Phương Pháp SOS trong chứng minh bất đẳng thức

phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức×các phương pháp kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức×phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức×phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức×phương pháp hình học trong chứng minh bất đẳng thức×phương pháp chuẩn hóa trong chứng minh bất đẳng thức×

Phương Pháp SOS Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Ví dụ 1: Cho là các số thực không âm có tổng bằng 3 Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau:

Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2: Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải

Ta có:

Quy bất đẳng thức cần chứng minh về:

Chú ý rằng:

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

Bất đẳng thức cuối chính là bất đẳng thức Iran96 quen thuộc, phép chứng minh hoàn tất

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm :

Lời giải

Bất đẳng thức mạnh hơn vẫn đúng:

Lời giải 1:

Bất đẳng thức được chứng minh

Lời giải 2:

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng SOS:

Với:

Tương tự ta có , bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 4: Cho là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được:

Lời giải 1:

Áp dụng bất đẳng thức trong bài 3:

Còn lại ta cần chứng minh:

Giả sử ta có ngay điều phải chứng minh

Lời giải 2:

Đưa bất đẳng thức về dạng:

Trong đó:

Giả sử , ta chứng minh được , áp dụng tiêu chuẩn 2 của SOS ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với là các số thực không âm:

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:

Lời giải 1:

Bất đẳng thức tương đương với:

Giả sử , ta có:

Với:

Phép chứng minh hoàn tất

Lời giải 2:

Đưa bất đẳng thức về dạng SOS:

Trong đó:

Ta chứng minh được áp dụng tiêu chuẩn 2 ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 6: Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

Trong đó:

Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm :

Lời giải

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được

Giả sử , ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm ta có:

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức:

Ta có:

Cộng vế và ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 10: Cho là các số thực không âm thoả mãn: Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức tương đương với:

Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Chú ý rằng ta có đẳng thưc đơn giản sau với mọi số thực :

Do đó bất đẳng thức có thể viết lại dưới dạng:

Trong đó:

Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 11: Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức tương đương với:

Giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Với:

Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 12: Tìm hằng số bé nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm

:

Lời giải

Cho suy ra Ta sẽ chứng minh đây là giá trị cần tìm, nghĩa là:

Khong mất tính tổng quát giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:

Với:

Ta có:

Dùng đạo hàm ta chứng minh được

Do đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 13: Tìm hằng số bé nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm

:

Lời giải

Cho suy ra Ta chứng minh đây chính là giá trị cần tìm, nghĩa là: Giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Trong đó:

Bài 1: Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng:

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm :

Bài 3: Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng:

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với là các số thực không âm :

Phương pháp SOS và những mối quan hệ lí thú với bất đẳng thức Schur

Phần I, Phép chứng minh ấn tượng:

Trong bài viết nho nhỏ này ta sẽ bàn đến một vài vấn đề khác trong phương pháp SOS Đó là dùng phương pháp SOS để chứng minh các định lí Có thể các bạn sẽ phải bất ngờ trước sức

công phá của phương pháp trong trường hợp này Chúng ta bắt đầu bằng phép chứng minh cho

1 bất đẳng thức rất chặt là Schur:

Định lí schur:

Cho là các số thực dương Khi đó với mọi thì

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc và cùng các hoán vị của nó

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Ta có :

Bất đẳng thức đã qui về dạng chính tắc với:

Dễ thấy ta có Ta cần chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc và cùng các hoán vị của nó

Vậy ta đã chứng minh xong bất đẳng thức Schur mà không theo cách thông thường trong các

tài liệu đã từng giới thiệu Có thể các bạn sẽ không thích cách giải này cho lắm bởi vì cách giải

mà các bạn đã quá quen thuộc chỉ gần 3 dòng, ngắn đến hết mức có thể

Nhưng chắc chắn các bạn sẽ phải đồng ý với tôi rằng cách chứng minh trên sẽ thật sự là hữu hiệu nhất trong bất đẳng thức mà tôi sắp giới thiệu sau đây Đó chính là 1 bất đẳng thức mới

mà cũng chưa xuất hiện trong bất cứ 1 quyển sách đã xuất bản nào ở Việt Nam

Xin giới thiệu đến các bạn bất đẳng thức cũng rất chặt Vornicu Schur:

Định lí Vornicu schur:

Với là các số thực không âm;

là các số thực không âm thỏa mãn và hoặc thì :

Cách chứng minh hoàn toàn tương tự và cũng dài có 6 dòng

Bài tập ứng dụng của Vornicu Schur rất nhiều các bạn có thể dùng nó để giải quyết bài toán quen thuộc sau đây:

Bài 1: (Crux Mathematicorum, problem 2580, Hojoo Lee)

Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài 2: (Crux Mathematicorum, problem 2581,Hojoo Lee)

Phần II, Làm mạnh bất đẳng thức Schur và ứng dụng của nó:

Nhân đây bàn về bất đẳng thức Schur tôi cũng xin giới thiệu đến các bạn 1 kết quả mạnh hơn của bất đẳng thức này trong trường hợp

Như các bạn đã biết với thì bất đẳng thức Schur có dạng:

Và xuất phát từ ý tưởng làm mạnh bài toán ta sẽ suy nghĩ ngay tới bất đẳng thức

suy ra Bây giờ là bước 2, làm mạnh theo những gì đã định hướng ta chứng minh bất đẳng thức

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Tương đương

Tương tự ta dễ dàng chứng minh và dẫn đến

bây giờ ta cần chứng minh:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc và cùng các hoán vị của nó

Qua 1 vài dẫn chứng trên chắc hẳn các bạn cũng đã thấy được những mối quan hệ giữa Schur

và SOS, chúng rất thú vị phải không Đây chính là điều mà tôi muốn hướng tới khi viết phần phụ lục này Chúng ta vẫn sẽ tiếp tục khai thác vấn đề này nhưng là trong 1 tư tưởng khác đó

là kết hợp giữa Schur và SOS trong việc giải quyết bài toán

Nhưng trước hết để đơn giản hóa bài toán ta qui ước:

Với mọi đặt:

Chắc chắn rằng mọi bất đẳng thức đối xứng đều dễ dàng qui về bất đẳng thức tương đương có chứa Schur Nhưng nếu giữ nguyên dạng của bất đẳng thức này với 3 biến thì sẽ rất khó khăn khi biến đổi bởi chỉ cần nhìn vào thôi cũng đủ "váng đầu ngất xỉu" :lol:

Vì vậy ta sẽ đưa dạng của Schur biểu diễn dưới các biến đã qui định ở trên

Với trường hợp lũy thừa là 0 thì:

Với trường hợp lũy thừa là 1 thì:

Với trường hợp lũy thừa là 2 thì:

Trên đây là cách biểu diễn đơn giản của Schur trong trường hợp lũy thừa và cũng chỉ cần như vậy là bạn đã có đủ vũ khí để chiến đấu với các bất đẳng thức "hung dữ" Tiếp theo ta cũng nên thủ sẵn 1 vài bất đẳng thức phụ sẽ dùng mỗi khi biến đổi

Bất đẳng thức phụ:

Còn rất nhiều bất đẳng thức phụ dạng này các bạn hoàn toàn có thể dùng SOS để chứng minh

nó

Hằng đẳng thức đáng nhớ:

(

Các bạn nên nắm rõ các phép biến đổi bởi vì tư tưởng của phương pháp kết hợp này là:

+ Biến đổi bất đẳng thức đang xét về dạng có chứa 3 biến số mới Điều này làm tôi liên

tưởng đến cách biến đổi mà cô giáo đã dạy tôi khi biểu diễn công thức nghiệm của tam thức bậc 2

+ Sau khi đã qui về các biến ta thực hiện biến đổi tương đương để bất đẳng thức mới cần chứng minh có chứa bất đẳng thức Schur trực tiếp hoặc là có chứa 2 đại lượng gồm Schur

và 1 đại lượng khác

+Như vậy công việc cuối cùng của ta là chứng minh đại lượng còn lại ấy không âm Và đến đây bài toán được giải quyết hoàn toàn Chắc chắn những biểu thức đối xứng còn lại đều dễ dàng chứng minh được bằng phương pháp tổng quát

Trong 1 số trường hợp thì ta có ngay luôn các đại lượng chứa Schur Có thể minh họa rõ cho điều này là bất đẳng thức Iran 96 nổi tiếng Bạn nào có quyển tuyển tập đề thi Châu Á Thái Bình Dương thì cũng thấy lời giải bằng Schur nhưng trông rất khủng khiếp mới nhìn đã "chạy mất dép"

Tôi sẽ đưa ra 1 ví dụ khá là đơn giản

Cho các số thực dương Chứng minh rằng

Giải

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

Ta lại có:

Bất đẳng thức cần chứng minh đã qui về dạng chính tắc

Không mất tính tổng quát ta giả sử

Dễ dạng chứng minh

Ta cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc và cùng các hoán vị

Lời giải trên có thể sẽ là rắc rối nhưng tôi đưa nó ra để khẳng định rằng hoàn toàn có thể kết hợp giữa 2 phương pháp để giải quyết vấn đề Lời giải trên rắc rối tại vì sao? Câu trả lời là bởi

vì tôi có 1 lời giải khác đơn giản hơn nhiều nhưng lại đòi hỏi 1 kỉ thuật khác cũng rất mạnh trong chứng minh bất đẳng thức

Lời giải:

Chuẩn hoá

đặt

Dùng AM-GM dễ dàng qui bất đẳng thức cần chứng minh về Levinson inequality

Và sử dụng bất đẳng thức : +

đúng Lí giải cho phương pháp này của thầy Trần Nam Dũng (ĐHKHTN Thành phố Hồ Chí Minh - Nhóm quản lí Diễn đàn toán học-Hội đồng biên tập Tạp chí Toán học và tuổi trẻ) Dạng thường gặp của bất đẳng thức thuần nhất là

trong đó và là hai hàm thuần nhất cùng bậc

Do tính chất của hàm thuần nhất, ta có thể chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về việc chứng minh bất đẳng thức với mọi thoả mãn điều kiện

Chuẩn hóa một cách thích hợp, ta có thể làm đơn giản các biểu thức của bất đẳng thức cần chứng minh, tận dụng được một số tính chất đặc biệt của các hằng số