Phương pháp dùng chữ thay số trong giải toán ở tiểu học

Tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán hàng năm, thu thập và nghiên cứu các đề thi trong chuyên mục “Giải toán qua thư ” của Tạp chí Toán tuổi thơ các số, tôi nhận thấy các bài toán về

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách của con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân của một quốc gia Ngày nay, tất cả các quốc gia trên thế giới đều quan tâm đến giáo dục, trong đó có giáo dục tiểu học Sự quan tâm đó không phải là ngẫu nhiên mà chính là ở vai trò của giáo dục đối với sự phát triển kinh tế - xã hội Cố Tổng Bí thư Đỗ Mười

đã nói “Giáo dục là động lực phát triển kinh tế - xã hội” Từ việc xác định

vai trò của giáo dục đối với sự phát triển kinh tế - xã hội của đất nước, Đảng

và Nhà nước ta đã không ngừng quan tâm đến giáo dục, đặc biệt là giáo dục tiểu học

Trong các môn học ở trường Tiểu học, môn Toán được xem là “môn thể

dục của trí tuệ ” Mục tiêu chủ yếu của việc dạy Toán là dạy cho trẻ biết cách

tính toán, nắm vững các phương pháp suy nghĩ, suy luận, biết cách giải và trình bày bài giải Đặc biệt, trong dạy - học Toán ở trường Tiểu học thì giải toán chiếm một vị trí quan trọng Hay nói cách khác, giải toán chính là vấn đề trọng tâm của chương trình toán ở cấp Tiểu học Giải toán được xem là mục tiêu ban đầu của các cấu trúc toán học và là phần không chia tách được của các hoạt động toán học Giải toán không phải là một chủ đề riêng biệt mà là một quá trình Quá trình đó cho phép chúng ta thực hiện nội dung chương trình, cung cấp tổng thể các khái niệm và các kĩ năng cho người học Đồng thời, giải toán giúp học sinh nâng cao tư duy, rèn luyện những phẩm chất của người lao động mới: tính kiên trì, bền bỉ, làm việc có kế hoạch, năng động, sáng tạo…

Trong nội dung dạy - học Toán ở Tiểu học, học sinh được làm quen với nhiều dạng toán, với nhiều phương pháp giải khác nhau, mỗi phương pháp là một công cụ thích hợp nhằm giải được các bài toán Một trong số đó là phương pháp dùng chữ thay số Đây là một phương pháp đặc trưng, hay và khó thường dùng để giải các bài toán về số và chữ số Tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán hàng năm, thu thập và nghiên cứu các đề thi trong chuyên mục

“Giải toán qua thư ” của Tạp chí Toán tuổi thơ các số, tôi nhận thấy các bài

toán về số và chữ số chiếm một vị trí đáng kể và hầu hết đều dùng đến một công cụ hữu hiệu là phương pháp dùng chữ thay số để giải quyết Đồng thời, với phương pháp này học sinh tiểu học được chuẩn bị cho việc tiếp cận với

“phương pháp đại số ” ở cấp Trung học cơ sở

Chính vì lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Phương pháp dùng chữ

thay số trong giải toán ở Tiểu học”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

– Tìm hiểu phương pháp dùng chữ thay số

– Nhận dạng một số bài toán cơ bản ở Tiểu học giải bằng phương pháp dùng chữ thay số

3 NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

– Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp giải toán ở Tiểu học

– Nghiên cứu các bài toán về số và chữ số và việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số để giải

– Tìm hiểu thực trạng việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số vào giải các bài toán ở Tiểu học

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

– Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về số và chữ số

– Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán về số và chữ số nằm trong chương trình toán Tiểu học

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

– Phương pháp nghiên cứu lí luận

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

– Phương pháp điều tra

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

Chúng ta thấy rằng khuynh hướng nhận thức của trẻ em ngày nay được mở rộng, năng khiếu, nhu cầu, hứng thú, thị hiếu, thẩm mĩ,… trở nên phong phú

và đa dạng hơn Bởi trẻ em ngày nay được tiếp nhận những lượng thông tin nhờ sự tăng dần đáng kể các phương tiện thông tin đại chúng, được khai sáng bằng cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật và công nghệ Vì thế, việc giáo dục trẻ

em cũng dễ hơn và cũng khó hơn trước Dễ vì trẻ em ngày nay tiếp thu nhanh hơn, có khả năng và điều kiện để vận dụng những điều đã học được Khó hơn

vì tầm suy nghĩ của trẻ rộng hơn, những vấn đề đặt ra phong phú hơn và phức tạp hơn Bởi vậy, muốn giáo dục trẻ thì bản thân chúng ta phải hiểu trẻ, ngược lại muốn hiểu trẻ thì phải tiến hành giáo dục trẻ

1.1.1 Về tri giác

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi sâu vào chi tiết và mang tính chủ định Do đó, các em phân biệt những đối tượng còn chưa chính xác, dễ mắc sai lầm, có khi còn lẫn lộn Tri giác trước hết là những sự vật, những dấu hiệu, những đặc điểm nào trực tiếp gây cho các em những xúc cảm Vì thế, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được các em tri giác tốt hơn, dễ gây ấn tượng tích cực cho các em hơn

chủ định của các em còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý một cách có ý chí chưa mạnh Sự chú ý của học sinh đòi hỏi một động cơ gần thúc đẩy

1.1.3 Trí nhớ

Học sinh tiểu học chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc Trí nhớ trực quan hình ảnh phát triển hơn trí nhớ từ ngữ trừu tượng Các em nhớ và giữ gìn chính xác những sự vật, hiện tượng cụ thể nhanh hơn và tốt hơn những định nghĩa, những lời giải thích dài dòng

1.1.4 Tưởng tượng

Tưởng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển và phong phú hơn so với trẻ mẫu giáo Đây là lứa tuổi thơ mộng giúp cho phát triển trí tưởng tượng Tuy vậy, tưởng tượng của các em còn tản mạn, ít có tổ chức Hình ảnh của tưởng tượng còn đơn giản, chưa được gọt rũa, hay thay đổi, chưa bền vững Đến cuối cấp Tiểu học, tính trực quan tưởng tượng của các em giảm dần, các

em có khả năng tưởng tượng sáng tạo Sở dĩ như vậy là vì các em đã có kinh nghiệm phong phú, đã lĩnh hội được những tri thức khoa học do nhà trường đem lại

Tóm lại, lứa tuổi học sinh tiểu học nhờ có giáo dục (nhà trường, gia đình,

xã hội), nhờ các em tham gia vào các hoạt động (học tập, giao tiếp, vui chơi, lao động tự phục vụ…) nên tâm lí của các em phát triển, khả năng nhận thức từng bước chuyển biến để phát triển ở trình độ cao hơn

1.2 Quy trình chung để giải một bài toán

Lâu nay, giải toán đã trở thành một hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấp dẫn đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh Đối với học sinh tiểu học, giải toán không chỉ là nhớ mẫu rồi áp dụng mà đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các khái niệm, quan hệ toán học, nắm chắc ý nghĩa các phép tính, đòi hỏi khả năng độc lập suy luận của học sinh, đòi hỏi học sinh phải biết làm tính thông thạo Để giúp học sinh thực hiện hoạt động giải toán một cách

có hiệu quả, cần hướng dẫn cho học sinh nắm được các bước của quy trình chung để giải một bài toán Quy trình này gồm 4 bước như sau:

– Tìm hiểu nội dung của đề bài

– Tìm cách giải

– Trình bày lời giải

– Nghiên cứu sâu lời giải

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung của đề bài

Giáo viên cần tập trung cho học sinh thói quen tự tìm hiểu đề toán Trước

hết, học sinh cần đọc thật kĩ đề bài, xác định được đâu là “những cái đã cho”, đâu là “cái cần tìm”, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm Giáo

viên cần hướng sự tập trung suy nghĩ của các em vào các từ quan trọng của đề bài, giải thích thuật ngữ khó hiểu cho học sinh, tách bỏ những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, giữ lại những dấu hiệu bản chất cho đề toán Tiếp theo, học sinh biểu thị cách hiểu đề bài thông qua việc tóm tắt bài toán Có thể tóm tắt bài toán bằng một trong các hình thức tóm tắt sau: tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng, bằng các hình tượng trưng, bằng lưu đồ, bằng biểu đồ Ven, bằng ngôn ngữ kí hiệu, bằng bảng kẻ ô, tóm tắt với công thức bằng lời, tóm tắt bằng công thức chữ

 Bước 2: Tìm cách giải

Ở bước này, cần suy nghĩ xem bài toán đã cho có thuộc loại toán điển hình hay không? Có tương tự với bài toán đã giải hay không? Muốn trả lời câu hỏi của bài toán thì cần phải biết những gì? Cần phải làm những phép tính gì? Trong những điều ấy cái gì đã biết, cái gì chưa biết? Muốn tìm cái chưa biết

ấy thì lại phải biết những gì, phải làm tính gì? Cứ như thế ta đi dần đến những điều đã cho trong đề toán Từ những suy nghĩ trên, học sinh sẽ tìm ra con đường tính toán (hoặc suy luận), đi từ những điều đã cho tới đáp số của bài toán

 Bước 3: Trình bày lời giải

Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở bước 2, ta sắp xếp các bước phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện theo các bước đó để tìm ra đáp số Tuy nhiên, ở bước này cần tuân thủ các quy tắc ở nhà trường Tiểu học Ta lần lượt thực hiện các phép tính có kèm theo lời giải để tìm ra đáp số

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Cần chú ý thử lại sau khi làm xong từng phép tính, cũng như thử lại xem đáp số có phù hợp với đề toán hay không Đồng thời cũng cần soát lại các câu lời giải cho các phép tính xem đã đủ ý và gãy gọn chưa

Đối với học sinh khá, giỏi sau khi giải xong bài toán cần suy nghĩ, xem xét nhằm mục đích:

+ Tìm ra các cách giải khác (nếu có) và so sánh các cách giải đó

+ Rút ra nhận xét, kinh nghiệm từ bài toán vừa giải

+ Từ bài toán này có thể đặt ra các bài toán khác và giải chúng

1.3 Phương pháp dùng chữ thay số

1.3.1 Thế nào là dùng chữ thay số ?

Dùng chữ thay số là phương pháp sử dụng để giải nhiều bài toán bằng cách ta dùng các chữ cái a, b, c,…x, y, z hoặc A, B, C, M, N… để biểu diễn số

có một hoặc nhiều chữ số Từ cách chọn kí hiệu như trên, theo điều kiện của

đề bài, ta đưa về một phép tính hay dãy các phép tính chứa các chữ ấy Dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính ta tìm được số cần tìm

1.3.2 Một vài kí hiệu thường dùng

+ ab để chỉ một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục là a, chữ

số hàng đơn vị là b

+ abc để chỉ một số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ

số hàng chục là b, chữ số hàng đơn vị là c

+ a00 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng

chục và chữ số hàng đơn vị đều là 0 (chữ số “không”) Hoặc a00 là số tròn

trăm mà chữ số hàng trăm là a

+ ab0 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm a, chữ số hàng

chục là b, chữ số hàng đơn vị là 0 (chữ số “không”) Hoặc ab0 là số tròn

+ 0,abc để chỉ số thập phân có phần nguyên là 0, phần mười là a, hàng phần trăm là b, hàng phần nghìn là c

1.3.3 Một số kiến thức cần lưu ý khi giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số

1.3.3.1.Phân biệt số và chữ số

Chữ số là các kí hiệu (hình vẽ) dùng để biểu thị, để ghi lại các số Có 10 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Khi ghép các chữ số theo những cách khác nhau ta có thể viết được vô số các số

Chẳng hạn, để ghi số 124 ta dùng ba chữ số là chữ số 1, chữ số 2, chữ số

4 Ở đây, chữ số 1 chỉ 1 trăm, chữ số 2 chỉ 2 chục, chữ số 4 chỉ 4 đơn vị Nếu sắp xếp những chữ số này ở các vị trí khác nhau thì được các số có giá trị khác nhau

1.3.3.2 Phân tích cấu tạo thập phân của số

ab = a × 10 + b abc = a × 100 + b × 10 + c

= a × 100 + bc

= ab × 10 + c

abcd = a × 1000 + b ×100 + c × 10 + d = abc × 10 + d

(a + b) + c = a + (b + c) và (a × b) × c = a × (b × c) + Nhân một số với một tổng hoặc với một hiệu:

a × (b + c) = a × b + a × c và a × (b - c) = a × b - a × c – Sử dụng kĩ thuật thực hiện phép tính:

+ Đối với phép cộng, phép trừ, phép nhân thì thực hiện các bước tính từ phải sang trái (lần lượt từ hàng đơn vị, hàng chục,… cho đến hàng cuối cùng), mỗi lần như vậy thì tìm được một chữ số tương ứng

+ Đối với phép chia thì thực hiện các bước tính từ trái sang phải (lần lượt từ hàng cao nhất đến hàng thấp nhất), mỗi lần như vậy tìm được một chữ

• Nếu cộng n chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ từ 1 đến n - 1 sang hàng cao liên tiếp

– Quy tắc:

Trong quá trình biến đổi, ta dựa vào các quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm kết quả Đó là các quy tắc sau đây:

+ Tìm một số hạng chưa biết của tổng hai số

+ Tìm số bị trừ chưa biết của hiệu hai số

+ Tìm số trừ chưa biết của hiệu hai số

+ Tìm một thừa số chưa biết của tích hai số

+ Tìm số bị chia chưa biết của thương hai số

+ Tìm số chia chưa biết của thương hai số

– Số lẻ không chia hết cho 2, ngược lại số không chia hết cho 2 là số lẻ – Tổng (hiệu) của hai số chẵn là số chẵn, tổng (hiệu) của hai số lẻ là số chẵn

– Tổng (hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ

– Tích có một thừa số chẵn là một số chẵn

– Tích của một số nhân với chính nó có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 (không có tận cùng là 2; 3; 7; 8)

1.3.3.5 Vận dụng dấu hiệu chia hết của một số tự nhiên

– Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2 Những

số chia hết cho 2 thì có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

– Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5

– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 Những

số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 Những

số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

– Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4 Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4

– Các số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6 Các số có tận cùng là

số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3 thi chia hết cho 6

– Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 Các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 8

– Nếu A × B × C = D thì D chia hết cho mỗi thừa số A, B, C

– Nếu A và B cùng chia hết cho N thì A + B hoặc A - B; B - A cũng chia hết cho N

– Nếu A + B chia hết cho N, mà A chia hết cho N thì B chia hết cho N

1.3.3.6 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức chứa chữ

– Một số có hai chữ số thì tổng các chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất là 1

Đó là một số kiến thức thường sử dụng khi giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số Tuy nhiên, để có được một bài giải hay, dễ hiểu, chặt chẽ thì đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm vững những kiến thức trên và biết phối hợp vận dụng nó một cách linh hoạt vào trong từng bài toán cụ thể

1.4 Thực trạng việc dạy và học giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số ở Tiểu học

Việc dạy học sinh giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số đòi hỏi học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản như đã đưa ra ở phần trên

Đó là những kiến thức về:

- Phân biệt được số và chữ số

- Cấu tạo thập phân của số

- Tính chất của các phép tính, kĩ thuật thực hiện phép tính

- Tính chẵn, lẻ và tận cùng của số tự nhiên

- Các dấu hiệu chia hết

- Cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức chứa chữ

Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, tôi nhận thấy những kiến thức này đã được giới thiệu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và được đưa vào chương trình học theo một hệ thống từ lớp 1 đến lớp 5 Cụ thể:

Học sinh được trang bị kiến thức về cấu tạo thập phân của số thông qua những bài học về các số:

- Học kì I - lớp 5: Vòng các số thập phân

Học sinh được giới thiệu về: Tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân; tính chất nhân một số với một tổng (hiệu), một tổng chia một số, một số chia một tích, một tích chia một số sau khi học về các phép tính tương ứng Trong chương trình lớp 4, học sinh được giới thiệu về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 Ngoài ra, trong chương trình toán Tiểu học

còn có dạng bài “Tìm x”, “Tìm y” qua đó đòi hỏi các em phải biết cách vận

dụng các quy tắc tìm thành phần chưa biết trong phép tính

Như vậy, việc dạy học sinh giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số đòi hỏi học sinh phải được trang bị và nắm vững cả một hệ thống kiến thức có liên quan xuyên suốt toàn bộ chương trình từ lớp 1 đến lớp 5

Qua trao đổi với giáo viên đứng lớp tại trường Tiểu học Ngô Quyền - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc, trường Tiểu học Quất Động - Thường Tín - Hà Nội, tôi nhận thấy: Việc giải toán bằng phương pháp dùng chữ thay số chưa được chú ý đúng mức Ở hầu hết các trường Tiểu học phương pháp này chỉ được áp dụng đối với những học sinh khá, giỏi Điều này xuất phát từ các nguyên nhân sau:

* Về phía giáo viên: Do đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học còn mang tính trực quan cụ thể, ghi nhớ máy móc Tư duy của các em còn bị cái tổng thể chi phối, còn gắn liền với chuẩn mực thực tế, kinh nghiệm Khả năng ghi nhớ của các em chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc, các em nhanh nhớ và cũng nhanh quên Trong khi đó các bài toán về số và chữ số rất đa dạng, phong phú và không kém phần phức tạp Nó tổng hợp toàn bộ khối lượng kiến thức số học ở Tiểu học (kiến thức về vòng số, dấu hiệu chia hết, thuật tính,…) Chính vì lí do đó mà người giáo viên khi đưa ra bài toán và hướng dẫn học sinh giải đã phải chọn những bài toán có phương pháp giải phù hợp

với khả năng nhận thức của các em Điều này đã làm hạn chế việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số vào trong giải toán ở Tiểu học

Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên đã hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp này để giải các bài toán về số và chữ số Qua phản ánh của các giáo viên trường Tiểu học, đối với học sinh khá giỏi nhận thức của các em nhanh hơn, tư duy trừu tượng phát triển hơn nên các em hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp này một cách thành thạo Các em đã biết vận dụng

và xem đó là một công cụ thực sự hữu hiệu khi gặp các bài toán về số và chữ

số, các bài toán khó

* Về phía học sinh: Qua trao đổi với giáo viên và khảo sát và thực tế giảng dạy trong đợt thực tập tại trường Tiểu học Ngô Quyền - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc, tôi thấy rằng: Đối với học sinh đại trà thì các em chưa được giáo viên truyền tải nội dung của phương pháp này Thậm chí, có những em chưa phân biệt được số và chữ số Bên cạnh đó, đa phần các em trong lớp đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi đều có khả năng vận dụng phương pháp dùng chữ thay số để giải toán Tuy nhiên, các em vẫn còn lúng túng không biết cách diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu và mô tả dữ kiện của bài toán qua các đẳng thức toán Các em không có thói quen phân tích đề bài, chưa có định hướng rõ ràng khi giải toán mà chỉ áp dụng một cách máy móc các công thức Các em lập luận chưa chặt chẽ, chưa rõ ràng và trình bày bài giải rất dài dòng, rắc rối Bên cạnh đó, có những em biết cách làm nhưng lại nhầm lẫn trong quá trình tính toán Sau khi làm bài xong, học sinh không có thói quen kiểm tra lại bài làm của mình Một số em chưa hiểu khi dùng các chữ cái thay cho các chữ số cần tìm ta thường viết dấu gạch ngang ở trên đầu số để nhấn mạnh: đó là các

số nên thường hay quên dấu gạch ngang Chẳng hạn, khi viết số có ba chữ số

a, b, c là abc thì học sinh viết là abc Tuy nhiên, khi đặt phép tính theo cột dọc ta không cần viết dấu gạch ngang đó nữa Ví dụ ta viết:

abc không viết là: abc

em làm quen với phương trình, tạo nền tảng ban đầu cho các em học các phương trình phức tạp ở các cấp học trên

KẾT LUẬN CHƯƠNG Như vậy ở chương 1, tôi đã trình bày về một số đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học Đây chính là cơ sở giúp chúng ta xác định phương pháp và cách thức dạy học sinh giải toán ở Tiểu học Tiếp đó, để nâng cao hiệu quả của hoạt động giải toán tôi cũng đã trình bày quy trình chung để giải một bài toán Đồng thời, trong chương này, tôi đã hệ thống hóa được các kiến thức có liên quan tới phương pháp dùng chữ thay số Qua tìm hiểu cơ sở thực tiễn, tôi thấy được thực trạng việc vận dụng phương pháp dùng chữ thay số vào trong giải toán ở Tiểu học Mặc dù đây là một phương pháp mà trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi Toán hàng năm đều sử dụng đến làm công cụ hữu hiệu để giải các bài toán về số và chữ số Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng nắm được cách vận dụng phương pháp này vào trong giải toán một cách thành thạo Để khắc phục một phần khó khăn đó, đề tài phân loại các bài toán ở Tiểu học giải bằng phương pháp dùng chữ thay số nhằm giúp học sinh dễ dàng nhận dạng được dạng toán

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CHỮ THAY SỐ

2.1 Dạng 1: Các bài toán về số tự nhiên

Khi giải các bài toán về số tự nhiên bằng phương pháp dùng chữ thay số

ta cũng tuân thủ theo 4 bước trong quy trình chung để giải một bài toán như

đã trình bày ở trên Tuy nhiên, sau khi tìm hiểu nội dung của đề bài, phân tích bài toán tìm cách giải thì ở bước thứ 3 ta có thể trình bày lời giải theo trình tự sau:

• Bước 1: Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng

buộc của các kí hiệu đó

• Bước 2: Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán Sau

đó, ta có thể thực hiện theo các cách sau:

+ Cách 1: Tiến hành phân tích cấu tạo thập phân của số để biến đổi mối

quan hệ trong bài toán về các đẳng thức đơn giản để giải

+ Cách 2: Đưa bài toán về các dạng toán điển hình như: Tìm hai số khi

biết tổng và hiệu của hai số đó, tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó, tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó

+ Cách 3: Đưa về bài toán Điền chữ số rồi lập luận để tìm ra chữ số cần

điền

Tuy nhiên, để giải các bài toán theo phương pháp dùng chữ thay số, ta cần biến đổi các đẳng thức, vận dụng các tính chất của các phép tính, quy tắc thực hiện phép tính, vận dụng tính chẵn lẻ và tận cùng của một số tự nhiên, các dấu hiệu chia hết và cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức chữ… để lập luận tìm ra các giá trị thỏa mãn đề bài

• Bước 3: Cuối cùng thử lại để xác định số cần tìm

2.1.1 Loại 1: Thay đổi vị trí các chữ số của một số tự nhiên

Nhận xét:

Có hai trường hợp xảy ra:

+ Chuyển các chữ số của một số tự nhiên đến vị trí bất kì

+ Viết số tự nhiên theo thứ tự ngược lại

Thông thường, với loại toán thay đổi vị trí các chữ số của một số tự nhiên, sau khi diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu và diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán thì ta thường tiến hành phân tích cấu tạo số hoặc

đưa về bài toán Điền chữ số để tìm ra các chữ số của số cần tìm

2.1.1.1 Trường hợp 1: Chuyển các chữ số tự nhiên đến vị trí bất kì

ab × 10 × 5 + c × 5 + 25 = c × 100 + ab

ab × 50 + c × 5 + 25 = c × 100 + ab

ab × 49 + 25 = c × 95

ab × 49 = c × 95 - 25

Ví dụ 2:

Cho một số tự nhiên N có 6 chữ số Biết rằng khi chuyển chữ số đầu tiên của số N đến vị trí sau cùng (giữ nguyên thứ tự của 5 chữ số còn lại), ta được một số có sáu chữ số gấp 3 lần số N, khi chuyển chữ số sau cùng của số

N đến vị trí đầu tiên (giữ nguyên thứ tự của 5 chữ số còn lại), ta được một số

có 6 chữ số gấp 5 lần số N Hãy tìm số N

Giải

Với bài toán này, ta có thể đưa về bài toán Điền chữ số sau đó lập luận

để tìm ra số cần điền như sau:

• Bước 1: Gọi số tự nhiên có 6 chữ số N là abcdeg

(a, b, g > 0; a, b, c, d, g < 10)

Chuyển chữ số đầu tiên của số N đến vị trí sau cùng, ta được số: bcdega

Chuyển chữ số sau cùng của số N đến vị trí đầu tiên, ta được số: gabcde

• Bước 2: Theo đề bài ta có:

bcdega = abcdeg × 3 (A) gabcde = abcdeg × 5 (B) Đặt hai phép tính trên theo cột dọc:

- Xét (B): Thay tiếp d = 8 có: 1bc857 × 5 = 71bc85 , xét phép nhân ở hàng trăm: 5 × 8 + 2 (nhớ) = 42 nên c = 2

- Xét tiếp (A): Thay tiếp c = 2 có: 1b2857 × 3 = b28571 , xét phép nhân

2.1.1.2 Trường hợp 2: Viết số tự nhiên theo thứ tự ngược lại

Ví dụ 3:

Tổng của một số có hai chữ số và một số có bốn chữ số là 2750 Tìm hai

số hạng, biết rằng nếu cả hai số này đều viết theo thứ tự ngược lại thì tổng của chúng bằng 8888

Giải

Có thể giải bài toán này bằng cách đưa về bài toán Điền chữ số như sau:

• Bước 1: Gọi số có hai chữ số là ab (a > 0, b > 0; a, b < 10)

Số viết theo thứ tự ngược lại là ba

Gọi số có bốn chữ số là cdeg (c > 0, g > 0; c, d, e, g < 10)

Số viết theo thứ tự ngược lại là gedc

• Bước 2: Theo đề bài ta có hai phép tính sau:

Một số bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Tìm số có hai chữ số, biết rằng đổi chỗ hai chữ số của nó cho

nhau ta được một số mới hơn 4 lần số ban đầu là 3 đơn vị

Bài tập 2: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số tận cùng

của số đó là 8 và nếu chuyển chữ số 8 này lên đầu thì ta được một số hơn số

đó là 6192 đơn vị

Bài tập 3: Tìm số có năm chữ số, biết số đó bằng 1

9 số viết bởi năm chữ số

đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại

+

+

Bài tập 4: Số đo cạnh hình vuông theo mét là một số tự nhiên Số đo diện

tích của nó là một số có hai chữ số mà khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được một số mới lớn hơn số cũ 27 đơn vị Tìm chu vi hình vuông đó

Bài tập5: Tìm số có ba chữ số, biết rằng nếu viết các chữ số theo thứ tự

ngược lại ta được số mới lớn hơn số phải tìm 792 đơn vị và tổng của ba chữ

số bằng 10

Bài tập 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại

nhân với số phải tìm được 3154, số nhỏ trong hai số đó lớn hơn tổng của hai chữ số đó là 27

2.1.2 Loại 2: Viết thêm một số chữ số vào một số tự nhiên

Loại toán này xảy ra ba trường hợp sau:

- Viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên

- Viết thêm chữ số vào bên phải của một số tự nhiên

- Viết thêm chữ số vào giữa các chữ số của một số tự nhiên

2.1.2.1 Trường hợp 1: Viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên

Nhận xét:

Khi viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là: Số mới - Số ban đầu

Với những bài toán viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên, ta

có thể giải bằng cách phân tích cấu tạo thập phân của số hoặc có thể biến đổi

đưa về dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số

Với bài toán này, ta có thể giải bằng cách tiến hành phân tích cấu tạo

thập phân của số hoặc cũng có thể biến đổi đưa về dạng toán điển hình: Tìm

hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó như sau:

• Bước 1: Gọi số cần tìm là: abc (a > 0; a, b, c < 10)

Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái ta được số mới là: 2abc

• Bước 2: Theo đề bài ta có:

2abc = abc × 17

+ Cách 1: Phân tích cấu tạo số:

Ta có: 2abc = 2000 + abc nên:

2000 + abc = abc × 17 abc × 17 - abc = 2000 (*) abc × (17 - 1) = 2000

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

Ví dụ 2:

Trong một phép chia số có sáu chữ số cho số có ba chữ số, bạn Sơn nhận thấy: nếu cùng viết thêm vào bên trái số bị chia và vào bên trái số chia chữ số 5 thì số thương và số dư vẫn không thay đổi Em hãy tìm số thương của phép chia đó

2.1.2.2 Trường hợp 2: Viết thêm chữ số vào bên phải của số tự nhiên

Nhận xét:

Khi thêm chữ số x (hoặc xy , xyz ,…) vào bên phải của một số tự nhiên thì ta được một số mới, số mới này gấp 10 lần (hoặc 100 lần, 1000 lần,…) số ban đầu và thêm x (hoặc xy , xyz ,…) đơn vị

Ví dụ 3:

Nếu viết thêm hai chữ số nữa vào bên phải một số tự nhiên thì được số mới hơn số tự nhiên đã cho 1980 đơn vị Hãy tìm số đã cho và hai chữ số viết thêm đó

Giải

Với bài toán này, ta có thể sử dụng phân tích cấu tạo số và cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hay một biểu thức chứa chữ như sau:

• Bước 1: Gọi số tự nhiên đã cho là A, số viết thêm là xy

Khi đó: (1980 - xy ) chia hết cho 99

Vì 1980 : 99 = 20 nên xy phải chia hết cho 99

Vậy xy = 00 hoặc xy = 99

+ Nếu xy = 00 thì số A là: (1980 - 00) : 99 = 20 + Nếu xy = 99 thì số A là: (1980 - 99) : 99 = 19

• Bước 3: Thử lại:

2000 - 20 = 1980 (đúng)

1999 - 19 = 1980 (đúng) Vậy: Số cần tìm là 20 thì số viết thêm là 00;

Đây là trường hợp vừa viết thêm chữ số vào bên trái, vừa viết thêm chữ

số vào bên phải của một số tự nhiên

Với bài toán này, ta có thể giải bằng cách đưa về bài toán Điền chữ số

hoặc phân tích cấu tạo số như sau:

• Bước 1: Gọi số phải tìm là abcde (a > 0; a, b, c, d, e < 10)

Viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó ta được số abcde2

Viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số 2abcde

• Bước 2: Theo đề bài ta có phép tính:

abcde2 = 3 × 2abcde + Cách 1: Phân tích cấu tạo số:

• Bước 3: Thử lại:

285714

3

857142 Vậy số cần tìm là: 85714

2.1.2.3 Trường hợp 3: Viết thêm chữ số vào giữa các chữ số của một

Một số bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số

đó thì được số mới lớn hơn số đã cho là 1986 đơn vị Hãy tìm số đã cho và hai

chữ số viết thêm đó