phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức×các phương pháp kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức×phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức×phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức×phương pháp hình học trong chứng minh bất đẳng thức×phương pháp chuẩn hóa trong chứng minh bất đẳng thức×
Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Phương Pháp SOS Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức Ví dụ 1: Cho số thực không âm có tổng Chứng minh rằng: Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức mạnh sau: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 2: Cho số thực không âm thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải Ta có: Quy bất đẳng thức cần chứng minh về: Chú ý rằng: Do ta cần chứng minh: Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Iran96 quen thuộc, phép chứng minh hoàn tất Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực không âm Lời giải Bất đẳng thức mạnh đúng: Lời giải 1: Giả sử Trong đó: ta có: : Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Bất đẳng thức chứng minh Lời giải 2: Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng SOS: Với: Tương tự ta có Ví dụ 4: Cho , bất đẳng thức chứng minh số thực không âm Chứng minh rằng: Lời giải Bất đẳng thức hiển nhiên ta chứng minh được: Lời giải 1: Áp dụng bất đẳng thức 3: Còn lại ta cần chứng minh: Giả sử ta có điều phải chứng minh Lời giải 2: Đưa bất đẳng thức dạng: Trong đó: Giả sử chứng minh , ta chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức chặt sau: Lời giải 1: Bất đẳng thức tương đương với: Giả sử Với: , ta có: , áp dụng tiêu chuẩn SOS ta có điều phải số thực không âm: Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Phép chứng minh hoàn tất Lời giải 2: Đưa bất đẳng thức dạng SOS: Trong đó: Ta chứng minh Ví dụ 6: Cho áp dụng tiêu chuẩn ta có điều phải chứng minh số thực không âm thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: Giả sử Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng: Trong đó: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực không âm Lời giải Bất đẳng thức hiển nhiên ta chứng minh Giả sử , ta có: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 8: Chứng minh với số thực không âm Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn: Giả sử ta có điều phải chứng minh ta có: : Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Ví dụ 9: Cho số thực không âm Chứng minh rằng: Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức: Ta có: Cộng vế Ví dụ 10: Cho ta có điều phải chứng minh số thực không âm thoả mãn: Chứng minh rằng: Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn: Chú ý ta có đẳng thưc đơn giản sau với số thực Cho : ta được: Do bất đẳng thức viết lại dạng: Trong đó: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 11: Cho số thực không âm thoả mãn Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: Giả sử , ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn: Giả sử ta có: Với: Chứng minh rằng: Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 12: Tìm số bé để bất đẳng thức sau với số thực không âm : Lời giải Cho là: suy Khong tính tổng quát giả sử sau: Ta chứng minh giá trị cần tìm, nghĩa , ta chứng minh bất đẳng thức chặt Với: Ta có: Nếu Nếu bất đẳng thức hiển nhiên : Dùng đạo hàm ta chứng minh Do ta có điều phải chứng minh Ví dụ 13: Tìm số bé cho bất đẳng thức sau với số thực không âm : Lời giải Cho Giả sử suy Ta chứng minh giá trị cần tìm, nghĩa là: , ta chứng minh bất đẳng thức sau: Trong đó: Bất đẳng thức chứng minh Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Một số tập áp dụng: Bài 1: Cho số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực không âm Bài 3: Cho số thực không âm thoả mãn : Chứng minh rằng: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau với số thực không âm : Phương pháp SOS mối quan hệ lí thú với bất đẳng thức Schur Phần I, Phép chứng minh ấn tượng: Trong viết nho nhỏ ta bàn đến vài vấn đề khác phương pháp SOS Đó dùng phương pháp SOS để chứng minh định lí Có thể bạn phải bất ngờ trước sức công phá phương pháp trường hợp Chúng ta bắt đầu phép chứng minh cho bất đẳng thức chặt Schur: Định lí schur: Cho số thực dương Khi với dấu xảy Chứng minh: Không tính tổng quát ta giả sử Ta có : hoán vị hoán vị Bất đẳng thức qui dạng tắc với: Dễ thấy ta có Ta cần chứng minh Thật ta có Dấu xảy Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai Vậy ta chứng minh xong bất đẳng thức Schur mà không theo cách thông thường tài liệu giới thiệu Có thể bạn không thích cách giải cho cách giải mà bạn quen thuộc gần dòng, ngắn đến hết mức Nhưng chắn bạn phải đồng ý với cách chứng minh thật hữu hiệu bất đẳng thức mà giới thiệu sau Đó bất đẳng thức mà chưa xuất sách xuất Việt Nam Xin giới thiệu đến bạn bất đẳng thức chặt Vornicu Schur: Định lí Vornicu schur: Với số thực không âm; số thực không âm thỏa mãn : Cách chứng minh hoàn toàn tương tự dài có dòng Bài tập ứng dụng Vornicu Schur nhiều bạn dùng để giải toán quen thuộc sau đây: Bài 1: (Crux Mathematicorum, problem 2580, Hojoo Lee) Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: Bài 2: (Crux Mathematicorum, problem 2581,Hojoo Lee) Phần II, Làm mạnh bất đẳng thức Schur ứng dụng nó: Nhân bàn bất đẳng thức Schur xin giới thiệu đến bạn kết mạnh bất đẳng thức trường hợp Như bạn biết với bất đẳng thức Schur có dạng: Và xuất phát từ ý tưởng làm mạnh toán ta suy nghĩ tới bất đẳng thức suy Bây bước 2, làm mạnh theo định hướng ta chứng minh bất đẳng thức Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: Tương đương Như bước biến đổi dạng tắc thành công Ta chuyển sang bước đánh giá Không tính tổng quát giả sử Ta có: Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai (do ) Tương tự ta dễ dàng chứng minh dẫn đến ta cần chứng minh: Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy và hoán vị Qua vài dẫn chứng hẳn bạn thấy mối quan hệ Schur SOS, chúng thú vị phải không Đây điều mà muốn hướng tới viết phần phụ lục Chúng ta tiếp tục khai thác vấn đề tư tưởng khác kết hợp Schur SOS việc giải toán Nhưng trước hết để đơn giản hóa toán ta qui ước: Với đặt: Chắc chắn bất đẳng thức đối xứng dễ dàng qui bất đẳng thức tương đương có chứa Schur Nhưng giữ nguyên dạng bất đẳng thức với biến khó khăn biến đổi cần nhìn vào đủ "váng đầu ngất xỉu" :lol: Vì ta đưa dạng Schur biểu diễn biến qui định Với trường hợp lũy thừa thì: Với trường hợp lũy thừa thì: Với trường hợp lũy thừa thì: Trên cách biểu diễn đơn giản Schur trường hợp lũy thừa cần bạn có đủ vũ khí để chiến đấu với bất đẳng thức "hung dữ" Tiếp theo ta nên thủ sẵn vài bất đẳng thức phụ dùng biến đổi Bất đẳng thức phụ: Còn nhiều bất đẳng thức phụ dạng bạn hoàn toàn dùng SOS để chứng minh Hằng đẳng thức đáng nhớ: ( Các bạn nên nắm rõ phép biến đổi tư tưởng phương pháp kết hợp là: + Biến đổi bất đẳng thức xét dạng có chứa biến số Điều làm liên Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai tưởng đến cách biến đổi mà cô giáo dạy biểu diễn công thức nghiệm tam thức bậc + Sau qui biến ta thực biến đổi tương đương để bất đẳng thức cần chứng minh có chứa bất đẳng thức Schur trực tiếp có chứa đại lượng gồm Schur đại lượng khác +Như công việc cuối ta chứng minh đại lượng lại không âm Và đến toán giải hoàn toàn Chắc chắn biểu thức đối xứng lại dễ dàng chứng minh phương pháp tổng quát Trong số trường hợp ta có đại lượng chứa Schur Có thể minh họa rõ cho điều bất đẳng thức Iran 96 tiếng Bạn có tuyển tập đề thi Châu Á Thái Bình Dương thấy lời giải Schur trông khủng khiếp nhìn "chạy dép" Tôi đưa ví dụ đơn giản Cho số thực dương Chứng minh Giải Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương Ta lại có: Bất đẳng thức cần chứng minh qui dạng tắc Không tính tổng quát ta giả sử Dễ dạng chứng minh Ta cần chứng minh Đẳng thức xảy và hoán vị Lời giải rắc rối đưa để khẳng định hoàn toàn kết hợp phương pháp để giải vấn đề Lời giải rắc rối sao? Câu trả lời có lời giải khác đơn giản nhiều lại đòi hỏi kỉ thuật khác mạnh chứng minh bất đẳng thức Lời giải: Chuẩn hoá đặt Dùng AM-GM dễ dàng qui bất đẳng thức cần chứng minh Levinson inequality Và sử dụng bất đẳng thức : + Đẳng thức xảy Do phương pháp Chuẩn hóa nằm phạm vi viết nên nói cách khái quát phương pháp sau Cơ sở chuẩn hóa bất đẳng thức không làm hẹp miền xác định biến số Kênh youtube: NĐT OFFICIAL PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai chứng minh trường số BDT dạng không điều kiện Lí giải cho phương pháp thầy Trần Nam Dũng (ĐHKHTN Thành phố Hồ Chí Minh - Nhóm quản lí Diễn đàn toán học-Hội đồng biên tập Tạp chí Toán học tuổi trẻ) Dạng thường gặp bất đẳng thức hai hàm bậc Do tính chất hàm nhất, ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức việc chứng minh bất đẳng thức với thoả mãn điều kiện Chuẩn hóa cách thích hợp, ta làm đơn giản biểu thức bất đẳng thức cần chứng minh, tận dụng số tính chất đặc biệt số ... Facebook.com/thaygiaodepzai Bất đẳng thức chứng minh Lời giải 2: Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng SOS: Với: Tương tự ta có Ví dụ 4: Cho , bất đẳng thức chứng minh số thực không âm Chứng minh rằng: Lời giải Bất đẳng. .. bất đẳng thức mạnh hơn: Giả sử Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng: Trong đó: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực không âm Lời giải Bất đẳng thức hiển... minh Ví dụ 6: Cho áp dụng tiêu chuẩn ta có điều phải chứng minh số thực không âm thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta chứng minh bất đẳng