Trọng tâm của vật rắn

-46Chơng Trọng tâm vật rắn 4.1 Tâm hệ lực song song r r r r Hệ lực song song ( F 1, F2 , Fn ) có hợp lực R song song với lực r cho Theo lý thuyết hệ lực, hợp lực R đợc xác định biểu thức: r r r r R = F + F2 + Fn = n r F i (4-1) i=1 Khi ta thay đổi phơng hệ lực phơng hợp lực thay đổi theo Chẳng hạn lúc đầu hệ lực có hợp lực R song song với lực cho , sau xoay hệ lực cho song song với trục oz ta đợc hợp lực R' có độ lớn R nhng có phơng song song với trục oz Mặc dù hợp lực thay đổi A2 z phơng phơng hệ lực A1 r r '2 thay đổi nhng đờng tác dụng r r '1 chúng qua điểm C r r1 C điểm gọi tâm hệ lực A4 A3 song song cho O r Để xác định vị trí tâm C ta vận dụng định lý Va-ri-nhông r Cho hợp lực R ' nh hình vẽ ta có: r '3 x yC zC r r3 r r '4 my(Fni); i=1 n R.Xc = Fixi; i=1 n Fi x i hay Xc = i =1 R ; r r4 xC r R' r R n My(R') = r r2 Hình 4.1 y -47Trong Xc toạ độ điểm C trục ox, xi toạ độ điểm Ai trục ox Bằng cách xoay phơng hệ lực cho song song với trục ox oy ta nhận đợc kết tơng tự với toạ độ C hai trục oy oz Ta xác định hệ toạ độ tâm C theo biểu thức sau: n Fi x i Xc = i =1 R ; n Fi yi Yc = i =1 R ; (4-2) n Fi zi Zc = i =1 R Nh xác định hợp lực hệ lực song song nhờ biểu thức (4-1) (4-2) 4.2 Trọng tâm vật rắn r r r Coi vật rắn tập hợp n phần tử có trọng lợng P 1, P P n Các trọng lực Pi tạo thành hệ lực song song Tâm hệ trọng lợng phần tử gọi trọng tâm vật Nh gọi C trọng tâm vật toạ độ điểm C đợc xác định biểu thức sau: n Pi x i Xc = i =1 P ; n Pi yi Yc = i =1 P ; (4-3) -48n Pi zi Zc = i =1 P r r Trong P i P trọng lợng phần tử thứ i vật, trọng lợng vật, xi, yi, zi toạ độ phần tử thứ i Nh trọng tâm vật điểm C vật mà tổng hợp trọng lợng vật qua ta xoay vật chiều không gian 4.3 Trọng tâm số vật đồng chất 4.3.1 Vật rắn khối đồng chất Gọi trọng lợng riêng vật ( trọng lợng đơn vị thể tích) Pi = .vi P = .v Trong vi v thể tích phần tử thứ i vật thể tích vật Toạ độ trọng tâm vật lúc xác định biểu thức: n n vi x i xc = i =1 v n vi yi ; yc = i =1 v vi z i ; zc = i =1 v 4.3.2 Vật rắn mỏng đồng chất Gọi trọng lợng riêng vật rắn ( trọng lợng đơn vị diện tích) ta có Pi = .Si P = .S Si S diện tích phần tử thứ i vật diện tích toàn vật Toạ độ trọng tâm vật hệ toạ độ oxy chứa vật xác định theo biểu thức sau: n n Si x i xc = i =1 S Si yi ; yc = i =1 S ; 4.3.3 Vật rắn dây hay mảnh đồng chất Gọi trọng lợng riêng vật ( trọng lợng đơn vị chiều dài vật) ta có Pi = .Li P = .L Trong Li L chiều dài phần tử thứ i chiều dài vật Toạ độ trọng tâm vật lúc xác định biểu thức: -49n n Li x i xc = i =1 L n Li yi ; yc = i =1 L Li z i ; zc = i =1 L 4.3.4 Vật rắn đồng chất có tâm, trục hay mặt phẳng đối xứng Ta có nhận xét vật tìm đợc hai phần tử đối xứng có trọng lợng P1, P2 nh song song chiều qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng vật nh hợp lực qua điểm đối xứng nằm trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng Dễ dàng nhận thấy r hợp lực P i ( i = n), nghĩa trọng lợng vật qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay nằm mặt phẳng đối xứng nh xoay vật cho mặt phẳng đối xứng vị trí thẳng đứng Nói cách khác trọng tâm vật trờng hợp có tâm đối xứng, có trục đối xứng hay có mặt phẳng đối xứng nằm tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng 4.3.5 Trọng tâm vật phân chia thành vật nhỏ đơn giản Trong trờng hợp ta chia vật thành y C3 phần có hình dạng đơn giản dễ xác định trọng tâm, sau coi vật nh phần tử nhỏ vật, phần tử có trọng lợng đặt trọng tâm Xác định đợc trọng C2 lợng trọng tâm phần nhỏ vật ta xác định đợc trọng tâm vật nhờ C1 biểu thức xác định toạ độ trọng tâm Sau ta vận dụng kết x O để tìm trọng tâm số vật Hình 4.2 Thí dụ 4.1: Xác định trọng tâm tôn phẳng có hình dạng nh hình vẽ (4-2) Biết tôn đồng chất kích thớc cạnh tính cm cho xi yi Si Bảng 4.1 C1 C2 -1 1 20 C3 12 -50hình Bài giải: Trớc hết chia vật thành phần, phần hình chữ nhật nh hình vẽ (4-2) Các hình phẳng có tâm đối xứng C1, C2 C3 Toạ độ trọng tâm diện tích xác định nh bảng 4.1 Diện tích vật : S = S1 + S2 + S3 = 36 (cm2) áp dụng công thức (4.5) ta có: xc = + 20 + 60 x1S1 + x 2S2 + x 3S3 = = cm S 36 yc = y1S1 + y 2S2 + y3S3 + 100 + 108 = = cm S 36 Trọng tâm C vật hoàn toàn đợc xác định Thí dụ 4.2 Tìm toạ độ trọng tâm phẳng giới hạn hai đờng tròn bán kính R r ( xem hình vẽ 4.3) Cho biết khoảng cách hai tâm c1c2 = a Bài giải: Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ Phân tích y thành hai phần phần tròn nhng tầm tròn có bán kính r phải coi nh vật có tiết diện âm Cụ thể ta có: Phần tròn có bán kính R có toạ độ trọng tâm x1 = y1 = Diện tích S1 = R2 Phần tròn có bán kính r, toạ R a C2 C C1 r độ trọng tâm x2 = a, y2 = diện tích S2 = -r2.Diện tích vật : S = S1 + S2 = (R2 - r2) Hình 4.3 -51Ta tính đợc toạ độ trọng tâm vật xc = x1S1 + x 2S2 a.r =- 2 ; S R r yc = y1S1 + y 2S2 = S Thí dụ 4-3 Tìm trọng tâm cung tròn AB bán kính R, góc tâm AÔB = ( hình 4-4) Nếu chọn hệ toạ độ nh hình vẽ ta thấy trục ox trục đối xứng trọng tâm C chúng nằm trục ox có nghĩa yc =0 phải xác định xc Ta chia cung AB thành N phần nhỏ, phần có chiều dài lk, có toạ độ xk = Rcosk Theo công thức (4.6) có: y n lk x k xc = i =1 L B = L n lkRcosk lk i=1 Thay lkcosk = Yk ta có: O n Xc = 1 R Yk= R.AB L i=1 L R.2 sin sin = R R x xk A Hình 4.4 Thay L = R.2 AB = 2R sin ta đợc: Xc = k (4-7) Thí dụ 4-4: Tìm trọng tâm phẳng hình tam giác ABC đồng chất (hình 4-5) Bài giải: A Chia tam giác thành dải nhỏ song song K với đáy BC Mỗi dải nhỏ thứ i đợc coi nh G C B E Hình 4.5 C -52thanh mảnh trọng tâm đặt dải Nh trọng tâm dải nằm đờng trung tuyến AE trọng tâm tam giác nằm AE Chứng minh tơng tự ta thấy trọng tâm tam giác phải nằm trung tuyến BG trung tuyến CK Rõ ràng trọng tâm tam giác giao điểm ba đờng trung tuyến tam giác Trong hình học ta biết điểm đợc xác định theo biểu thức: CE = AE Thí dụ 4-5 Tìm trọng tâm vật đồng hình tứ diện ABDE nh hình vẽ (4-6) Bài giải: E Ta chia hình thành phần nhỏ nhờ mặt phẳng song song với đáy ABD Mỗi đợc coi nh phẳng đồng chất hình tam giác trọng tâm phần đợc xác định nh thí dụ 4-4 Lớp sát đáy có trọng tâm C1với C1k = BK (BK trung tuyến đáy ABD) Nh tất trọng tâm phần C2 C A C1 K B D Hình 4.6 nằm đờng EC1 trọng tâm vật nằm EC1 Tơng tự ta tìm thấy trọng tâm vật nằm đờng BC2 với C2 trọng tâm tam giác EAD Kết trọng tâm C hình vẽ nằm điểm C giao điểm EC1 BC2 Theo hình vẽ ta có CC1C2 đồng dạng với ECB mặt khác C1C2 = 1 BE KC1 = KB từ suy ra: 3 CC1 CC = = CE BE