70 câu trắc nghiệm vi phân của hàm số có đáp án chi tiết

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng... Chọn khẳng định đúng.[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Tích f x'( ).0  gọi vi phân hàm số x yf x( ) điểm x (ứng với số gia x0  ) kí hiệu df x( )0 f x'( )0  x

 Nếu hàm số f có đạo hàm f ' tích f x x'( ) gọi vi phân hàm số yf x( ), kí hiệu là: ( ) '( )

df x f x x .

Đặc biệt: dx x x   nên ta viết ' x df x( )f x dx'( ) . B – BÀI TẬP

Câu Cho hàm số    

yf x  x Biểu thức sau vi phân hàm số f x ?

A. dy2x1 d x. B.  

2 dy x1 dx

.

C. dy2x1. D. dy2x1 d x.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có dyf x x d 2x1 d x.

Câu Tìm vi phân hàm số y x 32x2

A dy(3x2 )x dx B dy(3x2x dx) C dy(3x22 )x dx D dy(3x2 4 )x dx

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

2 (3 )

dy x  x dx

Câu Tìm vi phân hàm số y 3x2

A

3

3

dy dx

x 

 B

1

2

dy dx

x 



C

1

3

dy dx

x 

 D

3

2

dy dx

x 



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

3

2

dy dx

x 



Câu Cho hàm số y x 3 9x212x Vi phân hàm số là:

A.  

2

dy 3x 18x12 dx

B.  

2

dy 3x  18x12 dx .

C.  

2

dy 3x 18x12 dx

. D.  

2

dy 3x 18x12 dx .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có    

3 2

dy x  9x 12x d x 3x 18x12 dx Câu Tìm vi phân hàm số y(3x1)10

C dy9(3x1)10dx D dy30(3x1)9dx

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

9 30(3 1)

dy x dx.

Câu Tìm vi phân hàm số ysin 2xsin3x

A  

2 cos 3sin cos

dy x x x dx

B  

2 2cos 3sin cos

dy x x x dx

C  

2 cos sin cos

dy x x x dx

D  

2 cos sin cos

dy x x x dx

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

2cos 2 3sin2 cos 

dy x x x dx

Câu Tìm vi phân hàm số ytan 2x

A dy (1 tan )2 x dx B dy (1 tan )2 x dx C dy2(1 tan ) x dx D dy2(1 tan ) x dx

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

2 2(1 tan )

dy  x dx

Câu Tìm vi phân hàm số y3 x1

A

1 ( 1)

dy dx

x 

 B

3 ( 1)

dy dx

x 



C

2 ( 1)

dy dx

x 

 D

1 ( 1)

dy dx

x 



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

2

1 ( 1)

dy dx

x 



Câu Xét hàm số  

2 cos

yf x   x

Chọn câu đúng:

A.

sin

d ( ) d

2 cos x

f x x

x 



 . B.

sin

d ( ) d

1 cos x

f x x

x 



 .

C.

cos

d ( ) d

1 cos x

f x x

x 

 . D.

sin

d ( ) d

2 cos x

f x x

x 



 .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có : dyf x x d

 

2 cos

d cos

x x x

 





4cos sin d cos

x x

x x 





sin d cos

x x x 



 .

Câu 10 Cho hàm sốy x 3 5x Vi phân hàm số là:6

A.  

2

dy 3x  dx

. B.  

2

dy 3x  dx

.

C.  

2

dy 3x 5 dx

. D  

2

dy 3x  dx

.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có    

3

Câu 11 Cho hàm số 3

y x



Vi phân hàm số là: A.

1

d d

4

y x

B.

1 dy dx

x



C.

1 dy dx

x



D. dy x x 4d

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có  

2

3 3

1

d d d

3

x

y x x

x x x



 

   

 

Câu 12 Cho hàm số

2

x y

x

 

 Vi phân hàm số là:

A.  

2 d d

1 x y

x 



B.  

2 3d d

1 x y

x 



C.  

2 3d d

1 x y

x  



D.  

2 d d

1 x y

x 



Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có  

2

2

d d d

1

x

y x x

x x

 

 

  



  

Câu 13 Cho hàm số

2 1

1

x x

y x

  

 Vi phân hàm số là:

A.

2

2

d d

( 1)

x x

y x

x

  

 . B.

2

d d

( 1) x

y x

x  

 .

C.

2

d d

( 1) x

y x

x  

 D.

2

2

d d

( 1)

x x

y x

x

  

 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

2

d d

1

x x

y x

x



   

 



 

     

 

2

2 1

d

x x x x

x x

    



  

2

2

d

x x

x x

  



Câu 14 Cho hàm số ysinx 3cosx Vi phân hàm số là:

A dy  cosx3sinx xd . B. dy  cosx 3sinx xd . C. dycosx3sinx xd . D. dy cosx3sinx xd .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có dysinx 3cosxdxcosx3sinx xd Câu 15 Cho hàm số ysin2x Vi phân hàm số là:

A. dy– sin dx x B. dysin dx x C. dysin dx x D. dy2cos dx x

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có    

2

dyd sin x  sin x dxcos 2sin dx x xsin dx x Câu 16 Vi phân hàm số

tan x

y

x



A. 2

d d

4 cos

x

y x

x x x



B.

sin(2 )

d d

4 cos

x

y x

x x x



C.

2 sin(2 )

d d

4 cos

x x

y x

x x x

 

D.

2 sin(2 )

d d

4 cos

x x

y x

x x x

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

2

1 1

tan

tan cos

dy dx = dx

x x

x x x x

x x

 

 

 

 

2

1 sin 1 sin cos

= dx =

2 cos cos 2 cos

x x x x

dx x

x x x x x x

  



 

 

 

2 sin

=

4 cos

x x

dx

x x x



Câu 17 Hàm số yxsinxcosx có vi phân là:

A. dyxcos – sinx x xd B. dyxcosx xd C. dycos – sinx x xd D. dyxsinx xd

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có dyxsinxcosxdxsinx x cosx sinx xd xcosx xd .

Câu 18 Hàm số y

x x



 Có vi phân là: A.

2

2

1 ( 1)

x

dy dx

x

 

 B.

2 ( 1)

x

dy dx

x 



C.

2 ( 1)

x

dy dx

x

 

 D. 2

1 ( 1)

dy dx

x 



Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có

2 2

2 2 2

1

dy dx

1 ( 1) ( 1)

x x x x

dx

x x x

   

 

   

  

  .

Câu 19 Cho hàm số     yf x  x

Biểu thức sau vi phân hàm số cho? A dy2x1 d x. B dy2x1

C dyx1 d x D  

2 dy x1 dx

Hướng dẫn giải:

Chọn A

  x 12 y 2 1 d 2 d

yf x     x  y x x Câu 20 Vi phân hàm số  

2

f x  x  x

điểm x  , ứng với 2  x 0,1 là:

A 0,07 B 10 C 1,1 D 0,

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: f x  6x 1 f 2 11

   

Câu 21 Vi phân ycot 2017 x là:

A dy2017 sin 2017 d  x x B  

2017

d d

sin 2017

y x

x



C  

2 2017

d d

cos 2017

y x

x



D  

2 2017

d d

sin 2017

y x

x



Hướng dẫn giải:

Chọn D

 

   

2

2017 2017

d d

sin 2017 sin 20

cot 201

17

7 y y x

y

x x

x



   



Câu 22 Cho hàm số y =

2 1

1

x x

x

 

 Vi phân hàm số là: A

2

2

d d

( 1)

x x

y x

x

  

 B

2

d d

( 1)

x

y x

x

 



C

2

d d

( 1)

x

y x

x

 

 D

2

2

d d

( 1)

x x

y x

x

  



Hướng dẫn giải:

Chọn D

2

2

1 2

d d d

1 ( 1)

x x x x

y x x

x x



     

  

 

 

Câu 23 Cho hàm số

3

x y

x  

 Vi phân hàm số x  là:3 A

1

d d

7 y x

B dy7d x C

1

d d

7 y x

D dy7d x

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có  

 

2

7

3

y y

x

    



Do

d d

7 y x

Câu 24 Vi phân ytan 5x :

A

5

d d

cos x

y x

x 

B

5

d d

sin

y x

x 

C

2

d d

cos

y x

x 

D

5

d d

cos

y x

x 

Hướng dẫn giải:

Chọn C

2 tan

cos

y x y

x 

  

Do

5

d d

cos

y x

x 

Câu 25 Hàm số

2 ( 1)

( ) x

y f x

x



 

Biểu thức 0,01 '(0,01)f số nào?

Hướng dẫn giải:

Chọn D

 

2

2

( 1) 1

( ) x 0,01 9000

y f x y y

x x x x



 

      

Do 0,01 '(0, 01)f 90

Câu 26 Cho hàm số ysin(sin )x Vi phân hàm số là:

A dycos(sin ).sin dx x x B dysin(cos )dx x C dycos(sin ).cos dx x x D dy cos(sin )dx x

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: y' (sin ) '.cos(sin ) cos cos(sin ) x x  x x nên dycos cos(sin )dx x x

Câu 27 Cho hàm số

2 0 ( )

2

x x x

f x

x x

  





 Kết đúng?

A d (0)f dx B  

2

0

0 lim lim ( 1)

x x

x x

f x

x

 



 



    

C    

2

0 lim

x

f   x x



   

D f  0 xlim 20 x

 

  

Hướng dẫn giải:

Chọn B Ta có:  

2

0

0 lim lim ( 1)

x x

x x

f x

x

 



 



    

;

 0 lim0 2

x

x f

x



 

  

hàm số khơng có vi phân x  0 Câu 28 Cho hàm số ycos 22 x Vi phân hàm số là:

A dy4cos sin dx x x B dy2 cos sin dx x x C dy2 cos sin dx x x D dy 2sin dx x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có :  

2

dyd cos 2x 2 cos (cos ) 'dx x x4cos sin dx x x2sin dx x

Câu 29 Cho hàm số

2 0 ( )

x x x

f x

x x

  





 Khẳng định sai? A f  0



 

B f  0



 

C d (0) df  x D Hàm số khơng có vi phân x  0

Hướng dẫn giải:

Chọn D Ta có:  

2

0

0 lim lim ( 1)

x x

x x

f x

x

 



 



    

 0 xlim0 x f

x



 

  

d (0) df  x Câu 30 Cho hàm số yf x( ) cos 2 x Chọn kết đúng:

A

sin

d ( ) d

2 cos

x

f x x

x

 

 . B

sin

d ( ) d

1 cos

x

f x x

x

 

 .

C

cos

d ( ) d

1 cos

x

f x x

x



 . D

sin

d ( ) d

1 cos

x

f x x

x

 

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có :  

2

2 2

(1 cos ) ' 2.2cos sin sin

d d ( ) d cos d d d

2 cos 2 cos cos

x x x x

y f x x x x x

x x x

  

     

  

Câu 31 Cho hàm số ytan x Vi phân hàm số là:

A

1

d d

2 cos

y x

x x



B

1

d d

cos

y x

x x



C

1

d d

2 cos

y x

x x



D

1

d d

2 cos

y x

x x



Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có :   2

1

d d tan ( )'d d

cos cos

y x x x x

x x x

 

   

 

Câu 32 Vi phân hàm số

2

2

x y

x  

 :

A  

2

d d

2

y x

x

 

B  

2

d d

2

y x

x

 

C  

2

d d

2

y x

x

 

D  

2

d d

2

y x

x

 

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có :

2

d d d

2 (2 1)

x

y x

x x

 

 

   

 

 

Câu 33 Cho hàm số

2 1

x y

x

 

 Vi phân hàm số là:

A  

2

d d

1

x

y x

x

 



B  

2

d d

1

y x

x

 



C

4

d d

1

y x

x  

 . D  

2 d d

1

x y

x

 



Hướng dẫn giải:

Chọn A Ta có :

2

2 2

1

d d d

1 (1 )

x x

y x

x x

   

   

 

 

Câu 34 Cho hàm số ( )f x  cos 2x Khi A  

sin

d d

2 cos

x

f x x

x



 

 

B  

sin

d d

cos

x

f x x

x



 

 

C  

sin

d d

2 cos

x

f x x

x

 

 

 

D  

sin

d d

cos

x

f x x

x

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có :  

(cos ) ' sin

d ( ) d cos d d

2 cos cos

x x

f x x x x

x x



ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '', tức là: f '' ( ') ' f

 Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với 1 n,n2) f(n1) Nếu f(n1) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f( )n , tức là:

( )n ( (n 1)) '

f  f 

Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn công thức đạo hàm cấp n  Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức B – BÀI TẬP

Câu Hàm số

x y

x



 có đạo hàm cấp hai là:

A. y 0 B.  

2

2 y

x  



C.  

2

2 y

x  



D.  

3

2 y

x  



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có  

2

2

x y

x x

 

 

    

   ;  

 

   

2

2

2

2

2 2

x y

x x x



   

    

    

 

Câu Hàm số  

2 1

y x 

có đạo hàm cấp ba là:

A.  

2

12

y  x 

B.  

2

24

y  x 

C.  

2 24 y  x 

D.  

2 –12 y  x 

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có y x 63x43x2 ; y 6x512x36x

4

30 36

y  x  x  ; y 120x372x24 5 x23 .

Câu Hàm số y 2x5 có đạo hàm cấp hai bằng:

A.

1

(2 5)

y

x x

 

  . B.

1

2

y

x  

 .

C.

1

(2 5)

y

x x

 

  . D.

1

2

y

x  

 .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có  

2

2

2 5

y x

x x



    

 

 

 

2

2 2 2 5 1

2 5 5

x x

y

x x x x



 

   

   

Câu Hàm số 1 x x y x    

có đạo hàm cấp bằng: A. (5) 120 ( 1) y x 

 . B.

(5) 120 ( 1) y x   . C. (5) ( 1) y x 

 . D.

(5) ( 1) y x   .

Hướng dẫn giải:

Chọn A. Ta có 1 y x x      1 y x     

 3

2 y x         y x         24 y x    (5) 120 ( 1) y x    .

Câu Hàm số

2 1 x x y x   

 có đạo hàm cấp :

A     120 y x   B     5 120 y x   C     5 1 y x   D     5 1 y x  

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

2 1 1

1 x x y x x x        .

 2

1 1 y x      ;   y x    ;   y x    ;     24 y x   ;     120 y x   Câu Hàm số y x x 2 có đạo hàm cấp 2 :

A  

3 2 1 x x y x x      B 2 1 x y x     .

C  

3 2 1 x x y x x      D 2 1 x y x     .

Hướng dẫn giải:

Chọn C. Ta có: 2 2 1 1 x x

y x x

x x         ;     2

2 2 2

4

2

1

1 1 1

x

x x x

x x

x y

x x x

  

 

  

  

Câu Hàm số  

2

y x

có đạo hàm cấp :

A  

3 80 y  x

B  

2 480 y  x

C  

2 480 y  x

D  

3 80 y  x

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:  

4

5

y  x  10 2 x54

;  

3 80 y  x

;  

2 480 y  x

A

2sin cos

x y

x

 

B

1 cos

y

x

 

C

1 cos

y

x

 

D

2sin cos

x y

x

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:

1 cos

y

x

 

 

4

2cos sin 2sin

cos cos

x x x

y

x x



  

Câu Cho hàm số ysinx Chọn câu sai.

A

sin y  x 

 . B y sinx  .

C

3 sin

2 y  x  

 . D y 4 sin 2  x.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:

cos sin y  x  x

  ;  

cos sin

2

y   x x

  .

 

cos sin

2 y   x    x

 ;

 

 

4 cos sin 2

2

y    x  x

  .

Câu 10 Hàm số

2

2

1

x x

y

x

 



 có đạo hàm cấp 2 :

A  

2

1 y

x   



B  

3 y

x  



C  

3 y

x   



D  

4 y

x  



Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

1

2

1

y x

x

  

  

2

1 y

x 

  



;

2 (1 ) y

x  

 .

Câu 11 Hàm số  

cos yf x   x  

  Phương trình f 4  x 8 có nghiệm x 0;2 

 

   là:

A x

 

B x  0 x

 

C x  0 x

 

D x  0 x

 

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

2sin y   x  

  y 4cos 2x 

 

    

  y 8sin 2x 

 

    

 

 4 16cos 2 y   x  

 

Khi :

   

4 8

f x  16cos 2x 3



 

   

 

1 cos

3

x 

 

   

 

2

2

3

2

2

3

x k

x k

 



 

 

  

  

   



2

x k

x k

  

 

  

 

   

0;

2

x

x





 

 

 

    Câu 12 Cho hàm số ysin2x Chọn khẳng định

A 4y y 0 B 4y y 0 C yytan 2x D  

2

2 4

y  y  .

Hướng dẫn giải:

Ta có: y 2cos2x; y 4sin2x  4y y 0

Câu 13 Cho hàm số  

y f x

x

 

Xét hai mệnh đề :

   

2 :

I y f x

x

  

   

6 :

II y f x

x

   Mệnh đề đúng?

A Chỉ  I B Chỉ  II C. Cả hai D. Cả hai sai

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:

y x

 

;

2

y x

 

;

6

y x

  Câu 14 Nếu  

2sin cos

x

f x

x

 

f x 

A

1

cos x B

1 cos x 

C cot x D tan x

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Vì:  

1 tan

cos

x

x



 

  

 

 

4 2cos sin

cos

x x

x

  

 2sin3

cos

x x

 Câu 15 Cho hàm số  

2 2

1

x x

y f x

x

  

 

 Xét hai mệnh đề :  I :yf x 

2

1 0,

(x 1) x

    

 .  II :yf x

4

0,

(x 1) x

   

 .

Mệnh đề đúng?

A Chỉ  I B Chỉ  II C. Cả hai D. Cả hai sai

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: yf x 

2

x x

x

  

 

2

x x

 

  

2

1 y

x 

  



;  

3

1 y

x  

 Câu 16 Cho hàm số    

3 f x  x

Giá trị f  0

A 3 B 6 C 12. D 24.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì:    

3

f x  x

; f x 6x1  f  0  Câu 17 Cho hàm số f x sin3x x Giá trị

f     bằng

A 0 B 1. C 2. D 5

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì: f x 3sin cos2x x2x ; f x 6sin cosx 2x 3sin3x2

1 f 

  

  .

Câu 18 Cho hàm số      

5

f x  x  x

Tập nghiệm phương trình f x  là0

A 1;2 B  ;0 C  1 D 

Vì:    

15

f x  x 

; f x 30x1  f x  0 x Câu 19 Cho hàm số

1

y x



 Khi :

A  

3

8

y 

B  

1

8

y 

C  

3

8

y 

D  

1

4

y 

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì:  

2

3 y

x  



;  

3

3 y

x  



;  

4

3 y

x  

  

3

8

y

 

Câu 20 Cho hàm số  

5 y ax b

với a, b tham số Khi :

A   

10 1 0

y 

B   

10 1 10

y  a b

C   

10 1 5

y  a

D   

10 1 10

y  a

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì:  

4

y  a ax b

;  

3

20

y  a ax b

;  

2

60

y  a ax b ;

 

 

4 120

y  a ax b

; y 5 120a5 ;

 6 0

y   y 10 0 Do y 10  1  Câu 21 Cho hàm số ysin 22 x Tính

 4 y  

  bằng:

A 64 B 64. C 64 D 64 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì: y 2sin2 2cos2x x 2sin4x; y 8cos4x ; y 32sin4x;

 4 128cos4

y  x

 4

64

y  

  

  .

Câu 22 Cho hàm số ysin 2x Tính y''

A y'' sin 2x B y''4sinx

C y'' sin 2 x D y''4sin 2x

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có y' 2cos 2 x y''4sin 2x

Câu 23 Cho hàm số ysin 2x Tính y'''( )3 

,

(4)( )

y 

A 4 16 B 5 17 C 6 18 D 7 19

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có y'''8cos , x y(4) 16sin 2x Suy

(4)

'''( ) 8cos 4; ( ) 16sin 16

3

y     y    

Câu 24 Cho hàm số ysin 2x Tính y( )n

A

( ) 2 sin(2 )

n n

y  x n 

B

( ) 2 sin(2 )

n n

C

( ) 2 sin( )

n n

y  x

D

( ) 2 sin(2 )

n n

y  x n 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

2

' 2sin(2 ), '' sin(2 )

2

y  x y  x 

,

3

''' sin(2 )

y  x 

Bằng quy nạp ta chứng minh

( ) 2 sin(2 )

n n

y  x n 

Với

1

1 ' sin(2 )

n  y  x

Giả sử

( ) 2 sin(2 )

k k

y  x k 

,

suy  

( 1) ( ) ' 2 1cos(2 ) 2 1sin 2 ( 1)

2

k k k k

y  y  x k   x k  

       

 

Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n hàm số

2

x y

x

 



A

1 ( )

1 (1) ! ( 2)

n n

n

n y

x



 

 B

1 ( )

1 ( 1) ! ( 2)

n n

n

n y

x



  



C

1 ( )

1 ( 1) !

( 2)

n n

n

n y

x



 



 D

1 ( )

1 ( 1) !

( 2)

n n

n

n y

x



 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

'

2

3 ( 2)

3 3.2

' , ''

( 2) ( 2) ( 2)

x

y y

x x x

   

 

  

  

4 3.2.3 '''

( 2) y

x 

 Ta chứng minh

1 ( )

1 ( 1) !

( 2)

n n

n

n y

x



 

 

 Với

0

2

( 1) 3

1 '

( 2) ( 2)

n y

x x



   

  đúng

 Giả sử

1 ( )

1 ( 1) !

( 2)

k k

k

k y

x



 

 

 

1

( 1) ( )

2 2

( 1) ! ( 2) ' ( 1) 3.( 1)! '

( 2) ( 2)

k k k

k k

k k

k x k

y y

x x

 



 

 

     

   

 

Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Câu 26 Tính đạo hàm cấp n hàm số

1

,

y a

ax b

 



A ( )

1 (2) !

( )

n n n

n

a n y

ax b 



 B

( )

1 ( 1) !

( 1)

n n n

n

a n y

x 

 



C ( )

1 ( 1) !

( )

n n

n

n y

ax b 

 

 D

( )

1 ( 1) !

( )

n n n

n

a n y

ax b 

 



Hướng dẫn giải:

Ta có

2

2

.2 2.3

' , '' , '''

( ) ( ) ( )

a a a

y y y

ax b ax b ax b

 

  

  

Ta chứng minh: ( )

1 ( 1) !

( )

n n n

n

a n y

ax b 

 



 Với

1

2

( 1) 1!

1 '

( ) ( )

a a

n y

ax b ax b



   

  đúng

 Giả sử ( )

1 ( 1) !

( )

k k k

k

a k y

ax b 

 



 

1 1 1

( 1) ( )

2 2

( 1) ! ( ) ' ( 1) .( 1)! '

( ) ( 2)

k k k k k

k k

k k

a k ax b a k

y y

ax b x

  



 

 

     

   

 

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Câu 27 Tính đạo hàm cấp n hàm số

2

5

x y

x x

 

 

A ( )

1

(2) ! (1) !

( 2) ( 3)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

  B

1

( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 2) ( 3)

n n

n

n n

n n

y

x x

 

 

 

 

 

C

( ) ( 1) ! ( 1) !

( 2) ( 3)

n n

n

n n

n n

y

x x

 

 

  D

( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 2) ( 3)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: 2x 1 7(x 2) 5( x 3); x2 5x 6 (x 2)(x 3)

Suy

7

3

y

x x

 

  .

Mà

( ) ( )

1 1

1 ( 1) ! ( 1) ! ( 1) !

,

2 ( 2) ( 2) ( 3)

n n n n n n

n n n

n n n

x x  x  x x 

  

   

  

   

    

   

Nên ( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 2) ( 3)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  .

Câu 28 Tính đạo hàm cấp n hàm số ycos 2x

A  

( ) 1 cos 2

n n

y    x n 

  B

( ) 2 cos 2

n n

y   x 

 

C

( ) 2 1cos 2

n n

y   x n

   

  D

( ) 2 cos 2

n n

y   x n  

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

2

' 2cos , '' cos 2 ,

2

y   x  y   x 

   

3

''' cos y   x  

 

Bằng quy nạp ta chứng minh

( ) 2 cos 2

n n

y   x n  

 .

Câu 29 Tính đạo hàm cấp n hàm số y 2x1

A

1 ( )

2 ( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





 



 B

1 ( )

2 ( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





 



C

1 ( )

2 ( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





 



 D

1 ( )

2 ( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





 





Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

1

' , '' , '''

2 (2 1) (2 1)

y y y

x x x

  

  

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

1 ( )

2 ( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





 





Câu 30 Tính đạo hàm cấp n hàm số

2

3

x y

x x

 

 

A ( )

1

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2) ( 1)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  B

( )

1

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2) ( 1)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

 

C ( )

1

5.( 1) ! 3.( 1) ! :

( 2) ( 1)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 



  D

( )

1

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2) ( 1)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:

5

2

y

x x

 

 

Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( )

1

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2) ( 1)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  .

Câu 31 Tính đạo hàm cấp n hàm số

x y

x x



  A

( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 3) ( 2)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  B

( ) ( 1) ! ( 1) !

( 3) ( 2)

n n

n

n n

n n

y

x x

 

 

 

C ( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 3) ( 2)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  D

( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 3) ( 2)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:x3(x2) 2( x3); x25x 6 (x2)(x3)

Suy

3

3

y

x x

 

 

Mà

( ) ( )

1 1

1 ( 1) ! ( 1) ! ( 1) !

,

2 ( 2) ( 2) ( )

n n n n n n

n n n

n n n

x x  x  x x 

  

   

  

   

    

   

Nên ta có: ( )

1

( 1) ! ( 1) !

( 3) ( 2)

n n

n

n n

n n

y

x  x 

 

 

  .

Câu 32 Tính đạo hàm cấp n hàm số ycos 2x

A

( ) 2 1cos 2

n n

y   x n

   

  B

( ) 2 1cos 2

n n

y   x n 

   

 

C

( ) 2 cos 2

n n

y   x 

  D

( ) 2 cos 2

n n

y   x n  

 

Chọn D.

Ta có :

2

' cos , '' cos 2 ,

2

y   x  y   x 

   

3

''' cos y   x 

 

Bằng quy nạp ta chứng minh

( ) 2 cos 2

n n

y   x n  

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Ý nghĩa vật lí :

Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s s t   thời điểm t0

là v t 0 s t' 0 .

Cường độ tức thời điện lượng Q Q t  tại thời điểm t0 : I t 0 Q t' 0 .

Câu Một chuyển động thẳng xác định phương trình s t 3 3t25t2, t tính bằng

giây stính mét Gia tốc chuyển động t  là:3

A 24 /m s2 B 17 /m s2 C 14 /m s2 D 12 /m s2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t

 

 

3 3 5 2 32 6 5

6 12

s t t t t t

s t s



       

    

Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s t 3 3t2 9t2 (t tính giây; s tính

bằng mét) Khẳng định sau ?

A Vận tốc chuyển động t  0 t  2 B Vận tốc chuyển động thời điểm t  2 v18m s/ C Gia tốc chuyển động thời điểm t  3 a12m s/ D Gia tốc chuyển động t  0

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t

 

 

3 3 5 2 3 6 5

6 12

s t t t t t

s t s



       

    

Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s t 3 3t2 (t tính giây; stính bằng

mét) Khẳng định sau đúng?

A Gia tốc chuyển động t4s a18m / s2. B Gia tốc chuyển động t4s a9m / s2. C Vận tốc chuyển động t3s v12m / s. D Vận tốc chuyển động t3s v24m / s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

2

3 6

s t  t s t

 4 18