chuyên đề giải phương trình và hệ phương trình×phương pháp giải phương trình và hệ phương trình×phương pháp giải phương trình bất phương trình và hệ phương trình đại số×giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số×giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình×giai phuong trinh va he phuong trinh lop 9×
Trang 1Áp dụng Bất Đẳng Thức trong Giải Phương Trỡnh và Hệ Phương Trỡnh
VI nội dung
A, Các kiến thức cơ bản:
1, Cho A là biểu thức chứa ẩn thì:
+ A2 ≥ 0 với mọi giá trị của biến
+ A 0 với mọi giá trị của biến để A ≥ 0
+ A có nghĩa khi chỉ khi A ≥ 0
+ A 0 với mọi giía trị của biến
2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, …… an > 0 thì
.
n n
n
a a a a n
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi a1 = a2 = a3 = … an
3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Cho hai bộ số bất kì: a1, a2, …, an
b1, b2, …., bn
Ta có: ( a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 ≤ ( a12 + a22 + … + an2 )( b12 + b22 + … + bn2)
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi: 1 2
n n
a
a a
b b b
B, áp dụng các biểu thức d-ơng giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình:
Bài 1: Giải ph-ơng trình:
3x 6x 12 5x 10x 9 3 4x 2x (*)
Giải:
Ta có: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9 9 với mọi x
5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4 4 với mọi x
3x 6x 12 5x 10x 9 4 9 5 (1)
Mà 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1)
= 5 - 2(x+1)2 5 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra ph-ơng trình có nghiệm x = -1
Thử x = -1 là nghiệm của (*)
Bài 2: Giải ph-ơng trình:
2 2 2
1
2
3 4 6
x y z
Trang 2Bµi 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
1 2 1 3
2
xy
x y y x §K 1
1
y x
2x y 1 4y x 1 3xy
(1)
Do 2
x x y dÊu “=” x¶y ra khi y = 2
2
y y x dÊu “=” x¶y ra khi x = 2
VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) lµ: x = 2
y = 2
Bµi 4:
Ta cã:
DÊu “=” x¶y ra
DÊu “=” x¶y ra
DÊu “=” x¶y ra
2 0
x
x
VËy S = 2
Bµi 5:
a, Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 1 1 4
3
x y xy
§K: 0
1 0, 1 0
xy
0
3 0
0
x
x y xy
y
1 1 2 1 1 0
Trang 3
1 2
x y
y
b, Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
2
2
1 2
1 2 1 4
§K: 4 1
0
xy
xy
2 xy 1 “=” xÈy ra xy = 1
4 2
1 1
z “=” xÈy raz = 0
z = 0
1 1 4
x
y
z o
hoÆc
1 1 4 0
x y z
Bµi 6: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
2
3
1 0
x xy y
z yz
2
2
3
4
x xy y
2
2 2
4
4
1 0
4
y
y
y y
1; 2; 1 ; 1; 2;1
S
Bµi 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
2 x 4x 4 3 2x 8x 8 2 3
2 x 2 3 2 x 2 2 3
Trang 4
2
2
2 2 2 " " 2
3 2 2 3 " " 2
2
2
x
S
Bµi 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
a, x 1 5x 1 3x 2 §K :x 1
1 5 1 0
Mµ 3x 2 0 pt cã S
b, Gi¶i:
3
DK x x
x
3 2 2
x x
x x
2
x
x
1; 2
S
Bµi 9: Gi¶i
x 1 2 x 1 DK: x 1
1 1
S
Bµi 10: Gi¶i :
2
2
4
x y z
xy z
(1)
Tõ (1)
Trang 52 2
2 2
2, áp dụng BĐT Cô si:
Bài 1:
2
1 7
2 4
Ta có ĐK:
2
2
1 0
1 0
x x
x x
Khi đó áp dụng: 1 " " 1
2
a
ta có:
x x x x
Mặt khác:
2
Vậy
2
2
2
x x
x
Vậy x=1 là nghiệm
Bài 2:
2
2
2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
(1)
Ta có x2 - x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK 1
2
x
áp dụng Côsi cho 2 số x2 – x + 1 > 0
Trang 62x + 1 > 0
Ta cã:
x x x
VËy dÊu “=” x¶y ra x2 – x + 1 = 2x +1
x2 – 3x = 0 x = 0 TM
hoÆc x = 3 TM
VËy S = 0;3
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
12
x y z
x y z
(1)
Víi x, y, z > 0
Tõ (1) ta cã: 1 2 3 6
4x 4y 4z x y z V× x, y, z > 0 ta ¸p dông B§T C«si cho 2 sè
(1) 1 1
4x x dÊu “=” x¶y ra khi 1
2
x
(2) 2 2 2 1 2
dÊu “=” x¶y ra khi
1 2
y
(3) 3 3 3 1 3
dÊu “=” x¶y ra khi
1 2
z
Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã: 1 2 2 3 3 1 2 3 6
dÊu “=” x¶y ra khi 1
2
x y z TM
vËy nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh lµ: S = 1 1 1, ,
2 2 2
Bµi 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2007 x2008 – 2008 x2007 + 1 = 0
1 + 2007 x2008 = 2008 x2007 x > 0
¸p dông B§T C«si cho 2008 sè d-¬ng
1; x2008 ; x2008; x2008 …; x2008 ( 2007 sè x2008 )
Ta cã: x2008 + x2008 + … + 1 20082008 2008 2007
1.(x ) = 2008 x2007 dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi 1 = x2008 x = 1 v× x > 0
VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1
Bµi 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x3 – x2 – 8x + 40 = 84 4x 4
§K 4x + 4 0 x -1
Víi § K x -1 ta ¸p dông B§T C«si cho bèn sè: 4; 4; 4; x+1 ta cã:
4 + 4 + 4 + x + 1 44 4.4.4.(x 1) = 84 4(x 1)
13 + x 84 4(x 1) 13 + x x3 – 3 x2 – 8x + 40
x3 – 3 x2 – 9 x + 27 0 ( x – 3 )2( x + 3 ) 0
Trang 7Bài 6: Giải ph-ơng trình: 2
7 x x 5 x 12x 38 (1) Đ K 5 x 7
Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số
7 – x và 1 ta có: 7 7 1
2
x
x
x – 5 và 1 ta có: 5 5 1
2
x
dấu “=” xảy ra khi chỉ khi 7 – x = 1
x – 5 = 1 x = 6
Ta lại có: x2 – 12x + 38 = ( x – 6 )2 + 2 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 6
Vậy S = 6
Bài tập t-ơng tự:
Bài 1: Giải ph-ơng trình: 2 2 2
x x x x x x
Bài 2: Giải ph-ơng trình: 2
2x 3 5 2 x 3x 12x 14
3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải ph-ơng trình:
2
2
2 3 5 2 3 12 14
2 3 5 2 3 2 2
ĐK: 2 3 0 1,5 2,5
x
x x
áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và ( 2x 3: 5 2x )
2x 3 5 2 x 1 1 2x3 5 2 x 2.24
2x 3 5 2 x 2 Do 2x 3 5 2 x 0
Dấu “=” xảy ra 2x 3 5 2 x x 2
2
3 x 2 2 2 dấu”=” xẩy ra x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 2: Giải ph-ơng trình
2
A x x
ĐK: 2 5
2
x
0 6
2
A A
Trang 8 1 xÈy ra 2 2 5 13
x x x (TM§K)
13
6
S
b, 2 x 1 3 5 x 2 13 DK: 1 x 5
2 x 1 3 5 x 2 3 x 1 5 x 13.4
2 x 1 3 5 x 2 13
PT x¶y ra 3 x 1 2 5 x
29
13
29
13
S
c,
2
1
x
Bµi 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 2
x x x x DK x
2 2
x x x
DÊu “=” x¶y ra khi x = 6
x x Do x x
D©u “=” xÈy ra x = 6 (TM)
S 6
Bµi 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 2
x x x x (1)
¸p dông B§T Bunhiac«pxki cho x 1; x – 3 vµ 1 ; 1 ta cã:
2
(2)
(1) vµ (2) x¶y ra khi chØ khi: x 1 x 3
x2 – 6x + 9 = x – 1
x2 – 7x + 10 = 0 x = 2
hoÆc x = 5
x = 2 kh«ng tho¶ m·n; x = 5 tho¶ m·n
vËy S 5
Bµi 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 24 4 4 3
x x x x
4 4 3
2 1 ( 1)
§ K : x4 2
Trang 92
1
x
Ta cã: 2
2
1
2
x
x dÊu “=” x¶y ra 2
2
1
x x
1
x
(1) MÆt kh¸c: 4 2
4 2
2
x x
(2)
DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 1
Tõ (1) vµ (2) suy ra ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm cña nã lµ 1 TM
VËy S = 1
Bµi tËp t-¬ng tù:
Bµi tËp 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 6 3 2
3 2 1
x
x x
Bµi tËp 2:
Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
2
1
x y