Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp chặn trong giải toán ở trung học cơ sở

Phương pháp “ Sử dụng phương pháp chặn” là một công cụ hữu hiệu, góp phần tháo gỡ khó khăn trong việc giải toán. Phương pháp này tuy đã được nhiều người sử dụng, song không chủ động, áp dụng chưa rộng, chưa hình thành tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh dẫn đến học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất là các bài tập về số học. Từ thực tế giảng dạy bồi tôi đã mạnh dạn làm chuyên đề này, góp một phần nhỏ vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 A.   ĐẶT VẤN ĐỀ I.    LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình phổ thơng mơn tốn là mơn học chiếm vị trí quan  trọng. Dạy tốn tức là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học tốn tức là  rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải các bài tốn là một phương tiện rât  tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ  năng, kĩ xảo Trong q trình giảng dạy mơn tốn ỏ THCS nói chung, mơn số học  nói riêng, việc hình thành tư duy cho các em để đi đến cách giải một bài  tốn là một việc tương đối khó khăn đặc biệt lại là các em học sinh ở đầu  cấp. Vì vậy làm thế nào, để  khai thác triệt để các dữ  kiện của bài tốn,  loại trừ các khả năng có thể xảy ra, từ đó đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ  động đưa ra cách giải một cách đơn và đi đến kết quả Một trong những phương pháp đó là “ Sử dụng phương pháp chặn”­  là những cơng cụ hữu hiệu, góp phần tháo gỡ khó khăn trong việc giải tốn.  Phương pháp này tuy đã được nhiều người sử dụng, song khơng chủ động,  áp dụng chưa rộng, chưa hình thành tư duy phương pháp và kĩ năng cho học  sinh dẫn đến học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất  là các bài tập về số học Từ  thực tế  giảng dạy bồi tơi đã mạnh dạn làm chun đề  này, góp  một phần nhỏ vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.  Thực trạng:         Số học là mơn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong các đề thi  học sinh giỏi cấp cụm, cấp huyện, cấp tỉnh ln có mặt. Khi giải tốn số  học, một khâu quan trọng thường có trong cách giải là phải tìm cách hạn  chế các giá trị của biến để từ đó tìm ra kết quả. Tuy nhiên với các em đầu  GV: Nguyễn Đức Hữu  ­  Trường THCS Lê Đình Kiên – n Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 cấp nếu khơng được sự hướng dẫn thì việc làm này sẽ khơng trở đường  lối 2.  Kết quả của thực trạng Để đánh giá được khả năng giải tốn và có phương án truyền đạt phương pháp đến cho học sinh, tơi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh  khá giỏi khối lớp 6 trường THCS Lê Đình Kiên, thời gian làm bài là 45 phút Bài 1 (4 điểm) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho  9x < 45 Bài 2 (4 điểm) : Tìm số có hai chữ số sao cho tỉ số giữa hai số đó với tổng   các chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất Bài 3 (2 điểm) : Tìm các số tự nhiên x, y sao cho  1 + = x y Kết quả cụ thể :  Điểm dưới 5 Điểm 5 ­ 7 Điểm 8 ­ 10 SL % SL % SL % 40 35 25  Qua kiểm tra tơi thấy đa số học sinh khơng làm được bài 3 Từ thực trạng trên, để q trình bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt  hơn tơi đã nghiên cứu và tìm hiểu một lớp các bài tốn, hướng dẫn các em  học sinh sử dụng phương pháp “chặn” để giải sẽ có hiệu quả hơn B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Sử  dụng phương pháp này giải quyết được phần lớn các bài tập số  học cơ bản và nâng cao. Bản chất của vấn đề  là: “Muốn tìm được số  nào  đó hay mệnh đề nào đó thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” thì ta   phải giới hạn tính chất đã cho, phạm vi áp dụng, kết hợp nhiều tính chất  khác nhau rồi loại bỏ  các yếu tố  phức tạp và có thể  góp phần đưa ra kết   Cụ thể là : Tìm số a thỏa mãn tính chất nào đó, ta giả sử     a m GV: Nguyễn Đức Hữu  ­  Trường THCS Lê Đình Kiên – n Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 Kết hợp với điều kiện bài tốn ta tìm được   a n    Từ  đó ta tìm được a  trong khoảng từ m đến n  ( m a n )  Sau đó kết hợp các dữ kiện hoặc thử  các trường hợp trong khoảng đó suy ra a chỉ nhận một số giá trị nào đó.   Các bài tốn ở chun đề này thường được phân ở hai dạng chính: ­ Dạng thứ  nhất: Dựa vào đề  bài ra ta có thể  giới hạn ngay các khả  năng   xảy ra, kết hợp nhiều yếu tố khác rồi cho kết quả ­ Dạng thứ hai: Sử dụng các tính chất đã có của các số, nhưng có thể khơng  nói đến ở đề bài tốn. Kết hợp nhận xét, đánh giá các khả năng xảy ra rồi  “ chặn”, từ đó đi đến lời giải và cho kết quả. Trong trường hợp này nhiều  khi chúng ta phải linh động, bởi vì xuất phát điểm của lời giải khơng cố  định bắt đầu từ đâu, khơng theo một cơng thức hay quy luật nào đó Sau đây là một số  bài tập áp dụng được phân thành các thể  loại,  trong đó đã phân thành hai dạng đã nói ở trên I THỂ LOẠI TỐN VỀ TÌM SỐ (Ở thĨ lo¹i chđ u toán dng 1) Bi1:Tỡma,bbit a,b { 23;35;138;17;41}  và  90 6y Lời giải: a/ Nếu x>6 thì 6.x >37 khơng thỏa mãn đề bài Suy ra  x { 0;1;2;3;4;5;6} Mà x là số tự nhiên lớn nhất cần tìm. Vây x=6 b) Ta có : 6.6=36 17064 Từ trên suy ra 2 b Vì  a + b = 10530   5215 < a < 10530 a > b2 73 < a < 103 Suy ra dạng phân tích ra thừa số ngun tố của số a chứa  32.11 Lại có 10530 khơng chia hết cho 11 nên b khơng chia hết cho 11  b { 3;3 ;3 }  Lần lượt thử với các giá trị trên ta được  b = 33 = 27  thỏa mãn đề bài.  Khi đó  a = 99 Vậy a=99, b=27 Cách 2:   Lập luận như trên ta suy ra được  a M9; bM9 a = 9k,b = 9h ( k;h N,k > h ) a + b = 81( k + h ) = 10530 k + h = 130 k >h 2 Với  k = h = 49 65 < k < 130 < k < 12 k { 9;10;11} h =  Thay vào ta thấy không thỏa mãn đề bài Với  k = 10 h = 30  vơ lí Với  k = 11 h2 = h =  Thỏa mãn đề bài ra Vậy a=99, b=27 Lời bình:  GV: Nguyễn Đức Hữu  ­  Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 Cách 1: tuy ngắn gọn nhưng ít được sử  dụng rộng rãi, bởi vì có khi  phải thử nhiều trường hợp thì rất mất thời gian cho việc tính tốn mà hiệu  quả lại khơng cao, khơng mang tính khoa học bộ mơn rõ rệt Cách 2: Nếu các em khơng nghĩ ngay đến việc sử dụng kết quả trong   việc tìm BCNN của hai số thì rất khó có thể  tìm ra cách giải, rất mất thời   gian hoặc dài dòng mới cho kết quả Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của nó là  n − 2011n + Lời giải: Gọi  S ( n )  là tổng các chữ số của n.  Ta có :  S ( n ) + Nếu  n = n ( *) S ( n ) =   loại + Nếu 1 n 2011 S ( n ) = n − 2011n + = n − n − 2010n + 2010 − 2006 = ( n − 1) ( n − 2010 ) − 2006 Suy ra  S ( n ) <  loại + Nếu   n > 2011 S ( n ) = n ( n − 2011) + > n  Mâu thuẫn với (*) + Nếu  n = 2011 S ( n ) = 20112 − 2011.2011 + = = + + +  thỏa mãn Vậy số đó là 2011 II. THỂ LOẠI  TỐN VỀ SỐ NGUN TỐ Bài     (D1)  Tìm   tất       số   tự   nhiên   k     cho   dãy   số  k + 1,k + 2,k + 3, ,k + 10  chứa nhiều số ngun tố nhất Lời giải + Với k = 1 thì dãy trên có 5 số ngun tố là 2,3,5,7,11 + Với k = 0 thì dãy trên có 4 số ngun tố là 2,3,5,7 + Với  k  thì các số của dãy trên đều khơng nhỏ hơn 3 và trong 10 số đó  có 5 số  chẵn là hợp số  và 5 số  lẻ  liên tiếp. trong các số  lẻ  này có ít nhất  GV: Nguyễn Đức Hữu  ­  Trường THCS Lê Đình Kiên – n Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 một số khác 3 mà chia hết cho 3. Do đó số các số ngun tố khơng vượt q  Vậy k = 1 thì dãy chứa nhiều số ngun tố nhất Bài 2 (D1): Tìm tất cả  bộ  ba các số  ngun tố  liên tiếp sao cho tổng bình   phương của 3 số đó cũng là số ngun tố Lời giải Gọi 3 số ngun tố liên tiếp cần tìm là p, q, r Ta có  p + q + r = A  là số nguyên tố Giả sử p  3 nên A là hợp số trái với giả thiết (Loại) Vậy  pM3  vì  p nguyên tố nên  p = q = 5;r = Khi đó  A = 32 + 52 + = 83  là số nguyên tố Bài 3 (D1): Tìm tất cả các số nguyên tố p để  2p + p  cũng là số nguyên tố Lời giải: Nếu p = 2 thì  A = 2p + p = 22 + 22 =  là hợp số Nếu  p >  mà p nguyên tố nên  p là số lẻ p p Ta có  A = + p = ( + 1) + ( p − 1) Vì p là số lẻ nên  2p + 1M3 p M3 AM3  Lại có A > 3 nên A là hợp số  Nếu p = 3 thì  A = 23 + 32 = 17  là số ngun tố Vậy chỉ tìm được một số ngun tố p = 3 thỏa mãn u cầu bài tốn Bài 4 (D2): Tìm mọi số ngun tố x, y thỏa mãn   x − 2y = Lời giải Ta có:    x − 2y = x − = 2y ( x − 1) ( x + 1) = 2y   (1) GV: Nguyễn Đức Hữu  ­  Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     –    Năm học 2010­2011 Xét tổng  ( x − 1) + ( x + 1) = 2x  là số chẵn   Từ (1)  x − 1; x +  cùng là số chẵn              ( x − 1) ( x + 1) M4 2y M4 y M2 x − 1;x +  cùng tính chẵn, lẻ yM2 y =  Khi đó  x = + 2.22 = Mà y là số nguyên tố  x =3 Vậy  x = 3, y = III.THỂ LOẠI  TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG  Bài 1 (D1): Hãy tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau đây:  abcd : dcba = q   biết rằng cả  3 số  đều là số  chính phương và các chữ  số  khác nhau Lời giải Do  abcd dcba < q < 10  mà q là số chính phương nên  q { 4;9} Mặt khác  abcd;dcba  đều là các số chính phương nên  a,d A = { 1;4;5;6;9}   (vì  a,d 0) Nếu  d dcba.q > 3000.4 = 12000 > abcd  (Loại) Vậy  d < mà d A d =1 Ta xét 1cba.q = abc1  mà q = 4 hoặc 9  a A Nếu  c 1cba.9 > 1200.9 = 10800 > abc1   (Loại) Vậy ta có c