Vận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán oxy liên quan đến đường tròn trần duy thúc

Lời nói đầu Chào em học sinh thân mến! Câu hình học phẳng Oxy chắn xuất đề thi THPT Quốc Gia hàng năm Nhằm đáp ứng xu hướng đề Bộ Giáo Dục Đào Tạo nội dung câu Thầy biên soạn tài liệu với mục đích giúp Em chinh phục câu hình học phẳng Từ xây dựng lòng tin để đạt kết tốt kì thi Tài liệu chia thành chương: Chương Các toán liên quan đến đường tròn Chương Các tốn hình vng – hình chữ nhật Chương Các tốn hình thang – hình bình hành – hình thoi Chương Các toán tam giác Mỗi chương nhắc lại lí thuyết, có tập mẫu tập rèn luyện hướng dẫn tập rèn luyện Dù cố gắng chắn tài liệu khơng tránh khỏi sai sót định Hy vọng Bạn thông cảm mong nhận góp ý kiến từ Bạn đọc! Để lần sau tài liệu hoàn chỉnh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN Phần Một số kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung Cho đường tròn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực AB Thật ra, ΔIAB cân I (IA = IB = R) nên IH vừa đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác Tiếp tuyến tính chất hai tiếp tuyến cắt a Cho d tiếp tuyến đường tròn tâm (I; R) H tiếp điểm Khi đó: i) d ( I ; d ) = R ii) IH vng góc d b Giả sử AB, AC tiếp tuyến đường tròn (I; R) với B, C tiếp điểm đó: i) AI đường trung trực BC ii) Tứ giác ABIC nội tiếp Góc tâm a Định nghĩa: Góc tâm góc có đỉnh tâm hai cạnh hai bán kính b Tính chất: Hai góc tâm chắn hai cung Góc nội tiếp a Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh hai dây cung b Tính chất: i) Các góc nội tiếp chắn hai dây cung Đặc biệt, góc nội tiếp chắn dây cung ii) Các góc nội tiếp chắn dây cung iii) Góc nội tiếp (  90 ) nửa góc tâm chắn dây cung iv) Góc nội tiếp chắn đường kính góc vng Góc tạo tiếp tuyến dây cung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a Định nghĩa: Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, có cạnh tia tiếp tuyến cạnh lại dây cung xAC góc tạo tiếp tuyến dây cung b Tính chất: i) Góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn ii) Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn dây cung Tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn Ta có phát biểu tương đương sau: a Tứ giác nội tiếp ⇔ tổng hai góc đối tứ giác 180° b Tứ giác nội tiếp ⇔ hai góc kề chắn cạnh c Tứ giác nội tiếp ⇔ góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh Phần Rèn luyện kĩ chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình hành b) AH = IM ; BH = IN CH = 2IP N, P trung điểm AC AB c) H, G, I thẳng hàng HI = 3GI d) Trong trường hợp A = 60 Chứng minh: AH = AI Chứng minh CH ⊥ AB  BH ⊥ AC  CH / / KB;   BH / / KC a)   KB ⊥ AB  KC ⊥ AC Do đó, ABKC hình bình hành b) ABKC hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HK Do IM đường trung bình ΔAHK  AH / / IM   AH = IM  AH = IM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Các ý lại tương tự Bạn đọc thử chứng minh để nhớ c) G trọng tâm ΔABC nên AM = AG Mà AM đường trung tuyến ΔAHK nên G trọng tâm ΔAHK HI đường trung tuyến ΔAHK nên H, G, I thẳng hàng HI = 3GI d) A = 60  BIC = 120  MIC = 60 (góc nội tiếp 1/2 góc tâm chắn dây cung) ΔIMC vng M Ta có: IM = IC.cos60  IC = 2IM  IA = IC = 2IM Mà AH = IM (câu b) Suy AH = AI Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(-1; 2), trực tâm H(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 0) Viết phương trình cạnh BC Phân tích: BC có vtpt AH = (2; −1) Nếu tìm điểm thuộc cạnh BC tốn giải? Gọi M trung điểm BC Nhớ lại AH = IM (BT1 câu b) Thế có điểm M Giải BC có vtpt AH = (2; −1) Gọi M trung điểm BC Khi đó: 2 = 2( xM − 2) 1  AH = IM    M  3; −  2  −1 = 2( yM − 0) 1  BC qua M có vtpt AH nên BC: ( x − 3) −  y +  =  BC : x − y − 13 / = 2  Chú ý: Trong làm em phải chứng minh AH = IM (xem BT1 câu b) 4 4 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 3), trọng tâm G  ;  tiếp tuyến A 3 3 đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình x − y + = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Giải Đặt d : x − y + = tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ΔABC Gọi M, I trung điểm BC tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi đó: HI = 3GI (xem BT1 câu c) AM = 3GM (tính chất trọng tâm)  4   xI =  xI − =  xI −        I  3;1  Từ: HI = 3GI     2 2  y − = 3 y −  y =  I   I  I 3  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: IA ⊥ d  IA : 3x + y + m = I  IA  + + m =  m = −5 2 Vậy IA : 3x + y − = A = d  IA nên tọa độ A nghiệm hệ: 3x + y − = x =   A(1; 2)  x − 3y + = y = Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA 2 3  1 5   3 IA =  − ;   IA =  IA2 = ( C ) :  x −  +  y −  = 2  2 2   2  4   xM − =  xM −     3   M  ;1 Ta có: AM = 3GM   2   y −1 = 3 y −  M M    3  BC qua M có vtpt AH = (0;1) nên BC có phương trình: 3  BC :  x −  + ( y − 1) =  BC : y − = 2  B, C = BC  ( C ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  y −1 = x = x =  2   B(0;1), C (3;1)  B(3;1), C (0;1)  3  1  y = y = x − + y − =       2  2  Vậy: A(1; 2), B(0;1), C (3;1) A(1; 2), B(3;1), C (0;1) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(-1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -3) đỉnh B(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh A, C biết xA  xC Giải Ta có: IB = (−2; 4)  IB = 20 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IB có phương trình: ( x − 3) + ( y + 3) = 20 2 Gọi M trung điểm AC, ta có BH = IM (xem BT1 câu b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   xM − = (−1 − 1)  xM = BH = IM     M (2; −2)  yM = −2  y + = (3 − 1)  M Đường thẳng AC vng góc IM qua M có phương trình: AC : x − y − = A, C = BC  ( C ) nên tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình:   x = −1, y = x − y − =   A(5;1), C (−1;5)  2 x = 5, y = − x − + y + = 20 ( ) ( )    ( xA  xC ) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(5;1), C (−1;5) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 2), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -2), A = 60 Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = xB  xC Giải Với A = 60 ta chứng minh AH = AI Suy A thuộc đường trung trực IH Đường trung trực IH qua trung điểm N(2; 0) IH có vtpt HI = (2; −4) nên có phương trình  : x − y − = Điểm A = d  nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x − y − = x =   A(4;1)  x + y − = y =1 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IA nên có phương trình: ( x − 3) + ( y + ) = 10 Gọi M 2 trung điểm BC, ta có  x=  −3 = 2( x − 3)  3 3 AH = IM =    M  ;−  2 2 1 = 2( y + 2) y = −  BC qua M có vtpt AH = (−3;1) có phương trình BC : −3x + y + = B, C = BC  ( C ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  3− −3 + x = , y =  − x + y + =  − −3 +   + 3 +   2   B  ; ;− ;C    2   2   3+ 3+ ( x − 3) + ( y + ) = 10  ,y=− x =  2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  − −3 +   + 3 +  ; ;− Vì xB  xC Vậy điểm cần tìm A(4;1), B   ; C   2 2      37  Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trọng tâm G(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;   18 18  cạnh AC có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết xA  Giải Gọi M trung điểm AC, ta có IM ⊥ AC  IM : x + y + m = I thuộc IM nên suy IM : x + y − = M = AC  IM nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 2 x − t − =   x = 5    M  ;1 Do G trọng tâm ΔABC, ta có  x + 2y − = 2     y =1 5   xB = −2  xB − = 3(1 − ) MB = 3MG    B (−2;1) Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IB 2   yB =  yB − = 3(1 − 1) 2 7  37  1105  có phương trình: ( C ) :  x −  +  y −  = Các điểm A, C = AC  ( C ) nên tọa độ A, C nghiệm giác AMDB ⇒ DBM = DAM Mặt khác, DBM = DBK (do H K đối xứng qua BC) Do  KBC = KAC  K thuộc đường tròn (C) Do ABKC nội tiếp nên KBF = KCA (1) Từ (1) (2) ta có KBF = KDF ⇒ tứ giác KDBF nội tiếp Mà KDB = 90 nên KBF = 90 hay KF vng góc AB AB qua F vng góc KF nên có phương trình AB : − x + y − = Đường thẳng AC qua E vng góc KE nên có phương trình AC : x + y − = 2 7 A = AB  AC  A  ;  AK có phương trình AK : x + y − = EF có phương trình EF: x + y − = 3 3 137  10 21  = D = EF  AK  D  ;  BC qua D vng góc AK có phương BC : x − y + 13  13 13   18 17   17 22  B = BC  AB  B  − ;  C = BC  AC  C  ;   13 13   13 13     18 17   17 22  Vậy tọa độ điểm cần tìm A  ;  , B  − ;  , C  ;   3   13 13   13 13  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD tâm I Điểm M(1; 2) N(0; 1) trung điểm BC ID Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hồnh độ dương Giải Kẻ ME vng góc AD, ABME hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (C) đường kính MA hay BE EN đường trung bình tam giác AID  EN || AI  EN ⊥ BD ( AI ⊥ BD )  ENB = 90  N thuộc (C) dẫn đến ANM = 90 hay AN vng góc MN Hơn nữa, ANM = ABN = 45 Do tam giác AMN vng cân N Đường thẳng AN qua N vng góc MN có phương trình AN : x + y − = A  AN  A(t ;1 − t), AN = (t ; −t ), MN = (1;1) Từ  A(1;0) ( n ) Vậy A(−1; 2) AN = AM    A(−1; 2) ( l ) Bình luận: Đối với tốn hình vng hay tốn có góc vng tỉ lệ cạnh nói chung Ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa để chứng minh tính chất sau: Chọn hệ trục tọa độ Ox ' y ' hình vẽ Ta có  a   a 3a  A(0;0), B(a;0), C (a; a), D(0;a), M  a;  , N  ;   2 4  a 10 a 10  a 3a   −3a a  AN  ;   AN = ; AM  ;   AM = 2 4   4 Ta tính được: AN.AM = AM = AN suy tam giác AMN vuông cân N Sau giải tiếp Ví dụ 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH 3x − y + = , trung điểm cạnh BC M (3;0) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C tam giác ABC Phương trình EF x − y + = Tìm tọa độ điểm A, biết A có hồnh độ dương Giải Gọi I trung điểm AH D chân đường cao kẻ từ A Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I bốn điểm BFEC thuộc đường tròn tâm M Do E, F giao tuyến hai đường tròn nên EF vng góc IM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: IE = IH  IEH = IHE = BHD MEB = MBE  MEB + IEH = MBE + BHD = 90 Tức ta có ME ⊥ IE I giao điểm IM EF suy I(1; 6) Điểm E thuộc vào đường thẳng EF suy E (3t − 7; t ) Ta có IE.ME  E (5; 4)  E (−1; 2) Với E (2;3)  IE = ; E (−1; 2)  IE = Vì điểm A thuộc AH nên A(a;3a + 3) Ta có: IA = IE  IA2 = IE  ( a − 1) + ( 3a − 3) = 20  a =  2 Vì A có hồnh độ dương nên A(1 + 2;6 + 2) Ví dụ 32 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D cắt đường tròn (C) E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Biết K (1;1), E (0; 4) AB có phương trình x − y + = điểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh A Giải Gọi F trung điểm BD K tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABD nên ta có KF ⊥ BD BKD = BAD (góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung)  BAD = BKF Mặt khác, EBC = EAC = BAD Từ điều trước ta suy EBC = BKF  EBC + FBK = BKF + FBK = 90  KB ⊥ EB Ta có: B  AB  B(b; b + 3) KB ⊥ EB  KB.EB =  b = 1 b = −1 Do B có hồnh độ dương nên ta chọn B(1; 4) A  AB  A(a; a + 3), a  Từ KA = KB  a = 1 a = −2 Do điểm A khác B nên ta chọn A( −2;1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A( −2;1) Ví dụ 33 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vng A nội tiếp đường tròn (T ) : x2 + y − 6x − y + = Gọi H chân đường cao kẻ từ A ΔABC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC, biết MN có phương trình 20 x − 10 y − = H có hồnh độ nhỏ tung độ Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đường tròn (T) có tâm I(3; 1) trung điểm BC bán kính R = Do IA = IC  IAC = ICA (1) Đường kính AH cắt AB M nên MH ⊥ AB  MH || AC (cùng vng góc AB) suy MHB = ACH (2) Mặt khác ANM = AHM (3) (cùng chắn AM) Từ (1), (2), (3) ta có IAC + ANM = ICA + AHM = MHB + AHM = 90 Suy ra: AI vng góc MN Từ ta viết phương trình AI : x + y − = Điểm A = IA  (T ) nên tọa độ A nghiệm hệ: x + y − =  x = 1, y =    x = 5, y = Điểm A(1; 2) nhận thỏa A I nằm hai phía MN Điểm   x + y − 6x − y + = A(5; 0) loại A I nằm phía MN Gọi E tâm đường tròn đường kính AH E trung điểm AH Do AMHN hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) nên E trung điểm MN E  MN 38  9    E  t ; 2t −  Do E trung điểm AH nên H  2t − 1; 4t −  10  10      11 13  t =  H  ;  272 896   t+ =0 Vì AH ⊥ HI  AH IH =  20t − Do H có hồnh độ nhỏ  28 25  31 17  H ;  t =  25 25   25  11 13  tung độ nên ta nhận H  ;  Đường thẳng BC qua H vuông góc AH nên có phương trình 5 5 BC : x + y − = Vậy A(1; 2) BC : x + y − = 3  Ví dụ 34 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;  , tâm đường tròn nội  16  tiếp ΔABC J (1;0) Đường phân giác góc BAC đường phân giác ngồi góc ABC cắt K(2; 8) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh B có hồnh độ dương Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ΔABC H giao điểm AK đường tròn tâm (C) Xét tam giác BHJ có HJB = JAB + JBA (góc ngồi tam giác) HBJ = JBC + HBC Mà JBH = JBA; HBC = HAC = HAB (do AJ BJ đường phân giác) Từ điều ta có HBJ = HJB (1)  HBJ cân H  HB = HJ Mà HAC = HAB  HC = HB (tính chất góc nội tiếp) Do HJ = HB = HC Mặt khác, BJ BK đường phân giác phân giác ngồi góc ABC nên KB vng góc JB Suy ra: HJB + HKB = 90 = HBK + HBJ (2) Từ (1) (2) suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình...  Bài tập tự rèn luyện Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 10 Từ điểm A nằm ngồi đường tròn 2 kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (C) (B tiếp điểm) Điểm D(0; -1 )... điểm A có hồnh độ dương Bài 32 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 25 M(9; -4 ) Tìm điểm N thuộc (C) 2 cho MN ngắn Bài 33 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( C ) : ( x + )