Điểm bất động của toán tử (K,Uo)_Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn nhiệt tình Phó giáo sưTiến sĩ- Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy ln động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chun mơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Tốn tổ Giải tích q thầy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt đẹp chương trình Cao học luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin đồng nghiệp trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện Biên tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự với nón 10 1.3 1.2.1 Nón khơng gian định chuẩn thực 10 1.2.2 Quan hệ thứ tự không gian E 11 1.2.3 Không gian Banach thực nửa thứ tự 17 Không gian Eu0 .18 1.4 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự 22 1.4.1 Không gian C 22 1.4.2 Không gian l2 27 1.4.3 Không gian c 35 TOÁN TỬ (K, u ) − LÕM CHÍNH QUY TRONG KHƠNG GIAN BA 2.1 Các định nghĩa 43 2.2 Một số tính chất đơn giản tốn tử (K, u ) − lõm quy 44 2.3 Tốn tử (K, u ) lõm quy số không gian Banach thực nửa − 2.3.1 2.3.2 Tốn tử (K, u0)−lõm quy khơng gian C 48 Toán tử (K, u ) − lõm quy khơng gian l2 52 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0) 3.1 Một số định lí tồn điểm bất động toán tử (K, u 0) LÕM CH − − 3.2 Ví dụ áp dụng định lí 64 3.2.1 Điểm bất động không gian C 64 3.2.2 Điểm bất động l2 64 lõm MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nhiều vấn đề tốn học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét tốn: Tìm điểm bất động toán tử (K, u ) − lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón Nên tốn nhiều nhà tốn học lớn giới quan tâm nghiên cứu Nhà tốn học Nga tiếng M.A.Kraxnơxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) Sau giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng kết cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0)−lõm (1984) Các lớp tốn tử có chung tính chất u0−đo khiến cho việc ứng dụng kết gặp khó khăn Hơn nữa, tốn tử xét không gian Banach thực nửa thứ tự với nón Nhà tốn học M A Kranoxelxki mở rộng kết đạt lớp tốn tử tác dụng khơng gian Banach thực với hai nón, nón nón lại Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến tác dụng không gian Banach thực với nón: Tốn tử lõm quy, khơng u cầu có tính chất u0−đo Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Điểm bất động tốn tử (K, u0)−lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón” Mục đích nghiên cứu Luận văn “Điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy − khơng gian Banach thực với hai nón ” nhằm nghiên cứu, trình bày điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy tác dụng − khơng gian Banach thực với hai nón, hai nón cố định khác giao khác rỗng, không yêu cầu tốn tử có tính chất u0−đo Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: + Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự + Tìm hiểu tốn tử (K, u ) − lõm quy + Tìm hiểu tồn điểm bất động toán tử (K, u lõm ) − quy khơng gian Banach thực với hai nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử (K, u ) − lõm quy, tồn điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón − +) Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến điểm bất động toán tử (K, u ) − lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu áp dụng kết nghiên cứu vào số không gian hàm cụ thể - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất - Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn Dự kiến đóng góp Nghiên cứu “Điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy − khơng gian Banach thực với hai nón ” cho ta hiểu biết sâu sắc vấn đề Hơn nữa, kết thu mở rộng cho số lớp tốn tử khác Luận văn sử dụng làm tài liệu cho vấn đề toán học liên quan Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian tuyến tính thực E Một chuẩn E ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu "." ( đọc chuẩn), thỏa mãn điều kiện sau: i,∀x ∈ E, "x" ≥ 0, "x" = x = θ (θ phần tử không không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, "αx" = |α| "x"; iii,∀x, y ∈ E, "x + y" ≤ "x" + "y" (bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyến tính thực E với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, ".") hay E ∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy {xn} n= ⊂ E gọi hội tụ đến x E lim "xn − x" = 0, hay ∀ε > 0, ∃n01∈ N∗ ∈ n→∞ cho ∀n ≥ n0, "xn − x" < ε Dựa vào định nghĩa ta có số tính chất sau: Định lí 1.1.1 Trong không gian định chuẩn thực E, dãy điểm ∞ {xn} hội tụ đến x dãy chuẩn {"xn"} hội tụ tới "x", nói khác n= "x" hàm liên tục biến x Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có: "x" = "x − y + y" ≤ "x − y" + "y" , ∀x, y ∈ E, hay "x" − "y" ≤ "x − y" Đổi vai trò x, y ta lại có: "y" − "x" ≤ "x − y" Do ta có |"x" − "y"| ≤ "x − y" , ∀x, y ∈ E Suy |"xn" − "x"| ≤ "xn − x" (n = 1, 2, ) Vì vậy, {xn} hội tụ tới x lim "xn − x" = 0, dẫn đến n →∞ |"xn" − "x"| → n → ∞ hay "xn" → "x" n → ∞ Mệnh đề chứng minh Định lí 1.1.2 Trong không gian định chuẩn thực E, dãy điểm {xn} ∞ n= hội tụ dãy chuẩn {"xn"} bị chặn Chứng minh Giả sử xn → x, n → ∞ khơng gian E, theo định lí 1.1.1 ta có "xn" → "x" n → ∞ , tồn n0 cho ∀n ≥ n 0, "xn" ≤ "x" + Đặt K số lớn số "x1" , "x2" , , "xn" , "x" + Khi ∀n, "xn" ≤ K hay {"xn"} bị chặn Định lí 1.1.3 Trong khơng gian định chuẩn thực E, dãy điểm {xn} {αn ∞ n= hội tụ tới }1 hội tụ tới α ∞ x, dãy điểm {yn} n= hội tụ tới y R dãy số thì: xn + yn → x + y, n → ∞, αn.xn → αx, n → ∞ Nói khác hai phép tốn x + y αx liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R) 10 Chứng minh Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ khơng gian E, nên ta có "xn − x" → 0, n → ∞ "yn − y" → 0, n → ∞ Ta lại có "(xn + yn) − (x + y)" ≤ "xn − x" + "yn − y" "(xn + yn) − (x + y)" → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞ không gian E, đồng thời: "αn.xn − α.x" = "αnxn − αnx + αnx − αx" ≤ "αn (xn − x)"+"(αn − α) x" ≤ |αn| "xn − x" + |αn − α| "x" Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ dãy {|αn|} bị chặn, xn → x, n → ∞ không gian E nên "xn − x" → 0, n → ∞ Do |αn| "xn − x" + |αn − α| "x" → n → ∞ hay "αn.xn − α.x" → 0, n → ∞ hay αnxn → αx, n → ∞ không gian E Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm ∞ E gọi dãy E lim "xn − xm" = ⊂ ,m→∞ ∗ hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n, m ≥ n0 ta có "xn − xm" < ε {xn} n= Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy E hội tụ 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự với nón 1.2.1 Nón khơng gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, K khác tập rỗng, gọi nón E K thỏa mãn điều kiện sau: + ... đề tài: Điểm bất động tốn tử (K, u0)−lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón Mục đích nghiên cứu Luận văn Điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy − khơng gian Banach thực với hai nón ” nhằm... kết toán tử (K, u ) − lõm quy, tồn điểm bất động toán tử (K, u ) lõm quy khơng gian Banach thực với hai nón − +) Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến điểm bất động toán tử. .. tốn tử tác dụng khơng gian Banach thực với hai nón, nón nón lại Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến tác dụng không gian Banach thực với nón: