Một khái niệm toán học có thể được hình thành trên những quan điểm tiếp cận khác nhau. Các nhà lý luận dạy học, tác giả SGK sẽ lựa chọn những quan điểm phù hợp với trình độ nhận thức và đặc điểm của HS. Vì thế, một khái niệm toán học trong SGK cũng có thể được tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau. Bài báo này sẽ làm rõ các cách tiếp cận của khái niệm số tự nhiên trong lịch sử và SGK Toán lớp 1.
Tư liệu tham khảo Số 27 năm 2011 _ CÁC CÁCH TIẾP CẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG LỊCH SỬ VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỐN LỚP DƯƠNG HỮU TỊNG* TĨM TẮT Một khái niệm tốn học hình thành quan điểm tiếp cận khác Các nhà lý luận dạy học, tác giả SGK lựa chọn quan điểm phù hợp với trình độ nhận thức đặc điểm HS Vì thế, khái niệm tốn học SGK tiếp cận theo nhiều hướng khác Bài báo làm rõ cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên lịch sử SGK Toán lớp ABSTRACT The approaches to the natural numbers in history and mathematics textbook Grade A mathematical concept could be formed on the different views of approaches Learning theorists, textbook authors choose the viewpoints in accordance with pupils’ levels of awareness and of characteristics Therefore, a mathematical concept in the textbook could also be approached in various ways This paper clarifies the approaches to the natural numbers in history and mathematics textbook Grade 1 Đặt vấn đề Một khái niệm toán học mà HS tiểu học tiếp cận khái niệm số tự nhiên Số tự nhiên có vị trí, vai trò quan trọng mạch kiến thức tốn tiểu học, đồng thời sở để mở rộng loại số khác phân số, số thập phân, số nguyên,… Do đó, nhiệm vụ đặt GV tiểu học phải cho HS có hiểu biết đắn khái niệm số tự nhiên, đặc biệt hình thành khái niệm ban đầu số tự nhiên Bài báo mang lại hiểu biết cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên lịch sử SGK Toán lớp Đây kiến thức cần thiết giúp GV truyền đạt khái * ThS, NCS Trường Đại học Sư phạm TP HCM 142 niệm số tự nhiên cho HS có hiệu Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên lịch sử 2.1 Cách tiếp cận dựa đo lường Số tự nhiên đời nhu cầu nhận biết số lượng vật Chẳng hạn: người ta cần biết số lượng đàn thú để tổ chức săn, cần biết số lượng bên địch để tổ chức chiến đấu,… Tình xuất số tự nhiên nhu cầu cần đếm đồ vật, có từ thời kì tiền sử Điều khơng có nghĩa người nguyên thủy không đếm số lượng đồ vật tập hợp cụ thể, thí dụ số lượng người tham gia buổi săn bắt, số lượng ao hồ bắt cá,… Trong cách tiếp cận dựa đo lường, số tự nhiên có liên Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Hữu Tòng _ quan nhiều đến số lượng vật thể toàn thể số đơn vị đo lường Người Hy Lạp xem số đo lường thứ Họ đồng đo lường với đếm 2.2 Cách tiếp cận quan hệ thứ tự Cách tiếp cận thứ tự có từ thời Hy Lạp, tồn ngầm ẩn tác phẩm nhà toán học Một phần tác phẩm Elements Euclid (được viết suốt kỷ thứ III TCN) giả định trước quan điểm quan hệ số Cũng giống vậy, nhà triết học nguyên tử Hy Lạp, Leucippus (thế kỷ thứ V TCN) Democritus nghĩ số theo cách Tuy nhiên, định nghĩa số theo quan hệ thứ tự lại thuộc hai nhà toán học: Dedekind Peano Cách tiếp cận “thứ tự” Dedekind (1831 – 1916) Chúng ta cần quan tâm đến Dedekind ơng nhà toán học đề nghị lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh số Lý thuyết trình bày “Was sind und was sollen die zahlen” (Bản chất ý nghĩa số ) Bởi vì, số thứ tự số hạng chung cấp số Điều dẫn Dedekind (1887) đồng số tự nhiên với số thứ tự “Những phần tử gọi số tự nhiên hay số thứ tự hay đơn giản số” Nguyên nhân số phụ thuộc vào tính chất thứ tự số tự nhiên dẫn ông đến kết luận số thứ tự số Đây điều quan trọng lý thuyết Dedekind Ông đề nghị số tự nhiên nữa, trước tiên chúng phải cấp số Điểm mấu chốt lý thuyết Dedekind là: đồng số tự nhiên với số thứ tự Khái niệm số tự nhiên xuất gắn liền với số thứ tự cấp số Do đó, ơng tiếp cận số tự nhiên đặc trưng tự số (tính thứ tự tốt dãy số tự nhiên) mà bỏ qua hẳn đặc trưng số Cách tiếp cận “tiên đề” Peano (1858 – 1932) Mặc dù, nói chung lý thuyết Dedekind Peano không khác nhau, cần lý thuyết Peano xem xét rộng rãi Lý thuyết Peano xuất vào năm 1899 “Formulaire de mathématiques” Lý thuyết Peano có khái niệm tiên đề sử dụng khái niệm Các khái niệm không định nghĩa Peano “1”, “số tự nhiên”, “số liền sau” Các tiên đề Peano phát biểu sau: 1) số tự nhiên 2) Nếu x số tự nhiên số liền sau x số tự nhiên 3) Các số tự nhiên khác có số liền sau khác 4) không số liền sau số tự nhiên 5) Nếu số liền sau số tự nhiên có tính chất P, số tự nhiên có tính chất P Cách tiếp cận số tự nhiên Peano theo phương pháp tiên đề Ông đánh dấu bước ngoặt thứ hai sau Dedekind cách tiếp cận số tự nhiên theo quan điểm thứ tự Theo phương pháp tiên đề trên, số tự nhiên định nghĩa dựa vào số liền trước Ở đây, số 143 Số 27 năm 2011 Tư liệu tham khảo _ đóng vai trò khái niệm nên khơng định nghĩa Số không Peano chọn làm khái niệm tiên 2.3 Cách tiếp cận số Số tự nhiên liền trước Thêm đơn vị vào số tự nhiên liền trước Người tiếp cận số tự nhiên theo lối nhà toán học Cantor Trong khi, cách tiếp cận quan hệ đồng số tự nhiên với số thứ tự, cách tiếp cận số lại đồng số tự nhiên với số Bản số tập hợp hữu hạn số tự nhiên Như vậy, a số tự nhiên tồn tập hữu hạn A, cho a CardA Trong trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh khái niệm số năm từ 1874 đến 1884 Đầu tiên, ông thiết lập số công cụ để so sánh tập hợp hữu hạn Ví dụ, tập hợp 1,3,5 2,3,4 khơng nhau, có số phần tử, tức Bên cạnh đó, ơng đưa khái niệm phép tương ứng 1-1 Phép tương ứng cho phép chứng minh hai tập hợp hữu hạn có số có tương ứng 1-1 phần tử tập hợp Khi sử dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm sang tập hợp vô hạn, tức tập hợp số tự nhiên N 1,2,3, 2.4 Cách tiếp cận theo “lớp” Cách tiếp cận hai nhà toán học Frege Russell đề xuất Mỗi số tự nhiên định nghĩa lớp tất tập hợp có số phần tử 144 đề ông đưa Do đó, số tự nhiên (ngoại trừ số 0) tiếp cận theo tiến trình sau: Số tự nhiên liền sau Cách tiếp cận “lớp” Frege (1848 – 1925) Russell (1872 – 1969) Xét lịch sử, dịch Frege có ưu tiên Russell Bản dịch xuất “Die grundlagen der Arirhmetik” (Nền tảng số học) Có số điểm khác lý thuyết Frege Russell Frege định nghĩa lớp dựa vào nội hàm Tuy nhiên, Russell làm theo định nghĩa thơng thường hơn, lớp liên quan đến hàm mệnh đề ẩn Định nghĩa làm cho lớp đồng nghĩa với ngoại diên Cả hai dịch đồng ý điểm chính: Đầu tiên, quan điểm số tự nhiên xuất phát từ quan điểm nhiều quan điểm thứ tự Thứ hai, số tự nhiên đồng với số Thứ ba, số tự nhiên xem loại lớp Russell bắt đầu phát triển lý thuyết phê bình định nghĩa số đề cập trước phương pháp tiên đề Peano Theo lý thuyết này, số tự nhiên định nghĩa cấp số cộng đặc biệt bắt đầu số sau có từ việc cộng thêm vào số liền trước Cách tiếp cận định nghĩa gọi “triết học” Russell không chấp nhận định nghĩa gây “sự khác khó hiểu” số hạng khác cấp số Bằng cách thơng Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Hữu Tòng _ qua cách tiếp cận định nghĩa “toán học”, Russell tuyên bố định nghĩa theo cách số lại Để loại khác biệt số khác, xem tính chất số tính chất lớp, đặc biệt, xem dãy số tự nhiên số Do đó, số tự nhiên liên hệ đến số phần tử mà lớp chứa Thật vậy, để định nghĩa số tự nhiên, trước tiên phải định nghĩa số Bước định nghĩa đưa câu hỏi “Hai tập hợp có số phần tử lấy nghĩa gì?” Russell đưa câu trả lời cho câu hỏi dựa vào quan hệ tương ứng: “Hai tập hợp có số phần tử số hạng chúng có tương quan 1-1 để số hạng tập hợp tương ứng số hạng tập hợp kia.” (Russell - 1903) Sau đó, Russell (1919) đưa định nghĩa ngắn gọn sau: “Số lớp lớp tất tập hợp tương đương” Với định nghĩa này, ta hiểu sau: A = a, b, c, d ; B = 1,2,3,4; C = {xanh, đỏ, tím, vàng}; D = {gà, vịt, ngỗng, ngan},…, = {A, B, C, D,…}; lớp tập hợp có phần tử 2.5 Cách tiếp cận số - thứ tự Cách tiếp cận nhà tâm lý học Piaget đưa tác phẩm “La genèse du nombre chez l énfant” (Sự phát triển số trẻ) Ông tin số tự nhiên đồng thời số thứ tự số Cách tiếp cận ông xuất phát từ quan điểm logic Luận điểm ơng kết hợp hai quan điểm số: quan hệ thứ tự lớp Ông tranh luận: thật khơng xác xây dựng số tự nhiên dựa vào hai số thứ tự hay số Thay vậy, số tự nhiên đồng hai: thứ tự số Một số điều rút từ quan điểm Piaget Đầu tiên, ông giả định Russell ông cho số tự nhiên đồng với số Có nguyên nhân để nghi ngờ kết nối số tính chất số lượng lớp riêng biệt lý thuyết Frege - Russell Piaget không ủng hộ tranh luận Thứ hai, khái niệm số suy từ khái niệm số lớp, điều khơng phải tất có liên quan Thứ ba, ngồi tương ứng ra, nên giới thiệu thứ tự khái niệm lý thuyết Điều cho số hạng lớp số thứ tự Bằng cách phát quy luật là: cặp số hạng lớp khác phải có số thứ tự Chúng ta chắn rằng, với hai lớp có số phần tử cho, số hạng lớp ghép đôi số hạng lớp lại ngược lại Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên sách giáo khoa toán lớp (Chỉ nêu cách tiếp cận 11 số tự nhiên đầu tiên) 3.1 Cách tiếp cận số tự nhiên từ đến Trước dạy 11 số tự nhiên đầu tiên, SGK đưa “NHIỀU HƠN, ÍT HƠN” : 145 Tư liệu tham khảo Số 27 năm 2011 _ Qua cách trình bày tác giả, dạng tập đưa ra: “So sánh nhiều hơn, số phần tử hai tập hợp” Chẳng hạn, để so sánh xem số cốc nhiều hay số thìa nhiều Đặc trưng tập số phần tử tập hợp không vượt Bên cạnh đó, SGK trình bày phần tử hai tập hợp đối xứng với theo đường thẳng nằm ngang đường thẳng đứng Ví dụ, hình vẽ cốc đối xứng với thìa qua đường thẳng đứng chai nút chai xếp đối xứng theo đường thẳng nằm ngang Các hình vẽ sau tương tự Việc xếp tạo điều kiện cho HS sử dụng cách để giải dạng tập này? Nhìn vào hình vẽ trên, tác giả nối cốc với thìa đường thẳng liền nét Rõ ràng, sau làm cho cốc thìa, có cốc chưa nối với thìa Khi đó, kết luận số cốc nhiều số thìa có cốc bị “thừa”, hay số thìa số cốc Hình thức “ghép đơi” thể tư tưởng ứng 1-1 chúng tơi gọi chung kĩ thuật “tương ứng 1-1” Tóm lại, SGK mong muốn HS sử dụng kĩ thuật “tương ứng 1-1” đếm số phần tử hai tập hợp so sánh Để minh chứng thêm cho điều này, đoạn trích SGV ghi lại sau: “1 So sánh số lượng cốc số lượng thìa (chẳng hạn cốc, chưa dùng từ “năm”, nên nói: “Có số cốc”)… 146 GV hướng dẫn HS quan sát hình vẽ học, giới thiệu so sánh số lượng hai nhóm đối tượng sau, chẳng hạn: - Ta nối…chỉ với một… - Nhóm có đối tượng (chai nút chai, ấm đun nước,…) bị thừa nhóm có số lượng nhiều hơn, nhóm có số lượng Chú ý: Chỉ cho HS so sánh nhóm có khơng q đối tượng, chưa dùng phép đếm, chưa dùng từ số lượng,…” 5, tr.21-22 Đoạn trích sở để củng cố thêm nhận định Ngay phần “chú ý” thấy mong muốn tác giả viết sách Đó khơng dùng phép đếm để xác định số lượng phần tử tập hợp, dùng kĩ thuật “tương ứng 1-1” Sau tiến trình so sánh trên, tác giả SGK giới thiệu “CÁC SỐ 1, 2, 3”, 4, tr.11-12 : Nhìn vào hình vẽ, dòng thứ nhất, tác giả tập hợp có số phần tử Đầu tiên chim, HS nữ, chấm tròn sau tính bàn tính Tất cho thấy lớp tập hợp có số phần tử Đây sở để hình thành “lớp 1” hay có số tự nhiên Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Hữu Tòng _ Tương tự cho cách hình thành số Trong học này, SGK chọn cách tiếp cận cho số 1, 2, xuất phát từ việc hình thành lớp tập hợp tương đương, thấy tập hợp có điểm chung có số phần tử, hình thành số tự nhiên ứng với số phần tử tập hợp Cách tiếp cận số tự nhiên theo lớp giống cách tiếp cận hai nhà toán học Frege Russell trình bày Với cách tiếp cận SGK, số tự nhiên lấy nghĩa “biểu thị lớp tập hợp tương đương” Nghĩa đề cập tường minh SGV sau: “Giúp HS: Có khái niệm ban đầu số 1, số 2, số (mỗi số đại diện cho lớp nhóm đối tượng có số lượng)” 5, tr.28 Tuy nhiên, nghĩa dường bị lu mờ để nhường chỗ cho hai nghĩa khác số tự nhiên “chỉ số phần tử tập hợp” “kết phép đếm” Hầu kiểu nhiệm vụ không đặc trưng cho nghĩa “biểu thị lớp tập hợp tương đương” Ngồi ra, tính bàn tính cột thứ tư hình vẽ có ý nghĩa gì? Các tính đánh dấu bước tiếp cận khác SGK số tự nhiên Đó cách tiếp cận theo quan điểm thứ tự Tuy nhiên, cách tiếp cận có ý nghĩa ngầm ẩn, không tường minh Thật vậy, tính khơng thể mong muốn thể chế cột thứ tư phải đặt trước cột thứ ba Bởi lẽ, cột thứ tư khơng mang tính trừu tượng, khái qt cao cột thứ ba Để thấy mong muốn người viết sách, chúng tơi đưa trích dẫn sau mục tiêu dạy, SGV: “Nhận biết số lượng nhóm có 1; 2; đồ vật thứ tự số 1; 2; phận đầu dãy số tự nhiên” 5, tr.28 Rõ ràng, mong muốn SGK thể hai cách tiếp cận: số thứ tự Tuy nhiên, cách tiếp cận số đề cập tường minh cách tiếp cận thứ tự ngầm ẩn Bên cạnh số tự nhiên 1, 2, có cách tiếp cận trên, số đề cập cách tương tự 3.2 Cách tiếp cận số tự nhiên từ đến 10 Các số từ đến hình thành sở lớp tập hợp tương đương Vậy số 6, 7, 8, 9, 10 tiếp cận nào? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi này, chúng tơi phân tích “SỐ 6”, 4, tr.26 : SGK hình thành số dựa hệ tiên đề Peano theo quan hệ số liền sau đường đếm thêm vào số Trong tranh vẽ năm bạn nhỏ chơi, có bạn nhỏ đến hay năm chấm tròn thêm chấm tròn… Tất thể tư tưởng đơn vị thêm đơn vị Đó cách tiếp cận theo quan điểm thứ tự Nếu số 1, 2, 3, ,5 147 Tư liệu tham khảo Số 27 năm 2011 _ cách tiếp cận thứ tự ngầm ẩn, cách tiếp cận thứ tự tường minh Đặc trưng tự số thể qua tính bàn tính Hơn nữa, cách tiếp cận cho thấy cấu tạo số gồm đơn vị đơn vị Đây sở ban đầu cho hình thành phép cộng hai số tự nhiên Tương tự thế, số tự nhiên 7, 8, 9, 10 hình thành cách thêm đơn vị vào số liền trước Đó cách tiếp cận thứ tự chung cho số 6, 7, 8, 9, 10 Tiến trình hình thành số tự nhiên thể tư tưởng hệ tiên đề Peano nêu Các cách tiếp cận số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trình bày Vậy số SGK tiếp cận theo quan điểm nào? 3.3 Cách tiếp cận số Số dạy sau số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Nó trình bày theo quan điểm lịch sử phát triển số tự nhiên Còn xét chất tốn học, số hình thành số tập hợp rỗng Xuất phát từ nhóm phần tử lấy làm cho số lượng phần tử nhóm giảm dần, tới khơng phần tử Ta nói nhóm khơng có phần tử (số lượng phần tử nhóm 0) Cụ thể “Số 0”, 4, tr.34 sau: 148 Nếu lịch sử số xuất sau số 1, 2, 3,…, SGK thể tiến trình SGK trình bày số sau 1, 2, 3,…, Các tác giả chọn cách tiếp cận cho số số tập hợp rỗng Khi đó, số lấy nghĩa “chỉ tập hợp có khơng phần tử” Tình giới thiệu số đưa thể cách tiếp cận khác số Từ tập hợp (chậu nuôi cá) gồm cá, người ta vớt lần cá sau chậu khơng cá Đây cách tiếp cận ngầm ẩn theo hệ tiên đề Peano với quan hệ “số liền trước” đường bớt dần từ 3 Kết luận Những kết việc phân tích cho thấy tác giả SGK có chọn lựa cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên Số tự nhiên tiếp cận tư tưởng “lớp”, theo quan hệ thứ tự, xem số tập hợp hữu hạn Nghiên cứu cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên lịch sử soi sáng cách tiếp đối tượng SGK Tốn lớp Những phân tích bên tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên tiểu học Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Hữu Tòng _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương trình tiểu học (Bộ Giáo dục Đào tạo) (2006), Nxb Giáo dục Chương trình đào tạo giáo viên tiểu học (Đại học Cần Thơ) (2007) Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2004), Giáo trình Phương pháp dạy học mơn Tốn Tiểu học, Nxb ĐHSP Đỗ Đình Hoan (2006), Tốn 1, Nxb Giáo dục, (SGK hành) Đỗ Đình Hoan (2006), Tốn 1, Nxb Giáo dục, (SGV hành) Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử Tốn học, Nxb Giáo dục Phạm Đình Thực (2003), Phương pháp dạy học Toán bậc Tiểu học, Nxb ĐHSP Dương Hữu Tòng (2009), Khái niệm số tự nhiên dạy học Toán tiểu học, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 149 ... thứ tự Tuy nhiên, cách tiếp cận số đề cập tường minh cách tiếp cận thứ tự ngầm ẩn Bên cạnh số tự nhiên 1, 2, có cách tiếp cận trên, số đề cập cách tương tự 3.2 Cách tiếp cận số tự nhiên từ đến 10 ... tốn học Cantor Trong khi, cách tiếp cận quan hệ đồng số tự nhiên với số thứ tự, cách tiếp cận số lại đồng số tự nhiên với số Bản số tập hợp hữu hạn số tự nhiên Như vậy, a số tự nhiên tồn tập hữu... có số thứ tự Chúng ta chắn rằng, với hai lớp có số phần tử cho, số hạng lớp ghép đôi số hạng lớp lại ngược lại Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên sách giáo khoa toán lớp (Chỉ nêu cách tiếp