Áp Dụng BĐT giải Phương trình và Hệ Phương trình

chuyên đề giải phương trình và hệ phương trình×phương pháp giải phương trình và hệ phương trình×phương pháp giải phương trình bất phương trình và hệ phương trình đại số×giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số×giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình×giai phuong trinh va he phuong trinh lop 9×

Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai p dng Bt ng Thc Gii Phng Trỡnh v H Phng Trỡnh VI nội dung A, Các kiến thức bản: 1, Cho A biểu thức chứa ẩn thì: + A2 với giá trị biến + A với giá trị biến để A + A có nghĩa khi A + A với giía trị biến 2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, an > a1 a2 a3 an n n a1.a2 a3 an Dấu = xảy khi a1 = a2 = a3 = an 3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai số bất kì: a1, a2, , an b1, b2, ., bn Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2) Dấu = xảy khi: a a1 a2 n b1 b2 bn B, áp dụng biểu thức d-ơng giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình: Bài 1: Giải ph-ơng trình: 3x2 x 12 5x2 10 x x x (*) Giải: Ta có: 3x + 6x + 12 = 3x + 6x + + = 3(x +1)2 + với x 5x2+ 10x + = 5x2+ 10x + + = 5(x + 1)2+ với x 3x2 x 12 5x 10 x (1) Mà - 4x - 2x2 = - 4x- 2x2- = - 2(x2 + 2x + 1) = - 2(x+1)2 với x (2) Từ (1) (2) suy ph-ơng trình có nghiệm x = -1 Thử x = -1 nghiệm (*) 2 Bài 2: Giải ph-ơng trình: x2 y z x ( x y z 7) y z x y z Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai Bài 3: Giải ph-ơng trình: x y y x y x 3xy ĐK x y y x 3xy xy x y xy y x x x y y y x x Do x x y 1 y y 2y (1) x 1 y dấu = xảy y = x dấu = xảy x = Vậy nghiệm ph-ơng trình (1) là: x = y=2 Bài 4: x 10 x 13 26 x 24 x x x x x 4x x2 6x 2 2 2 x 5x 2 x 25 x 20 x x x 5x x x Ta có: x 4x x x 5x 5x VT x x x Dấu = xảy Dấu = xảy Dấu = xảy x x x x Vậy S = Bài 5: x y x y xy a, Giải hệ ph-ơng trình: xy x 0, y ĐK: mà x x y xy y Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai x y xy x y 16 x y xy x x y x y x y 2 y x y x x y y 2 z xy x yz xy 1 xy xy b, Giải hệ ph-ơng trình: xy xy ĐK: xy = xẩy xy = z = xẩy z = x x 1 z = y y 4 z o z Bài 6: Giải hệ ph-ơng trình: x xy y z yz y2 y 3y2 x x xy y 2 y y2 z xy y y z 4 y2 y2 y y S 1; 2; ; 1; 2;1 Bài 7: Giải ph-ơng trình: x2 x x2 8x x2 x x2 8x x x 2 Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai x2 "" x x 2 "" x x x 2 x2 S Bài 8: Giải ph-ơng trình: a, x x 3x x 5x ĐK : x x 5x x 5x x 5x Mà 3x pt có S x 3x x 3x b, Giải: x 3x x 3x Dấu = DK : x x 3x x 3x x 3x x x 3x x S 1; Bài 9: Giải x x DK : x x x x x S Bài 10: 1 x y z Giải : xy z 2 1 Từ (1) z x y 1 x y z (1) 1 x y xy z z Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai 1 1 x y y x x y x y x y 1 x y z 2 2, áp dụng BĐT Cô si: Bài 1: x2 x x2 x x2 x 2 x x x x x 2 x2 x Ta có ĐK: x x a Khi áp dụng: a ta có: " " a x2 x x2 x x2 x x2 x 2 x2 x x2 x x Mặt khác: x x x x x x x x Vậy x2 x x2 x x2 x x x2 x x x x x Vậy x=1 nghiệm Bài 2: x2 x x3 x x 2 x2 x ( x x 1)(2 x 1) 2 (1) Ta có x2 - x + > với x suy ĐK x áp dụng Côsi cho số x2 x + > Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai 2x + > x2 x x x2 x Ta có: ( x x 1)(2 x 1) 2 2 Vậy dấu = xảy x x + = 2x +1 TM x2 3x = x = x = Vậy S = 0;3 TM 12 x y z x y 3z Bài 3: Giải hệ ph-ơng trình: (1) Với x, y, z > Từ (1) ta có: x y z 4x y 4z Vì x, y, z > ta áp dụng BĐT Côsi cho số (1) (2) 1 dấu = xảy x x 4x 2y y dấu = xảy y 4x 4y dấu = xảy z z 4z 4z Từ (1), (2) (3) ta có: x y 3z 4x 4y 4z dấu = xảy x y z TM 1 nghiệm hệ ph-ơng trình là: S = , , 2 (3) 3z Bài 4: Giải ph-ơng trình: 2007 x2008 2008 x2007 + = + 2007 x2008 = 2008 x2007 x>0 áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số d-ơng 1; x2008 ; x2008; x2008 ; x2008 ( 2007 số x2008 ) 2008 1.( x 2008 )2007 = 2008 x2007 Ta có: x2008 + x2008 + + 2008 dấu = xảy khi = x2008 x = x > Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = Bài 5: Giải ph-ơng trình: x3 x2 8x + 40 = x ĐK 4x + x -1 Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có: 4 + + + x + 4.4.4.( x 1) = 4( x 1) 13 + x 4( x 1) 13 + x x3 x2 8x + 40 x3 x2 x + 27 ( x )2( x + ) Do x - x + > ( x )2 x = TM Vậy x = nghiệm ph-ơng trình Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai Bài 6: Giải ph-ơng trình: x x x2 12 x 38 (1) ĐK x Khi áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số x x x ta có: x x x x x 2 7x x ta có: dấu = xảy khi x = x5=1 x=6 Ta lại có: x2 12x + 38 = ( x )2 + dấu = xảy khi x = Vậy S = Bài tập t-ơng tự: x x x2 x x2 x Bài 1: Giải ph-ơng trình: x x 3x2 12 x 14 Bài 2: Giải ph-ơng trình: 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải ph-ơng trình: x x 3x 12 x 14 2x 2x x 2 x 1,5 x 2,5 x ĐK: áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) ( x : 2x ) 2x 2x 2 2x 2x x 2.2 Do x x 2x Dấu = xảy x x x 2 x dấu= xẩy x = Vậy pt có nghiệm x = Bài 2: Giải ph-ơng trình a, A x x ĐK: x 2 Ta có : A x 2.1 x A0 A 2 x2 2 x 22 Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai xẩy x x 2 x 13 (TMĐK) 13 S b, x x 13 x x 2 DK : x 32 x x 13.4 x x 13 x x 29 x TM 13 29 S 13 PT xảy c, x2 x 2 x x x 2 x x 10 x x 12 x 40 Bài 3: Giải ph-ơng trình : DK :2 x 10 x2 12 x 10 x Dấu = xảy x = Ta có x 10 x x 10 x 12 12 16 x 10 x Dâu = xẩy S Do : x 10 x x = (TM) Bài 4: Giải ph-ơng trình : x x 2( x 3)2 x áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho x ; x ; ta có: x x x x 12 12 x x (1) (2) 2( x 1) 2( x 3) x x (1) (2) xảy khi: x 6x + = x x2 7x + 10 = x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn S Bài 5: Giải ph-ơng trình : x2 x2 4 x x x3 x x3 ( x 1) Đ K : x4 x2 ( x4 x4 (x 0) Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai x2 x x4 x Ta có: x2 x2 dấu = xảy x x2 Mặt khác: x 12 12 x x x4 x 4 x x x4 x2 x2 (1) 4.2 x x 16 (2) 16 Dấu = xảy khi x = Từ (1) (2) suy ph-ơng trình có nghiệm TM Vậy S = Bài tập t-ơng tự: Bài tập 1: Giải ph-ơng trình: 6x x x2 x x Bài tập 2: x 3xy x y Giải hệ ph-ơng trình: 2 x y ... = nghiệm ph-ơng trình Kờnh Youtube:NT OFFICIAL Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai Bài 6: Giải ph-ơng trình: x x x2 12 x 38 (1) ĐK x Khi áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai... Giải ph-ơng trình: x x 3x2 12 x 14 Bài 2: Giải ph-ơng trình: 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải ph-ơng trình: x x 3x 12 x 14 2x 2x x 2 x 1,5 x 2,5 x ĐK: áp dụng. .. xảy x y z TM 1 nghiệm hệ ph-ơng trình là: S = , , 2 (3) 3z Bài 4: Giải ph-ơng trình: 2007 x2008 2008 x2007 + = + 2007 x2008 = 2008 x2007 x>0 áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số d-ơng