Phương pháp dồn và giảm biến trong bất đẳng thức

www.facebook.com/hocthemtoan

ĐINH NGỌC QUANG

PHƯƠNG PHÁP DỒN VÀ GIẢM BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 40

Giáo viên hướng dẫn:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN, 2012

Mục lục

1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình 7

1.2 Các bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình 10

1.3 Phương pháp giảm biến trong bất đẳng thức đại số 12

1.3.1 Tam thức bậc hai 13

1.3.2 Phương pháp tam thức bậc hai định hướng 14

1.3.3 Giảm biến trong bất đẳng thức đại số 15

2 Độ gần đều và phương pháp dồn biến 21 2.1 Độ gần đều 21

2.2 Hàm lồi và biểu diễn của hàm lồi 25

2.2.1 Hàm lồi, lõm 25

2.2.2 Biểu diễn hàm lồi, lõm 27

2.3 Phương pháp dồn biến 30

2.3.1 Dồn biến tổng quát 33

2.3.2 Một số định lý về dồn biến 35

3 Một số áp dụng 39 3.1 Một số kỹ thuật thường dùng trong giải bài toán bất đẳng thức 39 3.1.1 Kỹ thuật chuẩn hóa 39

3.1.2 Kỹ thuật sắp thứ tự bộ số 40

3.2 Kỹ thuật dồn biến 40

3.2.1 Dồn các biến bằng nhau 41

3.2.2 Dồn biến ra biên 453.2.3 Dồn biến trong lớp hàm lồi, lõm 483.2.4 Dồn biến trong lớp hàm đơn điệu 50

Mở đầu

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp và đangngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán học sơ cấpđẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều người quan tâm Bất đẳngthức luôn giữ vị trí quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học,Olympic quốc gia và quốc tế Điểm đặc biệt và ấn tượng nhất của bất đẳngthức trong toán học sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí là rấtkhó nhưng luôn có thể giải được bằng những kiến thức cơ sở, chủ yếu sửdụng các phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu được kết quả

Ngày nay, có rất nhiều các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thôngdụng như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển, phương pháptam thức bậc hai, phương pháp dùng đạo hàm, phương pháp phân tích bìnhphương S.O.S., phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, Trong nhữngnăm gần đây, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu [1] đã giới thiệu phương pháptam thức bậc hai định hướng Đây là cơ sở để có phương pháp giảm biến.Phương pháp giảm biến có thể phát biểu bằng lời như sau: Phương phápnày dựa vào lát cắt và phép biến đổi đồng dạng để giảm số biến Thôngthường, phương pháp này hiệu quả trong trường hợp ba biến chuyển về biểuthức dạng hai biến Cũng trong khoảng thời gian này, TS Trần Nam Dũng

và Gabriel Dospinescu [3] đã giới thiệu và trình bày phương pháp dồn biến(Mixing variables) Đây là phương pháp rất quan trọng và hiệu quả trongviệc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp Phương pháp dồn biến cóthể phát biểu một cách đơn giản như sau: Để chứng minh bất đẳng thức

Sau đó chúng ta đi chứng minh bất đẳng thức

và xét định lý dồn biến tổng quát như là hệ quả của chúng Tiếp theo xétmột số ứng dụng của phương pháp dồn biến trong các bài toán chứng minhbất đẳng thức thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi Olympic.Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.Chương 1, trình bày một số bất đẳng thức cơ bản liên quan đến giá trị trungbình và bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai Các kiếnthức này là cơ sở để trình bày các nội dung quan trọng ở cuối chương 1

và trong chương 2

Chương 2, trình bày về độ gần đều, một số khái niệm và tính chất quantrọng của hàm lồi, lõm, từ đó đi đến trình bày phương pháp dồn biếntổng quát Phương pháp dồn biến về cơ bản là cách thức làm giảm biếntrong bất đẳng thức đại số

Chương 3, trình bày một số áp dụng của phương pháp dồn biến và giảm biếngiải các bài toán bất đẳng thức 3 biến, 4 biến

Qua đây, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, ngườihướng dẫn khoa học của chúng tôi, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đãđưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu củachúng tôi Đồng thời chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đãtạo mọi điều kiện về tài liệu và thủ tục hành chính để chúng tôi hoàn thành

luận văn này Chúng tôi cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là các bạnhọc viên trong lớp Cao học Toán K4, đã động viên giúp đỡ chúng tôi trongquá trình học tập và làm luận văn.

Do thời gian hạn hẹp và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong được sự chỉ bảotận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thànhcảm ơn

Thái Nguyên, năm 2012Học viên

Đinh Ngọc Quang

Chương 1

Một số dạng bất đẳng thức cổ điển

và phương pháp giảm biến

Trong chương này chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cơ bản liênquan đến giá trị trung bình và bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thứcbậc hai để phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính của luận văn trongcác phần sau

Các vấn đề được trình bày trong chương này được tham khảo và trích dẫnchủ yếu tại một số tài liệu [1], [3]

1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị

trung bình

Xuất phát từ bất đẳng thức cơ bản x2 ≥ 0, ∀x Khi đó

(x − y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy, ∀x, y

1 Arithmetic Mean - Trung bình cộng, Geometric Mean - Trung bình nhân.

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM với 2 biến) Với x1, x2 không âm, tacó

√

x1x2 ≤ x1 + x2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2

Chứng minh Với x1, x2 không âm, bình phương 2 vế bất đẳng thức (1.2)được

Bất đẳng thức (1.3) là một Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GMvới 2 biến, và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bìnhđiều hòa (gọi ngắn gọn là bất đẳng thức GM-HM2) với 2 biến x, y không âm

Hệ quả 1.1 (Bất đẳng thức GM-HM với 2 biến) Cho x1, x2 là các số thựckhông âm, ta có

21

x1 +

1

x2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức (1.2) đối với x := 1

x +

1y

Bất đẳng thức (1.3) là một Hệ quả của bất đẳng thức AM-GM với 2 biến,

và được gọi là bất đẳng thức giữa trung cộng và trung bình bậc hai (gọi ngắngọn là bất đẳng thức AM-QM3) với 2 biến x, y không âm

Hệ quả 1.2 (Bất đẳng thức AM-QM với 2 biến) Cho x, y là các số thựckhông âm, ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Chứng minh Với x, y không âm, bình phương 2 vế bất đẳng thức (1.6)

Từ những chứng minh trên chúng ta rút ra được chuỗi bất đẳng thức với

2 biến x, y không âm như sau

min{x, y} ≤ 2

1

x +

1y

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức AM-GM (Theo [3])) Cho x1, x2, , xn là các

số thực không âm, n ≥ 1, khi đó

n

√

x1x2 xn ≤ x1 + x2 + · · · + xn

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Chứng minh (Phương pháp chứng minh quy nạp Cauchy)4

Với n = 1, bất đẳng thức (1.8) hiển nhiên đúng

Vớin = 2, ta được bất đẳng thức (1.2) đã chứng minh là đúng ở Định lý 1.1

• Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức (1.8) đúng với n số thực không

•(Quy nạp hướng xuống dưới) Giả sử bất đẳng thức (1.8) đúng vớinsố thựckhông âm Ta chứng minh nó đúng với n − 1 số không âm x1, x2, , xn−1.Xét

Ta được điều cần chứng minh

Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức GM-HM

Hệ quả 1.3 (Bất đẳng thức GM-HM) Cho x1, x2, , xn là các số thựckhông âm, n ≥ 1, khi đó

n1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM-GM đối với bộ sốxk := 1

xk, (k =

1, 2, , n), ta có ngay bất đẳng thức GM-HM

Hệ quả của bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức AM-QM Tương

tự như chứng minh bất đẳng thức AM-GM, bằng phương pháp chứng minhquay nạp Cauchy ta có thể chứng minh bất đẳng thức AM-QM

Hệ quả 1.4 (Bất đẳng thức AM-QM) Cho x1, x2, , xn là các số thựckhông âm, n ≥ 1, khi đó

không âm như sau

Trong mục này chúng tôi sẽ trích dẫn một số kiến thức về tam thức bậchai và các định lý về dấu của tam thức bậc hai, từ đó trình bày về phươngpháp giảm biến trong bất đẳng thức đại số

Các vấn đề trình bày trong mục này được chúng tôi tham khảo và tríchdẫn chủ yếu từ tài liệu [1]

− ∆

4,

với ∆ = b2 − 4ac

Từ đây, chúng tôi trích dẫn một số kết quả sau

Định lý 1.3 (Theo [1]) Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0

Định lý 1.4 (Định lý đảo (Theo [1])) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α

sao choaf (α) < 0 là ∆ > 0 và x1 < α < x2, trong đó x1,2 là các nghiệm của

f (x) xác định theo (1.14)

Định lý 1.5 (Theo [1]) Với mọi tam thức bậc hai f (x) có nghiệm thực đềutồn tại một nguyên hàm F (x) là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.Định lý 1.6 (Theo [1]) Tam thức bậc hai f (x) = 3x2 + 2bx + c có nghiệm(thực) khi và chỉ khi hệ số b, c có dạng:

b = α + β + γ,

trong đó α, β, γ ∈ R

1.3.2 Phương pháp tam thức bậc hai định hướng

Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đốivới x)

giá trị của nó Khi đó để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức đãcho, ta chỉ cần quan tâm đến các giá trị lớn hơn (nhỏ thua) của biểu thức

từ bài toán hai biến x, y, biến y được coi như tham biến cho trước, thì

ta chỉ phải làm việc với biến x Vậy mục tiêu chính của phương phápnày là làm giảm số biến để đưa bài toán về dạng tam thức bậc hai, và

có thể giải quyết được với các kiến thức về dấu của tam thức bậc hai

• Đặc trưng của phương pháp này là giải quyết các bài toán tìm cực trị

và gắn liền với các kiến thức về dấu của tam thức bậc hai

Ta có thể trình bày tường minh phương pháp này thông qua bài toán sau

1.3.3 Giảm biến trong bất đẳng thức đại số

Bài toán 1.1 (Theo [1]) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàmsố

Giả sử y là một giá trị của biểu thức, y 6= c1

Do (1.17) là phương trình bậc hai nên điều này tương đương với

và ∆0 được tính theo công thức (1.18)

Suy ra max y = y2 và min y = y1, đạt được khi ứng với mỗi j(j = 1, 2),xảy ra đồng thời

Sau đây, chúng tôi trích dẫn ví dụ minh họa sau

Ví dụ 1.1 (Theo [1]) Cho x, y là các số thực sao cho

2

+ 12



Ma



− 4 ≥ 0

Giải bất phương trình bậc hai này ta được

Suy ra

M ≥ 6 − 2

√2

7 , đạt được khi và chỉ khi



x = M1y2x2 + y2 + xy = 1 ⇔

Bài toán 1.2 Cho

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán được chứng minh

Bài toán 1.2 có thể trình bày yêu cầu của bài toán theo cách khác

Bài toán 1.3 Cho

lần lượt như sau

Thế M vào (1.22) ta tính ra β

Thế M, β vào (1.21) ta tính ra α

Thế M, β, α vào (1.20) ta tính ra z

Từ đó, suy ra x, y

Chương 2

Độ gần đều và phương pháp dồn biến

Trong chương này, chúng tôi trình bày về độ gần đều, hàm lồi và biểu diễncủa hàm lồi, từ đó trình bày phương pháp dồn biến dạng tổng quát

Các vấn đề trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo và tríchdẫn chủ yếu từ một số tài liệu [1], [3], [8], [4]

2.1 Độ gần đều

Xuất phát từ việc nhận thấy các giá trị trung bình đều bằng nhau khi vàchỉ khi các số hạng trong dãy số thực không âm bằng nhau hay các cặp sốtrong dãy số thực không âm bằng nhau Điều này làm chúng tôi nghĩ tới việctìm hiểu về cặp giá trị gần bằng nhau trong dãy số và sự sắp xếp thứ tự củacác cặp giá trị

2 Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong

một miền và trong miền đó vàx khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí

x và y gần nhau nhất Từ đây ta phát biểu khái niệm độ gần đều như sau.Định nghĩa 2.1 (Theo [1]) Xét các cặp số không âm x, y Ta gọi hiệu

ρ(x, y) := max{x, y} − min{x, y}

là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y.

Nếu ρ(x, y) = 0 thì x = y, ta gọi x, y là cặp đều

Nếu x 6= y thì ρ(x, y) > 0, ta gọi độ gần đều của x, y bằng ρ(x, y)

Để phân chia các trường hợp rõ ràng hơn, chúng ta phát biểu Định nghĩa2.1 cho các trường hợp riêng như sau

Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tổng thì ta có thể phátbiểu thứ tự các cặp đó rằng tích xy đạt giá trị lớn nhất trong trường hợpcặp số đó là đều, tức là x = y

Định nghĩa 2.2 i) Xét các cặp số không âm x, y với tổng không đổi(để đơn giản, ta chọn x + y = 1) Ta gọi hiệu

ρ(x, y) := max{x, y} − min{x, y}

là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y

ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (haycặp x2, y2 được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1) nếu

ρ(x1, y1) ≤ ρ(x2, y2)

Như vậy theo Định nghĩa 2.2 thì cặp x, y luôn có độ lệch ρ(x, y) ≥ 0 và

độ lệch bằng 0 khi và chỉ khi x = y, khi đó cặp x, y là cặp gần đều nhất vàcác cặp 0, 1 và 1, 0 sẽ là những cặp xa đều nhất

Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tích thì ta có thể phátbiểu thứ tự các cặp đó rằng tổngx + y đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợpcặp số đó là đều, tức là x = y

Định nghĩa 2.3 i) Xét các cặp số không âm x, y với tích không đổi (đểđơn giản, ta chọn xy = a > 0) Ta gọi hiệu

ρ(x, y) := max{x, y} − min{x, y}

là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y

ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (haycặp x2, y2 được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1) nếu

ρ(x1, y1) ≤ ρ(x2, y2)

Như vậy theo Định nghĩa 2.3 thì cặp x, y luôn có độ lệch ρ(x, y) ≥ 0 và

độ lệch bằng 0 khi và chỉ khi x = y, khi đó cặp x, y là cặp gần đều nhất vàcác cặp 0, 1 và 1, 0 sẽ là những cặp xa đều nhất

Thứ tự sắp được ngôn ngữ "gần đều dần" cho ta một cách tiếp cận tựnhiên với nhiều bài toán của thực tiễn Sau đây, chúng tôi trình bày một bàitoán làm ví dụ

Bài toán 2.1 Khi ta có một cặp số x, y dương có tổng bằng 7 Ta có mộtloạt các bộ số: (1, 6), (2, 5), (3, 4) có tổng bằng 7 Tất cả có chung một đặctrưng

(x.y) ≤



72

Từ các Định nghĩa 2.1, 2.2, 2.3, ta suy ra được thêm một số tính chất về

độ gần đều của các cặp số không âm

Với quy ước của Định nghĩa 2.2, ta có thể sắp thứ tự các tích xy với tổng

x + y = 1 không đổi theo ngôn ngữ "gần đều" như sau

Định lý 2.1 (Theo [1]) Xét các cặp số không âm xj, yj, với j = 1, 2 vớitổng không đổi (để đơn giản ta chọn xj + yj = 1) Khi đó

x1y1 ≥ x2y2

khi và chỉ khi cặp x1, y1 gần đều hơn cặp x2, y2.

Chứng minh Xét các cặp số không âm x, y với tổng bằng 1 không đổi.Không mất tính tổng quát, coi 0 ≤ x < y Với mỗi  > 0 đủ nhỏ, để đảmbảox +  < y +  (chỉ cần chọn  ∈



0, y − x2

) Dễ thấy rằng cặp x + , y − 

gần đều hơn cặp x, y đã cho Ta chỉ cần chứng minh rằng

khi và chỉ khi cặp x1, y1 gần đều hơn cặp x2, y2

Chứng minh Xét các cặp số dương x, y với tích bằng 1 không đổi Khôngmất tính tổng quát, coi 0 < x < y Với mỗi  > 1, để đảm bảo x < ()−1y

)

Dễ thấy rằng cặpx, y()−1 gần đều hơn cặp x, y đã cho Ta chỉ cần chứngminh rằng

Bài toán 2.2 Xét hai cặp số (z, 2 − z) và (y, 2 − y) với

Định lý 2.3 (H W Melaughlin, F T Metcalf (Theo [1])) Với mọi cặp dãy

số dương a = (a1, a2, , an) sao cho 0 ≤ y ≤ z ≤ 1 và b = (b1, b2, , bn)

sao cho 1 ≤ z ≤ y ≤ 2 hoặc ta đều có

Đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0, 1]

2.2 Hàm lồi và biểu diễn của hàm lồi

2.2.1 Hàm lồi, lõm

Định nghĩa 2.4 (Hàm lồi) Một hàm số f : [a, b] → R được gọi là lồi nếu

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ [a, b], ∀t ∈ [0, 1]

Từ định nghĩa ta rút ra được một số nhận xét quan trọng như sau.Nhận xét 2.2 1 Khi x1 < x2 thì x = tx1 + (1 − t)x2 với mọi t ∈ [0, 1].Đều thuộc (x1, x2) và

t = x − x1

x2 − x1, 1 − t =

x2 − x

x2 − x1.

2 Nếuf khả vi hai lần thì hàm f lồi khi và chỉ khif ”(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]

3 Nếu f lồi thì f liên tục Ngược lại, nếu f liên tục thì tính lồi của f làtương đương với f



x + y2



≤ f (x) + f (y)

Tính lồi (Theo [8]) Một hàm sốf (x) là lõm lên (xuống) trên đoạn[a, b] ⊆ R

nếuf (x)nằm dưới (trên) đường thẳng nối các điểm (a1, f (a1)) và(b1, f (b1)),

Nếu hàm số là lõm, bất đẳng thức sẽ đổi chiều

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm lồi (lõm) trên các tập(a, b), [a, b), (a, b]

Ta sẽ sử dụng ký hiệu I(a, b) là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trích dẫn một số tính chất của hàm lồi trênI(a, b).Tính chất sau cho phép ta dễ dàng kiểm chứng tính lồi (lõm) đối với mộthàm số cho trước

Định lý 2.4 (Jensen (Theo [1])) Giả sử f (x) liên tục trên [a, b] Khi đóđiều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên I(a, b) là