AB ⇒ A(a; a + 3), a ≠ Từ KA = KB ⇔ a = ∨ a = −2 Do điểm A khác B nên ta chọn A(−2;1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(−2;1) 2 Ví dụ 33 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A nội tiếp đường tròn ( T ) : x + y − x − y + = Gọi H chân đường cao kẻ từ A ΔABC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC, biết MN có phương trình 20 x − 10 y − = H có hồnh độ nhỏ tung độ Giải Đường tròn (T) có tâm I(3; 1) trung điểm BC bán kính R = Do IA = IC ⇒ IAC = ICA (1) Đường kính AH cắt AB M nên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word MH ⊥ AB ⇒ MH || AC (cùng vng góc AB) suy MHB = ACH (2) Mặt khác ANM = AHM (3) (cùng chắn AM) Từ (1), (2), (3) ta có IAC + ANM = ICA + AHM = MHB + AHM = 90° Suy ra: AI vuông góc MN Từ ta viết phương trình AI : x + y − = Điểm A = IA ∩ ( T ) nên tọa độ A nghiệm hệ: x + y − =  x = 1, y = ⇔ Điểm A(1; 2) nhận thỏa A I nằm hai phía MN Điểm  2  x = 5, y = x + y − 6x − y + = A(5; 0) loại A I nằm phía MN Gọi E tâm đường tròn đường kính AH E trung điểm AH Do AMHN hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) nên E trung điểm MN E ∈ MN 9 38    ⇒ E  t ; 2t − ÷ Do E trung điểm AH nên H  2t − 1; 4t − ÷ 10  10      11 13  t= ⇒H ; ÷  uuur uuu r 272 896 5 5 t+ =0⇔  Vì AH ⊥ HI ⇒ AH IH = ⇔ 20t − Do H có hoành độ nhỏ  28 25  31 17  ⇒H ; ÷ t =  25 25   25  11 13  tung độ nên ta nhận H  ; ÷ Đường thẳng BC qua H vng góc AH nên có phương trình 5 5 BC : x + y − = Vậy A(1; 2) BC : x + y − = 3  Ví dụ 34 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  ; ÷, tâm đường tròn nội  16  tiếp ΔABC J (1;0) Đường phân giác góc BAC đường phân giác ngồi góc ABC cắt K(2; -8) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh B có hồnh độ dương Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ΔABC H giao điểm AK đường tròn tâm (C) Xét tam giác BHJ có HJB = JAB + JBA (góc ngồi tam giác) HBJ = JBC + HBC Mà JBH = JBA; HBC = HAC = HAB (do AJ BJ đường phân giác) Từ điều ta có HBJ = HJB (1) ⇒ ∆HBJ cân H ⇒ HB = HJ Mà HAC = HAB ⇒ HC = HB (tính chất góc nội tiếp) Do HJ = HB = HC Mặt khác, BJ BK đường phân giác phân giác ngồi góc ABC nên KB vng góc JB Suy ra: HJB + HKB = 90° = HBK + HBJ (2) Từ (1) (2) suy HBK = HKB ⇒ ∆HBK cân H ⇒ HB = HK Vậy HB = HC = HK = HJ H trung điểm KJ nên 3  H  ; −4 ÷ Đường tròn (C) có bán kính IH có phương trình 2  2 65 ( C ) :  x − ÷ +  y − ÷ =  ÷ Từ 2  16   16   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 65 ( T ) :  x − ÷ + ( y + ) = Các điểm B, C thuộc đường tròn (C) (T) nên tọa độ B C nghiệm 2   3 65 x −  ÷ + ( y + 4) = 2  x = 5, y = −2  ⇔ hệ:  Do B có hoành độ dương nên B(5; -2) C(-2; -2) 2  x = −2, y = −2 3    65   + y− ÷ = ÷  x − ÷ 16   16     Đường thẳng AH qua H J có phương trình AH : x + y − = Điểm A giao điểm AH (C) nên 2   3    65  x= ,y=4   x− ÷ + y− ÷ = ÷ tọa độ điểm A nghiệm hệ:  Vì điểm A phải khác H nên 2  16   16  ⇔   x = , y = −4 8 x + y − =   1  1  A  ; ÷ Vậy tọa độ điểm cần tìm A  ; ÷, B(5; −2), C (−2; −2) 2  2  Bài tập tự rèn luyện Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 10 Từ điểm A nằm ngồi đường tròn 2 kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (C) (B tiếp điểm) Điểm D(0; -1) thuộc đường thẳng qua B song song AI Tìm tọa độ điểm A, biết A thuộc đường thẳng d : x − y + = Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : x2 + ( y − 2) = 10 Từ điểm A thuộc đường thẳng d : x − y + = kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm A, biết D(4;0) thuộc đường thẳng BC Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(-2; -1), trực tâm H(2; 1) độ dài cạnh BC = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x − y − = M (3; −4) thuộc DE Viết phương trình cạnh BC Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(2; 2) độ dài cạnh BC = nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y − 3x − y + = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết A có hồnh độ dương 2 Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y = 20 Chân đường cao hạ từ B C M (−1;3) N (2; −3) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết A có tung độ âm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm I(1; 2) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C, phương trình EF : x − y − = Biết tiếp tuyến A đường tròn (C) qua điểm M(3; -2) điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC Gọi H, K chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tìm tọa 1 3 độ đỉnh ΔABC, biết H (5; −1) , K  ; ÷, phương trình cạnh BC : x + y + = B có hồnh độ âm 5 5 Bài 18 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vng ABCD vng A D có CD = AB , đỉnh B(1; 2) Hình chiếu D AC H(-1; 0) Gọi N trung điểm HC Tìm đỉnh lại hình thang, biết DN : x − y − = Bài 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A(-2; 0) Gọi E chân đường cao kẻ từ A F điểm đối xứng E qua A Trực tâm ΔBCF H(-2; 3) Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC, biết trung điểm BC thuộc đường thẳng d : x − y + = Bài 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H(1; 2) hình chiếu A BD M(5; 1) trung điểm BC đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A ΔAHD có phương trình d : x + y − = Viết phương trình cạnh BC Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A(-1; 3) D điểm thuộc đoạn AB cho BD = 2AD H  −3  hình chiếu B CD Điểm B thuộc đường thẳng d : x + y + = M  ; ÷ trung điểm CH 2  Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5; 8) đường thẳng d : x − y − = Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho khoảng có ba đường thẳng d1 , d , d thỏa mãn khoảng cách từ A đến d1 , d , d khoảng cách từ B đến  8 2 Bài 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 26 G 1; ÷ trọng  3 tâm ΔABC Điểm M(7; 2) thuộc đường thẳng qua A vng góc BC ( M ≠ A ) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC biết tung độ đỉnh B lớn tung độ đỉnh C Bài 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 25 Các điểm K (−1;1), H (2;5) chân đường cao kẻ từ A B Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh C có hồnh độ dương Bài 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm cạnh BC M(6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x + y − = Gọi D E chân đường cao kẻ từ B C ΔABC Xác định tọa độ đỉnh ΔABC, biết điểm D có tung độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x + ) + ( y − 3) = điểm M (1; −8) Viết phương trình 2 đường thẳng d qua M cho d cắt (C) hai điểm A B thỏa mãn diện tích ΔABI lớn (I tâm đường tròn (C)) Bài 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + ) = đường thẳng d : x − y + m = 2 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PC tới (C) (A, C tiếp điểm) cho ΔPAC  −3  Bài 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác A D  2; ÷ Tâm    −1  đường tròn ngoại tiếp ΔABC I  ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC   2 2 Bài 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trọng tâm G  ; ÷; tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; -2); điểm 3 3 E(10; 6) thuộc đường trung tuyến kẻ từ A F(9; -1) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh B có tnug độ lớn 2 Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y − 10 y − 25 = Đường  −17 −6  ; ÷ Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, kính qua B cắt (C) M(5; 0) Đường cao kẻ từ C cắt (C) N   5  biết đỉnh A có hoành độ dương 2 Bài 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 20 = Đường phân giác góc A nằm đường thẳng d : x + y = Biết M(3; -4) thuộc đường thẳng BC điểm A có hồnh độ dương Bài 32 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 25 M(9; -4) Tìm điểm N thuộc (C) 2 cho MN ngắn Bài 33 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( C ) : ( x + ) + ( y − 1) = Gọi điểm M cho tiếp tuyến qua M 2 tiếp xúc (C) E; cát tuyến qua M cắt (C) A B cho ΔABE vng cân E Tìm tọa độ điểm M cho MO ngắn (O gốc tọa độ) Bài 34 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( C ) : x + ( y − 1) = đường thẳng d : x − y + = Gọi (C’) đường tròn có tâm I; (C’) tiếp xúc ngồi với (C) có bán kính Viết phương trình đường tròn (C’) cho khoảng cách từ I đến d lớn Bài 35 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm I(3; 0), trực tâm H(2; 0) BC có phương trình x − y − = Lập phương trình cạnh AB, biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đề thi đại học qua năm Bài 36 (THPT Quốc Gia – 2016) Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng BC, BD P giao điểm hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình x − y − = , M(0; 4), N(2; 2) A có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Bài 37 (THPT Quốc Gia – 2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vng A Gọi H hình chiếu vng góc A BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vng góc C AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) trung điểm AC thuộc đường thẳng x − y + 10 = Tìm tọa độ điểm A Bài 38 (Đề minh họa THPT Quốc Gia – 2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔOAB có A B thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 12 = K(6; 6) tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm Δ cho AC = AO điểm B, C khác phía so với A Biết điểm C có hồnh độ 24 , tìm tọa độ đỉnh A B Bài 39 (D – 2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; -1) Đường thẳng AB có phương trình x + y − = tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình x + y − = Viết phương trình cạnh BC Bài 40 (A – 2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x + y + = A(−4;8) Gọi M đối xứng với B qua C; N hình chiếu vng góc B MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5; −4) Bài 41 (A – 2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt Δ A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Bài 42 (D – 2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = đường thẳng 2 d : y − = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm đường tròn (C); đỉnh N P thuộc d; đỉnh M trung điểm MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P 2 2 Bài 44 (B – 2012 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y = 4; ( C2 ) : x + y − 12 x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc ( C2 ), tiếp xúc với d cắt ( C1 ) A B cho AB vng góc d Bài 45 (D – 2012 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 Bài 46 (A – 2011 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y = đường thẳng d : x + y + = Gọi I tâm đường tròn (C); M điểm thuộc d Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 1  Bài 47 (B – 2011 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh B  ;1÷, đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc 2  với cạnh AB, AC, AB tương ứng D, E, F Cho D(3; 1) EF: y − = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương 2 Bài 48 (D – 2011 nc) Cho điểm A(1; 0) đường tròn ( C ) : x + y − x + y − = Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác MAN vuông cân A Bài 49 (D – 2010 cb) Cho ΔABC có đỉnh A(3; -7), trực tâm H(3; -1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có tung độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình... giao đường phân giác góc đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi DB = DC rõ ràng ID đường trung trực BC (vì IB = IC DB = DC ) Khi làm tập có ta sử dụng tính chất 2) Các em nên nhớ đường tròn có tính chất. .. có hồnh độ dương Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm I(3; 5) ngoại tiếp đường tròn tâm K(1; 4) Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC cạnh AB, AC kéo dài (đường tròn bàng tiếp cạnh