khái niệm số tự nhiên trong dạy học toán ở bậc tiểu học

Các em chỉ được lấy bút vẽ một lần và đảm bảo rằng lọ nào cũng có một cây bút vẽ và không có cây bút v ẽ nào bị dư." Thực nghiệm được thực hiện với trẻ em đã biết đếm, theo nghĩa đã bi

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên nhiệt tình giúp đỡ cho tôi trong việc dịch luận văn này sang tiếng Pháp

Tôi cũng xin chân thành cám ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường

- Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ và các đồng nghiệp thuộc

Bộ môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM

- Ban Giám hiệu và các giáo viên của trường tiểu học Lê Quý Đôn, TP Cần Thơ đã nhiệt tình giúp đỡ và sắp xếp cho tôi thực nghiệm tại Quý trường

Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 16 đã cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

Dương Hữu Tòng

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong bài giảng của mình tại trường xuân Đà Lạt tháng 04/2007, GS.Annie Bessot đã tình bày một tình huống "bút vẽ" trong thực nghiệm của B de Villegas, Trường Đại học Los Andes:

"Có các l ọ màu để cách xa các cây bút vẽ Trẻ em phải đến lấy bút vẽ và đặt vào các

l ọ màu Các em chỉ được lấy bút vẽ một lần và đảm bảo rằng lọ nào cũng có một cây bút vẽ

và không có cây bút v ẽ nào bị dư."

Thực nghiệm được thực hiện với trẻ em đã biết đếm, theo nghĩa đã biết giải quyết hai

dạng toán sau :

+ Dạng toán 1: Xác định số tự nhiên ứng với số phần tử của tập hợp cho trước

+ Dạng toán 2: Tạo ra tập hợp có số phần tử băng số tự nhiên n cho trước

Thực nghiệm chỉ ra rằng trẻ không giải quyết được tình huống "bút vẽ", dù các em biết

giải quyết hai dạng toán này

Theo G.Brousseau, ứng xử trên của trẻ cho phép chỉ ra sự khác biệt giữa phép đếm

như là một kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là kiến thức công cụ để giải

quy ết tình huống cơ bản

Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi cần giải đáp :

- Trong thể chế dạy học toán bậc tiểu học ở Việt Nam, khái niệm số tự nhiên được đưa vào như thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào? Hai dạng toán nêu ở trên và mối quan

hệ giữa chúng có vị trí, vai trò gì trong việc hình thành khái niệm số tự nhiên?

- Phép đếm như là một kiến thức văn hóa đời thường có vai trò gì trong việc dạy học khái niệm số tự nhiên? Phép đếm như là một kiến thức toán học có đặc trưng gì?

- Học sinh tiểu học Việt Nam, sau khi học về các số tự nhiên đầu tiên (ít nhất trong

phạm vi 100) ứng xử thế nào trước tình huống kiểu tình huống "bút vẽ" của B de Villegas?

- Giáo viên dạy học toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về khái niệm số tự nhiên và dạy học số tự nhiên? Họ quan niệm như thế nào về hai loại kiến

thức phép đếm: phép đếm - kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là một kiến thức toán học?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục tiểu nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

- Lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

- Lý thuyết tình huống, họp đồng didactic

Mục tiểu nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho các câu hỏi xuất phát nêu trên, mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết didactic như sau : 1.Trong quá trình hình thành và phát triển, số tự nhiên có những đặc trưng khoa học

luận cơ bản nào?

2.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có

những đặc trưng cơ bản nào ? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển

của nó trong lịch sử?

3.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên trong thể chế dạy học toán ở bậc tiểu

học có đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học?

4.Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào trên mối quan hệ cá nhân của GV và HS? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic liên quan đến khái niệm số tự nhiên đáng được chú ý?

3 Phương pháp nghiên cứu

Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên:

- Đầu tiên, chúng tôi phân tích, tổng họp các công trình có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên

- Tiếp theo nghiên cứu tri thức luận, phân tích chương trình và các giáo trình toán (được sử dụng đê dạy cho GV tiểu học) được thực hiện nhằm tìm hiểu khái niệm số tự nhiên được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ đại học và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng số tự nhiên

- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học số tự nhiên ở tiểu học Phân tích chương trình và SGK, sách GV Toán 1, tài liệu hướng dẫn giảng

dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng số tự nhiên

- Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng các thực nghiệm trên đối tượng GV và HS

5 Tổ chức của luận văn

❖ Mở đầu

❖ Nội dung

• Chương 1: Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên

• Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên

2.1.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ

T Ự NHIÊN

1.1 Mục tiểu của chương

Mục tiểu của chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử hay khoa

học luận về khái niệm số tự nhiên nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và tiến triển của nó Cụ thể, chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1.Khái niệm số tự nhiên hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào? 2.Khái niệm số tự nhiên xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu tình huống nào? Nhằm giải quyết những bài toán nào? Trong phạm vi nào? Đặc trưng cơ

bản của nó?

3.Những đôi tượng, khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần nảy sinh và phát triển khái niệm số tự nhiên ?

4.Có những cách tiếp cận nào đối với khái niệm số tự nhiên? ứng với từng cách tiếp

cận ấy, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa gì?

Tài liệu tham chiếu dùng để phân tích: Charles J Brainerd (1979), John Crossley (1987), Martino T.-Spagnolo F (1996), Nguyễn Cang (1999), Nguyễn Phú Lộc (2008)

1.2 Đặc trung khoa học luận của khái niệm số tự nhiên

Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài người Lịch sử nảy sinh và phát triển của khái niệm số có thể được chia làm 3 giai đoạn Giai đoạn 1 kéo dài từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại Đóng góp của giai đoạn này có từ nền văn minh cổ xưa: Ai

Cập, Babylon và Hy lạp Giai đoạn 2 từ thời trung cổ đến 3 phần tư-đầu của thế kỷ XIX Sự đóng góp chính trong giai đoạn này thuộc về các học giả Thiên Chúa giáo và Đạo Hồi Giai đoạn 3 được tính trong một phần tư sau của thế kỷ XIX Trong suốt giai đoạn này, các nhà toán học đưa ra những quan điểm khác nhau về số

1.2.1 Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại

❖Cách ti ếp cận số tự nhiên của người nguyên thủy

Số tự nhiên ra đời là do nhu cầu nhận biết về số lượng của sự vật Chẳng hạn, người ta

cần biết được số lượng của đàn thú để tổ chức cuộc đi săn, cần biết được số lượng của bên địch để tổ chức chiến đấu Tình huống xuất hiện của số tự nhiên là nhu cầu cần đếm các đồ

vật, đã có ngay từ các thời kì tiền sử Ở bậc thấp của xã hội nguyên thủy không có khái

niệm số trừu tượng Điều này không có nghĩa là người nguyên thủy không đếm được số lượng đồ vật của một tập họp cụ thề, thí dụ số lượng người tham gia một buổi săn bắt, số lượng ao hồ có thể bắt cá, Để nói về phép đếm của người nguyên thủy, tác giả Nguyễn Phú

Lộc đã viết: "Có l ẽ phép đếm sớm nhất là phương pháp đối chiếu theo nguyên tắc tương ứng một - một Khi đếm

m ột đàn cừu, chẳng hạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay một viên đá, sỏi, hoặc bằng cái que, bằng một vét

v ạch lên mặt đất, bằng một cái nút trên một sợi dây " [10, tr.9]

Để hiểu được số tự nhiên hình thành như thế nào, ta hãy hình dung con người nhận

thức được số lượng sự vật bằng cách nào? Người nguyên thủy có thể phân biệt trong tự nhiên giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con chó sói và một bầy chó sói, nghĩa là phân biệt giữa nhiều hơn và ít hơn Có thể nói, con người nhận thức được số lượng sự vật

bằng cách so sánh Để nhận biết được số lượng của một tập hợp các "vật" nào đó, ta so sánh

nó vói một tập họp mà ta đã biết rõ số lượng Tập hợp này được gọi là tập hợp chuẩn Để so sánh ta cho tương ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn, sao cho hai vật khác nhau được ứng với hai vật phân biệt của tập họp chuẩn Dễ hình dung

rằng khi lập tương ứng như vậy, mỗi phần tử của tập họp chuẩn và ngược lại (tương ứng như vậy gọi là tương ứng 1-1 hay là một song ánh) thì ta coi rằng hai tập hợp có số lượng

bằng nhau, hay theo thuật ngữ toán học gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng Dần dần người

ta đi đến đặt ra các con số để chỉ đặc điểm chung của các tập hợp có cùng lực lượng

* Nh ận xét:

- Khái niệm số tự nhiên chỉ xuât hiện trong đời sống sinh hoạt của người nguyên thủy

chứ chưa hiện diện trong lĩnh vực toán học

- Từ những ghi nhận của tác giả Nguyễn Phú Lộc, chúng ta thấy được phép đếm của người nguyên thủy chính là sự thiết lập tương ứng 1-1 Đây chính là kiến thức toán học của phép đếm Nó cho phép giải quyết tình huống Phép đếm như thế cho phép so sánh được số

phần tử của hai tập hợp Cụ thể, điều này sẽ được đề cập ở bên dưới

- Khái niệm số tự nhiên xuất hiện ngầm ẩn trong tình huống: "So sánh sự nhiều hơn, ít

hơn về số phần tử của hai tập hợp" Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là: Cho tương

ứng mỗi phần tử của tập này với duy nhất một phần tử của tập kia, tập nào có "thừa" phần tử

sẽ có nhiều phần tử hơn số tự nhiên vẫn chưa có tên, chưa được định nghĩa

- Ở đây, chúng ta cũng thấy được nghĩa của số tự nhiên, số tự nhiên lấy nghĩa "kết quả

c ủa phép đếm" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị quan hệ tương ứng 1-1" một cách

ngầm ẩn Trên cơ sở như trên, đặc trưng bản số của số tự nhiên cũng được đề cập một cách

không tường minh (Đặc trung bản số của số tự nhiên là có chức năng biểu thị quan hệ số

lượng - theo Từ điển Bách Khoa Toán học)

❖Cách ti ếp cận số tự nhiên của người Ai Cập và Babylon

Có nhiều điểm khác nhau về tri thức số của người Ai Cập và Babylon, nhưng họ lại có điểm giống nhau cơ bản Các tác phẩm về số của hai nhóm này đều tập trung vào tính toán Người Ai Cập cũng như người Babylon chưa từng nghĩ để xây dựng một khoa học về số Đặc biệt, có lẽ không có bằng chứng nào cho câu hỏi như "số là gì ?" Đối với người Ai

Cập, câu hỏi này có lẽ không có nghĩa gì cả Đối với người Babylon, với cách tiếp cận về số

của họ, câu hỏi này có thể có nghĩa nào đó Mặc dù, người Babylon là người cổ đại am hiểu tường tận về tính toán, nhưng khoa học về số đối với họ là không tồn tại Gần như, họ khám phá ra các cách dùng chung của số, nhưng ý nghĩa về sự tồn tại hữu ích của nó không được

họ nhắc đến Nói chung, họ không quan tâm đến việc làm rõ ý nghĩa của số tự nhiên hay tìm cách định nghĩa nó mà chỉ tập trung vào yếu tố "công cụ" của nó Hai lĩnh vực toán học mà

họ chọn để phát triển nó là Số học và Đại số

❖Cách ti ếp cận số tự nhiên của người Hy Lạp

Người Hy Lạp là người đầu tiên thành công trong việc xây dựng khoa học về số vào khoảng thể kỷ thứ 6 đến thế kỷ 4 TCN Thật vậy, họ được xem là người khởi đầu cho khoa

học về số Theo Bertrand Russell (1919), chúng ta vẽ ra biên của toán học và khoa học toán như sau: "Khi làm toán, người ta tham gia vào quá trình mà nhờ đó tầm ứng dụng của các khái niệm được mở rộng

T ức là, người ta tìm thêm các cách khác nhau để cho các khái niệm toán học được sử dụng Khi làm khoa học toán, người ta tham gia vào quá trình ngược lại Thay vì, mở rộng tầm ứng dụng của khái niệm, người ta lại thu hẹp Trong khoa h ọc toán, chúng ta đặt ra câu hỏi "khái niệm này có nghĩa gì?"[26, tr.25] Các nhà toán học Hy Lạp

nhận thấy câu hỏi như thế đầy thú vị Ở đây, chỉ xét đến hai người đóng góp quan trọng

nhất: Pythagoras và Plato

Cách ti ếp cận số tự nhiên của Pythagoras (569 - 500 TCN)

Trong suốt những năm sinh sống ở Croton, Pythagoras có câu trả lời kinh ngạc cho câu hỏi "số là gì ?" Đối với ông, số là tất cả mà nó có theo nghĩa đen số là thực tế duy nhất

và số là ngôn ngữ của vũ trụ Theo quan niệm của người Hy Lạp, vũ trụ và mọi thứ trong nó đều có thể quy về một hay một vài tổng quát như thế Mặc dù, "Tất cả là số" nghe như nó khá ngây thơ so với ngày nay, nhưng nó là một ví dụ tuyệt vời cho cách tiếp cận của người

Hy Lạp để giải mã các bí mật của tự nhiên

Khái niệm-về số của Pythagoras rất hẹp so với chúng ta ngày nay Thật vậy, Pythagoras chỉ thừa nhận hai loại số : (1) dãy các nguyên dương vô tận (1, 2, 3, ) tức được

gọi là các số tự nhiên ngày nay và (2) dãy các phân số vô tận(𝑎1

- Xét về lịch sử, phát biểu "Tất cả là số" đánh dấu bước đột phá quan trọng: phán đoán

về các nền tảng của toán học Theo quan điểm Pythagoras, toán học không thể diễn ra nếu thiếu vắng đi nên tảng của số

- Pythagoras đưa ra được dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 và dãy các phân số Ông cũng phát hiện ra được tính vô hạn của dãy số tự nhiên Tuy nhiên, ông không đề cập đến số 0 trong hai dãy số trên Mặc dù, ông không đưa ra được định nghĩa số tự nhiên dưới ngôn ngữ toán học ngày nay, nhưng ông cũng đánh dấu được một bước ngoặt là-quan tâm đến yếu tố

"đối tượng" hơn là "công cụ" của số tự nhiên

Cách ti ếp cận số tụ nhiên của Plato (428 hay 427-347 TCN)

Ít hay nhiều, Plato đi đến cùng kết luận về nguồn gốc của số như Pythagoras Tức là, ông kết luận rằng số là "thực" Ông đưa ra giải thích như sau: đại lượng số, không giống như các đại lượng mùi, màu, và vị, nó rất trừu tượng Trong khi chúng ta có thể trải nghiệm

và đạt được về kiến thức về mùi, màu, và vị theo lối trực tiếp trực giác, nhưng chúng ta không thể đạt được kiến thức về số theo lối này Tuy nhiên, chúng ta biết nhiều về số, có lẽ, nhiều hơn chúng ta biết về các đại lượng trải nghiệm qua trực giác Kiến thức như thế có thể đạt được bằng cách nào? Nếu trong đầu suy ngẫm về những thứ mà không thể thấy được, thì

những thứ này phải độc lập trong trí óc và những thứ vật chất khác Sự tin tưởng của Plato

về sự tồn tại độc lập của số và nói chung các khái niệm toán học có trong ba tác phẩm nổi

tiếng của ông: The Meno, The Phaedo, và The Republic

* Nh ận xét:

Điểm nhấn của Plato là ông phát hiện ra được bản chất của số tự nhiên: tồn tại độc lập đối với các vật trông thấy được Tuy nhiên, ông cũng không đưa ra được một định nghĩa chính xác cho số tự nhiên Dưới ngôn ngữ của toán học, số tự nhiên không phụ thuộc nội dung của các đồ vật mà chỉ liên hệ đến số lượng phần tử của tập hợp

Tóm lại, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng cơ bản sau:

- Nguồn gốc làm xuất hiện khái niệm số trừu tượng là cách đếm nguyên sơ các đồ vật,

mà nội dung là so sánh các vật của tập hợp cụ thể đã cho với các vật của một tập họp xác định nào đó, lấy làm chuẩn Theo ngôn ngữ toán học, số tự nhiên xuất hiện trong tình huống

"So sánh s ự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp"

- Các bài toán có liên quan là: xác định số phần tử của một tập hợp, so sánh số phần tử

của hai tập hợp, số tự nhiên thể hiện chức năng "công cụ" của mình Cơ chế đối tượng của

số tự nhiên chỉ được nhắc đến một cách mờ nhạt Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy cơ chế của một khái niệm protomathémtique

- Đến đây, đặc trưng bản số của số tự nhiên được tiếp cận không tường minh Đặc trưng tự số tồn tại một cách ngầm ẩn Bởi lẽ, khi so sánh số phần tử của hai tập hợp sẽ xảy

ra các trường hợp "nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau" về số phân tử của hai tập đó Khi đó, đặc

trưng tự số của số tự nhiên tồn tại một cách ngầm ẩn

- Số tự nhiên xuất hiện như thế đó và nó cũng có nghĩa riêng của bản thân Số tự nhiên

lấy nghĩa "kết quả của phép đếm", còn nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp" một

cách ngầm ẩn thông qua phép đếm

- Bước tiến quan trọng trong sự phát triển số tự nhiên là nhận thức được tính vô hạn

của dãy số tự nhiên Hơn thế nữa, số tự nhiên không lệ thuộc vào nội dung các đồ vật mà chỉ

phụ thuộc vào quan hệ số lượng phần tử của các tập hợp Đây là khám phá quan trọng của các nhà toán học Bởi lẽ, nó cho phép trừu tượng hóa, khái quát hóa lên những thuộc tính

bản chất của số tự nhiên

1.2.2 Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỷ XIX

Điểm quan trọng nhất về thời kỳ Trung cổ là khoa học giả thần bí của "số luận" hoàn toàn thống trị tri thức về số trong giai đoạn này Các tác phẩm của các học giả số bắt đầu và

kết thúc với số luận "Số luận" nên được hiểu là luận đề mà tính đúng sai của các mệnh đề

được chứng minh bằng các phân tích về số Trong suốt thời kỳ Trung cổ, số luận được hầu

hết mọi người chấp nhận như là một phương pháp để có được kiến thức về một thứ nào đó Như đã biết, cả hai Pythagoras Brotherhood và trường phái của Plato đều tán thành các dạng

của số luận Cả hai đều nghĩ rằng sự thật về vũ trụ có thể được làm sáng tỏ bằng cách thực

hiện tính toán số học với các con số đặc biệt nào đó Nhưng cả hai đều không đưa số luận đến thời kỳ rực rỡ của nó

Nigidius Figulus (La Mã) - sống trong suốt thế kỷ thứ nhất SCN, được xem như là cha

đẻ của số luận Trung cổ Điểm giống nhau của việc giảng dạy của Nigidius và tác phẩm của Pythagoras là số luận Chú ý rằng, số luận của Pythagoras chỉ liên quan đến các câu hỏi mà được ngày nay xem như là các vấn đề khoa học chính đáng Nhưng, trường Nigidius và một trường triết học La mã sau đó nhận thấy rằng các câu hỏi như thế khá khô khan và không thú vị Thần học là lĩnh vực mà họ rất quan tâm và họ nhận thấy khả năng rất lớn của số

luận trong lĩnh vực này Rõ ràng, họ quyết định số luận có thể được dùng để chứng minh tính chân trị của các mệnh đề thần học hằng ngày

Các nhà số luận Alexandria mở rộng số luận thần học của Nigidius đến mức độ logic

bằng cách phát minh ra "gematria" Trong gematria, số luận được ứng dụng cho các Kinh

Cựu ước Các tiết trong Kinh Cựu ước chứa các số nào đó về kí tự, số từ, các dấu nhấn và chúng được giải thích là chứa đựng ý nghĩa bí ẩn nào đó

St Augustine (353 - 430) được xem như là người đầu tiên thay đổi số luận trong số ở nhà thờ Augustine tin rằng gematria được áp dụng cho Kinh Tân ước hơn là Kinh Cựu ước Đây là một điểm cực kỳ quan trọng cho bộ mặt số luận trong suốt thế kỷ IV và V Augustine được cho là người hoàn chỉnh gematria - như là phân tích các Kinh Tân ước Sau đó, ông

kết luận rằng thượng đế là người số luận và số là ngôn ngữ chung mà thượng đế ban tặng cho nhân loại

Có rất nhiều nhà số luận trong thời Augustine như là Proclus (411- 485), St Isadore (579 - 636), St Thomas Aquinas (1226 - 1274) và nhà thơ Dante (1265 -1321) Proclus phát minh ra các công thức số luận Nhưng không may mắn, ông ấy không có những suy nghĩ trước đó để các công thức số luận của ông ấy dựa vào Kinh Tân ước St Isadore được cho là người chuẩn bị một quyển tự điển tham khảo về số trong cả hai Kinh Tân ước và Cựu ước Aquinas mở rộng số luận Thiên chúa giáo của các thế kỷ trước, bao gồm các quan niệm về

số mà ông ấy khám phá trong các tác phẩm của Aristotle Dante phát hiện số luận trong thơ

của mình Trong tác phẩm The Divine Comedy của mình, Dante trang bị đầy đủ hệ các ký

hiệu số còn mập mờ

Sau đó, các nhà toán học Hồi giáo tiếp cận số học và đại số theo lối của tổ tiên Babylon và Hy Lạp Các nhà toán học Hồi giáo thêm số 0 vào các số tự nhiên và số hữu tỷ

của người Hy Lạp Người Babylon đã sử dụng con số 0 này trước đó Họ cũng đưa ra các kí

hiệu số như hiện tại Ngoài việc thêm số 0 vào hệ thống số của người Hy Lạp và các kí hiệu

mới, các nhà toán học Hồi giáo có đóng góp không nhiều Họ cố tìm kiếm để bắt chước và

giữ lại các tác phẩm của người Hy Lạp, hơn là tự tìm ra các hướng mới cho riêng mình Trong rất nhiều tác phẩm của người Hồi giáo, đều gặp phải một vấn đề như người Babylon

và Hy Lạp đã từng gặp: sự thu hẹp khái niệm số Nhớ lại rằng, người Hy Lạp chỉ chấp nhận hai loại số: số tự nhiên và phân số Tuy nhiên, để có thể hoàn thành được hệ thống số học và đại số, các loại số khác phải được thừa nhận, đặc biệt: số âm, số vô tỷ, và số phức Người

Hy Lạp xem các loại số khác chỉ là tưởng tượng và người Hồi giáo cũng xem như thế

Khái niệm số của thời kỳ cổ đại và trung cổ số luận bị giới hạn bởi các tiểu chuẩn hiện đại Đến cuối giai đoạn hai, khái niệm số được mở rộng và hình thành nhiều loại số mới Đó

là kết quả của việc áp dụng các phép toán đại số và số học đối với số tự nhiên và phân số Trong suốt quá trình mở rộng đầy phức tạp này, các nhà toán học ngầm ẩn giả định rằng: các số mới này xét về mặt logic được suy ra từ khái niệm số của người Hy Lạp Tức là, họ

giả định các số mới có thể được suy ra từ số tự nhiên

Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng như sau:

- Lĩnh vực chiếm ưu thế của số tự nhiên trong giai đoạn này là số luận Có rất nhiều nhà số luận Tuy nhiên, họ không quan tâm nhiều đến yếu tố "đối tượng" mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ Phạm vi hoạt động của số tự nhiên: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, số học, Đại số,

- Việc bổ sung số 0 vào dãy các số tự nhiên làm cho tập hợp số tự nhiên được hoàn thiện như như ngày nay Có nhiều tập hợp số mới được hình thành trong giai đoạn này,

chẳng hạn: số hữu tỷ, số âm, số vô tỷ, Tuy nhiên, khái niệm số tự nhiên vẫn chưa được định nghĩa Trong giai đoạn này, số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathémtique

1.2.3 Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX

Giai đoạn bắt đầu trong suốt phhần tư còn lại của thế kỷ XIX Đặc trưng của thời kỳ này là việc thống nấát khái niệm số được thực hiện nhiều hơn là mở rộng nó Lịch sử ghi

nhận lại sự cố gắng của các nhà toán học trong việc xây dựng thành công các định nghĩa của

số tự nhiên thỏa đáng về mặt logic

❖Cách ti ếp cận "bản số" của George Cantor (1845 -1918)

Trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh ra khái niệm bản số trong những năm từ 1874 đến 1884 Đầu tiên, ông thiết lập bản số như là công cụ để so sánh các tập hợp hữu hạn Ví dụ, các tập hợp {1,3,5} và {2,3,4} không bằng nhau, nhưng có cùng số phần tử, tức là 3

Bên cạnh đó, ông đưa ra khái niệm phép tương ứng 1-1 Phép tương ứng này cho phép

chứng minh hai tập hợp hữu hạn có cùng bản số nếu có một tương ứng 1-1 giữa các phần tử

của các tập họp Khi sử dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm này sang các tập

hợp vô hạn, tức tập hợp các số tự nhiên N = {1,2,3, }

* Nhân xét:

- Để thấy được thành tựu của nhà toán học người Đức này, chúng tôi xin trình bày

đoạn trích" trong Từ điển Bách Khoa Toán học như sau: "Ông đã định nghĩa khái niệm

tương đương của các tập hợp Thêm nữa, số đồ vật cấu thành một tập hợp cho sẵn - được xác định là chung cho tập hợp cho sẵn và mọi tập hợp đồ vật tuông đương với nó, không

ph ụ thuộc gì đặc trung nội dung của những đồ vật này Định nghĩa này đã phản ánh thực

ch ất của số tự nhiên là kết quả đếm các đồ vật, cấu tạo nên tập hợp đã cho Thật vậy, mọi giai đoạn lịch sử, việc đếm bao hàm sự đối chiếu, từng cái một, các đồ vật cần đếm với các

đồ vật làm thành tập hợp "chuẩn " (ở giai đoạn lịch sử sơ khai, đó là các ngón tay trên bàn tay, các v ật khắc trên thanh gỗ, ; ở giai đoạn hiện đại, đó là các từ ngữ hay kí hiệu biểu

di ễn số)" [18, tr.27] Qua đó, ta rút ra được một số điểm cần lưu ý như sau:

+ Nghĩa của các số tự nhiên được đề cập tường minh: "kết quả của phép đếm", "biểu

th ị lớp các tập hợp tương đương", "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp"

+ Sự tồn tại của hai kiến thức phép đếm: phép đếm - gắn liền với số phần tử của tập

hợp và phép đếm - sự thiết lập tương ứng 1-1

+ Cũng giống như Plato đã nhận định rằng số tự nhiên không phụ thuộc vào nội dung

của các đồ vật Định nghĩa như trên của Cantor được xem như là một xuất phát điểm để mở

rộng khái niệm đặc trưng số lượng của các tập hợp vô hạn

- Xét về lịch sử, Cantor là người có công trong việc tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng

bản số Một số khái niệm toán học trong lý thuyết tập hợp có liên quan đến khái niệm số tự nhiên là: hai tập hợp tương đương, bản số, tương ứng 1-1

❖Cách ti ếp cận "thứ tự' của Dedekỉnd (1831 -1916)

Ngày nay, Richard Dedekind được nhớ như là người quan trọng nhất trong việc đưa ra

lá cắt Dedekind - một phương pháp được chấp nhận rộng rãi để định nghĩa khái niệm số

thực Tuy nhiên, chúng ta cũng cần quan tâm đến Dedekind bởi vì ông là nhà toán học đầu

tiên đề nghị một lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh về số Lý thuyết được trình bày trong "Was

sind und was sollen die zahlen" (Bản chất và ý nghĩa của số)

Bởi vì, số thứ tự là các số hạng chung của các cấp số Điều đó dẫn Dedekind (1887)

đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự "Những phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số

th ứ tự hay đơn giản là số" Nguyên nhân số chỉ phụ thuộc duy nhất vào các tính chất thứ tự

của số tự nhiên dẫn ông đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số Đây là một điều quan trọng về lý thuyết của Dedekind Ông đề nghị rằng các số tự nhiên là gì đi nữa, trước tiên chúng phải là một cấp số

❖Nh ận xét:

Điểm mấu chốt trong lý thuyết của Dedekind là: đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự

Khái niệm số tự nhiên xuất hiện gắn liền với số thứ tự và cấp số Do đó, ông chỉ tiếp cận số

tự nhiên trên đặc trưng tự số (tính sắp thứ tốt của dãy các số tự nhiên) của nó mà bỏ qua

hẵn đặc trưng bản số Với cách tiếp cận của Dedekind, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ vị trí

c ủa số hạng trong một cấp số"

❖Cách ti ếp cận "tiên đề" của Peano (1858 -1932)

Mặc dù, nói chung các lý thuyết của Dedekind và Peano là không khác nhau, nhưng

cần chỉ ra rằng lý thuyết của Peano được xem xét rộng rãi hơn Lý thuyết của Peano xuất

hiện đầu tiên vào năm 1899 trong quyển "Formulaire de mathématiques" Lý thuyết của

Peano có 3 khái niệm cơ bản và 5 tiên đề sử dụng 3 khái niệm trên Các khái niệm không

định nghĩa của Peano là "1", "số tự nhiên", "số kề sau" Các tiên đề của Peano có thể phát

biểu như sau:

1)1 là số tự nhiên

2)Nêu X là số tự nhiên thì số kê sau của X cũng là số tự nhiên

3)Các số tự nhiên khác nhau có các số kê sau khác nhau

4)1 không là số kề sau của bất kỳ số tự nhiên nào

5)Nếu 1 và số kề sau của mỗi số tự nhiên có tính chất p, mọi số tự nhiên đều có tính

chất P

* Nh ận xét:

- Cách tiếp cận số tự nhiên của Peano theo phương pháp tiên đề Ông đánh dấu bước ngoặt thứ hai sau Dedekind về cách tiếp cận số tự nhiên theo quan điểm thứ tự Do đó, số tự nhiên cũng lấy nghĩa như cách tiếp cận của Dedekind

- Theo phương pháp tiên đề như trên, các số tự nhiên có thể được định nghĩa dựa vào

số liền trước nó Ở đây, số 1 đóng vai trò khái niệm cơ bản nên không được định nghĩa, số 0 không được Peano chọn làm khái niệm cơ bản trong các hệ tiên đề ông đưa ra Do đó, các

số tự nhiên (ngoại trừ số 0) có thể được tiếp cận theo tiến trình sau:

❖ Cách ti ếp cận "lớp" của Frege (1848 -1925) và Russell (1872 -1969)

Xét về lịch sử, bản dịch của Frege có được sự ưu tiên hơn của Russell Bản dịch này

xuất hiện trong quyển "Die grundlagen der Arirhmetik" (Nen tảng của số học) Có một số điểm khác nhau giữa lý thuyết của Frege và Russell Frege thích định nghĩa lớp dựa vào nội hàm của nó Tuy nhiên, Russell làm theo định nghĩa thông thường hơn, đó là lớp liên quan đến hàm mệnh đề một ẩn Định nghĩa này làm cho lớp đồng nghĩa với ngoại diên của nó Ngoài ra, Frege sử dụng một định nghĩa thuộc về tập hợp ∈ hơi mơ hồ hơn định nghĩa như

là một loại hàm mệnh đề hai ẩn nào đó Cả hai bản dịch đồng ý trên 3 điểm chính: Đầu tiên, quan điểm của số tự nhiên xuất phát từ quan điểm nhiều bằng nhau hơn là quan điểm thứ tự

Thứ hai, số tự nhiên đồng nhất với bản số Thứ ba, mỗi số tự nhiên được xem như là một

loại lớp nào đó

Russell bắt đầu phát triển lý thuyết của mình bằng sự phê bình định nghĩa về số được

đề cập trước đó bởi phương pháp tiền đề của Peano Theo lý thuyết này, số tự nhiên được định nghĩa như một cấp số cộng đặc biệt bắt đầu bởi 1 và các số sau có được từ việc cộng thêm 1 vào số liền trước nó Cách tiếp cận định nghĩa này được gọi là "triết học" Russell không chấp nhận định nghĩa này vì nó gây ra "sự khác nhau khó chịu" giữa 1 và các số hạng khác của cấp số Bằng cách thông qua cách tiếp cận định nghĩa "toán học", Russell tuyên bố

rằng có thể định nghĩa 1 theo cách các số còn lại Để loại ra sự khác biệt giữa 1 và các số khác, chúng ta có thể xem tính chất của số như là tính chất của các lớp, đặc biệt, chúng ta xem dãy các số tự nhiên như là các bản số Do đó, số tự nhiên sẽ liên hệ đến số phần tử mà

lớp đó chứa Thật vậy, để định nghĩa số tự nhiên, trước tiên phải định nghĩa bản số Bước

đầu tiên trong định nghĩa là đưa ra câu hỏi "Hai tập hợp có cùng số phần tử lấy nghĩa gì?"

Russell đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này dựa vào quan hệ tương ứng: "Hai tập hợp có cùng s ố phần tử khi các số hạng của chúng có tương quan 1-1 để bất kỳ số hạng của tập

h ợp này sẽ tương ứng một và chỉ một số hạng của tập hợp kia." (Russell - 1903) Sau đó,

Russell (1919) đưa ra định nghĩa ngắn gọn như sau: "Số của một lớp là lớp tất cả các tập

h ợp tương đương" Với định nghĩa này, ta có thể hiểu như sau: A = {a,b,c,d}; B = {1,2,3,4};

c = { xanh, đỏ, tím, vàng}; D = {gà, vịt, ngỗng, ngang}, 4 = {A, B, c, D, }; 4 chính là lớp các tập hợp có 4 phần tử

* Nh ận xét:

Frege và Russell là hai nhà toán học đánh dấu bước tiếp cận "lớp" cho đối tượng số tự

nhiên Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương" Russell cũng

như Frege có cách tiếp cận liên quan đến đặc trưng bản số của số tự nhiên Khi đó, số tự nhiên còn lấy nghĩa "chỉ số phân tử của tập hợp"

❖Cách ti ếp cận số tự nhiên của Jean Piaiget

Cách tiếp cận của ông dựa trên nên tảng logic Luận điểm chính của ông là kết hợp cả hai quan điểm về số: quan hệ thứ tự và lớp Ông tranh luận: thật là không chính xác nêu xây

dựng số tự nhiên chỉ dựa vào một trong hai số thứ tự hay bản số Thay vì vậy, số tự nhiên có

Piaget không ủng hộ các tranh luận này Thứ hai, mặc dù khái niệm số được suy ra từ khái

niệm số giữa các lớp, nhưng điều đó không phải là tất cả những gì nó có liên quan Thứ ba, ngoài tương ứng ra, cũng nên giới thiệu thứ tự như là khái niệm cơ bản trong lý thuyết Điều này sẽ cho mỗi số hạng trong lớp bất kỳ là số thứ tự Bằng cách phát hiện ra quy luật là: mỗi

cặp số hạng của các lớp khác nhau phải có cùng số thứ tự Chúng ta chắc chắn rằng, với hai

lớp có cùng số phần tử đã cho, mỗi số hạng trong lớp này sẽ được ghép đôi một và chỉ một

số hạng trong lớp còn lại và ngược lại

* Nh ận xét:

Số tự nhiên do Piaget đề nghị dựa trên sự kết hợp của hai lý thuyết: thứ tự và bản số Ông đưa ra nó trên cơ sở tìm ra câu trả lời cho các phê bình của các nhà trực giác đối với lý thuyết của Russell

Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng như sau:

- Tình huống xuất hiện để đưa đến một định nghĩa chính xác cho số tự nhiên là sự ảnh hưởng của phương pháp tiên đề và nhu cầu xem xét lại và phê phán nền tảng của giải tích toán học Chính vì thế, cần phải xem xét cơ sở của khái niệm số tự nhiên

- Sự xuất hiện của nhiều định nghĩa về số tự nhiên làm cho nó mang cơ chế của khái

niệm mathématique Đặc trưng tự số và bản số của nó được đề cập một cách tường minh

Phạm vi hoạt động chủ yếu của khái niệm số tự nhiên trong giai đoạn này là: số học, lý thuyết tập hợp, tâm lý,

- Một số nghĩa của số tự nhiên được trình bày một cách rõ ràng Chẳng hạn, các nghĩa

mà số tự nhiên có thể lấy như sau: "chỉ vị trí của số hạng trong một cặp số", "chỉ số phần tử

c ủa tập hợp", "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp", "biểu thị lớp các tập hợp tương

đương"

1.3 Một số kết luận

Phân tích, tổng họp các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển của khái

niệm số tự nhiên mang lại cái nhìn tổng quát về quá trình nảy sinh, phát triển cũng như một

số đặc trưng khoa học luận của đối tượng này

1.3.1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Cũng giống như các khái niệm toán học khác, lịch sử hình thành khái niệm số tự nhiên

trải qua rất dài và nảy sinh gắn liền với các tình huống thực tế Quá trình này có thể được phân chia thành 3 giai đoạn tương ứng với 3 cơ chế hoạt động của nó

a) Giai đoạn 1:

Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy cơ chế của một khái niệm protomathémtique Nó xuất hiện như là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các bài toán: đếm các vật thể (con thú săn được, bao nhiều quân địch, ), kinh tế thương gia, số học, đại

số, hình học, Phép đếm là khái niệm gắn liền với việc hình thành các số tự nhiên ban đầu ở

giai đoạn này Khi đó, số tự nhiên lấy một số nghĩa như sau: "kết quả của phép đếm", "chỉ

s ố phân tử của tập hợp" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các

t ập hợp" một cách ngầm ẩn

b) Giai đoạn 2:

Số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathématique Nó được dùng như một công

cụ nhưng không được định nghĩa Các nhà toán học Ấn Độ bổ sung số 0 vào dãy các số tự nhiên

c) Giai đoạn 3:

Khái niệm số tự nhiên được định nghĩa bằng phương pháp tiên đề trong tác phẩm

"Formulaire de mathématiques" của Peano năm 1899 Bên cạnh đó, nó cũng được Frege và Russell định nghĩa thông qua khái niệm lớp Khi đó, nó lấy cơ chế của một khái niệm mathématique Số tự nhiên được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán

học, cũng như là công cụ tường minh giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán,

trong đó có lý thuyết tập hợp Số tự nhiên lấy hết các nghĩa vốn có của nó như sau: "chỉ vị

trí c ủa số hạng trong một cấp số ", "chỉ số phần tử của tập hợp", "biểu thị tương ứng 1-1

gi ữa các tập hợp", "biểu thị lớp các tập hợp tương đương "

1 3.2 Phạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên và các bài toán có liên quan

a) Ph ạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên

Khái niệm số tự nhiên xuất hiện đầu tiên ngầm ẩn dưới dạng bài toán xác định số con thú săn được, số quân địch, , sau đó, nó được dùng như một công cụ để giải quyết các bài toán trong số học, đại số, hình học, số luận, lý thuyết tập hợp, Một số lĩnh vực khác mà số

tự nhiên cũng xuất hiện như một công cụ đó là: kinh tế thương gia, vật lý, thiên văn, thần

học, kinh thánh, thơ ca,

b) Các bài toán có liên quan

- Bài toán xác định số con thú săn được, số quân địch,

- So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phần tử của hai tập họp

- Các bài toán về chia ruộng đất, xây dựng kim tự tháp,

- Bài toán liên quan đến kinh tế thương gia

- Các bài toán liên quan đến số học, đại số , hình học và lý thuyết tập hợp

- Các bài toán ứng dụng trong lĩnh vực khác: thần học, kinh thánh, thơ ca,

1.3.3 Các đối tượng có liên quan

Khái niệm đầu tiên có liên quan mật thiết đến khái niệm số tự nhiên là phép đếm Số

tự nhiên ban đầu được hình thành thông qua việc đếm các vật thể Những khái niệm khác có vai trò quan trọng lịch sử hình thành khái niệm số tự nhiên: số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng, cấp số hữu hạn, cấp số vô hạn đơn giản, cấp số cộng, công sai, số kề sau, được sử

dụng trong cách tiếp cận quan hệ của Dedekind, Peano

Một số khái niệm khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận số tự nhiên của Cantor, Frege và Russell, Piaget là: hai tập hợp tương đương, bản số, lớp, tương ứng 1-1, Chúng được xem như là công cụ để hoàn thiện lý thuyết lớp về số tự nhiên

1.3.4 Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên

a) Cách ti ếp cận dựa trên đo lường

Trong cách tiếp cận dựa trên đo lường, số tự nhiên có liên quan rát nhiều đến số lượng các vật thể của một toàn thể và số các đơn vị đo lường Người Hy Lạp xem số như là đo lường mọi thứ Họ đồng nhất đo lường với đếm Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa như là "kết

quả của phép đếm"

b) Cách ti ếp cận quan hệ thứ tự

Cách tiếp cận thứ tự có ít nhất từ thời Hy Lạp, nó tồn tại ngầm ẩn trong các tác phẩm

của các nhà toán học Một phần tác phẩm Elements của Euclid (được viết trong suốt thế kỷ

thứ III TCN) giả định trước một quan điểm quan hệ về số Cũng giống như vậy, các nhà triết

học nguyên tử Hy Lạp, Leucippus (thế kỷ thứ V TCN) và Democritus đã nghĩ về số theo cách này Tuy nhiên, định nghĩa vê số theo quan hệ thứ tự lại thuộc về hai nhà toán học: Dedekind và Peano Cách tiếp cận quan hệ đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa "vị trí của các số hạng trong một cấp số",

c) Cách ti ếp cận bản số

Người đầu tiên tiếp cận số tự nhiên theo lối này chính là nhà toán học Cantor Trong khi, cách tiếp cận quan hệ đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự, cách tiếp cận bản số lại đồng

nhất số tự nhiên với bản số Bản số của một tập hợp hữu hạn là một số tự nhiên Như vậy,

nếu a là số tự nhiên thì tồn tại một tập hữu hạn A, sao cho a = CardA Dưới định nghĩa này,

số tự nhiên lấy nghĩa "bản số của tập hợp" Tuy nhiên, để biết hai tập hợp cùng số phần tử,

cần đến một quan hệ thể hiện mỗi phần tử của tập này tương ứng một và chỉ một với một

phần tử của tập còn lại Khi đó, số tự nhiên còn lấy nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các

t ập hợp"

d) Cách ti ếp cận theo "lớp"

Cách tiếp cận này do hai nhà toán học Frege và Russell đề xuất Mỗi số tự nhiên được định nghĩa như là lớp của tất cả các tập họp có cùng số phần tử Một nghĩa khác của số tự nhiên có thể phát biểu như sau: "biểu thị lớp các tập hợp tương đương"

e) Cách ti ếp cận bản số - thứ tự

Cách tiếp cận này được nhà tâm lý học Piaget đưa ra trong tác phẩm "La gen`ese du

nombre chez l énfant" (Sự phát triển số của trẻ) Ông tin rằng số tự nhiên có thể đồng thời là

số thứ tự và bản số Cách tiếp cận của ông xuất phát từ quan điểm logic Khi đó, số tự nhiên

sẽ lấy nghĩa của hai cách tiếp cận kia

Những kết quả đạt được của chương này sẽ là cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu số tự nhiên ở cấp độ tri thức cần giảng dạy Nội dung này sẽ được trình bày trong chương tiếp theo

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM SỐ TỰ

NHIÊN

M ục tiểu của chương

Chương này sẽ đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:

1.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có

những đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển

của nó trong lịch sử?

2.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên trong thể chế dạy học toán ở bậc tiểu

học có đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học?

3.Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào trên mối quan hệ cá nhân của GV và HS? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của họp đồng didactic liên quan đến khái niệm số tự nhiên đáng được chú ý?

Chúng tôi đi phân tích mối quan hệ thể chế với số tự nhiên trong các nhà trường đào

tạo GV tiểu học sẽ hình thành cơ sở tham chiếu cho việc phân tích mối quan hệ thể chế khái

1.Chương trình tiểu học (Bộ giáo dục và đào tào) (2006), NXBGD

2.Bùi Anh Kiệt (2007), Bài giảng số Học, Bộ môn Toán, Đại học Cần Thơ

3.Trần Diên Hiển, Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc (2001), Giáo trình Lý Thuyết

S ố, NXBGD

4.Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2004), Giáo

trình Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, NXBĐHSP

5 Phạm Đình Thực (2003), Phương pháp dạy học Toán bậc tiểu học, NXB ĐHSP

Tài liệu 2 và 5 được dùng để giảng dạy cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học của Khoa sư phạm, trường Đại học Cần Thơ, còn tài liệu 3 và 4 được dùng cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học của trường Đại học sư phạm Hà Nội

2.1.1 Số tự nhiên trong học phần số học

Qua phần trình bày của chương 1, chúng ta thấy tập số tự nhiên được xây dựng bằng nhiều cách khác nhau Tuy nhiên, các tác giả trình bày theo 2 cách: Hệ tiên đề Peano và phương pháp dùng bản số của tập hợp

* US ố tự nhiên trong giáo trình của Bùi Anh Kiệt

Mục tiêu của giáo trình này là đi nghiên cứu các tập hợp số Do đó, tìm hiểu tập số tự nhiên cũng năm trong chuỗi nghiên cứu đó Tập hợp số tự nhiên được đề cập đầu tiên Trong giáo trình số học của tác giả Bùi Anh Kiệt, số tự nhiên được đưa vào chương đầu tiên theo Hệ tiên đề Peano như sau:

"H ệ tiên về số tự nhiên dựa trên khái niệm cơ bản là "tập số tự nhiên ", kí hiệu 0, và quan hệ cơ bản "kề sau "

I 0 là s ố tự nhiên, tức 0 6 N

II 0 không ph ải là số kề sau của bất kỳ số tự nhiên

III Với mọi số tự nhiên n có một và chỉ một số tự nhiên n' kề sau nó

IV.N ếu số tự nhiên m là số kề sau của sỗ tự nhiên n và m cũng là số kề sau của số tự nhiên k thì n = k

V.N ếu A là tập con của N, các số tự nhiên sao cho:

1.0 ∈ A

2.m ∈ A suy ra m' ∈ A thì t ập A trùng với N." [13, tr.4]

* Nh ận xét:

- Giáo trình này trình bày số tự nhiên theo phương pháp tiên đề của Peano như đã

được trình bày trong chương 1 Khi đó, số tự nhiên được nghiên cứu gắn liền với đặc trưng

c ủa nó là tự số (tính sắp thứ tự tốt của dãy số tự nhiên) Hơn thế nữa, mỗi số tự nhiên được

định nghĩa trên cơ sở cộng thêm 1 với phân tử trước nó dưới ngôn ngữ số kề sau (trừ số 0) Chính vì thế, nó sẽ lấy nghĩa của cách tiếp cận thứ tự: Số tự nhiên chỉ vị trí của số hạng

trong m ột cấp số

- Trong lịch sử, Peano không chọn số 0 là khái niệm cơ bản mà là số 1 Có nhiều nhà toán học không châp nhận số 0 là số tự nhiên Nhưng ở giáo trình này số 0 được xem như là

số tự nhiên thật sự và là một khái niệm cơ bản Tiên đề V là cơ sở hình thành phương pháp

chứng minh quy nạp trong toán học được đưa vào SGK Toán 11

Trong tài liệu này, tác giả cũng trình bày quan hệ thứ tự trên N

"IV Quan h ệ thứ tự trên N

Trên N , ta xác định quan hệ ≤như sau: ∀a,b ∈ N :a≤b ⇔ ∃c :a + c = b

D ễ thấy ≤ là quan h ệ thứ tự trên N (phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu)

- Quan hệ thứ tự trên N được định nghĩa thông qua phép cộng hai số tự nhiên

- Từ lý thuyết này, việc so sánh hai số tự nhiên được đưa về tìm một số tự nhiên khác sao cho đem số nhỏ cộng với nó thì bằng với số lớn

* US ố tự nhiên trong giáo trình của Trần Diên Hiển

Trong giáo trình này, khái niệm số tự nhiên được đề cập trong chương 1 với nhan đề:

"Số tự nhiên", không theo quan điểm tiên đề Peano mà theo phương pháp dùng bản số của

tập hợp Để định nghĩa số tự nhiên, khái niệm bản số được đề cập như sau:

"Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta nói chúng có cùng một bàn số, hay cùng một lực lượng

B ản số của tập hợp A được kí hiệu là cardA (đọc là Cardinal A), hay |A| Như vậy, card A = card B khi và chỉ khi A ∼ B" [6, tr.6] Kế đến, tác giả trình bày định nghĩa số tự nhiên:

"Bàn số của một tập hữu hạn gọi là một số tự nhiên Như vậy, a là một số tự nhiên nếu có một tập hữu hạn A sao cho card A = a T ập hợp số tự nhiên kí hiệu là N"[6, tr.6]

Sau đó, tác giả tiếp tục đưa ra 2 số tự nhiên là 0 và 1 thông qua ví dụ:

" - Ta biết φ là m ột tập hữu hạn Vậy card φ là m ột số tự nhiên Kí hiệu 0 = card φ

- Tập hợp đơn tử {a} là một tập hữu hạn, vậy card {a} là một số tự nhiên Kí hiệu 1 = card {a}."

Tuy nhiên, trong giáo trình Lý thuy ết tập hợp của tác giả Nguyễn Thanh Sơn đưa ra

định nghĩa khái niệm bản số một cách tường minh như sau:

"Lượng số là lớp tất cả tập hợp có ánh xạ 1-1 trên với nhau" (Lượng số là bản số ) [19, tr.89]

- Khi đó, khái niệm bản số được đề cập một cách tường minh Với định nghĩa lượng số

của tác giả Nguyên Thanh Sơn, khái niệm số tự nhiên theo lớp và tương ứng 1-1 được làm

rõ hơn, tường minh hơn Hơn thế nữa, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương

đương"

- Ngoài ra, đặc trưng của số tự nhiên trong giáo trình là bản số (đặc trưng định lượng

của các vật - theo từ điển bách khoa phổ thông Toán học, 2001) chứ không phải tự số Tác

giả cũng nhắc lại kí hiệu của tập các số tự nhiên (N) Nó phù hợp với kí hiệu chung cho các tài liệu có liên quan khác Tác giả đưa ra hai số đâu tiên của dãy số tự nhiên là 0 và 1 dưới ngôn ngữ của bản số Qua đó, ta có thể hiểu số 0 là bản số của tập hợp rỗng Số 0 sẽ lấy nghĩa là "chỉ tập hợp có không phân tử"

Bên cạnh đó, tác giả cũng trình bày quan hệ thứ tự trên N như sau:

* Nh ận xét chung cho hai giáo trình:

Trong giáo trình thứ hai, người ta tiến hành định nghĩa khái niệm số tự nhiên dựa vào khái niệm tập hợp cùng lực lượng Chính vì cách định nghĩa này, nên các tác giả phải định nghĩa các khái niệm: số kề sau, phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia, theo quan điểm

của lý thuyết tập hợp Tức là, các khái niệm trên được định nghĩa dựa trên các phép toán của

tập hợp

Tuy nhiên, giáo trình thứ nhất lại có một quan niệm khác về định nghĩa số tự nhiên là

dựa trên khái niệm tập hợp sắp thứ tự tốt Quan niệm này thể hiện việc xây dựng khái niệm

số tự nhiên gắn liền với khái niệm phần tử của một dãy (sắp thứ tự tốt), mỗi số trong dãy được xác định dựa vào quan hệ của nó với số đứng liền trước nó và số đứng liền sau nó Các tác giả theo giáo trình này xuất phát từ quan hệ "liền kề" nên cũng định nghĩa các phép cộng

và phép nhân cũng dựa trên quan hệ ấy

2.1.2 Số tự nhiên trong học phần Phương pháp giảng dạy Toán

Khái niệm số tự nhiên xuất hiện trong chương: Dạy học các nội dung cụ thể của chương trình môn toán tiểu học Các nội dung có liên quan đến số tự nhiên được đề cập theo

thứ tự sau: mục tiêu yêu cầu của dạy học số tự nhiên, hình thành khái niệm ban đầu về số tự nhiên, dạy hệ đếm thập phân, cách đọc viết số tự nhiên, so sánh các số tự nhiên, dạy học

thực hiện các phép tính trên số tự nhiên,

* US ố tự nhiên trong giáo trình của Phạm Đình Thực

Theo tác giả Phạm Đình Thực: "S ố là khái niệm trừu tượng đầu tiên mà trẻ em được gặp đầu tiên khi

tr ẻ học Toán Cơ sở để giúp trẻ nhận thức khái niệm số là cách đếm Ngay từ khi trước khi học lớp 1, đa số trẻ đã biết

đọc các số 1,2,3,4, Song như vậy, chưa có nghĩa là trẻ đã có những hiểu biết chính xác về số" [22, tr.7]

* Nh ận xét:

- Tác giả có nhắc đến kiến thức phép đếm của HS trước khi bắt đầu học số tự nhiên

Hầu hết các em đều có thể biết đọc và đếm từ 1, 2, 3, Chẳng hạn, một ai đó yêu cầu các

em đếm từ 1 tới 10, các em đếm một cách nhanh chóng bởi lẻ các em được dạy và học thuộc lòng Việc đếm như thế của các em chỉ bắt chước hay làm theo sự hướng dân của người khác Tuy nhiên, nêu chúng ta hỏi một số nào đó có nghĩa gì, các em khó mà đưa ra câu trả

lời chính xác Các em thật sự không hiểu được 1 là gì hay 2 là gì Nói khác đi, hành động các em biết đếm các số 1, 2, 3, không thể khẳng định được rằng các em đã hiểu đúng về số

tự nhiên Đến đây, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau:

1.GV quan niệm như thế nào về phép đếm trước khi HS học số tự nhiên?

2.Nếu HS biết đếm trước khi vào lớp 1 sẽ có những thuận lợi và khó khăn cho các em khi học khái niệm số tự nhiên?

- Phép đếm trước khi học số tự nhiên tồn tại ở các em chỉ trên danh nghĩa "kiến thức văn hóa đời thường" mà không nhằm giải quyết một tình huống gì Tuy nhiên, tác giả chỉ

nhắc đến kiến thức phép đếm trước khi học số tự nhiên mà không đề cập gì về kiến thức phép đếm sau khi học số tự nhiên

Đoạn trích sau (trang 3, tập 2) thể hiện ý đồ của tác giả về tiến trình hình thành khái

niệm ban đầu về số tự nhiên:

"1.3.2.1 Có thể tiến hành các bước như sau:

Bước 1: Hình thành biểu tượng về các tập hợp tương đương ứng với số đang học, thông qua những tập hợp đồ

v ật cụ thể và hình tượng trưng (chấm tròn hoặc dấu X)

Chẳng hạn, khi dạy số 6, GVgắn lên bảng 6 bông hoa, 6 hình vuông, và nói (hoặc hỏi để HS trả lời): "Có 6 bông hoa, có 6 hình vuông,Ti ếp đó thay bằng 6 chấm tròn để làm HS bỏ qua các tính chất khác của đồ vật (không chú

ý đó là cái gì), mà chỉ chú ý đến tính chất chung đang xét là "có 6 vật"

C ần chú ý đến việc hình thành khái niệm về số 0 Cần là cho trẻ hiểu rằng 0 cũng là một số, để ghi số lượng

ph ần tử của một tập hợp đặc biệt "không chứa một phần tử nào " Sự hình thành biểu tượng về loại tập hợp này được

ti ến hành qua sự bớt dần cho đến hết:

Có 3 con cá trong b ể, vớt đi một con còn lại 2 con, vớt đi 1 con nữa, còn lại 1 con,

- L ại vớt đi một con nữa, còn lại 0 con cá." [22, tr.8]

* Nh ận xét đối với giáo trình của tác giả Phạm Đình Thực:

- Từ đoạn trích trên, ta cũng thấy được ý đồ của tác giả là ngầm hình thành khái niệm

số tự nhiên thông qua khái niệm bản số (hay khái niệm số tự nhiên được đồng nhất với bản

số)

Qua tiến trình trên, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương"

- Hơn thế nữa, chúng tôi trích lại đoạn như sau: "Có 6 bông hoa, có 6 hình vuông, " Tiếp đó thay

b ằng 6 chấm tròn để làm HS bỏ qua các tính chất khác của đồ vật (không chú ý đó là cái gì), mà chỉ chú ý đến tính chất chung đang xét là "có 6 vật" 6 ch ấm tròn xuất hiện nhằm loại bỏ các yếu tố hình thức khác của

các đồ vật mà chỉ giữ lại đặc điểm chung là có cùng số phần tử Các chấm tròn có tính khái quát cao và thể hiện "tư tưởng" của khái niệm bản số

- Ngay từ đầu là hình thành các tập hợp tương đương, sau đó dần dần đi đến đặc điểm chung là có cùng số phần tử Do đó, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ số phần tử của tập hợp"

Tuy nhiên, nghĩa đó không được đưa ra một cách tường minh Qua đây, thấy được tình

huống xuất hiện của số tự nhiên là hình thành các tập hợp tương đương lực lượng, số tự nhiên đưa ra trong mối quan hệ đặc trưng bản số của nó

- Tác giả rất quan tâm đến cách hình thành số 0 Theo đoạn trích trên, số 0 được hình thành từ bản số của tập hợp rỗng Điều này cũng thể hiện được sự tương đồng với giáo trình

số học của Trần Diên Hiển Bên cạnh đó, có một số bài toán có liên quan đến số tự nhiên do tác giả Phạm Đình Thực đề nghị như sau: xác định số phần tử của một tập hợp, điền số vào dãy số, so sánh hai số tự nhiên,

* US ố tự nhiên theo giáo trình của Đỗ Trung Hiệu - Đỗ Đình Hoan

Trước đi vào hình thành khái niệm số tự nhiên, tác giả trình bày nội dung phép đếm Theo tác giả, phép đếm là sự thiết lập tương ứng 1-1 Khi đó, có thể tạo ra những tình

- Đem cùng số lượng mẫu vật khác nhau Chẳng hạn: 5 con gà, vịt và ngan, 5 đồ vật như bát, đĩa, thìa,

- Đem các đối tượng hình học có cùng số lượng, khác kích thước, khác hình dạng, khác màu sắc, khác nguyên

li ệu làm hình,

- Đem các mẫu vật trong các nhóm không cùng số lượng." [7, tr.80]

Tiếp đến, các tác giả hình thành khái niệm số tự nhiên Đoạn trích sau sẽ ghi lại hoạt động trên:

"Ở tiểu học (đặc biệt là ở lớp 1) thì việc đếm các mẫu vật trong nhóm (thiết lập tương ứng 1-1) là một hoạt động

cơ bản nhằm giới thiệu số tự nhiên

a) Trong vòng 10 thì việc đếm thêm 1 là hoạt động chủ yếu để giới thiệu sỗ mới (lần lượt từ bé đến lớn, theo ý nghĩa "sỗ liền sau ", ngoại trừ số 0) Chẳng hạn, khi học số 3 thì (trước đó HS đã được học số 1 và 2) HS thao tác

nhi ều lần một mô hình như sau: hai bông hoa thêm một bông hoa thành ba bông hoa, hai con chim thêm một con chim thành ba con chim, hai que tính thêm m ột que tính thành 3 que tính,

b) Sau đó, HS đếm các mẫu vật trong nhóm Có thể đếm theo từng vật hoặc nhóm vật" [7, tr.8l]

* Nh ận xét đối với giáo trình của tác giả Đỗ Trung Hiệu:

- Ngay từ đầu, tác giả có nhắc đến kiến thức phép đếm như sau: phép đếm là sự thiết

l ập tương ứng 1-1 Kiến thức này có giống với kiến thức phép đếm được đề cập trong giáo

trình của tác giả Phạm Đình Thực hay không? Phép đếm chính là thiết lập tương ứng 1-1

Nó tồn tại như là một kiến thức toán học chứ không còn là "kiến thức văn hóa đời thường" Hơn thế nữa, kiến thức phép đếm này cũng phù hợp với những gì đã diễn ra trong lịch sử Bên cạnh đó, tác giả Kiều Đức Thành cũng đưa ra cách hiểu về phép đếm như sau: "Có thể

hiểu phép đếm là phép đặt tương ứng mỗi phần tử cửi một tập hợp với một số tự nhiên kể từ

1, liên tiếp nhau và lớn dần" [21, tr.11] Với cách hiểu như thế của tác giả cũng thể hiện được tư tưởng tương ứng 1-1 như trên

- Điểm nhấn trong giáo trình này là tác giả đưa ra hai con đường tiếp cận số tự nhiên Đầu tiên, trên cơ sở của hoạt động đếm các mẫu vật khác nhau Các mẫu vật này có thể khác nhau về hình dáng, chất lượng, màu sắc, kích thước, nhưng đặc điểm chung của các mẫu

vật này là có cùng số lượng Đây cũng là tình huống xuất hiện của số tự nhiên Thông qua

hoạt động đếm các mẫu vật như thế sẽ hình thành tương ứng 1-1 giữa các phần tử của các

tập hợp Với cách tiếp cận này, số tự nhiên lấy nghĩa là "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập

h ợp" Cách tiếp cận thứ hai của tài liệu là hình thành số tự nhiên trên cơ sở thêm 1 vào số

liền trước Điều đó được thể hiện qua đoạn trích sau: "Trong vòng 10 thì việc đếm thêm 1 là hoạt động

ch ủ yếu đề giới thiệu số mới (lần lượt từ bé đến lớn, theo ý nghĩa "số liền sau", ngoại trừ số 0)" Đây chính là sự

thể hiện của tư tưởng số kề sau được đưa ra trong hệ tiên đề của Peano có trong giáo trình

của tác giả Bùi Anh Kiệt Khi đó, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ vị trí của số hạng trong một

cấp số" Tuy nhiên, cả hai nghĩa này điều không được trình bày một cách tường minh Có

một sự ngoại lệ như sau Số 0 không được trình bày theo hai cách tiếp cận trên Số không được hình thành trên cơ sở bản số của tập hợp rỗng Điều đó giống với giáo trình của Phạm Đình Thực Qua đây, có thể phác họa lại tiến trình đưa vào số tự nhiên như sau:

(Tiến trình 1)

Bên cạnh đó, cũng có một tiến trình khác như:

- Trong tiến trình 2, số tự nhiên gắn liền với đặc trưng tự số Điều đó được thể hiện

một cách tường minh Đặc trưng bản số được hiểu một cách ngầm ẩn Tác giả cũng trình bày một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến số tự nhiên Trong đó, ông nhân mạnh bài toán so sánh hai số tự nhiên và thứ tự của dãy số tự nhiên

* Nh ận xét chung cho hai giáo trình:

Cả hai giáo trình đều đưa ra được các tình huống khác nhau cho việc nảy sinh số tự nhiên Mỗi giáo trình chọn cho mình một cách tiếp cận riêng Khi đó, số tự nhiên cũng lấy nghĩa tương ứng với cách tiếp cận đó Hầu hết, các nghĩa ấy không được nêu ra một cách tường minh Đặc trưng bản số và tự số của số tự nhiên cũng được thể hiện tương ứng Hai tác giả cũng đề xuất một số bài toán có liên quan đến số tự nhiên Các bài toán tập trung vào đặc trưng bản số và tự số của nó

số tự nhiên Ở mỗi tác giả này cũng chọn cho mình cách tiếp cận riêng đối với nó Tác giả Bùi Anh Kiệt trưng ra cách tiếp cận quan hệ thứ tự Số tự nhiên được định nghĩa theo phương pháp tiên đề Peano Tuy nhiên, giáo trình cũng không tình bày tường minh cho sinh viên thấy được nghĩa của đối tượng này Trái lại, tác giả Trần Diên Hiển tiếp cận số tự nhiên theo bản số Ông định nghĩa số tự nhiên là bản số của một tập hữu hạn Tương tự như tác

giả trên, ông cũng không làm rõ nghĩa của số tự nhiên theo cách tiếp cận này

Điểm nổi bật của các giáo trình Phương pháp giảng dạy Toán là tiếp cận số tự nhiên

theo hai nghĩa: biểu thị lớp các tập hợp tương đương và chỉ số phân tử của tập hợp Nói

chung, các giáo trình không trình bày đầy đủ các nghĩa vốn có của số tự nhiên Có thể giáo trình này trình bày nghĩa này nhưng giáo trình khác lại theo nghĩa khác

Qua phân tích mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học, một số kết quả đáng lưu ý được rút ra như sau:

Trong các giáo trình, các tác giả có đề cập đến rất nhiều nghĩa khác nhau của số tự nhiên Tuy nhiên, không phải nghĩa nào cũng được đề cập tường minh Quan trọng hơn là, trong các nghĩa đó, GV sẽ chấp nhận nghĩa nào và loại bỏ nghĩa nào? Khi chấp nhận các nghĩa của số tự nhiên, nghĩa nào sẽ được các GV ưu tiên hơn? Bởi lẽ, chúng tôi dự đoán hai

nghĩa "kết quả của phép đếm" và "chỉ số phân tử của tập hợp" sẽ được GV ưu tiên hơn và

các nghĩa khác dường như bị lu mờ đi

Trong các giáo trình Phương pháp dạy học Toán, các tác giả đề cập đến hai kiến thức

phép đếm khác nhau Đầu tiên, phép đếm trước khi HS được học số tự nhiên như là "kiến

th ức văn hóa đời thường" Nó chỉ thể hiện tính bắt chước, làm theo của HS Thứ hai, phép

đếm được hiểu như là sự thiết lập tương ứng 1-1 Ở đây, phép đếm không còn hiểu như trên

nữa mà là một kiến thức toán học Nó xuất hiện nhằm giải quyết các tình huống Do đó, chúng tôi muốn đặt ra một số câu hỏi đói với hai loại kiến thức phép đếm như sau:

- GV có nhận thấy được sự khác biệt giữa hai loại kiến thức phép đếm không? Hơn thế

nữa, họ quan niệm như thế nào về hai loại kiến thức phép đếm này?

- HS có những thuận lợi và khó khăn gì trong việc học khái niệm số tự nhiên nếu các

em biết đếm trước đó?

Những kết quả đạt được từ phân tích ở trên là cơ sở tham chiểu cho phép chúng tôi phân tích SGK Đó là những công việc sẽ được thực hiện trong mục 2.2

2.2 Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học

Trong phần này, dựa trên cơ sở tham chiếu ở chương 1 và ở mục 2.1, chúng tôi sẽ phân tích mối quan hệ thể chế ở hai SGK: sách cải cách giáo dục và SGK hiện hành Nhằm đạt được điều đó, chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích:

1.Chương trình tiểu học (Bộ giáo dục và đào tạo) (2001, 2006), NXBGD

2.Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 1, NXBGD, (SGK hiện hành)

3.Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 1, NXBGD, (SGV hiện hành)

4.Phạm văn Hoàn (2001), Toán 1, NXBGD, (SGK cải cách)

5.Phạm văn Hoàn (2001), Toán 1, NXBGD, (SGV cải cách)

2.2.1 Sách cải cách giáo dục (M 1 )

1 Hình thành 10 s ố tự nhiên ban đầu

Tiếp cận đầu tiên về số tự nhiên được đưa vào bài: "BẰNG NHAU" (trang 12):

Nhìn vào hình vẽ, mỗi phần tử của tập hợp này đều được nối với một phần tử của tập

hợp kia băng một đường thẳng liền nét hay đứt nét Chẳng hạn, các tách được nối với các đĩa bằng các đường thẳng đứt nét, còn các hình vuông nối với các hình tam giác bằng đường

liền nét Các hình vẽ khác cũng được nối như thế một cách tương tự Những hình vẽ ấy thể

hiện ý tưởng "tương ứng 1-1" Tất cả đều cho thấy được là hai tập họp tương đương với nhau Theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, hai tập hợp này có cùng số phần tử Tiến trình hình thành hai tập hợp tương đương ở SGK rất phù hợp với tiến trình được đưa ra trong giáo trình Lý thuyết số của tác giả Trần Diên Hiển

Các tập hợp được đem ra so sánh với nhau đều có mối quan hệ vật chất với nhau,

chẳng hạn: các con gà - các con vịt, các tách - các đĩa, các hình vuông - các hình tam giác,

ất, trong hình trên chỉ có hình vẽ so sánh số táo với số chấm tròn Ý đồ của

noosphère là gì? Rõ ràng các chấm tròn và số táo không có quan hệ gì về nội dung nhưng nó

có quan hệ số lượng Đầu tiên, các chấm tròn là tập họp có tính khái quát và là tập hợp chuẩn trong SGK Tập hợp chuẩn này cũng được đề cập đến trong chương 1 Hơn thế nữa, các chấm tròn này cho thấy hai tập hợp có cùng số phần tử hay đây chính là biểu diễn của khái niệm bản số Số các chấm tròn này có ý nghĩa giống như "6 chấm tròn" được đề cập

trong giáo trình của Phạm Đình Thực trước đó Tóm lại, ý đồ của noosphère khi đưa vào các

chấm tròn là nhằm khái quát hóa lên để cho thấy số tự nhiên thoát khỏi nội dung, bản chất

của các đồ vật và phụ thuộc đặc trưng số lượng như nhận định của Plato trong chương 1

Thể chế chưa đưa vào các từ chỉ số lượng chẳng hạn như: có bốn cái tách, bốn cái đĩa, Các tác giả ngầm định cho HS thấy được sự bằng nhau trên tư tưởng "tương ứng 1-1" Hơn thế

nữa, HS chưa được đếm số phân tử của hai tập họp để so sánh chúng

Tiếp tục tình huống so sánh số phân tử của hai tập hợp băng nhau, SGK giới thiệu bài

"NHI ỀU HƠN, ÍT HƠN", [l0, tr.14]

Việc so sánh số phần tử của hai tập hợp đều dựa vào tư tưởng tương ứng 1-1 như đã phân tích ở trên Ở đây, SGK cũng chưa giới thiệu các từ chỉ số lượng Một đặc trưng khác

là số phân tử của hai tập hợp cần so sánh không quá nhiều (không lớn hơn 6) Qua những ghi nhận trên, một kiểu nhiệm vụ có liên quan số tự nhiên như sau:

Kiêu nhiệm vụ TR1R: "So sánh s ự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp"

Một số đặc trưng của kiểu nhiệm vụ TR1R:

- Các phần tử của hai tập hợp cần so sánh không được sắp xếp đối xứng với nhau qua đường thẳng nằm ngang hoặc thẳng đứng

- Qua phân tích ví dụ, bài tập, chúng tôi thấy số lượng phần tử của hai tập họp không vượt quá nhiều (không lớn hơn 6)

Kĩ thuật τR

1 Rđể giải quyết TR

1R:

- Lần lượt vẽ một đường thẳng đặt một phần tử của tập hợp này ứng với một phần tử

"Ta nói hai tập hợp (hiểu đơn giản là nhóm người, nhóm vật hoặc nhóm đò vật) là bằng nhau về sổ lượng, nếu

có th ể đặt tuông ứng 1-1 giữa các phần tử của chúng, trái lại ta nói hai tập hợp đó khác nhau về số lượng Khi hai tập

h ợp khác nhau về sổ lượng thì một tập hợp ít hơn và tập hợp kừi nhiều hơn về sổ lượng:

* Nh ận xét:

Kĩ thuật này được xây dựng trong SGV Hơn thế nữa, theo chúng tôi kĩ thuật τR 1 R dễ

hiểu, dễ sử dụng và có thể vận hành tốt Tuy nhiên, kĩ thuật τR 1 R, sẽ vận hành tốt hơn nếu các

phần tử của các tập hợp cần so sánh được sắp xếp đối xứng theo đường thẳng nằm ngang

hoặc thẳng đứng

Tiến trình so sánh các phần tử của hai tập hợp dần dần cho thấy không phải chỉ có hai

tập hợp có cùng số phần tử mà có thể có nhiều tập hợp có cùng số phần tử như thế Điều đó

dẫn đến hình thành các số tự nhiên ban đầu trong SGK

* Cách ti ếp cận các số tự nhiên từ 1 đến 10

Các số 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 đều được hình thành trên cơ sở của các tập họp tương đương Chẳng hạn, số 1 được hình thành trong SGK như sau:

Tất các tập họp đưa ra đều có cùng một số phần tử là 1 Mức độ trừu tượng hóa ngày càng cao lên Đầu tiên có thể là một cái bàn, một cái ghế, cái cặp, cho đến một con tính và sau cùng là một chấm tròn Giống như phân tích ở trước, các chấm tròn có giá trị là có tính khái quát cao và thể hiện của khái niệm bản số Đến đây có thể khẳng định được, SGK đề

cập đặc trưng bản số của số tự nhiên Nhưng nghĩa "chỉ số phần tử của tập hợp" của số tự nhiên chỉ được hiểu ngầm ẩn Tóm lại, cách hình thành các tập hợp này phù hợp với cách được nhắc đến trong giáo tình Phương pháp giảng dạy Toán của Phạm Đình Thực Vậy, các con tính trong bàn tính có ý nghĩa gì? Nó đánh dấu một bước tiếp cận khác của SGK Đó chính là cách tiếp cận thứ tự ngầm ẩn

* Cách ti ếp cận số 0

Các số tự nhiên từ 1 đến 10 đều có cách tiếp cận chung như thế Vậy số 0 có được tiếp

cận theo hướng này không? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đi phân tích bài "SỐ 0"

được trình bày trong SGK ở trang 50:

Trong bài này, số 0 không được hình thành trên quan điểm là đặc trưng của các tập

họp rông mà coi nó là kí hiệu của kết quả (hiệu) phép trừ hai số bằng nhau Theo quan điểm

này, việc đưa số 0 vào là việc mở rộng tập họp số tự nhiên: đó là số tự nhiên nhỏ nhất và đứng liền trước số 1 Cách tiếp cận số 0 như thế không được ra trong các giáo trình Số học

và Phương pháp giảng dạy Toán Theo cách tiếp cận này đã làm mất đi nghĩa của nó có trong lịch sử Nghĩa đó là "chỉ tập hợp có không phần tử"

2 T ổ chức toán học liên quan đến khái niệm số tự nhiên

Các kiểu nhiệm vụ gắn liền khái niệm số tự nhiên:

+ TR

2R: Đếm xuôi (ngược) dãy các số tự nhiên

+ TR3R: Phân tích câu t ạo của một số tự nhiên n cho trước

+ TR4R: B ổ sung các số vào dãy số

+ TR5R: So sánh hai s ố tự nhiên