Phương pháp dồn và giảm biến trong bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NGỌC QUANG PHƯƠNG PHÁP DỒN VÀ GIẢM BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số dạng bất đẳng thức cổ điển phương pháp giảm biến 1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình 1.2 Các bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình 1.3 Phương pháp giảm biến bất đẳng thức đại số 1.3.1 Tam thức bậc hai 1.3.2 Phương pháp tam thức bậc hai định hướng 1.3.3 Giảm biến bất đẳng thức đại số 7 10 12 13 14 15 Độ gần phương pháp dồn biến 2.1 Độ gần 2.2 Hàm lồi biểu diễn hàm lồi 2.2.1 Hàm lồi, lõm 2.2.2 Biểu diễn hàm lồi, lõm 2.3 Phương pháp dồn biến 2.3.1 Dồn biến tổng quát 2.3.2 Một số định lý dồn biến 21 21 25 25 27 30 33 35 Một số áp dụng 3.1 Một số kỹ thuật thường dùng giải toán bất đẳng thức 3.1.1 Kỹ thuật chuẩn hóa 3.1.2 Kỹ thuật thứ tự số 3.2 Kỹ thuật dồn biến 3.2.1 Dồn biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 39 39 40 40 41 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Dồn biến biên Dồn biến lớp hàm lồi, lõm Dồn biến lớp hàm đơn điệu 45 48 50 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày phát triển, phần toán học sơ cấp đẹp thú vị nhất, hút nhiều người quan tâm Bất đẳng thức giữ vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi, thi đại học, Olympic quốc gia quốc tế Điểm đặc biệt ấn tượng bất đẳng thức toán học sơ cấp có nhiều toán khó, chí khó giải kiến thức sở, chủ yếu sử dụng phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu kết Ngày nay, có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng như: phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp dùng đạo hàm, phương pháp phân tích bình phương S.O.S., phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, Trong năm gần đây, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu [1] giới thiệu phương pháp tam thức bậc hai định hướng Đây sở để có phương pháp giảm biến Phương pháp giảm biến phát biểu lời sau: Phương pháp dựa vào lát cắt phép biến đổi đồng dạng để giảm số biến Thông thường, phương pháp hiệu trường hợp ba biến chuyển biểu thức dạng hai biến Cũng khoảng thời gian này, TS Trần Nam Dũng Gabriel Dospinescu [3] giới thiệu trình bày phương pháp dồn biến (Mixing variables) Đây phương pháp quan trọng hiệu việc chứng minh bất đẳng thức phức tạp Phương pháp dồn biến phát biểu cách đơn giản sau: Để chứng minh bất đẳng thức f (x1 , x2 , , xn ) ≥ chứng minh bất đẳng thức f (x1 , x2 , , xn ) ≥ f x1 + x2 x1 + x2 , , x3 , , xn 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Sau chứng minh bất đẳng thức f x1 + x2 x1 + x2 , , x3 , , xn 2 ≥ Bất đẳng thức sau n − biến đơn giản bất đẳng thức ban đầu (có n biến) Mục đích luận văn trình bày lại cách tổng quan, có hệ thống kiến thức sở số bất đẳng thức liên quan đến giá trị trung bình, bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai xét đến phương pháp giảm biến, bất đẳng thức Karamata, độ gần số xét định lý dồn biến tổng quát hệ chúng Tiếp theo xét số ứng dụng phương pháp dồn biến toán chứng minh bất đẳng thức thường gặp kì thi học sinh giỏi kì thi Olympic Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương 1, trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị trung bình bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai Các kiến thức sở để trình bày nội dung quan trọng cuối chương chương Chương 2, trình bày độ gần đều, số khái niệm tính chất quan trọng hàm lồi, lõm, từ đến trình bày phương pháp dồn biến tổng quát Phương pháp dồn biến cách thức làm giảm biến bất đẳng thức đại số Chương 3, trình bày số áp dụng phương pháp dồn biến giảm biến giải toán bất đẳng thức biến, biến Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học chúng tôi, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện tài liệu thủ tục hành để hoàn thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn luận văn Chúng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt bạn học viên lớp Cao học Toán K4, động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Do thời gian hạn hẹp khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng mong bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, năm 2012 Học viên Đinh Ngọc Quang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số dạng bất đẳng thức cổ điển phương pháp giảm biến Trong chương trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị trung bình bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai để phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn phần sau Các vấn đề trình bày chương tham khảo trích dẫn chủ yếu số tài liệu [1], [3] 1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình Xuất phát từ bất đẳng thức x2 ≥ 0, ∀x Khi (x − y)2 ≥ ⇔ x2 + y + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy, ∀x, y Suy x+y √ ≥ xy, ∀x, y ≥ (1.1) Bất đẳng thức (1.1) bất đẳng thức quen thuộc chương trình toán phổ thông Ta gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (gọi ngắn gọn bất đẳng thức AM-GM1 ) với biến x, y Arithmetic Mean - Trung bình cộng, Geometric Mean - Trung bình nhân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM với biến) Với x1 , x2 không âm, ta có √ x1 + x2 (1.2) x1 x2 ≤ Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 Chứng minh Với x1 , x2 không âm, bình phương vế bất đẳng thức (1.2) 4x1 x2 ≤ (x1 + x2 )2 ⇔ 4x1 x2 ≤ x21 + x22 + 2x1 x2 ⇔ ≤ (x1 − x2 )2 với x1 , x2 Từ bất đẳng thức (1.1) ta thực vài biến đổi √ xy ≤ ⇔ x+y 2xy √ ⇔ ≤ xy x+y 1 + x y ≤ √ xy, ∀x, y ≥ (1.3) Bất đẳng thức (1.3) Hệ trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với biến, gọi bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa (gọi ngắn gọn bất đẳng thức GM-HM2 ) với biến x, y không âm Hệ 1.1 (Bất đẳng thức GM-HM với biến) Cho x1 , x2 số thực không âm, ta có √ (1.4) ≤ x1 x2 1 + x1 x2 Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức (1.2) x := 1 ≤ x y x + y 1 , y := , ta có x y , Harmonic - Trung bình điều hòa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hay x + y ≤ √ xy Ta điều cần chứng minh Từ bất đẳng thức (1.1), bình phương vế ta (x + y)2 , xy ≤ hay 2xy ≤ x2 + y ⇔ (x + y)2 − x2 − y x2 + y (x + y)2 x2 + y ≤ ⇔ ≤ , 2 lấy bậc hai vế ta 1 + x y ≤ √ xy, ∀x, y ≥ (1.5) Bất đẳng thức (1.3) Hệ bất đẳng thức AM-GM với biến, gọi bất đẳng thức trung cộng trung bình bậc hai (gọi ngắn gọn bất đẳng thức AM-QM3 ) với biến x, y không âm Hệ 1.2 (Bất đẳng thức AM-QM với biến) Cho x, y số thực không âm, ta có x+y ≤ x2 + y (1.6) Dấu đẳng thức xảy x = y Chứng minh Với x, y không âm, bình phương vế bất đẳng thức (1.6) ta (x + y)2 x2 + y x2 − 2xy + y ≤ ⇔0≤ ⇔ ≤ (x − y)2 4 với x, y Quadratic mean - Trung bình bậc hai (toàn phương) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Từ chứng minh rút chuỗi bất đẳng thức với biến x, y không âm sau min{x, y} ≤ 1.2 1 + x y ≤ √ xy ≤ x+y ≤ x2 + y ≤ max{x, y} (1.7) Các bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình Định lý 1.2 (Bất đẳng thức AM-GM (Theo [3])) Cho x1 , x2 , , xn số thực không âm, n ≥ 1, √ n x1 x2 xn ≤ x1 + x2 + · · · + xn n (1.8) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Chứng minh (Phương pháp chứng minh quy nạp Cauchy)4 Với n = 1, bất đẳng thức (1.8) hiển nhiên Với n = 2, ta bất đẳng thức (1.2) chứng minh Định lý 1.1 • Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức (1.8) với n số thực không âm x1 , x2 , , xn , n ≥ • Cho 2n số thực không âm x1 , x2 , , xn , xn+1 , , x2n , ta xét x1 + x2 + · · · + x2n x1 + x2 + · · · + xn xn+1 + xn+2 + · · · + x2n = + 2n n n √ √ n x1 x2 xn + n xn+1 xn+2 x2n √ √ ≥ ≥ ( n x1 x2 xn n xn+1 xn+2 x2n ) , hay √ x1 + x2 + · · · + x2n ≥ 2n x1 x2 x2n (1.9) 2n Từ trường hợp n = 1, n = (1.9) suy (1.8) với n = 2k , ∀k ≥ Đây quy nạp theo hướng lên Đây kiểu quy nạp theo cặp hướng (lên-xuống) Cauchy đề xuất năm 1821 (Cauchy A.L., cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I re partie, Analyse alge’brique, Paris, Debure, 1821) để chứng minh Định lý AM-GM [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... bày phương pháp dồn biến tổng quát Phương pháp dồn biến cách thức làm giảm biến bất đẳng thức đại số Chương 3, trình bày số áp dụng phương pháp dồn biến giảm biến giải toán bất đẳng thức biến, biến. .. như: phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp dùng đạo hàm, phương pháp phân tích bình phương S.O.S., phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, Trong. .. dạng bất đẳng thức cổ điển phương pháp giảm biến 1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình 1.2 Các bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình 1.3 Phương pháp giảm