Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5
Chương II MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) nêu định lí mà sau người ta gọi Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý phát biểu sau: “Nếu nhốt vào n lồng số thỏ mà số lượng lớn n ta tìm lồng mà có nhiều thỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức dạng tốn hay khó, thường có kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia Quốc tế Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức phương pháp chứng minh phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh phản chứng, dùng BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki, Trong viết muốn giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức thú vị ứng dụng nguyên lí Dirichlet Với phương pháp này, giúp chứng minh số toán bất đẳng thức cách gọn gàng độc đáo Từ ngun lí Dirichlet có mệnh đề có ý nghĩa quan trọng: Trong số thực a, b, c tìm hai số dấu Đây mệnh đề quan trọng, ta chọn “điểm rơi” (tức đẳng thức tốn) ta áp dụng mệnh đề để chứng minh bất đẳng thức Chẳng hạn đẳng thức xảy a b c k ta giả sử số a k ; b k dấu, (a k)(b k) �0 Chúng ta tìm hiểu số ví dụ sau để thấy ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet việc giải bất đẳng thức nào? Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b2 c2 �9 ab bc ca Phân tích lời giải Dễ dàng dự đốn đẳng thức xẩy a b c Theo đánh giá quen thuộc ta có ab bc ca �3 a b c Như ta cần chứng minh a2 b2 c2 �3 a b c Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Như ta cần đánh giá từ a b c làm xuất a2 , để ý ta thấy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c Phép chứng minh hoàn tất ta � a2 1 b2 c2 a2 b2 c2 c � b 2 c a2 b2 c2 � a2 b2 c2 � 1 b 2 2 2 Biến đổi tương đương ta thu � b c b c �0 � b 1 c 1 �0 Như ta cần b 1 c 1 �0, nhiên vai trị a, b, b2 c2 � b2 c2 � 3b2 3c2 �b2c2 2b2 2c2 2 2 2 2 2 c nên theo ngun lí Dirichlet ba số a 1; b 1; c tồn 2 hai số dấu ta hồn tồn giả sử hai số b 1; c Như tốn chứng minh xong Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức theo cách khác sau: Theo nguyên lí Dirichlet ba số ab 1; bc 1; ca tồn hai số khơng trái dấu, Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số ta ab 1; bc 1khi ta ab 1 bc 1 �0 � ab c �ab bc a b c b �2 ab c 1 �2 ab bc 2 2 Suy 2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a2b2c2 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 �9 ab bc ca 2 2 2 Ta có a b c b �2 ab bc a b c �3 ab bc ca 2 2 2 Lại thấy a2b2 �2ab nên a b b c c a �4 ab bc ca Và a2 c2 �2ac Từ bất đẳng thức ta a2b2c2 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 �9 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2abc �2 ab bc ca Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy a b c điều có nghĩa đẳng thức xẩy a 1; b 1; c 0, ta bất đẳng thức chứa đại lượng ab,abc, nên ta nghĩ đến tích c a b , nhiên ta chưa thể khẳng định tích có khơng âm hay khơng nên ta sử dụng ngun lí Dirichlet http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Theo nguyên lí Dirichlet ba số a 1; b 1; c tồn hai số dấu, khơng tính tổng qt ta giả sử hai a 1; b 1, ta có a 1 b 1 �0 � c a 1 b 1 �0 � abc ac bc c �0 Khi ta có Dễ thấy a b c 2 abc ac bc c �0 nên ta có a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca �2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2abc a b c abc ac bc c ab bc ca 2 2 Suy a b c 2abc �2 ab bc ca 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức với số thực thay a2 b2 c2 a2b2c2 �2 ab bc ca đổi chút: 2 2 2 2 2 Theo ngun lí Dirichlet c a b �0 � a b c c �b c c a Nên ta cần chứng minh 2 a2 b2 b2c2 c2a2 �2 ab bc ca � a b bc ca �0 Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a b c � Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 2abc � a b c Lời giải Sau nhân vế cho bất đẳng thức tương đương với a2 b2 c2 2abc �2 ab bc ca a b c Theo toán ta a b c 2abc �2 ab bc ca 2 Phép chứng minh hoàn tất ta 2 a2 b2 c2 �2 a b c � a b c �0 Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a (b2 2)(c2 2) �3 a b c abc Lời giải Bất đẳng thức tương đương với a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 2abc �9 ab bc ca Theo bất đẳng thức Cauchy 2a2b2 2b2c2 2c2a2 �4ab 4bc 4ca Và 3a2 3b2 3c2 �3ab 3bc 3ca http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Từ kết hợp với tốn ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 abc Chứng minh rằng: ab bc ca abc �2 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Cách 1: Theo ngun lí Dirichlet số a ; b ; c dấu Khơng tính tổng qt, giả sử a b �0 c a 1� b Mặt khác ta có abc bc ca c a2 b2 c2 abc �2ab c2 abc c2 �2ab abc � c �ab Suy Suy �ab bc ca abc �2 c bc ca bc ca c 1� b Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có c a abc bc ca c � ab bc ca abc �ab bc ca ac bc c � ab bc ca abc �ab c Ta chứng minh ab c �2 a2 b2 �4 Từ a2 b2 c2 abc ta a2 �4; b2 �4; ab � Mặt khác từ a2 b2 c2 abc suy c2 abc a2 b2 Xem đẳng thức là phương trình bậc hai theo biến c Khi ta D ab a2 b2 a2 b �0 Do phương trình có hai nghiệm c ab 4 a 4 b 2 Vì c �0 nên c ab c ab 4 a 4 b 2 4 a 4 b 2 Do ta ab ab 4 a 4 b 2 �2 � ab � ab � a2 b2 � ab 4 a 4 b ab � a2 �2 2 b2 � a b �0 Vậy bất đẳng thức phải chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc Chứng minh rằng: a b c �ab bc ca Lời giải Khơng tính tổng quát, giả sử hai số a b 1cùng không âm http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1� b Khi ta c a abc bc ca c Suy a b c abc �a b c ac bc c � a b c abc � a b c Mặt khác ta có ab bc ca abc c a b ab abc �c a b a b c a b 4 � a b c �4 a b Do ta a b c abc �4 nên ta có a b c abc �ab bc ca abc Hay a b c �ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy c � Nhân xét: Ta chứng minh theo cách sau Theo nguyên lí Dirichlet số a , b ,(c 1) dấu, không c a 1 � b1 tính tổng quát, giả sử a b �0 Khi c ac bc abc Do ta cần chứng minh a b �ab abc ab a b ab Từ giả thiết ab bc ca abc suy c Thay vào bất đẳng thức ta bất đẳng thức tương đương là: � ab � a b �ab� 1 �� a b a b ab �ab a b � a b �0 � a b ab � Bất đẳng thức hiển nhiên Phép chứng minh hoàn tất Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 �2 a b c a2 b2 c2 Lời giải 1 a b c �0 a2 b2 c2 Không tính tổng quát giả sử a b 1cùng không âm Bất đẳng thức viết lại P Khi suy a b �0 Ta có �1 � 1 1 P a b c � � a b c a b ab a b c c � � 2 �1 � �1 � � � 2c a2b2 a b c � � a2b2 2a 2b �a b � �a b � �1 � � � a b ab �0 �a b � Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word � � � �� � � � � �� � a 1� b 1� � b 1� c 1� � c 1�� a 1��3 � � � b c c a a � � � �� � � �� �� b � Lời giải Đặt x a 1 ; y b ; z c , bất đẳng thức cần chứng minh b c a viết lại thành x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 �3 Hay ta cần chứng minh xy yz zx �2 x y z Theo nguyên lí Dirichlet số x 2 , y 2 ,(z 2) dấu Khơng tính tổng qt, giả sử x 2 y 2 �0 , suy xy �2x 2y � 2 x y z �2z xy xyz abc Lại có x y z �2 x y z �2 xy z abc z xy �2 Suy xy � z xy �2 Từ hai bất đẳng thức ta x y z �2z xy �xy yz zx Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a a b2 b c2 c �1 Lời giải Theo ngun lí Dirichlet số a , b ,(c 1) dấu, không tính tổng quát giả sử b c �0 Khi ta b Do ta a b c2 c bc b c b2 c2 b c � a �b2 c2 b c � b c b c a b2 b c2 c 2 � � 1 a � b c b c 1� a2 a a2 4a � � a Nên ta cần chứng minh a a a2 4a �2 � a 2 3a �0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a2 b2 c2 a b c �2 ab bc ca Lời giải abc Theo ngun lí Dirichlet số a , b ,(c 1) dấu, 1)(b �1 không tính tổng quát giả sử a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c �33 abc Phép chứng minh hoàn tất ta ac bc c a2 b2 c2 �2 ab bc ca Thật ta có a2 b2 c2 a2 b2 c2 2abc 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b �2ab; c �2c Kết hợp với abc �ac bc c ta a2 b2 c2 �2ab 2c bc ca c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 11 Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh rằng: 2 � a b c ��a b c � � � 2� abc Lời giải Theo ngun lí Dirichlet số a , b , c dấu Không 1� b tính tổng quát, giả sử a ab a b Vì để hồn tất toán ta cần chứng minh c a b 2 2 � a b c ��a b c � � � 2� 2 � a b c �� a b c � � � 2� Hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 1 b 1 c 1 2 a b 2 � � a b 2 c c1 � a b 1 c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 12 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc �5 a b c Lời giải abc Theo nguyên lí Dirichlet số a , b , c dấu, 1� b khơng tính tổng qt giả sử a ac bc c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 2 2 Suy a b c abc �2 a b c ac bc c Phép chứng minh hoàn tất ta a2 b2 c2 ac bc c �5 a b c Thật vậy, bất đẳng tương đương với b c 2 c a 2 a b c �0 Bất đẳng thức ln Vậy tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy khi a b c Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta tổng qt hóa tốn trên: a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: m a2 b2 c2 abc 3m � 2m a b c Trong m số thực cho trước thỏa mãn m � 2 b) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2m 1 a b2 c2 2abc �2m ab bc ca Trong m số thực cho trước thỏa mãn m �1 c) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: abc a2 b2 c2 �a b c ab bc ca d) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2abc a4 b4 c4 13 �6 a b c Bài toán 13 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc �9 ab bc ca Lời giải 3abc Theo nguyên lí Dirichlet số a , b , c dấu, 1)(b �1 khơng tính tổng qt giả sử a 3ac 3bc 3c 3 3 3 Suy a b c 3abc �5 a b c 3ac 3bc 3c Phép chứng minh hoàn tất ta a3 b3 c3 3ac 3bc 3c �9 ab bc ca � a3 b3 c3 �9ab 6bc 6ca 3c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3c 33 c3.1.1 �c3 1; 6ca 63 c3a3.1 �2c3 2a3 6bc 63 b3.c3.1 �2b3 2c3 2; 9ab 93 a3.b3.1 �3a3 3b3 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a3 b3 c3 �9ab 6bc 6ca 3c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 14 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 9abc �4 ab bc ca Lời giải � a Theo ngun lí Dirichlet số � � � �� � a � � b khơng tính tổng qt giả sử � � � � 3�� � Suy 9abc �1 3ac 3bc c �� �� � , b �� , c �cùng dấu, �� 3�� 3�� 3� 9abc 3ac 3bc c Phép chứng minh hoàn tất ta 3ac 3bc c �4 ab bc ca Thật bất đẳng thức tương đương với �cc۳ a b 4ab c c1 c � c �4ab � a b 4ab �4ab � a b �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức thức xẩy ab c 1 a b ; c hoán vị Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh tốn: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a b c k Chứng minh rằng: 9abc k �4k ab bc ca Bài toán 15 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 �1 a b c Lời giải Theo ngun lí Dirichlet số a , b , c dấu, khơng tính tổng quát giả sử a b �0 � a b �1 ab c c Do ta c a b c a b ab c ab c � c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 a b 1 � a� � b� ab � � ab � 1 � � b� � a� b a c ab c 1 ab a b ab a b � Do ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 a 1 b 1 c a b 1 c c c 1 c c c � 1 2 c c c1 c1 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xẩy a b c1 Bài toán 16 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 �1 a b c Lời giải Trước hết ta chứng minh a 1 � ab b1 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với ab 1 � a 1 b 1 � � 2 �� a b � ab a b ab � � Như bất đẳng thức chứng minh Mà ta có 1 c c � nên ta có 2 1 c a1 b1 ab c Phép chứng minh hoàn tất ta c 1 �1 1 c c a b c Theo ngun lí Dirichlet số a , b , c dấu, khơng tính tổng quát giả sử a b �0 � a b �1 ab Khi ta c c c c 1 c c 1 c 1 � 1 1 c c a b c 1 c c c c c c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 17 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a a 1 b b 1 c c 1 �3 Lời giải Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1 1 � 1 1 a 1 b 1 c 1 a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Dễ dàng dự đoán m Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 3a a 2a3 � 2 Thật vậy 3a a 2a3 � � a a �0 2 Vậy bất đẳng thức Hoàn toàn tương tự ta 3b b 3c c 3d d 2b3 � ; 2c3 � ; 2d3 � 2 2 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a3 b3 c3 d3 �2 a b c d Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy va a b c d1 Bài toán 12 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a3 b3 c3 � a2 3ab b2 b2 3bc c2 c2 3ca a2 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức sau a3 �ma nb a2 3ab b2 Để ý đến đẳng thức xẩy a b ta tìm m Khi ta chứng minh ;n 5 a3 2a b � a2 3ab b2 Thật vậy, ta có biển đổi sau a3 3a2b ab2 3a2b ab2 a3 3a2b ab2 a a2 3ab b2 a2 3ab b2 a2 3ab b2 Theo bất đẳng thức a2 b2 �2ab , ta có ab 3a b a3 3a2b ab2 2a b a � a 2 2 5ab a 3ab b a 3ab b Áp dụng tương tự ta b3 2b c c3 2c a � ; � 2 2 5 b 3bc c c 3ca a Từ bất đẳng thức ta suy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a3 b3 c3 abc � 2 2 5 a 3ab b b 3bc c c 3ca a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 13 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a3 b3 b3 c3 c3 a3 �2 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Lời giải Ta có biến đổi biểu thức sau a b a2 ab b2 a3 b3 a2 ab b2 a2 ab b2 Dễ dàng chứng minh a2 ab b2 � a2 ab b2 Thật vật, bất đẳng thức tương đương với a2 ab b2 �a2 ab b2 � a2 2ab b2 �0 � a b �0 Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ta a3 b3 a b 2 a ab b Áp dụng tương tự kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta a3 b3 b3 c3 c3 a3 � a b c �23 abc 2 2 a ab b b bc c c ca a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Kĩ thuật đổi biến và phương pháp hệ số bất định Bây bước sang khoảng không gian với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa kết hợp với phương pháp hệ số bất định Bài toán Cho a, b, c số thực không dương Chứng minh rằng: a b c � b c c a a b Lời giải Chia tử mẫu phân thức cho a b c Khi ta đặt x 3a 3b 3c x y z Bất ;y ;z a b c a b c a b c đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z � y z z x x y Bài toán tương đương với toán: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b c � b c c a a b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Cách đổi biến ta gọi chuẩn hóa Bài tốn qui việc chứng minh a b c � 3 a 3 b 3 c Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức 2 a a1 a �۳m a 3 a Dễ dàng dự đoán m m a Ta chứng minh bất đẳng thức với m ln 4 a a1 a 3a �۳ 3 a Điều hiển nhiên b 3b cb 3c � ; � 3 b 3 c a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta � 3 a 3 b 3 c Hoàn toàn tương tự ta Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh b c a a c b a b c �3 a2 b2 c2 2 2 2a2 b c 2b2 a c 2c2 b a a b c 2 Lời giải Tương tự tốn ta chọn a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2a a2 2a 2 2b b2 2b 2c c2 2c �a2 b2 c2 Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau 2a 2 a 2a Ta lại có 2a 2 a2 �a2 m a a 1 a 3 a2 4a 6 a 2a a2 2a Từ dễ dàng dự đoán với m 6 bất đẳng thức phụ Thật 2a a2 2a �a۳ a a 1 a a a2 2a Điều hiển nhiên a �(0,3) Hoàn toàn tương tự ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2b �b2 b ; b 2b 2c 2 c 2c �c2 c Cộng theo vế bất đẳng thức ta 2a 2 a 2a 2b 2 b 2b 2c 2 c 2c �a2 b2 c2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c b c a2 b c a c a b2 c a b � a b c2 Lời giải Tương tự tốn ta chọn a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a 3 a 6a 2a2 b 3 b 6b 2b2 c 3 c � 6c 2c2 Tương tự ta dễ dàng tìm bất đẳng thức phụ sau: 21 9a � 25 6a 2a2 Tưng tự ta b 3 b a 1 18a 9 a 3 a 25 6a 2a2 c 3 c 21 9b 21 9c � ; � 2 25 25 6b 2b 6c 2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta a 3 a 6a 2a2 b 3 b 6b 2b2 c 3 c � 6c 2c2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c b c a c ab � a b c Lời giải Không tính tổng quát, giả sử a b c Bài toán cần chứng minh qui dạng sau a a b b c c � Dễ dàng dự đoán bất đẳng thức phụ sau a a 2a �۳ a 1 2a 4 a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Điều hiển nhiên a �[0; 3) Hoàn toàn tương tự ta b b 2b c 2c � ; � 4 3 c Cộng theo vế bất đẳng thức ta a a b b c c � Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài toán Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng b c 3a a c 3b a b 3c �1 2 2 2a2 b c 2b2 a c 2c2 b a 2 Lời giải Khơng tính tổng qt, giả sử a b c Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4a 4b 4c �1 2 2 2a2 a 2b2 b 2c2 c 2 Sử dụng bất đẳng thức phụ sau 4a �۳8a 2a2 a a 1 39 8a 2 a2 2a Điều hiển nhiên �a �3 � 39 8a �39 24 15 Hoàn toàn tương tự ta 4b �8b ; 4c �8c 2 6 2b2 b 2c2 c 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 4a 4b 4c �1 2 2 2a2 a 2b2 b 2c2 c 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Sau một quá trình tìm hiểu và phân tích cụ thể các bài toán, chắc hẳn rằng các bạn cũng đã phần nào cảm nhận được nét đẹp của phương pháp hệ số bất định dù rằng thực là một kĩ thuật cực kì đơn giản và dễ hiểu Chúng không xem phương pháp hệ số bất định là một phương pháp chính thống mà đơn giản nó là một kĩ thuật cần biết và cần nắm vững bạn học bất đẳng thức Nhiều người quan niệm rằng phương pháp hệ số bất định không có ý nghĩa gì theo bản thân chúng nó nên được khái quát để sử dụng một số trường hợp Phương pháp hệ số bất định là một bước đệm quan trọng và mang nhiều ý nghĩa http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word đường tìm lời giải cho bài toán Một kĩ thuật hay không nhất thiết nó là nó giải được tất cả các dạng toán mà là nó phải đưa ta đến những ý tưởng, đường sáng sủa, dễ nghĩ, dễ nhận thấy bằng mặt trực quan Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR Trong chương trình mơn Tốn bậc phổ thơng tập chứng minh bất đẳng thức loại tập khó Cái khó loại tập chỗ, có cách tiếp cận riêng, cách giải riêng độc đáo Chứa đựng chúng kiến thức sâu rộng kĩ phức tạp, địi hỏi cần phải có tư linh hoạt, kĩ thục tới độ “linh cảm” Mặc dù biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết, phương pháp quy nạp, phương pháp đánh giá đại diện, phương pháp phản chứng ; có nhiều kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức phong phú Trong nội dung bất đẳng thức trường phổ thơng lại đóng vai trò quan trọng việc rèn luyện tư duy, khả linh hoạt óc sáng tạo; đồng thời giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt khó Hơn nữa, bất đẳng thức cách chứng minh bất đẳng thức có vẻ đẹp lộng lẫy sức hấp dẫn kì lạ người nghiên cứu chúng nên việc nghiên cứu chúng cịn có tác dụng kích thích say mê học tập mơn Tốn mơn học khác Bên cạnh đó, sau giải xong tập bất đẳng thức, câu hỏi thường đặt với là: Bất đẳng thức từ đâu mà có? Bất đẳng thức ứng dụng để chứng minh toán nào? Để trả lời câu hỏi thật không đơn giản chút Trước hết ta bắt đầu với toán: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c a b c b c a �abc Bất đẳng thức bất đẳng thức đối xứng ba biến hệ bất đẳng thức Schur Có ba cách giải hiệu sau Khơng tính tổng quát, ta giả sử a số lớn ba số a, b, c Cách Khi a b c �0; a c b �0 Nếu b c a bất đẳng thức cho Do ta xét ba đại lượng a b c;a c b;b c a dương Theo bất đẳng thức Cauchy �a b c a b c � a b c a b c �� � a � � �a b c a b c � a b c b c a �� � c � � �b c a a b c � b c a a b c �� � b � � Do hai vế bất đẳng thức dương, nên nhân vế với vế ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c a b c b c a �abc �a b c a b c b c a � � abc � � Hay ta Đẳng thức xảy a b c Cách Ta có bất đẳng thức hiển nhiên a2 b c �a � hay a b c a c b �a2 Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức b c a a b c �b2; c a b b c a �c2 Do hai vế bất đẳng thức dương, nên nhân vế với vế ta được: a b c a b c b c a �abc �a b c a b c b c a � � abc � � Hay ta Đẳng thức xảy a b c Cách Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta a3 b3 c3 3abc �� a2 b c b2 c a c2 a b Khơng tính tổng qt ta giả sử a số lớn ba số a, b, c Khi ta có a b a b c c a c b c �0 � a b c 3abc �a b c b c a c a b 3 2 Như bất đẳng thức chứng minh Khá bất ngờ với cách giải thứ ba biến đổi tương đương bất đẳng thức ta thu hệ khác bất đẳng thức Schur, thông thường với toán ta thường sử dụng cách thứ cách thứ hai Một vấn đề đặt từ bất đẳng thức a b c a b c b c a �abc Ta ứng dụng để chứng minh lớp bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Schur hệ a) Bất đẳng thức Schur: Cho a, b, c số thực khơng âm Khi ta có a a b a c b b c b a c c a c b �0 b) Hệ quả: Cho a, b, c số thực khơng âm Khi ta có 3 2 + a b c 3abc �a b c b c a c a b + abc � a b c b c a c a b Một số toán ứng dụng hệ bất đẳng thức Schur Với hai hệ ta ứng dụng để chứng minh lớp bất đẳng thức đối xứng bậc ba, qua ta thấy ứng dụng rộng lớn bất đẳng thức Schur Bài toán Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a3 b3 c3 6abc �� � a b c ab bc ca Lời giải Để ý đến đẳng thức a b c ab bc ca a b c b c a c a b 3abc 2 Khi bất đẳng thức viết lại thành a3 b3 c3 3abc �� � a2 b c b2 c a c2 a b Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy cỉ a b c Bài toán Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a b c 9abc �� a b c ab bc ca Lời giải Để ý đến đẳng thức a b c 9abc 3 a b b c c a a3 b3 c3 a b b c c a Do ta a b c 9abc a3 b3 c3 Theo hệ bất đẳng thức Schur ta a3 b3 c3 9abc a b b c c a �a2 b c b2 c a c2 a b 6abc a b b c c a Để ý đến đẳng thức a b b c c a abc a b c ab bc ca a2 b c b2 c a c2 a b 3abc a b c ab bc ca Do ta a2 b c b2 c a c2 a b 6abc a b b c c a 3 Suy a b c 9abc 3 a b b c c a �4 a b c ab bc ca 4 a b c ab bc ca a b c 9abc �� a b c ab bc ca Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 9abc �2 ab bc ca a b c Lời giải Vì a, b, c số dương a2 b2 c2 Tương đương với Hay a b c a b c 9abc �2 ab bc ca a b c 9abc �4 ab bc ca a b c 9abc �� a b c ab bc ca http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bất đẳng thức cuối theo toán Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c 4abc �2 b c c a a b a b b c c a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a b a c b a b b c c c a b c 4abc �2 a b b c a c Hay tương đương với a3 b3 c3 3abc �a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 � a3 b3 c3 3abc �a2 b c b2 c a c2 a b Bất đẳng thức cuối hệ bất đẳng thức Schur Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: ab bc ca �� 9abc Lời giải Bất đẳng thức có vế chưa đồng bậc, ý đến giả thiết a b c ta đồng bậc hóa bất đẳng thức thành a b c ab bc ca �� 9abc a b c Đây bất đẳng thức toán Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: ab bc ca 2abc � 27 Lời giải Dễ dàng chứng minh a b c b c a c a b �abc Hay 2a 2b 2c �abc , khai triển ta � 4 ab bc ca �1 9abc a b c ab bc ca 8abc �abc Từ suy 9abc ab bc ca � �a b c � Mặt khác, từ a b c bất đẳng thức Cauchy ta abc �� � � � 27 9abc 2abc � 27 Do ta có ab bc ca 2abc � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Một lớp bất đẳng thức tương tự ab bc ca �� 9abc a3 b3 c3 3abc�a2 b2 c2 ab bc ca abc � 27 3 a b c � 9abc �1 13 a2 b2 c2 4abc � 27 ab bc ca �9 � abc Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: �1 1 � a2 b2 c2 2abc � ��2 ab bc ca �a b b c c a � Lời giải Áp dụng bất đẳng tức Cauchy dạng 1 � ta x y z x y z �1 1 � 9abc 2 a2 b2 c2 2abc � ��a b c a b c �a b b c c a � 9abc Ta cần a2 b2 c2 �2 ab bc ca ,bất đẳng thức tương a b c 3 2 đương với a b c 3abc �a b c b c a c a b Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur.Như bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c � b c b c c a a b c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c � a b b c c a a b c 2 c a b a b c2 b c2 a2 2 � a b c �3 a2 b2 c2 a b b c c a 2 � � � � � c a b 2ab a b c 2bc b c a 2ca� � � � � � � � � � � ��a2 b2 c2 � � a b b c c a � 1 � � ab bc ca �a2 b2 c2 abc � � �a b b c c a � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Theo bất đẳng thức dạng 1 � ta x y z x yz �1 1 � 9abc 2 a2 b2 c2 2abc � ��a b c a b c �a b b c c a � Ta cần a2 b2 c2 9abc �2 ab bc ca , bất đẳng thức tương a b c 3 2 đương với a b c 3abc �a b c b c a c a b Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur Bài toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xẩy a b c Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a3 b3 c3 �2 b3 c3 c3 a3 a3 b3 Lời giải 3 Đặt x a ;y b ;z c � xyz 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x1 y1 z1 �2 y z1 z x1 x y1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x1 y1 z1 y z1 z x 1 x y1 x 1 y 1 z 1 x 1 y z 1 y 1 z x 1 z 1 x y 1 x y z 3 � 2 xy yz zx 3 x y z x y z 3 Ta cần chứng minh �2 , bất đẳng thức tương 2 xy yz zx 3 x y z 2 2 đương với x2 y2 z2 xy yz zx x y z �2 xy yz zx x2 y2 z2 Hay �4 xy yz zx x y z Từ bất đẳng thức quen thuộc x y z y z x z x y �xyz Khai triển biến đổi tương đương ta x y z 9xyz Do ta 4 xy yz zx x y z � x yz x yz 9xyz �4 x y x xy yz zx Hay xy yz zx x2 y2 z2 � x y z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word �3 hay x y z �3 Bất đẳng thức cuối x yz Cuối cúng ta cần theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Bài toán 10 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c a b c b c a c a b �27a b c 2 Lời giải Xét trường hợp a b c b c a c a b �0 , dễ dàng chứng minh a b c �0; b c a �0; c a b �0 Xét trường hợp a b c b c a c a b , bất đẳng thức hiển nhiên Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c b c a c a b �9 a b c 27abc a b c 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 27abc a b c b c a c a b Hay 27abc a b c b c a c a b �� ab bc ca a � �� a b c a b c a b c a b c � � � Khi ta 27abc a b c b c a c a b a b c b2 c2 � � �� ab bc ca a2 b2 c2 � a b c � � 2 ab bc ca a b2 c2 ��9abc Như ta cần chứng minh a b c � � � 9abc Hay a2 b2 c2 �2 ab bc ca a b c Khai triển rút gọn ta a3 b3 c3 3abc �a2 b c b2 c a c2 a b ۳ abc a b c b c a c a c Bất đẳng thức cuối với a, b, c Bất đẳng thức chứng minh Bài toán 11 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: 1 ab 1 ab 2 1 bc 1 bc 2 1 ca 1 ca 2 �12 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 ab 1 ab 2 1 bc 1 bc 2 1 ca 1 ca 2 �33 1 ab bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 2 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 ab 1 bc 1 ca �64 hay ta cần chứng Như ta cần chứng minh 1 ab bc ca minh bất đẳng thức ab bc ca �8 ab bc ca 2 2 2 Đặt x ab;y bc;z ca , x, y,z x y z Bất đẳng thức cần đẳng thức sau 9xyz �7 xy yz zx chứng minh trở thành x y z �8 x y z , tương đương với bất 9xyz �2 xy yz zx x y z Ta dễ dàng chứng minh x2 y2 z2 Mà x y z nên ta suy 9xyz �4 xy yz zx Vì x y z nên xy yz zx �1, xy yz zx �7 xy yz zx 9xyz �7 xy yz zx Điều dẫn tới Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Bài toán 12 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b2 c2 �3 a b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b2c2 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 �3 a b c ab bc ca 2 2 2 2 2 2 2 Hay a b c a b b c c a a b c �6 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta a2b2c2 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 a2b2c2 �a2b2 b2c2 c2a2 � a2 b2 c2 � � 2 �2abc ab bc ca a b c Phép chứng minh hoàn tất ta 2abc ab bc ca a2 b2 c2 �6 ab bc ca � a b c 2abc �2 ab bc ca 2 Dễ dàng chứng minh a2 b2 c2 9abc �2 ab bc ca a b c 9abc � 2abc a b c �9abc a b c Ta cần 2abc � Đánh giá cuối ln theo bất đẳng tức Cauchy 2abc abc abc �33 a2b2c2 ; a b c �33 abc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 13 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc �5 a b c Lời giải a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b c � 9 Bài toán quy chứng minh a2 b2 c2 abc � �a b c 9� � 6� � � a b2 c2 abc � ab bc ca Hay Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2abc 33 a2b2c2 9abc 9abc abc � � 2 2.33 abc a b c Do phép chứng minh hồn tất ta 9abc a b2 c2 � ab bc ca a b c 3.9abc �10 ab bc ca a b c 2 Theo đánh giá quen thuộc a b c �4 ab bc ca nên ta a2 b2 c2 Hay a2 b2 c2 Ta cần 3.9abc 3.9abc �3 a2 b2 c2 ab bc ca a b c a b c 3.9abc ab bc ca �10 ab bc ca a b c 9abc � a2 b2 c2 �2 ab bc ca a b c a2 b2 c2 Đánh giá cuối chứng minh Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 14 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: �a b c � 14abc �4 � � b c c a a b a b b c c a � � Lời giải Đặt x a b c , ta ;y ;z b c c a a b 1 � xy yz zx 2xyz x 1 y1 z1 Dễ dàng chứng minh x y z � Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x y z 14xyz �4 Dễ ta chứng minh x y z 9xyz �4 xy yz zx x yz 9xyz x yz � x y z 14xyz �14xyz xy yz zx 9xyz �6xyz , ta x yz Từ x y z � suy 14xyz xy yz zx x y z Do ta 9xyz �4 xy yz zx 8xyz x y z 14xyz �4 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài toán 15 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 9bc b c b 9ca c a c 9ab a b � Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a 9bc b c b 9ca c a c 9ab a b a b c � a b c 27abc 4a b c 4b c a 2 4c a b Phép chứng minh hoàn tất ta Hay �4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc a b c �1 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Để ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành a b c �4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Biến đổi tương đương ta abc � a b c b c a c a b Hay a3 b3 c3 3abc �ab a b bc b c ca c a Bất đẳng thức bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a b ; c hoán vị http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... Lời giải 3 Đặt x a ;y b ;z c � xyz 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x? ?1 y? ?1 z? ?1 �2 y z? ?1 z x? ?1 x y? ?1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x? ?1 y? ?1 z? ?1 ... đẳng thức sau �2 a a ? ?1 Thật �2۳ a a ? ?1 a a? ?1 a2 Hoàn toàn tương tự ta 2 �2 b; �2 c; �2 d b ? ?1 c ? ?1 d ? ?1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1 �2 a ? ?1 b ? ?1 c ? ?1 d ? ?1 Vậy bất. .. bổ đề chứng minh Trở lại tốn bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với 1 2 �3 2 1? ?? a 1? ?? b 1? ?? b a b? ?1 b? ?1 Mà theo bổ đề ta có 1 2 2 1? ?? a 1? ?? b 1? ?? b a b? ?1 b1