Khái niệm số tự nhiên trong dạy học toán ở bậc tiểu học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG HỮU TÒNG KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TIỂU HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 MỤC LỤC MỤC LỤC 30T T LỜI CẢM ƠN 30T 30T DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 30T T MỞ ĐẦU 30T T Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát T T Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục tiểu nghiên cứu T T 3 Phương pháp nghiên cứu .9 T 30T Tổ chức luận văn 10 T 30T Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ 30T NHIÊN 12 T 1.1 Mục tiểu chương 12 T 30T 1.2 Đặc trung khoa học luận khái niệm số tự nhiên .12 T T 1.2.1 Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy thời cổ đại 12 T T 1.2.2 Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu kỷ XIX 16 T T 1.2.3 Giai đoạn 3: phần tư lại kỷ XIX .19 T T 1.3 Một số kết luận 23 T 30T 1.3.1 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 23 T T 1.3.2 Phạm vi tác động khái niệm số tự nhiên toán có liên quan 24 T T 1.3.3 Các đối tượng có liên quan 25 T T 1.3.4 Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên .25 T T Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN 27 30T T 2.1 Mối quan hệ thể chế vói số tự nhiên nhà trường đào tạo GV tiểu học 27 T T 2.1.1 Số tự nhiên học phần số học 28 T T 2.1.2 Số tự nhiên học phần Phương pháp giảng dạy Toán 31 T T 2.1.3 Kết luận 35 T 30T 2.2 Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên bậc tiểu học .37 T T 2.2.1 Sách cải cách giáo dục (M ) 37 T R R T 2.2.2 Sách giáo khoa hành (M ) 44 T R R T 2.3 Kết luận chương 54 T 30T Chương 3: THỰC NGHIỆM 57 30T 30T 3.1 Thực nghiệm A giáo viên .57 T T 3.1.1 Hình thức nội dung thực nghiệm 57 T T 3.1.2 Phân tích tiên nghiệm câu hỏi 59 T T 3.1.3 Phân tích hậu nghiệm câu hỏi thực nghiệm 62 T T 3.1.3 Một số kết luận rút từ thực nghiệm A 68 T T 3.2 Thực nghiệm B học sinh .68 T T 3.2.1 Phân tích tiên nghiệm tình thực nghiệm 68 T T 3.2.1.1 Tình sở 68 T 30T 3.2.1.2 Cơ sở xây dựng tình thực nghiệm .69 T T 3.2.1.3 Các chiến lược quan sát 70 T T 3.2.1.4 Môi trường 71 T 30T 30T 30T 3.2.1.5 Tình thực nghiệm (Xem phụ lục 3) 72 T 30T 30T T 3.2.1.6 Tổ chức thực nghiệm 72 T 30T 30T T a) Đối tượng: Các em HS lớp - học số tự nhiên lớp .72 T T b) Dàn dựng kịch 72 T 30T 3.2.1.7 Đặc trưng ánh thực nghiệm qua cách chọn giá trị biến T T .73 3.2.1.8 Ảnh hưởng việc lựa chọn giá trị biến đến chiến lược 74 T T 3.2.1.9 Phân tích kịch 75 T 30T 3.2.2 Phân tích hậu nghiệm tình thực nghiệm 76 T T 3.2.2.1 Một số kết ban đầu 76 T 30T 30T T 3.2.2.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm 76 T 30T 30T T 3.2.3 Một số kết luận rút từ thực nghiệm B 80 T T KẾT LUẬN 81 30T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 30T 30T Tiếng Việt 83 T T Tiếng Anh 84 T T Tiếng Pháp .84 T 30T PHỤ LỤC 85 30T T PHỤ LỤC 1: Các câu hỏi thực nghiệm A giáo viên 85 T T Phụ lục 2: 87 T T PHỤ LỤC 3: Tình thực nghiệm quy tắc trò chơi thực nghiệm B 99 T T PHỤ LỤC : Các protocole pha 2,3,4 thực nghiệm 100 T T LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức niềm say mê Didactic Toán Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc cần thiết cho Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên nhiệt tình giúp đỡ cho việc dịch luận văn sang tiếng Pháp Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập trường - Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ đồng nghiệp thuộc Bộ môn Toán tạo thuận lợi cho lúc học tập trường ĐHSP TP.HCM - Ban Giám hiệu giáo viên trường tiểu học Lê Quý Đôn, TP Cần Thơ nhiệt tình giúp đỡ xếp cho thực nghiệm Quý trường Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn lớp Didactic khóa 16 học tập, trải qua ngày vui buồn khó khăn khóa học Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình tôi, động viên giúp đỡ mặt Dương Hữu Tòng DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT GV: Giáo viên HS: Học sinh M1: Sách cải cách giáo dục M2: Sách giáo khoa hành SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên R R R R MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong giảng trường xuân Đà Lạt tháng 04/2007, GS.Annie Bessot tình bày tình "bút vẽ" thực nghiệm B de Villegas, Trường Đại học Los Andes: "Có lọ màu để cách xa bút vẽ Trẻ em phải đến lấy bút vẽ đặt vào lọ màu Các em lấy bút vẽ lần đảm bảo lọ có bút vẽ bút vẽ bị dư." Thực nghiệm thực với trẻ em biết đếm, theo nghĩa biết giải hai dạng toán sau : + Dạng toán 1: Xác định số tự nhiên ứng với số phần tử tập hợp cho trước + Dạng toán 2: Tạo tập hợp có số phần tử băng số tự nhiên n cho trước Thực nghiệm trẻ không giải tình "bút vẽ", dù em biết giải hai dạng toán Theo G.Brousseau, ứng xử trẻ cho phép khác biệt phép đếm kiến thức văn hóa đời thường phép đếm kiến thức công cụ để giải tình Những phân tích đặt cho nhiều câu hỏi cần giải đáp : - Trong thể chế dạy học toán bậc tiểu học Việt Nam, khái niệm số tự nhiên đưa vào nào? Xoay quanh dạng toán nào? Hai dạng toán nêu mối quan hệ chúng có vị trí, vai trò việc hình thành khái niệm số tự nhiên? - Phép đếm kiến thức văn hóa đời thường có vai trò việc dạy học khái niệm số tự nhiên? Phép đếm kiến thức toán học có đặc trưng gì? - Học sinh tiểu học Việt Nam, sau học số tự nhiên (ít phạm vi 100) ứng xử trước tình kiểu tình "bút vẽ" B de Villegas? - Giáo viên dạy học toán trường tiểu học Việt Nam có quan niệm khái niệm số tự nhiên dạy học số tự nhiên? Họ quan niệm hai loại kiến thức phép đếm: phép đếm - kiến thức văn hóa đời thường phép đếm kiến thức toán học? Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục tiểu nghiên cứu Nghiên cứu đặt phạm vi didactic toán với việc vận dụng yếu tố lý thuyết sau đây: - Lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế quan hệ cá nhân đối tượng tri thức, tổ chức toán học - Lý thuyết tình huống, họp đồng didactic Mục tiểu nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi xuất phát nêu trên, mà cụ thể hóa mở rộng phạm vi lí thuyết didactic sau : 1.Trong trình hình thành phát triển, số tự nhiên có đặc trưng khoa học luận nào? 2.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên nhà trường đào tạo GV tiểu học có đặc trưng ? Sự tương đồng khác biệt so với trình phát triển lịch sử? 3.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên thể chế dạy học toán bậc tiểu học có đặc trưng nào? Sự tương đồng khác biệt so với trình phát triển lịch sử so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học? 4.Những ràng buộc thể chế dạy học ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân GV HS? Có quy tắc ngầm ẩn hợp đồng didactic liên quan đến khái niệm số tự nhiên đáng ý? Phương pháp nghiên cứu Sau sơ đồ thể phương pháp nghiên cứu mà sử dụng nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu trên: - Đầu tiên, phân tích, tổng họp công trình có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận khái niệm số tự nhiên - Tiếp theo nghiên cứu tri thức luận, phân tích chương trình giáo trình toán (được sử dụng đê dạy cho GV tiểu học) thực nhằm tìm hiểu khái niệm số tự nhiên nghiên cứu cấp độ đại học mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng số tự nhiên - Hai nghiên cứu sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học số tự nhiên tiểu học Phân tích chương trình SGK, sách GV Toán 1, tài liệu hướng dẫn giảng dạy làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng số tự nhiên - Sau nghiên cứu trước đó, cho phép đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu Tính thỏa đáng chúng kiểm chứng thực nghiệm đối tượng GV HS Tổ chức luận văn ❖ Mở đầu ❖ Nội dung 10 • Chương 1: Đặc trưng khoa học luận khái niệm số tự nhiên • Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên 2.1.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên nhà trường đào tạo GV tiểu học 2.2.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên bậc tiểu học 2.3.Kết luận chương • Chương 3: Thực nghiệm ❖ Kết luận ■ Tài liệu tham khảo ■ Phụ lục 11 Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN 1.1 Mục tiểu chương Mục tiểu chương phân tích tổng hợp số nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận khái niệm số tự nhiên nhằm làm rõ đặc trưng đối tượng trình nảy sinh tiến triển Cụ thể, nhắm đến trả lời câu hỏi sau đây: 1.Khái niệm số tự nhiên hình thành phát triển qua giai đoạn lịch sử nào? 2.Khái niệm số tự nhiên xuất tác động kiểu toán, kiểu tình nào? Nhằm giải toán nào? Trong phạm vi nào? Đặc trưng nó? 3.Những đôi tượng, khái niệm toán học có liên quan góp phần nảy sinh phát triển khái niệm số tự nhiên ? 4.Có cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên? ứng với cách tiếp cận ấy, số tự nhiên lấy nghĩa gì? Tài liệu tham chiếu dùng để phân tích: Charles J Brainerd (1979), John Crossley (1987), Martino T.-Spagnolo F (1996), Nguyễn Cang (1999), Nguyễn Phú Lộc (2008) 1.2 Đặc trung khoa học luận khái niệm số tự nhiên Số tự nhiên thành tựu toán học lâu đời loài người Lịch sử nảy sinh phát triển khái niệm số chia làm giai đoạn Giai đoạn kéo dài từ thời kỳ nguyên thủy thời cổ đại Đóng góp giai đoạn có từ văn minh cổ xưa: Ai Cập, Babylon Hy lạp Giai đoạn từ thời trung cổ đến phần tư-đầu kỷ XIX Sự đóng góp giai đoạn thuộc học giả Thiên Chúa giáo Đạo Hồi Giai đoạn tính phần tư sau kỷ XIX Trong suốt giai đoạn này, nhà toán học đưa quan điểm khác số 1.2.1 Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy thời cổ đại ❖Cách tiếp cận số tự nhiên người nguyên thủy 12 Số tự nhiên đời nhu cầu nhận biết số lượng vật Chẳng hạn, người ta cần biết số lượng đàn thú để tổ chức săn, cần biết số lượng bên địch để tổ chức chiến đấu Tình xuất số tự nhiên nhu cầu cần đếm đồ vật, có từ thời kì tiền sử Ở bậc thấp xã hội nguyên thủy khái niệm số trừu tượng Điều nghĩa người nguyên thủy không đếm số lượng đồ vật tập họp cụ thề, thí dụ số lượng người tham gia buổi săn bắt, số lượng ao hồ bắt cá, Để nói phép đếm người nguyên thủy, tác giả Nguyễn Phú Lộc viết: "Có lẽ phép đếm sớm phương pháp đối chiếu theo nguyên tắc tương ứng - Khi đếm đàn cừu, chẳng hạn, cừu ứng với ngón tay, hay viên đá, sỏi, que, vét vạch lên mặt đất, nút sợi dây " [10, tr.9] Để hiểu số tự nhiên hình thành nào, ta hình dung người nhận thức số lượng vật cách nào? Người nguyên thủy phân biệt tự nhiên rừng cây, chó sói bầy chó sói, nghĩa phân biệt nhiều Có thể nói, người nhận thức số lượng vật cách so sánh Để nhận biết số lượng tập hợp "vật" đó, ta so sánh vói tập họp mà ta biết rõ số lượng Tập hợp gọi tập hợp chuẩn Để so sánh ta cho tương ứng vật tập hợp xét với vật xác định tập hợp chuẩn, cho hai vật khác ứng với hai vật phân biệt tập họp chuẩn Dễ hình dung lập tương ứng vậy, phần tử tập họp chuẩn ngược lại (tương ứng gọi tương ứng 1-1 song ánh) ta coi hai tập hợp có số lượng nhau, hay theo thuật ngữ toán học gọi hai tập hợp có lực lượng Dần dần người ta đến đặt số để đặc điểm chung tập hợp có lực lượng * Nhận xét: - Khái niệm số tự nhiên xuât đời sống sinh hoạt người nguyên thủy chưa diện lĩnh vực toán học - Từ ghi nhận tác giả Nguyễn Phú Lộc, thấy phép đếm người nguyên thủy thiết lập tương ứng 1-1 Đây kiến thức toán học phép đếm Nó cho phép giải tình Phép đếm cho phép so sánh số phần tử hai tập hợp Cụ thể, điều đề cập bên - Khái niệm số tự nhiên xuất ngầm ẩn tình huống: "So sánh nhiều hơn, số phần tử hai tập hợp" Kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ là: Cho tương 13 ứng phần tử tập với phần tử tập kia, tập có "thừa" phần tử có nhiều phần tử số tự nhiên chưa có tên, chưa định nghĩa - Ở đây, thấy nghĩa số tự nhiên, số tự nhiên lấy nghĩa "kết phép đếm" cách tường minh, nghĩa "biểu thị quan hệ tương ứng 1-1" cách ngầm ẩn Trên sở trên, đặc trưng số số tự nhiên đề cập cách không tường minh (Đặc trung số số tự nhiên có chức biểu thị quan hệ số lượng - theo Từ điển Bách Khoa Toán học) ❖Cách tiếp cận số tự nhiên người Ai Cập Babylon Có nhiều điểm khác tri thức số người Ai Cập Babylon, họ lại có điểm giống Các tác phẩm số hai nhóm tập trung vào tính toán Người Ai Cập người Babylon chưa nghĩ để xây dựng khoa học số Đặc biệt, có lẽ chứng cho câu hỏi "số ?" Đối với người Ai Cập, câu hỏi có lẽ nghĩa Đối với người Babylon, với cách tiếp cận số họ, câu hỏi có nghĩa Mặc dù, người Babylon người cổ đại am hiểu tường tận tính toán, khoa học số họ không tồn Gần như, họ khám phá cách dùng chung số, ý nghĩa tồn hữu ích không họ nhắc đến Nói chung, họ không quan tâm đến việc làm rõ ý nghĩa số tự nhiên hay tìm cách định nghĩa mà tập trung vào yếu tố "công cụ" Hai lĩnh vực toán học mà họ chọn để phát triển Số học Đại số ❖Cách tiếp cận số tự nhiên người Hy Lạp Người Hy Lạp người thành công việc xây dựng khoa học số vào khoảng thể kỷ thứ đến kỷ TCN Thật vậy, họ xem người khởi đầu cho khoa học số Theo Bertrand Russell (1919), vẽ biên toán học khoa học toán sau: "Khi làm toán, người ta tham gia vào trình mà nhờ tầm ứng dụng khái niệm mở rộng Tức là, người ta tìm thêm cách khác khái niệm toán học sử dụng Khi làm khoa học toán, người ta tham gia vào trình ngược lại Thay vì, mở rộng tầm ứng dụng khái niệm, người ta lại thu hẹp Trong khoa học toán, đặt câu hỏi "khái niệm có nghĩa gì?"[26, tr.25] Các nhà toán học Hy Lạp nhận thấy câu hỏi đầy thú vị Ở đây, xét đến hai người đóng góp quan trọng nhất: Pythagoras Plato Cách tiếp cận số tự nhiên Pythagoras (569 - 500 TCN) 14 Trong suốt năm sinh sống Croton, Pythagoras có câu trả lời kinh ngạc cho câu hỏi "số ?" Đối với ông, số tất mà có theo nghĩa đen số thực tế số ngôn ngữ vũ trụ Theo quan niệm người Hy Lạp, vũ trụ thứ quy hay vài tổng quát Mặc dù, "Tất số" nghe ngây thơ so với ngày nay, ví dụ tuyệt vời cho cách tiếp cận người Hy Lạp để giải mã bí mật tự nhiên Khái niệm-về số Pythagoras hẹp so với ngày Thật vậy, Pythagoras thừa nhận hai loại số : (1) dãy nguyên dương vô tận (1, 2, 3, ) tức 𝑎 gọi số tự nhiên ngày (2) dãy phân số vô tận( , tử số số tư nhiên (gói "số hữu tỉ" ngày nay) 𝑎2 𝑎3 , , ) mà tất mẫu số 𝑏1 𝑏2 𝑏3 * Nhận xét: - Xét lịch sử, phát biểu "Tất số" đánh dấu bước đột phá quan trọng: phán đoán tảng toán học Theo quan điểm Pythagoras, toán học diễn thiếu vắng nên tảng số - Pythagoras đưa dãy số tự nhiên 1, 2, 3, dãy phân số Ông phát tính vô hạn dãy số tự nhiên Tuy nhiên, ông không đề cập đến số hai dãy số Mặc dù, ông không đưa định nghĩa số tự nhiên ngôn ngữ toán học ngày nay, ông đánh dấu bước ngoặt là-quan tâm đến yếu tố "đối tượng" "công cụ" số tự nhiên Cách tiếp cận số tụ nhiên Plato (428 hay 427-347 TCN) Ít hay nhiều, Plato đến kết luận nguồn gốc số Pythagoras Tức là, ông kết luận số "thực" Ông đưa giải thích sau: đại lượng số, không giống đại lượng mùi, màu, vị, trừu tượng Trong trải nghiệm đạt kiến thức mùi, màu, vị theo lối trực tiếp trực giác, đạt kiến thức số theo lối Tuy nhiên, biết nhiều số, có lẽ, nhiều biết đại lượng trải nghiệm qua trực giác Kiến thức đạt cách nào? Nếu đầu suy ngẫm thứ mà thấy được, thứ phải độc lập trí óc thứ vật chất khác Sự tin tưởng Plato tồn độc lập số nói chung khái niệm toán học có ba tác phẩm tiếng ông: The Meno, The Phaedo, The Republic 15 * Nhận xét: Điểm nhấn Plato ông phát chất số tự nhiên: tồn độc lập vật trông thấy Tuy nhiên, ông không đưa định nghĩa xác cho số tự nhiên Dưới ngôn ngữ toán học, số tự nhiên không phụ thuộc nội dung đồ vật mà liên hệ đến số lượng phần tử tập hợp Tóm lại, giai đoạn số tự nhiên có đặc trưng sau: - Nguồn gốc làm xuất khái niệm số trừu tượng cách đếm nguyên sơ đồ vật, mà nội dung so sánh vật tập hợp cụ thể cho với vật tập họp xác định đó, lấy làm chuẩn Theo ngôn ngữ toán học, số tự nhiên xuất tình "So sánh nhiều hơn, số phân tử hai tập hợp" - Các toán có liên quan là: xác định số phần tử tập hợp, so sánh số phần tử hai tập hợp, số tự nhiên thể chức "công cụ" Cơ chế đối tượng số tự nhiên nhắc đến cách mờ nhạt Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy chế khái niệm protomathémtique - Đến đây, đặc trưng số số tự nhiên tiếp cận không tường minh Đặc trưng tự số tồn cách ngầm ẩn Bởi lẽ, so sánh số phần tử hai tập hợp xảy trường hợp "nhiều hơn, hơn, nhau" số phân tử hai tập Khi đó, đặc trưng tự số số tự nhiên tồn cách ngầm ẩn - Số tự nhiên xuất có nghĩa riêng thân Số tự nhiên lấy nghĩa "kết phép đếm", nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 tập hợp" cách ngầm ẩn thông qua phép đếm - Bước tiến quan trọng phát triển số tự nhiên nhận thức tính vô hạn dãy số tự nhiên Hơn nữa, số tự nhiên không lệ thuộc vào nội dung đồ vật mà phụ thuộc vào quan hệ số lượng phần tử tập hợp Đây khám phá quan trọng nhà toán học Bởi lẽ, cho phép trừu tượng hóa, khái quát hóa lên thuộc tính chất số tự nhiên 1.2.2 Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu kỷ XIX Điểm quan trọng thời kỳ Trung cổ khoa học giả thần bí "số luận" hoàn toàn thống trị tri thức số giai đoạn Các tác phẩm học giả số bắt đầu kết thúc với số luận "Số luận" nên hiểu luận đề mà tính sai mệnh đề 16 chứng minh phân tích số Trong suốt thời kỳ Trung cổ, số luận hầu hết người chấp nhận phương pháp để có kiến thức thứ Như biết, hai Pythagoras Brotherhood trường phái Plato tán thành dạng số luận Cả hai nghĩ thật vũ trụ làm sáng tỏ cách thực tính toán số học với số đặc biệt Nhưng hai không đưa số luận đến thời kỳ rực rỡ Nigidius Figulus (La Mã) - sống suốt kỷ thứ SCN, xem cha đẻ số luận Trung cổ Điểm giống việc giảng dạy Nigidius tác phẩm Pythagoras số luận Chú ý rằng, số luận Pythagoras liên quan đến câu hỏi mà ngày xem vấn đề khoa học đáng Nhưng, trường Nigidius trường triết học La mã sau nhận thấy câu hỏi khô khan không thú vị Thần học lĩnh vực mà họ quan tâm họ nhận thấy khả lớn số luận lĩnh vực Rõ ràng, họ định số luận dùng để chứng minh tính chân trị mệnh đề thần học ngày Các nhà số luận Alexandria mở rộng số luận thần học Nigidius đến mức độ logic cách phát minh "gematria" Trong gematria, số luận ứng dụng cho Kinh Cựu ước Các tiết Kinh Cựu ước chứa số kí tự, số từ, dấu nhấn chúng giải thích chứa đựng ý nghĩa bí ẩn St Augustine (353 - 430) xem người thay đổi số luận số nhà thờ Augustine tin gematria áp dụng cho Kinh Tân ước Kinh Cựu ước Đây điểm quan trọng cho mặt số luận suốt kỷ IV V Augustine cho người hoàn chỉnh gematria - phân tích Kinh Tân ước Sau đó, ông kết luận thượng đế người số luận số ngôn ngữ chung mà thượng đế ban tặng cho nhân loại Có nhiều nhà số luận thời Augustine Proclus (411- 485), St Isadore (579 - 636), St Thomas Aquinas (1226 - 1274) nhà thơ Dante (1265 -1321) Proclus phát minh công thức số luận Nhưng không may mắn, ông suy nghĩ trước để công thức số luận ông dựa vào Kinh Tân ước St Isadore cho người chuẩn bị tự điển tham khảo số hai Kinh Tân ước Cựu ước Aquinas mở rộng số luận Thiên chúa giáo kỷ trước, bao gồm quan niệm số mà ông khám phá tác phẩm Aristotle Dante phát số luận thơ 17 Trong tác phẩm The Divine Comedy mình, Dante trang bị đầy đủ hệ ký hiệu số mập mờ Sau đó, nhà toán học Hồi giáo tiếp cận số học đại số theo lối tổ tiên Babylon Hy Lạp Các nhà toán học Hồi giáo thêm số vào số tự nhiên số hữu tỷ người Hy Lạp Người Babylon sử dụng số trước Họ đưa kí hiệu số Ngoài việc thêm số vào hệ thống số người Hy Lạp kí hiệu mới, nhà toán học Hồi giáo có đóng góp không nhiều Họ cố tìm kiếm để bắt chước giữ lại tác phẩm người Hy Lạp, tự tìm hướng cho riêng Trong nhiều tác phẩm người Hồi giáo, gặp phải vấn đề người Babylon Hy Lạp gặp: thu hẹp khái niệm số Nhớ lại rằng, người Hy Lạp chấp nhận hai loại số: số tự nhiên phân số Tuy nhiên, để hoàn thành hệ thống số học đại số, loại số khác phải thừa nhận, đặc biệt: số âm, số vô tỷ, số phức Người Hy Lạp xem loại số khác tưởng tượng người Hồi giáo xem Khái niệm số thời kỳ cổ đại trung cổ số luận bị giới hạn tiểu chuẩn đại Đến cuối giai đoạn hai, khái niệm số mở rộng hình thành nhiều loại số Đó kết việc áp dụng phép toán đại số số học số tự nhiên phân số Trong suốt trình mở rộng đầy phức tạp này, nhà toán học ngầm ẩn giả định rằng: số xét mặt logic suy từ khái niệm số người Hy Lạp Tức là, họ giả định số suy từ số tự nhiên Nói chung, giai đoạn số tự nhiên có đặc trưng sau: - Lĩnh vực chiếm ưu số tự nhiên giai đoạn số luận Có nhiều nhà số luận Tuy nhiên, họ không quan tâm nhiều đến yếu tố "đối tượng" mà tập trung vào yếu tố công cụ Phạm vi hoạt động số tự nhiên: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, số học, Đại số, - Việc bổ sung số vào dãy số tự nhiên làm cho tập hợp số tự nhiên hoàn thiện như ngày Có nhiều tập hợp số hình thành giai đoạn này, chẳng hạn: số hữu tỷ, số âm, số vô tỷ, Tuy nhiên, khái niệm số tự nhiên chưa định nghĩa Trong giai đoạn này, số tự nhiên lấy chế khái niệm paramathémtique 18 1.2.3 Giai đoạn 3: phần tư lại kỷ XIX Giai đoạn bắt đầu suốt phhần tư lại kỷ XIX Đặc trưng thời kỳ việc thống nấát khái niệm số thực nhiều mở rộng Lịch sử ghi nhận lại cố gắng nhà toán học việc xây dựng thành công định nghĩa số tự nhiên thỏa đáng mặt logic ❖Cách tiếp cận "bản số" George Cantor (1845 -1918) Trong trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh khái niệm số năm từ 1874 đến 1884 Đầu tiên, ông thiết lập số công cụ để so sánh tập hợp hữu hạn Ví dụ, tập hợp {1,3,5} {2,3,4} không nhau, có số phần tử, tức Bên cạnh đó, ông đưa khái niệm phép tương ứng 1-1 Phép tương ứng cho phép chứng minh hai tập hợp hữu hạn có số có tương ứng 1-1 phần tử tập họp Khi sử dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm sang tập hợp vô hạn, tức tập hợp số tự nhiên N = {1,2,3, } * Nhân xét: - Để thấy thành tựu nhà toán học người Đức này, xin trình bày đoạn trích" Từ điển Bách Khoa Toán học sau: "Ông định nghĩa khái niệm tương đương tập hợp Thêm nữa, số đồ vật cấu thành tập hợp cho sẵn - xác định chung cho tập hợp cho sẵn tập hợp đồ vật tuông đương với nó, không phụ thuộc đặc trung nội dung đồ vật Định nghĩa phản ánh thực chất số tự nhiên kết đếm đồ vật, cấu tạo nên tập hợp cho Thật vậy, giai đoạn lịch sử, việc đếm bao hàm đối chiếu, một, đồ vật cần đếm với đồ vật làm thành tập hợp "chuẩn " (ở giai đoạn lịch sử sơ khai, ngón tay bàn tay, vật khắc gỗ, ; giai đoạn đại, từ ngữ hay kí hiệu biểu diễn số)" [18, tr.27] Qua đó, ta rút số điểm cần lưu ý sau: + Nghĩa số tự nhiên đề cập tường minh: "kết phép đếm", "biểu thị lớp tập hợp tương đương", "biểu thị tương ứng 1-1 tập hợp" + Sự tồn hai kiến thức phép đếm: phép đếm - gắn liền với số phần tử tập hợp phép đếm - thiết lập tương ứng 1-1 19 + Cũng giống Plato nhận định số tự nhiên không phụ thuộc vào nội dung đồ vật Định nghĩa Cantor xem xuất phát điểm để mở rộng khái niệm đặc trưng số lượng tập hợp vô hạn - Xét lịch sử, Cantor người có công việc tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng số Một số khái niệm toán học lý thuyết tập hợp có liên quan đến khái niệm số tự nhiên là: hai tập hợp tương đương, số, tương ứng 1-1 ❖Cách tiếp cận "thứ tự' Dedekỉnd (1831 -1916) Ngày nay, Richard Dedekind nhớ người quan trọng việc đưa cắt Dedekind - phương pháp chấp nhận rộng rãi để định nghĩa khái niệm số thực Tuy nhiên, cần quan tâm đến Dedekind ông nhà toán học đề nghị lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh số Lý thuyết trình bày "Was sind und was sollen die zahlen" (Bản chất ý nghĩa số) Bởi vì, số thứ tự số hạng chung cấp số Điều dẫn Dedekind (1887) đồng số tự nhiên với số thứ tự "Những phần tử gọi số tự nhiên hay số thứ tự hay đơn giản số" Nguyên nhân số phụ thuộc vào tính chất thứ tự số tự nhiên dẫn ông đến kết luận số thứ tự số Đây điều quan trọng lý thuyết Dedekind Ông đề nghị số tự nhiên nữa, trước tiên chúng phải cấp số ❖Nhận xét: Điểm mấu chốt lý thuyết Dedekind là: đồng số tự nhiên với số thứ tự Khái niệm số tự nhiên xuất gắn liền với số thứ tự cấp số Do đó, ông tiếp cận số tự nhiên đặc trưng tự số (tính thứ tốt dãy số tự nhiên) mà bỏ qua hẵn đặc trưng số Với cách tiếp cận Dedekind, số tự nhiên lấy nghĩa "chỉ vị trí số hạng cấp số" ❖Cách tiếp cận "tiên đề" Peano (1858 -1932) Mặc dù, nói chung lý thuyết Dedekind Peano không khác nhau, cần lý thuyết Peano xem xét rộng rãi Lý thuyết Peano xuất vào năm 1899 "Formulaire de mathématiques" Lý thuyết Peano có khái niệm tiên đề sử dụng khái niệm Các khái niệm không 20 [...]... trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên • Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên 2.1.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV tiểu học 2.2.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học 2.3.Kết luận chương 2 • Chương 3: Thực nghiệm ❖ Kết luận ■ Tài liệu tham khảo ■ Phụ lục 11 Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN 1.1 Mục tiểu của... thứ tự của số tự nhiên dẫn ông đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số Đây là một điều quan trọng về lý thuyết của Dedekind Ông đề nghị rằng các số tự nhiên là gì đi nữa, trước tiên chúng phải là một cấp số ❖Nhận xét: Điểm mấu chốt trong lý thuyết của Dedekind là: đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự Khái niệm số tự nhiên xuất hiện gắn liền với số thứ tự và cấp số Do đó, ông chỉ tiếp cận số tự nhiên. .. thành nhiều loại số mới Đó là kết quả của việc áp dụng các phép toán đại số và số học đối với số tự nhiên và phân số Trong suốt quá trình mở rộng đầy phức tạp này, các nhà toán học ngầm ẩn giả định rằng: các số mới này xét về mặt logic được suy ra từ khái niệm số của người Hy Lạp Tức là, họ giả định các số mới có thể được suy ra từ số tự nhiên Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng... loại số: số tự nhiên và phân số Tuy nhiên, để có thể hoàn thành được hệ thống số học và đại số, các loại số khác phải được thừa nhận, đặc biệt: số âm, số vô tỷ, và số phức Người Hy Lạp xem các loại số khác chỉ là tưởng tượng và người Hồi giáo cũng xem như thế Khái niệm số của thời kỳ cổ đại và trung cổ số luận bị giới hạn bởi các tiểu chuẩn hiện đại Đến cuối giai đoạn hai, khái niệm số được mở rộng... toán học, số tự nhiên xuất hiện trong tình huống "So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp" - Các bài toán có liên quan là: xác định số phần tử của một tập hợp, so sánh số phần tử của hai tập hợp, số tự nhiên thể hiện chức năng "công cụ" của mình Cơ chế đối tượng của số tự nhiên chỉ được nhắc đến một cách mờ nhạt Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy cơ chế của một khái niệm. .. Dedekind bởi vì ông là nhà toán học đầu tiên đề nghị một lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh về số Lý thuyết được trình bày trong "Was sind und was sollen die zahlen" (Bản chất và ý nghĩa của số) Bởi vì, số thứ tự là các số hạng chung của các cấp số Điều đó dẫn Dedekind (1887) đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự "Những phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số thứ tự hay đơn giản là số" Nguyên nhân số chỉ phụ... ưu thế của số tự nhiên trong giai đoạn này là số luận Có rất nhiều nhà số luận Tuy nhiên, họ không quan tâm nhiều đến yếu tố "đối tượng" mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ Phạm vi hoạt động của số tự nhiên: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, số học, Đại số, - Việc bổ sung số 0 vào dãy các số tự nhiên làm cho tập hợp số tự nhiên được hoàn thiện như như ngày nay Có nhiều tập hợp số mới được... về các nền tảng của toán học Theo quan điểm Pythagoras, toán học không thể diễn ra nếu thiếu vắng đi nên tảng của số - Pythagoras đưa ra được dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 và dãy các phân số Ông cũng phát hiện ra được tính vô hạn của dãy số tự nhiên Tuy nhiên, ông không đề cập đến số 0 trong hai dãy số trên Mặc dù, ông không đưa ra được định nghĩa số tự nhiên dưới ngôn ngữ toán học ngày nay, nhưng... thành trong giai đoạn này, chẳng hạn: số hữu tỷ, số âm, số vô tỷ, Tuy nhiên, khái niệm số tự nhiên vẫn chưa được định nghĩa Trong giai đoạn này, số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathémtique 18 1.2.3 Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX Giai đoạn bắt đầu trong suốt phhần tư còn lại của thế kỷ XIX Đặc trưng của thời kỳ này là việc thống nấát khái niệm số được thực hiện nhiều hơn là mở rộng... hơn số tự nhiên vẫn chưa có tên, chưa được định nghĩa - Ở đây, chúng ta cũng thấy được nghĩa của số tự nhiên, số tự nhiên lấy nghĩa "kết quả của phép đếm" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị quan hệ tương ứng 1-1" một cách ngầm ẩn Trên cơ sở như trên, đặc trưng bản số của số tự nhiên cũng được đề cập một cách không tường minh (Đặc trung bản số của số tự nhiên là có chức năng biểu thị quan hệ số