Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5
Chương III TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương gồm �Lựa chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức hay khó, với q trình phân tích hướng tiếp cận tốn lời giải độc đáo �Tuyển chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức từ đề thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp THCS, THPT số bất đẳng thức từ đề thi vào lớp 10 chuyên toán số năm trở lại �Giới thiệu tập tổng hợp để em học sinh tự rèn luyện Chủ đề 11 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số tốn bất đẳng thức hay khó, với q trình phân tích để đến hình thành lời giải cho tốn bất đẳng thức Từ tốn ta thấy q trình phân tích đặc điểm giả thiết toán bất đẳng thức cần chứng minh, từ có nhận định, định hướng để tìm tịi lời giải cách trình bày lời giải cho toán bất đẳng thức Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 � 2a 2b 2c a b c b c a c a b Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Có thể nói bất đẳng thức hay nhiên khơng thực khó Quan sát bất đẳng thức ta có cách tiếp cận toán sau Cách 1: Từ chiều bất đẳng thức, ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để 1 bên vế phải lại chứa nên ta sử dụng a a bc bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cần triệt tiêu đại lượng Chú ý b c ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau bc b c bc b c �2 � 4bc a a b c a b c 4bc Thực tương tự ta có ca c a ab ab � ; � 4ca b c2 a b 4ab c b2 c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab b c c a a b 1 � 4bc 4ca 4ab a b c a b c b c a c a b Để ý b c c a a b �1 1 � � �, lúc ta thu 4bc 4ca 4ab �a b c � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word bc ca ab 1 1 �1 1� � � � a b c �a b c � a b c b c a c a b bc ca ab 1 � 2a 2b 2c a b c b c a c a b Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Ý tưởng thứ hai áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ab bc ca bc ca ab � a2 b c b2 c a c2 a b abc � a b c b c a c a b � � � Bất đẳng thức chứng minh ta ab bc ca 1 � abc � a b c b c a c a b � 2a 2b 2c � � Biến đổi vế trái ta ab bc ca ab bc ca abc � a b c b c a c a b � 2abc ab bc ca � � 2 1 2a 2b 2c Điều có nghĩa bất đẳng thức chứng minh Cách 3: Ý tưởng sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh toán Chú ý đến phép biến đổi ab bc ca ab bc ca ab bc ca �1 1 � � � � �a b c � a2 b c b c a c a b đẳng thức cần chứng sau Biến đổi vế trái ta lại bc ab bc ca , ta thu bất a b c a a2 b c �1 1� ab bc ca Đến lúc ta đưa � � �a b c � 2abc toán cần chứng minh thành 1 � 2abc a b c b c a c a b Đến ta biến đổi bất đẳng thức cách nhân hai vế với tích abc ta bc ca ab � ab ca bc ab ca bc Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Neibitz Điều đồng nghĩa với việc bất đẳng thức chứng minh Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng bc thức ta nhận thấy a b c �1 1�, bất đẳng thức cần chứng minh a2 � � �b c � viết lại thành 1 1 �1 1 � � � � �1 1� �1 � �1 � a b c � a2 � � b2 � � c2 � � � �b c � �c a � �a b � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đến ta đặt x 1 ; y ; z Khi bất đẳng thức trở thành a b c x y2 z2 x yz � y z z x x y Bất đẳng thức cuối làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức x y z x y z � y z z x x y 2 x y z 2 2 xyz Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c �1 b 2c c 2a a 2b Phân tích lời giải Cũng tốn ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Với bất đẳng thức ta có số ý tưởng tiếp cận tốn sau Cách 1: Ý tưởng đánh giá bất đẳng thức theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Khi ta a b c a b c a2 b2 c2 � b 2c c 2a a 2b ab 2ca bc 2ab ca 2bc ab bc ca Bài tốn hồn tất ta giá a b c a b c ab bc ca �1, đánh �3 ab bc ca Đây bất đẳng thức quen thuộc Như bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến việc đổi biến làm đơn giản mẫu phân số Cho nên tự nhiên ta thực phép đặt x b 2c; y c 2a; z a 2b , suy x, y,z Thực biểu diễn biến cũ theo biến ta a 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z ;b ; c 9 Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z �1 9x 9y 9z �y z x � �z x y � � � � � �1 �x y z � �x y z � Hay Dễ dàng nhận y z x z x y �3; �3 theo bất đẳng thức Cauchy Do x y z x y z ta �y z x � �z x y � � � � � � �x y z � �x y z � 3 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Cách 3: Bây ta thử đánh giá bất đẳng thức theo hướng đánh giá mẫu các phân thức xem sau Quan sát ta nhận thấy b 2c b 2a a b c , lại theo bất đẳng thức Cauchy ta thấy b 2c b 2a tự nhiên ta thực phép đánh giá sau 2a 2b 2c � a b c a b 2a a b 2a a � b 2c b 2c b 2a a b c Thực tương tự ta b c 2b c a 2c b c � ; � 2 c 2a a 2b a b c a b c Lúc ta thu bất đẳng thức a b 2a b c 2b c a 2c a b c � b 2c c 2a a 2b a b c Để ý a b c � a a b 2a b c 2b c a 2c b2 c2 ab bc ca a b c 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b c �1 1 b a 1 c b 1 a c Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c dụng giả thiết viết lại bất đẳng thức cần Trước hết ta áp chứng minh thành a b c �1 Đây bất đẳng thức 2, ta c 2b a 2c b 2a chứng minh bất đẳng thức theo cách Ngồi ta cịn có thêm giả thiết a b c 1, ta thử phân tích xem cịn có thêm ý tưởng khác không? Cách 1: Để ý a b c ta có a b c a làm xuất đại lượng c 2b đổi sau a b c Khi ta a c 2b ; a c 2b b a 2c Khi ta cần biến đổi a b c ; b a 2c c b 2a Với nhận định ta biến b a 2c � a b a b c � a c 2b b a 2c c 2b a 2c � � c b 2a c b 2a � c b 2a � b 2a � � c Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word � a � b c a c 2b b a 2c c b 2a � � c 2b a 2c b 2a � � � � � a b c �� �� a c 2b b a 2c c b 2a � �� � c 2b a 2c b 2a � � a b c a b c � c 2b a 2c b 2a ab bc ca Như lúc ta Rõ ràng đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Điều đồng nghĩa với toán chứng minh Cách 2: Cũng từ giả thiết a b c ta b a 0, suy a 1 b a a� 1 a b � � � a Dễ thấy a b �1, ta có � a a b � � 1 b a 1 b a Ta thực tương tự b c �b b c ; �c b a 1 c b 1 a b Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c �a a b b b c c c a 1 b a 1 c b 1 a c Bài tốn hồn tất ta a a b b b c c c a �1 Hay a b c a2 b2 c2 ab bc ca �1 Chú ý đến đánh giá a2 b2 c2 �ab bc ca ta thấy đánh giá cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 b2 c2 �a b c b c a c a b a b c Phân tích lời giải Dễ dàng dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có b c a 0; c a b 0; a b a Chú ý đến hình thức phát biểu tốn ta có số ý tưởng chứng minh sau Cách 1: Cách phát biểu vế trái bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có kết a b c a2 b2 c2 � a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c Đây điều ta cần phải chứng minh Cách 2: Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi ta a2 b2 c2 b c a �2a; c a b �2b; a b c �2c b c a c a b a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a2 b2 c2 a b c �2 a b c b c a c a b a b c a2 b2 c2 �a b c b c a c a b a b c Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 3: Trước hết ta chứng minh a2 �3a b c b c a Thật vậy, với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên bất đẳng thức tương đương với a2 � b c a � 3a b c � � � b c ۳ a2 �3a 2�4a b c b c � � � 2a � Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức chứng minh Áp dụng tương tự ta b2 c2 �3b c a ; �3c a b c a b a b c Do ta a2 b2 c2 �3 a b c a b c a b c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 � a b c b c a c a b Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có số ý tưởng tiếp toán sau Cách 1: Ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ở ta phân tích xem nên sử dụng cho số Đầu tiên ta ý đến đại lượng bên vế trái nên tự a3 nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho ba số, ta cần phải làm triệt tiêu b c � Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá 2a a b c b c Áp dụng tương tự ta có c a ab � ; � 2b c3 a b 2c b3 c a Lúc cộng theo vế bất đẳng thức 1 a b c 3 3 � a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2a 2b 2c Hay 1 1 1 � a b c a3 b c b3 c a c3 a b Để ý tiếp ta lại thấy 1 1 �3.3 3 a b c abc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 � a b c b c a c a b Do ta Như toán chứng minh Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta thực không? Ta ý đến đại lượng bên vế trái, muốn đánh giá a3 b c 1 ta cần khử ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta a b c a ta a b c Khi a b c áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a b c a b c 1 � � 3 4 a a b c a b c Áp dụng tương tự ta b c a c a b 1 1 � ; � b c3 a b c b3 c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 ab bc ca 1 � a b c a b c b c a c a b Để ý đến giả thiết abc ta 1 1 �1 1 � � � � �a b c � a3 b c b3 c a c3 a b Đến ta thực tương tự Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 1 � a b c b c a c a b abc abc abc 1 a2 b2 c2 �3 Hay 1 1 1 b c c a a b 1 Đến để đơn giản hóa ta đặt x ; y ; z , suy xyz 1và bất a b c đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x2 y2 z2 � y z z x x y Đến ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức Hướng 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x y z x y z � y z z x x y 2 x y z 2 2 x y z 33 xyz � 2 Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 yz x2 y z �2 � x yz y z y2 z x y2 z x �2 � y z x z x z2 x y z2 x y �2 � z xy xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 x y z �x y z y z z x x y Hay x2 y2 z2 x y z 33 xyz � � 1 y z z x x y 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a3 b3 c3 � a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Phân tích lời giải Quan sát cách phát biểu tốn ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a3 b3 c3 a5 b5 c5 � a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Như ta cần Hay a3 b3 c3 a3 b3 c3 � a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3 2 2 2 a b c �a b ab b c bc c a ca2 3 3 3 Dễ thấy a b �ab a b ; b c �bc b c ; c a �ca c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a3 b3 c3 �a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng a5 a3 bên vế trái đại lương bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng a2 ab b2 Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy a b c cần triệt a a2 ab b2 a 2 tiêu a ab b nên ta chọn hai số Khi ta ; a2 ab b2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a a2 ab b2 a a2 ab b2 a5 a5 2a3 �2 � 9 a2 ab b2 a ab b2 Áp dụng tương tự ta có b b2 bc c2 c c2 ca a2 b5 2b3 c5 2c3 � ; � c2 ca a2 b2 bc c2 5 a b c Để đơn giản hóa ta đặt A 2 a ab b b bc c c ca a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta A a a2 ab b2 b b bc c2 c c ca a �2 a 2 b3 c3 9 2 2 2 a b c a b ab b c bc c a ca A� Hay 3 Phép chứng minh hoàn tất ta a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 � a b c 3 �a b ab2 b2c bc2 c2a ca2 �a b3 c3 Đến ta thực tương tự cách Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 �30 a2 b2 c2 ab bc ca Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy biến nằm mẫu nên tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức với ý tưởng đánh giá bất đẳng thức Cauchy Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có a2 b2 c2 ab bc ca nên để tạo đại lượng ab bc ca ta có đánh giá quen thuộc 1 � ab bc ca ab bc ca Do ta có bất đẳng thức 1 1 � 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca Như ta cần phải chứng minh �30 2 a b c ab bc ca Lại ý đến đánh giá tương tự ta cần cộng mẫu cho viết thành a b c điều có nghĩa ta cần đến ab bc ca Đến ta hai hướng là: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 2 , Tuy � 2 a2 b2 c2 ab bc ca a b c - Thứ đánh giá nhiên đánh giá không xẩy dấu đẳng thức - Thứ hai đánh giá 1 � a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca a b c Bất đẳng thức chứng minh ta a b c Tuy nhiên, dễ thấy Do ta �21 ab bc ca �ab bc ca � ab bc ca � �21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1 1 16 � a2 b2 c2 3ab 3bc 3ca a2 b2 c2 ab bc ca 16 � 12 2 a b c a b c Bất đẳng thức chứng minh ta �1 1� ��18 � �ab bc ca � Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta �1 1� 6 �� � 18 � �ab bc ca � ab bc ca a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 3: Theo đánh giá quen thuộc ta có 1 � ab bc ca ab bc ca Do ta có bất đẳng thức 1 1 � 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca Áp dụng tiếp đánh giá ta � � 1 2 �2 �a b c 2ab 2bc 2ca �9 2 �a b c ab bc ca ab bc ca � Hay �9 2 a b c ab bc ca �21 ab bc ca Mặt khác ta lại có Cộng theo vế bất đẳng thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng ta nhận thấy bất đẳng thức có có bậc cao đại lượng lại có lũy thừa bậc cao Do ta cần đánh giá để đưa tổng lũy thừa lũy thừa để khử Trước hết ta biến đổi bất đẳng thức thành 4 4 � � � � � 1� � � � � � � � �3� 1 � � � a � � b � � c� � abc � Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 4 4 � � � � � 1� � �� �� 1� � � � � � �33 � �� �� 1 � � � a � � b � � c� � a �� b �� c � Ta quy toán chứng minh 4 � �� �� 1� � � �� �� � �� 1 � � � a �� b �� c � � abc � Hay � �� �� 1� � � �� 1 �� ��� 1 � � � a �� b �� c � � abc � 3 � � � � � � Để ý abc �3 abc nên � 1 � 1 �� 1 � � � abc � � 33 abc � � abc � � Do phép chứng minh hồn tất ta � �� �� 1� � � �� �� ��� 1 � � abc � � a �� b �� c � � Đặt x 1 ; y ; z bất đẳng thức trở thành a b c 1 x y z � 1 xyz Đây đánh giá chứng minh Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c Bài 88 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c a a c b a b c �2 Phân tích lời giải Bất đẳng thức không xẩy dấu a b c , không xẩy a b; c nà đẳng thức xẩy a 1; b c hốn vị Do ta nghĩ đến việc thứ tự biến Tuy nhiên ta cần tiệt tiêu dấu bậc hai bên vế trái Ngoài để ý với dấu đẳng thức xẩy ta dự đốn b c �b c Do ta dự đốn b c a 2 � b c � Nếu chứng minh �� a � � � đánh giá xem toán giải xong Ta xét http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word b c a b c 2 � b c� � b c� � a � a � a a b c � � � � � 2 b c b c bc �0 4 b c a Từ suy � b c� �� a � � � b c a Hay �a b c Áp dụng tương tự ta a c b a c �b ; a b c �c a b Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta b c a a c b a b c �2 a b c Vậy toán chứng minh xong Bài 89 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: �1 1 1 � �4� � a b c a b c �a b b c c a � Phân tích lời giải Bất đẳng thức bất đẳng thức có đại lượng đồng bậc nên ta nghĩ a b c Từ suy x y z ;y ;z a b c a b c a b c Khi nhân hai vế bất đẳng thức với a b c , bất đẳng trở thành �1 1� �1 1 � a b c � � �4 a b c � � �a b c � �a b b c c a � � � � � � � � � 1 1 �� � �4� � b c bc c a � � a � � ab � � � � �a b c a b c a b c � �a b c a b c a b c � �1 1 1 � �4� Hay � x y z �x y y z z x � đến phép đổi biến x Hay Hay � � � � x y z �x1 y1 1z � �4 x y z �x 1 y y 1 z z 1 x � � � � �x x y y z z x y z � �4� � z x y �y z z x x y � � Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x x 4x y y 4y z z 4z � ; � ; � y z y z z x xz x y x y Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word y z y y z z 4x 4y 4z � x x z x x y y z z x x y Hay �x x y y z z x y z � �4� � z x y �y z z x x y � Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 90 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c b c c a a b � a b c a b b c c a Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đươc dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải khử bậc hai, ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên để áp dụng bất đẳng thức ta cần tạo tích đại lượng Do ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh sau b c a b c a c a a b b c a b b c c a a b c �4 a b c Chú ý đến chiều bất đẳng thức cần chứng minh áp dụng bất đẳng a b a c thức Bunhiacopxki ta có �a bc a b a c � ac ab , nhiên để ý đến mẫu số ta chọn đánh giá thứ Khi ta b c a b a c � b c a a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có b c a bc b c a b a c Do ta a Áp dụng tương tự ta bc b c b c bc a 2bc � a �b c bc b c a b c a c a a b b c a b b c c a a b c �bc ca ab � �2 a b c 2� � b c� �a �bc ca ab � Ta cần chứng minh a b c 2� ��4 a b c a b c � � bc ca ab Hay �a b c a b c Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 �bc ab ca � bc ab ca 2 � a b c � a b c � �a b c � � c b� a c b �a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 91 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 �a2 b2 c2 a b c Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá quen thuộc 1 1 1 a b c 2 � ab bc ca abc a b c a b c � 3 a b c 1 a b c � Do ta có abc a b c abc a b c ab bc ca 3abc a b c � ab bc ca Và lại có 2 2 2 Phép chứng minh hoàn tất ta a b c ab bc ca 3 a b c � a b Hay 2 �a2 b2 c2 c2 ab bc ca Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta a b c �3 a b c ab bc ca Hay a b c �27 a b c ab bc ca Mà a b c nên ta có a b c 81 a b c Suy 3 a b c � a b c ab bc ca 2 2 2 2 a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Nhận xét: Ngoài cách chứng minh ta tham khảo thêm cách chứng minh sau Cách 1: Do a,b,c � a2 b2 c2 a b c 9 + Trường hợp 1: Giải sử số a, b, c nhỏ Khi tổng 1 , bất đẳng thức trường hợp a2 b2 c2 + Trương hợp 2: Giải sử số a, b, c lớn Do a;b;c � 3 a b c � a 2a 1 Từ ta có a a a2 a2 Suy a2 �4a a a1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 b2 �4b 4; c2 �4c b c Tương tự ta có Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta 1 a2 b2 c2 �4 a b c a b c 1 �a2 b2 c2 a b c Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Cách 2: + Trường hợp 1: Với a,b,c � 0; Khi ta có � a ��0 � a4 4a3 4a2 �0 � a2 �4a � � � � a 1 Áp dụng tương tự ta b2 �4b 4; c2 �4c b c a 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 2 a b c2 �12 a b c 2 a b c 1 �a2 b2 c2 a b c + Trường hợp 2: Nếu có số a, b, c lớn Khơng tính tổng quát giả sử a �b �c , suy ra: Hay a �� 2 � b c Khi ta Từ suy 2 2 2 c c2 1 �6 Trong a2 b2 c2 a b c a b c 1 �a2 b2 c2 a b c 9 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 92 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh rằng: a b b c a a �a b c Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a b b c c a Ta quy toán chứng minh a a b b b c a b c c c a � a bb cc a a bb cc a Hay a b c �a b c a b b c c a �a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Để ý đến dấu đẳng thức xẩy chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy a b1 b c1 c b1 a b� ;b c� ;c a� 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b b c c a � a b c ab bc ca 2 2 Mà lại có a b c � a b c �3 a b c a b c �3 ab bc ca � a b c ab bc ca Mặt khác a b c �ab bc ca a b b c c a � a b c a b c � a b b c c a �a b c Hay Do ta có Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 93 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c b c a2 b a c c a b2 c a b � a b c2 Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát biểu thức thứ bên vế trái ta thấy tử mẫu chứa đại đại lượng a; b c , nhiên mẫu lại tổng nên đánh giá mẫu tích có hội rút gọn Chú ý đến chiều bất đẳng thức dấu đẳng thức xẩy ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy � � b c 2 � � b c �a b c b c a b c a � � 4 � � b c 4a 3b 3c a b c 4a b c 4a � Suy ta 4a 3b 3c 4a 3b 3c b c a2 b c Đại lượng thu đánh giá làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta có Suy ta Áp dụng hoàn toàn tương tự ta 9 4a a a� 92 1� � � � 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 �3 a b c a � � � a b c 27a � a2 b c 25 a b c 25 b c a b2 c a c c a 27b � ; 25 a b c 25 c2 c a 27c � 25 a b c 25 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c b c a2 b a c c a b2 c a b 27 a b c � 2 25 25 a b c a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Nhận xét: Cũng nhận định trên, ta ý đến phép biến đổi sau b c a a b c a b c 2 2 2 � �a � b c � b c a b c a 1 � 1 � � � b c � �a � � b c ca a b + Nếu ta đặt x , bất đẳng thức viết lại thành ;y ;z a b c x y z � 2 1 x 1 y 1 z Để ý đến dấu đẳng thức xẩy x y z 2, ta có đánh giá a b c x 4x 4x � x2 x2 3x2 4x 3x2 3x x y z 4 � Hoàn toàn tương tự ta thu x2 y2 z2 3x 3y 3z Phép chứng minh hoàn tất ta 4 � 3x 3y 3z b c ca a b vào bất đẳng thức ;y ;z a b c 4a 4b 4c � 3b 3c 4a 3c 3a 4b 3a 3b 4c Đến ta thay lại x Và ta chứng minh hoàn toàn + Nếu ta đặt x a b c , bất đẳng thức viết lại ;y ;z b c ca a b x y z � x2 y2 z2 Và ta chứng minh hoàn toàn tương tự Bài 94 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a3 b3 c3 �a b c b a c c a b Phân tích lời giải Trước hết ta dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có số nhận xét sau: Vế trái chứa lũy thừa bậc ba vế phải lại chứa bậc hai, với dấu đẳng thức xẩy a b Do ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho hai số, c a b nhiên để có đánh giá c3 �2c a b ta cần tạo đại lượng c a b Chú ý đến giả thiết đánh giá quen thuộc ta có c a b c 3 c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Từ ta có Tương tự ta có b3 ab a b a3 b3 ab a b a b � 2 abc c 3 a b a b c3 �c3 �2c a b c a3 c3 a c b3 c3 b c �b3 �2b a c; a3 �a3 �2a b c b a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: a3 b3 c3 �a b c b a c c a b Bài tốn chứng minh xong Ngồi cách chứng minh ta chứng minh toán cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a b c b a c c a b a � Do ta có 34 a b c b a c c a Dễ dàng chứng minh a b c � 34 a b c a b � 32 b3 c3 a b c � Từ ta bất đẳng thức sau a3 b3 c3 �a b c b a c c a b Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 95 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 a b c 3 b3 b a c 3 c3 c b a 2 34 a b c b a c c a b Hay b2 c2 ab bc ca ab bc ca a b c abc a b c � ab bc ca abc a b c a2 b2 c2 � a2 b2 c2 ab bc ca abc a b c a2 b2 c2 Theo bất đẳng thức quen thuộc ta có Từ ta �2 a b c a2 b2 c2 �1 Phân tích lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất a3 đẳng thức ta ý đến phép biến đổi a3 b c b c 1 Khi ta nghĩ a3 đến phép đổi biến x b c biểu thức viết lại thành a Chú ý x3 a b c x 2, ta có đánh giá x3 Khi thay lại x 2 � x x2 x x2 x x2 x b c vào bất đẳng thức ta a a3 2a2 a3 b c � 2 �b c � 2a2 b c � � a � � Theo đánh giá quen thuộc ta b c a3 a3 b c b3 Hoàn toàn tương tự ta có b3 a c 3 �2 b2 c2 , ta suy a2 � a b2 c2 b2 � ; a b2 c2 c3 c3 b a c2 � a b2 c2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a3 a b c 3 b3 b a c 3 c3 c b a 3 �1 Vậy toán chứng minh xong Nhận xét: Ngồi cách làm ta chứng minh toán sau: Thực biến đổi chứng minh � b c� 1� b c � 1 � � �1 � � 2� a � �a � Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2 � � b c� � b c � 1� b c � 1� b c �� b c� � � � �� � � �� � �� � � 2� �0 � a � � a � � a � � a �� �a � � Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức chứng minh Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh 1 1� b c � 1� c a� 1� a b� � � 1 � � 1 � � 2� a � 2� b � 2� c � �1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Thật vậy, áp dụng đánh giá quen thuộc x y 1� b c� 1 � � 2� a � 2a2 2a2 b c �2 x2 y2 ta có 2a2 a2 � a2 b2 c2 2a b2 c2 Hoàn toàn tương tự ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Bài 96 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: � �1 1� � a b c � ��3 � �a b c � � � a b c a b b c c a � � � ab bc ca � � Phân tích lời giải Trước hết ta dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b c Để có đánh giá hợp lý ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành a b c a b b c c a a b c b c a �33 b c a a b c ab bc ca Quan sát bất đẳng thức ta viết vế trái thành a b c b c a a2c b2a c2a b2c c2a a2b b c a a b c abc abc Quan sát vế phải ta nhận thấy cần đánh giá đại lượng a2c b2a c2a đại lượng a b c để thu gọn hai vế, ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy a2c a2c b2a �33 a5b2c2 3a a2b2c2 a2c c2b c2b �33 a2b2c5 3c3 a2b2c2 b2a b2a bc2 �33 a2b5c2 3a a2b2c2 Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta a b c a b c � a2c b2a c2b � a b c Do ta có b c a a2b2c2 abc a2b2c2 a b c abc b c a a b c � a b c abc Hồn tồn tương tự ta có a b c b c a a b c � b c a a b c abc Suy Phép chứng minh hoàn tất ta a b c �3.3 a b c a b b c c a ab bc ca 8 a b c 81 a b c a b b c c a � abc ab bc ca abc Hay Khai triển thu gọn ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ab bc ca a b c �81 ac bc ca ab ab bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 81 ab bc bc ca ca ab �81 ab bc ca 24 ab bc ca 27 Mặt khác ta lại có ab bc ca � a b c Do ta a b c 81abc a b b c c a �8 a b c ab bc ca 24 ab bc ca ab bc ca ab bc ca �8 ab bc ca Hay 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 97 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn rằng: a2 bc a b c b2 ca b c a a b c Chứng minh c2 ab � a a b Phân tích lời giải Để có đánh giá hợp lí ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 a b c b2 b c a c2 a a b bc a b c ca b c a ab a a b Để ý ta thấy nhóm có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên ta tách áp dụng a2 a b c b2 b c a c2 a a b a b c � a ab ac b bc ab c ca bc a b c � a b c ab bc ca a b c Mà theo đánh giá quen thuộc ab bc ca � a b c a b c � 2 a b c ab bc ca a b c Do ta a2 a b c b2 b c a c2 � a a b 3 a b c nên ta 2 a b c a b c 2 Cũng ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki bc a b c ca b c a � abc Do ta ab bc a a b abc b c ab bc ca ca ab abc c a abc a b 3abc a b c a b c � b c c a a b abc a b c a2 bc a b c b2 ca b c a c2 ab a a b � a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lại có a b c � nên a b c � a2 bc b2 ca c2 ab � a b c b c a a a b a b c Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 98 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: ab 1 c 1 c bc a 1 a ca 1 b 1 b 3 � Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh suy nghĩ cố gắng đơn giản hóa đại lượng dấu tiến tới loại bỏ bậc hai Trước hết ta ta biến đổi đơn giản hóa biểu thức Chú ý đến giả thiết a b c ta viết ab ab 1 c 1 c a b c2 ab a b a b c ab a b a b c c2 a b c2 ab a2 b2 ab bc ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a2 b2 ab bc ca � ab bc ab ca a b �2 ab Do theo đánh giá quen thuộc ta có a b ab ab � 2 ab bc ab ca a2 b2 ab bc ca Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có ab ab ab a b � ab bc ab ca 2 ab bc ab ca 2 a c b c ab Từ ta 1 c a b � a c b c 1 c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta ab 1 c 1 c bc 1 a 1 a ca 1 b 1 b � a b b c c a � � � � � a c b c b a c a c b a b 2� � � Ta cần chứng minh � a b b c c a � � �� � a c b c b a c a c b a b 2� � � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b b c c a �3 a c b c b a c a c b a b Hay Đến ta ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b b c c a a c b c b a c a c b a b �a b b c c a � � 3� � 3.3 �a c b c b a c a c b a b � Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 99 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c �1 Chưng minh rằng: 1 1 87 � 2 2 a b c ab a b cb c b ac a c Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng bậc nên ta đánh giá ba phân thức trước Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cb c b �33 Trong biểu thức dước dấu ta ý đến đại lượng a b b c c a ab a b ac a c a b c a b c b a c 2 đánh giá a b c Như theo bất đẳng thức Cauchy ta a b c a b b c c a � � 27 27 2 Ngoài ý đến đại lượng a b c mẫu phân thức thứ nhất, để đánh giá vế trái a b c ta cần đánh giá đại lượng a2b2c2 ab bc ca Do theo bất đẳng tức Cauchy ta có a2b2c2 ab bc ca � ab bc ca a2b2c2 a b b c c a � 272 1 27 � ab a b cb c b ac a c ab bc ca Suy ta 27 Kết hợp hai bất đẳng thức ta Khi ta bất đẳng thức sau 1 1 27 � 2 2 a b c ab a b cb c b ac a c a b c ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 1 � �9 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c Và ta lại có � �3 ab bc ac a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Do ta 1 1 27 � 2 2 a b c ab a b cb c b ac a c a b c ab bc ca 23 23.3 87 �9 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca Bài 100 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh Bài toán chứng minh xong, đẳng thức xẩy a b c rằng: 1 2 �10 a b b c c a2 Phân tích lời giải Bất đẳng thức không xẩy dấu a b c , ta dự đốn xẩy biến khơng hai biến cịn lại Thay vào bất đẳng thức ta có dấu đẳng thức xẩy a b ; c Trong tình ta nghĩ đến thứ tự biến đánh giá bảo tồn dấu đẳng thức Vì vai trị biến nên ta giả sử c số nhỏ số a, b, c Như đánh giá ta cần ý cho dấu đẳng thức xẩy ta a b ; c Trong đánh giá ta cần xem vai trò a, b so với c Từ phân tích ta có đánh giá sau 2 �2 c2 � � c2 � � c � � c � a b �� a ac � � b bc � � a � � b � 4 2� � � � � �� � 2 2 � c� 2 � c� b c �� b �; a c �� a � � � � 2� Tương tự ta có Do ta có bất đẳng thức 1 1 1 2 � 2 2 2 a b b c c a � c� � c� � c� � c� a � � b � � b � � a � � 2 � � � � � � � 2� 1 � 2 � c� Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta � c � � c � � c � b �� a � � b a � � � � �� � � 2� � 2� � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có 1 c �� c � � c � � c � 2� b �� a � � a b � � � � � �� � � 2� � 2� � 2 � c � � c � � c �� c � a � � b � 2� b �� a � � � � � � � 2�� � 2 � c c� a b � � 2� � 4 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Và 6 � 6 � c� � c� � c� � c� � � 2� b � a � 4� b � a � a b c c � � � � 2 � � � � � � � 2� � 2� Kết hợp lại ta Suy 2 � c� � c� � c� � c� a � � b � � b � � a � � 2 � � � � � � � 2� 1 �10 a2 b2 b2 c2 c2 a2 �10 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong �1 � ; 0�và hốn vị �2 � Đẳng thức xảy a; b; c � ; Bài 101 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca � a b b c c a a b c Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng thức ta ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên để áp dụng ta cần để ý đến phép biến đổi a2 b2 a2 b2 đánh giá quen thuộc a2 b2 � a b a b a b a b Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b c ab bc ca a2 b2 c2 � � a b b c c a a b c a b c a b c ab bc ca b2 c2 a2 � � a b b c c a a b c a b c Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca � a b b c c a a b c Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b b c c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 � a b b c c a a b b c c a 2a 2b 2c 4 a b c � 12 ab bc ca ab bc ca � a b c a b c Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 � , ta xyz 1 1 � x y z Quan sát bất đẳng thức tạo thành ta có hướng chứng minh bất đẳng thức + Hướng 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức. .. phân thức, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1 1 16 � a2 b2 c2 3ab 3bc 3ca a2 b2 c2 ab bc ca 16 � 12 2 a b c a b c Bất đẳng thức chứng minh ta ? ?1 1� �? ?18 �... bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Dễ thấy bất đẳng thức có bâc hai biến ta viết lại bất đẳng thức dạng đa thức biến a, b c đóng vai trị tham số Ta viết lại bất đẳng thức