[toanmath.com]- Phương pháp hàm số trong giải Phương trình (Bất - Hệ), Bất đẳng thức và Min-Max

Trang 2

SA: 2 6 OU Tim tai liu Todn ? Chuyén nhd - www.toanmath.com

—“

————

4 LE XUAN SON - ThS.LE KHANH HUNG

(Giáo viên Trường THPT Chuyên - Đại học Vinh)

TRON G GIẢI TOÁN PHUONG TRINH,

BAT PHUONG TRINH, HE PHUONG TRINH

CHUNG MINH BAT DANG THUC GIA TRI LON NHAT vi

GIA TR NHỦ NHẤT

Trang 3

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối — Hai Ba Trung — Ha Noi

- Điện thoai: Bi 1 ban: (04) 397- :

Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tập: (04) 3971501 1

Fax: (04) 39714899

* OR #

Chậu trách nhiệm xuất ban:

Giám đốc - Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: DUY THẮNG

Sửa bài: NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

Chế bản: ' NGUYÊN KHỞI MINH

Trình bày bìa: VÕ THỊ THỪA

Đối tác liên bết xuất bản:

Nhà sách HỒNG ÂN

SÁCH LIÊN KẾT

PHƯƠNG PHÁP HAM SỐ TRONG GIẢI TOÁN - PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG

TRINH, CHONG MINH BAT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Mã số: 1L- 81ÐH2014 - :

In 2.000 cuốn, khổ 17 x 24cm tại Công ty SX-TM-DV Vạn An, TP.Hồ Chí Minh Giấy phép xuất bản số: 219-2014/0XB/17-38 ĐH0QGHN, ngày 12/02/2014 Quyết định xuất bản số: 82LK-TN/QĐ-NXB ĐH0GHN, ngày 24/02/2014

Trang 4

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - wiww.toanrnath.com

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, và đóng vai trò

trung tâm trong chương trình Tốn phổ thơng Hàm số cũng là một trong

những nền tảng của nhiễu lĩnh vực khác nhau của toán học nói riêng và khoa học nói chung Nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số và biết vận dụng nó,

không những giúp giải quyết được các bài toán có nhiều ràng buộc phức tạp mà còn góp phân quan trọng để rèn luyện phẩm chất tư duy hệ thống, sáng tạo

cho người học Qua đó hình thành cho người học năng lực xử lý linh hoạt, hiệu

quả các tình huống của thực tiễn đời sống

Trong các kỳ thi quan trọng về Toán từ cấp trung học phổ thông (THPT) trở

lên ở trong nước cũng như trên thế giới luôn có một hàm lượng đáng kế bài toán về Ham số Nói riêng ở Việt Nam, trong các kỳ thỉ tuyển sinh vào đại học,

chọn học sinh giỏi tỉnh, thành phố cáp THPT thì phần lớn các bài toán mang tính phân loại cao đều có thẻ được giải quyết bằng phương pháp hàm số Ngồi

những bài tốn chỉ được giải quyết bằng phương pháp hàm số, còn nhiều bài

toán có những cách giải khác nhau trong đó cách sử dụng hàm số nhìn chung

là mạch lạc và “nhẹ nhàng” hơn cả :

Hiện nay, thị trường đã có nhiều sách tham khảo về Hàm sé cho hoe sinh

Tuy nhiên chúng tôi hi vọng rằng, cuốn sách “Phương pháp hàm số trong

giải Toán” là một tài liệu hữu ích cho học sinh, đặc biệt là những học sinh chuẩn bị thi vào đại học, thỉ học sinh giỏi các cấp với mong muốn đạt điểm

cao Cũng hỉ vọng rằng, cuốn sách sẽ góp phần giúp cho các thầy, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy mơn Tốn thuận lợi hơn trong công việc của mình

Nội dung của cuốn sách được trình bày thành ba chương:

Chương 1: Hệ thống phương pháp hàm số trong phương trình và bất phương trình; Chương 2: Giải quyết các bài toán hệ phương trình; và phần trọng tâm nhất là ở

Chương 3: Trình bày về những dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng mình bắt đẳng thức

Trong từng mục của mỗi chương đều có phan ví dụ được đưa ra từ cơ bản

đến phức tạp, phần bài tập và phần hướng dẫn giải bài tập ngay sau để thuận

tiện cho việc tham khảo : /

Cuốn sách không tránh khỏi những khiếm khuyết Chúng tôi rất mong nhận

được ý kiến đóng góp của Quý độc giả để cuốn sách hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau

Trang 5

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÁT PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương pháp hàm số

Thông thường khi các phương pháp giải phương trình, bất phương trình

như: biến đổi tương đương, dưa về phương trình tích, đặt ấn phụ, gặp khó khăn, chúng ta có thể nghĩ đến sử dụng phương pháp hàm số

Ta xét bài toán sau

Bài toán 1 Giải phương trình ƒ(x) =0, trong đó ƒ(x) có tập xác định D Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình, ta thường sử

dung cac tinh chat sau đây:

Trong cuốn sách này chúng ta luôn giả thiết K 1a một khodng cia R

- Nếu hàm số y= ƒ(x) đơn điệu trên K thì phương trình /(x)=0 có không

quá 1 nghiệm trên K

- Nếu hàm sé y= f(x) c6 dao hàm ƒ (>) liên tục và thỏa mãn ƒ'{x)=0 có I

nghiệm trên K thì phương trình ƒ(x)=0 có không quá 2 nghiệm trên K Tổng quát: Nếu ƒ'() liên tục và có z nghiệm trên K thì phương trình /(x)=0 có không quá +1 nghiệm trên K

- Nếu hàm số y= /(x) dồng biến, hàm y=g(zx) nghịch biến trên K thi

phương trình ƒ(x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trên K

-Néu ham sé y= f(x) đơn điệu trên K thì phương trình

(9= ƒ(y)© w=v với u,veK Bài tốn ban đầu có thể thuộc các dang sau

Dạng 1 Phương trình ƒ(x)=0, trong đó chúng ta có thể lập được bảng biến

thiên của hàm y„= f(x) Dang l này có các trường hợp đặc biệt: - Hàm y= ƒ(z) đơn điệu trên khoảng Ð

- Ham y= f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng K, DUK, =D và các khoảng

K, rời nhau

- Phương trình ƒ(x)=0 © g(x)=A(x), trong dé y= g(x) va y=A(x) là các

hàm đơn điệu ngược chiều trên D

Một yêu cầu cần thiết khi giải phương trình Dạng 1 là chúng ta chỉ ra tính đơn

digu cia f(x) trén cdc khoang K CD, rồi nhẩm tìm được nghiệm của

Trang 6

đơn điệu để kết luận đó là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho Trường

hợp phương trình không có nghiệm trên K thì dựa vào giá trị cla f(x) trén K

để kết luận

Dạng 2 Phương trình /(x)=0 F(g(x))= F(h(x)), trong dé y= F(t) 1a hàm đơn điệu trên K và ø(x), ñ(x) thuộc K với mọi xe D Khi đó, ta có

F(g(x)) = F (A(x) © g(x) = Ala)

Bài toán 2 Giải bất phuong trinh f(x)>0, trong đó f(x) có tập xác định D

(tương tự cho bất phương trình dạng ƒ(z) <0; ƒ(x)>0; ƒ(x) <0)

Chúng ta cũng xét 2 dạng cơ bản sau:

Dạng 1 Giả sử /(x) đồng biến (nghịch biến) trên 2 và xạ thỏa mãn

Z#Œ)=0 Khi đó ƒ(x) >0 < ƒ(x)> ƒ(xạ)

Sx>x#¿(x<3#ụ)

Dạng 2 Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng #(ø(z))> Ƒ (J(z)), trong

đó y= #“Œ) là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K và g(x), h(x) thuộc K

với mọi xe Ð Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với

øŒ)> h(x) (hoặc g(x) <h(x))

Sau đây chúng ta sẽ bắt đầu xét các ví dụ giải phương trình và bất phương trình

2 Phương trình và bat phương trình

Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu theo tuần tự về kiến thức và thực hiện các kỹ

năng tính toán, đầu tiên chúng ta trình bày các bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

2.1 Phương trình và bất phương trình vô tỷ

Ví dụ 1 Giải phương trình A/4x—1 + 4x? —1 =1

4x-120 1

Lời giải Điều kiện: oe co cœ=x>- x3?

Xét hàm số f(x) =Vax-14 Vax —1 vên Bs 40),

Taco Sa)= e+ nen /0050 với mọi x> 2 Do đó hàm số

đồng biến trên [d=

Trang 7

Mà ⁄§) =1 nên x = là nghiệm duy nhất của phương trinh f(x) =1

Vậy nghiệm của phương trình là x = >

Ví dụ 2 Giải phương trinh J3x+1+yx+V7x+2 =4 1 x Lời giải Điều kiện: 3 x+ V7x +2>0 Xéthàm số f(x) =V3x+1+\x4+V7x+2 trén tap xac định 7 1+ 3 2N7x42 >0, do đó /(x) đồng biến trên tập 23x+l 2jx+AÍ7x+2 Ta có /'(x)= xác định

Mặt khác ƒ(1)= 4, suy ra x=l là nghiệm duy nhất của phương trình 'Vậy nghiệm của phương trình là x =1 Ví dụ 3 Giải bất phương trình 3./3—2x + 5 —2x<6 V2x-1 Lời giải Điều kiện: ; <x< Xét hàm số f(x) =3V3—2x + -~2x ~6 trên & 3 ~2<0 với mọi “4(5:?} Do đó hàm 5 V2x-1 3 5 ⁄3-2x (Wz-}

Trang 8

Bất phương trình đã cho tương đương với X3x+l=(I—x)`~2>0 @) Xét hàm số ƒ(x)= ⁄3x+1 —(1— x)Ì ~2 trên đoạn [-#: +}; Ta có ƒ{(x)= 3 +3(1—x) >0 với mọi xe(-4 +) Do đó hàm số 2V3x41 F(x) đồng biến trên |-z: + +}

Mặt khác, ta thấy ƒ(1)= 0 nên suy ra (1) © /(x)>0>x>1

Vậy nghiệm của bắt phương trình là x >1

Trong nhiều trường hợp hàm số y= ƒ(x) xác định trên 7 nhưng ta chỉ chứng

tỏ được ƒ đơn điệu trên khoảng K c Ð, dé vận dụng được tính đơn điệu của ƒ

trong giải phương trình ƒ(x) =e (tương ứng bat phương trình) chúng ta có thé

nhận xét xe K hoặc phân chia các truéng hop xe K, x¢ K Ví dụ 5 Giải phương trình (Vx+2 +x/x+6)(V2x~1 -3)=4 Lời giải Điều kiện: x> > Để phương trình có nghiệm thì V2x~1—3 >0 © x >5 Khi đó xét hảm số /(x)=(Vx+2 +vx+6)(J2x=1 ~3) trén (5; +00) py 1 1 aL vx+2+Jx+6 Ta có 70=[ + Ì(w 1 )* >0 với

mọi x>5 Do đó hàm số /(x) đồng biến trên (5; +œ} Ta thấy ƒ(7) =4, suy

ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 7 /

Ví dụ 6 Giải phương trình ¥3x? +13 =4x—34 V3x? +6 Lời giải

Nếu xsi thi 4x-3<0, do dé VT > VP nên phương trình vô nghiệm

Néu x> 3, thì phương trình đã cho tương đương với

Trang 9

Tìm tài liéu Todn ? Chayén nhd - www.toanmath.com at ha [ ae 3 Xét hàm số I (x)= 3x?+13—3x?+6—4x+3 với xu 1 1 3 Ta có ƒ'{x)=3x| ———- =4; ƒ(+)<0 với mọi x>— Suy ra ©) eo acl 4 ham f(x) đồng biến trên khoảng (3: + ”)

Mặt khác | #() =0 do đó x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình /(x)= 0

Vi dụ 7 Giải phương trình /x—I=—x) +4x +1

Lời giải Điều kiện: x >1

Phương trình đã cho tương đương với x` - 4x+ vx-1=1 Xét hàm số ƒ(x) = x` =4x + vx =1 trên [l; +s) 1 2-1” Nếu x24 thi 3x? >4 nén f'(x)=3x7-44 Tacd f'(x)=3x? 4+ >0 x-1 5 5 1 2 1 Néu l<x <= thi >1 nén f(x) =3(x° -1})+ -1|>0 4 2Vx=1 ⁄w ( ) (; x-l )

Suy ra ƒ'(+x)>0 với mọi x>1 Do đó f(x) đồng biến trên [1; + œ)

Mặt khác, ta có f(2)=1 nén x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình #Œ)=1

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

Nhận xéi Chúng ta có thể giải bằng nhân liên hợp như sau Phương trình đã cho tương đương với xŸ ~4x+(dx~I -1)=0

ex(x2-4)4 2? 0 -2( 2+2 “9

( ) vx-14+1 (x=2|z * vx-141

ox=2

Vi dy 8 Giai phuong trinh 2V4x? — x41 42x=3¥2x? 9 + Vox? 4x44,

(Hoe sinh gidi Tinh Nghé An, 2007) Lời gidi Phuong trinh xac dinh voi mgi x eR

Trang 10

Xét x>0, chia hai về phương trình cho x và dat t= 1 ta được phương trình x

Wr =14442=302r-14 Var 4149 (1)

Dat «= Y2r—1, khi dé phuong trinh (1) trở thành

VuS +15 +2=3ut luo +8 oo 3u + vue +8 —Vu5 +15-2=0 (2)

Xét hàm số /ƒ() =3, + VuŠ +8 —^Íu5 +15 —2 trên R Ta thấy nêu z<0 thì ƒ(w) < 0 nên ta chỉ cần xét w > 0 TU với mọi w>0 Do đó /() là hàm đồng biến trên (0; + œ) Mà /(1)=0 nên ¿=1 là nghiệm duy nhất của (2) Từ đó ta tìm được x=l Xét x<0, làm tương tự như trên ta có phương trình ` Vu +8—3~xÏ®" +15+2=0 với w <—1 Xét hàm số g(w) = vu® +8 — 3— NhŠ +15 +2 với w <—1 1 1 "- Ta có g0) = 3Š sale với mọi < - Nên g() > øg(—l) =2 Vậy x=0, x=1 là nghiệm của phương trình đã cho 1 dục? Vea

Phân tích: và lời giải Nhìn vào phương trình ta thấy ngay phương trình có

dạng #(g(x))= F(ñ(x)) Từ đó ta có định hướng sử dụng chiều biến thiên

của hàm số để giải phương trình này

Trang 11

Ta có ƒ'{?)=2£+ 1 :/!Œ)>0 với mọi >1 Suy ra /() đồng biến 24-1}

trén (1; +00) Do đó phương trình đã cho tương đương với

/(5x—6)= /(x) eo 5x-6=xeo0=3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3

Ví dụ 10 Giải phương trinh x? +3x? + 4x +2 =(3x + 2)V3x-41

Lời giải Điều kiện: 3x+1 >0 < neo

Phương trình đã cho tương đương với (x +1) + (x41) = (3x4 1)v3x414¥3x41 (x4 ++) =(V3e41) + V3e 41 “ Xét hàm số f()= +1 trén R Ta có /'Œ)=3/” +1 >0 với mọi te R Do đó ham /() đồng biến trên R Suy ra đâ/G+é=/(5x+1)e@x+L=v3x+1 =a<s=0e|TT - x=l Vy nghim ca phương trình là x=0, x=] _ Ví dụ 11 Giải phương trình 8xŸ ~ 36x? + 53x—25 = Ÿ3x— 5

Phân tích và lời giải Ta cần đưa phương trình về dạng ƒ(g())= ƒ(h(œ))

trong đó ƒŒ) = mí) + mí, Đề ý rằng hang tử Ä3x—5 có bậc thấp nên tương

ứng với nh(x) trong ƒ(h(x)), do đó n=1

Ta xác định ø(x)= px+g Khi đó về trái của phương trình sau khi biến đổi sẽ 1a m(px+q) +(px+q) Xét hang tử bậc 3 ta được mø”x” =8x”, Như vậy mp’ =8 Dén day co hai trường hợp có thể xảy ra là m=l,p=2 hoặc

m=8,p=l

Nếu m=l, p=2 thì ƒŒ)=£# +¿ Do đó phương trình đã cho có dang (2x+g)`+(2x+g)=3x—5+ 3x—5

Trang 12

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com 124 =-36 Đồng nhất hệ số ta được J6g”—1=53 «e>g=-3 q°+q+5=-25 Vậy trường hợp m=1, p=2 da c6 kết quả nên ta không cần xét trường hợp m=8,p=l, Từ đó ta có lời giải: Phương trình đã cho tương đương với §xÌ ~36x” +54x~27+2x-3=3x—5+ 3x —5 Q) <2 (2x-3)' + 2x-3=3x-5493x—5,

Xétham sé f()=0 +1 trén R Ta cd f(t) =31? +1>0 voi moi teR Do dé ham f(r) déng bién trén R Suy ra (2) <9 fQx~3)= f(Y3x=5) eo 2x-3 = 3x5 © 8 ~36x” +5Ix~22=0© (x~2)(Bx - 20x41) =0 x=2 ©[|_ s+VW3 x= + 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2, x= ` Ví dụ 12 Giải phương trình 4x” + x~ (x+1)2x+1 =0

(Tuyển sinh Cao Đẳng, 2012)

Lời giải Điều kiện: x> >

Phương trình tương đương với

(Ax)'+2x=(J2x+1) + J2x+1 ay

Trang 13

Tìm tai liéu Todn ? Chuyén nhd - www.toanmath.com 1+5 7 vx+1-2 1 Y2x+1-3 x42)

(Học sinh giỏi Tình Nghệ An, 2013)

Vậy nghiệm của phương trình la x = Ví dụ 13 Giải phương trình x>-l Lời giải Điều kiện: xz13 Phương trình đã cho tương đương với (x+2)(Vx+1~2)=Ÿ2x+1~3 o(xti)Vrel4 vee] = 20414 92x41 (1) Xét ham s6 f(t)= +1 voi reR Ta cd f'(t)=3 +1>0 voi moi teR Suy ra hàm số / (r) déng bién trén R Khi đó () © /(Vx+1)= /(2xz+1)e» Ýx+1=2x+1 xe-l wot 2 x=0 © 2 © 2 <4[x=0 ©|_ 145 (x+1f =(2x4+1) — [x8-x?-x=0 ya ltvs — TS Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x=0 và 1+5 x= - 2 Ví dụ 14 Giải phương trình -2x` +10x2 ~17x+8=2x?ÄÍ5x - xẺ

Trang 14

Xét hàm số /(w)=u° +2w trên R Ta có /')=3u2+2; ƒ')>0 với mọi

c1 Suy rahàm ƒ() đồng biến trên R Do đó Me Zœ~0= 7Ý sẽ -l}£e#z-I= se? —1 <= (21-1 =50 -19 8 -17P +6r=0 t=0 (ktm) ©) 17+ N97 16 Suy ra x= 16 ` 17+ 97 : 5 16

Vậy nghiệm của phương trình là *= đệ

Nhận xét Ta có thể giải cách khác như sau Để ý rằng (x— 2)” +5x— xÌ ==6x? +17x—8 Đặt ø= ÝSx— +), b= x— 2, khi đó phương trình trở thành ~2x”œ~2)~(T6x? +17x—8)=2x2Ä5x ~ x ©~2x)b~(a`+b`)=2x”a = (a+b)(a?~ ab +b? +22") =0, Vi @ -ab +5" >0 và 2x >0 nên phương trình tương đương với a+b=0 a=ö=x=(0 Với a+b=0 an r 6 S11 t8=0c xe T2 T, Với a=b=x=0, không thỏa mãn ấy nghiên cử J 17 V97 Vậy nghiệm của phương trình là x= Dp Ví dụ 15 Giải phương trình 9x2 - 28x + 21= Vx— 1, Lời giải Điều kiện: x >1

Ta có phương trình đã cho tương đương với

Trang 15

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com @x—5)?+(3x~5)=(@—1)+ Vx—1 a) Xét ham sé f()=0? +7 Tacd f(t) đồng biến trên [-} + =] và nghịch biến 1 trên | =œ; => | "( ° Al

Nếu x23 thi 3-52 Do dé 3x—5 va Ve=1 cing thuộc [-z:+}

Suy ra: (Nee fGx-5)= f(vx— 1) e>3x— s=⁄g- : 3x-5>0 o cx=2 (x-5P =x-1 Để ý rằng phương trình đã cho có thể viết tương đương thành (4-3*)°+4~3x=x—1+xx—1 / Q) Néu Isx<3 thi 4—3x>—3 Do dé @)e 7(4~32)= /(dx—1)eœ4~3x=jx=T 4-3x>0 - © > ox vi3_ (4-3xy° =x-1 18 25—V13

Vậy nghiệm của phương trình la x= 2, x= 18

Nhận xớ 1 Do tính chất của hàm bậc hai, chỉ đồng biến trên “một nửa” trục số nên ta phải chia xét hai trường hợp của biến x như trên

Trang 16

Tim tai liệu Toán ? Chuyén nhd - www.toanmath.com

Xét ham s6 70=t({È+3 +2) voi eR 2 Ta có 740=2++3+ C=:/00>0 với mọi xe Do đó hàm ƒ() +3 đồng biến trên R Suy ra ()© ƒ(2x+lI)= f(-3x) @ 2x+1=-3xe x= -3

Vậy nghiệm của phương trình là x = _ Nhận xét Ta có cách giải khác như sau Phương trình đã cho tương đương với

(2x4 Đ((@x+ 43+ 2) = C3z)( V32) +3 +2} (2)

Nếu x >0 hoặc xe thì hai về của phương trình (2) trái dấu, do đó vô nghiệm

Nếu elt: 3) thì 3x<=2x—l<0 nên (3x) >(2x+ LẺ

Suy ra V7(2) < VP(2)

Nếu xe & 0| thì tương tự ta cũng có (2) vô nghiệm Nếu x= ơĐ thỡ phng trỡnh nghiệm đúng

'Vậy nghiệm của phương trình là x=~G: Vi dụ 17 Giải bất phương trình Vx?~2x+3-x?—~6x+11>A43—~x—x—I Lời giải xÌ~2x+3>0 x -6x+1120 2 3-x20 x-l>0

Ta có bất phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện: Sx<3, qa)

Trang 17

Tim tai liéu Todn ? Chuyén nhé - www.toanmath.com Vi? =2x434Vx—1> Vx? —6x41143-x eo f(e-1? +2 +Ve-1> G—x)? +24N3—-x (2) Xét hàm số /aslissw với >0 t Pr +2 tử Do đó hàm số Z() đồng biến trên [0; + s) Mặt khác x—1 và 3— x đều thuộc [0: +00) Suy ra (2) f(x-l)> fB-x)@ x-1>3-xex>2 Đối chiếu với điều kiện (1) ta có nghiệm của bất phương trình là 2< x<3 Ví dụ 18 Giải phương trình Vdx+1+jx?+x+1 —2x+4/4x?—2x+1 =x—I , x+l+Vx?+x+I>0 2x + V4x? 2x +120

Phương trình đã cho tương đương với

ra ltyerlt fore? —(e4 41 = 204 Y204 2x? 2241 ()

Xét hàm số fats eave —t41 trên tập xác định 2 ' (reve -r+1) av? -14+14+2¢-1 4A a + ayes VP -141 aves Ve +12 —r+1 Để ý rằng We -141421-1= Var? — 4044 424-1 = (21-1)? +3 +211 >|2¢-1]+ 20-120 Suy ra f'(x)>0 với mọi x thuộc tập xác định Do đó hàm số đồng biến trên tập xác định

Khi đó () © #(x+l)= ƒ(@x)© x+1=2x © x=l, thỏa mãn điều kiện, Vậy nghiệm của phương trình là x=]

Ví dụ 19 Giải phương trình /x+2+A3=x =x?—x+l Lời giải Điều kiện: ~2 < x <3

Tacó ƒ'Œ)= ¡ #Œ)>0 với mọi ¿ >0

Trang 18

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com

"hương trình đã cho tương đương với Vx+2 +x3~ x—x?+x—1=0 Xét hàm số f(x)=Vx+2 + J3—x-x* +x-1 trén doan [-2; 3]

Ta có

2/00 Gea

với mọi NG 3) Do đó phương trình ƒ'(x)=0 có tối đa 1 nghiệm, nên

phương trình ƒ(x) =0 có không quá 2 nghiệm

Mặt khác, ta thấy x=2, x= —1 là nghiệm của phương trình /(x)=0

Vậy nghiệm của phương trình là x= 2, x=—1

Nhận xét 1 Ta có thể giải bằng cách nhân liên hợp như sau Phương trình đã cho tương đương với (ýx+2~2)+(V3~x~1)-(x?~x~2)=0 “tư êến Œ~2w+I)=0 x-2=0 =| 1 1 : Vevde2 Vy CƠ ® 1 1 212 Vy =x+1, 2) Xét phương trình (1), ta có (1) ©> ⁄3-x—vx+2-—1 (Wx+2+2)(V5=x+I)

Ta nhận thấy x =—1 là nghiệm của (2)

Nếu -2<x<~1 thì 7(2) >0 >VP(2), nên phương trình (2) vô nghiệm

Nếu -I<x<3 thì V7(2)<0< P2), nên phương trình (2) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2,x=—

ˆ2 Ta có thể chứng minh phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=-1 bằng

cách xét ham s6 g(x) “an ~(z+]) trên |—2; 3]

Ta có g(x) nghịch biến trên [-2; 3] và g(-I)=0 nên phương trình (1) có

nghiệm duy nhất x = —1

o

Trang 19

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com Tiếp theo ta xét một số ví dụ với cách giải tương tự, tức là đầu tiên ta “nhằm”

1 nghiệm rồi dùng nhân liên hợp, sau đó sử dụng đạo hàm để tìm nghiệm còn

lại nếu có

Vi dy 20 Giải phương trình xŸ — 3x +1= j8 — 3x2 Lời giải Điều kiện: 8— 3x? > 0

Khi đó phương trình đã cho tương đương với xÌ~3xz+1~(2—x)+(2—x)—x|8—3x? =0 A(x°=x- 1) I(x? -x-1 =0 2 (x41(x x ma 2=x-1Ì|xvl+>——®“—|=o 1 (ox I> sere oO 4 Ta chimg minh phuong trinh x+1+ =0 (2) (-x)+J8-3>ˆ vô nghiệm Xét hàm số ƒ(x)=2-x+AJ§~3x2 với se: H 6+4/6 (@)=-1- _: @=0sx=-—.l2: ;Í—.|#Ì- Ta có /0)=-I-rE:/G)=0ex Bal 3) 3 if Baa ffs, if -ff)-2+ (foo Suy ra 0< fe sStN6, 1 6+4V6 3

Do dé F(x) >0 Nên phương trình (2) vô nghiệm

Từ đó suy ra phương trình “ anc

Vậy nghiệm của phương trình là x = tev

Ví dụ 21 Giải bất phương trình Jx+2 +x? -x-2<J3x—2

Lời giải Điều kiện: xế: :

Trang 20

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với (w+2 -M3x-2 2)+ (?- x- 2)<0 2(2-x) °Wyt3rdc2 264050 —2 -2)|Ì ——- ~-—— 1/<0 1 oe (atest): @ -2 2 Xét hàm số PO" Ty Gena TRS =——————+x!l với x>“ 1 3 Ta 66 f(x) = "“ = v3x_2 >0 với mọi x>2, Do đó hàm f(x) (Ve+2 + v3x—2) 3

đồng biến trên li:-=} Suy ra reve s(2 2.5 Boo với mọi ned Suy ra bat phng trỡnh (1) â x-2<0Â>x<2

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là 2<x<2

Vi dy 22 Cho các số thực a,b,c théa a>b>c>0 Chimg minh phuong

trình sau có nghiém duy nhdt Jx—a-Vx-6 + 222

x-c

(Học sinh giỏi Tỉnh Hà Tĩnh, 2009)

=0

Lời giải Điều kiện: x >a

hương ình đã cho tương đương với Joes a am pve at+vVx-b-Vx-c=0 x- x-a+xx—b TT s “5 xa ° | +f -1=0 x-¢ x-C¢ Xét hàm số f(x) = |=" + E3, với x>a x-¢ x-c¢

Taco f(x) là hàm đồng biến và #(a)= 2— -1<0, Hm a- lim ƒ(x)=1>0 Suy ra phương trình ƒ(x) =0 có duy nhất nghiệm, điều phải chứng minh

Trang 21

„ Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Tiệp theo chúng ta trình bày các ví dụ giải phương trình và bất phương trình

mũ - logarit Các định hướng sử dụng tính đơn điệu của hàm số cũng tương tự như giải các phương trình và bât phương trình vô tỷ

2.2 Phương trình và bất phương trình mũ — logarit ve Vi dy 1 Giai phuong trinh log, (% + 3) +27 4 =2, Đặt r=^Íx, khi đó r >0 và phương trình trở thành 3 pd log,|t+5|+2 0 4-2=0 () > 3 Xét hàm số A)=tog, {143} 2 42 voi t20 — — [+ s]M2 2 hàm số ƒ(7) đồng biến trên [0; + œ) nd

Tacó ƒ'@)= +(2+12 ”“%In2; ƒ'@)>0 với mọi >0 Suy ra

Trang 22

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - wiww.toanrnath.com _ 1 Ly ety py ? moi Ta S670) ng g2) In3; ƒ'Ø)>0 với mọi >0 Suy ra hàm số #Œ) đồng biến trên [0; + œ) Mặc khác, /(1)= 2 nên ? =1 là nghiệm duy nhất của (1) Suy ra VI ~3x+2=1e©sx? -3x+I=0eyy—23 V5 2 + Vậy nghiệm của phương trình là x= 3 a

Ví dụ 3 Giải phương trình 3* (Ve + -x) =1

(Học sinh giỏi Tỉnh Nghệ An, 2009)

Tời giải Xét hàm số ƒ(œ)=3* (vie + -x)-1 trên R Ta có 7)=3”In3(Ý° + ¬)*x¬] x +t 9 (JF a1-s][wa- <1<In3 nên ƒ{x)>0 với mọi xel Do đó Vì Jx”+I—x>0và 1 Vx 41 hàm số f(x) dong bién trén IR Mat khéc f(0)=0 nén x=0 la nghiém duy nhất của phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x=0

Ví dụ 4 Giải phương trinh log, (1+ vx) =log, x

Trang 23

Tim tdi liệu Toán ? Chuyện ake ~ www.toanmath.com Ly (BY, sung Rõ rằng hàm số /()=| 2 | +| XÃ | là hàm nghịch biến trên R mà /(2)=1

nên =2 là nghiệm duy nhất của phương trình ƒ()=1 Suy ra x=9

Nhận xét Ở đây chúng ta đã đưa một phương trình logarit với các logarit có cơ số không biểu diễn qua nhau dưới dạng lũy thừa nguyên Ta tam goi đây là kỹ thuật mũ hóa phương t trình logarit Việc làm này có thể xem là ngược lại với kỹ thuật logarit hóa để giải các phương trình mũ với các cơ số không biểu

diễn được qua nhau dưới dạng lũy thừa nguyên đã được trình bày trong Sách

giáo khoa Giải tích 12

Ví dụ 5 Giải phương trình (x—1)log; x= —— el

Lời giải Điều kiện: x > 0

Rõ ràng x=1 không là nghiệm của phương trình Véi x #1, ta có phương trình tương đương với log; x= x1 ©log;x— x41 ° 20 * 2-1 Xét hàm số S@)= boas TT y rẻ tập xác định Ta có 0= + sả mà với mọi 0<x#1

Suy raham f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; +œ) Bang biến thiên x |0 1 +00 ý#Œœ)|_ + + +œ +00 70 ⁄ a 00 0

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình ƒ(x)=0 có đúng 2 nghiệm

Mặt khác, ta thy x=3 va x -+ là nghiệm của phương trình Vậy nghiệm của

phương trình là x=3 và eos

Trang 24

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com Nhận xét 1 Việc chuyển phương trình về xét hàm f(x) voi ham logarit va

hàm phân thức độc lập là rất tự nhiên Nhưng rất dễ bỏ sót nghiệm x “3 nếu

vội vàng kết luận hàm f(x) déng biến trên tập xác định và phương trình /#(x)=0 có tối đa I nghiệm

2 Chúng ta cũng có cách giải khác như sau Phương trình đã cho tương đương với

(x-IDlog, x- To, Xét hàm số a(x) =(s—Mlog, x= với x>0

1

Ta có g(x) TC + og, x33 ga) = +tso với mọi x>0

xIn3 xiin3 xin3

Suy ra g(x) déng bién trên (0; +00) Vi lim g(x)= +00, lim #ø(x)=—œ nên

+00, x0"

phương trinh g'(x)=0 cé nghiệm duy nhat trén (0; +00) Suy ra phương trình

ƒ(x)=0 có tối đa 2 nghiệm trén (0; +0)

Mặt khác, ta thấy x=3 và x= ; là nghiệm của phương trình Vậy nghiệm của phương trình là x=3 và x= s

Ví dụ 6 Giải phương trình 3 2x = 3” +2x+l

Lời giải Rõ ràng x = -5 không là nghiệm của phương trình Với x# -> phương trình đã cho tương đương với 3 '2x-l)=2x+lôââ3'= =0 2x-] z 2x

Xột ham sé f(x)=3" — 27! với ve! 2x-1

Taco f\(x)=3* In3+ (2x -1) 33 f(x) >0 voi moi xư-T, Do dé ham f(x) 2

đồng biến trên mỗi khoảng [-= - ;) và (-3: +}

Trang 25

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - wiww.toanrnath.com Suy ra bảng biến thiên x | 3 +00 f'@) + + +00 +00 /0) | — ⁄ —œ

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình ƒ(x)=0 có đúng 2 nghiệm Mặt khác, ta có x=—l và x=l là 2 nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x =—l, x = ]

1 1

Ví dụ 7 Giai bat phurong trinh 2°%* Gy 2S

Lời giải Điều kiện: 0< x #1 I Dat t= log, x, khi đó bat phương trình trở thành 2 +2 ‘> I Xétham sé f(t)=2' +2 ' voir #0 1 t x x z

Ta có ƒ2)=| 2! + In2>0 với mọi £40 Do dé ham so f(t) đông biên

trên mỗi khoảng (—œ; 0) và (0; + œ)

Mặt khác ta thấy ƒ(-—l)= ƒ(1)= - Suy ra bat phuong trinh 70>Š tương -l</<0 đương với Là Từ đó suy ra -38%«1 hoặc x23 Ví dụ 8 Giải phương trình 3” + 2.4” =19x+3 Xét hàm số ƒ(x) = 3” +2.4” —19x 3 trên R

Tacó ƒ(x)=3*In3+2.4Yln4—19; ƒ"(x)=3*(In3)? + 2.4" (In 4)? >0

Trang 26

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhd - www.toanmath.com Suy ra f'(x) đồng biến trên IR Do đó phương trình ƒ{x)=0 có tối đa 1

nghiệm Điều đó dẫn đến phương trình /(x) =0 có tối đa 2 nghiệm

Mặt khác ƒ(0)= Z(2)=0 nên suy ra phương trình có 2 nghiệm x= 0, x= 2

1

Ví dụ 9, Giải phương trình 3Ÿ +9x =12

Lời giải Điều kiện: x #0

Rõ ràng phương trình không có nghiệm x<0 nên ta chỉ giải với x > 0 1 Xét hàm ƒ(x)=3” +9* ~12 trén (0; +00) 1 1 ot 2,1 Ta c6 f(x)=3"In3-—9* Ind; £2) =F (n3P +9" (In9)? +5 9 Ing; x x

f"@)>0 voi moi x>0 Suy ra f(x) đồng biến trên (0; +0), do 46 phương trình ƒ{x)=0 có tối đa 1 nghiệm Điều đó dẫn đến phương trình

#(x) =0 có không quá 2 nghiệm

Mặt khác ta thấy x= l va x= 2 là nghiệm của phương trình Vậy nghiệm của phương trình là x=1 và x=2

Ví dụ 10 Giải phương trình (1+ x)(2 + 4= 3.4”,

+ời giải Từ phương trình ta suy ra x >—1

Phương trình đã cho tương đương với (1+2)(2+4*)-3.4 =0 Xét ham sb f(x) = (14 x)(2+4*)—3.4" trén (1; +00) Ta có #Œ)=(x~2)4"In4+4* +2; ƒ"(x)= (x— 4)(In4)? +2.4* In4; #"{x)=(x~2)4*(In4)° +34 (In4)?; 770)=0©x=2= =>, Đặt m= 2-5, Khi đó ta có f"(x) nghich

biến trên (—]; xụ), đồng biến trên (xụ; +00) va f"(-1) <0, lim f"(x)= +0, x

nên phương trinh f"(x)=0 cé nghiém duy nhất trên (-l;+œ) Do đó

phương trình ƒ'{x)=0 có tối đa 2 nghiệm Suy ra phương trình ƒ(x)=0 có không quá 3 nghiệm trên (~—1; + œ)

Mặt khác, ta thấy có 3 giá trị thỏa mãn phương trình f(x)=0 là

Trang 27

'Vậy nghiệm của phương trình là x=0x=2,x=L Nhận xét Chúng ta có cách giải khác như sau x x Phương trình đã cho tương đương với x+ Ì = 34 2 3Á yao, q@) 2+4* 2+4 Xết hàm số g@)= „2 — y—I : 2+4 Ta có 34'(47+2)In4-3.4°4”In4 „_64'in4 „ _64'In4-(4'+2ý) gŒœ)= tan -I===-I= Tứ : (4* +2) (4 +2} Œ+3) g(x)=0 6.4" In4—(4% +2) =0 - 0)

Đặt ¢=4*, khi d6 phuong trinh (2) trở thành 6/ln4—(+2)?=0 Phương trình này bậc 2 đối với ¿, do đó có không quá 2 nghiệm ¿ Suy ra phương trình

(2) có không quá 2 nghiệm x, hay phương trình g{x)=0 có không quá 2

nghiệm Điều đó dẫn đến phương trình g(x) =0 có tối đa 3 nghiệm

Mặt khác, ta thấy có 3 giá trị thỏa mãn phương trình ø(x) =0 làx=0,x=2,x=I

nên nghiệm của phương trình là x = 0 Ăn:

Ví dụ 11 Giải phương trình 6F +1 = 8Ÿ — 27",

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

14(-2*) +(3°') -3(-2")(34)=0

Chúng ta liên tưởng đến hằng đẳng thức

a +bÌ+c` =3abe =(a+b +e)(a” +? +0? -ab—be ca)

Trang 28

Tim tài liệu Todn ? Chuyén nhd - www.toanmath.com Suy ra phương trình ƒ(x) =0 có không quá 2 nghiệm

Mặt khác, ta thấy x =1, x= 2 là nghiệm của phương trình, nên đó là tất cả các nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x =l, x = 2 4—x Ví dụ 12 Gidi bat phuong tinh 2——**! 5 0, log, (x| - 3) Lời giải Xét hàm sé f(x) =2** —x+1 trén R Ta có f(x) =-2**.In2-1; f(x) <0 voi moi xe R Do dé ham f(x) nghich bién trén R Ma f(3)=0, nén #Œ)>0«<>x<3 và ƒ(x)<0©x>3 Œ) en at x41 log, (|x|-3)>0 Ta có ——————>0<> log; (|x|— 3) #@œ)<0 log, (|x|-3) <0 ) WD) Kết hợp với (*), ta Suy ra xs3 x<3 x<3 OMe ©|x>4 ox<-4 |x|>4 jxj-3>1— x<-4 ©3<x<4 x23 x>3 nes 0<|x|~3<1" |3<|x|<4

Vậy nghiệm của bất phương trình là x<-4, 3< x<4

Ví dụ 13 Giải phuong trinh 2°" - 27 * =(x-1)°

271+x-1=2*+x? —, (1)

Xét hàm số ƒ()= 2! + trên R

Ta cé f (t)=In2.2' +1>0 voi moi te R Do đó hàm số đồng biến trên R

Suy ra (I) f(x-)= f(x? -x) œx~I=x”~x€x=l

Vậy x=1 1a nghiém cia phuong trinh

Ví dụ 14 Giải phương trình cos 3] -sins( 5)

Trang 29

Lời giải Rõ ràng sin x =0 hoặc cos x= 0 không thỏa mãn phương trình Với sin x.cosx # 0, phương trình đã cho tương đương với G) BỘ, — a) sinx cosx (;) Xét hàm số ƒŒ)= 2 với r e(—l; 1) Ta có (3) ans-(5) (3) («m5 -1)

l m mưnn a <0 voi moi te(-1;1) Do do

ham f(t) nghich bién trén (—1; 1) Suy ra

as Jf (sinx) = f (cos) < sinx =cosx <> x= + ke, keR Vậy nghiệm của phương trình là x = ẳ +ka,keR

Vi dy 15 Gidi phuong trinh sin2x—cosx=1+ log, sinx trén (0 3}

Lời giải Do xe (9 =) nên 0<sỉnx, cosx<l Suy ra phương trình đã cho tương đương với log; cosx + sin 2x — cosx =1+ log, sinx + log, cosx

Xétham sé f(t)=log,t-1 voi te(0; 1]

Ta có ƒ') = -1>0 véi mọi ?e(0; 1] Do đó ham f(r) déng bién trén

in

(0; 1] Suy ra

(1) = f(cos x)= f(sin 2x) > cos x = sin 2x esinx= 5 eox=7

Vậy nghiệm của phương trình là x = h

Ví dụ 16 Giải phương trình 7” ' = 6log,(6x—5)+1

Lời gidi Diéu kién: 6x-5>0< x>

Trang 30

Tìm tài liệu Toán ? Chuyén nhd - www.toanmath.com

Đặt y—1= log;(6x—5), khi đó 77Ì=6x—5 và do đó ta có hệ phương trình

7?! =6x—5 a =6(y-1)+l

Suy ra 7° 1-7" = 6y-6x 9 714 6x=7 1 4 by, a Xét ham sé f(t)=7'" + 6 trén R

Ta có ƒ!Œ)=7“Ìin7+6>0 với moi feR Do dé f(t) déng bién trên R Suy ra (I) > f(x) = f(y) ox=y

Do đó x= log;(6x~ 5)+l © 7! =6x—5 @ 7! ~6x+ 5 =0 @)

Xét hàm số g(x) = 7" ~ 6x +5 trên IR

Ta có #Œ)=7” n7 6; gø)=0 e3 x= 1+ lop, TC, Suy ra phương trình

#(z) =0 có không quá 2 nghiệm

Mặt khác ta thấy x =1, x =2 là nghiệm của (2)

Vậy nghiệm của phương trình là x=l, x= 2

4x43

?2x?+4x+5

Lời giải Đề ý rằng 2x2+4x+5~(x?+x+3)=x?+3x+2 nên phương trình

đã cho tương đương với ,

log,(x” +x+3)+(x” + x+3)=log, (2x? +4x+5)+(2x” + 4x +5) qa)

Xétham sé f(t)=log,t+t voi t>0

Vi dy 17 Giai phuong trinh log =x? 43x42

Trang 31

x#0 0

>ÙÚ

Ww _

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

log, (2* -1)-log, x= 1+ x-2" <> log, (2" ~1)+2*-I=log,x+x (1)

Xét hàm số ƒ()=logạf+f với t>0

Lời giải Điều kien: 2

Tacd 70=+h /#'Œ)>0 với mọi ;>0 Do đó hàm /() đồng biến trên

(0; +00) Suy ra (1) <> f(2*-1)= f(x) @ 2" -1=x @ 2 -x-1=0

Xét hàm số g(x)=2” =x—l với x>0

Ta có g{x)=2"ln2-l; g(a)=0 r=log, + Suy ra phương trình g(z) =0 có không quá 2 nghiệm

Mặt khác, ta thấy x=0, x=1 là nghiệm của g(x)=0 Đối chiếu điều kiện

x >0 ta có nghiệm của phương trình là x =1

Vi dy 19, Giải phương trình 3Ý = 1+ x + log;(1+ 2x)

Lời giải Điều kiện: 1+2y>0€>x> S2,

Phương trình đã cho tương đương với 3Ï + x=1l+ 2x + log,(1+2x)

<> 3* + log, 3* =(1+ 2x) + log, (1+ 2x) - ql)

Xét ham sé f(t)=t+log;t voi ¢>0

Ta có 0= +h /#'Œ)>0 với mọi ¿>0 Do đó hàm /(/) đồng biến trên

(0; + s) Suy ra

Xét hàm số g(x)=3” =2x—I trên R

Ta có gø(x)=3 ln3-2; Suy ra phương trình

g(x)=0 có tối đa 2 nghiệm Mà ta thấy x=0, x= 1 là các nghiệm của (2) nên

đây là tất cả các nghiệm của (2)

Vậy nghiệm của phương trình là x= 0, x=l

Trang 32

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - wiww.toanrnath.com Ví dụ 20 Giải phương trình 2 gI0B,Œ+2)tx+3=leg, ý (Ly 2) +2jx+2 : x x (Chọn Đội tuyển HSG Quốc gia Chuyên Đại học Vinh, 2010) x+2>0ˆ Lời giải Điều kiện: 42y+1 _ <© >0 x x>0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 log, Vx+2+x+2-2Vx+2 ~og,{2+4)+(2+4) -2(2+4) qd) x x x -2<x<-1 2 Xét hàm số /() = log;¿ +” - 2/ trên (0; +œ) 2

Ta có f= +r=3>1+ar~2=<2—# vụ với mọi z>0 Do đó

ham sé f(t) đồng biến trên (0; + œ) Suy ra

wer s(Viva)= (244 eo Wexó=2+ 3+13 2 â+)~2x?T~4x1=0ô>x=-l; x= Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trinh la x =—1; x= tỌH, Bài tập

Bài 1 Giải phương trình Vx =(1- x) +1

Bài 2 Giải phương trình («+2 +4x+7 +IÌ+x(Ú° +3 +1) =0

Bài 3 Giải phương trình 27x” - 27x? +13x—2= 22x ~1 Bài 4 Giải phương trình 4x` +18xˆ + 27x+14= Ÿ4x +5

Bài 5 Giải phương trình 8x ~17x? +10x—2=2Ÿ5xˆ —I

Bài 6 Giải phương trình Ÿ6x+1 =8xÌ = 4x~1

Bài 7 Giải phương trình ‡/(x~1)” ~ 2Ÿx—1~(x—5)Ñx~8 —3x+31=0

Bài 8 Giải phương trình 4/++2 + V22~ 3x = x +8,

Trang 33

Tìm tài liéu Todn ? Chuyén nhd - www.toanmath.com

Bai 9 Giai phuong trinh log, x = log vx +2) 7 3 Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bai 16 Bai 17 Bai 18 Bài 19 Bài 20 Bài 21 Bài 22 Bài 23 Bài 24 Bài 25 Bài 26

Giải phương trình 3log;(x +2) = 2log;(x + ])

Giải phương trình log (2 -2x- 2) = 2log 5 (7 —2x- 3) Giải phương trình lo, (2 —2x- 2) = logs (2 —2x- 3)

Giải phương trinh log, b +3 +1 ) = log, (3° +1)

2

Giải phương trình 2°* +3* =17

Giải phương trình e* =1+In(1+x)

Giải phương trình 1+ log, x= 3, x+2 Giải phương trình (1+ cosx)(2+ 49) =3 Giải phương trình 64” — 8,343”! =8 +12.4*.72”1, Giải phương trình 2*~* +932* + y2 + 6= 422 + 39* + Sự, 4sinx-l| _ 1 _ 1 [8sinx—-5] |4sinx—1]" Giai phuong trinh e**"*-5 _ ¿

Giải phương trình sau trên khoảng (6 =)

Trang 34

Tìm tài liéu Todn ? Chayén nhd - www.toanmath.com

Bai 27, Giai phuong trinh 4°" 4 2!°**? = g,

2

Bài 28 Giải phương trình log,(x? +3) = sa +logz(x+1) _ x

Bài 29 Giải phương trình log;(x+ 2) =1 + logs(2x + l)

Bài 30 Giải phương trình 4 "” log,(+? +1)=2?? (L+ log,|x + 1|)

Bài 31 Giải phương trình 3” +2" =3x +2

Bài 32 Giải phương trình 4Ÿ +6” =25x +2

Bài 33 Chứng mỉnh phương trình x` 4x? 4xz=l có đúng một nghiệm và

nghiệm đó nhận giá trị dương

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1 Giải phương trình Vx =(1~x)? +1

Lời giái Điều Miện: x >0

vx -(1-x)?-1=0 (1)

Xét ham 86 f(x) =x ~(1—x) —1 trén doan [0; + 0)

Ta có Z@)=2 Ýc+30=x)”>0 với mọi xe(0; +œ) Do dé ham sé f(x)

đồng biến trên [0; + œ) Suy ra phương trình (1) có không quá 1 nghiệm

Mặt khác, ta thấy x =1 là nghiệm nên đây là nghiệm duy nhất của (1)

'Vậy nghiệm của phương trình là x =l

Bài 2 Giải phương trình (x+2)(Ýk? +4x+7 +t)ex(ve +3 +1)=0

Loi giải Phương trình xác định với mọi x e l8 Phương trình đã cho tương đương với (x+2(\V&+2Ÿ +3 +I]+x(2+3+1)=0, (1) Xét hàm số f(x) =x[# +3 +1) trên R, 2 Tacó ƒ{(x)=Vx?+3+l+—-Š— >0 với mọi xeR Vx? 43

Suy ra hàm số g(x) = f(x+2)+ f(x) dong biến trên R Do đó phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm

Trang 35

Mà ta thấy x= —1 là nghiệm của (1) nên đó là nghiệm duy nhất

Vậy nghiệm của phương trình là x = —1 -

Bài 3 Giải phuong trinh 27x? — 27x” +13x-2=29/2x-1

Lời giải

(3x —1)? + 2(3x~1)=(2x-1) + 29/2x-1 (*)

Xét hàm số ƒŒ)=r°+2/ trên R Ta có ƒŒ)=3/2+2; /()>0 với mọi

feï Suy ra hàm f(t) đồng biến trên R Do ú

đ)â/@x=0= /(W2x~1)â3x~1= 2x =1

â (3x-1) = 2x-1< 27x) ~ 27x? +7x=0

©<x=0

Vay nghiệm của phương trình là x =0

Bài 4 Giải phương trình 4x? +18x? +27x+14 = Ÿ4x +5

Lời giải Phương trình tương đương với

(2x+3)) +2(2x+3)=4x+5+ 24x +5 @)

Xét hàm số ƒ()=” +22 trên R Ta có ƒ')=3/?+2>0 với mọi elR Do d6ham f(t) đồng biến trên R Suy ra @)© /0x+3)= /(W4x+5)e 2x+3=4x+5 <> (2x43)? = 4x45 <> 8x) +36x + 50x +22 =0 x=-l 9 (x41(4x? + 14x41) <0 -7+5 x= 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = -l, x= _

Nhận xét Chúng ta có thê giải bằng cách đặt Ÿ4x +5 =2y+3 để đưa về hệ đối xứng loại II

Bài 5 Giải phương trình 8xˆ ~17x? +10x~2=2Ÿ5x? — Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với -

Trang 36

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhé - www.toanmath.com

Xét hàm số ƒ()= + 2¢ trên R

Ta có ƒ')=3/?+2; ƒ')>0 với mọi reIR

Suy ra hàm f(r) déng biến trên IR Do đó ®7x-0= /(Ÿ sự =1)e92x-1= 952-1 © (2x- 1) =5x? -1<9 8x? -17x? +6x=0 x=0 o} 17+ v97 l6 ` + Vậy nghiệm của phương trình là x =0, x= _-

Bài 6 Giải phương trình Ÿ/6x +1 =8x” —4x—1

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với 6x+1+Ÿ6x+1=(2x)) +2x (ay Xétham sé f()=0 +1 trén R Ta có ƒ')=3/? +1; ƒ'Œ)>0 với mọi e1 Do đó hàm f(t) déng biến trên R Suy ra () <> £(Y6x+1)= f(x) > Vox +1= 2x 8x-6x-1=0 (2)

V6i xe[-1; 1], đặt x=cosu, ue [0; z], khi d6 phương trình (2) trở thành

2(*eos)w~3eosu]~1 =0 c3 eps3 =2 c> 3= +5 +2, keZ

a 3 Ix a 5x

Do ue[0; z] nên #= ua hoặc w= Suy ra #608 7, # C05 —

hoặc x= cay Vì (2) là phương trình bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm, do đó đây là tắt cả các nghiệm của phương trình (2)

: : 3 5 7

Vậy nghiệm của phương trình là :x= cos, x= cos x= cos =

Bài 7 Giải phương trình Ÿ(x =1)? ~2Ÿ%—1—(x~5)š—8 ~3x+31=0

Lời giải

Trang 37

i

x~I+{@~ĐŸ =2Wx=1=(Jx=8+1) +(Vv=8+1) ~2(x=8+1) @)

Xét hàm số ƒŒ)=/ˆ +2 —2/ với r>1

Ta có ƒ)=3/?+2/—2; ƒ')>0 với mọi #21 Do dé ham f(t) đồng biến

trên [l;+œ) Vì với x>8 thì Ýx—1 và sÍx~8 +1 cùng thuộc [1; +00) nén

Đặt = Ÿx —1, khi đó phương trình (2) trở thành w —1 = VluŠ — 7

C>tŠ ~i” +2 =8 =0 €s (w— 2)(w2 +u+4)=0 =2 x=9,

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9

Bài 8 Giải phương trình 4x +2 + 22~3x = x2 +8

Lời giải Điều kiện: ~2< x< 2

Khi đó phương trình đã cho tương đương với 4(Jx+2~2)+(J22~3x~4)= ° 4(œ-~2) + 3(2-x) Jx+2+2_ 422-3x+4 Sứ-2|x42- 2Ì" dx+2+2_ 422-3x+4 =(x-2)(x+2) x=2 “” vx+24+2 V22-3x+4 (@ - Xét hàm số ƒ(x)=x+2— SS 4 ++ 3 với -2<x <5 Xx+2+2_ A22-3x+4 2 9 ee

x2 drva+2) V3 x2) ver ines

re(-2 2) Do dé ham f(x) dang biến trên [-2 3Ì

Ta có ƒ(z)=l+

Mặt khác, ta thấy /(—I)=0 nên x=—1 là nghiệm duy nhất của (1)

Vậy nghiệm của phương trình 1a x =2, x=-1

Trang 38

Bai 9 Giải phương trình log; x = log; (ýx +2)

Bạn đọc tự giải

Bài 10 Giải phương trình 3log;(x + 2) = 2log;(x + l) Bạn đọc tự giải

Bài 11 Giải phương trình logy; (x? ~ 2x -2) = 2log ,(x* - 2x~3)

Ban doc ty giai

Bài 12 Giải phương trinh log, 5 (x? -2x-2)=log,, (x? -2x- 3)

Ban doc ty giai

Bai 13 Giai phuong trinh log, (3+v3" +1)= log, (3* +1)

Bạn đọc tự giải

2

Bài 14 Giải phương trình 2°* +3* =17

Lời giải Điều kiện: x #0

Nêu x<0 thì V7 <2 nên phương trình vô nghiệm 2 Với x>0, xét hàm số ƒ(x)= 2” +3* —17, ta có 2 f4) =3.2°*In2~-^ 3* In3; #"œ)=9.2*”In?2 x x moi x>0 Do dé ham f(x) déng biến trên (0; +2) „4Œ+ In3) 7 3 In3>0 với

Vì lim ƒ(x)=-œ, lim #{z)=+œ nên ta suy ra phương trình ƒ{x)=0 có x30" x10 nghiệm duy nhat x, €(0; +0)

Trang 39

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhé - www.toanmath.com

Bài 15 Giải phương trình e" =1+In(1+ x)

Lời giải Điều kiện: x > -1

Phương trình đã cho tương đương với e* —In(1+x)-1=0 Xétham sé f(x)=e* —In(i+x)-1 véi x>-1 1 3 f'(x)>0 véi moi x>-1 ara) #œ) Do đó hàm số ƒ'{x) đồng biến trên (~—1; + œ) Ta có 7@)=e'=——; ƒ")=e*+ l+x

Mà ƒ'(0)=0, nên x=0 là nghiệm duy nhất của phương trinh f(x) = 0

Suy ra bảng biến thiên

x _j-l 0 +00

⁄#œ) = 0 +

+00 +00

⁄#œ) XS _~“

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x= 0

Bài 16 Giải phương trinh 1+ log, x= x+2 Bạn đọc tự giải Bài 17 Giải phương trình (1 + cos x)(2-+ gers) = 3.4, Bạn đọc tự giải

Bài 18 Giải phương trình 64* - 8.343 =8+12.4*.77 1

Trang 40

Tim tài liệu Toán ? Chuyện nhé - www.toanmath.com Phương trình ƒ{x)=0 có nghiệm duy nhất nên phương trình ƒ(x)=0 có

không quá 2 nghiệm Mà x=1 và x=2 là nghiệm nên đây là tất cả các

nghiệm của phương trình ˆ

'Vậy nghiệm của phương trình là x =l, x = 2

Bài 19 Giải phương trình 2"? +93?* + x2 + 6= 4253 +3*Ẻ +,

277*439 + v2 +6= 26 +37 + ấy

c2" +x2<x~37? <26+4x—-6—4364%, @)

Xét hàm số ƒ(Œ)=2+¡—3”* trên R

Ta có ƒ#Œ)=2fIn2+1+3“In3; ƒ)>0 voi moi teR

Định dạng
Số trang	369
Dung lượng	23,69 MB