Chương 4 đã tiến hành phân tích các bài toán khác nhau của dầm FGM chịu lực di động. Việc phân tích được thực hiện trên cơ sở các phần tử xây dựng và thuật toán số trình bày ở Chương 3. Các tham số động lực học của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao và cơ tính biến đổi dọc như tần số dao động riêng, độ võng động lực học, sự phân bố ứng suất theo chiều cao dầm đã được xác định bằng các phần tử dầm khác nhau. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số lực di động, tham số tiết diện ngang tới các đặc trưng động lực học của dầm đã được khảo sát chi tiết và thảo luận trong chương này.
Các kết quả số nhận được trong Chương 4 cho phép ta hiểu rõ hơn về ứng xử động lực học của dầm FGM chịu các lực di động. Về mặt thực tế,
kết quả số trong chương giúp cho việc lực chọn vật liệu cũng như thiết kế các kết cấu làm từ FGM chịu lực di động.
Các kết quả cho dầm Timoshenko FGM cơ tính biến đổi theo chiều cao có mặt cắt ngang thay đổi chịu một lực di động và nhiều lực di động được thể hiện bài số 4, 5, 6. Kết quả cho dầm Bernoulli FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao, mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động được thể hiện trong bài báo số 2, dầm Timoshenko, Bernoulli có cơ tính biến đổi theo chiều cao, mặt cắt ngang không thay đổi chịu một tải trọng di động thể hiện trong bài số 7, 8. Dầm Timoshenko có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động được thể hiện trong bài số 1. Kết quả cho dầm liên tục được thể hiện trong bài số 3 (danh mục công trình khoa học của tác giả).
Luận án đã tiến hành xây dựng công thức phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử động lực học của dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi, chịu các lực di động. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao và dầm có cơ tính biến đổi dọc với mặt cắt ngang thay đổi theo hai dạng khác nhau được đề cập trong Luận án. Công thức phần tử hữu hạn được thiết lập trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết dầm Timoshenko. Từ các biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi, động năng và thế năng của lực ngoài, Luận án đã xây dựng các biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng nhất quán và vec-tơ lực nút của phần tử. Với sự hỗ trợ của phần mềm symbolic Maple, Luận án đã thiết lập được các hàm dạng cho dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Phần tử dầm có mặt cắt ngang thay đổi trong Luận án được xây dựng từ các hàm dạng này. Các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng phần tử, cũng với sự trợ giúp của phần mềm
Maple, đã được tính toán chính xác. Sự thay đổi thực của mặt cắt ngang
được sử dụng trong tính toán công thức phần tử nhằm tăng độ chính xác và khả năng hội tụ của phần tử. Ảnh hưởng của vị trí của mặt trung hòa cũng được xem xét trong việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao.
Trên cơ sở các công thức phần tử hữu hạn xây dựng được và thuật toán tích phân trực tiếp Newmark, Luận án đã phát triển chương trình số và ứng dụng để phân tích các bài toán cụ thể. Nghiên cứu số được thực hiện chi tiết trong Luận án nhằm đánh giả ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, các tham số của tải trọng di động cũng như sự thay đổi của tham số tiết diện ngang tới đáp ứng động lực học của dầm. Trên cơ sở phân tích số, Luận án cũng tiến hành đánh giá ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm. Một số nhận xét rút ra từ luận án có thể
tóm lược như sau:
1. Xây dựng được mô hình phần tử hữu hạn, bao gồm các ma trận độ cứng, khối lượng và véctơ tải trọng nút quy đổi của dầm FGM có cơ tính thay đổi theo chiều cao và mặt cắt ngang thay đổi trên cơ sở các hàm dạng Kotsmatka.
2. Xây dựng chương trình tính toán ứng xử động học của dầm FGM chịu các tải trọng di động dựa trên mô hình phần tử hữu hạn lập ở chương 2 và phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. So sánh kết quả tính với các kết quả đã công bố cho thấy chương trình lập ra có độ chính xác và độ tin cậy cao.
3. Vị trí của mặt trung hòa ảnh hưởng không đáng kể tới đáp ứng động lực học và có thể bỏ qua trong tính toán độ võng và ứng suất của dầm FGM chịu lực di động. Tuy nhiên, như Eltaher và các cộng sự chỉ ra trong [33], tần số dao động riêng của dầm FGM cao hơn nếu bỏ qua ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa, vì thế vị trí mặt trung hòa nên được xét tới khi nghiên cứu dao động của dầm FGM trong đó tần số dao động riêng là một trong các đặc trưng động lực học quan trọng được quan tâm.
4. Ứng xử động lực học của dầm FGM chịu lực di động chịu ảnh hưởng mạnh bởi tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần của FGM. Với quy luật phân bố theo hàm số mũ xem xét trong luận án, giá trị lớn nhất của tham số độ võng tăng lên khi chỉ số mũ tăng.
5. Khoảng cách giữa các lực di động đóng vai trò quan trọng tới ứng xử động lực học của dầm FGM chịu lực di động. Giá trị lớn nhất của tham số độ võng dầm FGM tăng nhanh khi khoảng cách giữa các lực di động giảm. Nhận xét này đúng cho cả dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao và dầm có cơ tính biến đổi dọc.
6. Chuyển động tăng tốc và giảm tốc của lực di động không chỉ làm thay đổi giá trị của độ võng của dầm FGM chịu lực di động mà còn làm thay đổi dáng điệu của đường cong biểu thị mối liên hệ giữa độ võng
và thời gian. Thời điểm tại đó độ võng đạt giá trị cực đại cũng thay đổi do sự tăng và giảm tốc của lực di động. Đáp ứng động lực học của dầm chịu lực di động tăng tốc khác xa với đáp ứng động lực học của dầm chịu lực di động giảm tốc và lực chuyển động đều. Với các giá trị của vận tốc khảo sát trong luận án, giá trị lớn nhất của độ võng động lực học của dầm chịu lực di động tăng tốc nhỏ hơn nhiều so với trường hợp lực di động giảm tốc và lực di động chuyển động đều.
7. Số nhịp của dầm liên tục ảnh hưởng tới độ võng lớn nhất tại giữa nhịp dầm cũng như mối quan hệ giữa độ võng và vị trí của lực di động. Giống như dầm một nhịp, sự tăng và giảm tốc có ảnh hưởng mạnh tới đáp ứng động lực học của dầm liên tục FGM chịu lực di động.
Các vấn đề phát triển sau luận án
Phân tích động lực học của dầm FGM chịu các lực di động là đề tài mới và những vấn đề trình bày trong Luận án mới chỉ là các kết quả ban đầu của tác giả trong lĩnh vực này. Nhiều vấn đề liên quan tới đề tài cần được nghiên cứu để có thể hiểu rõ hơn ứng xử của kết cấu FGM chịu tải trọng di động. Dưới đây là một số vấn đề có thể mở rộng và phát triển trực tiếp từ Luận án:
1. Ứng xử động lực học của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao. Do
được tạo từ các pha gốm và kim loại, dầm FGM không chỉ có độ bền cơ học cao mà còn có khả năng chịu nhiệt tốt. Ưu điểm này cho phép kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có khả năng ứng dụng tốt trong các môi trường có nhiệt độ cao. Phân tích động lực học dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao chịu tải trọng di động, vì thế là bài toán có ý nghĩa thực tế, cần được quan tâm nghiên cứu. Tác giả và các đồng nghiệp đã bắt đầu quan tâm nghiên cứu bài toán này và một số kết quả ban đầu đã được trình bày ở Hội nghị Cơ học Vật rắn năm 2015
2. Mô phỏng ứng xử động lực học của dầm FGM chịu tải trọng di động
thuyết dầm Timoshenko trong luận án có khả năng mô phỏng biến dạng trượt tốt nhưng việc lựa chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh ψ cho dầm FGM vẫn còn là vấn đề tranh luận. Lý thuyết dầm bậc cao cho phép mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt nhưng không cần đưa vào hệ số điều chỉnh là một trong các lựa chọn thay thế. Mô phỏng ứng xử động lực học của dầm FGM chịu lực di động bằng lý thuyết dầm bậc cao có thể thực hiện bằng các công cụ và phương pháp trình bày trong luận án.
3. Ứng xử động lực học của dầm FGM chịu các loại tải trọng di động khác nhau. Việc mô phỏng các loại tải trọng di động khác nhau tác động lên dầm liên quan chủ yếu tới tính toán vec-tơ tải trọng nút. Tuy nhiên, ảnh hưởng của các loại tải trọng tới đáp ứng động lực học của dầm có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn và cần được quan tâm nghiên cứu.
4. Ứng xử động lực học dầm sandwich FGM chịu tải trọng di động.Kết
cấu sandwich nói chung và dầm sandwich nói riêng là loại kết cấu có tỷ số giữa độ bền và trọng lượng cao, được ứng dụng trong nhiều ngành công nghiệp tiên tiến. Theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có liên quan tới đề tài này, vì thế nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm sandwich FGM, về mặt học thuật, sẽ có khả năng công bố cao.
Luận án phân tích đáp ứng động lực học cho dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động. Vật liệu FGM (Functionally Graded Materials) là vật liệu mới và được phát triển rất mạnh mẽ hiện nay. Dầm FGM có ứng dụng rộng rãi trong các ngành cơ khí hàng không, giao thông, đồ gia dụng. . . Các kết quả mới của luận án bao gồm:
1. Luận án nghiên cứu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dọc theo trục dầm.
2. Các công thức phần tử hữu hạn, tức là ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút xây dựng trong Luận án dựa trên các hàm dạng của phần tử dầm FGM có mặt cắt ngang không đổi. Như vậy, phần tử dầm Timoshenko trong Luận án được xây dựng trên cơ sở sử dụng các đa thức bậc ba và bậc hai để nội suy cho chuyển vị ngang và góc xoay, khác với trường nội suy tuyến tính dùng cho phần tử Timoshenko thông thường.
3. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc, mặc dù đã được khảo sát cho bài toán dầm thuần nhất, nhưng lần đầu tiên được đề cập trong Luận án cho dầm FGM. Thêm vào đó, ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao cũng được xem xét trong Luận án.
Kết quả của Luận án đã được công bố trên các Tạp chí Quốc tế, Tạp chí Quốc gia, Đề tài cấp trường đã bảo vệ, Tuyển tập Hội nghị Khoa học Quốc tế và Quốc gia, cụ thể:
1. Buntara S. Gan, Thanh-Huong Trinh, Thi-Ha Le, Dinh-Kien Nguyen (2015), "Dynamic response of non-uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple moving point loads", Structural Engineering and Mechanics, Vol. 53, No. 5, pp. 981-995.
2. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien, Vu Tuan Anh (2015),"Dynamic be- havior of nonuniform functionally graded Euler-Bernoulli beams under multiple moving forces", Vietnam Journal of Mechanics, Vol.37, No. 3, pp. 151-168.
3. Thi Ha LE, Buntara S. GAN, Thanh Huong TRINH, Dinh Kien NGUYEN (2014), "Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load", Mechanical Engineering Journal, Bul- letin of the JSME, Vol.1, No.3, pp. 1-13.
4. Lê Thị Hà, Nguyễn Đình Kiên (2014), ” Đáp ứng động lực học của dầm FGM có thiết diện thay đổi chịu nhiều lực di động”, Hội nghị Cơ
học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày
09 tháng 04 năm 2014, trang 157-162
5. Dinh-Kien Nguyen, Buntara S. Gan, Thi-Ha Le (2013), "Dynamic re- sponse of non-uniform functionally graded beams subjected to a vari- able speed moving load", Journal of Computational Science of Tech- nology, JSME, Vol.7, No.1, pp. 12-27.
6. Lê Thị Hà (2013), Đáp ứng động lực học của dầm FGM có thiết diện thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động, Đề tài cấp trường, Trường Đại học Giao thông Vận tải năm 2013.
7. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien (2012), "Dynamic response of a func- tionally graded Bernoulli beam to a moving load", Proceeding of the 2nd International Conference on Engineering Mechanics and Automa- tion (ICEMA-2), pp. 243-250.
8. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien (2012), "Dynamic analysis of function- ally graded Timoshenko beams subjected to a moving mass by the finite element method", Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, Hà Nội tháng 12 năm 2012, trang 336-345.
9. Lê Thị Hà (2012). "Đáp ứng động học của dầm với các gối đỡ đàn hồi chịu tác động của khối lượng di động", Tạp chí khoa học giao thông vận tải, số 37- tháng 03, trang 54-58.
10. Nguyen Dinh Kien and Le Thi Ha (2011), "Dynamic characteristics of elastically supported beam subjected to a compressive axial force and a moving load", Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 33, pp. 113-131.
[1] Bùi Quốc Bình (2009), "Vật liệu chức năng và tiềm năng ứng dụng ở Việt Nam", Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải, 18, tr. 58-63.
[2] Hoàng Hà (2002), Nghiên cứu dao động uốn phi tuyến của kết cấu nhịp cầu dây văng chịu tác dụng của hoạt tải khai thác, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, Đại học Giao thông Vận tải.
[3] Nguyễn Văn Khang, Hoàng Hà, Nguyễn Minh Phương (2004) "Tính toán dao động uốn của dầm liên tục cầu Phả Lại dưới tác dụng của nhiều xe ô tô chuyển động", Tuyển tập hội nghị cơ học toàn quốc, Tập 1, tr.154-163.
[4] Nguyễn Đình Kiên (2009), Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học kết cấu và vật rắn biến dạng, Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ, Việt Nam.
[5] Phạm Đình Trung (2014),"Phân tích động lực học của dầm phân lớp chức năng trên nền đàn hồi chịu khối lượng di động", Tạp chí Xây dựng-Bộ xây dựng, số 2, tr.105-109.
[6] Nguyễn Trọng Phước, Huỳnh Văn Mãi (2014), "Ảnh hưởng vận tốc phương tiện di chuyển đến ứng xử động lực học của dầm liên tục nhiều nhịp", Tạp chí xây dựng-Bộ xây dựng, Số 4, tr. 117-122.
[7] Nguyễn Minh Phương (2008), Tính toán dao động uốn của dầm liên tục và tấm trực hướng hình chữ nhật chịu tác dụng của nhiều vật thể di động, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật.
[8] Đỗ Xuân Thọ (1996), Tính toán dao động uốn của dầm liên tục chịu tác dụng của vật thể di động, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật.
[9] M. Abu-Hilal, M. Mohsen (2000), "Vibration of beams with general boundary conditions due to a moving harmonic load", Journal of Sound and Vibration, 229, pp. 377-388.
[10] S. Agarwal, A. Chakraborty, S. Gopalakrishnan (2006), "Large de- formation analysis for anisotropic and inhomogeneous beams using exact linear static solutions", Composite Structures, 72, pp. 91-104.
[11] A. E. Alshorbagy, M.A. Eltaher, F.F. Mahmoud (2011), "Free vibra- tion characteristics of a functionally graded beam by finite element method", Applied Mathematical Modelling, 35, pp. 412–425.
[12] N.A. Apetre, B.V. Sankar, D.R. Ambur (2006), "Low-velocity impact response of sandwich beams with functionally graded core", Interna- tional Journal of Solids and Structures, 43, pp. 2479–2496.
[13] H. Asadi, M.M. Aghdam (2014), "Large amplitude vibration and post-buckling analysis of variable cross-section composite beams on nonlinear elastic foundation", International Journal of Mechanical Sciences, 79, pp. 47–55.
[14] A.A. Atai, M.H. Naei, S. Rahrovan (2012), "Limit load analysis of shallow arches made of functionally bi-directional graded materials under mechanical loading", Journal of Mechanical Science and Tech- nology, 26, pp. 411-421.
[15] M. Aydogdu, V. Taskin (2007), "Free vibration analysis of function- ally graded beams with simply supported edges", Materials and De- sign, 28, pp. 1651-1656.
[16] A.F. Ávila (2007), "Failure mode investigation of sandwich beams with functionally graded core"Composite Structures, 81, pp. 323–330.