Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5
Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI A Kiến thức cần nhớ Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi xác bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, bất đẳng thức ba nhà toán học độc lập phát đề xuất, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học Ở nước ta, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều tốn bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Bunhiacopxki Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Bunhiacopxki a Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; ; an b1; b2; b3; ; bn Khi ta có: ( ) ( b + b + + b ) ≥ ( a b + a b + + a b ) + + a ) ( b + b + + b ) ≥ a b + a b + + a b Dạng 1: a12 + a22 + + a2n Dạng 2: (a + a22 2 n 2 2 n 2 1 n 1 - Dấu đẳng thức xảy dạng dạng là: Dạng 3: (a 2 )( ) n n 2 n n a1 a2 a = = = n b1 b2 bn + a22 + + a2n b12 + b22 + + b2n ≥ a1b1 + a2b2 + + anbn a1 a2 a = = = n ≥ b1 b2 bn - Dấu đẳng thức xảy dạng là: Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; ; an x1; x2; ; xn với x1; x2; ; xn > Khi ta có ( ) a1 + a2 + + an a12 a22 a2n + + + ≥ x1 x2 xn x1 + x2 + + xn - Dấu đẳng thức xảy dạng là: a1 a2 a = = = n ≥ x1 x2 xn Trong dạng bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng bất đẳng thức dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức b Một số dạng đặc biệt http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word n=2 n=3 ( a + b ) ( x + y ) ≥ ( ax + by) ( a + b ) ( x + y ) ≥ ax + by ( a + b ) ( x + y ) ≥ ax + by 2 2 2 2 2 2 ( ) a+ b a2 b2 + ≥ x y x+y ( a + b + c ) ( x + y + z ) ≥ ( ay + by + cz) ( a + b + c ) ( x + y + z ) ≥ ay + by + cz ( a + b + c ) ( x + y + z ) ≥ ay + by + cz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) a+ b+ c a2 b2 c2 + + ≥ x y z x+ y+z ( x, y > 0) ( x, y > 0) Đẳng thức xẩy a b = x y Đẳng thức xẩy a b c = = x y z B Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Kỹ thuật chọn điểm rơi Cũng tương tự bất đẳng thức Cauchy, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra, điều có nghĩa ta cần phải xác định điểm rơi toán áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Để rõ ta tìm hiểu số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho a số thức dương thỏa mãn mãn a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a2 + a2 + Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: A = a2 + 1 ≥ 2a = 2 a a 1 1 a + ÷ ≥ a + ÷ ≥ = a a 2 Do giá trị nhỏ A + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy a = ⇔ a = trái với giả thiết a ≥ a Sai lầm 2: A = 1+ ( ) ( + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a2 + b2 đẳng thức xẩy )(x ) ( + y2 ≥ ax + by ) với dấu a b = Giả sử với số α ; β ta có x y 1 1 β = a2 + ÷ α + β ≥ αa + ÷ 2 a a α +β a α +β Ta cần chọn hai số α ; β cho giá trị nhỏ A đạt a = Từ ta A = a2 + ( ) có sơ đồ điểm rơi: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a = ⇒ a = α β a α = β =1 + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 1 1 1 A =a + = a + ÷ + ≥ 4a + ÷ 17 17 a a a 2 a 15a 1 15 17 = + + ÷ ≥ 1+ ÷ = 5 a 17 2 17 Vậy giá trị nhỏ A Đẳng thức xẩy a = ( ) Ví dụ 1.2: Cho a, b, số thực dương thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ A = a2 + biểu thức: 1 + b2 + 2 a b + Sai lầm thường gặp: A = a2 + 1 + b2 + ≥ + = 2 a b Do giá trị nhỏ A 2 + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ 2 dấu đẳng thức xẩy 1 = ⇔ a=b=1 a b Khi a + b = trái với giả thiết a + b = a= b= (a + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức )( ) + b2 x2 + y2 ≥ ax + by với dấu a b = ≥ Khi với ý tưởng chuyển đổi biểu thức x y thành biểu thức Giả sử với số α ; β ta có đẳng thức xẩy 1 1 β a2 + = a2 + ÷ α + β ≥ αa + ÷ a a a α2 + β2 α2 + β2 1 1 β b2 + = 2 b + α + β ≥ α b + ÷ ÷ 2 2 2 b b b α + β α + β 1 ⇒A≥ α a + b + β + ÷ a b α2 + β2 ( ) ( ( ) ) Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a = b = Từ ta có sơ đồ điểm rơi: a = a = b = ⇒ α β a ⇒ b = α β b α = β = + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 1 a2 + = a2 + ÷ 42 + 12 ≥ 4a + ÷ a a a 17 17 b2 + = b2 + 42 + 12 ≥ 4b + ÷ ÷ b c2 b2 17 17 1 Khi ta A ≥ 4 a + b + + ÷ 17 a b 1 Để ý ta thấy + ≥ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta a b a+ b 15 a + b a + b A≥ a + b + = + + a + b a + b 17 17 2 + 15 = 17 ≥ 17 a = Dấu đẳng thức xẩy ⇔ a ⇔ a = b = b = b Vậy giá trị nhỏ A 17 Đẳng thức xẩy a = b = Ví dụ 1.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ ( ( ( ) ( ) ) ( ) ) biểu thức: A = a2 + 1 2 + b + + c + b2 c2 a2 + Sai lầm thường gặp: A = a2 + 1 a b c + b2 + + c2 + ≥ + + ≥ 33 2 = 2 b c a b c a Do giá trị nhỏ A + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy 1 = = ⇔ a= b= c=1 a b c Khi a + b + c = không thỏa mãn giả thiết a + b + c ≥ a= b= c= + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức đẳng thức xẩy (a )( ) + b2 x2 + y2 ≥ ax + by với dấu a b = ≥ Khi với ý tưởng chuyển đổi biểu thức x y thành biểu thức Giả sử với số α ; β ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 β a2 + = a2 + ÷ α + β ≥ αa + ÷ b b b α2 + β2 α2 + β2 1 1 β b2 + ÷ α + β ≥ αb + ÷ b + = c c c α2 + β2 α2 + β2 1 β c2 + = c2 + ÷ α + β ≥ αc+ ÷ a a a α2 + β2 α2 + β2 1 1 ⇒A≥ α a + b + c + β + + ÷ a b c α2 + β2 ( ) ( ) ( ) ( ) Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a = b = c = Từ ta có sơ đồ điểm rơi: a = α β b α b α = a = b = c = 2⇒ = ⇒ = ab = bc = ca = ⇒ β β = α β c c = α β a + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 1 1 a2 + = a2 + ÷ 42 + 12 ≥ 4a + ÷ b b b 17 17 1 1 b2 + ÷ 42 + 12 ≥ b + = 4b + ÷ c c c 17 17 1 1 1 c2 + = c2 + ÷ 42 + 12 ≥ 4c + ÷ a a a 17 17 1 1 Khi ta A ≥ a + b + c + + + ÷ 17 a b c 1 Để ý ta thấy + + ≥ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết a b c a+ b+ c ( ( ) ( ) ( ) ) ta A≥ ( ) 15 a + b + c a + b + c a + b + c + = + + a + b + c a+ b+ c 17 17 15 3 17 ≥ + = 2 17 ( ) a = 4 b Dấu đẳng thức xẩy ⇔ = 4 c = b ⇔ a= b= c= c a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 17 a= b= c=2 , Vậy giá trị nhỏ A Ví dụ 1.4: Cho số thực dương a, b,c thỏa a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a2 + 1 + b2 + + c2 + b+ c c+ a a+ b Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số α ; β ta có: 1 a2 + = a + α + β2 ≥ ÷ α a + 2 2 b+ c b + c α + β α + β 1 β ≥ αb + b + ÷ c+ a c+ a α2 + β2 1 β c2 + ≥ αc+ ÷ a+ b a+ b α2 + β2 1 1 ⇒A≥ α a+ b+ c + β + + ÷ b+ c c + a α + β a+ b ( ( ) ÷ b+ c β ) Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a= b= c=2 Do ta có sơ đồ điểm rơi a = α β b α b α = a = b = c = 2⇒ = ⇒ = ab = bc = ca = ⇒ β =1 β α β c c = α β a Lời giải a2 + = b+ c ≥ b + c + a ≥ c + a + b 2 a2 + 4a + ÷ ÷ + ≥ b + c 17 17 b+ c 4b + ÷ 17 c+ a 1 4c + ÷ a+ b 42 + 12 ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta A≥ 1 1 + + 4 a + b + c + ÷ 17 b+ c c + a a+ b ( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 4 a + b + c + ÷ 17 a+ b + a+ b + c+ a ÷ ≥ a+ b+ c + 17 a+ b+ c ÷ ( A≥ ) ( ≥ ) ( ) 31 9 a+ b+ c + a+ b+ c + + 17 a+ b+ c a+ b+ c ( ) ( ) ( ) ( 31 9 ≥ + 33 a + b + c 17 a+ b+ c a+ b+ c ( Vậy giá trị nhỏ A ) ( ) ( ) ) = 17 17 Đẳng thức xẩy a= b= c=2 Ví dụ 1.5: Cho số thực dương a, b,c thỏa a + b + c + 2abc ≥ 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 9b2 c2a2 9c2 a2b2 9a2 b2c2 + + + + + + + + 4 a2 b2 c2 Phân tích: Do biểu thức A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a = b = c = Do ta có sơ đồ điểm rơi a = α β b α b α = a = b = c = 2⇒ = ⇒ = ab = bc = ca = ⇒ β =1 β α β c c α = β a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta + 18 + + 18 + + 18 + Do ta A ≥ Hay 9b2 c2a2 + + ≤ + 9b + ca a a2 2 9c a b + + ≤ + 9b + ca b b2 9a2 b2c2 + + ≤ + 9b + ca a c2 4 + + ÷ + a + b + c + ab + bc + ca 24 a b c ( ) ( ) 4 4 24.A ≥ + + ÷ + a + b + c + ab + bc + ca a b c ( ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 4 4 4 24.A ≥ + a÷ + + b÷ + + c÷ + 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab + a + b + c a b c 4 Suy ≥ a + b + c + 2abc + +2 2abc + +2 2abc + a + b + c a b c ≥ 12 + a + b + c + 2abc ≥ 72 ( ) ( 72 24 ) ( ( ) ( ta A ≥ ) ( ) ) =6 Vậy giá trị nhỏ A 6 Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 1.6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 4a2 + 1 + 4b2 + + 4c2 + 2 a b c Phân tích: Trong ví dụ ta xét biểu thức đại diện A = 4a2 + Một cách tự a2 nhiên ta tìm cách khử biểu thức Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách bình thường: 4a2 + Đẳng thức xảy a = 1 1 ≥ 2a + ÷ a a 2 , áp dụng tương tự khơng thỏa mãn giả thiết toán Dự đoán đẳng thức xẩy a = b = c = chọn số α ; β để có đánh giá A= 1 2 4a + ÷ α + β ≥ a ( α2 + β2 Dấu đẳng thức xẩy a = 8; b = ) α2 + β2 Khi ta cần β α 2a + β a 2aα + ÷ = a α + β2 α = β a với a = Từ dễ dàng chọn 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( + ) 4a 9 16a + ÷ a 145 1 1 9 82 + 92 4b2 + ÷ ≥ 16b + ⇒ 4b2 + ≥ 16b + ÷ b b b b 145 1 1 9 82 + 92 4c2 + ÷ ≥ 16c + ⇒ 4c2 + ≥ 16c + ÷ c c c c 145 ( ( 2 + 1 ≥ 16a + ⇒ 4a2 + ≥ 2÷ a a a ) ) Từ ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word A≥ 1 1 16 a + b + c + 9 + + ÷ ≥ 145 a b c ( ) 81 16 a + b + c + = a + b + c 145 ( ) 145 Vậy 2 145 Đẳng thức xẩy a= b= c= 3 Ví dụ 1.7: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ giá trị nhỏ A A = a2 + biểu thức: 1 1 1 + + b2 + + + c2 + + 2 a b b c c a 1 Nếu áp dụng bất đẳng thức + a2 b2 1 1 Bunhiacopxki cách trực tiếp ta a2 + + ≥ a + + ÷ Khi a b a b 3 Phân tích: Xét biểu thức A = a2 + dấu đẳng thức không xẩy a = b = c = đánh sau: A= p2 + q2 + r2 1 2 a + + ÷ p + q + r a b ( ≥ p2 + q2 + r2 Từ ta chọn số p, q, r để có ) q r pa + + q r a b ap + + ÷ = a b p2 + q2 + r2 1 Và đẳng thức xảy a a với a = b = c = Từ ta chọn b = = p q r số thỏa mãn p = ,q = r = 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1 1 2 + + ÷ a + + ÷ ≥ a b 2 1 1 2 + + ÷ b + + ÷ ≥ b c 2 a 2 1 a 2 + + ⇒ a2 + + ≥ + + ÷ a b a b 33 a b b 2 1 b 2 + + ⇒ b2 + + ≥ + + ÷ b c b c 33 b c 1 1 c 2 1 c 2 2 2 + + ÷ c + + ÷ ≥ + + ⇒ c + + ≥ + + ÷ c a c a c a 33 c a Từ ta 1 1 a + b + c 3 36 33 + 4 + + ÷ ≥ + = a b c a + b + c 33 33 33 Vậy giá trị nhỏ A a= b= c= 2 A≥ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 1.8: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + 4b2 + 9c2 = 2015 Tìm giá P = a+ b+ c trị lớn biểu thức: Phân tích lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 1 P = a + b + c = am + bn + cp ÷ m n p 1 1 ≤ + + ÷ a2m2 + b2n2 + c2p2 n p m ( ) ( ) Để sử dụng giả thiết ta a2 + 4b2 + 9c2 = 1cần chọn số m; n; p cho hệ sau thỏa mãn m2a2 + n2b2 + p2c2 = x2 + 4y2 + 9z2 m = am bn cp ⇒ n = = = 1 p = m n p Khi ta có lời giải sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 P = a + b + c = a + 2b + 3c ÷ p 1 1 14 ≤ + + ÷ a2 + 4b2 + 9c2 = 36 1 ( ) ( Do ta P ≤ 14 hay giá trị nhỏ P ) 14 Dấu đẳng thức xẩy a2 + 4b2 + 9c2 = 1 1 ⇔ a= ;b= ; c= 28 63 a = 4b = 9c Ví dụ 1.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + b2 + c2 Phân tích lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta (m +n 2 )( ) ( ) + k2 a2 + b2 + c2 ≥ ma + nb + kc Để áp dụng giả thiết a + 2b + 3c = ta cần chọn số m; n; k thỏa mãn hệ sau ma + nb + kc = a + 2b + 3c ⇒ a b c = = m n k Khi ta có lời giải sau m = n = k = Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x + x+y y z + ÷ y+z z+ x ÷ x x+z y y+ x z z+ y ÷ = + + x+ y x+z y+z y+ x z+ x z+ y ÷ x y z ≤ x+ y+z + + x+y x+z y+ z y+ x z+ x z+ y x + y + z xy + yz + zx = x+ y y+ z z+ x ( Ta cần chứng minh Hay Hay ( ) )( ( ) ( )( ( )( ) ( ( ( )( ) )( ) ) ( ) ( )( ( )( ) ) ( ) )( ) ÷ ÷ )( ) 4( x + y + z) ( xy + yz + zx ) ≤ x + y y + z z + x ( )( )( ) 8( x + y + z) ( xy + yz + zx ) ≤ 9( x + y) ( y + z) ( z + x ) 8xyz ≤ ( x + y) ( y + z) ( z + x) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 5.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: 1 1 a b c + + ≥ 3 + + ÷ b c a a b c 1 + + = a b c Phân tích: Quan sát giả thiết ta thấy viết lại giả thiết thành Đến ta đặt x = chứng minh thành 1 ; y = ; z = ta viết lại bất đẳng thức cần a b c x2 y2 z2 + + ≥ x2 + y2 + z2 z x y ( ) Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy 1 + + =1 a b c 1 ; y = ; z = , từ giả thiết suy x + y + z = a b c x2 y2 z2 + + ≥ x2 + y2 + z2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành z x y Đặt x = ( ) Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 4 x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) x y z x y z + + = + + ≥ z x y x z y x z y x z + y2x + z2y ( Ta cần chứng minh x z+ y x + z y 2 ( ≥ x2 + y2 + z2 ) ( ) ( ) x2 + y2 + z2 ≥ x2z + y2x + z2y Hay Vì x + y + z = 1, nên bất đẳng thức trở thành ( x + y + z) ( x ) + y2 + z2 ≥ x2z + y2x + z2y ( x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ x2z + y2x + z2y Hay ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x3 + xz2 ≥ 2x2z; y3 + yx2 ≥ 2y2x; z3 + zy2 ≥ 2z2y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta ( x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ x2z + y2x + z2y ) Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c = Nhân xét: Bất đẳng thức chứng minh theo cách sau Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta ( ) x2 y2 z2 + + ≥ x2 + y2 + z2 z x y 2 x y2 z2 ⇔ + + − x + y + z ≥ x2 + y2 + z2 − x + y + z z x y 2 x y2 z2 ⇔ + + − x + y + z ≥ x2 + y2 + z2 − x + y + z z x y ( x − z) ⇔ z ( ) ( ) ( y − x) + ( ) ( ( ( z − y) + ) ) ( ( ) ( ) ) ( 2 ≥ x−y + y−z + z−x x y 21 2 21 ⇔ x − y − 1÷ + y − z − 1÷ + z − x − 1÷ ≥ x y z ( Vì x + y + z = nên ) ( ) ( ) ) 1 ; ; > Do bất đẳng thức cuối x y z Phép chứng minh hồn tất Ví dụ 5.4: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: ab c + ab + bc a + bc + ca b + ca ≤ Phân tích: Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến x = bất đẳng thức viết lai thành a; y = b; z = c Khi xy yz zx + + ≤ z + 3xy a + 3yz y + 3zx Ta chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật thêm – bớt http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Đặt x = a; y = b; z = c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy yz zx + + ≤ z + 3xy a + 3yz y + 3zx Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với xy yz zx + + ≤ z + 3xy x + 3yz y + 3zx xy yz zx ⇔ − + − + − ≥ 1− z + 3xy x + 3yz y + 3zx 2 z x y ⇔ + + ≥ z + 3xy x + 3yz y + 3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức đánh giá quen thuộc ta ( ) x+ y+z z2 x2 y2 + + ≥ z2 + 3xy x2 + 3yz y2 + 3zx x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ( ( x + y + z) ≥ ( x + y + z) ( x + y + z) + 2 = ) Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 5.5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c Phân tích: Trước hết ta viết lại giả thiết thành phép đổi biến x = 1 + + = 1, ta nghĩ đến a b c 1 ; y = ; z = Bất đẳng thức viết lại thành a b c x + yz + y + zx + z + xy ≥ + xy + yz + zx Để ý đến giả thiết x + y + z = 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x + yz = ( ) x x + y + z + yz = ( x + y) ( x + z) ≥ x + yz Áp dụng tương tự ta có lời giải sau Lời giải Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy 1 + + = a b c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đặt x = 1 ; y = ; z = , ta x + y + z = a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x + yz + y + zx + z + xy ≥ + xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x + yz = ( ) ( x + y) ( x + z) x x + y + z + yz = ≥ x + yz Chứng minh tương tự ta y + zx ≥ y + zx; z + xy ⇔ z + xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z + xy + yz + zx = + xy + yz + zx Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = hay a = b = c = Ví dụ 5.6: Cho số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2ac + + ≥ ab cb ac Lời giải Từ giả thiết ta 1 1 1 + + = Đặt x = ;y = ;z = , ta có x + y + z = a b c a b c Bất đẳng thứ cần chứng minh viết lại thành x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( Do ta Tương tự ta có x + 2y ) ( = 1.x + 2y x2 + 2y2 ≥ y2 + 2z2 ≥ ) ( x + 2y) y + 2z ( ≤ x2 + 2y2 = x + 2y ; z2 + 2x2 ≥ z + 2x Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ x + 2y + y + 2z ) + z + 2x = ( ) x+ y+z Vậy bất đẳng thức chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word = hay a = b = c = Đẳng thức xẩy x = y = z = Ví dụ 5.7: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 1 + + ≥ + + ÷ 2 a b c a2 b + c b2 c + a c2 a + b ( ) ( ) ( ) Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng bc = phép biến đổi a b + c ( ) 1 + + , để ý đến a b c 1 Từ tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến a2 + ÷ b c Lời giải Đặt x = 1 ; y = ; z = , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a b c x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ y+ z z+ x x+ y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( ) x+ y+ z x2 y2 z2 x+ y+ z + + ≥ = y+ z z+ x x+ y x+ y+ z ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c 1 Ví dụ 5.8: Cho số thực a, b, c > thỏa mãn + + = Chứng minh rằng: a b c a + b+ c ≥ a−1+ b−1+ c−1 Phân tích: Chính xuất giải thiết sử dụng phép đổi biến x = 1 + + = làm cho ta suy nghĩ đến việc a b c 1 ;y= ;z= a c c Lời giải Đặt x = ( ) 1 ; y = ; z = , x; y; z ∈ 0;1 x + y + z = a c c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 + + ≥ x y z 1− x 1− y 1− z + + x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1− x 1 1 1− y 1− z 1 + + ÷ ≤ + + ÷ 3− x − y − z = + + x y z ÷ x y z x y z ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 5.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c + = abc Chứng minh rằng: ( ) ab + bc + ca ≤ a + b + c + Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành ( ) a + b + c ≤ a+ b+ c+ Trước hết ta biến đổi giả thiết thành ( a + 1) ( b + 1) ( c + a) = ( a + 1) ( b + 1) + ( b + 1) ( c + 1) + ( c + 1) ( a + 1) ⇔ 1 + + =1 a+ b+ c+ 1 1 Để ý từ cách ;y= ;z= a+1 b+1 c+ 1− x y + z 1− y z + x 1− z x + y = ;b= = ; c= = đổi biến ta a = Bất đẳng x x y y z z Khi ta nghĩ đến phép đổi biến x = 1 1 x+ y ≤ 2 + + ÷ Đến ta z x y z y+z z+ x + + x y thức viết lại thành áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh toán Lời giải Ta có ( ) ( ab + bc + ca = ) ( ) a + b + c − a+ b+ c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ⇔ ( ( ) ( ) a + b + c − a+ b+ c ≤ a+ b+ c+ a+ b+ c ) ( ) ≤ a+ b+ c+ ( ) ⇔ a + b + c ≤ a+ b+ c+ Giả thiết viết lại thành ( a + 1) ( b + 1) ( c + a) = ( a + 1) ( b + 1) + ( b + 1) ( c + 1) + ( c + 1) ( a + 1) 1 + + =1 a+ b+ c+ 1 1 Đặt x = , suy x + y + z = ;y= ;z= a+1 b+1 c+ 1− x y + z 1− y z + x 1− z x + y = ;b= = ; c= = Khi ta a = x x y y z z ⇔ Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y+z z+ x + + x y 1 1 x+ y ≤ 2 + + ÷ z x y z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 1 1 1 1 x+ y ≤ + + ÷ 2x + 2y + 2z = 2 + + ÷ z x y z x y z y+z z+ x + + x y ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 5.10: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng: b a b2 + c b c2 + + a ≥ c a2 + 1 + + = 1, tự nhiên ta nghĩ đến ab bc ca Phân tích: Từ giả thiết ta phép đổi biến x = + 1 ; y = ; z = , suy xy + yz + zx = Khi bất đẳng thức cần a b c chứng minh viết lại thành x y2 + Để ý đến phép biến đổi x2 + = + y z2 + + z x2 + x2 + xy + yz + zx = ≥ ( x + y) ( x + z) Hồn tồn tương tự ta chứng minh toán Lời giải Từ giả thiết a + b + c = abc suy Đặt x = 1 + + = ab bc ca 1 ; y = ; z = , Khi giả thiết tốn trở thành xy + yz + zx = a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x2 + = Dễ thấy y2 + + y z2 + + z x2 + ≥ ( x + y) ( x + z) x2 + xy + yz + zx = ( y + z) ( y + x) ; y2 + = Tương tự ta x z2 + = ( z + x ) ( z + y) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y2 + + y z2 + + z x2 + = ≥ Ta cần chứng minh x ( y + x) ( y + z) + y ( z + x ) ( z + y) + z ( x + y) ( x + z) 2x 2y 2z + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z 2x 2y 2z + + ≥ x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2x 2y 2z + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z ≥ ( ) ( x + y + z) ( 2 x+ y+ z + xy + yz + zx ) x+ y+ z ≥ ( x + y + z) + ( x + y + z) = 3 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = 1 + + = Chứng minh a b c Ví dụ 5.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn rằng: b+ c c+ a a+ b + + ≥2 a2 b c Phân tích: Quan sát giả thiết toán ta nghĩ đến phép đổi biến x= 1 ;y= ;z= a b c Khi bất đẳng thức viết lại thành ( ) ( ) + y ( z + x ) + z ( x + y) x2 y + z yz 2 zx xy ≥ 2 Để ý đến đánh giá 4xy ≤ x + y Ta quy toán chứng minh 4x2 4y2 4z2 + + ≥2 y+ z z+ x x+ y Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Đặt x = 1 ; y = ; z = Từ giả thiết suy x + y + z = a b c Bất đẳng thức viết lại thành ( ) + y ( z + x ) + z ( x + y) x2 y + z yz 2 zx xy ≥2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( x + y) xy ≤ ( y + z) ; yz ≤ ( z + x) ; zx ≤ Khi ta bất đẳng thức sau http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) + y ( z + x ) + z ( x + y) x2 y + z yz 2 zx xy 4x2 4y2 4z2 ≥ + + y+ z z+ x x + y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 4x 4y 4z + + ≥ y+ z z+ x x+ y ( ) 2( x + y + z) x+ y+z ( ) = x+ y+ z = Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Nhận xét: Ngoài cách chứng minh ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh theo cách sau 1 1 1 + ÷ + y2 + ÷ + z2 + ÷ ≥ y z z x x y Bất đẳng thức viết lại thành x Theo đánh giá quen thuộc ta có 1 x2 + ÷ = y z 1 y2 + ÷ = z x 1 z2 + ÷ = x y 1 x2 4x2 y + z + ÷≥ y+z y z y + z 1 y 4y2 z + x + ÷≥ z+x z x z +x 1 z 4z2 x + y + ÷≥ x+y x y x +y ( ) ( ) ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta ( x2 y + z yz ) + y ( z + x ) + z ( x + y) 2 zx xy 4x2 4y2 4z2 ≥ + + y+z z+x x+y Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 4x2 4y2 4z2 + + y+z z+x x+y x2 y2 z2 = 2 x + y + y + z + z + x + + y+z z + x x + y x y z ≥ 2 y+z + z+x + x + y÷ = x + y + z y+z ÷ z + x x + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =2 Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a 2+ b a + b 2+ c b + c 2+ a c ≥1 Phân tích: Từ giả thiết abc = toán, tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến dạng a = x y z ; b = ; c = , ý đến các bậc hai có bất đẳng thức cần y z x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word chứng minh, ta chọn cách đổi biến viết lại thành a= x y ; b= ; y z c= z Khi bất đẳng thức x xz2 yx2 zy2 + + ≥ Bất đẳng thức cần chứng 2z2y + y2x 2x2z + z2y 2y2x + x2z minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức Do ta thử áp dụng xem chứng minh tốn khơng? Lời giải a= Vì abc = nên tồn số thực dương để x y ; b= ; y z c= z x Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xz2 yx2 zy2 + + ≥1 2z2y + y2x 2x2z + z2y 2y2x + x2z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta xz2 yx2 zy2 x2z2 y2x2 z2y2 + + = + + 2z2y + y2x 2x2z + z2y 2y2x + x2z 2xyz2 + x2y2 2x2yz + z2y2 2xy2z + x2z2 ≥ ( xy + yz + zx) x2y2 + y2z2 + z2x2 ( xy + yz + zx) = + 2xyz ( x + y + z) ( xy + yz + zx) 2 =1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 5.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥1 a + a+ b + b+ c + c+ Phân tích: Nếu ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp kiểu 1 + + ≥ a2 + a + b2 + b + c2 + c + a2 + b2 + c2 + a + b + c + Khi để phép chứng minh hồn tất ta phải ≥ ⇔ a2 + b2 + c2 + a + b + c ≤ a + b + c + a+ b+ c+ Với giả thiết abc = đánh giá cuối đánh giá sai 2 Để ý đến giả thiết abc = ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ, vấn đề đặt ta chọn cách đặt ẩn phụ nào? Trước hết ta thấy bất đẳng thức có tính đối xứng để khơng làm tính đối xứng ta không đặt ẩn phụ kiểu x y z ; ; y z x y z x 1 ; ; Đầu tiên ta sử dụng phép đổi biến a = ; b = ; c = bất đẳng thức x y z x y z cần chứng minh trở thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x2 y2 z2 + + ≥1 x2 + x + y2 + y + z2 + z + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( ) x+ y+ z x2 y2 z2 + + ≥ x2 + x + y2 + y + z2 + z + x2 + y2 + z2 + x + y + z + ( ) Ta cần chứng minh x + y + z ≥ x2 + y2 + z2 + x + y + z + Tuy nhiên đánh giá lại sai Do cách đổi biến không khả thi Như ta tính đến cách đổi biến a = yz zx xy x2 y2 z2 ;b= ; c= a = ;b = ;c = yz zx xy x y z Trong hai cách đổi biến trên, suy nhĩ chút ta loại cách đặt thứ bất đẳng thức chứa biến mẫu nên đổi biến quy đồng phân thức ta 2 2 2 thu phân thức thức mà tử có chứa đại lượng y z ; z x ; x y 4 mẫu lại chứa đại lượng x ; y ; z trộn hơn, nên muốn đánh giá mẫu theo chiều tăng lên khó Do ta cịn cách đổi biến a = yz zx xy ;b = ;c = , x2 y2 z2 hy vọng chứng minh toán Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x4 y4 z4 + + ≥1 x4 + x2yz + y2z2 y4 + y2zx + z2x2 z4 + z2xy + x2y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x4 y4 z4 + + x4 + x2yz + y2z2 y4 + y2zx + z2x2 z4 + z2xy + x2y2 (x ≥ ( + y2 + z2 ) ) x4 + y4 + z4 + xyz x + y + z + x2y2 + y2z2 + z2x2 Phép chứng minh hoàn tất ta (x + y2 + z2 ) ( ) ≥ x4 + y4 + z4 + xyz x + y + z + x2y2 + y2z2 + z2x2 Biến đổi tơng đương thu gọn ta ( ) x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ xyz x + y + z Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nhận xét: Nếu chấp nhận biến bất đẳng thức từ dạng đối xứng dạng hốn vị với cách đổi biến a = y z x ; b = ; c = , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z a2 b2 c2 + + ≥1 a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Khi bất đẳng thức tương đương với a2 a2 − a2 + ab + b2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca − a2 − ab − b2 = a2 + ab + b2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ( ( = (a )( ( a2c a + b + c + ab + b ) (a ) ) + b + c + ab + bc + ca 2 ) ) Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh a2c b2c c2c ab + bc + ca + + ≥ a +b+ c a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Áp dụng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a2c b2a c2b + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ab + bc + ca ab + bc + ca ≥ = 2 2 2 a +b+ c c a + bc + b + a b + bc + a + b c + ca + a ( ( ) ) ( ) ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.14: Cho số thực a; b; c ≠ thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 ( 1− a) + b2 ( − b) + c2 ( − c) ≥1 Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc = tính đối xứng bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến Ngoài ta thấy phân thức chứa biến tử nên ta chọn cách đổi biến a= x2 y2 z2 ;b= ; c= yz zx xy Lời giải x2 y2 z2 ;b = ;c = Đặt a = với x; y; z > Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở yz zx xy thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x4 (x + ) (y − yz 2 y4 − zx + z4 ) (z 2 − xy ) ≥1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta (x +y +z ) + + ≥ ( x − yz) ( y − zx) ( z − xy) ( x − yz) + ( y − zx) + ( z x4 y4 2 z4 2 2 2 2 2 2 − xy ) Phép chứng minh hoàn tất ta (x +y +z ) ( x − yz) + ( y − zx) + ( z 2 2 2 2 − xy ) ≥1 Hay tương đương với (x ) ( ) ( ) ( ) 2 − x2 − yz + y2 − zx + z2 − xy ≥ ⇔ xy + yz + zx ≥ + y2 + z2 ( ) Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.15: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ( a + 1) ( a + 2) ( b + 1) ( b + 2) ( c + 1) ( c + 2) ≥ Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc = tính đối xứng bất đẳng thức ta đổi biến a = yz zx xy ;b = ;c = x y z Lời giải Đặt a = yz zx xy ;b = ;c = với x; y; z > , bất đẳng thức càn chứng minh trở x y z thành (x x4 )( + ) (y + yz 2x + yz 2 y4 )( + zx 2y + zx + ) (z z4 )( + xy 2z + xy ) ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta (x x4 )( + ) (y + yz 2x2 + yz y4 )( z4 + ) ( z + xy) ( 2z + xy) (x +y +z ) + yz) + ( y + zx) ( 2y + zx) + ( z + zx 2y2 + zx 2 ≥ (x )( + yz 2x2 2 2 2 )( + xy 2z2 + xy Phép chứng minh hoàn ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) (x )( ( ) ( x2 + y2 + z2 )( ) ) ( )( )( ) ( + yz 2x2 + yz + y2 + zx 2y2 + zx + z2 + xy 2z2 + xy Hay ta cần chứng minh ( x2 + y2 + z2 ) ≥ (x 2 )( ) ( ) ≥ )( + yz 2x2 + yz + y2 + zx 2y2 + zx + z2 + xy 2z2 + xy ( ) ) 2 2 2 Khai triển thu gọn ta x y + y z + z x ≥ xyz x + y + z Đánh giá cuối đánh giá Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 5.16: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd = Chứng minh rằng: ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) + ( d + 1) ≥1 Lời giải Cách 1: Đặt a = x y x t với x; y; z; t > Khi bất đẳng thức cần ; b= ; c= ; d= z z t x chứng minh viết lại thành x2 ( x + y) + y2 ( y + z) + z2 ( z + t) + t2 ( t + x) ≥1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta x2 ( x + y) ( + y2 ( y + z) + z2 ( z + t) + t2 ( t + x) ) ( ) ( ) ( ) ≥ ( x + y) ( x + t) + ( y + z) ( x + y) + ( z + t) ( y + z) + ( t + x) ( z + t) x ( t + x) + y ( x + y) + z ( y + z) + t ( z + t ) = x+ y + z+ t x+ t + y+ z ) ( ) ( ) ( ) ( x t + x + y x + y + z y + z + t z + t 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) x + y + y + z + z + t x + t 2 = ≥1 2 2 x+ y + z+ t x+ t + y+z ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = d = Cách 2: Đặt a = yz zt tx xy ; b = ; c = ; d = với x; y; z; t > Khi bất đẳng thức x2 y2 c2 t2 cần chứng minh viết lại thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (x x4 + y4 ) (y + yz + zt + z4 ) (z 2 + tx + ) (t 2 t4 + xy ) ≥1 Áp dụng liên tục bất đẳng thức Bunhiacopxki ta (x +z ) x z + ≥ ( x + yz) ( z + tx) ( x + yz) + ( z + tx) (x +z ) ≥ (x +y ) (x +z ) +(z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )( + x2 z2 + t2 ) x2 + z2 = x + y2 + z2 + t2 Hoàn toàn tương tự ta ( y4 y2 + zt + ) (t 2 t4 + xy ) y2 + t2 ≥ x + y2 + z2 + t2 Cộng theo bất đẳng thức ta (x x4 + ) (y + yz 2 y4 + zt + ) (z 2 z4 + tx + ) (t 2 t4 + xy ) ≥1 Vậy bất đẳng thức chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... c Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi chứng minh tốn bất đẳng thức Nó giải lớp bất đẳng thức. .. 16 a + ÷ a 14 5 1? ?? 1 9 82 + 92 4b2 + ÷ ≥ 16 b + ⇒ 4b2 + ≥ 16 b + ÷ b b b b 14 5 1? ?? 1 9 82 + 92 4c2 + ÷ ≥ 16 c + ⇒ 4c2 + ≥ 16 c + ÷ c c c c 14 5 ( ( 2 + 1? ?? ≥ 16 a + ⇒ 4a2... giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 1 1? ?? a2 + = a2 + ÷ 42 + 12 ≥ 4a + ÷ b b b 17 17 1? ?? 1? ?? b2 + ÷ 42 + 12 ≥ b + = 4b + ÷ c c c 17 17