[toanmath.com] - Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức - Đoàn Trí Dũng vs Hà Hữu Hải

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ĐỒN TRÍ DŨNG HÀ H U H I WWW TOANMATH COM T D n Bi n B t Đ ng Th c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 24H H C TOÁN - CHI N TH NG CÂU PHÂN LO I Giáo viên Đoàn Trí Dũng BÀI 6: AM I Gi i thi u c b n v b t đ ng th c Cauchy (AM Hà H u H i GM D n bi n GM):  a  b  ab , a, b   B t đ ng th c Cauchy cho hai s :  Đ ng th c x y a  b ab , ,   ab a b        a  b  c  3 abc , a ,b ,c   B t đ ng th c Cauchy cho ba s :  Đ ng th c x y a  b  c  abc  a b c , , ,   abc        B t đ ng th c Cauchy t ng quát cho n s không âm: a  a   a  nn a a a , a , a , a  n n n  n Đ ng th c x y a1  a2   an   a  a   an    , a , a , a a1a2 an    n n    II Các h qu c a b t đ ng th c Cauchy (AM GM): Đ ng th c x y a  b  a2  b2  2ab, a,b   a  b  2ab, a,b   ab ab    , a,b     a3  b3  c  3abc, a,b,c  Đ ng th c x y a  b  c  abc abc    , a,b,c  Đ ng th c x y a  b  c     ab  bc  ca    a  b  c   a2  b2  c , a, b, c   a3  b3  ab  a  b  , a, b  Đ ng th c x y a  b  a2 b2   a  b, a , b  Đ ng th c x y a  b b a Đ ng th c x y a  b 2 Đ ng th c x y a  b IV S d ng b t đ ng th c AM   Đ ng th c x y a  b  c GM đ a v bi n c n tìm:   Bài 1: Cho s th c x , y th a mãn x  y  Tìm giá tr nh nh t c a: P  x3  y  x  y Bài 2: Cho s th c x , y d Bài 3: Cho s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  ng x , y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P   xy x2  y  8 x y  9x y x  y 3 3   xy T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 4: Cho a, b, c th a mãn c  0, a  c , b  c Tìm giá tr l n nh t c a: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2 Bài 5: Cho s th c a, b, c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  ab bc ca   2 abc c a b Bài 6: Cho a, b, c đ dài c nh m t tam giác Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P Bài 7: Cho s th c d  a2 b2 c  abc  1 a  b  c b  c  a c  a  b     ng x , y , z th a mãn xyz  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  x4 y  y4 z  z4 x  3 xy  yz  zx Bài 8: Cho s th c a, b, c d Bài 9: Cho s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a: P  a2  bc b2  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab ng a, b, c th a mãn a  b  c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a 1 b  b 1 c  c 1 a  a  b  c a3 b3 c3 Bài 10: Cho s th c d ng a, b, c Tìm giá tr nh nh t c a: P  Bài 11: Cho s th c d ng a, b, c th a mãn u ki n abc  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a1 b2   b1 c2   c 1 a2  a  b2 a  b  c   b2  c  c  a2  abc 54 a b c Bài 12: Cho s th c d ng a, b, c Tìm giá tr nh nh t c a: P  Bài 13: Cho s th c d ng a, b, c th a mãn abc  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: b  ab  a  b  c a  b  c    P 1 b 1 c 1 a  c  bc  a  ca  3 3   a b c ĐÁP ÁN   Bài 1: Cho s th c x , y th a mãn x  y  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  x3  y  x  y Phân tích  Bi n c n đ a v : x  y  Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: x3  y  f  x  y  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bi n đ i bi u th c: x3  y   x  y   3xy  x  y   n u mu n s d ng đánh giá    x  y , ta s c n xy  x3  y  x  y Đánh giá c   x  y n tìm: xy  Bài gi i  x  y xy  Ta có: x  y   x  y   3xy  x  y  Ta có đánh giá 3 x  y   x  y   3xy  x  y    x  y   3 3 3 x  y x y Đ ng th c x y ch khi: x  y V y: P  x  y Xét hàm s Do  3 x  y  3 x  y xy  3 xy 3t f  t   t  t , t  Ta có: P  f  x  y  Vì: f '  t      t2 t   t  2 t Do ta có b ng bi n thiên: t  f t     T b ng bi n thiên, ta th y f t   x  y  5 , t   0;   V y P  f  x  y    Đ ng th c x y ch 2 K t lu n: Giá tr nh nh t c a P  Bài 2: Cho s th c x , y d t i xy 2 ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  Phân tích  Bi n c n đ a v : x  y  Chi u đánh giá c n có: P     Chi u c n đánh giá c n tìm: xy x2  y  f  x  y   xy x2  y  8 x y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  Bi n đ i bi u th c: N u mu n t o x  y  x  y    2xy    x  x2  y xy , ta ch t có bi n đ i:   y2  Đánh giá c n tìm: xy x y 2   xy  x2  y      Bài gi i  Ta có:  xy  x2  y 2   xy  x  2  y2    xy x  y Đ ng th c x y ch khi: x  y V y: P  2 x  y   8x  y 4 8 xy  P  x  y 8 xy Xét hàm s  f t   Vì: f ' t    t , t  Ta có: P  f  x  y  t4 4    t  L p b ng bi n thiên c a hàm s ta đ t5 t t c:  f t        T b ng bi n thiên, ta th y f t  , t  0;  V y P  f x  y  Đ ng th c x y ch xy 1 K t lu n: Giá tr nh nh t c a P t i x  y  2 Bài 3: Cho s th c d ng x , y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P   9x y x  y 3 3   xy Phân tích  Bi n c n đ a v : x  y  Chi u đánh giá c n có: P     Chi u c n đánh giá c n tìm: x3 y x3  y  f  x  y   Bi n đ i bi u th c: Ta có: x3  y   x  y  x2  xy  y  tích: x3 y x2  xy  y th c nh sau  x  y   Cũng nh toán    Nh v y mu n đ a v bi n x  y ta xét trên, ta th y đ t o x  y ta c n có h ng đ ng  x2  xy  y  xy  xy  xy T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   S d ng b t đ ng th c AM x y   xy  xy  xy  x  xy  y 2 Đánh giá c n tìm:  xy  xy  xy  x  xy  y     Bài gi i 3 x y   256 x  y   Ta có: P  f x  y Vì: f ' t   t f t         GM cho b n s ta có: x3 y x3  y   xy  xy  xy  x2  xy  y2  x  y   xy  xy  xy  x  xy  y    ch khi: x  y V y: P           x  y  x Xét hàm s xy 3 y f t   x y  x  y  256 Đ ng th c x y 256  ,t  9t t 256    t  L p b ng bi n thiên c a hàm s ta đ t10 t c:    T b ng bi n thiên, ta th y f t   4 , t   0;   V y P  f  x  y    Đ ng th c x y ch 9 x  y  K t lu n: Giá tr nh nh t c a P  Bài 4: Cho s th c d t i x  y  ng a, b, c th a mãn c  0, a  c , b  c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  c  a  c   c  b  c   2a b Phân tích    Bi n c n đ a v : ab Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: c  a  c   c  b  c   f  ab  Bi n đ i bi u th c: Nhìn thống qua, có th đánh giá tốn d i d ng b t đ ng th c AM cac cbc ab   GM nh sau c a  c  c b  c  2 ab  f  ab  vơ khó khăn Chính v y đ có đánh giá Tuy nhiên đánh giá c  a  c   c  b  c   f  ab  , ta có th t theo m t h ng khác là: c  a  c   c b  c  f  ab   Nh T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com v y ta c n t o m t đánh sau s d ng b t đ ng th c AM bi n a, b, c Do ta bi n đ i: GM ta s tri t tiêu toàn b  c c c c c  a  c   c  b  c   ab  1   1      b a a b   M t khác theo b t đ ng th c AM GM ta có: c c c c 1c  c   c  c  1    1      1      1    b a a b 2b  a   a  b  V y nh ng đánh giá c n tìm Do ta có c  a  c   c  b  c   ab Bài gi i Ta có:  c c c c    c  a  c   c  b  c   ab  1     b  a a b   Theo b t đ ng th c AM V y: GM cho hai s ta có: c c c c 1c  c   c  c  1    1      1      1    b a a b 2b  a   a  b  c  a  c   c  b  c   ab Đ ng th c x y ch khi: V y: P  ab  2a2 b2 Xét hàm s  Vì: f ' t  t  4t   t  t c  c c  c 1  1   ,  1      b  a a  b a b c f  t   t  2t , t  Ta có: P  f  ab  L p b ng bi n thiên c a hàm s ta đ 4 f t  c:   T  b ng bi n thiên, ta th y f t  ab  3 , t   0;   V y P  f  ab   Đ ng th c x y ch 8 1 1 ab 1 t ,    c , t   a  t,b  ,c  t ab c  a b a b c 4t    K t lu n: Giá tr l n nh t c a P  t t i a  t,b  ,c  t m t s th c d 4t 4t  ng b t k T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 5: Cho s th c a, b, c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  ab bc ca   2 abc c a b Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm:  ab ca có m t đ c m có giá tr a t s bi u th c l i hai phân c b b c ab ca s đ o ng c: , Do v y n u xét trung bình nhân c a hai bi u th c ta có:  a gi ng c b c b v i m t bi n bi u th c a  b  c c n đ a v  Đánh giá c n tìm: ab bc ca    f a  b  c c a b Chú ý r ng: ca ab ca ab  2  2a b c b c Bài gi i Áp d ng b t đ ng th c AM GM ta có: C ng hai v c a đánh giá ta đ ab bc ab bc bc ca bc ca ca ab ca ab  2  2b ,    2c ,    2a c a c a a b a b b c b c c:  ab bc   bc ca   ca ab              2a  b  c a   a b  b c   c Do ab bc ca    a  b  c Đ ng th c x y ch a  b  c c a b   V y: P  a  b  c  a  b  c    a  b  c   Vì Đ ng th c x y ch a  b  c    a  b  c    1 P  1 1 K t lu n: Giá tr nh nh t c a P 1 t i a  b  c  3 Bài 6: Cho a, b, c đ dài c nh m t tam giác Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  a2 b2 c  abc  1  a  b  c  b  c  a  c  a  b  Phân tích    Bi n c n đ a v : abc Chi u đánh giá c n có: P  Chi u c n đánh giá c n tìm:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   f  abc   Chú ý r ng:  a  b  c   b  c  a  có trung bình c ng: Nh v y mu n t o đ  a  b  c   b  c  a  b c đánh giá c n tìm, ta c n t o trung bình c ng c a c p s v i Nh c đ n b t đ ng th c gi a trung bình c ng trung bình nhân, ta nh đ n đánh giá T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com xy xy        a  b  c   b  c  a    b2 Đánh giá c n tìm:  a  b  c  b  c  a        Bài gi i  Áp d ng b t đ ng th c AM     a  b  c b  c  a    a  b  c    b  c  a    b2           b  c  a  c  a  b     c2 GM cho hai s ta có:  b  c  a  c  a  b           c  a  b   a  b  c      a2  c  a  b  a  b  c          Nhân v v i v ta có:  a  b  c   b  c  a   c  a  b    abc  2 2 Vì a, b, c đ dài c nh m t tam giác Do ta có a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b    a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc Đ ng th c x y ch abc V y: P  a2 b2 c  abc  1 Xét hàm s abc 1 f  t    t  t , t  Ta có: P  f  abc  Vì: f '  t   3t  2t  t t  f ' t    t  1  3t t    t  L p b ng bi n thiên c  t2  t  t f t   a hàm s ta đ c:   T      b ng bi n thiên, ta th y f t  , t  0;  V y P  f abc  Đ ng th c x y ch a  b  c  K t lu n: Giá tr nh nh t c a P t i a  b  c  Bài 7: Cho s th c d ng x , y , z th a mãn xyz  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  x4 y  y4 z  z4 x  3 xy  yz  zx Phân tích T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  Bi n c n đ a v : xy  yz  zx  Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: x4 y  y z  z4 x  f  xy  yz  zx  Ta t n d ng u ki n xyz  b ng cách ch ng minh: x4 y  y z  z4 x  xyz  xy  yz  zx   x4 y  y4 z  z4 x  x2 y z  xy z  x2 yz Ta tìm đ i l ng m, n, p cho: m.x4 y  n.y z  p.z x  x4 y   x4 y  y z   y z  z x   z x m GM cho  m  n  p  s ta đ Đ ng th i áp d ng b t đ ng th c AM p n c:   y z  z x x4 y   x4 y  y z   y z  z x   z x  mn p x y m    y z z x Hay: m.x4 y  n.y z  p.z x   m  n  p  mn p x4 y mn p  m.x y  n.y z  p.z x   m  n  p  x 4 4 n p p n  m.x4 y  n.y z  p.z4 x   m  n  p  m m n p x4m p y 4nm z pn m p mn p y p n 4n m mn p mn p z Và tìm h s m, n, p cho:  m.x4 y  n.y z  p.z4 x   m  n  p  x2 y z1  4m  p 2  m  n  p  m  2n  p   4n  m  m  p    2n  p  m    Hay:  Do ch n m  6, n  5, p  5 p  2n m  n  p 3 p  m   4p  n 1   m  n  p Khi 6x y  5y z  2z x  13x y z Đ ng th i t 4 2 4 2  6 y z  5z x  x y  13 y z x ng t ta s có:  4 2  6 z x  5x y  y z  13z x y Bài gi i Áp d ng b t đ ng th c AM C ng v v i v ta đ  GM cho 13 s ta đ 6 x y  y z  z x  13x y z  c: 6 y z  5z x  x y  13 y z x  4 2 6 z x  5x y  y z  13z x y  c: 13 x4 y  y z  z4 x  13xyz  xy  yz  zx  Vì xyz  ta có đánh giá x4 y  y4 z  z4 x  xy  yz  zx Đ ng th c x y ch khi: x  y  z  Do P  xy  yz  zx  3 xy  yz  zx T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Đ t f  t   t  3 t Ta có: P  f  xy  yz  zx  Theo b t đ ng th c AM GM ta có: xy  yz  zx  3 x2 y z  xy  yz  zx  V y xét hàm s f  t   t  3 t v i t  ta có: f '  t    t  t 1 t Vì t   t     v y f '  t   0, t  V y f  t  hàm s đ ng bi n liên t c t  V y f t   f  3   3 Do P  f  xy  yz  zx   f  3   3 Đ ng th c x y ch khi: x  y  z  K t lu n: Giá tr nh nh t c a P  3 t i x  y  z  Bài 8: Cho s th c a, b, c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a2  bc b2  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: a2  bc b2  ca c  ab    f a  b  c bc ca ab  a  b  a  c  ta có th bi n đ i t ng t : a2  bc Chú ý r ng: a bc bc  b  c  b  a  , c2  ab  c   c  a  c  b  b  ca b ca ca ab ab T i ta r ng toán s ta ch ng minh: ab bc ca   abc c a b   Do n u áp d ng đánh giá ta s có:  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   bc Do v y, ta hồn tồn có th t o đ ca ab a  b  c c đánh giá c n tìm Bài gi i Ta có:  a  b  a  c  , b2  ca  b   b  c  b  a  a2  bc a bc bc ca ca Và t ng t nh v y ta có V y:  c  a  c  b  c  ab c  ab ab a2  bc b2  ca c  ab  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b       abc bc ca ab bc ca ab T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Vì ta có đánh giá xy yz zx    x  y  z , x, y , z  Do z x y  a  b a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   bc Hay: ca ab  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   bc ca ab a  b  c V  a  b  b  c   c  a y: a2  bc b2  ca c  ab   abc bc ca ab Đ ng th c x y ch a  b  c Do P  a  b  c  4 a  b  c Đ t f  t   t  4 t  P  f  a  b  c  f  t   t  4 t v i t   0;   ta có: f '  t    Xét hàm s   t  t L p b ng bi n thiên c a hàm s ta đ t c:  f t   3      T b ng bi n thiên, ta th y f t  3 , t  0;  V y P  f a  b  c  3 Đ ng th c x y ch a  b  c  1 K t lu n: Giá tr nh nh t c a P 3 t i a  b  c  3 Bài 9: Cho s th c d ng a, b, c th a mãn a  b  c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a 1 b b  1 c  c  a  b  c 1 a Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: Chú ý r ng đ có đánh giá a 1 b n u ta c n thi t ph i theo h  1 b Khi Ta có: a 1 b a 1 b a  ab t 2 1 b  b 1 c  c  a2  f a  b  c  , ta c n  b2  nhiên u r t khó đ có th th c hi n Vì v y ng  b2 , ta c n làm đ o chi u c a đánh giá nghĩa a  ab2  ab2 1 b a a ng t ta có: ab2 1 b b 1 c 2 Vì  b2  2b  b ab2 1 b bc c ca c , 2 1 a 2  ab 1  b2 ph i thành T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ng i ta g i cách đánh giá K thu t Cauchy ng Khi c ng v v i v ta có: a  b2 b   c2 Cu i ta c n đánh giá theo chi u:  Và ta đ  c  a2 c d u abc bc  ca  ab bc  ca  ab     a  b  c  bc  ca  ab  a  b  c GM):  ab  bc  ca    a  b  c  c b t đ ng th c H qu c a b t đ ng th c Cauchy (AM Bài gi i Ta có: Khi a 1 b  a 1 b a  ab2  ab2 1 b a ab t a ab2 1 b ng t ta có: Khi c ng v v i v ta có: a  b2  T H qu c a b t đ ng th c AM Vì  b2  2b  b 1 c b  c2 b  c  a2 ab2 1 b  ab bc c ca , c 2 1 a abc GM Đã ch ng minh bc  ca  ab ph n II), ta có:  ab  bc  ca    a  b  c  a  b  c bc  ca  ab   abc abc Do 2 2 1 b 1 c 1 a a b c Đ ng th c x y a  b  c  V Xét hàm s f t   t3  Ta có: f '  t   3t  f t   f  3  a  b  c y Pabc  a  b  c t2  t v i t  , ta có P  f  a  b  c  t  9t  1 t 1   0, t  V y f  t  hàm s đ ng bi n liên t c t  Do 3 57 Do P  f  a  b  c   f    57 Đ ng th c x y a  b  c  K t lu n: Giá tr nh nh t c a P Bài 10: Cho s th c d 57 t i a  b  c  ng a, b, c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a3 a  b2  b3 b2  c  c3 c  a2  abc T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm:  a3 b3 c3  f a  b  c a  b2 b2  c c  a Bi n đ i c n tìm (S d ng K thu t Cauchy ng c d u): a3   a  b2  a3  ab2  ab2 a  b2 a ab2 a a  b2 ab2 b a 2ab Bài gi i S d ng k thu t Cauchy ng a3 Vì a2  b2  2ab T a  b2 ng t nh v y ta có: Do a3 a b b3 c3  a2  b2 a3  ab2  ab2 a3  ab2  ab2 a2  b2 a a  b2  ab2 a  b2 a a ab2 a2  b2 ab2 b a 2ab abc Đ ng th c x y khi: a  b  c  a bc 1 K t lu n: Giá tr nh nh t c a P  Bài 11: Cho s th c d  c c3 a b , c 2 2 2 b c c a abc  abc  2 a3 b3 c a b c   2 V y P  c d u:  1   Đ ng th c x y khi: a  b  c  2 1 t i abc ng a, b, c th a mãn u ki n abc  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a1 b2   b1 c2   c 1 a2  a  b  c  54 Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm:  a1 b1 c 1  f a  b  c b2  c  a  Bi n đ i c n tìm (S d ng K thu t Cauchy ng c d u): a1 b 1   a 1  b2  a  1 b 1  a 1 b2  a  1 2b  a  1 ab  b Bài gi i S d ng k thu t Cauchy ng c d u ta có: a1 b2   a  ab   1  b   ab  2 b2   b2  a 1 b2  a  1 b2  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a1 Chú ý r ng: b2   2b , T ng t ta có: Khi a1 b 1  b1 c 1 b1 c 1  b 1  c 1 a 1 b2   a 1 b2  a  1 b2   ab  b abc ab  bc  ca 3 2 ph n I), ta có:  ab  bc  ca    a  b  c  GM Đã ch ng minh a  b  c abc    3 Do b2  c  a2  b1 2b  a  1 bc  c c  ca  a ,  c 1 2 a 1 T H qu c a b t đ ng th c AM a1 b2  a  1  a 1 c 1 Đ ng th c x y ch a  b  c   a  b  c    a  b  c  Xét hàm s abc V y: P  3 54 Vì a  b  c  3 abc  ta xét f  t   f t   t3 t2 t    Ta có: P  f  a  b  c  54 t3 t2 t   3 v i t3 54 2 t2 t 1     t    Do f  t  hàm s đ ng bi n liên t c t  Vì v y 18 18 7 f  t   f  3  V y: P  f  a  b  c   Đ ng th c x y ch a  b  c  2 Ta có: f '  t   K t lu n: Giá tr nh nh t c a P Bài 12: Cho s th c d t i a  b  c  ng a, b, c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P a b3  ab  b c  bc  c a3  ca  3 3   a b c Phân tích    1   a b c Chi u đánh giá c n có: P  Chi u c n đánh giá c n tìm: Bi n c n đ a v : a b  ab   b c  bc   1 1  f    a  ca a b c c Bi n đ i c n tìm (S d ng K thu t Cauchy ng c d u): a b b 1       b 2b a b a b  ab b a  b Bài gi i S d ng k thu t Cauchy ng c d u ta có: a b  ab  a  b2  b2 b  ab  b  b a  b2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chú ý r ng: a  b2  2b a T a ng t ta có: b  ab  b c  bc  a b3  ab c a  ca  b b 1      b a  b b 2b a b a  1 1 1       a b c 2 a b c S d ng b t đ ng th c H qu c a b t đ ng th c AM  x  y  z Ta có:  a  b     GM:    x2  y  z  x  y  z  x2  y  z   1 1  1 1  1 1 a b c       3         cho nên: 3 c b  ab c  bc a  ca  a b c   a b c  a b c  1 1  1 1 Đ ng th c x y ch khi: a  b  c  Do P           a b c a b c  1 1 Xét hàm s : f  t   t  3t v i t  Ta có: P  f     a b c Vì f '  t    t   t  Do ta có b ng bi n thiên: t  f t   3    1 a T b ng bi n thiên, ta th y f t  3 , t  0;  V y P  f   1    3 Đ ng th c x y ch b c a  b  c  K t lu n: Giá tr nh nh t c a P 3 t i a  b  c  Bài 13: Cho s th c d ng a, b, c th a mãn abc  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:  a  b  c a  b  c    P 1 b 1 c 1 a Phân tích   Bi n c n đ a v : a  b  c Chi u đánh giá c n có: P   Chi u c n đánh giá c n tìm: 1 a 1 b 1 c    f a  b  c 1 b 1 c 1 a Bài gi i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com S d ng k thu t Cauchy ng Do  V b 1  a   b c 1  b   c a 1  c  1 a  1 a  ,  1 b  ,  1 c  1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a  b 1  a  c 1  b  a 1  c   1 a 1 b 1 c     3abc    1 b  c a 1 b 1 c 1 a 1     Theo b t đ ng th c AM  c d u ta có: b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  GM cho s ta có: a 1  c  1 a b 1  a   3 abc  V y: 1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  33 b 1  a  c 1  b  a 1  c  1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c   3abc3 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c    a  b  c Đ ng th c x y ch a  b  c  1 b 1 c 1 a a  b  c y Pabc  3 a  b  c     Đ ng th c x y ch a  b  c   2 K t lu n: Giá tr l n nh t c a P t i a  b  c 