Chuyên đề SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN SUY LUẬN LOGIC A Kiến thức cần nhớ Bài toán suy luận logic thường phát biểu dạng tốn đố (có lời văn) Để làm dạng tốn không thiết cần nhiều kiến thức phức tạp mà thường đòi hỏi suy tư sáng tạo, nhận xét tinh tế Ta thường gặp toán cho trạng thái ban đầu thao tác thay đổi liên tục trạng thái yêu cầu cần phải điều trạng thái cuối Việc khảo sát tồn sau tất lần thay đổi phức tạp Khi ta trả lời câu hỏi mà tốn u cầu nhờ tính tốn đại lượng đặc trưng cho trạng thái đảm bảo qua tất lần thay đổi Đại lượng khơng đổi gọi bất biến toán cho Như trạng thái cuối toán, giá trị bất biến giữ nguyên trạng thái ban đầu, tức hệ thống trạng thái với giá trị khác với bất biến Để tìm lời giải cho toán: Ta xác định đại lượng hai trạng thái: trạng thái ban đầu trạng thái cuối Khảo sát thay đổi qua số lần thay đổi liên tiếp để phát bất biến Các tính chất bất biến thường gặp là: xét tính chẵn lẻ, xét tính chia hết số nguyên, xét màu sắc vật cần xét B Một số ví dụ Ví dụ 1: Trên bảng, người ta viết 2020 dấu (+) 2021 dấu (-) Giả sử lần ta thực thao tác: Hai dấu bảng bị xóa thay dấu (+) chúng giống nhau, thay dấu (-) chúng khác Sau thực nhiều lần đến bảng lại dấu Hỏi bảng lại dấu (+) hay dấu (-)? Giải Tìm cách giải Đọc xong đề bài, nhận thấy: - Lúc đầu có tất 4041 dấu dấu (+) dấu (-) - Mỗi lần thực thao tác, xóa hai dấu viết lại dấu nên sau thao tác số dấu bảng giảm - Do sau 4040 lần thực thao tác, bảng dấu - Bài tốn khơng thể thực hết tất thao tác trường hợp, thử vài khả xảy để tìm yếu tố bất biến (không đổi) thao tác Thật vậy: + Trường hợp Nếu xóa hai dấu (+) viết lại dấu (+) + Trường hợp Nếu xóa hai dấu (-) viết lại dấu (+) + Trường hợp Nếu xóa dấu (+) dấu (-) viết lại dấu (-) - Ta nhận thấy ba trường hợp số dấu (+) giữ nguyên, tăng 1, giảm Cịn số dấu (-) giữ nguyên giảm Như số dấu (-) thao tác ln ln số lẻ Trình bày lời giải Mỗi lần thực thao tác: Hai dấu bảng bị xóa thay dấu (+) nên chúng giống nhau, thay dấu (-) chúng khác số dấu (-) giữ ngun giảm hai Vì tính chẵn lẻ dấu (-) không thay đổi qua thao tác Ban đầu có 2021 dấu (-), tức số dấu trừ số lẻ Vì cuối cịn lại dấu (số lẻ dấu) phải dấu (-) Nhận xét: Ở ví dụ 1, tính bất biến số dấu (-) lại sau lần xóa ln số lẻ Ví dụ 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8,…,200 (gồm 100 số nguyên dương chẵn đầu tiên) Sau thêm dấu (+) dấu (-) vào số cách tùy ý thực phép toán Bạn Tốn tính kết 34, bạn Học tính – 10 Hỏi bạn tính sai? Giải Tìm cách giải Nhận thấy dãy số gồm tồn số chẵn nên kết số chẵn, mà 34 – 10 số chẵn nên vận dụng tính chẵn lẻ Chúng ta thử cách khác, viết tồn dấu (+) kết 10100 Để kết nhỏ (34 – 10) đổi dấu vài dấu (+) thành dấu (-) Chúng ta thử đổi dấu (+) trước số thấy kết giảm 12, tức giảm 2.6 Quan sát tiếp vài số thấy giảm lần số bị đổi dấu Tức kết cịn lại ln ln chia hết cho Còn số 34 – 10 khơng chia hết cho Trình bày lời giải Tổng S 2 200 10100 Khi thay số a số - a tổng S giảm 2a, mà a số chẵn nên S giảm bội Tổng S ban đầu số chia hết cho 4, nên kết cuối sau thay dấu (+) dấu (-) phải bội số Hai số 34 – 10 bội số 4, nên hai bạn tính sai Nhận xét Ở ví dụ 2, tính bất biến kết tổng số ln bội số Ví dụ 3: Trong dãy số 13576193923… chữ số thứ năm, số chữ số hàng đơn vị tổng bốn chữ số đứng trước Hỏi dãy có chứa cụm chữ số 1234 6789 khơng? Giải Tìm cách giải Các chữ số dãy tồn hai trạng thái chẵn lẻ Quan sát lần xuất chữ số chẵn chữ số lẻ dãy, có lời giải sau: Trình bày lời giải Nhận thấy tổng chữ số lẻ số chẵn, tổng chữ số lẻ chữ số chẵn số lẻ Ta cần tìm quy luật chẵn lẻ (bất biến) chữ số dãy cho cách: Ta thay chữ số dãy cho số số chẵn số số lẻ Khi ta nhận dãy số 111101111011110…, dãy sau bốn chữ số có chữ số sau chữ số bốn chữ số (tính bất biến) Nhận thấy dãy 1234 6789 ứng với dãy bốn chữ số 1010 0101 nên khơng thể có mặt dãy số Ví dụ 4: Cho bàn cờ kích thước 10x10 vng Hỏi dùng 49 hình chữ nhật kích thước 1x2 để ghép cho cịn hai góc đối diện bảng hay khơng? Giải Tìm cách giải Nhận xét, mảnh hình chữ nhật ghép liền nhau, nên nghĩ tới việc tô màu đánh số chẵn lẻ Trình bày lời giải Ta ghi số vào bảng cho hai ô liền ghi hai số khác (chẳng hạn hình vẽ), có 50 số 50 ô số 2, hai số ghi hai góc đối diện số số 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 Mỗi lần ghép hình chữ nhật chiếm hai hàng cột liền nhau, tức tô màu ô ghi số 1; ô ghi số Như sau lần ghép hình chữ nhật số ghép t hình chữ nhật ghi số số chưa tô màu ghi số Sau 49 lần ghép hình chữ nhật cịn ơ: ghi số 1, ô ghi số Hai ô khơng thể hai góc đối bảng Ví dụ 5: Cho bảng vng kích thước 2009 x 2010, ô lúc đầu đặt viên sỏi Gọi T thao tác lấy có sỏi chuyển từ viên sỏi đưa sang bên cạnh (là có chung cạnh với có chứa sỏi) Hỏi sau số hữu hạn phép thực thao tác ta đưa hết sỏi bảng ô không? (Tuyển sinh lớp 10, chuyên TP Hải Phịng, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Tương tự ví dụ trên, nhận thấy thao tác dịch chuyển hai viên sỏi hai ô sang ô bên cạnh Do nghĩ tới việc tô màu bàn cờ vua Mỗi thao tác, viên sỏi chuyển từ ô đen sang ô trắng ngược lại Nếu tất viên sỏi vào đen (hoặc trắng) số sỏi ô đen số chẵn số sỏi ô trắng số chẵn Vậy ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Ta tô màu ô vuông bảng hai màu đen trắng bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ô đen 1005 x 2009 số lẻ Sau phép thực thao tác T, xảy trường hợp sau: Trường hợp Nếu lấy hai viên sỏi hai ô đen chuyển sang hai trắng số sỏi ô đen giảm Trường hợp Nếu lấy hai viên sỏi hai trắng chuyển sang hai ô đen số sỏi ô đen tăng Trường hợp Nếu lấy viên sỏi ô đen viên sỏi ô trắng chuyển sang trắng đen số sỏi ô đen không đổi Như trường hợp số sỏi ô đen tăng (hoặc giảm) viên không đổi suy tổng số sỏi ô đen số lẻ Vậy chuyển tất viên sỏi ô vuông ô sau số hữu hạn phép thực thao tác T Ví dụ 6: Một bảng ô vuông gồm 2019 hàng 2020 cột Ký hiệu ô hàng thứ m cột thứ n (m,n) Người ta tô màu ô bảng theo cách sau: Lần thứ tô màu ô (r, s), (r+1, s+1), (r+2, s+2) với r 2017; s 2019 Từ lần thứ hai, lần tô ô chưa tô màu liền hàng cột Hỏi cách tơ màu tất vuông bảng cho không? Giải Ta ghi vào bảng số tự nhiên theo cách sau: Từ trái sang phải, hàng ghi số tự nhiên từ đến 2020 Như vậy, ô liền hàng ghi số tự nhiên liên tiếp, ô liền cột ghi số tự nhiên giống Ở lần tô màu thứ nhất, tổng số ghi ô tô màu s + s + 1+ s + = 3s + (1 s 2019) số chia cho dư Từ lần tô màu thứ hai trở đi, lần tô tổng ô ghi ô tô màu số chia hết cho (vì số tự nhiên liên tiếp số tự nhiên giống nhau) Do đó, sau lần tơ màu theo quy luật tơ có tổng số ghi số chia cho dư Tổng số số ghi bảng ban đầu 2019.(1 2020) 2019.2021.1010 chia hết cho Vì sau lần tơ màu cịn lại (chưa tơ) có tổng số ghi số chia cho dư (tính bất biến) Vì cách tô màu tất vng hàng Ví dụ 7: Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thước nhau, đồng xu có hai mặt: mặt màu xanh mặt màu đỏ, tất đồng xu ngửa mặt xanh lên Thực trò chơi sau: Mỗi lượt chơi phải đổi mặt đồng xu mặt bàn Hỏi sau 2006 lượt chơi, nhận tất 2005 đồng xu bàn ngửa mặt đỏ lên khơng? Vì sao? (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội, năm học 2005 – 2006) Giải Tìm cách giải Đọc xong đề bài, nhận thấy: - Bài toán thực hết tất thao tác trường hợp, thử vài khả xảy để tìm yếu tố bất biến (không đổi) thao tác Thật vậy: Trường hợp Nếu đổi đồng xu mặt xanh thành đồng xu mặt đỏ ngửa lên số đồng xu mặt xanh ngửa lên giảm Trường hợp Nếu đổi đồng xu mặt xanh, đồng xu mặt đỏ thành đồng xu mặt đỏ, đồng xu mặt xanh ngửa lên số đồng xu mặt xanh ngửa lên giảm Trường hợp Nếu đổi đồng xu mặt xanh, đồng xu mặt đỏ thành đồng xu mặt đỏ, đồng xu mặt xanh ngửa lên số đồng xu mặt xanh ngửa lên không đổi Trường hợp Nếu đổi đồng xu mặt xanh, đồng xu mặt đỏ thành đồng xu mặt đỏ, đồng xu mặt xanh ngửa lên số đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng Trường hợp Nếu đổi đồng xu mặt đỏ thành đồng xu mặt xanh ngửa lên số đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng - Ta nhận thấy năm trường hợp đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng giảm số chẵn lần Như số đồng xu mặt xanh ngửa lên thao tác luôn số lẻ số đồng xu mặt đỏ ngửa lên ln số chẵn Trình bày lời giải Không thể nhận tất 2005 đồng xu bàn ngửa mặt đỏ lên trên.Vì lần thay đổi đồng xu: có x đồng xu ngửa mặt xanh lên có – x đồng xu ngửa mặt đỏ lên Do số đồng xu ngửa mặt đỏ lên thay đổi x , số chẵn đồng xu Nghĩa số đồng xu ngửa mặt xanh thành mặt đỏ khơng thay đổi tính chẵn lẻ Ban đầu có đồng xu ngửa mặt đỏ lên số chẵn khơng thể biến đổi thành số lẻ 2005 đồng xu ngửa mặt đỏ lên Nhận xét Vì tính chất bất biến tính chẵn lẻ nên ta thay số 2005 thành số lẻ số thành số chẵn tốn khơng thay đổi kết Ví dụ 8: Có thể phủ kín bảng 20 x 13 vng miếng lát có hai dạng (có thể xoay sử dụng đồng thời hai dạng miếng lát) cho miếng lát không chờm lên không? (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên TP Hải Phịng, năm học 2013 – 2014) Giải Tơ màu dịng bảng vng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng đen, dòng trắng, dịng đen, dịng trắng,… Khi miếng lát phủ ô đen ô trắng ô trắng ô đen Trong bảng, số ô đen số o trắng nên số miếng lát phủ ô đen ô trắng số miếng lát phủ ô trắng ô đen, phải có chẵn miếng lát Tuy nhiên bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn Vậy khơng thể phủ bảng thỏa mãn C Bài tập vận dụng 9.1 Trên bảng ghi dãy số gồm 2019 số 2020 số Ta thực xóa hai số thay hiệu chúng Quá trình tiếp tục Hỏi bảng có gồm tồn số hay khơng? 9.2 Một tờ giấy xé thành mảnh, tờ giấy số tờ giấy nhỏ lại xe nhỏ thành mảnh nhỏ nữa, …, tiếp tục có 2019 mảnh giấy hay khơng? Vì sao? 9.3 Có 2019 tách uống trà đặt bàn Lúc đầu tất tách trà lật ngửa lên Giả sử lần người ta làm cho 210 tách chúng lật ngược lại Hỏi sau số lần làm cho tất tách úp xuống không? 9.4 Một hình trịn chia thành 14 hình quạt Trong hình quạt đặt viên bi Thực trò chơi sau: lần lấy hai viên bi hai hình quạt khác chuyển viên sang hình quạt kề với hình quạt chứa theo hai chiều ngược Hỏi sau số hữu hạn bước ta chuyển tất viên bi vào hình quạt khơng? (Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội, năm học 1996 – 1997) 9.5 Ở sáu đỉnh lục giác lồi có ghi số chẵn liên chiều kim đồng hồ Ta thay đổi số sau: lần chọn cạnh cộng số hai đỉnh cạnh với số nguyên Hỏi sau lần thay đổi sáu số đỉnh lục giác có khơng? Vì sao? 9.6 Trên hịn đảo có lồi thằn lằn sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ, tím Để lẩn trốn săn mồi loài thằn lằn biến đổi màu sau: hai thằn lằn khác màu gặp chúng đồng thời đổi màu sang màu thứ ba Nếu hai cịn thằn lằn màu gặp giữ ngun màu Có tất thằn lằn trở thành màu khơng? Vì sao? 9.7 Trên bảng ghi số từ đến 2020 Thực trò chơi sau: Mỗi lần thay đồng thời tất số có bảng tổng chữ số Hỏi sau số lần ta nhận 2020 số mà số gồm chữ số có số 9.8 Có bao đựng 150 bi đen 75 bi trắng Một người bốc từ bao lần hai bi cách ngẫu nhiên Nếu bốc đen trắng, lại bỏ viên trắng vào bao, cất viên đen Nếu bốc viên màu, cất hai bỏ lại vào bao hịn đen (giả sử có nhiều hịn đen ngồi đủ để làm chuyện cần) Q trình lặp lại Sau cịn viên bi bao, lý sao? Viên bi màu gì? 9.9 Có thể lát kín sân hình vng cạnh 3,5m viên gạch hình chữ nhật kích thước 25cm x 100cm hay khơng? (Thi tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, tỉnh Hịa Bình, năm học 2013-2014) 9.10 Trong bảng vng 10 x 10 Có thể đặt 25 miếng bìa hình chữ nhật kích thước 1x4 phủ kín tồn bảng vng hay khơng? 9.11 Có 1999 tách uống trà đặt bàn Lúc đầu tất tách trà lật ngửa lên Mỗi nước đi, ta làm cho 100 tách chúng lật ngược lại Sau số nước đi, làm cho tất chúng úp xuống không? Tại sao? Trả lời câu hỏi trường hợp có 1998 tách (Thi chọn đội tuyển Hồng Koong tham gia IMO, năm học 2000, vòng 1) 9.12 Nam cắt tờ giấy làm miếng miếng, lấy số miếng nhỏ cắt làm miếng nhỏ Nam tiếp tục thực việc cắt nhiều lần Hỏi với việc cắt vậy, Nam cắt 2016 miếng lớn nhỏ hay khơng? Vì sao? (Thi tuyển sinh lớn 10, THPT chuyên TP Hồ Chí Minh,năm học 2016-2017) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 9.1 Ban đầu có 2019 số (số số lẻ) - Nếu xóa hai số giống nhau, thay hiệu chúng số giữ nguyên giảm số nên số số sau lần xóa số lẻ - Nếu xóa hai số khác (1 0) thay hiệu số số khơng đổi Như sau lần xóa hai số thay hiệu chúng số số số lẻ nên bảng cịn tồn số 9.2 Số mảnh giấy sau lần xé tăng thêm Vậy lần xé thứ n số mảnh giấy 3n + Mà 2019 : dư Suy không 9.3 Mỗi lần lật ngửa 210 tách: giả sử x tách ngửa 210 – x tách úp Do lần thực lật ngửa số tách ngửa thay đổi 210 2x , mọt số chẵn Ban đầu có tách úp xuống số chẵn khơng thể biến đổi thành số lẻ 2019 tách úp xuống 9.4 Ta tô màu hình vẽ Có viên bi hình quạt đen viên bi hình quạt trắng Thực trò chơi sau: lần lấy hai viên bi hai hình quạt khác chuyển viên sang hình quạt kề với hình quạt chứa theo hai chiều ngược nhau: - Nếu lấy hai viên hai hình quạt khác màu, chuyển vào hai hình quạt khác màu Do số viên bi màu hình quạt khơng đổi - Nếu lấy hai viên hai hình quạt màu trắng chuyển sang hình quạt màu đen, suy số bi hình quạt màu đen tăng - Nếu lấy hai viên hình quạt màu đen chuyển sang hình quạt màu trắng, suy số bi hình quạt màu đen giảm Do sau lần thực tổng số bi hình quạt màu đen số lẻ nên thực 9.5 Kí hiệu đỉnh theo chiều kim đồng hồ chữ A, B, C, D, E, F (như hình vẽ) Giả sử số chẵn liên tiếp ghi tương ứng với đỉnh a, b, c, d, e, f Đặt S (b d f) (a c e) Nhận thấy hai số ghi hai đỉnh thuộc cạnh gồm số số b, d, f số số a, c, e Do cộng hai số với số nguyên S không thay đổi Ban đầu a, b, c, d, e, f số chẵn liên tiếp nên S = Vì dù có thực lần cơng việc cộng với số ngun S 6, tức S khác 0, chứng tỏ làm cho số đỉnh 9.6 Ta chứng minh sau lần gặp số dư cho có đầy đủ số dư 0, 1, Nếu hai khác màu gặp đổi sang màu thứ nên số dư chia cho màu giảm 1, giảm tăng nên có ba số dư 1, 2, đầy đủ Mặt khác, tất màu số dư 0, 0, Điều vô lý nên khơng thể có trường hợp tất tắc kè có màu 9.7 Định hướng: Xét số dư chia cho dư Ta biết số tự nhiên tổng chữ số có số dư phép chia cho Do thay đồng thời số có bảng chữ số số số chia cho dư không đổi Muốn biết sau số lần ta nhận 2020 số mà số có chữ số có số 1, cần tìm xe từ đến 2020 có số chia cho dư Các số chia cho dư là: 1; 10; 19; 28; 37; …; 2017 Số số là: (2017 1) : 225 (số) Vậy bảng có 225 số 9.8 Cứ lần rút hai viên lần bỏ lại viên, sau lần rút số bi bao giảm Lúc đầu có 225 hịn bi, nên sau 224 lần bốc giảm 224 bi cuối phải lại viên bao Để ý sau lượt bốc bỏ lại, số bi trắng bao khơng đổi (nếu bốc đen) số bi trắng bao giảm tất lần số chẵn Vì có 75 viên trắng (số lẻ) nên viên cịn lại màu trắng 9.9 Chia sân hình vng cạnh 3,5m thành 14 x 14 = 196 hình vng nhỏ cạnh 25cm Tơ màu đen vào hình vng nhỏ hình vng hình vẽ, có 50 đen 146 ô trắng Mỗi viên gạch 25cm x 100cm lát lên ô đen ô trắng Giả sử lát kín sân số trắng phải gấp lần số ô đen Nhưng 146 50 x nên khơng thể lát kín 9.10 Ta tô bảng vuông màu đen trắng sau cho hình vẽ Ta nhận 25 o đen 75 ô trắng Ta ý đặt hình chữ nhật trùng với vng hình chữ nhật phủ lên vng đen vng đen Từ suy 25 hình chữ nhật bảng vng, chúng phủ kín số chẵn vng đen Mà bảng có 25 ô đen số chẵn, nên không phủ kín 9.11 Nếu có 1999 tách (số tách số lẻ), tất đặt ngửa (trạng thái ngửa) ta khơng thể quay úp xuống tất (trạng thái úp) Thật vậy, theo quy tắc chơi, thời điểm, giả sử có k tách đặt ngửa làm úp xuống có 100-k chiếc, số tách úp bị thay đổi số chẵn (100-k) – k = 100 – 2k (nếu k>50 số tách úp giảm đi, k