50 Câu trắc nghiệm Sử dụng phương pháp toạ độ giải bài toán hình học không gian Hình học lớp 12 có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Biết rằng trên bề mặt của hai quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1; 2; 4.. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó là.[r]

Trang 1/69 50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VD - VDC

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

ĐỀ BÀI

DẠNG TỐN 1: HÌNH CHĨP CĨ CẠNH BÊN HOẶC MỘT MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng

đáy Góc mặt bên (SBC) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M N, trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MDvà CN

A 3

4a B

21 a

C 2a D 2 21

21 a

Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC 60o, BC 2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD

 

Hình chiếu S mặt phẳng ABC điểm  H thuộc đoạn BC cho BC4BH Tính góc hai đường thẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc o

60

A 60o B 45o C 90o D 30o

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a , cạnh bên SA10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng AMC  SBC 

A

2 B

2

3 C

5

5 D

2 5

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm  I AB Gọi H K, trung điểm

DC SB , biết a

SH  Tính khoảng cách HK SC A

8 B

15

2 C

15

8 D

5 10 Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với

đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a Gọi M N, hình chiếu A lên SB SD , P giao điểm SC với mặt phẳng AMN Tính thể tích khối chóp  S AMPN A

3 1869

140 a

B

3 5589

1820 a

C

3 181

120 a

D

3 1863

1820 a

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2,SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD  SA2 Gọi M, N hai điểm thay đổi hai cạnh AB,

AD cho mặt phẳng SMC vng góc với mặt phẳng  SNC Thể tích khối chóp 

S AMCN đạt giá trị nhỏ A 4

3 

B 8

3 

C 2  D 4

3 

Trang 2/69 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa, AD2a; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA Gọi a M , N trung điểm

SB , CD Tính cosin góc MN SAC  A

5 B

55

10 C

3

10 D

1

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có ABC vuông B, AB1,BC  3, SAC đều, mặt phẳng

SAC vuông với đáy Gọi   góc hai mặt phẳng SAB  SBC Giá trị  cos

bằng A 2 65

65 B

65

20 C

65

10 D

65 65

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh 2, gọi điểmM tâm mặt bên ABB A , điểm N P Q K trung điểm cạnh , , , AC DD D C B C, ,  ,   Tính cosine góc hai mặt phẳng MNP AQK

A

2 B

1

2 C

102

34 D

3

Câu 10: Cho hình chóp S A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a S A vng góc với mặt phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho

4 a BH  ,

(0 )

KD  x  xa Tìm giá trị x để hai mặt phẳng SAH  SAK tạo với  góc 45

A a

x  B

5 a

x  C

7 a

x  D

5 a x 

Câu 11: Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có 5; tan

OAOB AOB Điểm C di động tia Oz vng góc OAB , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động  tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng: A

4 B

3

2 C

5

2 D

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BCD  120

 

SA ABCD Thể tích khối chóp S ABCD

3 a

Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a

A 57

19 a

h  B 57

38 a

h  C 5

a

h  D 19 a h 

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A đường thẳng  vng góc với mặt phẳng ABC điểm  A Các điểm M N, thay đổi đường thẳng  cho MBC  NBC Biết

,

ABb AC c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c bằng A

2 2 3b c b c

B

2 2 b c b c

C

2

bc b c

D

2 2

b c b c

Trang 3/69

DẠNG TỐN 2: HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP DẠNG KHÁC.

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết

2 a

MN  , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD

A

5 B

3

3 C

5

5 D

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A 2 57

19 a

B 57

19 a

C 2 13

19 a

D

19 a

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E M, trung điểm cạnh BC SA, , góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính 

sin A sin

3

  B sin

2

  C sin

2

  D sin

2  

Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB 

A

2

2

4

ah h  a

B

2

4

4

ah h  a

C

2

4

ah h  a

D

2

2

2

ah h  a

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a , tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm củaAE, N trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC

A a

B

2 a

C

4 a

D

8 a

Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ABC  CMN 

A

5 B

3

4 C

2

5 D

4 13

Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A AB , a BAC 120  SASBSC Gọi  góc hai mặt phẳng SAB  SBC cho  cos

7

  Khi thể tích khối chóp SABC

A 3 12

a

B 2a3 C

3 a

D

3

5 a

Trang 4/69 A 1

2 B

1

3 C

1

2 D

1

Câu 22: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy 2 , cạnh bên Gọi M N, điểm thuộc SB SD, cho SB3SM SD, 3DN Khoảng cách AM CN A 40

857 B

72

857 C

24

153 D

40 257

Câu 23: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2a, ABa Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách d từ M tới mặt phẳng SAB

A 165

30 a

d  B 15

3 a

d  C 65

15 a

d  D 65

10 a d 

Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N , trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp

S ABCD

3 a

A

10 B

3 310

20 C

310

20 D

3 10

Câu 25: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB3a, AC4a Các mặt bên SAB ,  SAC ,  SBC tạo với đáy  ABC góc 

45 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ABC nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt  phẳng SAC và SBC   Tính cos

A cos 10

  B cos

5

  C cos

5

  D cos

15  

Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H thuộc cạnh AB cho HA2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC  60o Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A 42

8 a

B 42

12 a

C 42

4 a

D 42

24 a

DẠNG TỐN 3: HÌNH LĂNG TRỤ TAM GIÁC

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc ABC 30, góc đường thẳng A B mặt phẳng ABC 

45 Gọi M , N trung điểm B C  CC Cosin góc mặt phẳngAMN mặt phẳng  ABC 

A 1

2 B

3

2 C

13

4 D

3

Trang 5/69 A 11

22 a

B 3 11

7 a

C 11

12 a

D 3 11

22 a

Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giácABCvng cân A, cạnh BC a Góc mặt phẳng AB C mặt phẳng '  BCC B ' ' 60 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ' ' '?

A 3 a

V  B

3

a

V  C

3

3

a

V  D

3 3 a V 

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cân, vớiAB ACa góc

 120

BAC   , cạnh bên AA a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ABC  AB M 

A 11

11 B

33

11 C

10

10 D

30 10

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng A, ABACa có cạnh bên 2a Gọi M N, trung điểm BB CC', ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN)

A a B 2

3 a

C 3

2 a

D a 3

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cân C , AB2a, AA  , a góc BC ABB A  60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng BC N 

A 2 74 37 a

B 74

37 a

C 2 37

37 a

D 37

37 a

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc BAC 120, AA a Gọi M , N trung điểm B C  CC Khoảng cách đường thẳng MN AH A

2 a

B

4 a

C

2 a

D

4 a

Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a 1 1 1 AA1 2 a vng góc với mặt phẳng ABC Gọi  D trung điểm BB , 1 M di động cạnh AA Giá trị lớn 1 diện tích MC D1

A

15 a

B

2 15 a

C

2 a

D

2 10 a

Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a , Mlà điểm di chuyển đường thẳng A C' '; Tính khoảng cách lớn AM BC'

A 34 a

B 17

4 a

C 14

4 a

D 21

6 a

Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng, , cạnh bên Gọi M trung điểm BC. Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM B C

ABC A B C  

ABBCa

'

Trang 6/69

A B C D

7 a

Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCA B C  có đáy ABClà tam giác vng A AB1,AC2.Gọi  góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng (A BC )có số đo lớn Biết sin p

q

  ( với ,

p q nguyên tố ) Giá trị tổng p q

A 11 B 7 C 5 D 9

Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có độ dài cạnh đáy a Góc A BC  ABC  60 Gọi M N, trung điểm BC CC. Tính khoảng cách A M

AN

A 6 97 97 a

B 3 97

97 a

C 6 65 65 a

D 3 65

65 a

DẠNG TỐN 4: HÌNH HỘP

Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a M điển thỏa mãn

2

CM  AA Cơsin góc hai mặt phẳng A MB  ABC A 30

10 B

30

8 C

30

16 D

1

Câu 40: Cho hình hộp ABCD A B C D     tích V Gọi M, N , P trung điểm cạnh AB, A C , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP

A

48V B

1

8V C

7

48V D

1 6V Câu 41: Cho hình hộp ABCD A B C D     , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , 

60

BAD  AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O Gọi M trung điểm

CD Khoảng cách hai đường thẳng A M B D  A 21

7 B

2 21

7 C

3 21

7 D

4 21

Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    , có AB a AD, a ,góc A C mặt phẳng

ABCD 30 Gọi H hình chiếu vng góc Atrên A B K hình chiếu vng góc A A D Tính góc hai mặt phẳngAHK ABB A 

A 60 B 45 C 90 D 30

Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc

A lên ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1 

A a

B

2 a

C 21

4 a

D

2 a

Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Gọi ' ' ' ' K trung điểm DD' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D'

3

a 21

7 a

Trang 7/69 A

3 a

B

4 a

C

5 a

D

2 a

Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB3a, AD AA Lấy điểm a M thuộc đoạn AB, điểm N thuộc đoạn A C  sao cho AM  A N  , x 0 x 10a Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ

A 0 B 30

3 a

C 10

2 a

D 10

3 a

Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB , a AD2 , a AA'3 a Gọi M N P, , trung điểm BC C D DD, ' ' ' Tính khoảng cách từ A đến mpMNP 

A 15

22a B

9

11a C

3

4a D

15 11a

Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác vuông cân, AA 2a, ABACa Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A B C  , I tâm hình chữ nhật ABB A  Thể tích khối A IGCG

A a

B

3 a

C

3 a

D

3 30 a

Câu 48: Cho hình hộp ABCDA B C D có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ' ' ' ' (ABB A' ') vng góc với đáy, tam giác A AB vng ' A , góc ' BA đáy '

60 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA ' DB '

A 55

a

B

55 a

C

55 a

D

2 a

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bên SA2avà vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Mlà trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng

(AMC () SBC ) A

2 B

2

5 C

2

3 D

5

Câu 50: Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là?

A 7 B 12 C 14 D 16

Trang 8/69

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A

11.A 12.A 13.D 14.B 15.A 16.A 17.A 18.A 19.C 20.A

21.B 22.A 23.A 24.C 25.A 26.A 27.D 28.D 29.D 30.D

31.B 32.A 33.D 34.A 35.C 36.D 37.D 38.B 39.A 40.A

41.B 42.B 43.B 44.A 45.C 46.D 47.B 48.C 49.B 50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên (SBC) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M N, trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MDvà CN

A 3

4a B

21 a

C 2a D 2 21

21 a

Lời giải

Chọn D

Gọi  hai mặt phẳng SBC  ABCD

Ta cóBCSBC  ABCD BC AB BC SAB BC SA

 

 

  

Suy  ABS45

Do SAB vuông cân A nên SA a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho A O (0;0;0),D a ;0;0 B0; ;0 ;a  S 0;0;a Khi  ; ; , 0; ; , 0; ;

2 2

a a a

C a a N  M 

   

Suy

 

2 2

3 ; ;0

2

; ; ;

4

; ; 2

;

0; ;

a MD a

a a

MD NC a

a a NC a

a CD MD NC

CD a

   

  

 

 

 

   

 

 

      

 

   

 

  

 

     

 



 

  

O z

y

x

45°

N

M

C

A B

D

Trang 9/69

 

3

2

, 2 2 21

,

21 21

,

4 a

CD MD NC a

d MD NC

a MD NC

 

 

   

 

 

  

 

Cách khác:

Dựng hình bình hành DMEC

Ta có MD//CNE nên  d MD CN , d MD CNE , d M CNE ,  Gọi I hình chiếu M lên CE H hình chiếu M lên NI Suy MH CNE hay d MD CN , d M CNE , MH

Gọi  hai mặt phẳng SBC  ABCD

Ta cóBCSBC  ABCD BC AB BC SAB BC SA

 

 

  

Suy  ABS45

Do SAB vuông cân A nên SA a

Ta có sin

5

MI BC BC ME a

MEC MI

ME CE CE

    

2

21

21 MI MN a MH

MI MN

 



Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC 60o, BC2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD

 

Hình chiếu S mặt phẳng ABC điểm  H thuộc đoạn BC cho BC 4BH Tính góc hai đường thẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc 60o

A o

60 B o

45 C o

90 D o

30 Lời giải

Chọn C

O

y

x z

B

H S

A

C

Trang 10/69

Ta có 2 o

2 .cos 60 AH BH BA  BH BA

2

2

2

4 2

a a a

a a

   

2 a AH

 

o tan 60 SH

AH

 SH  AH 3

a 

3

.sin 60

2

ACBC   a a , 3

4

a HC  BC

Ta có

2

2 2

3

4

a a

AH HC    a  AC nên tam giác AHC vuông H, tức AH HC

Chọn a  chọn hệ trục tọa độ 1 Oxyz (như hình vẽ) cho OH0;0;0, 3; 0; C 

 ,

0; ; A 

 

 

, 0; 0;3 S 

 

Suy 1; 0; B 

 

1

; 0;

2

SB   

 

 3 9

; 0;

4

SD  

    

 

 3 3

; 0;

4

D 

   

 

Ta có 3; 3;

4

DA  

 

 



 3; 2; 3 u

  véctơ phương AD

3

; 0;

2

SC  

 



1;0; 1

v

   véctơ phương SC

Ta có u v   0 ADSC

Vậy góc hai đường thẳng AD SC o 90

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a, cạnh bên SA10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng AMC  SBC 

A

2 B

2

3 C

5

5 D

2 5 Lời giải

Chọn D

Chuẩn hóa với a 1

Trang 11/69 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

0; 0; ; 0;5; ; 5; 0; ; 5;5; ; 0; 0;10 ; 0; ;55

A D B C S M 

  0;5;0 ,  5; 0;10

BC  BS 

 

 

, 50;0; 25

BC BS

   

 

 

véctơ pháp tuyến SBC  n 1 2;0;1 5;5; , 0; ;55

2 AC AM   

 

 

25

, 25; 25;

2

AC AM  

    

   

 

véctơ pháp tuyến AMC  n 2 2; 2;1  Gọi  góc hai mặt phẳng AMC  SBC 

   

2

2 2 2

1

2.2 1.1

cos

2 0 1 2 2 1

n n n n

     

    

 

 

Suy ra: tan 12 1 2

cos 5

3 



    

 

 

 

Cách khác:

x

y

z

(0;5 2;5)

(0;0;10)

(5;5;0) (0;5;0)

(5;0;0) A≡O

M

C D

Trang 12/69 Dựng hình bình hành SADS Khi ' (SBC)(AMC)S C

Dựng AH SB H HK BC ( K// S C ) Gọi  góc hai mặt phẳng AMC  SBC  Khi ta có (AHK)S C   HKA

Ta có

2

2 AB AS

AH a

SA AB

 



Do tan

5 AH HK

  

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm  I AB Gọi H K, trung điểm

DC SB , biết a

SH  Tính khoảng cách HK SC A

8 B

15

2 C

15

8 D

5 10

Lời giải

Chọn D

H

M

S'

D

B C

A S

Trang 13/69 Đặt ABx

Ta có 2

SH  SI IH

2

2

7

2

a x

x

   

    

   

x AB a

  

Chuẩn hóa a 1 Chọn hệ toạ độ Oxyz cho

0;0;0

OI , 1; 0; B 

 

, 1;1; C 

 

, 0; 0; S 

 

(0;1; 0)

H

 , 1; 0;

4

K 

 

 

1

; 1;

4

HK   

 



, 1;1;

2

SC  

 



, 0; 1;

2 HS   

 



3 3

, ; ;

4 4

HK SC  

    

   

 

 

, , 3.0 3. 1 3

4 4

HK SC HS

      

 

  

 ,  ,

10 ,

HK SC HS d HK SC

HK SC

 

 

 

 

 

  

 

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a Gọi M N, hình chiếu A lên SB SD ,

P giao điểm SC với mặt phẳng AMN Tính thể tích khối chóp  S AMPN A

3 1869

140 a

B

3 5589

1820 a

C

3 181

120 a

D

3 1863

1820 a

Lời giải

K

H I

A D

B C

S z

x

Trang 14/69 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Ta có tọa độ điểm A0;0;0 , B a ;0;0 , D0;2 ;0 ,a  C a a ;2 ;0 , S 0;0;3a  Suy SBa;0; 3 a SD,0;2 ; 3a  a SC, a a;2 ; 3 a

Phương trình : x a t SB y z t          

 ;0;   ;0; 

M a t t AM a t t

      



Mà  

10 a

AM SB AM SB   at  t  t  ;0;3

10 10

a a

M 

  

 

Tương tự ta tìm 0;18 ;12 13 13

a a N 

 

Suy  

2

27

, 1;2;

65 a

n AM AN     

Do ta có phương trình AMN:x2y3z 

Phương trình :

3

x t SC y t

z a t         

nên tọa độ điểm P nghiệm hệ

2 9 15 9 15

, , ; ;

3 14 14 14 14

2

x t

y t a a a a a a

x y z P

z a t x y z

                        

Ta có:  

2 27

, 1;2;

70 a AM AP          ,   27

, 1;2;

91 a AN AP         Suy

1 621 14

, ,

2 1820

AMPN

a S  AM AP  AN AP

 

   

 ,  14

a d S AMN  Vậy

2

1 621 14 1863

3 14 1820 1820

S AMPN

a a a

V  

Cách khác: (Cơng thức tính nhanh – trắc nghiệm)

1 SA a SA   ; 2 10 SB SB b SM SA

   ; c SC

Trang 15/69

Ta có 14

9 a c  b d  c

3

1863 1863 1863 1863

4 3640 3640 3640 1820

S AMPN

S AMPN S ABCD ABCD

S ABCD

V a b c d

V V SA S a

V a b c d   

     

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2,SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD  SA2 Gọi M, N hai điểm thay đổi hai cạnh AB,

AD cho mặt phẳng SMC vng góc với mặt phẳng  SNC Thể tích khối chóp 

S AMCN đạt giá trị nhỏ A 4

3 

B 8

3 

C 2  D 4

3 

Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ cho A0;0;0, B2;0;0, D0; 2;0, S0;0; 2 , suy C2;2;0

Đặt AM m, AN , n m n , 0; 2, suy M m ;0;0, N0; ;0n   ; 0; 2

SM  m  

, SC  2; 2; 2 , SN0; ; 2n   SMC , 4; 4; 

n SM SC m m

   

 

  

, nSNC SN SC, 4 ; 4; 2 n   n

 

  

DoSMC  SNC nên n SMC.nSNC 04 2  n4 2 m44mn0

 

2

mn m n

   

Mặt khác    

2

2

2 m n

mn m n     m n

  nên ta có

 

 

2

2

4 m n

m n 

   

4

4

m n m n

   

 

    



Do m n , 0nên m n 4 

   

4 2 4

AMCN ABCD BMC DNC

S S S S   m  n m n  

 

8

1

3 3

S AMCD AMCN

Trang 16/69 Vậy thể tích nhỏ khối chóp S AMCN 8

3 

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa, AD2a; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Gọi M , N trung điểm

SB, CD Tính cosin góc MN SAC  A

5 B

55

10 C

3

10 D

1 Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với OA

Tọa độ đỉnh hình chóp : A0;0;0, B a ;0;0, C a a ; ;0, D0; ;0a , S0;0;a  ; 0;

2

a a

M 

  

 ,

3 ; ; 2 a a N 

 

Ta có: 1SA 0;0;1 u a

   ; 1SC 1;1; 1 v

a   

 

Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng SAC  nu v ,   1;1;0 Lại có: 2MN 0;3; 1 w

a   

 

Gọi  góc MN SAC ta có:  sin

n w n w

  

 

   cos 55

10

 

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có ABC vng B, AB1,BC  3, SAC đều, mặt phẳng

SAC vuông với đáy Gọi   góc hai mặt phẳng SAB  SBC Giá trị cos 

A 2 65

65 B

65

20 C

65

10 D

65 65 Lời giải

Chọn D

a

2a

a a

z

y

x

N M

D A

B

Trang 17/69 Gọi H M N, , trung điểm AC AB BC, ,

SAC  ABCSH ABCSH  HM SH,  HN

ABC

 vuông B HM HN

ABC

 vuông B AC2SH 

1

2

HM  BC ; 1

2

HN  AB

Chọn hệ trục tọa độ sau: H0;0;0; S0; 0; 3; 0; 3; M 

 

 

; 1; 0; N 

 

,

1

; ; 2 B 

 

1 ; 0;

1

; ;

2

BM

BS

 

  

 

 

   

 

 





3 0; ;

2

1

; ;

2

BN

BS

 

  

 

 

 

   

 

 





1

3

, 0; ;

2

n BM BS  

 

 

  

; 2 , 3; 0;

2

n BN BS   

 

 

  

 2 cos cos n n;

  163 65

65

3

4 16 16



 

 

Chú ý: Ta chứng minh công thức tổng quát sau:

Cho hình chóp S HMBN có đáy HMBN hình chữ nhật có HM m HN, n

( )

SH  HMBN SH  Gọi h  góc hai mặt phẳng MSB  NSB 

2 2

cos mn

m h n h  

 

Trang 18/69 Ta có: BN (SHN) nên dựng HESN N HE(SNB)

Dựng hình bình hành HEKM MK (SNB) Hình chiếu MSB SNB KSB 

Ta có: 2

2

MSB

S  MB MS n m h 

2 2

cos KSB KSB

MSB

S S

S n m h

  

 Gọi F EKSB ta có:

KSB ESB

ESB NSB

S S FK SE KE EF SE KE SE

S S FE SN FE SN EF SN

  

    

 

=

2

2 2

1

SN SE h n

SE SN n h n h

 

   

 

 

  (vì

2

2 2

SE SE SN SH h SN  SN  SN  n h ) 

2 2 2

2 2 2 2

2 2

KSB NSB

n n m n h mn

S S

n h n h n h



  

  

Vậy

2 2

cos KSB

MSB

S mn

S m h n h

  

 

Áp dụng vào toán với 3, 3,

2

h m n ta cos 65 65

 

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh 2, gọi điểmM tâm mặt bên ABB A , điểm N P Q K trung điểm cạnh , , , AC DD D C B C, ,  ,   Tính cosine góc hai mặt phẳng MNP AQK

A

2 B

1

2 C

102

34 D

3 Lời giải

Chọn C

m n

h

K F

N

M

B H

S

Trang 19/69 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc A O cạnh A B nằm Ox, cạnh A D  nằm Oy cạnh A A nằm Oz Từ kiện đề cho ta tìm tọa độ điểm

1; 0;1 , 1;1; , 0; 2;1 , 2;1; , 1; 2; , 0; 0; 2

M N P K Q A

Ta có MN 0;1;1 , NP  1;1; ,  AK 2;1; ,  AQ1; 2; 2 

Gọi u u 1, 2 vector pháp tuyến mặt phẳng MNP AQK  Như ta tính u1 2; 1;1 , u22; 2;3

Ta gọi góc hai mặt phẳng MNP  AQK  

Như cos  tính theo cơng thức

2 2 2

1

2.2 1.2 1.3 102

cos

34

2 1 2

u u u u

  

   

   

 

 

Câu 10: Cho hình chóp S A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a S A vng góc với mặt phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho

4 a BH  ,

(0 )

KD  x  xa Tìm giá trị x để hai mặt phẳng SAH  SAK tạo với  góc 45

A a

x  B

5 a

x  C

7 a

x  D

5 a x 

Lời giải

Chọn A

M

N

K

Q P C

B

D A

A' D'

Trang 20/69 Ta chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ

Khi A0;0;0 ; B a;0;0 ; D0; ;0 ;a  SOz

Qua ta có tọa độ điểm  ; ; ; ;3 ; ;  ; ;0

a

C a a H a  K x a

 

Ta có: ;3 ; ;  ; ; 0

a

AH a  AK  x a

 

 

Ta có

0; 0;1 ; ;

4 k

a AH a   

  



  

 

 

 , ; ;

4 a k AH  a 

 

   

 

 

Gọi n 

véctơ pháp tuyến mặt phẳng SAH  3;1; n  

 



Ta có  

 

0; 0;1 ; ; k

AK x a  

 

   

 k AK,   a x; ; 0

 

Gọi n



véctơ pháp tuyến mặt phẳng SAK  n   a x; ;0 Gọi  góc hai mặt phẳng SAH  SAK , 

 

 

2

2 2

2 2

4 3 25

cos cos 45

4 16

3

1

a x

n n a

x a x

n n

a x 



  

         

    

  

 

 

   

 

2

7 48 0

7 a

x ax a x do x

      

Vậy a x 

Cách khác:

Trang 21/69 Ta có

2

2

4

a a

AH  a   

  ;

2

AK a x  

2

a

HK    ax

 

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AHK ta có:

2 2

2 cos 45 HK AH AK  AH AK 

2

2 25 2 2

( )

16 16

a a a

a x a x a x

      

 2

2

2

a

x a x

     a2x2 6a8x  50(x2a2)64x296ax36a2

 2

14x 96ax14a 0 48  

a

x ax a x do x

      

Vậy a x 

Câu 11: Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có 5; tan

OAOB AOB Điểm C di động tia Oz vng góc OAB , gọi H trực tâm tam giác  ABC Khi C di động tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng: A

4 B

3

2 C

5

2 D

Lời giải Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O, tia Oxtrùng tia OA, tia Oy nằm mặt phẳng OAB  cho tia OBnằm hai tia Ox Oy, hình vẽ Khi A5;0;0và B3;4;0

x

z

H

E

y

A

O

B C

Trang 22/69 Giả sử C0;0;c Dễ thấy tam giác  ABC cân C Gọi E 4; 2;0 trung điểm AB Ta có mặt phẳng OCE vng góc với AB mặt phẳng cố định 

Gọi K trực tâm tam giácOAB, A , B K nằm mặt phẳng Oxy  Giả sửK x y ; ;0, ta có

OK AB BK OA

 

 

 



 

   2

x y

x

  

   

   

3 x y

    

  

Tìm 3; ; 03 K   

 

Do  

 

AB OEC HK AB HK CA CA BHK



  



 

 



 

 

   90

KH  CAB KH HE KHE 

Do H thuộc mặt cầu đường kính 1

4

KE    thuộc mặt phẳng OCE cố định  Vậy H thuộc đường trịn cố định có bán kính

4 R 

Cách khác:

Gọi E trung điểm AB Ta có AB(OCE) nên ABCE H thuộc CE nên H ln nằm mặt phẳng (OCE) cố định

Gọi K trực tâm OAB, ta có:

( )

AK OB

AK OBC AK BC AK OC

 

   

  

mà AH BC

nên BC(AHK)  HKBC mà HK AB  HK (ABC)

 KHE 900  H thuộc đường trịn đường kính KE nằm (OCE) cố định

Ta có:  

2

1

cos

16 25

1 tan 1

9 AOB

AOB

  

  



cos

5

AOB   OM 3,AM 4

 MN 1,ON 4,NE2 (N trung điểm MB)

N

K

E O

A

B C

Trang 23/69  OE ON2NE2 2

Lại có

4

KE NM OE

KE

OE  ON    

Vậy bán kính đường trịn đường kính KE

2

KE

R  

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , góc BCD 120

 

SA ABCD Thể tích khối chóp S ABCD

3 a

Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a

A 57

19 a

h  B 57

38 a

h  C 5

a

h  D 19 a h  Lời giải

Chọn A

Cách 1: Phương pháp dựng hình

Tam giác SOD vuông O nên M trung điểm SD

Ta có  ,   , 

2

DM

d M SBC d D SBC

DS    ; AD BC//

   ,   , 

2 //

AD SBC d D SBC d A SBC

   Vậy  ,   , 

2

d M SBC  d A SBC Gọi H trung điểm BC, tam giác ABC nên AH BC, lại có

 

SA ABCD SABC nên BCSAHSBC  SAH Dựng AK SH  AK SBCd A SBC , AK

Diện tích hình thoi ABCD là:

2

0

.sin 60

2

ABCD

a S AB BC 

Từ suy

2

S ABCD ABCD

V

SA a

S

  Tính

2 a AH 

Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên: K

M

H

D S

A

B C O x

y z

M

D S

A B

Trang 24/69

2 2 2

1 1 19 228

3 12 19

a AK

AK  AH SA  a  a  a  

Vậy  ,  57

2 19

a d M SBC  AK 

Cách 2: Phương pháp tọa độ

Khơng tính tổng qt, ta giả sử a  1

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz SA// Khi ta có 0; 0; , 1; 0; , 0; 3; , 1; 0;

2 2

O A  B   C 

     

3 1

0; ; ; 0; , ; ;1

2 4

D S  M 

     

   

 

1

; ; , 1; 0;

2

SB    SC

     

 

 

Ta có   , ; 1;

2

SBC

n SB SC  

 

 

Phương trình mặt phẳng SBC là:  3

2

xy z 

Suy   

3

57

,

19 3

4

d M SBC  

 

Vậy  ,  57 19 a d M SBC 

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A đường thẳng  vng góc với mặt phẳng ABC điểm  A Các điểm M N, thay đổi đường thẳng  cho MBC  NBC Biết

,

ABb AC c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c bằng A

2 2 3b c b c

B

2 2 b c b c

C

2

bc b c

D

2 2

b c b c

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho OA, tia Ox Oy Oz, , trùng với tia

, ,

AB AC AM

Trang 25/69 Khi A0;0;0 ,  B b ;0;0 ,  C0; ;0 , c  M0; 0; m Giả sử  N0; 0; n Ta có: 

MBC: x y z

b c m  có véctơ pháp tuyến

1 1 ; ; b c m  

 



NBC : x y z

bc n  có véctơ pháp tuyến

1 1 ; ; b c n  

 



Vậy MBC  NBC 12 12

b c mn  

     

2 2

b c

m n

b c 

 

 mn0 Mặt khác m 0 nên n 0 Vậy M N nằm hai phía A

Ta có BC   b c; ;0 , BM  b;0;m BN,  b;0;n, BM BN ,   0;b n m  ; 

Vậy VMNBC =  

1

,

6 BC BM BN bc n m

   

 

  

 

1

6bc m n

 

Ta có

2 2

b c

m n

b c  

 không đổi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có VMNBC =    

2 2

1 1

.2

6

b c bc m n bc m n

b c

   

 Dấu đẳng thức xảy m  n

2 bc b c

Vậy VMNBC nhỏ M N, nằm hai phía A

AB AC AM AN

BC

 

Khi giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC

2 2

b c b c

Trang 26/69 Dựng AH BC, ta có BC (MHN) nên HMN vng H

Do

2 2

2

b c

AM AN AH

b c

 

 Khi thể tích tứ diện MNBC

1

3

MNBC MABC NABC ABC ABC

V V V  AM S  AN S 1  AM AN SABC

   

6bc AM AN

 

2 2

.2

6 3

b c bc AM AN

b c

 



Dấu “=” xảy 

2 bc AM AN

b c

 



Vậy

2 2

3

MNBC

b c V

b c 



Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết

2 a

MN  , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD

A

5 B

3

3 C

5

5 D

Lời giải Chọn B

H

N M

C

Trang 27/69 Gọi I hình chiếu M lên ABCD, suy I trung điểm AO

Khi 3

4

a CI  AC Áp dụng định lý cosin ta có:

2

2 2 10

2 cos 45

4 4

o a a a a a

NI  CN CI  CN CI    

Do MIN vuông I nên

2

2 14

2

a a a

MI  MN NI   

Mà / / , 14

2

a MI SO MI  SOSO Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ

Khi ta có tọa độ điểm: O0 ; 0; 0, ; 2; B 

 

 

, ; 2; D  

 

 

, 2; 0;

C 

 

 

,

2

; ;

4

N 

 

 

, 2; 0;

A 

 

 

, ; ; 14 S 

 

 

, 2; ; 14

4

M 

 

 

Khi 2; 2; 14

2 4

MN   

 



, ; 2; 14

2

SB  

 



, ; 2; 14

2

SD   

 



Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBD: n SB SD,   ; 0; 0

Suy   

 

2

2 3

sin ,

3

MN n

MN SBD

MN n



  

 

Trang 28/69 Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A 2 57

19 a

B 57

19 a

C 2 13

19 a

D

19 a

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Tọa độ đỉnh: (0; 0; 0),  ; 0; , (0; ; 0), ( ; ; 0), ; 0; , 0; ;

2

a a

A B a D a C a a M  N 

   

Suy ; ;

2 a

DM  a 

 



phương trình :  ; ; 0

0 x t

DM y a t H t a t z

  

   

     ; ; , ; ;

2 a CH t a t CN  a 

       

 

 

Vì ;3 ; ;3 ;

5 5 5

2

t a t a a a a a

H CN t a t t H S a

a a

     

             



    

Ta có:  

2

2

4

; ; , ; 0; , 3; ;

5

a a a

SC a  DC a DM SC a a 

   

   

   

3

,

DM SC DC a

 

  

  

Vậy  

3

, 3 2 57

,

19 19

,

2

DM SC DC a a

d SC DM

a DM SC

 

 

  

 

 

  

 

z

x

y H

N

M B

A D

Trang 29/69 Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E M, trung điểm cạnh BC SA, , góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính

sin A sin

3

  B sin

2

  C sin

2

  D sin

2  

Lời giải Chọn A

Gọi ACBD O Vì hình chóp tứ giác S ABCD hình chóp nên SOABCD Đặt OA  Vậy 1 AC  đáy hình chóp 2 S ABCD hình vng có cạnh Do giả thiết hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh nên SA  Xét tam giác SAO vng O có SO SA2AO2   2 12 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OxOC Oy, OB Oz, OS Khi ta có: C1;0;0 , A1;0;0 , B0;1;0 , S0;0;1

Do E M, trung điểm cạnh BC SA, nên 1; ; , 1; 0;1

2 2

E  M 

   

 

AC SBD nên mặt phẳng SBD nhận AC2;0;0 vectơ pháp tuyến

Đường thẳng EM nhận 1; ;1 2 ME  

 



vectơ phương

Trang 30/69 Vậy ta có:

2

2

1

1.2 0

2 2 6

sin

1 1

1

2

ME AC ME AC 



 

   

 

  

   

    

   

 

Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB

A

2

2

4

ah h  a

B

2

4

4

ah h  a

C

2

4

ah h  a

D

2

2

2

ah h  a

Lời giải

Chọn A

Gọi O giao điểm AC BD Ta có 2 a OAOBOC

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O , tia Ox chứa A , tia Oy chứa B , tia Oz chứa S

Khi đó: 2; 0; a

A 

 

 

, 0; 2; a

B 

 

 

, 2; 0;

a

C 

 

 

,S0;0;h

Gọi M giao điểm SO AI Tam giác SAC có M giao điểm hai đường trung tuyến nên M trọng tâm, 0; 0;

3 h M 

 

Mặt phẳng AIB qua A B, , M nên có phương trình:

2

3

2

x y z

h a  a  

2

1

x y z

a a h

Trang 31/69 Do khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB là:

2

2 2

3

2

2 9

h

ah h

d

h a a a h



 



 

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm củaAE, N trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC

A a

B

2 a

C

4 a

D

8 a

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Đặt SO gọi h I trung điểm SA

Ta có tọa độ đỉnh là: 0; 2; a

A  

 

, 2; 0; a

B 

 

, 0; 2; a

C 

 

, 2; 0; a

D 

 

0;0; 

S h

I , N trung điểm SA , BC 0; 2;

4

a h

I 

   

 

 

, 2; 2;

4

a a

N 

 

 

E đối xứng với D qua I 2; 2;

2

a a

E h

   

 

M trung điểm AE 2; 2;

4 2

a a h

M 

   

 

 

Do 0;3 2;

4

a h

MN   

 



, AC0;a 2; 0, 3; 2;

4

a a

AN   

 

Trang 32/69

, ; 0;

2 ah

MN AC  

 

   

 

 

,

4 a h MN AC AN

 

   

Vậy  

, 2

,

4 ,

MN AC AN a d MN AC

MN AC

 

 

 

 

 

  

 

Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ABC  CMN 

A

5 B

3

4 C

2

5 D

4 13 Lời giải

Chọn C

Khơng tính tổng qt ta chọn a 1

Gọi O trung điểm A B Gọi H tâm ABCA H ABC Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O0;0;0

Khi đó: 1; 0; A 

 

, 1; 0; B 

 

, 0; 3; C 

 

Dễ thấy mpABC có vtpt  n 1 0; 0;1

Do: 0; 3; H 

 

 

,

3

A H  0; 3;

6

A 

  

 

 

Ta có  AB A B  1; 3;

6

B 

  

 

 

M trung điểm AA 1; 3; 12

M 

  

 

, N trung điểm BB 3; 3; 12

N 

  

 

z

y

x H M N

O B'

A'

C'

C

Trang 33/69

 1;0;0

MN   

, 1; 3;

4 12

CM    

 



 CMN có vtpt  n 2 0; 2;5 Đặt ABC , CMN

cos 2

5 5

1 33 33 n n

n n

 

 

  tan 12

cos 



   2

5

 ( góc  nhọn)

Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A AB , a BAC 120  SASBSC Gọi  góc hai mặt phẳng SAB SBCsao cho cos

7

  Khi thể tích khối chóp SABC

A 3 12

a

B 2a3 C

3 a

D

3

5 a

Lời giải

Chọn A

Vì SASBSC Hình chiếu S lên ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

 D (với D đỉnh hình thoi ABDC ) Đặt SDx x 0

Gắn hệ tọa độ: D0; 0; , B a ; 0; , S 0; 0;x Vì 0; 3;

2

a a

DI   I 

 

 

Ta có  ; 0; , ; 3;

2 2

a a DB a IA DBA 

 

  

, ; 3;

2

a a C 

 

 

3

; ; , ; 0; , ; ;

2 2

a a a a

SA x SB a x SC  x

   

   

  

 

2

1

3

, ; ; 3; ;

2 2

ax xa a

SA SB     n x x a

 

  

 

  

Trang 34/69

 

2

2

, 0; ; 0; ;

2 a

SA SC  ax  n x a

   

   

 

  

vecto pháp tuyến SAC

2

1

2

1

2 3 5

os

4

n n x a

c x a

x a n n

      

  

 

2

1 3

3 12

  

SABC ABC

V SD S a a a

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AC 2a, tam giác SAB tam giác SCB vuông A , C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 2a Cơsin góc hai mặt phẳng SAB SCB bằng:

A 1

2 B

1

3 C

1

2 D

1 Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ cho: B0;0;0, A a 2; 0; 0, C0;a 2; 0, S x y z ; ; ,z 0

Ta có ABC:z 0, AB  a 2; 0; 0, CB0;a 2; 0, AS x a 2; ;y z,  ; 2; 

CS x ya z

Do  AS AB  0x a 2a 20 xa

CS CB   ya 2a 20ya

Mà d S ABC , 2a z 2a Từ S a 2;a 2; 2a 

Ta có AS 0;a 2; 2a, CSa 2; 0; 2a, BSa 2;a 2; 2a

SBC có vtpt n    2; 0;1, SAB có vtpt m  0; 2; 1 

Vậy cos 3



Trang 35/69 Câu 22: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy 2 , cạnh bên Gọi M N,

các điểm thuộc SB SD, cho SB3SM SD, 3DN Khoảng cách AM CN A 40

857 B

72

857 C

24

153 D

40 257 Lời giải

Chọn A

Gọi O giao điểm AC BD, SOABCD

2, 18

OA SO

    

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ (Ox AB Oy AD Oz// , // , OS)

Tọa độ điểm A   1; 1; 0, B1; 1; 0 , C1;1; 0, D  1;1; 0, S0; 0; 4

Từ giả thiết ta có

 

 

 

1

1 1

1 ; ;

3 3 3

1

4

3

M

M

M

x

SM SB y M

z 

 

 

  

         

 

 

  

   

Tương tự tọa độ điểm 2 4; ; 3 N 

 

Suy 8; ; , 5; 4; , 2; 2;0

3 3 3

AM   CN     AC

   

  

Chọn vectơ phương đường thẳng AM u 1 2;1; 4, chọn vectơ phương đường thẳng CN u 2 5;1; 4 

Ta có u u1; 2   8; 28; 3 

 

 

Trang 36/69 Khoảng cách hai đường thẳng AM CN,

 

   

1

2 2

1

; 16 56 0 40

;

857

; 28

u u AC d AM CN

u u

    

 

  

     

 

  

 

Câu 23: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2a, ABa Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách d từ M tới mặt phẳng SAB

A 165

30 a

d  B 15

3 a

d  C 65

15 a

d  D 65

10 a d  Lời giải

Chọn A

Gọi O hình chiếu S ABC, ta suy O trọng tâm tam giác ABC

Do M trung điểm BC nên a

AM  Suy

3 a

OA 

6 a OM 

Xét tam giác SOA vng O, ta có

2

2 2 33

4

3

a a SO SA OA  a   Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ, ta được:

0 ; ; 0

O , 3;0;0 a

A 

 

, 0; 0; 33 a S 

 

, 3; 0;0

6 a

M 

 

Suy 3; ;

6

a a B 

 

 

, 3; ;

6

a a

C  

 

 

Ta có 3; 0; 33 , 3; ; 33

3

a a a a a

SA   SB   

   

   

Trang 37/69 Suy  

2 2

33 11

; ; ;

6

SAB

a a a

n SA SB  

 

  

Phương trình măt phẳng SAB 33 11 11

6 6

a

x y z 

Suy   

33 11

6 6 165

,

30

33 11

36 36

a a

a d M SAB



 

 

 

Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N lần , lượt trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp

S ABCD

3 a

A

10 B

3 310

20 C

310

20 D

3 10 Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Vì ABCD hình thang cân có AD2AB2BC2CD2a  AD2 ;a ABBCCDa



2 a CH  ;

2

2 3

2

ABCD

a a a a

S   

nên

2

1 3

.SA

3 4

ABCD

a a

V   SA a

Trang 38/69 Ta có: K0; 0; , ; 0; ,

2 a B 

 

3

0; ;0 ,

2 a C 

 

3

0; ;0 ,

2 a A  

 

3 ; ; ,

2

a a N 

 

3

0; ; ,

2 a S  a

 

3

; ;

4

a a a

M  

 

3 3

; ;

4

a a a

MN    

 



Chọn u  1  3;3 3; 2 cùng phương với MN Nhận xét: BK SA BK SAC

BK AC  

 

  

; 0; a BK   

 



vtpt SAC.Chọn n 1 1;0;0 phương với BK

Gọi  góc góc MN SAC Ta có 1

3 10

sin

20 u n

u u

  

 

  cos 310

20 

 

Cách 2:

Gọi   mp qua MN song song với mp SAD Khi   cắt AB P , cắt SC Q, cắt AC K Gọi I giao điểm MN QK  I SAC

Suy ra:P , Q, K trung điểm AB , SC AC Lại có: ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC2CD2a

 AD2 ;a ABBC CD a



2 a CH  ;

2

2 3

2

ABCD

a a a a

S   

Nên

2

1 3

3 4

ABCD

a a

V  SA SA a

2

a MP SA

  

2 a NP 

Xét tam giác MNPvuông P:

2

3 10

2 2

a a a

MN      

   

,

MP KQ đường trung bình tam giác SAB,SAC MP KQ SA // //

KN đường trung bình tam giác

ACD KN AD a

Trang 39/69 Xét tam giác AHC vuông H:

2 2

3

3

2

a a

AC      a

 

 

3 a KC

 

Suy ra: tam giác KNCvng C C hình chiếu vng góc N lên SAC  góc MN SAC góc NIC

Khi đó: 2 10 10

3 3

IN KN a a

IN MN

MN  NP     

Xét tam giác NICvuông tạiC : ; 10

2

a a

NC IN 

2 2

10 31

3

a a a

IC           

 

 

cos 31: 10 310

6 20

IC a a NIC

IN

  

Câu 25: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB3a, AC 4a Các mặt bên

SAB ,  SAC ,  SBC tạo với đáy  ABC góc 

45 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ABC nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt  phẳng SAC và SBC   Tính cos

A cos 10

  B cos

5

  C cos

5

  D cos

15   Lời giải

Chọn A

Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ABC Gọi  M N P, , hình chiếu H AB, AC BC Ta có góc (SAB) (BAC) góc SMH Tương tự ta có

  

45 SMH SNHSPH 

Do SMH  SNH  SPH HM HNHP

Trang 40/69 Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ,

 

1

3

1 3 4 5

2

ABC ABC

AB AC

S a a

r a

p AB BC CA a a a

 

   

 

 

Tam giác SHM vuông cân H nên SH HM  r

Chọn hệ trục Đề-các vng góc Axyznhư hình vẽ Khi ta tìm tọa độ điểm sau

0;0;0

A , B3 ;0;0a , C0; ;0a , H r r ; ;0  a a; ;0,S x H;yH;SH  a a a; ;  Suy ra: Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến  1 12 ,  1;0;1

4

n AS AC

a  

  

 

  

Mặt phẳng SBC có véc tơ pháp tuyến  n2 21 AS AC, 4;3;5 a



 

 

 

  

Do

 2 2 2

1.4 0.3 1.5

cos

10

1

     

    

Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H thuộc cạnh AB cho HA2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC  60o

Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A 42

8 a

B 42

12 a

C 42

4 a

D 42

24 a

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ có gốc M , trục hoành MC , trục tung MB, trục cao Mz/ /HS (xem hình vẽ)

Ta có: 2

6

AB a a

Trang 41/69

 



   o o 21

, 60 tan 60

3 a SC ABC SCH  SH CH 

Do tọa độ điểm 0; ; a A  

 ,

21 0; ;

6

a a S 

 

 

, 0; ; a B 

 ,

3 ; 0; a

C 

 

 

2 21

0; ;

3

a a

SA  

    

 



, 3; ;

2

a a

BC  

 



, AB0; ; 0a 

2 2

21

, ; ;

6

a a a

SA BC  

 

    

 

 

 

 ,  , 42

8 ,

SA BC AB a d SA BC

SA BC

 

 

  

 

 

  

 

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc ABC 30, góc đường thẳng A B mặt phẳng ABC 

45 Gọi M , N trung điểm B C  CC Cosin góc mặt phẳngAMN mặt phẳng  ABC 

A 1

2 B

3

2 C

13

4 D

3 Lời giải

Chọn D

Ta có A B ABC , A B AB , ABA 45 nên A AB vuông cân A

AA AB a

  

Gọi H trung điểm BC sin 30

2 a AH BC AH AB

     

2

2

BC  BH  AB AH a

z

y x

N M

H

A C

B A'

B'

Trang 42/69 Lại có M H, trung điểm B C  BC

 

; //

MH BB AA a MH BB MH ABC

     

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có H O, suy H0;0;0, ; 0; a A 

 ,

0; ; a

B 

 

 

, M0;0;a 

 0; 3;

2 a C  

 

, 0; 3;

2

a a N  

 

3

;0; , ; ;

2 2

a a a a

AM a AN 

     

 

   

  2

3

, ; ;

2 4

a a a

AM AN  

 

   

   

 

 

AMN

 có VTPT n 3; 1;

2 4

  

  

 

Ta có HM 0;0; a, HM ABC ABC có VTPT  n 1 0;0;1 

Gọi  góc mặt phẳngAMN mặt phẳng  ABC 

từ

1 cos

n n n n 

   

2 2

3

3

.1

2 4



     

  

     

 

   

3 

Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABClà tam giác cạnh a mặt bên đều hình vng cạnh a Gọi Glà trọng tâm tam giác ABCvà Ilà trung điểm đoạn thẳng CC' Khoảng cách hai đường thẳng A B' GI

A 11 22 a

B 3 11

7 a

C 11

12 a

D 3 11

22 a

Trang 43/69 Chọn hệ trục tọa độ cho A0;0;0 , C a ;0;0 , A' 0;0; a trục  Aynằm mặt phẳng

ABC vng góc với trục  Ax Khi gọi H K, hình chiếu Blên trục ,

Ax Ay góc BAy300nên

cos 30 ; cos 60

2

a a

AK AB  AH AB  nên

3

; ;

2

a a B 

 

 

Vì Glà trọng tâm tam giác ABCnên ta có ; 3;0

2

a a G 

 

 

Đồng thời I

trung điểm CC' nên , ; 0; a I a 

  Suy

3

' ; ; ; ; ; ; ' ; 0;

2 2 2

a a a a a a

A B a IG    A I a  

     

   

  

Ta có

2 2

3 3

' , ; ; ' , '

12 4

a a a a

A B IG   A B IG A I

      

     

 

    

2 33

' ,

6 a A B IG

  

 

 

Vậy  

' , ' 3 11

' ,

22 ' ,

A B IG A I a d A B GI

A B IG

 

 

 

 

 

    

Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giácABCvuông cân A, cạnh BC a Góc mặt phẳng AB C mặt phẳng '  BCC B ' '

60 Tính thể tích V khối lăng trụABC A B C ' ' '?

A

3

2

a

V  B

3

a

V  C

3

3

a

V  D

3

3

a V  Lời giải

Trang 44/69 Vì tam giácABCvuông cân A, cạnh BCa nên AB ACa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A0;0;0, C a 3; 0; 0, B0;a 3; 0, A0;0;zz 0 0; 3; 

B a z

 ; BCa 3;a 3; 0, BB 0; 0;z VTPT BCC B  là:  1 , 1;1; 0

3 

 

 

 

  

n BC BB

za

 3; 0; 0 AC a



, AB 0;a 3;z

 VTPT mặt phẳng BA C  là: 2 , 0; ; 3

n AC AB z a

a

 

  

 

  

Vì góc mặt phẳng AB C mặt phẳng '  BCC B bằng' ' 60 nên:  2

60 ,

cos   cos n n 

 2

1

2

z z a

 



3 z a

 

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là:

3

1 3

2

a V  AC AB AA

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cân, vớiAB ACa góc

 120

BAC   , cạnh bên AA a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ABC  AB M 

A 11

11 B

33

11 C

10

10 D

30 10

Lời giải

Trang 45/69

Cách 1:

Ta có BC2  AB2AC22AB AC .cosBAC 2

2 a a a a 

    

 

2 3a

 BCa

Trong tam giác vng B AB , ta có 2

AB BB  AB  a2a2 a

Trong tam giác vng MAC, ta có MA MC2AC2

2

4 a a

 

2 a



Trong tam giác vng MB C ,ta có B M  B C 2C M

2

4 a a

  13

2 a



Xét tam giác MB A có

2

2 2

2

4 a B A MA  a 

2 13

4 a



B M

  MB A vuông A



2

MB A

S   AB AM

2

a a 

2 10 a



Lại có sin

2

ABC

S  AB AC BAC 2a a 

2 a



Gọi là góc tạo hai mặt phẳng ABC  AB M 

Ta có ABC hình chiếu vng góc AB M mặt phẳng ABC 

Do SABC SMB A cos

2

3 10

.cos

4

a a



  cos 30

10 

 

Trang 46/69 ( gốc tọa độ O trùng với trung điểm BC)

0; ;0 a A 

 ,

3 ; 0; a

B a

 

, 3; 0; a

C 

 

 

, 3;0;

2 a

C  a

 

 

, 3; 0;

2

a a

M 

 

 

 

3

; ; 3; 1;

2 2

a a a

AB  a

    

 



;

 

3

; ; = 3; 1;1

2 2

a a a

AM     a  

 

 



Có:  

2 2

3 3

; ; ; 1; 3 ;

4 4

a a a a

AB AM    

     

   

 

 

Mặt phẳng ABC có véc tơ pháp tuyến  n 1k 0; 0;1

Mặt phẳng AB M  có véc tơ pháp tuyến  

; 1; 3 ;

4 a AB AM

    

 

 

Chọn véc tơ pháp tuyến n 2 1; 3 ; 3   

   

   

 

1

2

2 2 2

1

0.1 0.( 3)

30

cos ;

10

0 0 1 1 ( 3) 2 3

n n ABC AB M

n n

   



   

     

 

 

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông A, ABACa có cạnh bên 2a Gọi M N, trung điểm BB CC', ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN)

A a B 2

3 a

C 3

2 a

D a 3

Trang 47/69 Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A trùng với gốc tọa độ, điểm Bnằm trục Ax, điểmC

nằm trục Ay, điểmA' nằm trục Az Ta có:

(0; 0; 0), B( ; 0; 0), C(0; ; 0), A'(0; 0; a), B'( ; 0; a), C'(0; a; a)

A a a a

Do M N, trung điểm BB CC', 'M(a; 0; a), N(0; ; )a a

2 2 ' ( ; 0; ), ' (0; ; )

' , ' ( ; ; )

A M a a A N a a n A M A N n a a a

   

 

  

 

   

Suy : n 1 (1;1;1) 

vecto pháp tuyến mặt phẳng ( 'A MN)

Phương trình mặt phẳng ( 'A MN) :

1(x0) 1( y0) 1( z2 )a 0   x y z 2a 0

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN) là: (A;(A'MN))

2 2

2

3

1 1

a a

d   

 

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cân C , AB2a, AA  , a góc BC ABB A  60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng BC N 

A 2 74 37 a

B 74

37 a

C 2 37

37 a

D 37

37 a

Lời giải

Trang 48/69 Gọi H K là trung điểm cạnh , A B và AB Từ giả thiết ta có:

2 tan 60o

HBaHBa HCHB a Mặt khác:

` , v a

HC HB  HKđơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ có H O

Tọa độ hóa:H(0;0;0), C(0;a 6; 0), A ( a;0; 0), A(a; 0; )a , ; 0; a Na 

 , B a( ;0;0)

 ,

( ; 0; )

B a a , ; 0; a M a 

 

Xét mặt phẳng (BC N ) có

( ; 6; )

( 6; 3; 6)

2 ; 0; C B a a a

vtpt n a

BN a

   



   

  

  

  

 

 

 

Phương trình (BC N )là: 6( ) a xa  y z 

 

Khoảng cách từ M đến (BC N ) là:

6 ( ) 3.0 6( )

2 74

2

( ; ( ))

37

6 96 111

a a a a

a a

d M BC N

   

   

 

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc BAC 120, AA a Gọi M , N trung điểm B C  CC Khoảng cách đường thẳng MN AH A

2 a

B

4 a

C

2 a

D

4 a

Lời giải

Trang 49/69 Gọi H trung điểm BC Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:



 

2 2 2

2 .cos .cos120 3

BC  AB AC  AB AC BAC a a  a a   a BCa

 2  2 2

2 2

4 4

AB AC BC a a a a a

AH         AH 

Vì tam giác ABC cân A có AH đường trung tuyến nên AH  BC H hay cạnh MH , HA HB đơi vng góc với Ta chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho điểm AHx, điểm BHy điểm MHz Khi ta có tọa độ điểm sau: H0; 0; 0,

; 0; a A 

 

, 0; 3;0 a B 

 

 

, 0; 3; a C  

 

 

, M0; 0;a, 0; 3;

2

a a N  

 

 

Ta có: 0; 3;

2

a a

MN    

 



; ; 0;

2 a AH   

 



; ; 3;

2 2

a a a

AN    

 



Suy ra:

2

3

; 0; ;

4

a a

MN AH  

    

   

 

 

Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta có:

 

6

4

, 6

32 ,

4 ,

4 a

MN AH AN a

d MN AH

a MN AH

 

 

  

 

 

  

 

Trang 50/69 A

2 15 a

B

2 15 a

C

2 a

D

2 10 a

Lời giải

Chọn A

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A O ; BOy; A1Oz

Khi A0;0;0, B0; ;0a  A10;0;2a , 1 3; ;

2

a a C  a

 

và D0; ;a a 

Do M di động AA , tọa độ1 M0;0;t với  t0; 2a

Ta có:

1

1

,

   

 

DC M

S DC DM

Ta có:

3

( ; ; )

2

(0; ; )

a a

DC a

DM a t a 

 

 

   

 

 DC DM1,   

( ; 3( ); 3

a

t a t a a 

  

2 2

1, ( ) 3( )

2 a

DC DM t a t a a

 

       

1

2

2

4 12 15

2

12 15

2 

  

  

DC M

a

t at a a

S t at a

Xét f t   – 12 t2 at  15a2 (t0; 2a)

 

Trang 51/69

'( )

2

   a

f t t

Lập BBT giá trị lớn

1

15 

DC M

a

S t 0 hay M  A

Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a , Mlà điểm di chuyển đường thẳng A C' '; Tính khoảng cách lớn AM BC'

A 34 a

B 17

4 a

C 14

4 a

D 21

6 a

Lời giải

Chọn C

Không tính tổng quát chọn a 1; Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng C'; Ox

trùng C A' '; Oz trùng với C C' ; Sao cho:

1 3

'(1; 0; 0); '(0; 0; 0); B'( ; ; 0); (1; 0;1); ( ; ;1); (0; 0;1); M(m; 0; 0)

2 2

A C A B C

Khi đó:

, ' ' ( ; ' )

, ' AM C B AC d AM C B

AM C B

 

 



 

 

    

Ta có: ( 1;0; 1); ' 1; 3;1 ; ' ( 1; 0; 1) 2

AM  m  C B  AC   

 

 

  

2 2

3 ( ; ' )

3

( ) ( ) ( 1)

2

m d AM C B

m m



   

=

2

2

3

2

7 7

4 4

m

m m

m m



   

Trang 52/69 Khoảng cách lớn 2

4 m 2 m4 nhỏ

1

7 m

m

    ; Khi đó: khoảng cách lớn là: 14

4 ; Vậy: trường hợp tổng quát, khoảng cách lớn 14 a

'

a MC 

Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông, , cạnh bên Gọi M trung điểm BC. Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM B C

A B C D

7 a

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc sau:

; A ; C ; B’ ; M ; 0;

2 a

 

 

 

; ;

Ta có:

+) Khoảng cách

Vì: nên chéo

 , '  , ' '

, ' AM B C AB d AM B C

AM B C

 

 



 

 

    

3

4 4

7

7

2 a

a

a a a

 

 

ABBCa

'

AA a a

3

a 21

7 a

7 a

Oxyz

(0;0;0)

B 0; ;0a  a; 0;0 0; 0;a 2 ; ;

2 a

AM  a 

 



 

' ; 0;

B C a a 

 

' 0; ;

AB  a a 

2

2

, ' 2; ;

2 a AM B C a a 

    

 

 

 

, ' AM B C

3

, ' '

2 a AM B C AB

  

 

  

Trang 53/69 Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCA B C  có đáy ABClà tam giác vuông A AB1,AC2.Gọi 

là góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng (A BC )có số đo lớn Biết sin p q

  ( với ,

p q nguyên tố ) Giá trị tổng p q

A 11 B 7 C 5 D 9

Lời giải Chọn D

Giả sử AA m(m 0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 2; ), (0; 0; )

A B C C m A m

Phương trình mặt phẳng (A BC )là: 2

1

x y z

mx my z m m

       

 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (A BC )là:n(2 ; ; 2)m m ( 1; 2; )

BC  m 

véc tơ phương đường thẳng BC

2

2

sin cos( ; )

5 (5 20) 29

m m

n BC

m m m m

   

   

 

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số

5m 20:

2

4

2 2

sin

7

20 29

2 20 29

m m

m m

m m

  

 

Trang 54/69 Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có độ dài cạnh đáy a Góc A BC  ABC  60 Gọi M N, trung điểm BC CC Tính khoảng cách A M

AN

A 6 97 97 a

B 3 97

97 a

C 6 65 65 a

D 3 65

65 a

Lời giải Chọn B

Do BC vng góc với mặt phẳng A MA  nên góc mặt phẳng ABC A BC  góc A MA 60 ,

Trong tam giác vuông A AM : ' 3

tan 60 '

2

AA a a

AA AM

   

Trong mặt phẳng ABC kẻ đường thẳng Ay song song với BC , đường , ,

AM Ay A A đôi vuông góc với Xét hệ tọa độ Axyz cho:MAx A, 'Az

Ta có: (0; 0; 0), '(0; 0;3 ), ( 3; 0; 0), ( 3; ;3 )

2 2

a a a a a

A A M N

suy ra:

2 2

3 3 3 3

' ( ; 0; ), ( ; ; ) ' , ( ; ; )

2 2 4

a a a a a a a a

A M  AN A M AN 

   

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta có:

2

' , 3 3 / 8 3 97

( ' , )

97 291 /

' ,

A M AN AM a a

d A M AN

a A M AN

 

 

  

 

 

    

Trang 55/69 Kẻ A E AN E //  AC AN//A ME d A M AN  , d AN ,A ME d A A ME ,  

AK

 Có 12 2 2

AK  AA  AH

+Có góc A BC  ABC  A MA 60  A A' tan 60  AM 3

2

a a

 

+Dễ thấy AEA F' 2AC, với F A N' AC

1

;

2

AME AME

S

S AH EM AH

EM

   mà

2

2

.3

3

AME MEC ABC ABC

a

S  S  S S 

2 31

2 cos150

2 a

EM  AE AM  AE AM   53

31 a AH

 

Vậy 2 2 2 972 AK  AH  AA  a

3 97 97

AK a

 

Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a M điển thỏa mãn

2

CM  AA Côsin góc hai mặt phẳng A MB  ABC A 30

10 B

30

8 C

30

16 D

1 Lời giải

Chọn A

Trang 56/69 Gọi D giao điểm A M AC

Vì tam giác A B C   tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung tuyến

2 a

Suy tọa độ điểm hình vẽ

Theo giả thiết ta có

CM  AA  ADACDM AD DA 2DC CD

    

Vậy tọa độ điểm D là: 0; ;12 D 

 

Ta có mặt phẳng (ABC) có phương trình  0   0;0;1 

ABC

z n

Mặt khác mặt phẳng A MB  mặt phẳng qua ba điểm A, D B

Ta có: 0; ;12 A D   

 



1; ;1 2 A B   

 

 



 

1 3

n , ; ;

6

A BM A D A B

  

   

    

   

 

  

Vậy  sin góc tạo hai mặt phẳng A MB  ABC là:

  

      

 cos A BM' , ABC  cos nA BM ,nABC

3

3 30

10

1 10

36



  

 

Cách khác:

3 ; ;1 2 A B   

 

 



, 0;1;3

2

 

   

 



A M , , 1; 3; 11;3 3; 3

4 4

  

       

   

 

Trang 57/69  mpA MB  có vectơ pháp tuyến nA BM  1;3 3; 3 

Mp(ABC) mp(Oxy): z=0 có vtpt   0; 0;1 

ABC

n

  

      

 30

cos ' , cos ,

10 27 12 



  

 

 

A BM ABC

A BM ABC n n

Câu 40: Cho hình hộp ABCD A B C D     tích V Gọi M, N , P trung điểm cạnh AB, A C , BB Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

A

48V B

1

8V C

7

48V D

1 6V Lời giải

Chọn A

Đây toán tổng quát, ta đưa cụ thể, giả sử hình hộp cho hình lập phương có cạnh Khi đóV  1

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, A gốc toạ độ, trục Ox Oy Oz, , nằm cạnh , ,

AB AD AA Khi đó,

1;1; 0

C ; 1; ; 0 1; ; B  M 

 

; 1; ;1 1; ;1 B P 

 

;

0; 0;1 , 1;1;1 1; ;1 2 A C N 

 

Ta có 1; 1;

CM    

 



, 1; 1;1

2

CN   

 



, ; 1;1 CP  

 



Khi , 5

6 48

CMNP

V  CM CN CP       48 

CMNP

Trang 58/69 Câu 41: Cho hình hộp ABCD A B C D     , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , 

60

BAD  AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O Gọi M trung điểm

CD Khoảng cách hai đường thẳng A M B D  bằng: A 21

7 B

2 21

7 C

3 21

7 D

4 21 Lời giải

Chọn B

+) Đáy ABCD hình thoi cạnh 2a , tâm O ,  60

BAD  nên tam giác ABD tam giác

cạnh 2a 3.2

2

AO a a

  

2 2

4

A O  AA AO  a  a a

+) Giả sử a  Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 1 OO0 ; ; 0, D1; ; 0Ox, 0; ; 0

C Oy A0 ; ;1Oz Khi đó, B  1; ; 0, A0; ; 0 Ta có:   BBDDAA0; ;1 nên tìm B  1; ;1 D1; ;1

M trung điểm CD 1; 3;0 2

M 

  

 

+) Ta có:  

;

;

;

A M B D A B d A M B D

A M B D      

 

   

   

 

    

 

 

1

; ;

2 ; 0; 2;

2; 0; A M

A M B D B D



 

   

   

   



   



   



  

z

y

x M

C' D'

B'

O C A

B

D

Trang 59/69 Mà A B    1; ; 0 nên  ;  21

7

d A M B D      

 

Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    , có AB a AD, a ,góc A C mặt phẳng

ABCD 30 Gọi H hình chiếu vng góc Atrên A B K hình chiếu vng góc A A D Tính góc hai mặt phẳngAHK ABB A 

A 60 B 45 C 90 D 30

Lời giải Chọn B

Do ABCD A B C D     hình hộp chữ nhật nên A C' ' hình chiếu vng góc A C'



(ABCD)( ' , (A C ABCD))( ' ,A C A C' ')CA C' '30

Ta có 2 3; tan' ' ' '

' ' CC

AC AB AD a CA C CC a

A C

     

Kết hợp với giả thiết ta ABB A hình vng có H tâm ' ' Gọi E F, hình chiếu vng góc K A D' '& ' A A

Ta có 2 2 12 6;

'

a AK AK  A A  AD  

2

' ' ;

3 a A K  A A AK 

2

2 2

1 1

; '

' 3

a a

KF KE A K KF KE

KF  KA  A K      

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn OA' D B A, ,  theo thứ tự thuộc tia , ,

Ox Oy Oz Khi ta có tọa độ điểm là:

2 2

(0;0; ), '(0; ;0), (0; ; ), ( ; 0; ), ( ; 0;0), (0; 0; )

2 3 3

a a a a a a

A a B a H K E F

Trang 60/69 Ta có

2 2

, , (2; 2; 2)

6 a

AK AH n n

  

 

   

Mặt phẳng (AKH)có VTPT n 2 (2; ; );



Gọi  góc hai mặt phẳngAHK ABB A 

Ta có

1

( , ) 45

2

cos  cos n n    

Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc

A lên ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1 

A a

B

2 a

C 21

4 a

D

2 a

Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O hình vng ABCD gốc toạ độ, OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 là trục Oz hình vẽ

 2; 0;0

2 a

A 

 

 

Vì mp A BD 1 mp Oyz( ) nên mp A BD 1 có phương trình: x 0

1

AB cắt mp A BD 1 tại trung điểm AB1

 (B ;(1 1 )) ( ;( 1 )) 2 2

a a

d A BD d A A BD  

Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Gọi ' ' ' ' K trung điểm DD' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D'

A a

B

4 a

C

5 a

D

2 a

Trang 61/69

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, tia Ox , Oy, Oz trùng với tia AB, AD, AA' Khi A0; 0; 0, B a ; 0; 0, D0; ; 0a , A' 0; 0; a, B a' ; 0;a,

 ; ; 0

C a a

Gọi M trung điểm BB' ; 0; a M a 

  

 

' ; 0;

2 a A M a  

 



, A D' 0; ;a a  

2

2

' , ' ; ; 1; 2;

2

a a

A M A D  a a 

 

  

 

 

Suy A DM' nhận n  1; 2; 2 làm vec tơ pháp tuyến qua điểm A' 0; 0; a

A DM' : x2y2z2a0

Do M trung điểm BB' nên A M' / /CK

 , '   , '   , '  2 2 2

3

1 2

a a a a

d CK A D d CK A DM d C A DM    

 

Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB3 ,a AD AA Lấy điểm a M thuộc đoạn AB, điểm N thuộc đoạn A C  cho AM A N x, 0 x 10a, Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ

A 0 B 30

3 a

C 10

2 a

D 10

3 a

Lời giải

Trang 62/69

Ta có 2 2

9 10

AB AB BB  a a  a Gọi E hình chiếu M lên AB

Ta có 3

10 10

AE AM AB AM ax x

AE

AB  AB   AB  a 

10 10

ME AM BB AM ax x

ME

BB AB AB a



    

  

Gọi F hình chiếu N lên A B 

Tương tự ta tính A C   10a, 10

x A F  ,

10 x NF 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A, điểm B, D, A nằm tia Ox , Oy, Oz Khi ta có tọa điểm là: A0; 0; 0, B3 ; 0; 0a , D0; ; 0a , A0; 0;a,

3 ; 0;

10 10

x x

M 

 

, ; ;

10 10 x x N a

 

Ta có

2

2 2

2

2 2

10 10 10 10 10 2

x x x ax x a a a

MN   a   a      

   

GTNN MN a

khi 10

2

10

x a a

x

  

Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB , a AD2 , a AA'3 a Gọi M N P, , trung điểm BC C D DD, ' ' ' Tính khoảng cách từ A đến mpMNP 

A 15

22a B

9

11a C

3

4a D

15 11a Lời giải

Chọn D

D'

C' B'

A'

F N

M

E z

y

x

D C

B

Trang 63/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm B , tia Ox Oy Oz trùng với tia ; ;

; ; '

BA BC BB Khi B0; 0; ; A a ; 0; ; C0; ; ;a  D a ; ; ;a  C' 0; ; 3 a a;D a' ; ; 3a a

Suy 0; ; ; ; ;3

2 2; ;3

a

M a P a a và Na a a

 



 



Ta có ; ;3 ; ; ;

2

a a

MP a a  MN a a

   

 

, vectơ pháp tuyến MNP là: 

 

2

; ; ; 6; 9;

2 4

a nMP MNa    

 

  

Suy MNP:6x9y2z9a0; A a ;0;0 Vậy   

2 2

6 15

;

11

6

a a a

d A MNP   

 

Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác vng cân, AA 2a, ABACa Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A B C  , I tâm hình chữ nhật ABB A  Thể tích khối A IGCG

A a

B

3 a

C

3 a

D

3 30 a

Lời giải

Trang 64/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O trùng với điểm A , tia Ox, Oy, Oz trùng với tia AB , AC AA

Suy A0;0;0, B a ;0;0, C0; ;0a , A0;0; 2a, B a ;0; 2a, C0; ;2a a, ; ; 3 a a G 

 

, ; ;

3 a a G a

 , 2; 0; a I a

  (vì I trung điểm AB A B )

Ta có ; ;

6 a a IG  a

 



;2 ;

3 a a G C    a

 



Suy IG 

G C phương

Do bốn điểm I , G, C, G đồng phẳng

Mặt khác ;2 ;

3 a a GC  

 



Vì

2

4

, ; ;0

3

a a

G C GC  

    

 

 

 

nên mặt phẳng IGCG có véc-tơ pháp tuyến  n 2;1; 0 

Vậy phương trình mặt phẳng IGCG :  2xya0

Suy d , 

5

a a

h A IGCG   



Diện tích tứ giác IGCG 1  .d , 

IGCG

S   IGG C IG G C

Trong 41

6

a

IG  , 41

3

a

G C  ,    

,

d , d ,

G C GC IG G C G G C

G C              Vì 2

, ; ;

3

a a

G C GC  

    

 

 

 

nên d ,  41 IG G C  a

Suy

2

1 41 41 5

.2

2 41

IGCG

a a a

S  a

 

    

 

Thể tích cần tìm

 

 

2

1 5

.d ,

3

A IGCG IGCG

a

V  S  A IGCG  a

6

a



Cách khác:

Gọi E , E  trung điểm AB, A B , kẻ AHvng góc C E H CEE C  hình chữ nhật,

Trang 65/69

EE CC'  a,

2

2

4

a a

CEC E  a   ,

a

CGC G  ,

6

a GE G E   ,

5

E

A AC a

AH

CE

 

2

5 5

2 2

2

IGCG CEE C IEG IE G CG C

a a a a

S  S   S S   S   a. a. a.

 

        

 

2

1 5

3

A IGCG IGCG

a a

V  S  AH a 

Câu 48: Cho hình hộp ABCDA B C D có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ' ' ' '

(ABB A' ') vng góc với đáy, tam giác A AB' vng A', góc BA' đáy

6 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA' DB' A

2 55

a

B

55

a

C

55 a

D

2

a

Lời giải

Chọn C

Gọi O hình chiếu vng góc A' lên cạnh AB Vì mặt phẳng (ABB A' ') vng góc với

(ABCD) nên A O' (ABC D)

Ta có góc BA' mặt phẳng (ABCD) góc A BO'

Ta có

' cos 60

a

BA  AB  ,

' cos 60

a

BO A B  , ' ' sin 600

4

a

OA A B 

Chọn hệ tọa độ O xyz hình vẽ Khi

(0; 0; )

O , '(0;0; 3)

4

a

A , ( ; 0; 0)

a

B , ( ; ;0), ( ; ;0), '( ;0; 3)

4 4

a a a a

I  D  a B a

Ta có ' ; ; , ' ; ; ; ' '  ;0;0

4 4

a a a a a

IA    DB  a  A B  a

   

  

Trang 66/69 Khi đó:

2 2

3 3

'; ' ; ;

8 8

a a a

IA DB  

    

   

 

 

Ta có:

3

3

3

'; ' ' ' 8 3 8 3

(A'I; DB')

8 55 55

3 27 25

'; '

64 64 64 a

IA DB A B a a

d

a IA DB

a

 

 

   

   

     

 

  

 

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Mlà trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng

(AMC)và (S B C) A

2 B

2

5 C

2

3 D

5 Lời giải

Chọn B

Để thuận tiện việc tính tốn ta chọn a  1

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho gốc O trùng với điểm A, tia O x chứa đoạn thẳng AB, tia O y chứa đoạn thẳng AD, tia Oz chứa đoạn thẳng AS Khi đó:A(0 ; ; 0), B(1; 0; 0), C(1;1; 0), S(0; 0; 2), D(0;1; 0)

Vì Mlà trung điểm SD nên tọa độ Mlà 0; ;11

 

 

 

M

Ta có (1; ; 2) (0 ;1; 0)

  

 

 

 SB BC 

 nSBC  [ SB BC ; ] =(2;0;1)

Gọi  góc hai mặt phẳng (AMC)và (S B C)

Suy         

   

5

cos cos ;

3

 SBC AMC  SBC AMC 

SBC AMC

n n

n n

n n

 

 

 

Mặt khác, tan2 12 tan 12

cos cos

 

 

    

Vậy

2

1

tan

5

3

   

 

 

 

Trang 67/69 bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là?

A 7 B 12 C 14 D 16

Lời giải: Chọn C

Xét bóng góc nhà

Chọn hệ trục hình vẽ, trục O x O y O z, , ba mép tường nhà; O góc nhà Tâm bóng I a b c ; ; 

Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt

phẳng tọa độ, d I Oxy ; d I Oyz ; d I Oxz ; R   a b c R0

Gọi M x y z ; ;  điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà

tiếp xúc 1; 2; 4, ta suy M1;2;4 Điểm M nằm bóng khi:

 1 2 2 2 42

IM R a  a  a  a a

2

2a 14a 21

   

7

2

7

2 a

a

 

   

 

  

Vì hai bóng có vai trị tính chất nên chúng có bán kính là:

1

7 7

;

2

R   R  

Vậy tổng đường kính hai bóng d2R1R214

- HẾT -

a

a

a z

y

x

O