Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: Quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất.
MỤC LỤC 01 TÀI LIỆU THAM KHẢO 02 A. Phần mở đầu 03 I. Lý do chọn đề tài .…………. 03 II. Mục đích nghiên cứu…………………………………………… …… 04 III. Phương pháp nghiên cứu………………………………………… .04 IV. Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài 05 V. Dự kiến kết quả đạt 06 B. Phần nội dung 07 I Quy trình giải bài tốn bằng phương pháp véc tơ 1. Quy trình giải bài tốn bằng phương pháp véc tơ…………………………… 07 2. Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản…………………………………………07 3. Các dạng bài tập cơ bản …………………………… 07 II. Các bài tập minh họa 09 1. Dành cho học sinh trung bình khá 09 2. Dành cho học sinh khá giỏi .12 III. Bài tập tham khảo 15 IV. Kết quả 15 V. Giải pháp mới 16 VI. Thực tiễn giảng dạy 16 VII. Kết luận .17 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải tốn hình học phẳng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo Dục [4] Tuyển chọn theo chun đề tốn học và tuổi trẻ , NXB Giáo Dục [5] Tạp chí tốn học nhà trường tháng 7/ 2015 [6] B. I. Acgunop M.B.Ban, Hình học sơ cấp 1977, NXB Giáo Dục [7] Lê Thiếu Tráng , Luận văn tiến sĩ , Vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực tốn học cho học sinh khá giỏi trong dạy học nội dung vec tơ trong trường phổ thơng 2015 A Phần mở đầu I Lí do ch ọn đề tài : 1.Về mặt lý luận Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2015: Phương pháp giáo dục cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Từ đó, mục tiêu dạy học mơn Tốn là: Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp tốn học phổ thơng, cơ bản, thiết thực. Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuncho học sinh. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học cao đẳng, đại học, trung học chun nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. “ Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài tốn hình học khơng gian ” là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Đáp ứng u cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thơng minh những điều đã học”.Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay ln coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. sức cần thiết 2.Về mặt thực tiễn Trong chương trình hình học ở THPT, khi dạy giải bài tập tốn nói chung , giải bài tập tốn bằng cơng cụ vectơ nói riêng học sinh thường gặp những khó khăn trong việc trả lời các câu hỏi sau: Làm thế nào để phát hiện cơng cụ thích hợp cho việc giải bài tốn đã cho ? Dựa vào cơ sở nào để lưạ chọn đúng các kiến thức đã biết để giải bài tốn đa cho ? Biến đổi bài tốn như thế nào để có thể đưa bài tốn về dạng quen thuộc ? Có những dạng bài tốn nào có thể lựa chọn cơng cụ vec tơ để giải ? Việc chỉ ra các căn cứ để phát hiện hướng giải đúng bài tốn hình học phổ thơng bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống hóa các dạng tốn, giải được các bài tốn hình học một cách đơn giải hơn mà việc giải nó bằng phương pháp tổng hợp thì cơng kềnh và hình vẽ thì phức tạp.Ngồi ra phương pháp này còn giúp giáo viên và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học tập mơn hình học đạt hiệu quả cao hơn Ở sách giáo khoa chương trình hiện nay, phần vec tơ trong khơng hian được trình bày kĩ, khuyến khích được học sinh học và sử dụng phương pháp vec tơ vào giải bài tập hơn chương trình cũ. Song ngay cả ở sách giáo khoa, sách bài tập và cả các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Do đó học sinh chưa khai thác sâu được phương pháp này nên chủ yế giải bài tập hình bằng phương pháp thơng thường mà phương pháp này đòi hỏi phải có tư duy , trí tưởng tượng cao và hình vẽ phức tạp. Trong khi nhiều bài tốn hình học khơng gian nếu giải bằng phương pháp vec tơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và hình vẽ khơng phức tạp Mặt khác các đề thi đại học cao đẳng hằng năm đáp án cho bài hình khơng gian khơng đưa ra cách giải bằng phương pháp vec tơ. Điều đó làm cho giáo viên và học sinh ít chú trọng cũng như chưa thấy được tính ưu việt của phương pháp này Việc sử dụng thành thạo phương pháp véc tơ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập rèn luyện và phát triển tư duy lơgic tốn, giúp học sinh lớp 11 có tiền đề tốt để học phương pháp tọa độ trong hình học giải tích lớp 12, phù hợp với xu thế học và thi hiện nay 3.Về cá nhân Phấn đấu để dạy tốt các mơn học nói chung và mơn Tốn nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Tốn là khoa hoc tư duy trừu tượng nhưng Tốn học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của mơn tốn ở trung học là hình thành những biểu tượng tốn học ban đầu và rèn luyện kĩ năng tốn cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác tốn học còn có tính thực triễn. Các kiến thức tốn học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mơ hình tốn học là khái qt từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học tốn học ở trung học là hồn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức tốn học bằng ngơn ngữ và các kí hiệu tốn học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thơng minh nhất trong việc học tốn trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thơng minh của học sinh thơng qua giờ học tốn Vì vậy tơi chọn đề tài nghiên cứu của mình là ‘‘Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vec tơ giải bài tốn hình học khơng gian’’ II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu luận văn người học nắm được các căn cứ lựa chọn cơng cụ thích hợp, lựa chọn đúng kiến thức đã học để vận dụng giải bài tập hình học bằng cơng cụ vectơ. Ngồi ra còn giúp người học phân dạng được các bài tập , mối liên hệ giữa bài tập này với bài tập kia III Đối tượng nghiên cứu Véc tơ trong khơng gian và các phép tốn, các bài tập hình học trong khơng gian III Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra trong q trình nghiên cứu tơi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau: Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo 2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập Nghiên cứu các bài tốn khai thác về tri thức cội nguồn Nghiên cứu các bài tốn có cấu trúc tương tự IV Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài Thuận lợi Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và u thich mơn hoc ́ ̣ Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chun đề. Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp 2. Khó khăn Đa sơ hoc sinh h ́ ̣ ọc u hình h ́ ọc đặc biệt là phần vec tơ. Có tư tưởng sợ học phần này. Giáo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài Số liệu thống kê Trong các năm trước, khi gặp bài tốn liên quan đến véc tơ và vận dụng phương pháp véc tơ để giải, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau: Mức độ Không Nhận biết Nhận biết biết Nhận biết và vận nhận biết không vận dụng, chưa dụng , giải được biết vận dụng giải hoàn bài tập hoàn chỉnh chỉnh Số lượng Tỉ lệ 44 66,7 22,2 9,9 1,1 V Dự kiến kết quả đạt được Nghiên cứu các căn cứ để định hướng đúng hướng giải các bài tốn hình học phổ thơng nhờ cơng cụ vec tơ nhằm giúp học sinh pháp hiện , huy động đúng đã học, các bài tập đã biết cách giải vào việc giải các bài tập mới Đưa ra một số dạng bài tập và cách nhận biết hướng giải bài tập đó, các hệ thống bài tập có liên quan B Phần nội dung I – Quy trình giải bài tốn bằng phương pháp véc tơ Quy trình giải bài tốn bằng phương pháp véc tơ Bước 1: Lựa chọn hệ véc tơ gốc : Thường là 3 véc tơ cùng điểm đầu và khơng đồng phẳng Ưu tiên chọn các véc tơ đã biết độ dài, biết góc giữa chúng Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận hình học của bài tốn sang ngơn ngữ vec tơ và biểu diễn các vec tơ liên quan theo hệ vec tơ gốc 1) 2) Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản Giả thiết hình học M là trung điểm của đoạn thẳng AB Ngơn ngữ vec tơ (có thể) G là trọng tâm tam giác ABC G là trọng tâm tứ diện ABCD Các dạng bài tập cơ bản Bài tốn 1: Chứng minh hai đường thẳng song song: Để chứng minh đường thẳng AB // CD , ta chứng minh : Bài tốn 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Để chứng minh đường thẳng AB // (MNP) , ta chứng minh : 3) Bài tốn 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia (thực hiện bài tốn 2 hai lần) Bài tốn 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc: Để chứng minh đường thẳng ab ta chứng minh , trong đó lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b Bài tốn 5: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Để chứng minh ta chứng minh Bài tốn 6 : Chứng minh hai mặt phẳng vng góc ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này vng góc với mặt phẳng kia (thực hiện bài tốn 5 hai lần) Bài tốn 7: Các bài tốn về góc *) Gọi là góc giữa hai đường thăng a và b. lần lượt là hai vec tơ chỉ phương của a và b. Khi đó : *) Gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). Cách1: Ta đưa bài tốn về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’ là hình chiếu của a lên (P). Sau đó thực hiện bài tốn 7 Cách2: Ta đưa về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng trong dó b là đường thẳng vng góc với (P) Chú ý : ( trong đó lần lượt là véc tơ chỉ phương của a và b) *): Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). lần lượt là hai véc tơ nằm trên hai đường thẳng vng góc với (P) và (Q). . Khi đó : Bài tốn 8: Xác định khoảng cách ( từ một điểm tói motjomawtj phẳng, hai đường thẳng chéo nhau) : ta đưa bài tốn về tính khoảng cách giữa hai diểm Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi (trong đó tr là bộ ba vec tơ gốc đã chọn và đã biết , , Ta tính được II Các bài tập minh họa: 1 )Dành cho học sinh trung bình khḠVí dụ 1 Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tam giác . là điểm nằm trên đoạn CD sao cho Chứng minh : Giải: Đặt : Vì nên Gọi là trung điểm của , khi đó : . Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngơn ngữ vectơ như sau: Vì nên Ví dụ2 ( Bài tập 4 SGK Hình Học 11 trang 9) Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tứ diện vµ Chưng minh : Giải: Đặt : là trọng tâm của tứ diện nên là trọng tâm của tứ diện nên Ta có: Nhận xét :Nếu khơng sử dụng phương pháp vec tơ trong bài tốn này thì việc vẽ hình để xá định được trọng tâm của hai tứ diện phải vẽ nhiều đường và đương nhiên việc chứng minh cũng vậy Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngơn ngữ vectơ như sau là trọng tâm tứ diện nên là trọng tâm tứ diện nên V í d ụ 3 Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh: Giải: Đặt : Ta có , (1) , (2) Từ (1) và (2) ta suy ra Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đứng có tất cả các cạnh đều bằng . là trung điểm của Chứng minh Giải: Đặt : Vì là lăng trụ tam giác đứng nên ta có: , Ví dụ 5: Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh Giải: Ta có: Khi đó: Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . và Gọi lần lượt là trung điểm của. Tính góc giữa hai đường thẳng và Giải: Đặt : Ta có : vµ Gọi là góc của hai đường thẳng và , thì 2) Dành cho học sinh khá giỏi Ví dụ1 Cho hình chóp tam giác đều có đáy là hình vng cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của vµ . Chứng minh Giải: Gọi . Khi đó Đặt : Ta có : Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh: Giải: Gọi là trung điểm của Đặt: Ta có: Ví dụ 3: Cho hình chóp ó đáy là hình chữ nhật , , = , là trung điểm . Chứng minh : . Giải: Đặt : Ta có : vµ (1) (2) Từ (1) và (2) Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình thang. , . Cạnh bên vng góc với đáy và . Gọi là hình chiếu vng góc của lên . Tính khoảng cách từ đền mặ phẳng Giải Đặt Ta có: Gọi là hình chiếu vng góc hạ từ Lên mặt phẳng Khi đó : Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vng cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của vµ . TÝnh khoảng cách giữa và . Giải: Đặt : Ta có : Gọi là đường vng góc chung của và , ta có: III Bài tập tham khảo : Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD . Chứng minh rằng // (BCD) Bài 2:Cho hình chóp có đáyy là hình thoi cạnh tâm . , canh bên . lần lượt là trung điểm của . Chứng minh Bài 3: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thang vng tại và , ,, a) Tính góc giữa và b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và G là trọng tâm a) Chứng minh b) Chứng minh Bài 5:Cho tứ diện , có , . Tam giác vng tại , các điểm thuộc và thuộc sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng theo và Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 7a , có cạnh SC vng góc với mf (ABC) và SC= 7a a) Tính góc giữa SA và BC b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC Bài 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và IV. Kết quả Chun đê này đã đ ̀ ược thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 11, 12 và Lun ̣ thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong q trình h ̣ ̣ ̀ ọc chun đê này, h ̀ ọc sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang cho h ̉ ọc sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả sau khi thực hiện chun đề: Mức độ Không Nhận biết Nhận biết biết Nhận biết và vận nhận biết không vận dụng, chưa dụng , giải được biết vận dụng giải hoàn bài tập hoàn chỉnh chỉnh Số lượng Tỉ lệ % 22 20 10,5 15,9 38,5 35,1 V. Giải pháp mới Bài tập hình học nói chung và bài tập hình học khơng gian nói riêng rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài tốn lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chun đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Đê đat kêt qua cao h ̉ ̣ ́ ̉ ọc sinh cần luyên tâp nhiêu, có thêm ̣ ̣ ̀ nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan VI. Thực tiễn giảng dạy 1. Q trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tơi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải 2. Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chun đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hoc sinh ni ̣ ềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang cho h ̉ ọc sinh tự học va t ̀ ự nghiên cứu. 3. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biêt v ́ ận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chun đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly v ́ ới các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chun đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy cua h ̉ ọc sinh VII. Kết luận “ Phương pháp véc tơ giải bài tốn hình học khơng gian ” giúp học sinh có thể giải những bài tốn phức tạp một cách đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến đổi véc tơ. Tuy nhiên đây khơng phải là phương pháp tối ưu cho mọ bài tốn. Vì vậy khi giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp vec tơ học sinh cần lưu ý lựa chọn, kết hợp các phương pháp khác nhau để tìm được phương án giải tối ưu nhất. Trên đây là một số bài tốn hình học khơng gian giả bằng phương pháp vec tơ mà tơi thấy hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, tổng hợp và sắp xếp chưa được hồn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn đồng nghiệp góp ý Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa ngày 10 tháng 4 năm 2016 Tạ Thị Thúy Chinh ... tục học cao đẳng, đại học, trung học chun nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. “ Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài tốn hình học khơng gian ” là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng ... véc tơ. Tuy nhiên đây khơng phải là phương pháp tối ưu cho mọ bài tốn. Vì vậy khi giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp vec tơ học sinh cần lưu ý lựa chọn, kết hợp các phương pháp khác nhau để tìm được phương án giải tối ưu ... Việc chỉ ra các căn cứ để phát hiện hướng giải đúng bài tốn hình học phổ thơng bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống hóa các dạng tốn, giải được các bài tốn hình học một cách đơn giải hơn mà việc giải nó