Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)

Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC GIẢM BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN NỘI SUY Mã số: ĐH2014-TN07-01 Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN, 05/2017 Thành viên tham gia đơn vị phối hợp I NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI TT Họ tên TS Nguyễn Thanh Sơn TS Mai Viết Thuận ThS Nguyễn Song Hà Đơn vị công tác Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Vai trò Chủ nhiệm NCV chủ chốt NCV+Thư ký II ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Đơn vị phối hợp Viện Toán học, ĐH Tổng hợp Augsburg, CHLB Đức Nội dung phối hợp Định hướng hợp tác nghiên cứu, cung cấp phần mềm PABTEC Đại diện GS.TS Tatjana Stykel Mục lục Thành viên tham gia đơn vị phối hợp Thông tin kết nghiên cứu Information on research results Mở đầu Phương trình mạch điện giảm bậc mô hình 1.1 Phương trình mạch điện 1.2 Giảm bậc mô hình 1.2.1 Giảm bậc hệ động lực 1.2.2 Phương pháp giảm sở 5 5 Giảm bậc phương trình mạch điện dựa nội suy 2.1 Nội suy miền tần số 2.2 Nội suy đa tạp không gian chiếu 2.3 Nội suy miền thời gian 2.4 Ví dụ số 2.5 Kết luận 6 9 Chặt cân phụ thuộc tham số 3.1 Giới thiệu phương trình Lyapunov 3.2 Phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov 3.2.1 Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính 3.2.2 Ước lượng sai số 3.3 Xấp xỉ hạng thấp nghiệm RB phương trình Lyapunov 3.3.1 Giai đoạn offline 3.3.2 Giai đoạn online 3.4 Mở rộng cho hệ không đối xứng 3.4.1 Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius 3.4.2 Ước lượng sai số theo chuẩn logarit 3.5 Chặt cân phụ thuộc tham số 3.6 Ví dụ số 3.7 Kết luận 10 10 10 10 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Trường Đại học Khoa học THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa nội suy - Mã số: ĐH2014-TN07-01 - Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thanh Sơn - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: Tháng 01 năm 2014 tới tháng 12 năm 2015 Mục tiêu: - Nghiên cứu giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số nội suy - Áp dụng kết lý thuyết vào mô hình thực tế - Nâng cao lực nghiên cứu, giảng dạy cá nhân chủ nhiệm đề tài - Duy trì tăng cường quan hệ với đối tác, hình thành nhóm nghiên cứu nước Tính sáng tạo: - Đề xuất sử dụng PABTEC nội suy cho phương trình mạch điện phụ thuộc tham số - Đề xuất sử dụng phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov kết lý thuyết thu - Đề xuất phương pháp mới: chặt cân phụ thuộc tham số Kết nghiên cứu: - Mở rộng số phương pháp PMOR tiêu chuẩn cho hệ đại số - Phát triển phương pháp chặt cân phụ thuộc tham số từ kết giải số phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số - Minh họa tất vấn đề lý thuyết chương trình MATLAB với mô hình thực tế Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học Son N.T , Stykel T (2015), “Model order reduction of parameterized circuit equations based on interpolation”, Advances in Computational Mathematics, 41 (5), pp 1321-1342 (SCIE) Son N T., Stykel T (2017), “Solving parameter-dependent Lyapunov equations using the reduced basis method with application to parametric model order reduction”, SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications, (to appear) (SCI) 5.2 Sản phẩm đào tạo Chủ nhiệm đề tài hướng dẫn học viên cao học bảo vệ thành công năm 2015: Lê Thị Phương Giang (2015), Giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian phương pháp chặt cân bằng, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN Nguyễn Văn Lộc (2015), Giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN Phạm Thị Thùy Nhung (2015), Phương pháp giảm sở giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: : - Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng 3 - Có thể sử dụng trình thiết kế, mô mạch điện, trình truyền dẫn nhiệt - Hai đóng góp khoa học, đào tạo ba thạc sĩ toán học, góp phần hoàn thiện giảng môn "Mô hình lập mô hình toán học" INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: Model order reduction of parameterized circuit equations based on interpolation - Code number: ĐH2014-TN07-01 - Coordinator: Dr Nguyen Thanh Son - Implementing institution: TNU - University of Sciences - Duration: from January 2014 to December 2015 Objectives - Investigating the application of PMOR methods to parameterized circuit equations - Applying the theoretical results to practical models - Enhancing the research and training ability of the coordinator - Maintaining and enhancing the cooperations, establishing a group working on MOR Creativeness and innovativeness: - The idea of using PABTEC and interpolation for parameterized circuit equations; - The idea of using the reduced basis method for parametric Lyapunov equations; - A novel method: parametric balanced truncation Research results: - Extending standard interpolation based PMOR methods for circuit equations - Developing the parametric balanced truncation method based on the result of solving parametric Lyapunov equations - Illustrating all theoretical results with practical models Products: 5.1 Scientific results Son N.T., Stykel T (2015), “Model order reduction of parameterized circuit equations based on interpolation”, Advances in Computational Mathematics, 41 (5), pp 1321-1342 (SCIE) Son N T., Stykel T (2017), “Solving parameter-dependent Lyapunov equations using reduced basis method with application to parametric model order reduction”, SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications, (to appear) (SCI) 5.2 Training results Supervising master students those successfully defended their theses in 2015: Lê Thị Phương Giang (2015), Model Order Reduction of Linear Time-Invariant Systems Using the Balanced Truncation Method, Master thesis, TNU - University of Sciences Nguyễn Văn Lộc (2015), Model Order Reduction of Linear Time-Invariant Systems Using Proper Orthogonal Decomposition, Master thesis, TNU - University of Sciences Phạm Thị Thùy Nhung (2015), The Reduced Basis Method for Solving Parametric Linear Coercive Elliptic Equations, Master thesis, TNU - University of Sciences Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: - Materials for bachelor, master and PhD students whose major is Applied Mathematics - The derived results can be used in design, simulation of electrical circuits, heat transfer - Publishing two papers, supervising three master students, compilling the lecture notes “Mathematical Models and Modelling” 4 Mở đầu Yêu cầu ngày khắt khe đời sống công nghệ đòi hỏi phải chế tạo mạch điện tích hợp nhỏ có số lượng lớn thành phần Hiện tại, vi xử lý Core i7 Intel với diện tích 263 mm2 chứa 731 triệu transistors Vi mạch tích hợp phận thiết yếu có mặt hầu hết công cụ sống máy vi tính, điện thoại di động, thiết bị tự động, tên lửa thông minh, radar, v.v., Sử dụng phương pháp MNA (Modified Nodal Analysis), ta mô hình hóa mạch điện dạng E(p)x(t) ˙ = A(p)x(t) + Bu(t), (1) y(t) = B T x(t), với   E(p) =  AC C(p)ATC 0 0     L(p) , A(p) =  0 −AR G(p)ATR −AL −AV ATL 0 ATV 0    (2) E(p), A(p) ∈ RN ×N gọi ma trận hệ thống, B ∈ RN ×m ma trận đầu vào, x(t) ∈ RN véctơ trạng thái, véctơ tham số p ∈ P ⊂ Rd Trong mạch tích hợp, cỡ véctơ, gọi bậc mô hình (1) lớn, làm cho việc mô khó thực thời gian, với máy tính đại Từ đó, xuất nhu cầu thay mô hình (1) mô hình có bậc thấp ˆ x ˆ x(t) + B(p)u(t), ˆ E(p) ˆ˙ (t) = A(p)ˆ ˆ x(t), yˆ(t) = C(p)ˆ (3) ˆ ˆ ˆ ˆ E(p), A(p) ∈ Rr×r , B(p) ∈ Rr×m , C(p) ∈ Rm×r r N cho (3) xấp xỉ (1) với giá trị p miền tham số cho trước Bài toán gọi giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số (Parametric Model Order Reduction - PMOR) Thêm vào phương trình mạch điện, E(p) không khả nghịch Điều mặt gây nhiều khó việc tính toán, mô đặc điểm thú vị hấp dẫn nghiên cứu chuyên sâu Chúng sử dụng cách tiếp cận dựa nội suy phương pháp chặt cân bảo toàn tính thụ động cho mạch điện- PABTEC (PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical Circuits) Đây phương pháp thiết kế riêng chuyên để giảm bậc phương trình mạch điện không phụ thuộc tham số Trong hướng khác, muốn giải toán phương pháp chặt cân (BT - Balanced truncation method) cách linh hoạt uyển chuyển Như biết, để sử dụng phương pháp BT, ta phải giải cặp phương trình Lyapunov đối ngẫu để có gramian điều khiển (controllability gramian) gramian quan sát (observability gramian) Đối với hệ phụ thuộc tham số, phải thực tất bước thay đổi tham số Để thực điều đó, sử dụng phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số sau đó, sử dụng thủ tục phân tích offline-online để xây dựng ROM phụ thuộc tham số 5 Chương Phương trình mạch điện giảm bậc mô hình 1.1 Phương trình mạch điện Việc xây dựng mạch điện phương pháp Phân tích nốt cải biên (Modified nodal analysis) cần đến số khái niệm tô pô: Đồ thị định hướng, đỉnh, cạnh, đường nối, dãy mở, vòng, đồ thị liên thông, ma trận liên thuộc số quy luật điện như: Định luật Kirchhoff cường độ dòng điện Định luật Kirchhoff hiệu điện thế, Quy luật cấu thành nhánh cho mạch tuyến tính 1.2 Giảm bậc mô hình Chúng điểm qua phương pháp giảm thiểu số chiều phổ biến áp dụng cho toán cỡ lớn phụ thuộc tham số 1.2.1 Giảm bậc hệ động lực Các phương pháp phổ biến bao gồm: phương pháp phân tích trực giao (Proper orthogonal decomposition - POD) [Volkwein/2008], Phương pháp không gian Krylov [Grimme/1997], Phương pháp chặt cân [Tombs et al./1987] Đối với mạch điện RLC, đối tượng nghiên cứu đề tài, phương pháp PABTEC (PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical Circuits) [Reis et al./2010] sử dụng bảo toàn tính thụ động Các phương pháp giảm bậc hệ động lực phụ thuộc tham số tìm thấy luận án [Son/2012] hai báo tổng quan [Baur et al./2015, Benner et al./2015] 1.2.2 Phương pháp giảm sở Khác với phương pháp giảm bậc trình bày mục trên, để xử lý toán phụ thuộc tham số có số chiều cao, phương pháp giảm sở làm việc trực tiếp với dạng biến phân toán Ý tượng chủ đạo xây dựng không gian số chiều thấp cho sai số nghiệm xấp xỉ chiếu lên không gian đảm bảo nhỏ ngưỡng cho trước số chiều không gian giảm nhỏ tốt Điều kiện tiên để phương pháp thành công ước lượng sai số chặt chiến thuật tính ước lượng nhanh hiệu Cuối cùng, sở giảm tìm thông qua thuật toán greedy Độc giả tham khảo tài liệu [Hesthaven et al./2016, Quarteroni et al./2016] để tìm hiểu chi tiết phương pháp 6 Chương Giảm bậc phương trình mạch điện dựa nội suy Nội dung chương trình bày kết thu từ việc sử dụng kết hợp cách thức nội suy phương pháp PABTEC để giảm số chiều phương trình mạch điện phụ thuộc tham số Cho p0 , , pk ∈ P véctơ tham số khác lựa chọn điểm nội suy miền tham số Tại điểm pj , ta giảm bậc hệ vi phân đại số Ej x˙ j (t) = Aj xj (t) + Bu(t), (2.1) yj (t) = B T xj (t) với Ej = E(pj ) Aj = A(pj ), j = 0, , k , hệ giảm bậc ˆj x ˆj u(t), E ˆ˙ j (t) = Aˆj x ˆj (t) + B yˆj (t) = Cˆj x ˆj (t) (2.2) phương pháp PABTEC [Reis et al./2010, 2011] Trong trường hợp này, ma trận hệ số (2.2) có dạng ˆj = ZjT Ej Wj , E Aˆj = ZjT Aj Wj , ˆj = ZjT B, B Cˆj = B T Wj , ma trận chiếu Zj , Wj ∈ RN ×r xác định không gian chiếu 2.1 Nội suy miền tần số ˆ j (s)), H ˆ j (s) = Cˆj (sE ˆj − Aˆj )−1 B ˆj hàm truyền hệ giảm Sử dụng liệu (pj , H ˆ địa phương (2.2) j = 0, , k , ta xây dựng hàm truyền giảm bậc H(p, s) p ∈ P nội suy Sử dụng nội suy hữu tỉ nội suy đa thức nhiều biến, ta xây dựng hàm truyền giảm bậc toàn cục k ˆ s) = H(p, ˆ j (s), fj (p)H (2.3) j=0 với hàm trọng fj (p) thỏa mãn fj (pi ) = δij hàm đenta Kronecker Dễ dàng nhận thấy ˆ s) thỏa mãn điều kiện nội suy H(p ˆ j , s) = H ˆ j (s) j = 0, , k H(p, Để đánh giá chất lượng phương pháp giảm bậc, ta sử dụng chuẩn sau H L∞ (P)⊗H∞ := sup sup H(p, s) , p∈P s∈C+ với · ký hiệu chuẩn phổ ma trận Khi đó, sai số xấp xỉ ước lượng sau k ˆ H −H L∞ (P)⊗H∞ ≤ Ek (H, p, s) L∞ (P)⊗H∞ với |fj (p)| , + max ∆j sup 0≤j≤k p∈P j=0 k Ek (H, p, s) = H(p, s) − fj (p)H(pj , s) j=0 sai số nội suy, ˆ j (·) ∆j = H(pj , ·) − H H∞ ˆ j (s) := sup H(pj , s) − H (2.4) s∈C+ sai số địa phương theo chuẩn H∞ Sử dụng nội suy spline tuyến tính giả sử hàm truyền H(p, s) thỏa mãn điều kiện Lipschitz H(p1 , ·) − H(p2 , ·) H∞ ≤ L p1 − p2 (2.5) với p1 , p2 ∈ P số Lipschitz L > 0, ta thu ước lượng sau ˆ H −H L∞ (P)⊗H∞ ≤ Lh + max ∆j , 0≤j≤k (2.6) với ∆j xác định (2.4), h bán kính lớn miền P sinh lưới điểm nội suy p0 , , pk 2.2 Nội suy đa tạp không gian chiếu Trước tiên, muốn lưu ý tập không gian có số chiều r RN lập thành đa tạp Riemann Nó gọi đa tạp Grassmann ký hiệu G(r, N ) Vì vậy, nội suy tập không gian chiếu thực nội suy đa tạp Một thủ tục bước đề xuất [Amsallem/2008] mà trình nội suy thực thực không gian tiếp xúc đa tạp Grassmann Ta ký hiệu TW0G(r, N ) không gian tiếp xúc đa tạp G(r, N) W0 ∈ G(r, N), LogW0(W) logarit W ∈ G(r, N), ExpW0 (Y) mũ Y ∈ TW0 G(r, N ) Tiếp theo, trình bày lại thủ tục để nội suy không gian chiếu phải W0 , , Wk tương ứng sinh W0 , , Wk Bước Chọn điểm tiếp xúc cho không gian tiếp xúc, chẳng hạn, W0 Bước Ánh xạ W1 , · · · , Wk lên TW0 G(r, N ) LogW0 Để thực hiện, ta phải tính phân tích giá trị kỳ dị (SVD) T (I − W0 (W0T W0 )−1 W0T )Wj (W0T Wj )−1 (W0T W0 )1/2 = UWj ΣWj VW j với j = 1, , k Khi đó, ảnh YWj = LogW0 (Wj ) sinh cột ma trận T YWj = UWj arctan(ΣWj )VW , j YW0 = LogW0 (W0 ) = j = 1, , k, (2.7) Bước Nội suy TW0 G(r, N ) kỹ thuật đó: với gia trị tham số p ∈ P, cột ma trận k YW (p) = fj (p)YWj , (2.8) j=1 fj (p) hàm trọng phụ thuộc vào phương pháp nội suy mà ta sử dụng, sinh không gian YW (p) thuộc TW0 G(r, N ) Bước Ánh xạ YW (p) trở đa tạp Grassmann G(r, N ) ExpW0 Để đạt mục đích này, trước tiên ta phải tính phân tích SVD YW (p) = UW (p)ΣW (p)VW (p)T (2.9) W (p) = W0 (W0T W0 )−1/2 VW (p) cos(ΣW (p)) + UW (p) sin(ΣW (p)) (2.10) sau biểu diễn ma trận không gian cần tìm W(p) = ExpW0 (YW (p)) Một thủ tục tương tự để nội suy không gian chiếu trái Z1 , , Zk sinh Z0 , , Zk , để nhận Z(p) với ma trận sở Z(p) = Z0 (Z0T Z0 )−1/2 VZ (p) cos(ΣZ (p)) + UZ (p) sin(ΣZ (p)) (2.11) Khi đó, ma trận hệ giảm bậc (2.2) xác định phép chiếu ˆ ˆ E(p) = Z T (p)E(p)W (p), A(p) = Z T (p)A(p)W (p), T ˆ ˆ B(p) = Z (p)B, C(p) = CW (p) (2.12) Tiếp đó, trình bày mở rộng [Son/2013] cho hệ phương trình mạch điện nhằm đẩy nhanh tốc độ tính toán thông qua thủ tục offline-online Cụ thể xin xem Báo cáo tổng kết 2.3 Nội suy miền thời gian Chúng sử dụng hai phương pháp [Panzer et al./2010] [Amsallem et al./2011] để thực bước nội suy đa tạp ma trận hệ giảm bậc cách thích hợp Cho RW RZ tương ứng ma trận cỡ N × r có cột véctơ kỳ dị trái ma trận [W0 , , Wk ] [Z0 , , Zk ], tương ứng với r giá trị kỳ dị lớn Sau đó, hệ giảm bậc địa phương (2.2) chuyển dạng ˆj Tj x ˆj u(t), Mj E ˜˙ j (t) = Mj Aˆj Tj x ˜j (t) + Mj B yˆ(t) = Cˆj Tj x ˜j (t), (2.13) T W )−1 M = (Z T R )−1 , ma trận vừa tính được sử dụng với Tj = (RW j j Z j liệu cho nội suy để thu hệ giảm bậc toàn cục giá trị p Ý tưởng thứ hai trình bày [Amsallem et al./2011] dựa việc tối tiểu hóa khác không ma trận chiếu Phương pháp mở rộng lên cho hệ vi phân đại số 9 Trước tiên, ta chọn ma trận chiếu gốc, chẳng hạn, W0 Z0 , cho ma trận phải trái giải toán tối thiểu Qj = argmin Wj Q − W0 F, Q∈GL(r) Rj = argmin Zj R − Z0 F R∈GL(r) với j = 1, , k , GL(r) ký hiệu tập ma trận khả nghịch cỡ r × r Sau đó, Wj Zj thay Wj Qj Zj Rj , tương ứng sinh không gian Wj Zj gần W0 Z0 tập tất ma trận sinh không gian Wj Zj Ma trận hệ giảm địa phương trở thành ˜j = RjT E ˆj Qj , E A˜j = RjT Aˆj Qj , ˜ j = RT B ˆ B j j, C˜j = Cˆj Qj (2.14) Bước cuối nội suy hệ điều chỉnh Do ma trận thường có tính chất đặc biệt đó, chẳng hạn, tính khả nghịch, tính đối xứng xác định dương, nội suy trực tiếp không thực giống trường hợp đa tạp Grassmann Vì lí này, ta nên sử dụng thủ tục bước giống mục trước 2.4 Ví dụ số Trong mục này, ta xét hai mạch điện Đây mô hình cung cấp công ty NEC Display Solutions Europe có trụ sở Munich Các thông tin kết tính toán số trình bày chi tiết Báo cáo tổng kết Ở đây, đưa vài kết luận dựa kết số thu • Nội suy không gian chiếu cho kết tốt • Nội suy miền thời gian với ma trận điều chỉnh [Amsallem et al./2011] cho kết tốt cách tiếp cận [Panzer et al./2010] • Nội suy miền tần số spline tuyến tính cho kết tốt nghịch đảo khoảng cách 2.5 Kết luận Trong chương này, toán giảm bậc mạch điện phụ thuộc tham số dựa nội suy trình bày Chúng mở rộng phát triển phương pháp nội suy phổ biến cho giảm bậc hệ tiêu chuẩn phụ thuộc tham số cho hệ vi phân đại số phụ thuộc tham số: Nội suy miền tần số, nội suy không gian chiếu nội suy miền thời gian Bên cạnh khía cạnh tính toán, khám phá cấu trúc đặc biệt mô hình mạch điện, tìm hiểu việc bảo toàn tính chất quan trọng mạch điện tính thụ động tính khả đảo 10 Chương Chặt cân phụ thuộc tham số Như trình bày Chương 1, sử dụng chặt cân bằng, người ta phải giải cặp phương trình Lyapunov đối ngẫu, sử dụng nghiệm để xây dựng phép biến đổi cân chặt trạng thái có vài trò hay không quan trọng Trong trường hợp hệ phụ thuộc tham số, phương trình Lyapunov bước sau phụ thuộc tham số Chúng trình bày tóm tắt cách tiếp cận sử dụng phương pháp giảm sở để giải toán 3.1 Giới thiệu phương trình Lyapunov Đối tượng chương phương trình Lyapunov đại số phụ thuộc tham số (Parametric algebraic Lyapunov equations - PALE) A(µ)X(µ)E T(µ) + E(µ)X(µ)AT(µ) = −B(µ)B T(µ), (3.1) A(µ), E(µ) ∈ RN ×N B(µ) ∈ RN ×m với m N cho trước Ma trận hệ số vế phải phương trình phụ thuộc vào tham số µ nằm miền compact D ⊂ Rd Ta giả sử toàn chương này, ma trận E(µ) khả nghịch, giá trị riêng suy rộng chùm ma trận λE(µ) − A(µ) có phần thực âm so với giá trị tham số µ ∈ D Với giả thiết này, phương trình (3.1) có nghiệm đối xứng, nửa xác định dương X(µ) với µ ∈ D 3.2 Phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov Với giá trị chọn µ1 , , µk ∈ D, ta xây dựng ma trận sở giảm Vk = [ x(µ1 ), , x(µk ) ], (3.2) x(µj ) nghiệm phương trình µ = µj với j = 1, , k Khi đó, với µ ∈ D, ˆ (µ), với x ˆ (µ) nghiệm nghiệm xấp xỉ tính phép chiếu Galerkin x(µ) ≈ Vk x hệ tuyến tính giảm chiều ˆ ˆ x(µ) = b(µ) L(µ)ˆ (3.3) ˆ ˆ với L(µ) = VkT L(µ)Vk b(µ) = VkT b(µ) 3.2.1 Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính 11 Algorithm Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính Input: ngưỡng tolrb , tập Dtrain , giá trị tham số đầu µ1 ∈ Dtrain Output: ma trận sở Vk 1: giải L(µ1 )x(µ1 ) = b(µ1 ) 2: giải ∆max > tolrb , M1 = {µ1 }, V1 = x(µ1 ), k = 3: while ∆max k−1 ≥ tolrb 4: µk = arg max ∆k−1 (µ) µ∈Dtrain \Mk−1 5: 6: 7: 8: 9: 10: ∆max = ∆k−1 (µk ) k Mk = Mk−1 ∪ {µk } giải L(µk )x(µk ) = b(µk ) Vk = [ Vk−1 , x(µk ) ] k ←k+1 end while 3.2.2 Ước lượng sai số Trước tiên, ràng buộc thêm số điều kiện cho toán xét Thật vậy, ta giả sử ma trận A(µ), E(µ) B(µ) phụ thuộc afin vào tham số µ, tức là, nA (A1) nE θjA (µ)Aj , E(µ) = A(µ) = j=1 nB θjE (µ)Ej , B(µ) = j=1 θjB (µ)Bj , j=1 Aj , Ej Bj độc lập với µ, nA , nE nB nhỏ so với N , θjA (µ), θjE (µ) θjB (µ) liên tục D tính toán giá trị hàm µ ∈ D rẻ Thêm vào đó, ta đòi hỏi ma trận −A(µ) E(µ) tham số, tức là, (A2) Ej = EjT ≥ θjE (µ) > với µ ∈ D j = 1, , nE , (A3) −Aj = −ATj ≥ θjA (µ) > với µ ∈ D j = 1, , nA Với µ ¯ ∈ D cố định, ta định nghĩa hàm sau L,¯ µ θmin (µ) = i=1, ,nE j=1, ,nA L (µ) θij L (¯ θij µ) L,¯ µ , θmax (µ) = max i=1, ,nE j=1, ,nA L (µ) θij L (¯ θij µ) , θL,¯µ (µ) = L,¯ µ θmax (µ) L,¯ µ θmin (µ) Bổ đề 3.1 Cho E(µ) A(µ) thỏa mãn (A1)– (A4) µ ¯, µ ¯1 , µ ¯2 ∈ D Với µ ∈ D, số α(µ) bị chặn L,¯ µ A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 L α(µ) ≥ αLB (µ) := max αLB (µ), αLB (µ), αLB (µ) > 0, (3.4) L,¯ µ αLB (µ) L,¯ µ = θmin (µ) λmin −A(¯ µ) λmin E(¯ µ) , A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 A,¯ µ1 E,¯ µ2 αLB (µ) = θmin (µ) θmin (µ) λmin −A(¯ µ1 ) λmin E(¯ µ2 ) , nE nA L (µ) αLB L θij (µ) λmin (−Aj ) λmin (Ei ) =2 i=1 j=1 Với µ ∈ D, số liên tục γ(µ) bị chặn L,¯ µ A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 L γ(µ) ≤ γUB (µ) := γUB (µ), γUB (µ), γUB (µ) , (3.5) 12 L,¯ µ γUB (µ) L,¯ µ = θmax (µ) λmax −A(¯ µ) λmax E(¯ µ) , A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 A,¯ µ1 E,¯ µ2 γUB (µ) = θmax (µ) θmax (µ) λmax −A(¯ µ1 ) λmax E(¯ µ2 ) , nE nA L (µ) γUB L θij (µ) λmax (−Aj ) λmax (Ei ) =2 i=1 j=1 Định lý sau cung cấp ước lượng sai số hậu nghiệm theo chuẩn Euclid cho nghiệm thu ˆ (µ) phương pháp giảm sở Vk x Định lí 3.1 Giả sử giả thiết (A1)– (A4) thỏa mãn, cho αLB (µ) γUB (µ) tương ứng ˆ (µ) thỏa mãn chặn (3.4) (3.5) Khi đó, sai số ek (µ) = x(µ) − Vk x ek (µ) ≤ ∆k (µ) ≤ γUB (µ) ek (µ) , αLB (µ) (3.6) ước tử sai số ∆k (µ) cho ∆k (µ) = 3.3 3.3.1 rk (µ) αLB (µ) (3.7) Xấp xỉ hạng thấp nghiệm RB phương trình Lyapunov Giai đoạn offline Ta tóm tắt quy trình thuật toán Algorithm Thuật toán greedy cho phương trình Lyapunov Input: ngưỡng sai số tolrb , tập Dtrain , tham số đầu µ1 ∈ Dtrain Output: ma trận sở Vk 1: Giải PALE (3.1) µ = µ1 để có X(µ1 ) ≈ Z1 Z1T 2: Đặt ∆max > tolrb , M1 = {µ1 }, V1 = Z1 , k = 3: while ∆max k−1 ≥ tolrb 4: µk = arg max ∆k−1 (µ) µ∈Dtrain \Mk−1 5: 6: 7: 8: 9: 10: ∆max = ∆k−1 (µk ) k Mk = Mk−1 ∪ {µk } Giải PALE (3.1) µ = µk để có X(µk ) ≈ Zk ZkT Vk = [ Vk−1 , Zk ] k ←k+1 end while 3.3.2 Giai đoạn online Một ma trận giảm sở Vk xây dựng cho ước tử sai số không vượt ngưỡng cho trước, nghiệm phương trình PALE (3.1) µ ∈ D nhận giai đoạn online T =: X ˆ ˆ RB (µ), với X(µ) ˆ sau X(µ) ≈ V X(µ)V nghiệm phương trình Lyapunov giảm k k ˆ X(µ) ˆ ˆ T(µ) + E(µ) ˆ X(µ) ˆ ˆ B ˆ T(µ) A(µ) E AˆT(µ) = −B(µ) (3.8) 13 ˆ ˆ ˆ với E(µ) = VkT E(µ)Vk , A(µ) = VkT A(µ)Vk B(µ) = VkT B(µ) Do −A(µ) E(µ) đối xứng xác định dương, phương trình có nghiệm nghiệm đối xứng nửa xác định dương ˆ ˆ Zˆ T(µ) Khi X ˆ RB (µ) viết dạng tích X ˆ RB (µ) = Z (µ)Z T (µ) X(µ) = Z(µ) RB RB ˆ với ZRB (µ) = Vk Z(µ) Cho ˆ k (µ) = A(µ)X ˆ RB (µ)E T(µ) + E(µ)X ˆ RB (µ)AT(µ) + B(µ)B T(µ) R (3.9) ˆ RB (µ) Khi sai số X(µ) − X ˆ RB (µ) ước thặng dư tương ứng với nghiệm xấp xỉ X lượng tương tự trường hợp hệ tuyến tính ˆ RB (µ) X(µ) − X F ≤ ˆ k (µ) R α(µ) F ≤ ˆ k (µ) F R ˆ k (µ) =: ∆ αLB (µ) (3.10) với αLB (µ) (3.4) 3.4 Mở rộng cho hệ không đối xứng Giả sử chùm ma trận λE(µ) − A(µ) tán chặt (strictly dissipative), tức là, E(µ) = E T(µ) > 0, A(µ) + AT(µ) < (3.11) với µ ∈ D Những điều kiện đảm bảo tính giải phương trình Lyapunov giảm (3.8) với ma trận chiếu Vk Ta định nghĩa S(µ) = LS (µ) = 3.4.1 A(µ) + AT(µ) , L(µ) + LT (µ) = −E(µ) ⊗ S(µ) − S(µ) ⊗ E(µ) (3.12) Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius Bổ đề 3.2 Cho E(µ) A(µ) thỏa mãn (A1), (A2), (A3´) and (A4´), µ ¯, µ ¯1 , µ ¯2 ∈ D Với µ ∈ D, giá trị kỳ dị nhỏ L(µ) bị chặn L,¯ µ A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 L σmin L(µ) ≥ α ˜ LB (µ) := max α ˜ LB (µ), α ˜ LB (µ), α ˜ LB (µ) > 0, (3.13) L,¯ µ α ˜ LB (µ) L,¯ µ = θmin (µ) λmin −S(¯ µ) λmin E(¯ µ) , A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 A,¯ µ1 E,¯ µ2 α ˜ LB (µ) = θmin (µ) θmin (µ) λmin −S(¯ µ1 ) λmin E(¯ µ2 ) , nE nA L (µ) α ˜ LB L θij (µ) λmin (−Sj ) λmin (Ei ) =2 i=1 j=1 với S(µ) (3.12) Sj = (Aj + ATj )/2 Với µ ∈ D, giá trị kỳ dị lớn L(µ) bị chặn L,¯ µ A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 L σmax L(µ) ≤ γ˜UB (µ) := γ˜UB (µ), γ˜UB (µ), γ˜UB (µ) , (3.14) 14 L,¯ µ γ˜UB (µ) L,¯ µ = θmax (µ) σmax A(¯ µ) λmax E(¯ µ) , A,¯ µ1 ;E,¯ µ2 A,¯ µ1 E,¯ µ2 γ˜UB (µ) = θmax (µ) θmax (µ) σmax A(¯ µ1 ) λmax E(¯ µ2 ) , nE nA L (µ) γ˜UB L θij (µ) σmax (Aj ) λmax (Ei ) =2 i=1 j=1 ˆ RB (µ) Định lí 3.2 Giả sử E(µ) A(µ) thỏa mãn (A1), (A2), (A3´) (A4´), cho XRB (µ) X ˆ RB (µ) xấp xỉ giảm sở nghiệm PALE (3.1) Khi đó, sai số X(µ)−XRB (µ) X(µ)− X ước lượng sau X(µ) − XRB (µ) F ˆ RB (µ) X(µ) − X F mat(rk (µ)) F γ˜UB (µ) =: ∆ns X(µ) − XRB (µ) k (µ) ≤ α ˜ LB (µ) α ˜ LB (µ) ˆ k (µ) F R ˆ ns (µ) ≤ γ˜UB (µ) X(µ) − X ˆ RB (µ) F , ≤ =: ∆ k α ˜ LB (µ) α ˜ LB (µ) ≤ F, α ˜ LB (µ) γ˜UB (µ) (3.13) (3.14) 3.4.2 Ước lượng sai số theo chuẩn logarit Ta định nghĩa chuẩn 2-logarit chùm ma trận λE(µ) − A(µ) E(µ), A(µ) = λmax E(µ), S(µ) chuẩn ma trận có trọng X E(µ) = GT (µ)XG(µ) F, với G(µ) nhân tử Cholesky E(µ) = G(µ)GT (µ) ˆ RB (µ) nghiệm xác xấp xỉ PALE (3.1) Khi Định lí 3.3 Cho X(µ) X ˆ đó, sai số X(µ) − XRB (µ) ước lượng ˆ RB (µ) X(µ) − X ≤ E(µ) ˆ k (µ) R F E,A,¯ µ αLB (µ) ˆ E,A,¯µ (µ) ≤ =: ∆ k E,A,¯ µ γUB (µ) E,A,¯ µ αLB (µ) ˆ RB (µ) X(µ) − X E(µ) , E,A,¯ µ αLB (µ) = E,A,¯ µ γUB (µ) = A,¯ µ (µ) θmin E,¯µ λmin E(¯ µ) λmin E(¯ µ), −S(¯ µ) , θ (µ) A,¯ µ θmax (µ)σmax A(¯ µ) θE,¯µ (µ) λmax E(¯ µ) , λmin E(¯ µ) (3.15) (3.16) ˆ k (µ) thặng dư xác định (3.9) R 3.5 Chặt cân phụ thuộc tham số Cho hệ điều khiển (mô hình) phụ thuộc tham số E(µ)x(t, ˙ µ) = A(µ)x(t, µ) + B(µ)u(t, µ), y(t, µ) = C(µ)x(t, µ), (3.17) 15 A(µ), E(µ) B(µ) thỏa mãn (A1), ma trận đầu C(µ) ∈ Rl×N với l thuộc afin vào tham số µ, N phụ nC θjC (µ)Cj C(µ) = j=1 Nhờ kết đạt việc giải phương trình Lyapunov, phát triển phương pháp Chặt cân phụ thuộc tham số thể thủ tục sau Offline: Cho hệ phụ thuộc tham số (3.17), • Tính ma trận giảm sở VX VY • Tính lưu trữ ma trận độc lập tham số VXT Ej VX , VYT Ej VY , VYT Ej VX , VXT Aj VX , VYT Aj VY , VYT Aj VX , VXT Bj , VYT Bj , Cj VX , Cj VY Online: Cho µ ∈ D, ˆ ˆ ˆ ˘ • Tính A(µ) = VXT A(µ)VX , E(µ) = VXT E(µ)VX , B(µ) = VXT B(µ) A(µ) = VYT A(µ)VY , ˘ ˘ E(µ) = VYT E(µ)VY , C(µ) = C(µ)VY • Giải phương trình Lyapunov giảm để có nhân tử Cholesky ZX (µ) ZY (µ) • Tính phân tích SVD • Tính mô hình giảm bậc 3.6 Ví dụ số Trong mục này, ta trình bày hai ví dụ số để minh họa cho tính chất phương pháp đề xuất Mô tả cụ thể mô hình kết tính toán số trình bày Báo cáo tổng kết Ở đây, đưa số nhận xét • Phương pháp giảm sở cho kết tốt phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số đối xứng không đối xứng cỡ lớn • Phương pháp chặt cân phụ thuộc tham số đề xuất cho phương án cạnh tranh để giải toán giảm bậc phụ thuộc tham số so với việc áp dụng trực tiếp phương pháp giảm sở cho hệ phụ thuộc tham số hay phương pháp chặt cân dựa nội suy 3.7 Kết luận Trong chương này, mở rộng phương pháp chặt cân tiêu chuẩn lên cho trường hợp phụ thuộc tham số dựa vào kết giải phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở Chúng sử dụng phương pháp min-θ thu số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ toán tử Lyapunov, ước lượng sai số phát triển thuật toán greedy để xây dựng sở giảm Chúng giải toán đối xứng không đối xứng nhờ sử dụng chuẩn logarit ma trận  ... thức nội suy phương pháp PABTEC để giảm số chiều phương trình mạch điện phụ thuộc tham số Cho p0 , , pk ∈ P véctơ tham số khác lựa chọn điểm nội suy miền tham số Tại điểm pj , ta giảm bậc hệ... dụng phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số sau đó, sử dụng thủ tục phân tích offline-online để xây dựng ROM phụ thuộc tham số 5 Chương Phương trình mạch điện giảm bậc. .. PABTEC nội suy cho phương trình mạch điện phụ thuộc tham số - Đề xuất sử dụng phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov kết lý thuyết thu - Đề xuất phương pháp mới: chặt cân phụ thuộc tham số