Phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở tiểu học

Còn dạng bài toán cổ ở tiểu học thì giải bằng phương pháp giả thiết tạm là nhanh và ngắn gọn hơn cả... Phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp điển hình, một thuật toán, một công cụ

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bậc Tiểu học là một bậc học quan trọng, nó được coi là một bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân, với mục tiêu nhằm giúp cho học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn, lâu dài về trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản để các em tiếp tục bậc học tiếp theo là THCS

Cho đến nay, năm học 2009 – 2010, các khối lớp của bậc Tiểu học đã

sử dụng chương trình sách 2000 cho tất cả các môn học để phù hợp với việc đổi mới giáo dục hiện nay, trong đó có môn Toán Các kiến thức của môn Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống và rất cần thiết cho người lao động Môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển trí tuệ,

tư duy lôgic, sáng tạo, bồi dưỡng trí thông minh cho học sinh Đồng thời, nó góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của người lao động: cần cù, kiên trì, cẩn thận, có ý chí vượt khó

Ở Tiểu học, mức độ khó của bài toán được nâng cao dần cho phù hợp với trình độ và nhận thức của các em, giúp cho các em làm quen được với nhiều dạng bài khác nhau từ dễ đến khó Có nhiều phương pháp giải toán như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp giả thiết tạm, phương pháp khử,…Trong đó, có bài toán giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau, nhưng cũng có bài phải dùng phương pháp đặc trưng thì mới giải được Chẳng hạn như bài toán: tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó thì giải bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp dùng chữ thay số Còn dạng bài toán cổ ở tiểu học thì giải bằng phương pháp giả thiết tạm là nhanh và ngắn gọn hơn cả

Phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp điển hình, một thuật toán, một công cụ có hiệu quả để giải các bài toán có lời văn ở lớp 4,5 Khi giải bằng phương pháp này thì đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng phong phú và phải biết vận dụng một cách linh hoạt

Tuy nhiên, phương pháp này hiện nay ít được sử dụng và chỉ được giới thiệu đối với học sinh khá giỏi khi các em giải các bài toán nâng cao Theo tôi việc sử dụng phương pháp này giúp học sinh phát huy cao độ trí tưởng tượng

và tư duy lôgic Hơn nữa, là một giáo viên trong tương lai, tôi thấy việc nghiên cứu phương pháp giải toán, đặc biệt là phương pháp giả thiết tạm rất

có ý nghĩa, nó giúp tôi hiểu về phương pháp và có thể hướng dẫn cho học sinh của mình vận dụng linh hoạt phương pháp này trong giải toán Do vậy, tôi

quyết định chọn đề tài “Phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở Tiểu

học”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu đề tài này để tìm ra phương pháp dạy học có hiệu quả nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giả thiết tạm và vận dụng một cách linh hoạt trong giải các bài toán có lời văn Qua đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở Tiểu học

3 ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu phương pháp này thông qua các bài toán có lời văn ở Tiểu

học

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở Tiểu học

- Nghiên cứu các dạng bài có thể áp dụng phương pháp giả thiết tạm

- Xây dựng hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp giả thiết tạm và đưa ra cách sử dụng hệ thống đó vào quá trình giảng dạy

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp tổng hợp

Phương pháp phân tích

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

7 CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận ra, Nội dung của đề tài nghiên cứu gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Các dạng toán ở Tiểu học có thể giải bằng phương pháp giả thiết tạm

Chương 3: Hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp giả thiết tạm

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Phương pháp giải toán có lời văn ở Tiểu học

1.1.1 Bài toán có lời văn

Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học bao gồm 4 mạch kiến thức chính là: số học, đại lượng và đo đại lượng cơ bản, một số yếu tố hình học và giải toán có lời văn Ngoài ra còn có một số yếu tố thống kê miêu tả được dạy lồng ghép trong nội dung số học Các kiến thức cơ bản này giúp cho học sinh hình thành kĩ năng học toán và dần làm quen với kiến thức toán học cao hơn Trong đó, giải toán có lời văn là một phần rất quan trọng của môn Toán Tiểu học Nó góp phần vào việc củng cố, luyện tập các kiến thức về số học, đại lượng, hình học đã học và nâng cao kĩ năng giải toán, cũng như năng lực tư duy ở học sinh

Trong giải toán có lời văn chúng ta luôn quan tâm đến một phần rất cơ bản đó là bài toán có lời văn Thực chất, bài toán có lời văn là một tình huống gợi vấn đề thường gặp trong môi trường học tập hoặc trong cuộc sống xung quanh của học sinh, các tình huống này được diễn đạt bằng ngôn ngữ Do đó, các bài toán dạng này gọi là bài toán có lời văn

Các bài toán có lời văn đơn giản có thể chỉ áp dụng ngay công thức, quy tắc là có thể giải ra Nhưng cũng có những bài toán phức tạp hơn không thể chỉ áp dụng ngay công thức hay quy tắc để tính mà phải có các bước suy luận từ cái đã biết để suy ra cái cần tìm

Để giải một bài toán có lời văn thông thường thì theo Pôlya trong cuốn

“Giải toán ở Tiểu học như thế nào?” có nêu 4 bước giải cơ bản sau:

- Lập kế hoạch giải

1.1.2 Các bước giải một bài toán có lời văn

a) Tìm hiểu kĩ đề bài:

Thực chất đây là bước học sinh đọc kĩ đề bài, hiểu rõ đề bài, xác định đâu là yếu tố đã cho, đâu là yếu tố phải tìm Khi đọc bài toán phải hiểu thật kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng chỉ rõ tình huống toán học được diễn đạt theo ngôn ngữ thông thường ví dụ “bay đi”, “thưởng 2 bút chì”,…Nếu bài toán có thuật ngữ nào mà học sinh chưa hiểu rõ, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh hiểu được nội dung và ý nghĩa của từ đó ở trong bài toán đang làm

Sau đó, học sinh “thuật lại” vắn tắt bài toán mà không cần phải đọc nguyên văn bài toán đó

b) Lập kế hoạch giải toán:

Bước này gắn liền với việc phân tích các dữ kiện và yếu tố phải tìm của bài toán nhằm xác lập mối quan hệ giữa chúng để phát hiện ra các phép tính cần thực hiện Hoạt động này thường diễn ra như sau:

- Minh họa bài toán bằng tóm tắt đề toán dùng sơ đồ đoạn thẳng, dùng hình vẽ hay dùng biểu đồ ven…

hiện các phép tính số học, có 2 hình thức: đi từ câu hỏi của bài toán đến các

số liệu hoặc đi từ các số liệu đến câu hỏi của bài toán

c) Thực hiện kế hoạch giải toán:

Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở bước lập kế hoạch giải toán, thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số có kèm theo lời giải

d) Kiểm tra và nghiên cứu sâu bài toán:

Về nguyên tắc, bước này không phải là bước bắt buộc khi trình bày lời giải bài toán và học giải toán, bước này có mục đích:

giải bài toán ngược đó

Tuy nhiên, đây chỉ là các bước giải một bài toán cơ bản Trong thực tế khi học toán học sinh gặp rất nhiều bài toán khó dễ khác nhau không thể tuần

tự 4 bước trên mà giải ngay được Khi gặp các bài toán như vậy cần phải có một phương pháp giải toán cụ thể để giải Và qua tìm hiểu nghiên cứu, các chuyên gia toán học đã thấy rằng trong toán tiểu học có rất nhiều phương pháp giải toán có lời văn

1.2 Một số phương pháp giải toán có lời văn

- Phương pháp suy luận đơn giản

Mỗi phương pháp trên đều có những đặc điểm riêng, phạm vi áp dụng

và ưu điểm, nhược điểm riêng Cho nên trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới thiệu đầy đủ cho học sinh các phương pháp này để các em có thể vận dụng vào giải toán một cách linh hoạt, hợp lý và có hiệu quả hơn Đồng thời, những phương pháp này được coi là những công cụ để giải toán rất hữu hiệu, đặc biệt là phương pháp giả thiết tạm

1.2.1 Phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học

Còn chữ “tạm” trong chữ “giả thiết tạm” có nghĩa là tạm thời, là nhất thời Từ đó, ta hiểu “giả thiết tạm” là điều không có trong dữ kiện của bài toán, được tạm thời đưa ra để làm điểm xuất phát cho lập luận nhằm tìm tòi lời giải của bài toán Giả thiết tạm là một phương pháp để giải toán ở Tiểu học khi học sinh chưa được học giải toán bằng cách lập phương trình

Bên cạnh đó theo một số nhà nghiên cứu, họ cho rằng “giả thiết tạm trong một bài toán” là quá trình giải toán ở Tiểu học nhiều khi ta phải dùng

đến mẹo để làm Cái mẹo này chính là sự suy luận, biến đổi bài toán từ khó đến dễ, từ phức tạp trở thành đơn giản “Giả thiết tạm” chính là việc người làm toán giả thiết ra tình huống trong bài toán nhiều khi không đúng yêu cầu

đề ra, không đúng với thực tế cuộc sống Ta chỉ giả thiết tạm nó xảy ra để giải quyết bài toán

Ví dụ một bài toán quen thuộc:

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Ở bài toán này, ta có thể đưa ra một số giả thiết tạm như sau: nếu cả 36 con đều là gà; nếu cả 36 con đều là chó; hay giả thiết tạm gà chỉ có 1 chân, hoặc chó chỉ có 2 chân,…khi đó số chân thừa, thiếu ra sao Từ đó phân tích để tìm ra đáp số của bài toán

b) Phương pháp giả thiết tạm

Phương pháp giả thiết tạm là phương pháp mà ta tưởng tượng ra các tình huống vô lý với thực tế, các tình huống không có thật trong cuộc sống (gà một chân, chó 2 chân…) nhằm đưa bài toán về dạng cơ bản đã biết cách giải Phương pháp này thường dùng với bài toán có 2, 3, 4 đối tượng (người, vật…) có những đặc điểm được biểu thị bằng 2, 3, 4 số lượng chênh lệch nhau Chẳng hạn hai công cụ lao động năng suất khác nhau, ba loại giá tiền khác nhau, hai chuyển động có hai vận tốc khác nhau,…

Phương pháp chung khi giải bài toán này: ta thử đặt ra trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng thậm chí một tình huống vô lý trong cuộc sống Tất nhiên tình huống ấy chỉ là

tạm thời nhưng phải tìm ra giả thiết ấy nhằm đưa bài toán về dạng quen thuộc

đã biết cách giải hay dựa trên cơ sở nào đó để tiến hành lập luận mà suy ra cái phải tìm Chính vì vậy, phương pháp này đòi hỏi người học phải có óc sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú, linh hoạt

Xét một bài toán đơn giản làm ví dụ :

Lần thứ nhất mua 1 kg gạo và 2 kg thịt, hết 33000 đồng Lần thứ hai mua 2 kg gạo và 3 kg thịt hết 51000 đồng Tính giá 1 kg gạo và 1 kg thịt?

Ta đưa ra giả thiết tạm là: giả sử mua gấp đôi lần thứ nhất, tức 2 kg gạo

và 4 kg thịt Khi đó phải trả gấp đôi tiền là: 33000 x 2 = 66000 (đồng)

Nếu mua như giả thiết tạm đó thì so với lần thứ hai ta mua nhiều hơn 1

kg thịt và phải trả nhiều hơn là: 66000 - 51000 = 15000 (đồng)

Từ đó rút ra 1 kg thịt là: 15000 đồng Sau đó ta tìm giá 1 kg gạo là 300 đồng

Những bài toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm đôi khi có thể giải được bằng các phương pháp khác Chẳng hạn như bài toán tìm hai số khi biết hai hiệu số có thể giải bằng phương pháp giả thiết tạm, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp dùng chữ thay số Tuy nhiên, có bài toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm sẽ ngắn gọn, dễ hiểu hơn (bài toán cổ, bài toán hình học,…)

Ngoài ra trong quá trình học số học tôi thấy phương trình Điôphăng bậc nhất 2 ẩn (ax + by = c với a, b, c là hệ số; x,y là ẩn) có ứng dụng trong giải toán giả thiết tạm Điều này cho thấy khi giải toán bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giúp các em rèn luyện kĩ năng và làm quen với kiến thức mới (phương trình bậc nhất 2 ẩn ở THCS mới học)

Sau đây là các bước giải một bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm Bước 1: Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào đó của bài toán nhưng vẫn tôn trọng các điều kiện của bài

Bước 2: Từ dữ kiện hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan đến nó cũng thay đổi theo điều kiện của bài

Bước 3: Phân tích sự thay đổi đó, rồi đối chiếu các điều kiện của bài toán phát hiện ra nguyên nhân thay đổi và tìm ra phương pháp điều chỉnh thích hợp để đáp ứng toàn bộ các điều kiện của bài

Bước 1: Theo dữ kiện đề bài thì cả gà và chó là 36 con Nhưng ta lại giả thiết tạm là cả 36 con đều là gà

Bước 2: Từ giả thiết tạm đó dẫn đến các dữ kiện thay đổi theo là:

Nếu cả 36 con đều là gà thì tổng số chân lúc này là:

36 x 2 =72 (chân) Thực tế đầu bài là 100 chân, như vậy số chân thiếu là:

100 – 72 = 28 (chân) Bước 3: Phân tích sự thay đổi, tìm ra nguyên nhân thay đổi và tìm ra cách điều chỉnh thích hợp

Có sự thiếu hụt số chân như vậy là do mỗi con chó tính hụt đi là:

4 – 2 = 2 (chân) Vậy số chó là :

28 : 2 = 14 (con)

Số gà là:

36 – 14 = 22 (con) Sau khi tìm ra kết quả, ta có thể thử lại xem kết quả này có đúng, phù hợp với điều kiện của bài hay không

Thử lại như sau :

Như vậy, tuần tự theo các bước giải của phương pháp giả thiết tạm, ta

đã tìm ra đáp số của bài toán tưởng như rất phức tạp này

1.3 Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở Tiểu học

1.3.1 Đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học

a) Giai đoạn thứ nhất bậc Tiểu học

- Tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển nhưng ở trình độ cao hơn Do

yêu cầu học tập, nội dung bài học là tri thức khái quát học sinh muốn tiếp thu được loại tri thức này phải dựa vào vật thực, vật tương trưng hay các hình ảnh trực quan

- Tư duy trừu tượng bắt đầu được hình thành Tuy nhiên loại tư duy này còn non yếu cần có sự tổ chức điều khiển của giáo viên

Bởi vì nội dung bài học, khái niệm là những tri thức khái quát muốn tiếp thu được loại tri thức này phải có tư duy trừu tượng Tuy nhiên, tư duy trừu tượng ở giai đoạn này phải dựa vào tư duy cụ thể

- Tư duy còn bị cái tổng thể tri phối, tư duy phân tích bắt đầu được hình thành nhưng còn non yếu Do đó học sinh dễ nhầm lẫn khi giải bài tập (đặc biệt là bài tập Toán, Tiếng Việt)

- Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau từng phần và thực hiện với từng bộ phận Học sinh chưa hình dung ra được cùng 1 lúc các tổ hợp có thể

có, do đó yếu tố mò mẫm vẫn tồn tại

- Về đặc điểm khái quát hoá: học sinh căn cứ vào dấu hiệu bề ngoài để khái quát thành khái niệm

- Đặc điểm phán đoán và suy luận :

+ Học sinh khó chấp nhận những giả thiết không thật, tư duy còn gắn liền với thực tế hay kinh nghiệm

+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả dễ dàng

hơn từ kết quả đến nguyên nhân

b) Giai đoạn thứ hai bậc Tiểu học ( lớp 4, 5 )

- Tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển

- Tư duy trừu tượng đang dần chiếm ưu thế, nghĩa là học sinh sử dụng các khái niệm được thay thế bằng ngôn ngữ, ký hiệu để tiếp thu khái niệm mới

- Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành những cấu trúc tương đối ổn định và trọn vẹn

- Đặc điểm khái quát hoá: học sinh biết căn cứ vào dấu hiệu bản chất của đối tượng để khái quát thành khái niệm

- Đặc điểm phán đoán và suy luận: ở giai đoạn này học sinh không chỉ xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả mà con xác lập được từ kết quả ra nhiều nguyên nhân

1.3.2 Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học

Môn Toán ở Tiểu học là một môn thống nhất không chia thành các phân môn Gồm 4 mạch kiến thức: số học; đại lượng và đo đại lượng; yếu tố hình học và giải toán có lời văn Trong đó giải toán có lời văn là một trong

những nội dung quan trọng chiếm tỷ lệ khá nhiều trong môn Toán ở Tiểu học

Nó góp phần củng cố, luyện tập các kiến thức đã học như số học, đại lượng và hình học Giải toán có lời văn được xây dựng xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5 Nhưng được giới thiệu ở các mức độ khác nhau Thông qua việc giải toán có lời văn giáo viên giới thiệu học sinh các phương pháp giải toán

Phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp giải toán hữu hiệu, một công cụ, một thuật toán để giải các bài toán điển hình, bài toán nâng cao Phương pháp này không phải được giới thiệu ở tất cả các lớp ở bậc Tiểu học

Để biết rõ việc sử dụng phương pháp này ở các lớp Tiểu học ta đi tìm hiểu cụ thể từng lớp

a) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 1, 2, 3

Lớp 1 là lớp đầu của bậc Tiểu học cũng là lớp đầu của giai đoạn thứ nhất các lớp 1, 2, 3 Các em mới được làm quen với các kiến thức cơ bản, các kiến thức nền tảng của môn Toán ở Tiểu học Nội dung dạy học giải toán có lời văn được đưa vào trong Toán 1 và nó chia thành 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: giai đoạn "chuẩn bị" học giải toán có lời văn Học sinh được làm quen với các "tình huống" qua tranh vẽ Từ đó nêu thành "bài toán

có lời văn" (nêu miệng đề bài toán) bước đầu có hướng giải bài toán (ở mức

độ nêu phép tính giải thích hợp)

+ Giai đoạn 2: "Chính thức" học bài toán có lời văn Học sinh được biết thế nào là bài toán có lời văn, biết cách giải và trình bày bài giải bài toán có lời văn (ở mức độ tương đối hoàn chỉnh gồm câu lời giải, phép tính và đáp số)

Hay nói cách khác lớp 1 tập trung học sinh chủ yếu làm quen với bài toán có lời văn, biết giải các bài toán đơn giản một phép tính bằng phép cộng,

trừ Học sinh chưa gặp các bài toán phức tạp để phải sử dụng đến các phương pháp giải mà chỉ hướng dẫn học sinh qua 4 bước giải thông thường

Lớp 2 học sinh tiếp tục được học giải toán có lời văn, tiếp tục ôn tập các bài toán đã học ở lớp 1 và có những bài toán phức tạp hơn Nội dung phong phú hơn thêm phần bài toán có nội dung hình học Tuy nhiên, do đặc điểm tư duy trừu tượng của học sinh lớp 2 chưa phát triển, tư duy cụ thể vẫn chiếm ưu thế nên việc giới thiệu phương pháp giả thiết tạm là chưa được tiến hành Bởi học sinh sẽ khó hình dung ra các giả thiết không thực

Lớp 3: Đây là giai đoạn cuối của giai đoạn các lớp 1, 2, 3 ôn tập, hệ thống hoá các kiến thức của lớp 1, 2, 3 và chuẩn bị kiến thức cho lớp 4, 5 Các

em được làm quen với các bài toán phức tạp hơn, nội dung phong phú hơn, đề cập nhiều đến thực tế xung quanh

Ở giai đoạn này, tư duy trừu tượng của học sinh bắt đầu phát triển, học sinh đã biết hình dung ra những giả thiết không thực

Tuy nhiên hiện nay dạy học đang theo hướng giảm tải cho học sinh Do vậy,chương trình học cũng không quá khó đối với học sinh và phù hợp với lứa tuổi của học sinh

Lớp 3 học sinh mới được làm quen với dạng bài tìm thành phần chưa biết Khi giải học sinh giả sử x là số cần tìm và dựa vào bài toán để xác lập mối quan hệ của x với các thành phần khác Từ đó tìm ra lời giải của bài toán

Ví dụ bài toán:

Tìm một số có hai chữ số Biết rằng khi nhân số đó với 2, rồi lại cộng thêm 1 thì được một số lớn nhất có hai chữ số

Như vậy, ở lớp 3 học sinh mới chỉ làm quen với bài toán giả sử ở mức

độ đơn giản làm nền tảng cho việc giải toán lớp 4, 5 Chứ chưa đề cập đến bài toán giả thiết tạm

b) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 4, 5

Đây là giai đoạn thứ 2 Nếu giai đoạn các lớp 1, 2, 3 là giai đoạn học tập cơ bản, đơn giản thì giai đoạn này là giai đoạn học tập sâu các kiến thức,

kỹ năng bắt đầu trừu tượng hơn Tư duy trừu tượng cũng bắt đầu phát triển Trình độ nhận thức của học sinh cũng bắt đầu nâng cao

Tuy nhiên, phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp khó, đòi hỏi người học phải có óc sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú Do vậy, trong thực

tế giảng dạy, việc áp dụng phương pháp này vào giải toán có lời văn ở tiểu học là rất hạn chế, chủ yếu giới thiệu cho học sinh khá giỏi

Để hiểu rõ phương pháp này có thể áp dụng vào giải những dạng toán nào ta hãy tìm hiểu tiếp ở chương 2

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG TOÁN Ở TIỂU HỌC

CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM

Phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp giải toán hữu hiệu có thể giải được khá nhiều bài toán Sau đây, chúng ta đi vào từng dạng cụ thể

2.1 Bài toán có 2 đại lượng

2.1.1 Dạng 1 : Bài toán về chuyển động đều

Bài toán 1:

Một ô tô đi từ A đến B, nếu đi với vận tốc 50 km/h thì đến B chậm mất

2 giờ so với thời gian quy định Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với thời gian quy định Tính thời gian quy định để đi từ A đến B

Bây giờ ta giả thiết tạm là có 2 ôtô cùng xuất phát một lúc từ C và D với hai vận tốc lần lượt là 50 km/h và 60 km/h Hai ôtô này sẽ A và thời gian hai ôtô đi cũng chính là thời gian quy định để đi từ A đến B Như vậy, bài toán trở về dạng quen thuộc là chuyển động đều cùng chiều nhau

Giải Nếu ôtô đi với vận tốc 50 km/h thì đến C trong khoảng thời gian quy định và lúc đó còn cách B là: 50 x 2 = 100 (km)

Nếu ôtô đi với vận tốc 60 km/h thì đến D trong khoảng thời gian quy định và đã vượt qua B một đoạn là: 60 x 1 = 60 (km)

Giả sử có hai ôtô cùng xuất phát một lúc từ C và D với vận tốc lần lượt

là 50 km/h và 60 km/h Hai ôtô sẽ gặp nhau tại A

Hiệu hai vận tốc là: 60 - 50 = 10 (km/h)

Hai ôtô cách nhau một khoảng là: 100 + 60 = 160 (km)

Thời gian để hai ôtô gặp nhau tại A là : 160 : 10 = 16 (giờ)

Vậy thời gian quy định để đi từ A đến B là 16 giờ

xe thứ hai gấp đôi khoảng cách tới C của xe thứ nhất?

Phân tích:

C

Theo đầu bài thì tại thời điểm cần tìm thì xe thứ nhất đến M, xe thứ hai đến điểm D (và MD = MC) Bây giờ ta giả thiết tạm có một ôtô thứ ba phải đi quãng đường EC dài gấp đôi AC mà xe thứ nhất phải đi (EC = 2 x 200 = 400

km) với vận tốc gấp đôi xe thứ nhất (50 x 2 = 100 km/h) Thế thì khoảng cách

xe thứ ba tới C luôn luôn gấp đôi khoảng cách từ xe thứ nhất đến C Do đó xe thứ ba sẽ đuổi kịp xe thứ hai tại D Bài toán quay về dạng chuyển động cùng chiều và đuổi kịp nhau

2.1.2 Dạng 2: Bài toán về hình học

Bài toán 1:

Trong sân hình chữ nhật, nhà trường xây một sân khấu hình vuông có một cạnh trùng với chiều rộng của sân, cạnh đối diện cách chiều rộng còn lại

là 72 m và hai cạnh còn lại của sân khấu cách đều hai chiều dài mỗi bên 11 m

trường, cạnh đối diện cách chiều rộng còn lại 72 m và hai cạnh còn lại của sân khấu thì cách đều hai chiều dài mỗi bên 11 m Để tiện cho việc tính toán ta giả thiết rằng sân khấu chuyển vào một góc sân, sao cho một cạnh trùng với chiều rộng, một cạnh trùng với chiều dài như hình 2 Khi đó phần diện tích còn lại bao gồm hình chữ nhật a có cạnh là 22m và 72m và hình chữ nhật b, c

có chung một cạnh là cạnh sân khấu Từ đó, giả thiết ghép hai hình chữ nhật

b, c này làm một, tính được diện tích của nó và suy ra cạnh sân khấu

Bài giải Giả sử chuyển sân khấu vào góc sân sao cho cạnh của sân khấu trùng với cạnh của sân Khi đó phần còn lại của sân bao gồm ba hình chữ nhật a, b,c

hai hình thang vuông bằng nhau Ta tính được diện tích của một hình thang

Mặt khác, tổng hai đáy của hình thang chính là tổng của cạnh "đảo cá sấu" và cạnh của hồ nước Khi đó dựa vào công thức tính diện tích hình thang

ta tính được chiều cao và suy ra cạnh của hồ nước và cạnh của đảo

2.1.3 Dạng 3: Bài toán về công việc chung

Bài giải Coi toàn bộ công việc là 10 phần bằng nhau, Kiên và Hiền làm được 7 phần thì còn lại: 10 - 7 = 3 (phần) là do Hiền phải làm tiếp trong 9 ngày nữa Vậy một phần làm trong: 9: 3 = 3 (ngày)

Thực tế, công việc có 10 phần thì Hiền phải làm trong số ngày:

10 x 3 = 30 (ngày)

Vậy Hiền làm riêng thì sau 30 ngày xong

Giả sử Hiền chỉ làm tiếp trong 3 ngày nữa mới thực hiện 1 phần công việc, còn lại 2 phần công việc lẽ ra Kiên phải làm trong 3 ngày Như thế, Kiên

làm nhanh gấp đôi Hiền Vì vậy, số ngày Kiên làm riêng để xong công việc là: 30 : 2 = 15 (ngày)

Đáp số : 30 ngày và 15 ngày

Bài toán 2:

Ba vòi cùng chảy vào bể nước sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể Nếu riêng vòi thứ nhất chảy thì sau 6 giờ sẽ đầy Nếu riêng vòi 2 chảy thì sau 4 giờ sẽ đầy Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau bao nhiêu giờ thì đầy?

Phân tích:

Trong trường hợp này thì công việc chung là chảy đầy bể Để tính được thời gian vòi thứ ba chảy riêng để đầy bể thì phải tính được bể có bao nhiêu phần nước Và số phần cả ba vòi chảy được trong mỗi phút Số phần này phải chia hết cho số thời gian mà mỗi vòi chảy riêng để đầy bể

Đổi: 1giờ 20 phút = 80 phút

6 giờ = 360 phút

4giờ = 240phút

Ta thấy số tự nhiên nhỏ nhất mà chia hết cho cả 3 số 80, 360, 240 chỉ có

720 Vậy ta giả sử bể nước chia làm 720 phần nước bằng nhau Khi đó tổng

số phần mà cả 3 vòi chảy trong mỗi phút là: 720 : 80 = 9 (phần)

Mỗi phút vòi thứ nhất chảy một mình được:

720 : 360 = 2 (phần) Mỗi phút vòi thứ hai chảy một mình được:

720 : 240 = 3 (phần)

Do đó, mỗi phút vòi thứ ba chảy một mình được:

9 - (2 + 3) = 4 (phần) Thời gian để vòi thứ ba chảy đầy bể là:

720 : 4 = 180 (phút) = 3 (giờ)

Đáp số: 3 giờ Nhận xét: Khi giải các bài toán dạng này ta có thể hiểu một công việc như một đơn vị và biểu thị thành nhiều phần bằng nhau sao cho phù hợp với các điều kiện của bài toán

2.1.4 Dạng 4: Bài toán về phân số, tỷ số phần trăm

Bài toán 1:

đã trúng tuyển vào đội tuyển học sinh giỏi Toán của Huyện, nên phải lên Huyện để bồi dưỡng tập trung Vì thế bây giờ số học sinh giỏi Toán chỉ chiếm 1

Phân tích:

Nếu ta chia số học sinh của lớp ra làm 7 tổ (có số người bằng nhau) thì

số học sinh giỏi Toán chiếm 1 tổ Sau khi hai học sinh giỏi Toán đã lên huyện

chưa giỏi Toán gấp 10 lần số học sinh giỏi Toán

Giả sử sau khi hai học sinh giỏi Toán đã lên huyện học bồi dưỡng thì cô giáo cũng yêu cầu 6 tổ còn lại, mỗi tổ cử ra 2 bạn lên đứng trên bảng Như thế

số học sinh chưa giỏi Toán vẫn gấp 6 lần số học sinh chưa giỏi Toán

Tuy nhiên, nếu cô giáo không yêu cầu mỗi tổ cử 2 bạn đứng lên trên bảng thì số học sinh chưa giỏi Toán gấp 10 lần số học sinh giỏi Toán Do đó,

số các bạn lên bảng (6 x 2 = 12 bạn) chính là 4 lần (10 - 4 = 6 lần) số học sinh còn lại của tổ Vậy số học sinh còn lại của mỗi tổ là:

12 : 4 = 3 (bạn)

Số học sinh cả lớp lúc đầu là: 7 x (3 + 2) = 35 (bạn)

Đáp số: 35 bạn

Bài toán 2:

Một người buôn sầu riêng giá 7000 đồng/1 quả Người ấy bán lại 4/5 số sầu riêng giá 10000 đồng/1quả và chỗ còn lại bán với giá 9000 đồng/1 quả Bán xong người ấy lãi tất cả là 560000 đồng Hỏi số sầu riêng đã buôn?

Bài giải

Ta tưởng tượng người đó chỉ buôn 5 quả sầu riêng thì lần đầu bán 4 quả

và lần sau bán 1 quả Giá 4 quả lần đầu và 1 quả lần sau là:

4 x 1000 + 1 x 900 = 49000 (đồng)

Giá buôn 5 quả là: 5 x 700 = 35000 (đồng)

Như vậy lãi được là: 49000 - 35000 = 14000 (đồng)

Thực tế, số tiền lãi tất cả là 560 000 đồng số sầu riêng thực sự so với 5 quả gấp: 560000: 14 000 = 40 (lần)

Vậy số sầu riêng đã buôn là: 5 x 40 = 200 (quả)

Vì khối lượng công việc tăng 80% hay khối lượng công việc mới là 180%

Vì năng suất lao động tăng 20% hay năng suất lao động mới là 120% Khi đó

Khi đó cần số người là: 180 : 12 = 15 (người)

Số người cần thêm là: 15 - 10 = 5 (người)

Vậy tỷ số % số người phải tăng so với số người cũ là: 5 : 10 = 0,5 = 50%

Mỗi người một miếng trăm người

Có mười bảy quả không nhiều đủ chia

Hỏi có bao nhiêu cam, bao nhiêu quýt?

Bài giải

Cách 1:

Giả sử 17 quả đều là quýt thì số miếng là: 17x 3 = 51 (miếng)

So với 100 miếng theo đề bài thì số miếng quýt hụt đi là:

Số cam là: 17 - 10 = 7 (quả)

Đáp số: 7 cam, 10 quýt

Cách 3:

Giả sử có 10 quả cam thì sẽ có: 17 - 10 = 7 (quả quýt)

Số miếng cam là: 10 x10 = 100 (miếng)

Số miếng quýt là: 7 x 3 = 21 (miếng)

Tổng số miếng cam và quýt là: 100 + 21 = 121 (miếng)

Nhiều hơn so với thực tế là: 121 - 100 = 21 (miếng)

Muốn cho tổng số miếng giảm đi 21 thì số quả cam cần thay bằng số quả quýt là: 21 : 7 = 3 (quả)

Số quả cam là: 10 - 3 = 7 (quả)

Số quả quýt là: 7 + 3 = 10 (quả)

Theo bài: số gà + số chó = 36 con

số chân gà + số chân chó = 100 chân

Tìm số gà, số chó?

Cũng như bài toán 1 thì bài toán này ta cũng giả thiết tạm là cả 36 con đều là gà hoặc đều là chó Khi đó số chân thừa thiếu là bao nhiêu Từ đó suy

ra đáp số bài toán

Hoặc ta có thể giả thiết tạm gà chỉ có 1 chân, chó chỉ có 2 chân Hay gà có 18con, chó có 18 con,

2.1.6 Dạng 6: Bài toán tính tuổi

Bài toán 1:

Tuổi ông hơn tuổi cháu là 66 năm Biết rằng tuổi ông gồm bao nhiêu năm thì tuổi cháu gồm bấy nhiêu tháng Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu?

Bài giải Giả sử ông là 12 tuổi (tức 12 năm) thì tuổi cháu là 12 tháng (tức 1 tuổi) Lúc đó, ông hơn cháu là: 12 - 1 = 11 (tuổi)

Nhưng thực tế ông hơn cháu 66 năm, tức tuổi ông gấp 6 lần tuổi cháu

(66 : 11 = 6) Do vậy thực tế tuổi ông là: 12 x 6 = 72 (tuổi)

Tuổi cháu là: 1 x 6 = 6 (tuổi)

Ở bài này ta tưởng tượng có thêm một nhân vật nữa không có trong bài

Đó là người cha cũng 30 tuổi như mẹ Việc tưởng tượng này cho phép tạo ra một hiệu số không thay đổi trong bài toán là hiệu giữa tuổi cha, mẹ và tuổi hai

con ((30 + 30)- 9 = 51 tuổi) Nếu không tưởng tượng ra thêm "nhân vật cha"

thì hiệu số giữa tuổi mẹ và tuổi hai con sẽ thay đổi theo thời gian

Do đó, ta không đưa bài toán về dạng bài tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số

được

`Bài giải Tuổi cha và mẹ :

Tuổi hai con:

Giả sử, hiện nay người cha trong gia đình cũng 30 tuổi Thế thì hiệu số giữa

tuổi cha, mẹ và tuổi hai con là: (30 + 30) - 9 = 51 (tuổi)

Cứ 1 năm thì cả cha lẫn mẹ tăng 2 tuổi và hai con cũng tăng 2 tuổi nên hiệu số

không thay đổi

Đến khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi hai con thì tuổi cả cha lẫn mẹ gấp 4 lần tuổi hai

con Vậy tuổi hai con là: 51: (4 - 1) = 17 (tuổi)

Số năm sau là: (17 - 9) : 2 = 4 (năm)

Đáp số: 4 năm

2.1.7 Dạng 7 : Bài toán về tìm hai số khi biết hai hiệu số

Bài toán 1:

Một đơn vị bộ đội sang sông Nếu một thuyền chở 20 người thì 16

người được sang sông Nếu một thuyền chở 24 người thì thừa một thuyền

Hỏi có bao nhiêu thuyền và đơn vị có bao nhiêu người?

Phân tích:

Nếu ta gọi số người trong đơn vị bộ đội là X người, gọi số thuyền là Y

Theo bài hiệu thứ nhất là: X - 20 x Y = 16

Hiệu thứ hai là: Y/ 24 - 1 = X

51

Như vậy bài, toán thuộc dạng bài tìm hai số khi biết hai hiệu số Ta có thể giả thiết có thêm 24 người nữa thì số người sẽ đủ cho mỗi thuyền chở 24 người

Bài giải Nếu 1 thuyền chở 20 người thì 16 người chưa được sang sông Nếu mỗi thuyền chở 24 người thì thừa 1 thuyền (tức thiếu 24 người) Ta giả sử có thêm

24 người khi đó số người chia đủ cho mỗi thuyền chở 24 người sẽ nhiều hơn

số người chia đủ cho mỗi thuyền chở 20 người là:

Theo dữ liệu của bài ta có:

Hiệu thứ nhất là: hiệu hai số = 1

2.2 Bài toán ba đại lƣợng (Giả thiết kép)

Đây là những bài toán ở mức độ khó và phức tạp hơn Tuy nhiên vẫn có thể sử dụng phương pháp này để giải được Tương tự như các bài toán 2 đại lượng ta cũng giả thiết có một trường hợp xảy ra nhưng không phù hợp với

602

1