Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động

MÐ †U T½nh thíi sü cõa · t i luªn ¡n K¸t c§u chàu t£i trång di ëng nâi chung v  d¦m chàu lüc di ëng nâi ri¶ng l  b i to¡n quan trång trong l¾nh vüc ëng lüc håc k¸t c§u, ¢ ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu tø l¥u. Nhi·u b i to¡n thüc t¸ trong c¡c ng nh kÿ thuªt giao thæng vªn t£i, thi¸t k¸ cì kh½, m¡y mâc.. câ thº mæ phäng d÷îi d¤ng b i to¡n d¦m chàu lüc di ëng. C¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu li¶n quan tîi b i to¡n n y ¢ ÷ñc cæng bè tr¶n nhi·u t¤p ch½ chuy¶n ng nh, °c bi»t trong s¡ch chuy¶n kh£o cõa Frþba [36] líi gi£i cho mët sè b i to¡n d¦m chàu lüc di ëng ÷ñc thi¸t lªp tr¶n cì sð c¡c bi¸n êi Fourier v  Laplace. K¸t qu£ nghi¶n cùu cho th§y c¡c h» sè  n hçi v  khèi l÷ñng ri¶ng vªt li»u d¦m âng vai trá quan trång tîi ¡p ùng ëng lüc håc cõa d¦m. Vªt li»u câ cì t½nh bi¸n êi 1 ÷ñc c¡c nh  khoa håc Nhªt B£n t¤o ra l¦n ¦u ti¶n ð Sendai v o n«m 1984 [64] câ kh£ n«ng ùng döng rëng r¢i trong nhi·u ng nh cæng nghi»p kh¡c nhau nh÷ h ng khæng vô trö, âng t u, æ tæ, x¥y düng, ç gia döng... [1]. FGM câ thº xem nh÷ l  mët lo¤i vªt li»u composite mîi, th÷íng ÷ñc t¤o tø pha gèm v  pha kim lo¤i vîi t l» thº t½ch cõa vªt li»u th nh ph¦n thay êi li¶n töc theo mët ho°c v i h÷îng khæng gian mong muèn. Do sü thay êi li¶n töc cõa c¡c vªt li»u th nh ph¦n, c¡c t½nh ch§t hi»u döng 2 cõa FGM l  h m li¶n töc cõa c¡c bi¸n khæng gian, v¼ th¸ FGM khæng câ c¡c nh÷ñc iºm th÷íng g°p trong vªt li»u composite truy·n thèng nh÷ sü tªp trung ùng su§t, t¡ch lîp... v  câ kh£ n«ng ùng döng trong c¡c mæi tr÷íng kh­c nghi»t nh÷ nhi»t ë cao, t½nh m i mán v  «n mán cõa a-x½t lîn [48,104]. Tr¶n quan iºm ëng lüchåc k¸t c§u, sü k¸t hñp c¡c ÷u iºm v· ë b·n cao, t trång th§p cõa gèm vîi ë dai v  kh£ n«ng chàu va ªp tèt cõa kim lo¤i gióp cho FGM câ ti·m n«ng nh÷ l  vªt li»u cho k¸t c§u chàu t£i trång ëng nâi chung v  t£i trång di ëng nâi ri¶ng. C¡c nghi¶n cùu g¦n ¥y v· d¦m FGM chàu t£i trång di ëng [9698] chùng tä r¬ng so vîi d¦m kim lo¤i (SUS304) thu¦n tóy, ë vãng v  sü ph¥n bè ùng su§t ëng trong m°t c­t ngang cõa d¦m FGM t¤o tø th²p v  æ-x½t nhæm (Al 2 O ) ÷ñc c£i ti¸n ¡ng kº. 3

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI

TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Đình Kiên

Hà Nội - 2016

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa họccủa TS Nguyễn Đình Kiên, người đã tận tình, tận tâm giúp đỡ tôi trongquá trình nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Tôi xin cảm ơn đến GS Buntara Sthenly Gan và NCS Trịnh Thanh HươngĐại học Nihon Nhật Bản đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủnhiệm khoa Khoa học Cơ bản, Chủ nhiệm bộ môn Cơ lý thuyết và cácđồng nghiệp trong bộ môn Cơ lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vậntải đã động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thànhluận án này

Tôi xin chân thành cảm ơn tới Khoa Đào tạo sau đại học, Phòng Cơ họcvật rắn - Viện Cơ học và các bạn trong nhóm sermina của thầy Kiên đãgiúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong qúatrình làm luận án

Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình đã động viên ủng

hộ tôi trong qúa trình làm luận án

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

i

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu

và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

ii

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt vi

Danh sách hình vẽ ix

Danh sách bảng xii

Mở đầu 1

Chương 1 Tổng quan 7

1.1 Vật liệu có cơ tính biến thiên 7

1.2 Các nghiên cứu về dầm FGM 9

1.3 Kết cấu FGM chịu tải trọng di động 14

1.4 Tình hình nghiên cứu trong nước 16

1.5 Mục tiêu của luận án 17

Chương 2 Mô hình dầm FGM 20

2.1 Tính chất vật liệu FGM 20

2.1.1 Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao 20

2.1.2 Dầm có cơ tính biến đổi dọc 21

2.1.3 Mặt trung hòa 21

2.2 Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động 23

2.3 Năng lượng dầm FGM 24

2.3.1 Năng lượng biến dạng đàn hồi 24

2.3.2 Động năng 29

2.3.3 Thế năng của lực di động 30

2.4 Phương trình chuyển động 31

2.4.1 Vật liệu có cơ tính biến đổi theo chiều cao 32

iii

2.4.2 Vật liệu có cơ tính biến đổi dọc 34

2.5 Giả thiết Euler-Bernoulli 36

2.5.1 Các biểu thức năng lượng 36

2.5.2 Phương trình chuyển động 37

2.6 Kết luận chương 2 38

Chương 3 Mô hình phần tử hữu hạn và thuật toán số 40

3.1 Chuyển vị nút và hàm dạng 40

3.1.1 Hàm dạng cho dầm Timoshenko 42

3.1.2 Đa thức dạng Kosmatka 47

3.2 Ma trận độ cứng 48

3.2.1 Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao 48

3.2.2 Dầm có cơ tính biến đổi dọc 49

3.3 Ma trận khối lượng 50

3.3.1 Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao 50

3.3.2 Dầm có cơ tính biến đổi dọc 51

3.4 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli 52

3.4.1 Hàm dạng cho dầm Bernoulli 52

3.4.2 Ma trận độ cứng 55

3.4.3 Ma trận khối lượng 57

3.5 Vec-tơ lực nút 58

3.6 Phương trình phần tử hữu hạn 59

3.7 Thuật toán số 60

3.7.1 Họ phương pháp Newmark 60

3.7.2 Phương pháp gia tốc trung bình 62

3.7.3 Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi 63

3.7.4 Thuật toán cho vec-tơ lực nút 65

3.8 Quy trình tính toán 66

3.9 Kết luận chương 3 66

Chương 4 Kết quả số và thảo luận 69

4.1 Tham số hình học và vật liệu 69

4.2 Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số 70

4.2.1 Tần số dao động riêng 70

4.2.2 Đáp ứng động lực học 76

4.3 Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao 78

4.3.1 Tần số dao động riêng 79

4.3.2 Ảnh hưởng của tham số vật liệu 79

4.3.3 Ảnh hưởng của tham số lực di động 83

4.3.4 Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang 86

4.3.5 Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc 88

4.4 Dầm có cơ tính biến đổi dọc 92

4.4.1 Tần số dao động riêng 93

4.4.2 Ảnh hưởng của tham số vật liệu 94

4.4.3 Ảnh hưởng của tham số lực di động 96

4.4.4 Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang 97

4.5 Dầm liên tục 98

4.5.1 Tần số dao động riêng 99

4.5.2 Ảnh hưởng của tham số vật liệu 101

4.5.3 Ảnh hưởng của tham số lực di động 103

4.5.4 Ảnh hưởng của tham số dầm 105

4.5.5 Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc 106

4.6 Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa 108

4.7 Kết luận chương 4 109

Kết luận 111

Những đóng mới của luận án 115

Công trình đã công bố của tác giả 116

Tài liệu tham khảo 118

Phụ lục 132

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Các ký hiệu thông thường

E Mô-đun đàn hồi hữu hiệu

Ec Mô-đun đàn hồi của gốm

Em Mô-đun đàn hồi của kim loại

d Khoảng cách giữa hai lực di động

FGM Vật liệu có cơ tính biến thiên

fv Tham số vận tốc lực di động

Gc Mô-đun trượt của gốm

Gm Mô-đun trượt của kim loại

h0 Khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặt giữa dầm

I Mô-men quán tính bậc hai của mặt cắt ngang

I0 Mô-men quán tính bậc hai mặt cắt ngang giữa dầm

I11 Mô-men khối lượng dọc trục

I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay

I22 Mô-men khối lượng xoay (của mặt cắt ngang)

L Chiều dài dầm (dầm một nhịp)

Ls Chiều dài một nhịp (dầm liên tục)

n Chỉ số mũ (tham số vật liệu)

u Chuyển vị dọc trục của một điểm trêm mặt trung hòa

U Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử

v Vận tốc của lực di động

Ve Thế năng của phần tử

w Chuyển vị ngang của một điểm trên mặt trung hòa

w0 Độ võng tĩnh tại giữa dầm thuần nhất

Kef Ma trận độ cứng hữu hiệu

m Ma trận khối lượng phần tử

M Ma trận khối lượng tổng thể

Nu Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ Ma trận các hàm nội suy cho góc quay

kaa Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục

kbb Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng uốn

kab Ma trận độ cứng phần tử sinh ra do biến dạng dọc trục và uốn

kss Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng trượt

muu Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch dọc trục

mww Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch ngang

muθ Ma trận khối lượng nhất quán do chuyển vị dọc trục và góc quay

mθθ Ma trận khối lượng nhất quán do sự quay của mặt cắt ngang

Chữ cái Hy Lạp

∆T Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

∆t Bước thời gian (trong thuật toán Newmark)

θ Góc quay của mặt cắt ngang

α Tham số tiết diện

Hình 2.1 Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đối với vị trí của

mặt trung hòa 22Hình 2.2 Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động 23Hình 3.1 Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử 41Hình 3.2 Sơ đồ thuật toán 68Hình 4.1 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm thuần nhất chịu ba lực di động (d = L/4, v = 22.5 m/s) 78Hình 4.2 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) 81Hình 4.3 Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số tốc độ

của dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) 81Hình 4.4 Sự phân bố của ứng suất dọc trục theo chiều cao của

dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/8) 82Hình 4.5 Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đến tham số độ

võng của dầm A chịu ba lực di động (d = L/4) 82Hình 4.6 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối quan

hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu

ba lực di động (n = 0.5) 84Hình 4.7 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới sự phân

bố ứng suất dọc trục theo chiều cao của dầm A chịu ba lực

di động (n = 0.5) 84Hình 4.8 Ảnh hưởng của số lực di động đến mối liên hệ giữa

độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm A chịu số lực di

động khác nhau (n = 3, α = 0.5, d = L/4) 85

ix

Hình 4.9 Ảnh hưởng của số lực di động tới mối quan hệ giữa

tham số độ võng và tham số tốc độ của dầm A chịu số lực

di động khác nhau (n = 3, α = 0.5) 85Hình 4.10 Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số vật liệu

của dầm FGM có mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di

động (fv = 0.5) 87Hình 4.11 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất

của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi ngang chịu

ba lực di động 88Hình 4.12 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian

của dầm loại A với các dạng chuyển động khác nhau của lực

di động (α = 0.5, n = 2, fv = 0.25) 90Hình 4.13 Ảnh hưởng của dạng chuyển động tới quan hệ giữa

tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm loại A chịu

một lực di động (n = 0.5, α = 0.5) 90Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số tiết diện và dạng chuyển động

tới giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm loại A

(L/h = 20) 91Hình 4.15 Ảnh hưởng của dạng chuyển động và tỷ số L/h tới mối

liên hệ giữa giá trị lớn nhất của tham số tiết diện và tham

số vận tốc 91Hình 4.16 Ảnh hưởng của tham số tiết diện α đến tham số tần

số cơ bản của dầm FGM, n = 3 93Hình 4.17 Mối quan hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc

của dầm loại A có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động

(α = 0.5) 94Hình 4.18 Ảnh hưởng của tham số vật liệu đến hệ số động lực

học của dầm có cơ tính biến đổi dọc loại A chịu một lực di

động (α = 0.5) 95Hình 4.19 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối liên

hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm A chịu

bốn lực di động (n = 2, fv = 0.25, L/h = 20) 96

Hình 4.20 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối liên

hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu

ba lực di động (n = 2, L/h = 20) 97Hình 4.21 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất

của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi dọc chịu

số lực di động khác nhau (n = 5, fv = 0.25, d = L/10) 98Hình 4.22 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm

bốn nhịp chịu lực tập trung di động 102Hình 4.23 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm

bốn nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s 102Hình 4.24 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ hai của dầm bốn

nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s 103Hình 4.25 Ảnh hưởng của tần số lực kích động tới mối quan hệ

giữa độ võng tại giữa nhịp dầm với vị trí lực di động của

dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5) 104Hình 4.26 Mối quan hệ giữa tham số độ võng của nhịp thứ nhất

với tham số vận tốc của dầm bốn nhịp chịu lực di động 104Hình 4.27 Ảnh hưởng của tỷ số L/h tới độ võng tại giữa nhịp thứ

nhất và nhịp thứ hai của dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5, Ω = 0) 105Hình 4.28 Ảnh hưởng của số nhịp tới độ võng tại giữa nhịp thứ

nhất và nhịp thứ hai của dầm liên tục (n = 1, fv = 1.2, Ω = 0) 106Hình 4.29 Ảnh hưởng của tăng, giảm tốc tới mối quan hệ giữa

tham số vận tốc và tham số độ võng của dầm liên tục 107

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM 9Bảng 4.1 Sự hội tụ của tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM

có cơ tính biến đổi theo chiều cao và mặt cắt ngang không

đổi (ρc = ρm, Ec/Em = 3) 71Bảng 4.2 So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ

tính biến đổi theo chiều cao và mặt cắt ngang không thay đổi 72Bảng 4.3 Sự hội tụ của tham số tần số cơ bản µ của dầm Tim-

oshenko FGM có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang thay

đổi 73Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM có cơ

tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang không đổi (E = Ec/Em,

ρ = ρc/ρm = 1, L/h = 20) 74Bảng 4.5 So sánh tham số tần số dao động thứ hai của dầm

FGM có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang không thay đổi

(E = Ec/Em, ρ = ρc/ρm = 1, L/h = 20) 75Bảng 4.6 So sánh năm tham số tần số đầu tiên của dầm liên tục

có mặt cắt ngang không thay đổi 75Bảng 4.7 Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu

một lực di động (α = 0, L/h = 20) 76Bảng 4.8 Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di

động (α = 0, L/h = 20) 77Bảng 4.9 Tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ tính

biến đổi theo chiều cao với các giá trị khác nhau của tham

số tiết diện α 79

xii

Bảng 4.10 Giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm FGM

với mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di động (d = L/8) 87Bảng 4.11 Ba tham số tần số đầu tiên của dầm FGM có số nhịp

khác nhau (LS/h = 30) 100Bảng 4.12 Ảnh hưởng của tỷ số L/h của dầm tới tham số tần số

của dầm FGM liên tục (n = 0.5) 100Bảng 4.13 Ảnh hưởng của mặt trung hòa đến đáp ứng động lực

học cho dầm FGM 108

Tính thời sự của đề tài luận án

Kết cấu chịu tải trọng di động nói chung và dầm chịu lực di động nói riêng

là bài toán quan trọng trong lĩnh vực động lực học kết cấu, đã được quantâm nghiên cứu từ lâu Nhiều bài toán thực tế trong các ngành kỹ thuậtgiao thông vận tải, thiết kế cơ khí, máy móc có thể mô phỏng dưới dạngbài toán dầm chịu lực di động Các công trình nghiên cứu liên quan tới bàitoán này đã được công bố trên nhiều tạp chí chuyên ngành, đặc biệt trongsách chuyên khảo của Frýba [36] lời giải cho một số bài toán dầm chịu lực

di động được thiết lập trên cơ sở các biến đổi Fourier và Laplace Kết quảnghiên cứu cho thấy các hệ số đàn hồi và khối lượng riêng vật liệu dầmđóng vai trò quan trọng tới đáp ứng động lực học của dầm

Vật liệu có cơ tính biến đổi1 được các nhà khoa học Nhật Bản tạo ralần đầu tiên ở Sendai vào năm 1984 [64] có khả năng ứng dụng rộng rãitrong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như hàng không vũ trụ, đóngtàu, ô tô, xây dựng, đồ gia dụng [1] FGM có thể xem như là một loạivật liệu composite mới, thường được tạo từ pha gốm và pha kim loại với

tỷ lệ thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vàihướng không gian mong muốn Do sự thay đổi liên tục của các vật liệuthành phần, các tính chất hiệu dụng2 của FGM là hàm liên tục của cácbiến không gian, vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trongvật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp và

có khả năng ứng dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao,tính mài mòn và ăn mòn của a-xít lớn [48, 104] Trên quan điểm động lực

1 Functionally Graded Material - FGM

2 Effective property

1

học kết cấu, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốmvới độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềmnăng như là vật liệu cho kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng

di động nói riêng Các nghiên cứu gần đây về dầm FGM chịu tải trọng diđộng [96–98] chứng tỏ rằng so với dầm kim loại (SUS304) thuần túy, độvõng và sự phân bố ứng suất động trong mặt cắt ngang của dầm FGM tạo

từ thép và ô-xít nhôm (Al2O3) được cải tiến đáng kể

Dầm FGM chịu tải trọng di động mới chỉ được quan tâm nghiên cứutrong thời gian gần đây, khởi đầu từ phân tích về ứng xử động lực học củadầm Euler-Bernoulli tạo từ thép và ô-xít nhôm chịu một lực di động điềuhòa do S¸im¸sek và Kocat¨urk thực hiện vào năm 2009 [96] Phần lớn các kếtquả tiếp theo trong lĩnh vực này là sự mở rộng của nghiên cứu trong [96]cho các lý thuyết dầm và tải trọng di động khác Ngoài tác giả Luận án,phân tích động lực học dầm FGM chịu tải trọng di động cũng được cáctác giả trong nước quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây Sử dụngphần tử dầm hai nút truyền thống, Phạm Đình Trung [5] nghiên cứu ứng

xử động lực học của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi chịu khối lượng diđộng

Cần nhấn mạnh rằng, cho tới thời điểm hiện tại các nghiên cứu về dầmchịu tải trọng di động mới chỉ được thực hiện trên dầm có tiết diện khôngđổi chịu một tải trọng di động và chuyển động của tải trọng được giả định

là đều (vận tốc không đổi) Trong thực tế những giả thiết này không phảikhi nào cũng đúng và việc loại bỏ các giả thiết này là một trong các yêucầu cấp thiết đặt ra Nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm FGM cótiết diện thay đổi, chịu nhiều lực di động và xem xét ảnh hưởng của yếu

tố tăng, giảm tốc của lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm màLuận án này đặt ra nhằm mục đích giải quyết phần nào các hạn chế nêutrên Thêm vào đó, công thức phần tử hữu hạn xây dựng trong phân tíchdầm FGM nói chung và dầm FGM chịu tải trọng di động nói riêng đượcthực hiện trên cơ sở các hàm dạng thông thường, không tính tới đặc trưng

về vật liệu và hình học riêng biệt của kết cấu Kosmatka [65] chỉ ra rằngphần tử dầm Timoshenko (làm từ vật liệu truyền thống) xây dựng trênhàm dạng nhận được từ việc giải hệ phương trình vi phân cân bằng cho

một phần tử dầm không chỉ có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có nhiều ưuđiểm do chứa đựng các thông tin về hình học và vật liệu dầm Ý tưởngnày được đặt ra trong phân tích động lực học dầm FGM chịu lực di động

sẽ được thực hiện trong luận án này

Định hướng nghiên cứu

Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động

là bài toán phức tạp do các tính chất hiệu dụng của vật liệu và mặt cắtngang dầm đều là hàm của các tọa độ không gian Phương pháp phần tửhữu hạn được Luận án lựa chọn là công cụ để nghiên cứu bài toán này Hailoại dầm FGM phổ biến là dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao3

và dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc4 được quan tâm nghiên cứu trongluận án này Trên quan điểm phân tích phần tử hữu hạn, để phân tích bàitoán dầm chịu lực di động cần có các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng

và vec-tơ lực nút cho một phần tử đặc trưng Đặc tính của các ma trận vàvec-tơ này phụ thuộc vào các hàm dạng để nội suy trường chuyển vị củaphần tử dầm Như vậy, một số định hướng nghiên cứu cụ thể của Luận án

sẽ là:

1 Xây dựng hoặc lựa chọn các hàm dạng thích hợp cho từng loại phần

tử dầm sẽ phát triển trong Luận án

2 Trên cơ sở các hàm dạng nêu trên sẽ tiến hành thiết lập các biểu thứccho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút cho phần

vi phân cân bằng và chuyển động Gần đây Eltaher và cộng sự [33] chỉ rarằng tần số dao động riêng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiềucao cao hơn khi bỏ qua ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa Từ nhận xétnày, ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầmFGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao cũng được Luận án đặt ra và quantâm nghiên cứu.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Như đã nói ở trên, Luận án đề cập tới hai loại dầm FGM là dầm FGM có

cơ tính biến đổi theo chiều cao và cơ tính biến đổi dọc Thêm vào đó, dầmliên tục6 thường gặp trong thực tế, cũng cần được quan tâm nghiên cứu.Như vậy, Luận án quan tâm nghiên cứu các đối tượng sau:

1 Tải trọng di động nghiên cứu trong luận án là lực tập trung di động

và lực điều hòa di động Như vậy, ảnh hưởng quán tính của tải trọng

di động không được xét tới trong Luận án này

2 Dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu các lực di động Bềrộng mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm

3 Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu các lực di động Bề rộng mặtcắt ngang dầm cũng được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm

4 Dầm FGM liên tục có cơ tính biến đổi theo chiều cao Mặt cắt ngangcủa dầm liên tục được giả định là không thay đổi

Luận án quan tâm nghiên cứu tới đáp ứng động lực học của các dầmnói trên Cụ thể, luận án sẽ tính toán độ võng động và sự phân bố củatrường ứng suất trong mặt cắt ngang của dầm chịu các lực di động vớicác vận tốc khác nhau Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, ảnh hưởngcủa mặt cắt ngang dầm thay đổi tới ứng xử động lực học của dầm sẽ đượckhảo sát chi tiết Thêm vào đó, như đã nói tới ở phần trên, Luận án cũngquan tâm nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng tốc, giảm tốc cũng như ảnhhưởng của vị trí của mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm

6 Continuous beam [47]

Các giả thiết sử dụng trong luận án

Luận án sử dụng các giả thiết:

1 Lực di động luôn tiếp xúc với dầm trong quá trình chuyển động

2 Ảnh hưởng quán tính của lực di động không xét tới trong luận án này

3 Ở trạng thái ban đầu (t = 0) dầm ở trạng thái dừng, tức là chuyển vị

và vận tốc tại thời điểm ban đầu bằng 0

4 Khoảng cách giữa các lực di động là như nhau và không thay đổi trongquá trình chuyển động

Phương pháp nghiên cứu

Do những phức tạp về mặt toán học sinh ra từ tính không đồng nhất củatính chất vật liệu dầm FGM và mặt cắt ngang của dầm, phương pháp số,

cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp nghiên cứu đượclựa chọn trong luận án Các phương trình cơ bản mô tả chuyển động củadầm sẽ được dẫn ra trên cơ sở các phương pháp giải tích và các nguyên lýbiến phân của cơ học kết cấu Phần mềm tính toán Symbolic Maple [79]được sử dụng rộng rãi trong suốt Luận án này để hỗ trợ cho các biến đổitoán học cũng như việc xây dựng công thức phần tử hữu hạn và chươngtrình tính toán số

Chương 2 thiết lập phương trình chuyển động của dầm trên cơ sở nguyên

lý Hamilton Phương trình chuyển động của dầm FGM có cơ tính biến đổitheo chiều cao và cơ tính biết đổi dọc được thiết lập chi tiết cho dầmTimosheko Các phương trình cho dầm Euler-Bernouli nhận được như làtrường hợp riêng của dầm Timoshenko

Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các hàm dạng cho dầmTimoshenko Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơlực nút của phần tử dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao và dọcđược trình bày chi tiết trong chương này Công thức phần tử hữu hạn trongchương này được xây dựng trên cơ sở biểu thức năng lượng biến dạng đànhồi, động năng của phần tử dầm và thế năng của các lực di động Ngoài

ra, chương 3 còn trình bày thuật toán số dùng cho việc giải phương trìnhchuyển động dạng rời rạc và kỹ thuật phát triển chương trình tính toán

số Chi tiết trong việc xử lý số cho trường hợp mặt cắt ngang thay đổi vàthuật toán xác định vec-tơ lực nút được đề cập chi tiết trong chương này.Các kết quả số nhận được từ các tính toán của Luận án được trình bàytrong Chương 4 Trên cơ sở các kết quả số nhận được, một số nhận xét vềđáp ứng động lực học của dầm sẽ được thảo luận

Một số nhận xét rút ra từ Luận án được tóm lược trong phần Kết luận.Phần kết luận cũng kiến nghị một số nghiên cứu tiếp theo của Luận án

TỔNG QUAN

1.1 Vật liệu có cơ tính biến thiên

Vật liệu có cơ tính biến thiên (tên tiếng Anh: Functionally Graded Material,viết tắt là FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản phát minh vào năm

1984 ở Sendai [64] hiện thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa họctrong lĩnh vực cơ học vật liệu và cơ học kết cấu FGM là vật liệu composite,được tạo thành từ hai hay một vài vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tíchthay đổi một cách liên tục theo một hoặc vài hướng không gian FGM cónhiều ưu điểm so với các vật liệu truyền thống, chẳng hạn do sự thay đổiliên tục của tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần, FGM tránh được sựkhông liên tục của ứng suất, vì thế tránh được các vấn đề liên quan tới hiệntượng tách lớp thường gặp trong các loại vật liệu composite truyền thống.Với ưu điểm nêu trên, FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành côngnghệ cao như công nghệ hàng không, vũ trụ, công nghệ hạt nhân [48].FGM điển hình có ứng dụng rộng rãi và thu hút được nhiều sự quantâm nghiên cứu là FGM hai pha, pha gốm và pha kim loại, với tỷ lệ thểtích của các pha thành phần thay đổi theo hàm số mũ của một tọa độkhông gian Chẳng hạn, sự thay đổi tỷ lệ thể tích của gốm theo chiều dàycủa dầm tuân theo quy luật số mũ [104]

Vc =  z

h +

12

n

, −h

2 ≤ z ≤ h

2 , Vc + Vm = 1 (1.1)trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ lệ thể tích của gốm và kim loại; z là tọa

độ theo chiều dày dầm; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham

số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần; các chỉ sốdưới ‘c’ và ‘m’ dùng để chỉ các pha gốm và kim loại Với sự phân bố các

7

pha vật liệu như phương trình (1.1) và trên cơ sở phương pháp đồng nhấthóa lựa chọn ta có thể xác định được các tính chất hữu hiệu của FGMnhư mô đun đàn hồi, hệ số Poisson theo các tính chất của vật liệu thànhphần.

Ngoài quy luật hàm số mũ nêu trên, một số tác giả [89, 112] giả địnhcác tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày dầm theo quy luật số e (cơ

số của logarite tự nhiên) hoặc quy luật sigmoid [18, 49, 74] Phân tích kếtcấu FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật số e hoặc quy luậtsigmoid tương tự như phân tích kết cấu có tính chất vật liệu thay đổi theohàm số mũ

Các tính chất cơ-lý của FGM, như nói tới ở trên, có thể thay đổi theonhiều hơn một hướng không gian [72, 83], chẳng hạn L¨u và cộng sự [72]nghiên cứu dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều dày và chiều dàidầm

P(x, z) = P0ek1 x+k 2 z (1.2)trong đó P0 là hằng số; x và z tương ứng là các tham số tọa độ theo chiềudài và chiều cao dầm; k1 và k2 là các chỉ số gradient vật liệu theo các hướng

x và z Quy luật hàm số mũ cũng được sử dụng để mô tả sự thay đổi tínhchất vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm [14] FGM cũng có thể đượctạo từ hơn hai vật liệu thành phần, chẳng hạn Nemat–Alla [80] phân tíchtấm làm từ FGM 3 pha, pha gốm và hai pha kim loại khác nhau với tỷ lệthể tích của vật liệu thành phần thay đổi theo quy luật số mũ Tuy nhiên,nghiên cứu về kết cấu làm từ FGM tạo từ ba hay nhiều pha còn rất ít.Tùy theo ứng dụng cụ thể, các vật liệu thành phần khác nhau có thểđược sử dụng để chế tạo FGM Bảng 1.1 liệt kê các tính chất của một sốvật liệu thành phần thông dụng [35, 87, 114] Cần lưu ý rằng số liệu về tínhchất vật liệu thành phần trích dẫn trong các tài liệu có một số sự khácnhau, vì thế luận án sẽ đưa ra các số liệu cụ thể dùng trong tính toán khácnếu các số liệu này khác với Bảng 1.1

Số lượng các công trình công bố liên quan tới vật liệu và kết cấu FGMtăng nhanh, điều đó được thể hiện trong tài liệu [92] Phân tích kết cấuFGM chịu các loại tải trọng khác nhau được Birman và Byrd trình bày chitiết trong [23], dưới đây tóm lược các công trình nghiên cứu liên quan trực

Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM

Vật liệu Young (GP a) Poisson (kg/m3)

Silicon Nitride Si4N4 322.3 0.24 2370

và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin tác động lênmặt dầm và so sánh kết quả nhận được với kết quả dựa trên cơ sở dầmEuller-Bernoulli Ông đã chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở bề mặt chấttải của dầm FGM cao hơn trong dầm thuần nhất nếu như lực được tácdụng trên mặt cứng hơn và ngược lại Wu và cộng sự [108] sử dụng phươngpháp bán nghịch đảo để tìm lời giải cho phương trình động học của dầmFGM tựa giản đơn Nghiệm giải tích cho tần số dao động riêng của dầmđược thiết lập cho trường hợp mô đun đàn hồi và mật độ khối của dầm

có dạng hàm số mũ Apetre và cộng sự [12] nghiên cứu phản ứng của dầmsandwich có lõi là FGM với tính chất đàn hồi thay đổi theo chiều dày dướitác động của tải trọng va đập có vận tốc thấp Kết quả nhận được chothấy lõi FGM có hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu đểgiảm bớt hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm Benatta vàcộng sự [19] xây dựng nghiệm giải tích của bài toán uốn dầm có tính tới

ảnh hưởng của oằn Li [68] đề nghị phương pháp mới để khảo sát các đặctrưng dao động riêng, độ võng, phân bố ứng suất và sự lan truyền sóngtrong dầm FGM có tính chất vật liệu thay đổi tùy ý theo chiều dày dầm.

Lý thuyết dầm Euller-Bernoulli và Rayleigh được sử dụng trong nghiêncứu này Sina và cộng sự [95] trình bày phương pháp giải tích dựa trên lýthuyết dầm mới cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có các điềukiện biên khác nhau Tần số dao động riêng trong [95] được nhiều tác giả

sử dụng để kiểm chứng kết quả nghiên cứu của mình Huang và Li [45]phân tích dao động tự do của dầm FGM có độ cứng chống uốn, mật độkhối và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm Phương pháp đề nghị

có thể sử dụng để xác định tần số dao động riêng của dầm FGM có mặtcắt ngang và tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật tùy ý dọc theo trụcdầm Wattanasakulpong và cộng sự [105] nghiên cứu bài toán mất ổn định

và dao động nhiệt của dầm FGM bằng cách sử dụng phương pháp Ritz

để giải bài toán giá trị riêng Kết quả nhận được cho thấy lực tới hạn caohơn đáng kể khi bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ vào các tính chất vật liệu.Thêm vào đó, các tác giả chỉ ra rằng so với nhôm ô-xít và Silicon nitride,Ziconia không phải là loại gốm tốt dùng để phối hợp với thép không gỉ.Wei và Liu [106] sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bàitoán uốn phi tuyến dầm FGM Wei và cộng sự [107], trình bày phươngpháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vết nứt Lai

và cộng sự [66] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm Bernoulli FGMbằng phương pháp giải tích Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên độ daođộng tới tần số dao động riêng của dầm được khảo sát chi tiết Li và cộng

sự [69] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự docủa dầm FGM có tiết diện và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm

Ma và Lee [73] đưa ra lời giải giải tích của bài toán dầm FGM phi tuyếndưới tác dụng của tải trọng nhiệt Birsan và cộng sự [24] xây dựng biểuthức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm sandwich FGM có lõi xốp.Xét đến ảnh hưởng của sự tách lớp, Liu và Shu [71] trình bày phương phápgiải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vật liệu thay đổitheo hàm số mũ Kết quả chỉ ra rằng sự tăng của tần số dao động riêng củadầm FGM có tỷ số mô-đun đàn hồi cao hơn sẽ yếu đi khi dải tách lớp của

dầm dài hơn Babilio [17] nghiên cứu dao động của dầm FGM có chuyển

vị tương đối lớn nằm trên nền đàn nhớt chịu kích động dọc trục

Ngoài phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động dầm FGM, một

số tác giả còn dùng phương pháp số để nghiên cứu như: Trên cơ sở phươngpháp Petrov–Galerkin không lưới, Ching và Yen [27] trình bày lời giải sốcho bài toán biến dạng cơ nhiệt của dầm FGM với vật liệu phân bố theoquy luật số e Sử dụng lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết dầm bậc ba,Aydogdu và Taskin [15] nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM tựa giảnđơn với tính chất vật liệu thay đổi theo hàm số mũ và số e theo chiều dàydầm Ávila [16] đưa ra mô hình dự đoán mode phá hủy của dầm sandwichvới lõi FGM có tính chất vật liệu thay đổi mạnh Mô hình đề nghị có độchính xác cao so với thực nghiệm trong trường hợp uốn ba điểm Ying vàcộng sự [112] nghiên cứu bài toán dầm FGM nằm trên nền đàn hồi với

cơ tính biến đổi theo quy luật số e Xiang và Yang [109] nghiên cứu daođộng tự do và dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko FGM nhiều lớp

có tính tới sự thay đổi của chiều dày và ảnh hưởng của ứng suất nhiệt banđầu Sử dụng phương pháp cầu phương vi phân cải biên7 để giải phươngtrình vi phân cân bằng, Pradhan và Murmu [86] nghiên cứu dao động cơnhiệt của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi Sử dụng lý thuyếtdầm Timoshenko và biến dạng phi tuyến von Káman, Kitipornchai và cộng

sự [61] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm FGM có vết nứt bằng cách

mô phỏng tiết diện chứa vết nứt bởi các lò xo không trọng lượng Trên cơ

sở lý thuyết dầm cải tiến, Giunta và cộng sự [40] nghiên cứu dao động tự docủa dầm FGM có cơ tính thay đổi theo hàm số mũ Lý thuyết dầm cổ điểnEuler-Bernoulli và Timoshenko nhận được như là các trường hợp riêng.Cũng trên cơ sở lý thuyết dầm cải tiến, Giunta và cộng sự [41] nghiên cứubài toán cơ-nhiệt của dầm phân lớp và dầm sandwich FGM Bằng cáchđưa vào hàm phụ để chuyển hệ phương trình vi phân tương hỗ với các hệ

số biến thiên của chuyển vị và độ võng về một phương trình duy nhất,Huang và cộng sự [46] nghiên cứu dao động tự do của dầm Timoshenko

có tiết diện và cơ tính biến đổi theo trục dầm Sử dụng phương pháp cầuphương vi phân tổng quát, Asadi và Aghdam [13] nghiên cứu bài toán dao

7 Modified differential quadrature method

động phi tuyến và sau mất ổn định của dầm FGM nhiều lớp nằm trênnền đàn hồi phi tuyến, có tiết diện thay đổi theo bề rộng Niknam và cộng

sự [84] sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp cầu phương vi phân

để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến của dầm thon FGM chịu tải trọngcơ-nhiệt

Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Chakraborty và cộng sự [26] pháttriển phần tử dầm cho phân tích nhiệt đàn hồi của dầm FGM với tínhchất vật liệu biến đổi theo chiều dày dầm theo quy luật hàm số mũ Trongnghiên cứu này, nghiệm chính xác nhận được từ lời giải của phương trìnhphần tử dầm FGM được sử dụng làm hàm nội suy nhằm cải tiến sự hội

tụ của công thức phần tử hữu hạn Trong [25], sự lan truyền sóng trongdầm FGM duới tác động của xung lực có tần số cao được nghiên cứu bằngphương pháp phần tử hữu hạn phổ 8 Sử dụng phương pháp phần tử hữuhạn, Bhangale và Ganesan [20] nghiên cứu dao động tự do và mất ổn địnhcủa dầm sandwich ngàm hai đầu với lớp trên là vật liệu FGM và lõi là vậtliệu thuần nhất đàn nhớt, có xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ Khảo sátchi tiết ảnh hưởng của nhiệt độ, các tác giả chỉ ra rằng cả lực tới hạn vàtần số dao động riêng của dầm giảm khi nhiệt độ tăng Agarwal và cộng

sự [10] xây dựng phần tử dầm dựa trên các hàm dạng để nghiên cứu ảnhhưởng của yếu tố phi tuyến hình học tới ứng xử của dầm composite vàdầm FGM Phần tử đề nghị có tốc độ hội tụ nhanh Trên cơ sở lý thuyếtdầm bậc ba, Kadoli và cộng sự [50] xây dựng công thức phần tử hữu hạn

để phân tích ứng xử tĩnh của dầm FGM Kết quả số chỉ ra rằng độ võng vàứng suất của dầm FGM nhận được cho các trường hợp tải trọng tác dụngtrên bề mặt gốm và bề mặt kim loại là khác nhau Kapuria và cộng sự [53]trình bày mô hình phần tử hữu hạn cho phân tích động lực học của dầmFGM nhiều lớp nhờ việc sử dụng lý thuyết chữ chi bậc ba (zigzac theory).Alshorbagy và cộng sự [11] xác định các tần số và mode dao động của dầmEuler-Bernoulli có tính chất vật liệu thay đổi theo chiều cao hoặc chiều dọcdầm bằng phần tử hữu hạn hai nút giản đơn Sử dụng các hàm dạng chophần tử dầm Timoshenko có mặt cắt ngang và vật liệu thuần nhất đưa rabởi Kosmatka trong [65], Shahba và cộng sự [91] xây dựng công thức phần

8 Spectral finite element method

tử hữu hữu hạn để nghiên cứu dầm thon FGM có cơ tính biến đổi dọc trục.Ảnh hưởng của điều kiện biên mềm tới các đặc trưng dao động của dầmđược khảo sát chi tiết Cũng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Shahba

và cộng sự [90] nghiên cứu dao động tự do của dầm Euler-Bernoulli thon

có cơ tính biến đổi theo chiều dọc Cũng bài toán dao động tự do của dầmFGM có tiết diện và cơ tính thay đổi theo chiều dọc nhưng được Hein vàFeklistova [42] nghiên cứu bằng phương pháp wavelet Haar Mohanty vàcộng sự [77] xây dựng phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt đểđánh giá ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler tới sự mất ổn định của dầmsandwich FGM Cũng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Mohanty vàcộng sự [78] nghiên cứu mất ổn định và dao động tự do của dầm sandwich

có lõi là FGM Hemmatnezhada và cộng sự [43] nghiên cứu dao động tự

do của dầm FGM có chuyển vị lớn bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Dầm FGM có cơ tính thay đổi theo chiều dày do sự phân bố không đốixứng của các tính chất đàn hồi đối với mặt giữa nên mặt trung hòa củadầm không trùng với mặt giữa Ảnh hưởng của vị trí của mặt trung hòađược một số tác giả xem xét trong phân tích dầm FGM có cơ tính biến đổingang trong thời gian gần đây Levyakov [67] nhấn mạnh rằng ảnh hưởngcủa vị trí mặt trung hòa cần được xét tới để có được đánh giá chính xáchơn ứng xử của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều dày Dựa trênkhái niệm trục chính tương đương, Li và cộng sự [70] nghiên cứu sự phân

bố ứng suất của dầm FGM với mặt cắt ngang hình chữ nhật Kang và

Li [51, 52] xác định vị trí của mặt trung hòa để thiết lập biểu thức chochuyển vị và góc quay của dầm công-xôn FGM có chuyển vị lớn Trên cơ

sở mặt trung hòa, Taeprasartsit [100] xây dựng biểu thức cho hàm chuyểndịch và lực mất ổn định của dầm Euler-Bernoulli FGM có tính tới yếu tốkhông hoàn hảo Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba và xét tới sựdịch chuyển của mặt trung hòa, Zhang [113] xây dựng các phương trình viphân cân bằng để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến của dầm FGM trongmôi trường nhiệt độ cao Gan và Nguyễn Đình Kiên [37] phát triển phần

tử dầm trên cơ sở phương pháp Lagrange toàn phần để phân tích chuyển

vị lớn của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi hai tham số Công thức phần

tử dựa trên các hàm nội suy tuyến tính, xét tới ảnh hưởng vị trí mặt trung

hòa có dạng toán học giản đơn Trong [33], Eltaher và cộng sự xây dựngcông thức phần tử hữu hạn trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli cótính tới sự thay đổi vị trí trục trung hòa để nghiên cứu dao động tự docủa dầm macro/nano FGM Cũng trên cơ sở trục trung hòa, Eltaher vàcộng sự [34] xây dựng phần tử dầm ba nút để tính tần số dao động riêngcủa dầm nano-Timoshenko làm từ FGM Kết quả số trong [33, 34] chỉ rarằng tần số dao động riêng của dầm FGM cao hơn khi bỏ ảnh hưởng vị trícủa trục trung hòa Cần nhấn mạnh rằng khi sử dụng mặt trung hòa làmmặt tham chiếu các hệ số liên quan tới độ cứng tương hỗ của biến dạngdọc trục và biến dạng uốn không còn, phương trình vi phân cân bằng haychuyển động của bài toán, vì thế có dạng đơn giản hơn, tương tự như dầmlàm từ vật liệu thuần nhất Thêm vào đó, như nhấn mạnh trong [67], cácđặc trưng cơ học của dầm FGM được đánh giá chính xác hơn khi xét tớiảnh hưởng của vị trí trục trung hòa.

1.3 Kết cấu FGM chịu tải trọng di động

Kết cấu dưới tác dụng tải trọng di động là bài toán động lực học đặc biệttrong lĩnh vực cơ học kết cấu, trong đó yếu tố động sinh ra từ sự thayđổi vị trí của tải trọng theo thời gian Phân tích kết cấu làm từ các vậtliệu truyền thống, xuất phát từ nhu cầu trong lĩnh vực giao thông vận tải,

có lịch sử lâu đời, được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Sáchchuyên khảo của Frýba [36] là một trong những tài liệu tham khảo quantrọng nhất trong lĩnh vực bài toán tải trọng di động, trong đó nghiệm giảitích cho một loạt bài toán kết cấu dưới tác dụng của tải trọng di độngđược đưa ra trên cơ sở các biến đổi Fourier và biến đổi Laplace Với sự rađời của FGM và các nhu cầu thực tế, nghiên cứu đáp ứng động lực họccủa kết cấu FGM chịu tải trọng di động được một số nhà khoa học trênthế giới quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây Dưới đây tóm lượccác nghiên cứu trong lĩnh vực này

Sử dụng phương pháp nghiên cứu phát triển cho bài toán dầm làm từvật liệu thuần nhất [62, 63], S¸im¸sek và Kocat¨urk [96] khảo sát phản ứngđộng lực học của dầm Bernoulli có cơ tính biến đổi theo quy luật số mũ

và số e dưới tác dụng của lực điều hòa tập trung di động Phương trình

vi phân chuyển động của dầm được đưa về dạng ma trận nhờ việc xấp xỉchuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang bằng các đa thức Sử dụng phươngpháp tích phân trực tiếp Newmark, các tác giả tính toán các đặc trưngđộng lực học và chỉ ra rằng đáp ứng động lực học của dầm chịu ảnh hưởngmạnh bởi sự phân bố vật liệu Trên cơ sở các lý thuyết dầm khác nhau, kể

cả lý thuyết biến dạng trượt bậc ba và phương pháp sử dụng trong [96],

S¸im¸sek mở rộng nghiên cứu của mình sang bài toán dầm FGM chịu khốilượng tập trung di động [97] Ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến hình họctới ứng xử động lực học của dầm FGM chịu lực di động điều hòa được

S¸im¸sek đề cập lần đầu tiên trong [98] Trong [96]- [98], các tính chất cơ-lýcủa vật liệu dầm được giả định biến thiên theo chiều dày dầm Trên cơ sở

lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, S¸im¸sek và cộng sự [99] xác định tần số daođộng riêng và các đặc trưng động lực học của dầm FGM có cơ tính biếnđổi dọc trục chịu tác dụng của lực điều hòa di động

Sử dụng phương pháp giải tích, Yang [111] nghiên cứu dao động củadầm có vết nứt với cơ tính biến đổi theo số e chịu kích động bởi lực diđộng Trong [54], Khalili và cộng sự trình bày phương pháp hỗn hợp giữaphương pháp Ritz và phương pháp cầu phương vi phân để nghiên cứu daođộng của dầm FGM chịu kích động bởi khối lượng di động Phương pháp

đề nghị tỏ ra khá hữu hiệu, chẳng hạn so với phương pháp Newmark hoặcphương pháp Wilson Yan và cộng sự [110] mô phỏng dầm có vết nứt bằnghai dầm phụ nối với nhau bằng lò xo quay để nghiên cứu ứng xử động lựchọc của dầm FGM có vết nứt mở chịu lực di động tập trung Malekzadeh

và Monajjemzadeh [75] nghiên cứu đáp ứng động lực học của tấm FGMnằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di động bằng phươngpháp phần tử hữu hạn Ảnh hưởng của sự phân bố không đồng nhất nhiệt

độ theo chiều dày dầm được xét tới Cũng bằng phương pháp phần tử hữuhạn, Malekzadeh và Shojaee [76] nghiên cứu ứng xử của tấm FGM dướitác động của nguồn nhiệt di động Rajabi và cộng sự [88] dùng phươngpháp Petrov–Galerkin để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bàitoán dầm FGM chịu hệ khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình viphân bậc hai và giải hệ bằng phương pháp số Runge–Kutta Sự phụ thuộc

của độ võng động, độ võng cực đại ở giữa dầm vào các tham số vật liệu vàtải trọng được khảo sát chi tiết Gan và Nguyễn Đình Kiên [38] xây dựngphần tử dầm Timoshenko có tính tới ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa

và ứng dụng trong phân tích động lực học của dầm FGM liên tục nhiềunhịp Ảnh hưởng của tăng tốc và giảm tốc tới độ võng động và phân bốứng suất theo chiều dày được khảo sát chi tiết

1.4 Tình hình nghiên cứu trong nước

Ứng xử động lực học của dầm thuần nhất chịu tải trọng di động đã đượcmột số nhà khoa học trong nước quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, nhómtác giả trường Đại học Bách khoa do GS Nguyễn Văn Khang đứng đầu

đã nghiên cứu bài toán dầm truyền thống chịu tác dụng tải trọng di độngbằng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn [2, 3, 7, 8].Ngoài ra còn một số tác giả khác cũng quan tâm nghiên cứu đáp ứng độnglực học cho dầm truyền thống chịu tác dụng lực di động [6, 55, 56]

Phân tích kết cấu FGM được nhiều tác giả trong nước quan tâm nghiêncứu, bằng cả phương pháp giải tích và phương pháp số Một số kết quảđiển hình được thảo luận trong mục này Nhóm các tác giả thuộc Đại họcKhoa học Tự nhiên và Đại Học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội sửdụng phương pháp giải tích nghiên cứu mất ổn định của vỏ FGM (Đào HuyBích và cộng sự [21, 22], Đào Văn Dũng và Lê Khả Hòa [31, 32], NguyễnĐình Đức và cộng sự [29, 30]) Liên quan tới dầm FGM, Thái Hữu Tài và

Võ Phương Thức [101] nghiên cứu bài toán uốn và dao động tự do củadầm FGM bằng các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao khác nhau NguyễnTrung Kiên và cộng sự [81] trình bày lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

để nghiên cứu bài toán tĩnh và dao động tự do của dầm FGM có cơ tínhbiến đổi theo hàm số mũ

Phương pháp phần tử hữu hạn cũng được nhiều tác giả trong nước sửdụng trong phân tích ứng xử dầm FGM Trên cơ sở lý thuyết biến dạngtrượt bậc ba, Võ Phương Thức và cộng sự [102] xây dựng phương trìnhchuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu thuần nhất, sau

đó dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tần số dao động riêng và

các mode dao động Trong [103], trên cơ sở lý thuyết dầm có tính tới ảnhhưởng của cả biến dạng trượt và sự dãn theo chiều dày dầm, Võ PhươngThức và đồng nghiệp phát triển mô hình phần tử hữu hạn cho phân tíchdao động tự do của dầm sandwich Nguyễn Xuân Hùng và cộng sự [82]phân tích tấm FGM bằng phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học.hình học của khung, dầm FGMTrên cơ sở phương pháp hệ tọa độ đồnghành, Nguyễn Đình Kiên [57, 58], Nguyễn Đình Kiên và Gan [59], NguyễnĐình Kiên và cộng sự [60] xây dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiêncứu dầm thon FGM có chuyển vị lớn, dưới tác động của lực tập trung.Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa được Nguyễn Đình Kiên và cộng sựxem xét trong [60] khi xây dựng phần tử hữu hạn dùng trong phân tíchbài toán phi tuyến Gần đây Phạm Đình Trung [5] phân tích dao động củadầm FGM chịu kích động của của khối lượng di động hoặc tải trọng diđộng điều hòa bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

1.5 Mục tiêu của luận án

Nghiên cứu kết cấu dầm FGM dưới tác dụng của lực di động, như ta thấy

từ các Mục 1.2-1.4, còn ít được quan tâm Đặc biệt, theo hiểu biết của tácgiả, tới thời điểm hiện tại bài toán động lực học của dầm FGM có mặt cắtngang thay đổi chịu tác dụng của lực di động chưa được quan tâm nghiêncứu và nó sẽ là chủ đề nghiên cứu của luận án này Khi tiết diện của dầmthay đổi, các hệ số của phương trình vi phân mô tả chuyển động của dầmkhông phải là hằng số, vì thế các phương pháp giải tích gặp khó khăn vàphương pháp số thường được sử dụng Luận án này nhằm phát triển côngthức phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm FGM

có mặt cắt ngang thay đổi chịu các lực di động Cụ thể, luận án sẽ tậptrung vào các mục tiêu dưới đây:

Mục tiêu thứ nhất

Xây dựng các biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng củadầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi Do đặc trưng của bài toán dầm FGMchịu tải trọng di động, tiết diện của dầm được giả thiết thay đổi theo chiều

ngang Vật liệu thay đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm được xét tớitrong việc xây dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm.Mục tiêu thứ hai

Xây dựng vec-tơ tải trọng nút cho trường hợp dầm chịu một hoặc nhiềulực di động Tải trọng di dộng điều hòa, ảnh hưởng của sự tăng tốc và giảmtốc của các tải trọng di động cũng được xem xét trong Luận án

Mục tiêu thứ ba

Từ các biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút,tiến hành phát triển chương trình tính toán số để áp dụng phân tích cácbài toán cụ thể Chương trình tính toán được xây dựng trên cơ sở phươngpháp phần tử hữu hạn và phương pháp tích phân trực tiếp Newmark [39].Mục tiêu thứ tư

Tính toán các đặc trưng động lực học như tần số dao động riêng, độ võngtại giữa dầm, sự phân bố ứng suất theo chiều dày dầm khi dầm chịutác dụng của một số loại lực di động khác nhau Đánh giá ảnh hưởng củatham số vật liệu, tham số tiết diện và tham số của lực di động tới các đặctrưng động lực học của dầm Luận án cũng khảo sát ảnh hưởng của vị trímặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm

Từ phần tổng quan và các mục tiêu nêu trên, Luận án có một

số điểm mới dưới đây:

• Luận án nghiên cứu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dọc theotrục dầm

• Các công thức phần tử hữu hạn, tức là ma trận độ cứng, ma trận khốilượng và vec-tơ lực nút xây dựng trong Luận án dựa trên các hàmdạng9 của phần tử dầm FGM có mặt cắt ngang không đổi Như vậy,phần tử dầm Timoshenko trong Luận án được xây dựng trên cơ sở sửdụng các đa thức bậc ba và bậc hai để nội suy cho chuyển vị ngang

9 shape function

và góc xoay, khác với trường nội suy tuyến tính dùng cho phần tửTimoshenko thông thường.

• Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc, mặc dù đã được khảo sát cho bàitoán dầm thuần nhất, nhưng lần đầu tiên được đề cập trong Luận áncho dầm FGM Thêm vào đó, ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tớiđáp ứng động lực học của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiềucao cũng được xem xét trong Luận án

MÔ HÌNH DẦM FGM

Chương 2 trình bày mô hình dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao

và có cơ tính biến đổi dọc Mô hình dầm được trình bày chi tiết Trên cơ sở

lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Từ các biểuthức năng lượng và nguyên lý biến phân Hamilton, phương trình vi phânchuyển động cho dầm FGM được thiết lập có tính tới ảnh hưởng sự thayđổi của mặt cắt ngang Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa cũng được xéttrong việc xây dựng các phương trình vi phân chuyển động của dầm

2.1 Tính chất vật liệu FGM

Các tính chất hiệu dụng của FGM hai pha trong miền đàn hồi có thểđược đánh giá bởi các mô hình của cơ học vi mô Hai mô hình được sửdụng nhiều nhất là mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka [93] Mô hìnhMori-Tanaka phức tạp hơn về mặt toán học và cho kết quả tốt hơn trongđánh giá phá hủy của kết cấu FGM Mô hình Voigt giản đơn nhưng cácđặc trưng động lực học không khác nhiều so với mô hình Mori-Tanaka [94].Luận án này sử dụng mô hình Voigt để đánh giá các tính chất hiệu dụngcủa dầm FGM

2.1.1 Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao

Vật liệu dầm được giả thiết làm từ hai vật liệu FGM thành phần kim loại

và gốm tỷ lệ thể tích tuân theo quy luật hàm số mũ (1.1) Tính chất hiệudụng P (chẳng hạn mô đun Young, mô đun trượt, mật độ khối ) được

20

đánh giá theo mô hình của Voigt [93] có dạng

P(z) = PcVc + PmVm = (Pc − Pm) z

h +

12

n

+ Pm (2.1)

Trong đó chỉ số mũ n là tham số vật liệu đặc trưng cho sự phân bố của cácvật liệu thành phần theo chiều dày dầm; z là tham số tọa độ theo chiềucao của dầm; Pc và Pm tương ứng là tính chất của vật liệu gốm và kim loại(mô đun Young, mô đun trượt và mật độ khối ) Từ phương trình (2.1)

ta thấy rằng mặt đáy dầm chỉ thuần túy là vật liệu kim loại còn mặt trêncủa dầm hoàn toàn là gốm

2.1.2 Dầm có cơ tính biến đổi dọc

Tương tự như dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao, phương trình (1.1),

tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọctạo từ pha gốm và pha kim loại có dạng

Vc =



1 − xL

n

Phương trình (2.2) và (2.3) cho thấy đầu trái dầm (tương ứng với x = 0)chỉ thuần túy là gốm, còn đầu phải dầm (tương ứng với x=L) chỉ thuầntúy là kim loại

Z

A

0 2 4 6 8 10 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

c /E

m = 5 E

Trong biểu thức (2.6), Ec và Em tương ứng là mô đun Young của vật liệugốm và kim loại

Phương trình (2.6) cho thấy khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặtgiữa của dầm phụ thuộc vào tham số vật liệu n và tỷ số giữa mô-đun đànhồi của pha gốm và pha kim loại, Ec/Em Ứng với mỗi giá trị của tỷ số

Ec/Em, khoảng cách h0 từ mặt trung hòa tới mặt giữa của dầm tăng dần

do ta tăng giá trị của tham số vật liệu n, khoảng cách này đạt giá trị cựctrị trước khi giảm dần Giá trị của chỉ số mũ n tại đó h0 đạt cực trị phụthuộc vào tỷ số Ec/Em và giá trị này lớn hơn khi tỷ số Ec/Em cao hơn

2.2 Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi

chịu lực di động

Hình 2.2: Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di độngHình 2.2 minh họa dầm FGM trong hệ tọa độ đề các 0xyz, trong đótrục 0x được chọn nằm trong mặt giữa của dầm, còn các trục 0y, 0z vuônggóc với nhau và vuông góc trục 0x tại 0 Dầm có chiều dài L, chiều cao

h = const, chiều rộng thay đổi theo trục dầm b = b(x), chịu tác dụng của

Nf lực P1, P2, , PNf di động từ đầu trái sang đầu phải của dầm TrênHình 2.2, s1, s2, , sNf tương ứng là khoảng cách từ các lực P1, P2, , PNftới nút trái dầm; h0 là khoảng cách từ mặt trung hòa đến mặt giữa củadầm; d là khoảng cách giữa hai lực liên tiếp nhau (được giả thiết là nhưnhau trong luận án này) Diện tích A(x) và mômen quán tính bậc hai I(x)của mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm dưới

L − 12

, I(x) = I0



1 − α

x

L − 12

2#, I(x) = I0

"

1 − α x

L − 12

2#

(2.7)trong đó A0 và I0 tương ứng là diện tích và mô men quán tính của mặt cắtngang ở giữa dầm, x là tham số tọa độ theo chiều dài dầm; α là tham sốxác định sự thay đổi diện tích mặt cắt ngang và trong luận án này nó đượcgọi là tham số tiết diện Về mặt toán học, α có thể thay đổi trong khoảng[0, 2), tuy nhiên trên thực tế α không thể gần đến 2 Hình 2.2 minh họahai dạng dầm có mặt cắt ngang thay đổi nêu trên, trong đó mặt cắt ngangcủa dạng A thay đổi theo hàm tuyến tính còn mặt cắt ngang của dạng Bthay đổi theo hàm bậc hai

2.3 Năng lượng dầm FGM

2.3.1 Năng lượng biến dạng đàn hồi

Vật liệu có cơ tính biến đổi theo chiều cao

Xét dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao với tính chất vật liệu hiệu dụngcho bởi phương trình (2.1) Trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko, chuyển

vị dọc trục và chuyển vị ngang của một điểm bất kỳ trên dầm được chobởi công thức sau

u1(x, z, t) = u(x, t) − (z − h0)θ(x, t);

u2(x, z, t) = 0;

u3(x, z, t) = w(x, t);

(2.8)

trong đó u1(x, z, t), u2(x, z, t), u3(x, z, t) là chuyển vị theo hướng các trục

x, y, z của một điểm nào đó bất kỳ trên dầm còn u(x, t), w(x, t) tươngứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương ngang tại một điểmnằm trên mặt trung hòa; θ là góc quay của mặt cắt ngang của dầm; h0 làkhoảng cách từ mặt trung hòa đến mặt giữa của dầm và được xác định bởi

phương trình (2.4) Phương trình (2.8) được viết cho dầm có tính đến ảnhhưởng vị trí mặt trung hòa của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao.Biến dạng nhận được từ trường chuyển vị (2.8) có dạng

x = u1,x = u,x− (z − h0)θ,x

γxz = u1,z + u3,x = w,x− θ (2.9)Trong biểu thức (2.9), ký hiệu ( ),x được dùng để chỉ đạo hàm riêng theobiến x, ( ),z tương ứng với đạo hàm riêng theo biến z; x, γxz lần lượt làcác biến dạng dọc trục và biến dạng trượt

Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, ứng suất dọc trục σx và ứng suất trượt

τxz tương ứng với biến dạng trượt (2.9) có dạng

σx = E(z)x = E(z) [u,x− (z − h0)θ,x]

τxz = ψG(z)γxz = ψG(z) (w,x− θ) (2.10)Trong đó, E(z) và G(z) tương ứng là các mô-đun đàn hồi và mô-đun trượthiệu dụng của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao; ψ là hệ số điềuchỉnh, giá trị của nó phụ thuộc vào dạng hình học tiết diện ngang và nhiềuyếu tố khác Luận án này nghiên cứu dầm có mặt cắt ngang là hình chữnhật, vì thế giá trị của ψ được chọn bằng 5/6 [97]

Từ các phương trình (2.9) và (2.10), năng lượng đàn hồi của dầm oshenko làm từ vật liệu FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao được chobởi

... họahai dạng dầm có mặt cắt ngang thay đổi nêu trên, mặt cắt ngangcủa dạng A thay đổi theo hàm tuyến tính cịn mặt cắt ngang dạng Bthay đổi theo hàm bậc hai

2.3 Năng lượng dầm FGM< /h3>... di? ??n tích mơ men quán tính mặt cắtngang dầm, x tham số tọa độ theo chiều dài dầm; α tham sốxác định thay đổi di? ??n tích mặt cắt ngang luận án đượcgọi tham số tiết di? ??n Về mặt tốn học, α thay đổi. .. mơ-đun trượthiệu dụng dầm có tính biến đổi theo chiều cao; ψ hệ số điềuchỉnh, giá trị phụ thuộc vào dạng hình học tiết di? ??n ngang nhiềuyếu tố khác Luận án nghiên cứu dầm có mặt cắt ngang hình chữnhật,