Nhận xét:các hàm dạng cho w(x)và θ(x) cho bởi các phương trình (3.16) và (3.18) dạng giống hệt hàm dạng do Kosmatka xây dựng trong [65] ngoại trừ định nghĩa tham số biến dạng trượtφ. Trong trường hợp vật liệu dầm là FGM, nếu lấy hệ sốφ = 12EI/l2ψGA thì các hàm dạng này quay về chính các hàm Kosmatka. Hàm dạng cho bởi các phương trình (3.13), (3.16) và (3.18) được sử dụng trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang không đổi. Hàm dạng này luận án dùng trong tính toán đáp ứng động lực học dầm liên tục với mặt cắt ngang không thay đổi chịu tác dụng lực di động.
3.1.2. Đa thức dạng Kosmatka
Với dầm có mặt cắt ngang thay đổi hoặc dầm có cơ tính thay đổi dọc, các hệ số độ cứng A11, A12, A22 và A33 trong phương trình cân bằng (3.4) là hàm của x, vì thế việc tìm nghiệm của phương trình này là không khả thi. Nguyễn Đình Kiên [57], Nguyễn Đình Kiên và Gan [59] chỉ ra rằng các đa thức dạng Kotsmatka, phương trình (3.16) và (3.18), vẫn có thể sử dụng để nội suy chuyển vị ngang w(x) và góc quay θ(x) cho phần tử dầm Timoshenko FGM có mặt cắt ngang thay đổi và cơ tính biến đổi theo chiều cao hay dọc, với tham số biến dạng trượt φ được định nghĩa qua các độ cứng của dầm FGM như sau
φ = 12
l2
A22
trong đóA22 và A33 là độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao hoặc biến đổi dọc. Vì các độ cứng này là hàm của x nên trong tính toán, để thuận tiện, các độ cứng này được tính ở nút trái hoặc nút phải của phần tử. Phần tử dựa trên các đa thức dạng Kotsmatka này để nội suy cho chuyển vị ngang và góc quay cùng với các hàm tuyến tính để nội suy cho u(x) có tốc độ hội hội tụ nhanh hơn nhiều phần tử dựa trên các hàm dạng [57, 59].
Trong trường hợp ảnh hưởng của biến dạng trượt không đáng kể (độ cứng chống trượt A33 lớn), tham số biến dạng trượt có thể bỏ qua, φ = 0. Các đa thức dạng Kotsmatka (3.16) trở về đa thức Hermite quen thuộc
Nw1 = Nw4 Nw2 = 2x 3 l3 −3x 2 l2 + 1; Nw3 = x 3 l2 −2x 2 l +x; Nw4 = −2x 3 l3 + 3x 2 l2 ; Nw6 = x 3 l2 −2x 2 l ;