SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO

Header Page of 258 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Bùi Thế Hùng SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 Footer Page of 258 Header Page of 258 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Bùi Thế Hùng SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Hà Nội - 2014 Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết làm hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các kết luận án viết chung với thầy hướng dẫn trí thầy hướng dẫn đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Bùi Thế Hùng Footer Page of 258 Header Page of 258 Tóm tắt Trong luận án này, nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân toán bao hàm thức tựa biến phân Trong chương 1, trình bày số kiến thức sở giải tích đa trị Ngoài số điều kiện đủ cho tính không rỗng nón cực chặt Trong chương 2, thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto yếu loại I, toán tựa cân tổng quát loại II toán tựa cân Pareto yếu loại II Trong chương 3, thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I loại II Trong trường hợp đặc biệt, thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto toán tựa tối ưu Pareto Abstract In this dissertation, we investigate some sufficient conditions for the existence of solutions of quasi-equilibrium problems and quasivariational inclusion problems In Chapter 1, we recall some basic knowledge from multivalued analysis Moreover, we deduce some sufficient conditions for the non-emptiness of strictly topological polar cone In Chapter 2, we obtain some sufficient conditions for the existence of solutions for Pareto and weak quasi-equilibrium problems of type I, for generalized quasi-equilibrium problems of type II and for Pareto and weak quasi-equilibrium problems of type II In Chapter 3, we deduce some results on the existence of solutions for Pareto quasivariational inclusion problems of type I and type II As special cases, we obtain several new results on the existence of solutions of Pareto quasi-equilibrium problems and Pareto quasi-optimization problems Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy mình, thời gian dài bước dẫn dắt tác giả làm quen với môn lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm nghiên cứu khoa học, mà động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chuyên môn sống Tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, trung tâm Đào tạo Sau Đại học toàn thể giáo sư, cán nhân viên Viện Toán học tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận án mình, đặc biệt thành viên Tổ Giải tích tạo điều kiện thuận lợi thời gian để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Xin cảm ơn đến toàn thể bạn bè anh chị em nghiên cứu sinh Viện Toán học động viên, chia khó khăn giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận án Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, người động viên chia khó khăn thời gian qua để hoàn thành luận án Tác giả Bùi Thế Hùng Footer Page of 258 Header Page of 258 Mục lục Mục lục Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị 1.2 Tính không rỗng nón cực chặt 1.3 Một số tính chất ánh xạ đa trị 1.4 Định lý điểm bất động vấn đề liên quan Chương Bài toán tựa cân 2.1 Bài toán tựa cân Pareto yếu loại I 2.2 Bài toán tựa cân tổng quát loại II Chương Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto 3.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 3.2 Một số toán liên quan loại I 3.3 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II 3.4 Một số toán liên quan loại II Kết luận Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Footer Page of 258 14 14 17 22 30 33 33 48 61 61 74 78 86 90 91 92 93 Header Page of 258 Một số ký hiệu viết tắt N∗ R R+ R− Rn Rn+ Rn− Cn Matm×n (R) X∗ ξ, x {xα } ∅ F : X → 2Y dom F gph F C C+ A := B A⊆B A⊆B A∪B A∩B tập số tự nhiên khác không tập số thực tập số thực không âm tập số thực không dương không gian véctơ Euclide n− chiều tập véctơ không âm Rn tập véctơ không dương Rn không gian số phức n− chiều không gian ma trận thực cấp m × n không gian đối ngẫu tôpô không gian X giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X dãy suy rộng tập rỗng ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y miền xác định ánh xạ đa trị F đồ thị ánh xạ đa trị F nón cực nón C nón cực chặt nón C A định nghĩa B A tập B A không tập B hợp hai tập hợp A B giao hai tập hợp A B Footer Page of 258 Header Page of 258 A\B A+B A×B co A cone A ri A cl A int A (OP ) (EP ) (QOP )I (QOP )II (U P QEP )I (U W QEP )I (GQEP )I (GQEP )II (U P QV IP )I (LP QV IP )I (U P QV IP )II (LP QV IP )II ✷ hiệu hai tập hợp A B tổng véctơ hai tập hợp A B tích Descartes hai tập hợp A B bao lồi tập hợp A bao nón lồi tập hợp A phần tương đối tập hợp A bao đóng tôpô tập hợp A phần tôpô tập hợp A toán tối ưu vô hướng toán cân vô hướng toán tựa tối ưu vô hướng loại I toán tựa tối ưu vô hướng loại II toán tựa cân Pareto loại I toán tựa cân yếu loại I toán tựa cân tổng quát loại I toán tựa cân tổng quát loại II toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto kết thúc chứng minh Footer Page of 258 loại I loại I loại II loại II Header Page of 258 Mở đầu Bài toán đóng vai trò lý thuyết tối ưu toán: Tìm x¯ ∈ D cho F (¯ x) ≤ F (x) với x ∈ D, (OP ) D tập khác rỗng F : D → R hàm số thực Trong lý thuyết tối ưu tổng quát toán có mối quan hệ mật thiết với số toán khác toán điểm cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bù, Trong trường hợp F hàm véctơ từ tập vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh nón, toán (OP ) gọi toán tối ưu véctơ hay gọi toán tối ưu đa mục tiêu Từ quan hệ thứ tự sinh nón, người ta đưa khái niệm khác điểm hữu hiệu tập phát biểu loại toán tối ưu khác toán tối ưu véctơ lý tưởng, toán tối ưu Pareto, toán tối ưu véctơ yếu, toán tối ưu véctơ thực (xem [1], [46] tài liệu liên quan) Bài toán (OP ) trường hợp đóng vai trò trung tâm lý thuyết tối ưu véctơ hay gọi lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Lý thuyết hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth [20] Pareto [4], gắn liền với tên tuổi số nhà toán học lớn, ta kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Tuy nhiên, phải năm 1951 với công trình KuhnTucker [53] điều kiện cần đủ cho tối ưu năm 1954 với công trình Deubreu [16] giá trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết tối ưu véctơ công nhận ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Khái niệm ánh xạ đa trị đưa từ năm 30 kỷ 20 sở toán có thực tế Từ người ta mở rộng toán (OP ) cho trường hợp F ánh xạ véctơ đa trị toán (OP ) gọi toán tối ưu véctơ đa trị Bài toán tối ưu véctơ đa trị nghiên cứu kỹ sách chuyên khảo D T Luc [46] Các toán khác lý thuyết tối ưu dần Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 dần mở rộng cho ánh xạ đa trị hình thành nên ngành toán học hoàn chỉnh lý thuyết tối ưu véctơ đa trị Trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, lớp toán tựa cân lớp toán bao hàm thức tựa biến phân đóng vai trò quan trọng, nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt nghiên cứu tồn nghiệm hai lớp toán Dưới điểm qua lịch sử phát triển hai lớp toán theo hướng nghiên cứu Bài toán cân vô hướng sau E Blum W Oettli [11] nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x¯ ∈ D cho f (¯ x, x) ≥ 0, với x ∈ D, (EP ) D tập f : D × D → R hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ với x ∈ D Từ toán ta suy toán khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, (xem [10], [11], [24], [29], [49]) Chính vậy, toán nhiều người quan tâm nghiên cứu E Blum, W Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S Schaible, Hadjisavvas, Sau toán mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn trị từ tập không rỗng vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh nón (xem [10], [29], [56]) Cho đến toán cân vô hướng thiết lập cho ánh xạ đa trị theo nhiều cách khác (xem [5], [6], [19], [41], [44], [45], [54]) Năm 2007, L J Lin- N X Tan [44] phát biểu toán tựa cân đa trị phân loại toán dựa vào thứ tự sinh nón không gian tuyến tính với ánh xạ mục tiêu ánh xạ ba biến, ánh xạ ràng buộc ánh xạ hai biến, cụ thể: Giả sử X, Y, Z không gian tôpô tuyến tính; D, K tập không rỗng X, Z, tương ứng; C nón nhọn Y S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, xét toán tựa cân sau đây: Bài toán tựa cân lý tưởng loại I, kí hiệu (U IQEP )I , tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ S(¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯) F (¯ y , x¯, x) ⊆ C với x ∈ S(¯ x, y¯) Bài toán tựa cân lý tưởng loại I, kí hiệu (LIQEP )I , tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ S(¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯) F (¯ y , x¯, x) ∩ C = ∅ với x ∈ S(¯ x, y¯) Footer Page 10 of 258 Header Page 85 of 258 Chứng minh Chọn ξ ∈ C + cố định Với > tùy ý, từ tính liên tục ξ, tồn lân cận V gốc Y cho ξ(V ) ⊆ (− , ) Gọi U sở lân cận lồi cân giảm gốc X Với U ∈ U, ta định nghĩa ánh xạ đa trị P1U , P2U : D → 2D P1U (x) = cl(P1 + U )(x) ∩ D, P2U (x) = (P2 (x) + U ) ∩ D −1 Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.2.6 ta có P2U (x ) mở D với x ∈ D Do tất giả thiết Định lý 3.3.3 với P1U , P2U , Q F thỏa mãn chứng minh Định lý 3.3.3, tồn x¯U ∈ D cho x¯U ∈ P1U (¯ xU ) P2U (¯ xU ) ∩ M (¯ xU ) = ∅, M (x) = {x ∈ D : max z∈F (y,x,x) ξ, z < max ξ, z với y ∈ Q(x , x)} z∈F (y,x ,x) Ta đặt WU := {x ∈ D : x ∈ P1U (x)} AU := {x ∈ WU : P2U (x) ∩ M (x) = ∅} Lập luận cách hoàn toàn tương tự Định lý 2.2.6 ta AU tập đóng Do AU tập compắc Mặt khác dễ thấy AU giảm U giảm họ {AU }U ∈U có điểm chung nhất, ta gọi điểm x¯ Từ suy x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ⊆ F (y, x¯, x¯) − C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Định lý chứng minh Nhận xét 3.3.6 Định lý 3.3.3 Định lý 3.3.5 cho ta điều kiện đủ để toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II có nghiệm Các điều kiện ánh xạ ràng buộc P1 , P2 định lý nhẹ ánh xạ ràng buộc S, T Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 Định lý 3.3.3 Định lý 3.3.5 suy rộng Định lý 2.1 [48] trường hợp F : K × D × D → R hàm đơn trị nón C = R+ Ví dụ 3.3.7 Xét toán (U P QV IP )II với X = Z = R, Y = R2 , D = [0, 1], K = (−1, 2], C = R2− , P1 (x) = [0, 1], P2 (x) = [0, x], Q(x, x ) = [0, x ] F (y, x, x ) = [x y, 1] × [x, 1], với (y, x, x ) ∈ K × D × D 83 Footer Page 85 of 258 Header Page 86 of 258 Dễ thấy ánh xạ P2 tính chất ảnh ngược điểm mở nên áp dụng Định lý 3.3.3 Tuy nhiên P2 ánh xạ nửa liên tục giả thiết Định lý 3.3.5 thỏa mãn x¯ = nghiệm toán (U P QV IP )II Các định lý điều kiện đủ để toán (LP QV IP )II có nghiệm Định lý 3.3.8 Các điều kiện đủ để toán (LP QV IP )II có nghiệm: (i) D tập không rỗng, lồi, compắc K tập không rỗng; (ii) P1 ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị không rỗng, lồi, đóng; (iii) P2 với giá trị không rỗng, P2−1 (x) tập mở co(P2 (x)) ⊆ P1 (x) với x ∈ D; (iv) Với x ∈ D, ánh xạ đa trị Q(x, ) : D → 2K nửa liên tục với giá trị không rỗng, compắc; (v) Ánh xạ đa trị F với giá trị không rỗng, compắc cho với x ∈ D, F (., x , ) : K × D → 2Y (−C)- liên tục ánh xạ đa trị G : K × D → 2Y định nghĩa G(y, x) = F (y, x, x) C-liên tục trên; (vi) F (Q, C)- giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ hai Chứng minh Với ξ ∈ C + cố định, ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2D H : D → 2D M (x) = {x ∈ D : ξ, z > z∈F (y,x,x) H(x) = ξ, z với y ∈ Q(x , x)} z∈F (y,x ,x) co M (x) ∩ co P2 (x), x ∈ P1 (x), co P2 (x), trường hợp lại Chứng minh cách hoàn toàn tương tự Định lý 3.3.3, tồn x¯ ∈ D cho H(¯ x) = ∅ Khi ta có x¯ ∈ P1 (¯ x) M (¯ x) ∩ P2 (¯ x) = ∅ Điều kéo theo x¯ ∈ P1 (¯ x) z∈F (y,¯ x,¯ x) ξ, z ≤ z∈F (y,x,¯ x) ξ, z với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Từ suy x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x¯, x¯) ⊆ F (y, x, x¯) + C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Định lý chứng minh 84 Footer Page 86 of 258 Header Page 87 of 258 Định lý 3.3.9 Giả sử D, K, P1 , Q F thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iv), (v) (vi) Định lý 3.3.8 (iii’) P2 : D → 2D ánh xạ nửa liên tục với giá trị không rỗng co(P2 (x)) ⊆ P1 (x) với x ∈ D Khi toán (LP QV IP )II có nghiệm Chứng minh Sử dụng Định lý 3.3.8 chứng minh cách tương tự Định lý 3.3.5 Các hệ thu trực tiếp từ định lý trường hợp P1 = P2 = P Hệ 3.3.10 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D tập không rỗng, lồi, compắc K tập không rỗng; (ii) P : D → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi, đóng; (iii) Với x ∈ D, ánh xạ Q(x, ) : D → 2K nửa liên tục với giá trị không rỗng, compắc; (iv)F (−C)- liên tục với giá trị không rỗng, compắc ánh xạ G : K × D → 2Y định nghĩa G(y, x) = F (y, x, x) C- liên tục dưới; (v) Với y ∈ K, F (y, , ) : D × D → 2Y C- lồi theo đường chéo biến thứ (hoặc F (Q, C)- giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ hai) Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) F (y, x, x¯) ⊆ F (y, x¯, x¯) − C\{0} với x ∈ P (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Hệ 3.3.11 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D tập không rỗng, lồi, compắc K tập không rỗng; (ii) P : D → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi, đóng; (iii) Với x ∈ D, ánh xạ Q(x, ) : D → 2K nửa liên tục với giá trị không rỗng, compắc; (iv) F (−C)- liên tục với giá trị không rỗng, compắc ánh xạ G : K × D → 2Y định nghĩa G(y, x) = F (y, x, x) C- liên tục trên; (v) F (Q, C)- giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ hai Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) F (y, x¯, x¯) ⊆ F (y, x, x¯) + C\{0} với x ∈ P (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) 85 Footer Page 87 of 258 Header Page 88 of 258 3.4 Một số toán liên quan loại II Tương tự mục 3.2, mục thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto loại II toán tựa tối ưu Pareto loại II 3.4.1 Bài toán tựa cân loại II Hệ 3.4.1 Giả sử D, K, C, P1 , P2 , Q F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.3 F (y, x, x) ∩ C = ∅ với (x, y) ∈ D × K Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ⊆ −C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Chứng minh Bởi chứng minh Định lý 3.3.3, tồn x¯ ∈ P1 (¯ x) ξ, z ≤ max z∈F (y,¯ x,¯ x) max z∈F (y,x,¯ x) ξ, z với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯), ξ ∈ C + cố định Từ F (y, x¯, x¯) ∩ C = ∅, ξ, z ≥ max z∈F (y,¯ x,¯ x) Suy max z∈F (y,x,¯ x) ξ, z ≥ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Ta F (y, x, x¯) ⊆ −C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Giả sử tồn x∗ ∈ P2 (¯ x) y ∗ ∈ Q(x, x¯) cho F (y ∗ , x∗ , x¯) ⊆ −C\{0} Bao hàm thức kéo theo max z∈F (y ∗ ,x∗ ,¯ x) ξ, z < Điều mâu thuẫn với (3.10) Do x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ⊆ −C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Hệ chứng minh 86 Footer Page 88 of 258 (3.10) Header Page 89 of 258 Hệ 3.4.2 Giả sử D, K, C, P1 , P2 , Q F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.5 F (y, x, x) ∩ C = ∅ với (x, y) ∈ D × K Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ⊆ −C\{0} với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Chứng minh Sử dụng Định lý 3.3.5 chứng minh tương tự Hệ 3.4.1 Hệ 3.4.3 Giả sử D, K, C, P1 , P2 , Q F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.8 F (y, x, x) ⊆ C với (x, y) ∈ D × K Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ∩ (−C\{0}) = ∅ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Chứng minh Theo chứng minh Định lý 3.3.8, tồn x¯ ∈ P1 (¯ x) ξ, z ≤ z∈F (y,¯ x,¯ x) z∈F (y,x,¯ x) ξ, z với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯), ξ ∈ C + Vì F (y, x¯, x¯) ⊆ C, nên ξ, z ≥ z∈F (y,¯ x,¯ x) Từ suy z∈F (y,x,¯ x) ξ, z ≥ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) (3.11) Ta F (y, x, x¯) ∩ (−C\{0}) = ∅ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Giả sử ngược lại, tồn x∗ ∈ P2 (¯ x) y ∗ ∈ Q(x∗ , x¯) cho F (y ∗ , x∗ , x¯) ∩ (−C\{0}) = ∅ Khi tồn a ¯ ∈ Y cho a ¯ ∈ F (y ∗ , x∗ , x¯) ∩ (−C\{0}) Do ξ, z ≤ ξ, a ¯ < ∗ ∗ z∈F (y ,x ,¯ x) Điều mâu thuẫn với (3.11) Từ suy x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ∩ (−C\{0}) = ∅ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Hệ chứng minh 87 Footer Page 89 of 258 Header Page 90 of 258 Hệ 3.4.4 Giả sử D, K, C, P1 , P2 , Q F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.9 F (y, x, x) ⊆ C với (x, y) ∈ D × K Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) F (y, x, x¯) ∩ (−C\{0}) = ∅ với x ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, x¯) Chứng minh Sử dụng Định lý 3.3.9 chứng minh tương tự Hệ 3.4.3 Nhận xét 3.4.5 Hệ 3.4.1 Hệ 3.4.2 thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto loại II với giả thiết C + = ∅ hệ không sử dụng giả thiết tính giả đơn điệu theo nón ánh xạ đa trị Hệ 2.2.8 Hệ 3.4.3 Hệ 3.4.4 cho ta điều kiện đủ tồn nghiệm toán tựa cân Pareto loại II, tồn nghiệm toán chưa xét đến 3.4.2 Bài toán tựa tối ưu loại II Giả sử D, K, C F cho mục 3.3.1 Với ánh xạ đa trị P : D → 2D Q : D → 2K , ta xét toán tựa tối ưu Pareto loại II sau đây: Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) F (y, x¯, x¯) ∩ PMin(F (y, P (¯ x), x¯) | C) = ∅ với y ∈ Q(¯ x) Hệ sau tồn nghiệm toán Hệ 3.4.6 Giả sử D, K, C, P F thỏa mãn điều kiện Hệ 3.3.11 Q : D → 2K nửa liên tục với giá trị không rỗng, compắc Khi tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) F (y, x¯, x¯) ∩ PMin(F (y, P (¯ x), x¯) | C) = ∅ với y ∈ Q(¯ x) Chứng minh Theo Chứng minh Định lý 3.3.8, tồn x¯ ∈ P (¯ x) cho z∈F (y,¯ x,¯ x) ξ, z ≤ ξ, z với x ∈ P (¯ x) y ∈ Q(¯ x), (3.12) z∈F (y,x,¯ x) ξ ∈ C + cố định Giả sử tồn y¯ ∈ Q(¯ x) cho F (¯ y , x¯, x¯) ∩ PMin(F (¯ y , P (¯ x), x¯) | C) = ∅ Ta chọn v¯ ∈ F (¯ y , x¯, x¯) thỏa mãn ξ, v¯ = z∈F (¯ y ,¯ x,¯ x) 88 Footer Page 90 of 258 ξ, z Header Page 91 of 258 Vì v¯ ∈ PMin(F (¯ y , P (¯ x), x¯) | C) nên tồn x∗ ∈ P (¯ x) v ∗ ∈ F (¯ y , x∗ , x¯) cho v¯ − v ∗ ∈ C\{0} Từ suy ξ, z = ξ, v¯ > ξ, v ∗ ≥ z∈F (¯ y ,¯ x,¯ x) z∈F (¯ y ,x∗ ,¯ x) ξ, z Điều mâu thuẫn với (3.12) Vậy F (y, x¯, x¯) ∩ PMin(F (y, P (¯ x), x¯) | C) = ∅ với y ∈ Q(¯ x) Hệ chứng minh 89 Footer Page 91 of 258 Header Page 92 of 258 Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau Thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto yếu loại I liên quan đến nón không gian tuyến tính ánh xạ đa trị Thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II với ánh xạ đa trị, không liên quan đến nón không gian tuyến tính Sử dụng Bổ đề Fan-KKM định lý điểm bất động Ky Fan, đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I Sử dụng phương pháp vô hướng hóa định lý điểm bất động FanBrowder, thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II 90 Footer Page 92 of 258 Header Page 93 of 258 Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng khác toán cân Nghiên cứu ứng dụng toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto vào lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ động lực, tối ưu điều khiển toán kinh tế Nghiên cứu toán bao hàm thức tựa biến phân cho trường hợp yếu thực sự, ứng dụng chúng Nghiên cứu toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp Nghiên cứu tính ổn định nghiệm cấu trúc tập nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto 91 Footer Page 93 of 258 Header Page 94 of 258 Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, 1-16 B T Hung, N X Tan (2012), "On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 15, No 2, 1-16 B T Hung (2013), "On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type I", Acta Math Vietnamica, 38, No.3, 447-459 B T Hung, "On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type II"(preprint) B T Hung, "On the weak and Pareto quasi-equilibrium problems and their applications" (preprint) Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam (2009, 2010, 2011, 2012) Hội thảo tối ưu tính toán khoa học lần thứ 10, Ba Vì- Hà Nội (2012) Seminar Phòng Giải tích, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Seminar Phòng Tối ưu điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam 92 Footer Page 94 of 258 Header Page 95 of 258 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất giáo dục Tiếng Pháp [3] H Kneser (1952), " Sur un theorème fondamental de la thérorie des jeux’", C R Acad Sci., Paris, 234, No 25 [4] V Pareto (1909), "Manuel d’e’conomic politique", Paris Tiếng Anh [5] Q H Ansari, W Oettli and D Schlager (1997), "A Generalization of Vectorial Equilibria", Mathematical Methods of Operation Research, 46, 147-152 [6] Q H Ansari, I V Konnov, J C Yao (2001), "On generalized vector equilibrium problems", Nonlinear Analysis, 47, 543-554 [7] J P Aubin, H Frankowska (1990), "Set-valued analysis", Birkhauser [8] C Begre (1997), "Topological spaces", Dover Publications, NY [9] H P Benson (1983), "Efficiency and proper efficiency in vector maximization with respect to cones", J Math Anal Appl, 93, 273289 [10] M Bianchi and S Schaible (1996), "Generalized monotone befunctions and equilibrium problems", J Optim Theory Appl, 90, 31-42 [11] E Blum and W Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23 [12] L E J Brouwer (1912), " Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten", Math Ann, 79 , 97-115 93 Footer Page 95 of 258 Header Page 96 of 258 [13] F E Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80 [14] S Y Chang (1990), "On the Nash equilibrium", Soochow J math., 16, 241-248 [15] H W Corley (1985), "On optimality conditions for maximizations with respect to cones", J Optim Theory Appl, 46, 67-78 [16] G Debreu (1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proc Nat Acad Sci U.S.A, 40, 588-592 [17] T T T Duong and N X Tan (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, No 1, 29-47 [18] T T T Duong and N X Tan (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 52, No 4, 711-728 [19] X P Ding and J Y Park (2004), "Generalized Vector Equilibrium Problems in Generalized Convex Space", J Optim Theory Appl, 120, 327-353 [20] F Y Edgeworth (1981), "Mathematical Psychics", C Kegan Paul Co., London, England [21] A.P Farajzadeh, A Amini Harandi, K R Kazmi (2010), " Existence of Solutions to Generalized Vector Variational-Like Inequalities", J Optim Theory Appl, 146, 95-104 [22] K Fan (1952), "Fixed- point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces." Proc Nat Acad Sci U S A.38, 121-126 [23] K Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 [24] K Fan (1972), "A minimax inequality and application, in Inequalities III (O Shisha (Ed)), Aca Press, New York [25] Y P Fang and N J Huang (2005), "Existence results for generalized implicit vector variational inequalities with multivalued mappingpings", Indian Journal of Pure and Application Mathematics, 36 , 629-640 [26] F Ferro (1982), "Minimax Type Theorem for n-Valued Functions", Annali di Mathematica Pura ed Applicata, 32, 113-130 94 Footer Page 96 of 258 Header Page 97 of 258 [27] A M Geoffrion (1968), " Proper efficiency and the theory of vector maximization", J Math Anal Appl, 22, 618-630 [28] A Gurraggio and N X Tan (2002), "On General Vector QuasiOptimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55,347-358 [29] N Hadjisavvas and S Schaible (1998), "From scalar to vector equilibrium problems in the quasimonotone case", J Optim Theory Appl, 96, 297-309 [30] N X Hai and P Q Khanh (2007), "The solution existence of general variational inclusion problems", J Math Anal Appl, 328 12681277 [31] N X Hai and P Q Khanh (2007), "Systems of set-valued quasivariational inclusion problems", J Optim Theory Appl, 135, 55-67 [32] M I Henig (1982), " Existence and characterization of efficient decisions with respect to cones", Math Programming, 23, 111-116 [33] B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, 1-16 [34] B T Hung, N X Tan (2012), "On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 15, No 2, 1-16 [35] B T Hung (2013), "On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type I", Acta Math Vietnamica, 38, No.3, 447-459 [36] B T Hung, "On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type II" (preprint ) [37] B T Hung, "On the weak and Pareto quasi-equilibrium problems and their applications" ( preprint) [38] C J Himmelberg (1972), "Fixed points of compact multifunctions", J Math Anal Appl, 38, 205-207 [39] L J Lin (2007), "Systems of generalized quasivariational inclusion problems with applications to variational analysis and optimization problems", J Global Optim, 38, 21- 39 [40] L J Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclusion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49 95 Footer Page 97 of 258 Header Page 98 of 258 [41] L J Lin and H W Hsu (2007), "Existences theorems of systems of vector quasi-equilibrium problems and mathematical programs with equilibrium constraint", J Global Optim, 37, 195-213 [42] L J Lin and S Park (1998), "On some generalized quasiequilibrium problems", J Math Anal Appl, 224, 167-181 [43] L J Lin and Y L Tsai (2005), "On vector quasi-saddle points of set- valued maps Generalized convexity, generalized monotonicity and applications" Nonconvex Optim Appl., Springer, New York, 77, 311-319 [44] L J Lin and N X Tan (2007), "On quasivariational inclusion problems of type I and related problems", J Global Optim, 39, No 3, 393-407 [45] L J Lin , Z T Yu and G Kassay (2002), "Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Equilibria", J Optim Theory Appl, 114, 189-208 [46] D T Luc (1989), "Theory of vector optimization", Lect Notes in Eco and Math System, Springer Verlag, Berlin, Germany, 319 [47] D T Luc (2008), "An abstract problem in variational analysis", J Optim Theory Appl, 138, 65-76 [48] D T Luc and N X Tan (2004), "Existence conditions in variational inclusions with constraints" Optimization, 53, 505- 515 [49] G J Minty (1978), " On variational inequalities for monotone operators", I Advances in Math, 30, 1-7 [50] J von Neumann (1928), " Zur Theorie der Gesellschaftsspiele", Math Ann, 100, 295-320 [51] S Kakutani (1944), " A generalization of Brouwers fixed point theorem", Duke Math J, 8, 457-459 [52] B Knaster, C Kuratowski and S Mazurkiewicz (1929), "Ein bewies des fixpunktzes fur n- dimensional simplexe", Fund Math, 14, 132137 [53] H W Kuhn and A W Tucker (1951), "Nonlinear programming", in Proceedings of the second berveley, California, 481-492 [54] W Oettli and D Schlager (1998), "Existence of Equilibria for Monotone Multivalued Mappings", Mathemetical Methods of Operations Research, 48, 219-228 [55] N X Tan (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", J Optim Theory Appl, 123, 619-638 96 Footer Page 98 of 258 Header Page 99 of 258 [56] N X Tan and P N Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer Funct Anal And Optimiz, 19, 141-156 [57] Tian G Q, and Zhou J X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J Math Anal Appl 172, 289299 [58] L.A Tuan and P H Sach (2009), "Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued maps", J Global Optim, 43, No1, 23-45 [59] H Tuy (1972), " Convex inequalities and the Hahn- Banach theorem", Dissertationes Mathematical, XCVII [60] N C Yannelis (1987), "Equilibria in Noncooperative Models of Competition", Journal of Economical Theory, 41 , 96-111 [61] N C Yannelis and N D Prabhaker (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", Journal of Mathematical Economics, 12 , 233-245 97 Footer Page 99 of 258 ... toán tựa cân Pareto loại I toán tựa cân yếu loại I toán tựa cân tổng quát loại I toán tựa cân tổng quát loại II toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán. .. cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto yếu loại I, toán tựa cân tổng quát loại II toán tựa cân Pareto yếu loại II Trong chương 3, thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân. .. nặng toán bao hàm thức tựa biến phân cho trường hợp Pareto chưa xét đến Mục đích luận án nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân Pareto yếu loại I, toán tựa cân tổng quát loại II, toán bao hàm thức tựa