Chương 4: Trọng tâm của vật rắn

-46- Chơng 4 Trọng tâm của vật rắn 4.1. Tâm của hệ lực song song Hệ lực song song ( F r 1 , 2 F r , . n F r ) luôn có hợp lực R r song song với các lực đã cho. Theo lý thuyết về hệ lực, hợp lực R r đợc xác định bởi biểu thức: R r = F r 1 + 2 F r + . n F r = = n 1i F r i (4-1) Khi ta thay đổi phơng của hệ lực phơng của hợp lực cũng thay đổi theo. Chẳng hạn lúc đầu hệ lực có hợp lực là R song song với các lực đã cho , sau khi xoay hệ lực cho song song với trục oz ta sẽ đợc hợp lực R' có độ lớn bằng R nhng có phơng song song với trục oz. Mặc dù hợp lực thay đổi phơng khi phơng của hệ lực thay đổi nhng đờng tác dụng của chúng đều đi qua điểm C điểm này gọi là tâm của hệ lực song song đã cho. z y O z C y C x C R r ' R r 4 r r r r ' 4 A 4 3 r r r r ' 3 A 3 2 r r r r ' 2 A 2 r r 1 C r r ' 1 A 1 Để xác định vị trí của tâm C ta vận dụng định lý Va-ri-nhông. Cho hợp lực ' nh hình vẽ ta có: R r x M y (R') = = n 1i m y (F n i ); Hình 4.1 R.X c = = n 1i F i x i ; hay X c = R xF n 1i ii = ; -47- Trong đó X c là toạ độ của điểm C trên trục ox, x i là toạ độ của điểm A i trên trục ox. Bằng cách xoay phơng của hệ lực cho song song với trục ox và oy ta sẽ nhận đợc các kết quả tơng tự với toạ độ của C trên hai trục oy và oz. Ta xác định hệ toạ độ của tâm C theo các biểu thức sau: X c = R xF n 1i ii = ; Y c = R yF n 1i ii = ; (4-2) Z c = R zF n 1i ii = . Nh vậy có thể xác định hợp lực của hệ lực song song nhờ các biểu thức (4-1) và (4-2) 4.2. Trọng tâm của vật rắn Coi vật rắn là tập hợp của n phần tử có trọng lợng P r 1 , P r 2 . P r n . Các trọng lực P i tạo thành một hệ lực song song. Tâm của hệ các trọng lợng phần tử này gọi là trọng tâm của vật. Nh vậy gọi C là trọng tâm của vật thì toạ độ của điểm C đợc xác định bằng các biểu thức sau: X c = P xP n 1i ii = ; Y c = P yP n 1i ii = ; (4-3) -48- Z c = P zP n 1i ii = . Trong đó P r i và là trọng lợng của phần tử thứ i trong vật, và trọng lợng của cả vật, còn x P r i , y i , z i là toạ độ của phần tử thứ i. Nh vậy trọng tâm của vật là một điểm C trên vật mà tổng hợp trọng lợng của cả vật đi qua khi ta xoay vật đó ở bất kỳ chiều nào trong không gian. 4.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất 4.3.1. Vật rắn là một khối đồng chất Gọi trọng lợng riêng của vật là ( trọng lợng của một đơn vị thể tích) thì P i = .v i và P = .v. Trong đó v i và v là thể tích của phần tử thứ i của vật và thể tích cả vật. Toạ độ trọng tâm của vật lúc này có thể xác định bởi các biểu thức: x c = v xv n 1i ii = ; y c = v yv n 1i ii = ; z c = v zv n 1i ii = . 4.3.2. Vật rắn là một tấm mỏng đồng chất Gọi trọng lợng riêng của vật rắn là ( trọng lợng của một đơn vị diện tích) ta sẽ có P i = .S i và P = .S ở đây S i và S là diện tích của phần tử thứ i của vật và diện tích toàn vật. Toạ độ trọng tâm của vật trong hệ toạ độ oxy chứa vật xác định theo biểu thức sau: x c = S xS n 1i ii = ; y c = S yS n 1i ii = ; 4.3.3. Vật rắn là một dây hay thanh mảnh đồng chất Gọi trọng lợng riêng của vật là ( trọng lợng của một đơn vị chiều dài vật) ta có P i = .L i và P = .L. Trong đó L i và L là chiều dài của phần tử thứ i và chiều dài của cả vật. Toạ độ trọng tâm của vật lúc này có thể xác định bởi các biểu thức: -49- x c = L xL n 1i ii = ; y c = L yL n 1i ii = ; z c = L zL n 1i ii = . 4.3.4. Vật rắn đồng chất có một tâm, một trục hay một mặt phẳng đối xứng Ta có nhận xét rằng trên vật bao giờ cũng tìm đợc hai phần tử đối xứng có trọng lợng P 1 , P 2 nh nhau song song cùng chiều qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng của vật và nh vậy hợp lực của nó sẽ đi qua điểm đối xứng nằm trên trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng. Dễ dàng nhận thấy rằng hợp lực của các P r i ( i = 1 .n), nghĩa là trọng lợng của vật bao giờ cũng đi qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay nằm trong mặt phẳng đối xứng nếu nh xoay vật sao cho mặt phẳng đối xứng đó ở vị trí thẳng đứng. Nói cách khác trọng tâm của vật trong trờng hợp có một tâm đối xứng, có một trục đối xứng hay có một mặt phẳng đối xứng bao giờ cũng nằm trên tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng đó. 4.3.5. Trọng tâm của vật có thể phân chia thành những vật nhỏ đơn giản Trong trờng hợp này ta chia vật thành các phần có hình dạng đơn giản dễ xác định trọng tâm, sau đó coi mỗi vật đó nh một phần tử nhỏ của cả vật, mỗi phần tử này có trọng lợng đặt tại trọng tâm. Xác định đợc trọng lợng và trọng tâm các phần nhỏ của vật ta sẽ xác định đợc trọng tâm của cả vật nhờ các biểu thức xác định toạ độ trọng tâm ở trên. O C 1 C 2 C 3 y Hình 4.2 Bảng 4.1 C 1 C 2 C 3 x i y i S i -1 1 4 1 5 20 5 9 12 x Sau đây ta vận dụng những kết quả trên để tìm trọng tâm của một số vật. Thí dụ 4.1: Xác định trọng tâm của tấm tôn phẳng có hình dạng nh hình vẽ (4-2). Biết rằng tấm tôn là đồng chất và kích thớc của các cạnh tính bằng cm đã cho trên -50- hình. Bài giải: Trớc hết chia vật thành 3 phần, mỗi phần là một hình chữ nhật nh hình vẽ (4-2). Các hình này là các tấm phẳng và có tâm đối xứng là C 1 , C 2 và C 3 . Toạ độ trọng tâm và diện tích của nó có thể xác định nh bảng 4.1. Diện tích của cả vật là : S = S 1 + S 2 + S 3 = 36 (cm 2 ) áp dụng công thức (4.5) ta có: x c = S SxSxSx 332211 ++ = 36 60204 ++ = 2 9 1 cm y c = S SySySy 332211 ++ = 36 1081004 ++ = 5 9 8 cm Trọng tâm C của vật hoàn toàn đợc xác định. Thí dụ 4.2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đờng tròn bán kính R và r ( xem hình vẽ 4.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là c 1 c 2 = a. Bài giải: Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ. Phân tích thành hai phần mỗi phần là một tấm tròn nhng ở đây tầm tròn có bán kính r phải coi nh vật có tiết diện âm. Cụ thể ta có: Phần 1 là một tấm tròn có bán kính R có toạ độ trọng tâm là x 1 = 0 và y 1 = 0. Diện tích là S 1 = R 2 . Phần 2 là tấm tròn có bán kính r, toạ độ trọng tâm là x 2 = a, y 2 = 0 và diện tích là S 2 = -r 2 .Diện tích cả vật là : R C 2 C 1 C r a y S = S 1 + S 2 = (R 2 - r 2 ) Hình 4.3 -51- Ta có thể tính đợc toạ độ trọng tâm của vật. x c = S SxSx 2211 + = - 22 2 rR r.a ; y c = S SySy 2211 + = 0. Thí dụ 4-3. Tìm trọng tâm của một cung tròn AB bán kính R, góc ở tâm là AÔB = 2 ( hình 4-4) Nếu chọn hệ toạ độ nh hình vẽ ta thấy trục ox là trục đối xứng do đó trọng tâm C của chúng nằm trên trục ox có nghĩa là y c =0. ở đây chỉ còn phải xác định x c Ta chia cung AB thành N phần nhỏ, mỗi phần có chiều dài l k , có toạ độ x k = Rcos k . Theo công thức (4.6) có: B O l k k x k x A Hình 4.4 y x c = L 1 L xl n 1i kk = = = n 1i l k Rcos k Thay l k cos k = Y k ta có: X c = L 1 R = n 1i Y k = L 1 R.AB Thay L = R.2 và AB = 2R sin ta đợc: X c = 2. R sin2.R = R. sin (4-7) Thí dụ 4-4: Tìm trọng tâm của một tấm phẳng hình tam giác ABC đồng chất (hình 4-5). Bài giải: C G K C A Chia tam giác thành các dải nhỏ song song với đáy BC. Mỗi dải nhỏ thứ i đợc coi nh một B E Hình 4.5 -52- thanh mảnh và trọng tâm của nó đặt tại giữa dải. Nh vậy trọng tâm của các dải sẽ nằm trên đờng trung tuyến AE và trọng tâm của cả tam giác cũng nằm trên AE. Chứng minh tơng tự ta thấy trọng tâm của tam giác phải nằm trên trung tuyến BG và trung tuyến CK. Rõ ràng trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của ba đờng trung tuyến của tam giác đó. Trong hình học ta đã biết điểm đó đợc xác định theo biểu thức: CE = 3 1 AE Thí dụ 4-5 Tìm trọng tâm của vật đồng nhất hình tứ diện ABDE nh hình vẽ (4-6) . Bài giải: Ta chia hình thành các phần nhỏ nhờ các mặt phẳng song song với đáy ABD. Mỗi tấm đợc coi nh một tấm phẳng đồng chất hình tam giác trọng tâm của mỗi phần đợc xác định nh ở thí dụ 4-4. Lớp sát đáy sẽ có trọng tâm là C 1 với C 1k = BK 3 1 (BK là trung tuyến của đáy ABD). Nh vậy tất cả các trọng tâm của các phần sẽ nằm trên đờng EC 1 và trọng tâm của cả vật cũng sẽ nằm trên EC 1 . E C B K C 2 A C 1 D Hình 4.6 Tơng tự ta tìm thấy trọng tâm của vật nằm trên đờng BC 2 với C 2 là trọng tâm tam giác EAD. Kết quả là trọng tâm C của hình vẽ nằm trên điểm C là giao điểm của EC 1 và BC 2 . Theo hình vẽ ta có CC 1 C 2 đồng dạng với ECB mặt khác C 1 C 2 = BE 3 1 và KC 1 = KB 3 1 từ đó suy ra: CE CC 1 = BE CC 21 = 3 1 -53- Suy ra CC 1 = CE 3 1 = EC 4 1 1 . . Các trọng lực P i tạo thành một hệ lực song song. Tâm của hệ các trọng lợng phần tử này gọi là trọng tâm của vật. Nh vậy gọi C là trọng tâm của vật thì. và là trọng lợng của phần tử thứ i trong vật, và trọng lợng của cả vật, còn x P r i , y i , z i là toạ độ của phần tử thứ i. Nh vậy trọng tâm của vật là