Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 12

Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5

Chủ đề 12 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH-THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUN TỐN Trong kì thi học sinh giỏi mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ xuất cách đặn đề với tốn ngày khó Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ trích đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh đề thi chuyên toán năm gần ( )  1 1 + + ÷≥  a b c Bài a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng: a + b + c  b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming rằng: 2009 + ≥ 670 2 a + b + c ab + bc + ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phòng năm 2009 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a + b + c ≥     abc; 1 1 + + ≥3 a b c abc ( a + b + c)  a1 + b1 + 1c ÷ ≥ Suy Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c b) Ta có ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 ( a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ ≤3 2007 ≥ 669 ab + bc + ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có   1 2 + +  ÷ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 2  a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca  1 + ≥ ≥1 Suy a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a+ b+ c ( ) ( Do ta ) 2009 + ≥ 670 2 a + b + c ab + bc + ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = Bài Với số tự nhiên n ≥ Chúng minh Sn < Với Sn = ( + ) 5( 1+ 2+ ) + + ( 2n + 1) ( ) n + n+1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải Với n ≥ , ta có ( 2n + 1) ( ) n + n+1 = < n + 1− n = 2n + 4n2 + 4n + n + 1− n n +1- n 4n2 + 4n n + 1− n = n + n Do ta Sn < = 1 1  −  ÷ 2 n n + 1 1 1 1  1  + − + + − 1− ÷ =  1− ÷< 2 2 n n + 1 n + 1  Vậy bất đẳng thức chứng minh m Bài Chứng minh n − ≥ n ( ) , với số nguyên m, n 3+ Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải Vì m, n số nguyên nên Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m số hữu tỉ n số vô tỉ nên m − ≠ n m > , ta n m2 > 2n2 ⇒ m2 ≥ 2n2 + hay m ≥ 2n2 + Từ suy 2n2 + 1 − = 2+ − n n 2+ − n = = ≥   n2 2 + + n  + + 2÷  ÷ n n   m + Trường hợp 2: Với < , ta n m − 2≥ n ( ) 3+ m2 < 2n2 ⇒ m2 ≤ 2n2 − hay m ≤ 2n2 − Từ suy m m 2n − − = 2− ≥ 2− = 2− n n n = Vậy toán chứng minh  n2    1 n2 2− = n + 2− n 1 ≥  n2 + 2 + 2− ÷ n ÷  2− 2+ ( http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) Bài Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: a2 ( ) b− c + b2 ( ) c− a + c2 ( ) a− b ≥2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a b c  ab bc ca + + + +  ÷ ≥ + 2  b− c c− a c− a a− b a− b b− c  b − c c − a a − b  ( )( ) ( )( ) ( )( Mà ta lại có ( )  ÷ ÷  ab bc ca + + b− c c− a c− a a− b a− b b− c )( ) ( )( ) ( )( ) ab ( a − b) + bc ( b − c) + ca ( c − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = −1  a b c  Do bất đẳng thức trở thành  + + ÷ ≥ b − c c − a a − b   Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a2b + b2c + c2a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 + Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có ( ) ( )( ab + bc + ca ≥4 a2b + b2c + c2a a2 + b2 + c2 = a + b + c a2 + b2 + c2 ) = a + b + c + a b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 3 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3 + ab2 ≥ 2a2b;b3 + bc2 ≥ 2b2c;  c3 + ca2 ≥ 2c2a ( ) ( ) a2 + b2 + c2 ≥  3 a2b + b2c + c2a > Suy Do ta a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ab + bc + ca 2 ≥ a + b + c + a2b + b2c + c2a a2 + b2 + c2 Phép chứng minh hoàn tất ta ab + bc + ca ≥4 a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 2 a +b +c + ≥4 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 + Hay ( ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đặt t = a2 + b2 + c2 Từ giả thiết a + b + c = ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ , ta t ≥ Bất đẳng thức trở thành 9− t ≥ ⇔ 2t2 + − t ≥ 8t ⇔ t − 2t − ≥ 2t Bất đẳng thức cuối t ≥ Vậy toán chứng minh xong ( t+ )( ) Bài Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P ≥ Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có ( ac + bd) + ( ad − bc) 2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 − 2abcd + b2c2 ( ) ( ) ( )( = a2 c2 + d2 + b2 d2 + c2 = a2 + b2 c2 + d2 ( ) Vì ad − bc = nên + ac + bd ( )( = a2 + b2 c2 + d2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ) ) (1) ( )( ) P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ≥ a2 + b2 c2 + d2 + ac + bd ( ) Suy ta P ≥ + ac + bd ( ) + ac + bd Rõ ràng P > + ac + bd > ac + bd Đặt x = ac + bd , ta ( ) ( ) P ≥ + x2 + x ⇔ P ≥ + x2 + 4x + x2 + x2 = + x2 + 4x + x2 + 4x2 + Hay P ≥ ( ) + x2 + 2x + ≥ Do ta P ≥ Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad − bc =  2a = 3d − c  2b = − 3c − d Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ≥ ad − bc Hay a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ≥ a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a ( ( ) 3d − c ≤ a2 + ) ( b − 3c − d ≤ b2 + ) 3d − c ( ) ( ( = a2 + ) − 3c − d ) 3d − c + b − 3c − d Cộng theo hai bất đẳng thức ta 3d2 − 3cd + c2 = b2 + 3d2 + 3cd + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ≥ a ( ) ( ) 3d − c + b − 3c − d Bài toán chứng minh xong Bài Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x2 + 2y2 + 2z2 + + > a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải 2 Cách 1: Vì a + b + c > nên ta có (  x2 y2 z2  a2 + b2 + c2  + + ÷ b c  a   b2 + c2 − a2  a2 + c2 − b2   a2 + b2 − c2  2 = x 2+ ÷+ y 2+ ÷+ z  + ÷ a2 b2 c2        b2 + c2 − a2   2   a2 + b2 − c2  a + c −b = 2x2 + 2y2 + 2z2 + x2  + y ÷  ÷+ z  ÷ 2 a b c2       ) 2 2 Giả sử a ≤ b ≤ c, c − a ≥ 0; c − b ≥ Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2 < a2 + b2 Do ta có b2 + c2 − a2 > 0; a2 + c2 − b2 > 0; a2 + b2 − c2 > Suy  b2 + c2 − a2   2   a2 + b2 − c2  a + c −b 2x + 2y + 2z + x  ÷+ y  ÷+ z  ÷ a2 b2 c2       2 > 2x + 2y + 2z2 2 2  x2 y2 z2  2 2 2 a + b + c Hay  + + ÷ > 2x + 2y + 2z b c  a x2 y2 z2 2x2 + 2y2 + 2z2 Hay + + > Bài toán chứng minh xong a b c a2 + b2 + c2 ( ) Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 2x2 y2 2y2 z2 2z2 − + − + − >0 a2 a2 + b2 + c2 b2 a2 + b2 + c2 c2 a2 + b2 + c2 x2 b2 + c2 − a2 y2 a2 + c2 − b2 z2 a2 + b2 − c2 ⇔ 2 + 2 + 2 >0 a a + b2 + c2 b a + b2 + c2 c a + b2 + c2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2 + b2 > c2; b2 + c2 > a2; c2 + a2 > b2 Nên ta b2 + c2 − a2 > 0; a2 + c2 − b2 > 0; a2 + b2 − c2 > Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Bài a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: ( k + 1)  1  < 2 − ÷ k k + 1  k http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 88 + + +L + < 2010 2009 45 b) Chứng minh rằng: Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( k + 1) k k + 1− k < k k + ( ) ⇔ 2k + − k k + > ⇔ ( k + 1− k ) >0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT = + + 1 +L + 2010 2009    1    < 2 − − − ÷ + 2 ÷ + L + 2 ÷ 2 3 2010     2009     88 = 2 − = VP ÷ < 2 − ÷ = 45  45 2010    Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a2 + 8b2 + 14ab + b2 3b2 + 8c2 + 14bc + c2 3c2 + 8a2 + 14ca a+ b+ c ≥ Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( ) 3a2 + 8b2 + 14ab = 3a2 + 8b2 + 12ab + 2ab ≤ 4a2 + 9b2 + 12ab = 2a + 3b a2 Suy 3a2 + 8b2 + 14ab ≥ a2 ( 2a + 3b) 2 a2 = 2a + 3b Áp dụng tương tự ta thu a2 3a2 + 8b2 + 14ab + b2 3b2 + 8c2 + 14bc + c2 3c2 + 8a2 + 14ca a2 b2 c2 ≥ + + 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( a + b + c) a b c + + ≥ 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 5( a + b + c) 2 2 = a+ b+ c Do ta a+ b+ c 3a2 + 8b2 + 14ab 3b2 + 8c2 + 14bc 3c2 + 8a2 + 14ca Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c a2 + b2 + c2 ≥ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài 10 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện ≤ x, y, z ≤ x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: ( )( )( ) M = x4 + y4 + z4 + 12 − x − y − z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z − 1, ta −1 ≤ a; b; c ≤ a + b + c = Biểu thức M viết lại thành ( ) ( ) ( ) M = a4 + b4 + c4 + a3 + b3 + c3 + a2 + b2 + c2 + a + b + c + − 12abc Để ý a + b + c = a3 + b3 + c3 − 3abc = nên biểu thức thử thành ( ) M = a4 + b4 + c4 + a2 + b2 + c2 + Theo đánh giá quen thuộc ( ) a4 + b4 + c4 ≥ abc a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c = ( ) Do suy M ≥ hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1 ≤ a; b; c ≤ nên ta có a ; b ; c ≤ Từ ta có a4 ≤ a2 ≤ a ; b4 ≤ b2 ≤ b ; c4 ≤ c2 ≤ c ( ( ) ) 4 2 Suy M = a + b + c + a + b + c + ≤ a + b + c + Mà ta lại có a + b + c = nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b + c = b+ c = a Đến ta có M ≤ 14 a + ≤ 17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = −1;c = hoán vị hay x = 2; y = 0; z = hoán vị Bài 11 a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: ( a − b) ≥ ab + bc + ca + a2 + b2 + c2 ( b − c) + ( c − a) + 26 2009 b) Cho a > 0; b < Chứng minh ≥ + a b 2a − b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( a − b) Hay ( b − c) + 2 ( ( c − a) + ) 12 a − b 13 2 + ( a − b) ≥ ( b − c) 26 + ( b − c) + ( ) 2007 c − a 2 ( c − a) + 2009 ≥0 Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + ≥ a −b 2a − b Đặt c = −b , b < nên ta c > 0, bất đẳng thức viết lại thành + ≥ a c 2a + c Theo đánh giá quen thuộc ta 2 2.4 + = + ≥ = a c 2a c 2a + c 2a + c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a = −b Bài 12 Cho a, b số dương thỏa mãn a 2b + = Chứng minh ab2 ≤ 1+ a 1+ b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Quảng Bình năm 20152016 Lời giải x y a 2b a b ;b= Suy a = + = Đặt x = ;y= 1− x 1− y 1+ a 1+ b 1+ a 1+ b Khi ta x + 2y = bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Từ giả thiết xy2 ( − x ) ( − y) ≤ Từ giả thiết ta suy − x = 2y; − y = x + y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành xy2 ( 2y x + y ) ≤ ⇔ 4xy ≤ x + y ( ) Đánh giá cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b Bài 13 Cho x, y, z số thực dương cho xyz = x + y + z + Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Giả thiết toán viết lại thành Đặt a = 1 + + = x+1 y+1 z+1 1 ;b= ; c= Khi ta a + b + c = Từ suy x+1 y+1 z+1 x= 1− a b + c 1− b c + a 1− c a + b = ;y= = ;z= = a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành ( ab + b+ c c+ a )( ) ( bc + c+ a a+ b )( ) ( ca ≤ a+ b b+ c )( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ab 1 b a  ≤  + ÷ 2 b + c c + a  b+ c c+ a ( bc 1 c b  ≤  + ÷ 2 c + a a + b  c+ a a+ b ( ca 1 a c  ≤  + ÷ 2 a + b b + c a+ b b+ c )( ) )( ) )( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta ( ab + b+ c c+ a )( ) ( bc + c+ a a+ b )( ) ( ca ≤ a+ b b+ c )( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 14 Cho số thực không âm a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 a +2 b +2 c +2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 + + ≥1 a2 + b2 + c2 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) ( ) a+ b+ c a+ b+ c a2 b2 c2 + + ≥ = =1 a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 15 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng: 2y + 3z + 3z + x + x + 2y + 51 + + ≥ 1+ x + 2y + 3z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun tốn Đại học Vinh, 2009 – 2010 Lời giải Đặt a = x; b = 2y; c = 3x , giả thiết trở thành a + b + c = 18 bất đẳng thức viết lại thành b + c + c + a + a + b + 51 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Bất đẳng thức tương đương với Hay b+ c+ c+ a+ a+ b+ 51 + 1+ + 1+ + 1≥ +3 1+ a 1+ b 1+ c  1  72 a+ b+ c+  + + ÷≥  1+ a 1+ b 1+ c  ( ) Phép chứng minh hoàn tất ta 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 9 + + ≥ = = + a + b + c + a + b + c 21 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = 6; y = 3; z = Bài 16 Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xy + z + 2x2 + 2y2 Chứng minh rằng: + xy ≥1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 20102011 Lời giải Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc ( ) xy + z x + y + z + 2x2 + 2y2 x + y + z + xy ⇔ ≥1 ( x + z) ( y + z) + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x2 + 2y2 ≥ x + y ( z + x ) ( z + y) Do ta cần chứng minh 2x2 + 2y2 ≥ x + y + z + xy ≥ z + xy Bất đẳng thức tương đương với ( ) z2 + xy + z x + y ≥ z2 + xy + 2z xy ⇔ z ( x− y ) ≥0 ; z = Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = Chứng minh Bài tốn chứng minh hồn tồn Đẳng thức xảy x = y = rằng: a3 b3 c3 + + ≥ a2 + b2 + c2 ≥ b c a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHNN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a3 b3 c3 + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) a2 + b2 + c2 a3 b3 c3 + + ≥ b c a ab + bc + ac 2 Theo đánh giá quen thuộc ta có a + b + c2 ≥ ab + bc + ca ( Do ta a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca) (a + b +c ) ≥ a +b + c 2 Nên ta có 2 2 2 2 ab + bc + ac 3 a b c + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a 2 + Chứng minh a + b + c2 ≥ Do ta suy Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ab + bc + ca ≥ 33 a2b2c2 = 3 Suy ta P ≥ hay giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy 2 a = b = c = Bài 144 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ≤ a;b;c ≤ Chứng minh rằng: a b c + + + 1− a 1− b − c ≤ b+ c+ c+ a+ a+ b+ ( )( )( ) Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh An Giang năm học 2014-2015 Lời giải ≤ − a; − b ≤ ; a + b + ≥ Từ giả thiết ta Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1= ( 1− a) + ( 1− b) + ( a + b + 1) ( )( )( ) ) ≥ 1− a 1− b a + b + ≥ 1− a 1− b a + b + Suy ta Vì − c > nên ta ( )( )( ) ( )( )( )( − c ≥ 1− a 1− b a + b + − c ( 1− a) ( − b) ( − c) ≤ a +2 −b c+ Suy c (1) + 1− a 1− b − c ≤ a+ b+1 a+ b+1 a 2a Ta chứng minh Thật vậy, biến đổitương đương bất đẳng thức ≤ b+ c+ a+ b+ ta a a + b + ≤ 2a b + c + ⇔ a b + 2c + − a ≤ ( Hay ( ) Tương tự ta Từ kết ta ( )( )( ) ) ( ) b 2b ≤ a+ c+1 a+ b+1 a b c + + + 1− a 1− b − c b+ c+ c+ a+ a+ b+ 2a 2b ≤ + + =2 a+ b+1 a+ b+1 a+ b+1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = 0; c = ( )( )( ) Bài 145 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:  1 1 a3 + b3 + c3 + 2 + + ÷ ≥ ab + bc + ca  a b c ( ) Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015 Lời giải  1 1 18 + + ÷≥ = Do ta  a b c a + b + c a3 + b3 + c3 + ≥ ab + bc + ca Dễ thấy 2 ( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a3 + + ≥ 3a; b3 + + ≥ 3b; c3 + + ≥ 3c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) ( ) Ta quy toán chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ) Hay a + b + c ( ) ≥ ab + bc + ca , đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 146 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( ) a b+ c ( ) a2 + b + c + ( ) b c+ a ( ) b2 + c + a + ( ) c a+ b ( ) c2 + a + b ≤ Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( )   b + c 2   + b+ c ≥ a b+ c + b+ c a + b+ c = a +   4   b + c 4a + 3b + 3c = a b+ c 4a b + c 4a ≤ = Suy ta 4a + 3b + 3c 4a + 3b + 3c b + c a2 + b + c ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ( ) ) )( ( ) )( ) ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) 9+ 4a a a 92 1  = ≤ + ÷ 4a + 3b + 3c 25 4a + 3b + 3c 25  a + b + c a ÷   a b+ c 27a ≤ + a2 + b + c 25 a + b + c 25 ( Suy ta ) ( ) ( ( Áp dụng hoàn toàn tương tự ta ( ) b c+ a ( ) b2 + c + a ≤ ) ( ) c c+ a 27b + ; 25 a + b + c 25 c2 + c + a ( ) ( Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta ( ) a b+ c ( b + c) + a2 + ( ) b a+ c ( c + a) + b2 + ( ) c a+ b ( a + b) ) + c2 ≤ ) ≤ 27c + 25 a + b + c 25 ( ) ( )+ 3=6 25( a + b + c) 25 27 a + b + c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 147 Cho a, b, c số thực không âm cho a + b + c = Chứng minh rằng: a ( ) + 9bc + b − c + b ( ) + 9ca + c − a + c ( ) + 9ab + a − b ≥ Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố hải Phòngnăm học 20142015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a ( ) + + 9bc + b − c b ( + 9ca + c − a ) + c ( ) + 9ab + a − b ( a + b + c) ≥ ( a + b + c) + 27abc + 4a ( b − c) + 4b ( c − a) 2 Phép chứng minh hoàn tất ta ( ) ( ) Hay ≥ 4ab ( a + b) + 4bc ( b + c) + 4ca ( c + a) + 3abc ( ) ( ( ) a + b + c ≥ + 27abc + 4a b − c + 4b c − a + 4c a − b Để ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành ( a + b + c) ( ) ( ) ( ) + 4c a − b 2 ) ≥ 4ab a + b + 4bc b + c + 4ca c + a + 3abc ( ) ( ) ( ) Biến đổi tương đương ta abc ≥ ( a + b − c) ( b + c − a) ( c + a − b) a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab a + b + bc b + c + ca c + a Hay Bất đẳng thức bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Vậy toán chứng minh ; c = hoán vị Đẳng thức xẩy a = b = c = a = b = Bài 148 Cho x, y, z số thực không dương Chứng minh rằng: xy3z3 (x ) (y + yz + z3 + ) (y yz3x3 + zx ) (z + x3 + zx3y3 ) (z + xy ) (x + y3 ) ≤ Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 20142015 Lời giải ( ) ( )( ) ( 3 2 2 Dễ dàng chứng minh y + z ≥ y + z y + z ≥ yz y + z ) Và lại có x2 + yz ≥ 2x yz Nhân theo vế hai kết ta (x )( ) ( + yz y3 + z3 ≥ 2xyz y2 + z2 ) Suy ta (x xy3z3 ) (y + yz + z3 ≤ ) = xy3z3 ( ) ( x2 + yz xyz y2 + z2 ) y2z2 ( x2y2 + x2z2 + y3z + yz3 ) ≤ y2z2 ( x2y2 + x2z2 + 2y2z2 ) Hoàn toàn tương tự ta (x xy3z3 ) (y + yz ≤ ( + z3 + ) (y yz3x3 + zx 2 yz x2y2 + x2z2 + 2y2z2 ) + ) (z ( + x3 + ) (z zx3y3 + xy 2 xz x2y2 + 2x2z2 + y2z2 ) (x ) + ( + y3 ) x2y2 2x2y2 + x2z2 + 2y2z2 Ta càn http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) y2z2 x2z2 x2y2 + 2 + 2 ≤ 2 2 2 2 2 2 2 x y + x z + 2y z x y + 2x z + y z 2x y + x z + 2y z 2 2 2 Đặt a = x y ; b = y z ; c = z x Khi bất đẳng thức viết lại thành a b c + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bất đẳng thức tương đương với b+ c a+ c a+ b + + ≥ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) 2a + 2b + 2c b+ c a+ c a+ b + + ≥ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ( Phép chứng minh hoàn tất ta ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2a + 2b + 2c ≥ 2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca    2 ⇔ a + b + c ≥ a + b + c + ab + ba + ca ( ) ) ( ( ) ( ) ) ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z Bài 149 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x2y y2z z2x + + 4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x P= Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 20142015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  x y z  P ≤ xy + yz + zx  + + ÷  4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x   5y x y z 1 5z 5x   + + = 3 −  + + Đặt Q = ÷ 4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x   4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x   ( ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) x+ y+z 5y 5z 5x + + ≥ 4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x xy + yz + zx + x2 + y2 + z2 ( = ( ) ) ( ( x + y + z − xy + yz + zx  1 3 −  4 − xy + yz + zx    xy + yz + zx 3 − Khi ta suy P ≤ − xy + yz + zx  Do ta Q ≤ ( ( ) = ) 5 − xy + yz + zx ( ) ) ( )    http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) Đặt a = xy + yz + zx ⇒ < a ≤ Khi ta P2 ≤ Ta chứng minh ( ) 2( − 6a) a − 9a ≤ ( ( ) )   a − 9a a 3− ÷=  − 6a  − 6a ( )( ) Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với − 3a 10 − 27a ≥ 0, đánh Do bất đẳng thức chứng minh 1 Suy P ≤ hay giá trị lớn P 3 Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài 150 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh giá < a ≤ rằng: ( ) a+ b+ c a3 b3 c3 + + ≥ 18 + 9b2ca + 9c2ab + 9a2bc Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 20142015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) a2 + b2 + c2 a3 b3 c3 + + ≥ + 9b2ca + 9c2ab + 9a2bc a + b + c + 9abc ab + bc + ca Dễ thấy a2 + b2 + c2 ( a + b + c) ≥ (a ( ) để ý đến giả thiết ab + bc + ca = ta + b2 + c2 ( ) ( a + b + c) ≥ ) a + b + c + 9abc ab + bc + ca ( ) a + b + c + 9abc Do ta có 3 ( a + b + c) a b c + + ≥ 2 + 9b ca + 9c ab + 9a2bc a + b + c + 9abc ( ) Phép chứng minh hoàn tất ta ( ( a + b + c) ) a + b + c + 9abc ( a + b + c) ≥ 18 Hay a + b + c ≥ 9abc Để ý đến giả thiết ab + bc + ca = 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( )( ) a + b + c = a + b + c ab + bc + ac ≥ 33 abc.33 a2b2c2 = 9abc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a= b= c= Bài 151 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 5a2 + 4bc + 5b2 + 4ca + 5c2 + 4ab ( ) ≥ a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( 5a2 + 4bc − bc + 5b2 + 4ca − ca + 5c2 + 4ab − ab ≥ a2 + b2 + c2 ) Hay 5a2 5a + 4bc + bc Hay 5b2 + 5b + 4ca + ca + 5c2 5c + 4ab + ab ( ≥ a2 + b2 + c2 )   5a2 5b2 5c2 + + ≥1  ÷ ÷ 2 2 2 5a + 4bc + bc 5b + 4ca + ca 5c + 4ab + ab a +b +c   ( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) 5a2 + 4bc a2 + b2 + c2 ≤ 8a2 + 3b2 + 3c2 + 4bc ( bc a + b + c 2 )= ( 4.3 bc a2 + b2 + c2 Suy ( ( 5a2 + 4bc + bc ) 10a2 5a2 + 4bc + bc ≤ ) ( ) 3a2 + 3b2 + 3c2 + 9bc = a2 + b2 + c2 + 3bc ( Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta ) ( ) ) a2 + b2 + c2 ≤ 10a2 + 5b2 + 5c2 + 10bc ( a2 + b2 + c2 ) ≥ 10a2 10a2 + 5b2 + 5c2 + 10bc Lại có 10bc ≤ 5b2 + 5c2 nên ta 10a2 10a2 a2 ≥ = 10a2 + 5b2 + 5c2 + 10bc 10a2 + 10b2 + 10c2 a2 + b2 + c2 10a2 a2 ≥ Do ta a2 + b2 + c2 5a2 + 4bc + bc a2 + b2 + c2 ) ( ( Chứng minh hoàn toàn tương tự ta  5a2 +  2 2  a + b + c  5a + 4bc + bc ( ) ) 5b2 5b2 + 4ca + ca +  ÷ ÷ 5c2 + 4ab + ab  5c2 a2 b2 c2 + + =1 a2 + b2 + c2 b2 + a2 + c2 c2 + b2 + a2 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c Bài 152 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ≥ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word P= 2a + 3b 4b 8c + − a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015 Lời giải Đặt x = a + 2b + c; y = a + b + 2c; z = a + b + 3c Khi ta a = 5y − x − 3z; b = x + z − 2y; c = z − x Biểu thức P viết lại thành P= 4x 2y 8y 4z + + + − 17 y x z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P= 4x 2y 8y 4z 4x 2y 8y 4z + + + − 17 ≥ +2 − 17 = 12 − 17 y x z y y x z y Vậy giá trị nhỏ P 12 − 17 Đẳng thức xẩy  4x 2y = 2  y x ⇔ 2x = y ⇔ z = 2y = 2x   2  8y = 4z 2y = z  z y Bài 153 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + rằng: xz = Xh]ngs minh 3yz 4zx 5xy + + ≥4 x y z Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Tuyên Quang năm học 2014-2015 Lời giải Biến đổi vế trái bất đẳng thức sau 3yz 4zx 5xy yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy + + = + + + + + x y z x y x z y z Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy + ≥ 2z; + ≥ 4y; + ≥ 6x x y x z y z Do ta 3yz 4zx 5xy + + ≥ 6x + 4y + 2z x y z Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta ( ) ( ( ) ) 6x + 4y + 2z = x + y + x + z ≥ xy + xz = xy + xz = 3yz 4zx 5xy + + ≥4 x y z Do ta suy Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài 154 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) x4 + y4 + z4 − x2 + y2 + z2 + 12 = x2 y2 z2 + + Tìm giá trị nỏ biểu thức: P = y + 2z z + 2x x + 2y Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Yên Bái năm học 2014-2015 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết toán ( Áp dụng đánh giá quen thuộc ta có x4 + y4 + z4 ≥ x2 + y2 + z2 ( x2 + y2 + z2 Khi ta ) ( ) P= 2 − x2 + y2 + z2 + 12 ≤ Hay x2 + y2 + z2 ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ) ( x2 + y2 + z2 ) x y z + + ≥ y + 2z z + 2x x + 2y x2y + y2z + z2x + xy2 + zx2 + yz2 ( ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x2y + y2z + z2x ≤ (x (x ≤ )( + y2 + z2 x2y2 + y2z2 + z2x2 )( + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ) ( ) = x +y +z 2 ) x2 + y2 + z2 Hoàn toàn tương tự ta ( ) ( xy2 + yz2 + zx2 ≥ x2 + y2 + z2 (x Do ta P ≥ + y2 + z2 ( x2 + y2 + z2 ) ) ) x2 + y2 + z2 =1 = x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài 155 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ( a + b − c) + ( b + c − a) + ( c + a − b) ( a + b) + c ( b + c) + a ( c + a) + b 2 2 2 2 ≥ Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2014-2015 Lời giải ( a + b − c) = ( a + b) + c − 2c( a + b) ( a + b) + c ( a + b) + c Để ý 2 ( 2 = 1− ( a + b) Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh ( ) a b+ c ( ) a2 + b + c + ( ) b c+ a ( ) b2 + c + a + ) 2c a + b ( ) + c2 c a+ b ( ) c2 + a + b ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( )   b + c 2   + b+ c ≥ a b+ c + b+ c a + b+ c = a +   4   b + c 4a + 3b + 3c = ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) a b+ c Suy ta ( ) a2 + b + c ( ) ( 4a + 3b + 3c) ( b + c) 4a b + c ≤ 4a 4a + 3b + 3c = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) 9+ 4a a a 92 1  = ≤ + ÷ 4a + 3b + 3c 25 4a + 3b + 3c 25  a + b + c a ÷   a b+ c 27a ≤ + a + b+ c 25 a + b + c 25 ( Suy ta ) ( ) ( ( ) Áp dụng hoàn toàn tương tự ta ( ) b c+ a ( ) b2 + c + a ≤ ( ) c c+ a 27b + ; 25 a + b + c 25 c2 + c + a ( ) ( ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta ( ) a b+ c ( b + c) + a2 + ( ) b a+ c ( c + a) + b2 + ) ( ) c a+ b ( a + b) + c2 ≤ ≤ 27c + 25 a + b + c 25 ( ) ( )+ 3=6 25( a + b + c) 25 27 a + b + c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 156 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz Chứng minh rằng: x y z + + ≤1 2 2 2y z + xyz 2z x + xyz 2x y + xyz 2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Gia Lai năm học 2014-2015 Lời giải Giả thiết toán viết lại thành 1 1 1 + + = Đặt x = ;y = ; z = ta x y z a b c a + b + c = Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành bc ca ab ≤1 2a + bc 2b + ca 2c + ab Chú ý đến giả thiết a + b + c = 2, ta có bc bc bc bc  1  = = ≤ +  ÷  a + b c+ a 2a + bc a a + b + c + bc a+ b a+ c ( + ) + ( )( ) Hoàn toàn tương tự ta ca 2b + ca ≤ ca  1  ab ab  1  + ≤ +  ÷;  ÷  b + c a + b  2c + ab  c + a b + c Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc + ca + ab 2a + bc 2b + ca 2c + ab bc  1  ca  1  ab  1  a+ b+ c ≤ + + + =1  ÷+  ÷+  ÷=  a + b c + a  b + c a + b  c + a b + c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Như bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x= y=z= Bài 157 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x+2 y+2 z+2 + + x3 y + z y3 z + x z3 x + y ( ) ( ) ( ) Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Cần Thơ năm học 2015-2016 Lời giải Đặt a = 1 ; b = ; z = , suy abc = Biểu thức P viết lại thành x y c P= ( ) + b ca ( + 2b) + c ab ( + 2c) a2bc + 2a 2 b+ c c+ a a+ b a + 2a b + 2b c + 2c Hay P= + + b+ c c+ a a+ b a b c 2a2 2b2 2c2 Ta viết biểu thức P thành P = + + + + + b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a + b a b c Dễ dàng chứng minh + + ≥ b+ c c+ a a+ b ( ) ( ) ( ) Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) a+ b+ c a2 b2 c2 a + b + c 33 abc + + ≥ = ≥ = b+ c c+ a a+ b a+ b+ c 2 ( ) 3 9 + = Vậy giá trị nhỏ P 2 2 Đẳng thức xẩy a = b = c = ⇔ x = y = z = DO ta P ≥ Bài 158 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  a + b + c ab + bc + ca a2 + b2 + c2  ÷ ≥ 3   Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a + b + c  ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  ÷ ≥ ÷ 3     Hay ( a + b + c) 27 ( ) (a ≥ ab + bc + ca 2 + b2 + c2 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ab + bc + ca) ( a + b + c ) = ( ab + bc + ca) ( ab + bc + ca) ( a + b + c )  ( ab + bc + ca) + ( ab + bc + ca) + ( a + b + c )  ( a + b + c)  = ≤ 2 2 2   2   Vậy bất 27 đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Bài 159 Cho a, b, c số thực không âm khơng có hai số Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 2 ab + bc + ca a − ab + b b − bc + c c − ca + a Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016 Lời giải Vì vai trị biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta ( ) a − ac + c = a − c ( a − c) ≤ a ab + bc + ca = ab + c ( a + b) ≥ ab b2 − bc + c2 = b2 − c b − c ≤ b2 2 2 Từ ta có 1 1 + + ≥ + + a2 − ab + b2 b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 a2 − ab + b2 a2 b2 ≤ ab + bc + ca ab Và có Phép chứng minh hồn tất ta 1 + 2+ ≥ 2 ab a b a − ab + b Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 1 1 − + 2− + − ≥0 2 a ab b ab a − ab + b ab ( ) a− b ab − a2 ab − b2 2ab − a2 − b2 ⇔ + + ≥ ⇔ ≥0 a3b ab3 a2 − ab + b2 ab a2b2 a2 − ab + b2 ( ) ( ) Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh xong Bài 160 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a + b + c = Chứng minh rằng: 4 1 + + ≤ + + +9 a+ b b+ c c+ a a b c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015-2016 Lời giải Cách 1: Để ý đến giả thiết lại viết lại bất đẳng thức thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) + 4( a + b + c) + 4( a + b + c) a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c + + +9 a+ b b+ c c+ a a b c 4c 4a 4b b+ c a+ c a+ b ⇔ + + + 12 ≤ + + + 12 a+ b b+ c c+ a a b c 4c 4a 4b b+ c a+ c a+ b ⇔ + + ≤ + + a+ b b+ c c+ a a b c 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng + ≥ , ta x y x+ y  1  1  1 a+ b b+ c c+ a + + = a  + ÷ + b  + ÷ + c + ÷ c a b  c b  a c  a b 4a 4b 4c ≥ + + b+ c c+ a a+ b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c ≤ Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4 1 + + ≤ + + +9 1− c 1− a 1− b a b c Ta chứng minh − ≤ 18c − Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1− c c ( )( ) ( ) ( 2c − 1) ≤ 5c − ≤ c − c 18c − ⇔ 5c − ≤ 21c2 − 3c − 18c3 ⇔ 3c − Do a, b, c ba cạnh tam giác a + b + c = nên ( ) ( ) 2c − = 2c − a + b + c = c − a + b < Do bất đẳng thức Vậy toán chứng minh xong a b c + + Tìm giá trị b c a Bài 161 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = lớn biểu thức: P= a+ b+1 b+ c+ c+ a+ + + a3 + b3 + b3 + c3 + c3 + a3 + Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường Đại học Vinh năm học 20152016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho giả thiết ta a+ b+ c = a b c + + ≥3 b c a Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức cho giả thiết ta ( ) a+ b+ c a b c a+ b+ c = + + ≥ ⇒ ab + bc + ca ≥ a + b + c b c a ab + bc + ca Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có (a Do ta )( ) ( ) + b +1 a+ b+1 ≥ a + b +1 2 ( a + b + 1) ( a ≥ 2 ) + b2 + a+ b+1 ≤ 3 a + b + a + b2 + http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 3 + 2 + 2 a + b + b + c + c + a2 + 1 1 + 2 + ≤1 2 a + b + b + c + c + a2 + Hoàn toàn tương tự ta thu P ≤ Ta chứng minh Thật vậy, bất đẳng thức viết lại thành a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + ≥2 a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + ≥ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 + a +b + b +c + c +a 2 2 ( 2 ) ) 2 a2 + b2 + c2 + Phép chứng minh hoàn tất ta ( ⇔ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 (a )( ) ) ( ) ≥ a2 + b2 + c2 + (b + c ) (c +a ) + (c +a ) (c +a ) ≥ a + b2 b2 + c2 + 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta (a Áp dụng tương tự ta (a )( ) ) )( ) 2 + b2 + c2 + + b2 b2 + c2 ≥ b2 + ac (b + b2 b2 + c2 + )( (c +a ) (c +a ) + c2 c2 + a2 + 2 2 ≥ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca Mà từ giả thiết ta ab + bc + ca ≥ Do ta (a )( ) + b2 b2 + c2 + (b )( ) (c +a ) (c +a ) ≥ a + c2 c2 + a2 + 2 2 + b2 + c2 + Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 162 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: ( a + bc) + ( b + ca) + ( c + ab) 2 ( )( )( ) ≥ a+ b b+ c c+ a Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( a + bc) + ( b + ca) ( ) ( ( a + bc + b + ca) ≥ ) + ( c + ab) Khi ta a + bc + b + ca 2 2 ( ) + c + ab ≥ Bài toán quy chứng minh ( a + b) ( c + 1) = ( a + b) ( c + 1) 2 ≥ Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( a + b) ( c + 1) 2 2 ( ) + c + ab ( a + b) ( c + 1) ( c + ab) ( )( )( ) = a + b c + c + ab http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( )( )( ) ( )( )( ) ⇔ ( c + 1) ( c + ab) ≥ ( b + c) ( c + a) ⇔ c + abc = bc + ca ⇔ c ( a − 1) ( b − 1) ≥ a + b c + c + ab ≥ a + b b + c c + a Theo ngun lí Dirrichlet ba số a, b, c ln tìm hai số phía với Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a b Khi bất đẳng thức cuối ln Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy Bài 163 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x3 − 2x2 + x ( ) x y+z + y3 − 2y2 + y ( y z+ x + ) z3 − 2z2 + z ( z x+y ) ≤ 3 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016 Lời giải x + y + z = Áp dụng giả thiết ta x3 − 2x2 + x ( ) x y+z ( x 1− x = ( ) x 1− x ) ( = ) x 1− x = x−x x Áp dụng tương tự ta x3 − 2x2 + x ( + ) x y+z y3 − 2y2 + y ( y z+ x ) = Ta cần chứng minh Từ x + y + z = ⇒ ( + z3 − 2z2 + z ( z x+y ) ( x+ y+ z− x x+x y+x z ) ( x+ y+ z− x x+x y+x z ≤ ) 3 x + y + z ≤ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ) ( )( x x+y y+z z ≥ ) ( x + y + z x x +y y +z z ≥ x+y+z Do ta x x + y y + z z ≥ ) Tư ta có ) ( x + y + z − x x + x y + x z ≤ 3− = 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài 164 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a2b2 + b2c2 + c2a2 ≤ a + b + c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 20152016 Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với ( ) ( a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ( ⇔ (a ) ( ) ( + c ) + 2( a + b + c) ≥ ( a ) ) ( +c ) ≥9 ⇔ a4 + b4 + c4 + a + b + c ≥ a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 + b4 + b2 2 ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) 4 Vậy ta cần chứng minh a + b + c + a + b + c ≥ Hay (a ) ( ) ( ) + a + a + b4 + b + b + c4 + c + c ≥ Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ba số ta có a4 + a + a ≥ 33 a4.a.a = 3a2 b4 + b + b ≥ 33 b4.b.b = 3b2 c4 + c + c ≥ 33 c4.c.c = 3c2 Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = Bài 165 Cho a, b, c số thực dương thả mãn abc = Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 + a + b + c + 2a 2b 2c + + ≥9 b2 + c2 a2 + c2 a2 + b2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thái Nguyên năm học 2015-2016 Lời giải ( Dễ dàng chứng minh a + b ≥ ab a + b 4 2 Áp dụng hoàn toàn tương tự ta ( ) a4 + b4 + c4 ≥ Bài toán quy chứng minh ) a2 + b2 = c a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + c a b a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 4a 4b 4c + + + a+ b+ c + 2 + 2 + ≥ 18 c a b b + c a + c a + b2 ( ) Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta a2 + b2 4c b2 + c2 4a c2 + a2 4b + ≥ 4; + ≥ 4; + ≥4 c a b a + b2 b2 + c2 c2 + a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 4a 4b 4c + + + 2+ 2+ ≥ 12 c a b b + c a + c a + b2 Phép chứng minh hoàn tất ta a + b + c ≥ 3, đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy toán chứng minh xong http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2 011 -2 012 Lời giải Ta viết lại biểu thức S thành + + 1 1 1 + +1 + +1 + +1 a b c a b c 1  1 1 ≤  + + ÷ ta có Áp dụng bất đẳng. .. b+ c+ c+ a+ a+ b+ 51 + 1+ + 1+ + 1? ?? +3 1+ a 1+ b 1+ c  1  72 a+ b+ c+  + + ÷≥  1+ a 1+ b 1+ c  ( ) Phép chứng minh hoàn tất ta 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có... = ab ⇒ x ≥ 2, ta Q ≥ ) x? ?1 + x+2 x +1 ( ) ( x − 2) ( x + 5) x ? ?1 Q− ≥ + − = 12 x + 2( x + 1) 12 12 ( x + 1) ( x + 2) Suy ≥0 5 Đẳng thức xẩy Vậy giá trị nhỏ Q 12 12 a = 1; b = 2;c = Cách 2: Nhận