Câu 50: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó.. Biế[r]
(1)Trang 1/69 50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VD - VDC
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
ĐỀ BÀI
DẠNG TỐN 1: HÌNH CHĨP CĨ CẠNH BÊN HOẶC MỘT MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng
đáy Góc mặt bên (SBC) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M N, trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MDvà CN
A 3
4a B
21 a
C 2a D 2 21
21 a
Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC60o, BC 2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD
Hình chiếu S mặt phẳng ABC điểm H thuộc đoạn BC cho BC4BH Tính góc hai đường thẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc o
60
A 60o B 45o C 90o D 30o
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a, cạnh bên SA10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng AMC SBC
A
2 B
2
3 C
5
5 D
2 5
Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm I AB Gọi H K, trung điểm
DC SB, biết a
SH Tính khoảng cách HK SC A
8 B
15
2 C
15
8 D
5 10 Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với
đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a Gọi M N, hình chiếu A lên SB SD, P giao điểm SC với mặt phẳng AMN Tính thể tích khối chóp S AMPN A
3 1869
140 a
B
3 5589
1820 a
C
3 181
120 a
D
3 1863
1820 a
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2,SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA2 Gọi M, N hai điểm thay đổi hai cạnh AB, AD cho mặt phẳng SMC vng góc với mặt phẳng SNC Thể tích khối chóp
S AMCN đạt giá trị nhỏ A 4
3
B 8
3
C 2 2 D 4
3
(2)Trang 2/69 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa, AD2a; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Gọi M , N trung điểm
SB, CD Tính cosin góc MN SAC A
5 B
55
10 C
3
10 D
1
Câu 8: Cho hình chóp S ABC có ABC vuông B, AB1,BC 3, SAC đều, mặt phẳng SACvng với đáy Gọi góc hai mặt phẳng SAB SBC Giá trị cos
bằng A 2 65
65 B
65
20 C
65
10 D
65 65
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh 2, gọi điểmM tâm mặt bên ABB A , điểm N P Q K, , , trung điểm cạnh AC DD D C B C, , , Tính cosine góc hai mặt phẳng MNP AQK
A
2 B
1
2 C
102
34 D
3
Câu 10: Cho hình chóp S A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a S A vng góc với mặt
phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho
a BH ,
(0 )
KD x xa Tìm giá trị x để hai mặt phẳng SAHvà SAK tạo với góc 45
A a
x B
5 a
x C
7 a
x D
5 a x Câu 11: Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có 5; tan
3
OAOB AOB Điểm C di động tia Oz vng góc OAB, gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng:
A
4 B
3
2 C
5
2 D
Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BCD120
SA ABCD Thể tích khối chóp S ABCD
3 a
Gọi M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a
A 57
19 a
h B 57
38 a
h C
5 a
h D
19 a h
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC điểm A Các điểm M N, thay đổi đường thẳng cho MBC NBC Biết
,
ABb AC c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c bằng A
2
2
3b c b c
B
2
2
b c b c
C
2
3 bc b c
D
2
2
3 b c b c
(3)Trang 3/69 DẠNG TỐN 2: HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP DẠNG KHÁC.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết
2 a
MN , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD
A
5 B
3
3 C
5
5 D
Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A 2 57
19 a
B 57
19 a
C 2 13
19 a
D
19 a
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E M, trung điểm cạnh BC SA, , góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính
sin A sin
3
B sin
C sin
D sin 2
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB
A
2
2
4
ah h a
B
2
4
4
ah h a
C
2
4
ah h a
D
2
2
2
ah h a
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA, M trung điểm củaAE, N trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC
A a
B
2 a
C
4 a
D
8 a
Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A B C có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M, N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ABC CMN
A
5 B
3
4 C
2
5 D
4 13
Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân Avà ABa, BAC120 SASBSC Gọi góc hai mặt phẳng SAB SBCsao cho cos
7
Khi thể tích khối chóp SABClà
A
3 12
a
B 2a3 C
3
3 a
D
3
2 a
(4)
Trang 4/69 A 1
2 B
1
3 C
1
2 D
1
Câu 22: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M N, điểm thuộc SB SD, cho SB3SM SD, 3DN Khoảng cách AM CN A 40
857 B
72
857 C
24
153 D
40 257
Câu 23: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2a, ABa Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách d từ M tới mặt phẳng SAB
A 165
30 a
d B 15
3 a
d C 65
15 a
d D 65
10 a d
Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp
S ABCD
3 a
A
10 B
3 310
20 C
310
20 D
3 10
Câu 25: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A, AB3a, AC4a Các mặt bên SAB, SAC, SBC tạo với đáy ABC góc 450 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ABC nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt phẳng SAC vàSBC Tính cos
A cos 10
B cos
C cos
D cos 15
Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H thuộc cạnh AB cho HA2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC 60o Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A 42
8 a
B 42
12 a
C 42
4 a
D 42
24 a
DẠNG TOÁN 3: HÌNH LĂNG TRỤ TAM GIÁC
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABACa, góc ABC30, góc đường thẳng A B mặt phẳng ABC 450 Gọi M , N trung điểm B C CC Cosin góc mặt phẳngAMN mặt phẳng ABC
A 1
2 B
3
2 C
13
4 D
3
(5)Trang 5/69 A 11
22 a
B 3 11
7 a
C 11
12 a
D 3 11
22 a
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giácABCvng cân A, cạnh BC a Góc mặt phẳng AB C' mặt phẳng BCC B' ' 60 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ' ' '?
A 3 a
V B
3
a
V C
3
3
a
V D
3 3 a V
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân, vớiAB ACa góc
120
BAC , cạnh bên AA a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ABC AB M
A 11
11 B
33
11 C
10
10 D
30 10
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông A, ABACa có cạnh bên 2a Gọi M N, trung điểm BB CC', ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN)
A a B 2
3 a
C 3
2 a
D a 3
Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân C, AB2a, AA a, góc BCvà ABB A 60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng BC N
A 2 74 37 a
B 74
37 a
C 2 37
37 a
D 37
37 a
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABACa, góc BAC 120, AA a Gọi M, N trung điểm B C CC Khoảng cách đường thẳng MN AH A
2 a
B
4 a
C
2 a
D
4 a
Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy tam giác cạnh a AA1 2 a vng góc với mặt phẳng ABC Gọi D trung điểm BB1, M di động cạnh AA1 Giá trị lớn diện tích MC D1
A
15 a
B
2 15 a
C
2 a
D
2 10 a
Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a, Mlà điểm di chuyển đường thẳng A C' '; Tính khoảng cách lớn AM BC'
A 34 a
B 17
4 a
C 14
4 a
D 21
6 a
Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng, , cạnh bên Gọi M trung điểm BC. Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM B C
ABC A B C
ABBCa
'
(6)Trang 6/69
A B C D
7 a
Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy ABClà tam giác vng A AB1,AC2.Gọi góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng (A BC )có số đo lớn Biết sin p
q
( với ,
p q nguyên tố ) Giá trị tổng p q
A 11 B 7 C 5 D 9
Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh đáy a Góc A BC ABCbằng 60 Gọi M N, trung điểm BC CC. Tính khoảng cách A M
AN A 6 97
97 a
B 3 97
97 a
C 6 65 65 a
D 3 65
65 a
.
DẠNG TỐN 4: HÌNH HỘP
Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a.M điển thỏa mãn
2
CM AA Cơsin góc hai mặt phẳng A MB ABC A 30
10 B
30
8 C
30
16 D
1
Câu 40: Cho hình hộp ABCD A B C D tích V Gọi M, N , P trung điểm cạnh AB, A C , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP
A
48V B
1
8V C
7
48V D
1 6V Câu 41: Cho hình hộp ABCD A B C D , có đáy hình thoi cạnh 2a, tâm O,
60
BAD AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O Gọi M trung điểm
CD Khoảng cách hai đường thẳng A M B D A 21
7 B
2 21
7 C
3 21
7 D
4 21
Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D , có AB a AD, a ,góc A C mặt phẳng ABCD 30 Gọi H hình chiếu vng góc Atrên A B K hình chiếu vng góc A A D Tính góc hai mặt phẳngAHK ABB A
A 60 B 45 C 90 D 30
Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc
A lên ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1
A a
B
2 a
C 21
4 a
D
2 a
Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi K trung điểm DD' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D'
3
a 21
7 a
(7)Trang 7/69 A
3 a
B
4 a
C
5 a
D
2 a
Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB3a, AD AAa Lấy điểm M thuộc đoạn AB, điểm N thuộc đoạn A C cho AM A N x, 0 x 10a Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ
A 0 B 30
3 a
C 10
2 a
D 10
3 a
Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB , a AD2 , a AA'3 a Gọi M N P, , trung điểm BC C D DD, ' ' ' Tính khoảng cách từ A đến mpMNP
A 15
22a B
9
11a C
3
4a D
15 11a
Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vuông cân, AA 2a, ABACa Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A B C , I tâm hình chữ nhật ABB A Thể tích khối A IGCG
A a
B
3 a
C
3 a
D
3 30 a
Câu 48: Cho hình hộp ABCDA B C D' ' ' ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng (ABB A' ') vng góc với đáy, tam giác A AB' vng A', góc BA' đáy
60 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA' DB'
A 55
a
B
55 a
C
55 a
D
2 a
Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bên SA2avà vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Mlà trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng
(AMC)và (SBC) A
2 B
2
5 C
2
3 D
5
Câu 50: Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là?
A 7 B 12 C 14 D 16
(8)Trang 8/69
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A
11.A 12.A 13.D 14.B 15.A 16.A 17.A 18.A 19.C 20.A
21.B 22.A 23.A 24.C 25.A 26.A 27.D 28.D 29.D 30.D
31.B 32.A 33.D 34.A 35.C 36.D 37.D 38.B 39.A 40.A
41.B 42.B 43.B 44.A 45.C 46.D 47.B 48.C 49.B 50.C
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên (SBC) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M N, trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MDvà CN
A 3
4a B
21 a
C 2a D 2 21
21 a
Lời giải
Chọn D
Gọi hai mặt phẳng SBC ABCD
Ta cóBCSBC ABCD BC AB BC SAB
BC SA
Suy ABS45
Do SAB vuông cân Anên SAa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho A O (0;0;0),D a ;0;0 B0; ;0 ;a S 0;0;a Khi ; ; , 0; ; , 0; ;
2 2
a a a
C a a N M
Suy
2 2 ; ;0
2
; ; ;
4
; ; 2
;
0; ;
a
MD a
a a
MD NC a
a a
NC a
a CD MD NC
CD a
O
z
y
x
45° N
M
C
A B
D
(9)Trang 9/69
3
2
, 2 2 21
,
21 21
,
4 a
CD MD NC a
d MD NC
a MD NC
Cách khác:
Dựng hình bình hành DMEC
Ta có MD//CNE nên d MD CN , d MD CNE , d M CNE , Gọi I hình chiếu M lên CE H hình chiếu M lên NI Suy MH CNE hay d MD CN , d M CNE , MH
Gọi hai mặt phẳng SBC ABCD
Ta cóBCSBC ABCD BC AB BC SAB
BC SA
Suy ABS45
Do SAB vuông cân Anên SAa
Ta có sin
5
MI BC BC ME a
MEC MI
ME CE CE
2
21
21
MI MN a
MH
MI MN
Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC60o, BC2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD
Hình chiếu S mặt phẳng ABC điểm H thuộc đoạn BC cho BC 4BH Tính góc hai đườngthẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc 60o
A o
60 B o
45 C o
90 D o
30 Lời giải
Chọn C
O
y
x z
B
H S
A
C
(10)Trang 10/69
Ta có 2 o
2 .cos 60 AH BH BA BH BA
2
2
2
4 2
a a a
a a
2 a AH
o tan 60 SH
AH
SH AH 3
a
.sin 60
ACBC a a , 3
4
a HC BC
Ta có
2
2 2
3
4
a a
AH HC a AC nên tam giác AHC vuông H, tức AH HC
Chọn a1 chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho OH0;0;0, 3; 0; C
,
3 0; ;
2 A
, 0; 0;3 S
Suy 1; 0; B
1
; 0;
2
SB
3 9
; 0;
4
SD
3 3
; 0;
4
D
Ta có 3; 3; 4 DA
3; 2; 3 u
véctơ phương AD
3
; 0;
2
SC
1;0; 1 v
véctơ phương SC Ta có u v 0 ADSC
Vậy góc hai đườngthẳng AD SC o 90
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a, cạnh bên SA10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng AMC SBC
A
2 B
2
3 C
5
5 D
2 5 Lời giải
Chọn D
Chuẩn hóa với a1
(11)Trang 11/69 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
0; 0; ; 0;5; ; 5; 0; ; 5;5; ; 0; 0;10 ; 0; ;55
A D B C S M
0;5;0 , 5; 0;10
BC BS
, 50;0; 25
BC BS
véctơ pháp tuyến SBC n1 2;0;1 5;5; , 0; ;55
2
AC AM
25
, 25; 25;
2
AC AM
véctơ pháp tuyến AMC n2 2; 2;1 Gọi góc hai mặt phẳng AMC SBC
2
2 2 2
1
2.2 1.1
cos
2 0 1 2 2 1
n n n n
Suy ra: tan 12 1 2
cos 5
3
Cách khác:
x
y
z
(0;5 2;5)
(0;0;10)
(5;5;0) (0;5;0)
(5;0;0) A≡O
M
C D
(12)Trang 12/69 Dựng hình bình hành SADS' Khi (SBC)(AMC)S C
Dựng AH SB H HK BC// (KS C ) Gọi góc hai mặt phẳng AMC SBC Khi ta có (AHK)S C HKA
Ta có
2
2 AB AS
AH a
SA AB
Do tan
5 AH HK
Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm I AB Gọi H K, trung điểm
DC SB, biết a
SH Tính khoảng cách HK SC A
8 B
15
2 C
15
8 D
5 10
Lời giải
Chọn D
H
M
S'
D
B C
A S
(13)Trang 13/69 Đặt ABx
Ta có 2
SH SI IH
2
2
7
2
a x
x
x AB a
Chuẩn hóa a1 Chọn hệ toạ độ Oxyz cho
0;0;0
OI , 1; 0; B
, 1;1; C
, 0; 0; S
(0;1; 0)
H
, 1; 0;
4
K
1
; 1;
4
HK
, 1;1;
2
SC
, 0; 1;
2 HS
3 3
, ; ;
4 4
HK SC
, , 3.0 3. 1 3
4 4
HK SC HS
, ,
10 ,
HK SC HS d HK SC
HK SC
Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a Gọi M N, hình chiếu A lên SB SD,
P giao điểm SC với mặt phẳng AMN Tính thể tích khối chóp S AMPN A
3 1869
140 a
B
3 5589
1820 a
C
3 181
120 a
D
3 1863
1820 a
Lời giải K
H I
A D
B C
S z
x
(14)Trang 14/69 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Ta có tọa độ điểm A0;0;0 , B a ;0;0 , D0;2 ;0 ,a C a a ;2 ;0 , S 0;0;3a Suy SBa;0; 3 a SD,0;2 ; 3a a SC, a a;2 ; 3 a
Phương trình : x a t SB y z t
;0; ;0;
M a t t AM a t t
Mà
10 a
AM SB AM SB at t t ;0;3
10 10
a a
M
Tương tự ta tìm 0;18 ;12
13 13
a a
N
Suy
2
27
, 1;2;
65 a
n AM AN
Do ta có phương trình AMN:x2y3z 0 Phương trình :
3
x t SC y t
z a t
nên tọa độ điểm P nghiệm hệ
2 9 15 9 15
, , ; ;
3 14 14 14 14
2
x t
y t a a a a a a
x y z P
z a t
x y z
Ta có:
2 27
, 1;2;
70 a AM AP , 27
, 1;2;
91 a AN AP Suy
1 621 14
, ,
2 1820
AMPN
a S AM AP AN AP
, 14
a
d S AMN
Vậy
2
1 621 14 1863
3 14 1820 1820
S AMPN
a a a
V
Cách khác: (Công thức tính nhanh – trắc nghiệm) SA a SA ; 2 10 SB SB b SM SA
(15)Trang 15/69
Ta có 14
9 a c b d c
3
1863 1863 1863 1863
4 3640 3640 3640 1820
S AMPN
S AMPN S ABCD ABCD
S ABCD
V a b c d
V V SA S a
V a b c d
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2,SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA2 Gọi M, N hai điểm thay đổi hai cạnh AB, AD cho mặt phẳng SMC vng góc với mặt phẳng SNC Thể tích khối chóp
S AMCN đạt giá trị nhỏ A 4
3
B 8
3
C 2 2 D 4
3
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ cho A0;0;0, B2;0;0, D0; 2;0, S0;0; 2 , suy C2;2;0
Đặt AM m, ANn, m n, 0; 2, suy M m ;0;0, N0; ;0n ; 0; 2
SM m
, SC2; 2; 2 , SN0; ; 2n SMC , 4; 4;
n SM SC m m
, nSNC SN SC, 4 ; 4; 2 n n
DoSMC SNC nên n SMC.nSNC 04 2 n4 2 m44mn0
2
mn m n
Mặt khác
2
2
2 m n
mn m n m n
nên ta có
2
2
4 m n
m n
4
4
m n m n
Do m n, 0nên m n 4 4
4 2 4
AMCN ABCD BMC DNC
S S S S m n m n
8
1
3 3
S AMCD AMCN
(16)Trang 16/69 Vậy thể tích nhỏ khối chóp S AMCN 8
3
Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa, AD2a; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Gọi M , N trung điểm
SB, CD Tính cosin góc MN SAC A
5 B
55
10 C
3
10 D
1 Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với OA
Tọa độ đỉnh hình chóp : A0;0;0, B a ;0;0, C a a ; ;0, D0; ;0a , S0;0;a ; 0;
2
a a
M
,
3 ; ; 2
a a
N Ta có: 1SA 0;0;1 u
a
; 1SC 1;1; 1 v
a
Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng SAC nu v , 1;1;0 Lại có: 2MN 0;3; 1 w
a
Gọi góc MN SAC ta có: sin
n w n w
cos 55
10
Câu 8: Cho hình chóp S ABC có ABC vng B, AB1,BC 3, SAC đều, mặt phẳng SACvng với đáy Gọi góc hai mặt phẳng SAB SBC Giá trị cos
A 2 65
65 B
65
20 C
65
10 D
65 65 Lời giải
Chọn D
a
2a
a a
z
y
x
N M
D A
B
(17)Trang 17/69 Gọi H M N, , trung điểm AC AB BC, ,
SAC ABCSH ABCSH HM SH, HN ABC
vuông B HM HN ABC
vuông B AC2SH
1
2
HM BC ; 1
2
HN AB
Chọn hệ trục tọa độ sau: H0;0;0; S0; 0; 3; 0; 3; M
; 1; 0; N
,
; ; 2 B
1 ; 0;
1
; ;
2
BM
BS
3 0; ;
2
1
; ;
2
BN
BS
1
3
, 0; ;
2
n BM BS
; 2 , 3; 0;
2
n BN BS
2
cos cos n n;
163 65
65
3
4 16 16
Chú ý: Ta chứng minh công thức tổng quát sau:
Cho hình chóp S HMBN có đáy HMBN hình chữ nhật có HM m HN, n
( )
SH HMBN SH h Gọi góc hai mặt phẳng MSB NSB
2 2
cos mn
m h n h
(18)Trang 18/69 Ta có: BN (SHN) nên dựng HESN N HE(SNB)
Dựng hình bình hành HEKM MK (SNB) Hình chiếu MSB SNBlà KSB
Ta có: 2
2
MSB
S MB MS n m h
2
2
cos KSB KSB
MSB
S S
S n m h
Gọi F EKSB ta có:
KSB ESB
ESB NSB
S S FK SE KE EF SE KE SE
S S FE SN FE SN EF SN
=
2
2 2
1
SN SE h n
SE SN n h n h
(vì
2
2 2
SE SE SN SH h
SN SN SN n h )
2 2 2
2 2 2 2
2 2
KSB NSB
n n m n h mn
S S
n h n h n h
Vậy
2 2
cos KSB MSB
S mn
S m h n h
Áp dụng vào toán với 3, 3,
2
h m n ta cos 65
65
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh 2, gọi điểmM tâm mặt bên ABB A , điểm N P Q K, , , trung điểm cạnh AC DD D C B C, , , Tính cosine góc hai mặt phẳng MNP AQK
A
2 B
1
2 C
102
34 D
3 Lời giải
Chọn C
m n
h
K F
N
M
B H
S
(19)Trang 19/69 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc A O cạnh A B nằm Ox, cạnh A D nằm Oy cạnh A A nằm Oz Từ kiện đề cho ta tìm tọa độ điểm
1; 0;1 , 1;1; , 0; 2;1 , 2;1; , 1; 2; , 0; 0; 2
M N P K Q A
Ta có MN 0;1;1 , NP 1;1; , AK 2;1; , AQ1; 2; 2
Gọi u u 1, 2 vector pháp tuyến mặt phẳng MNP AQK Như ta tính u1 2; 1;1 , u22; 2;3
Ta gọi góc hai mặt phẳng MNP AQK
Như cos tính theo cơng thức
2 2 2
1
2.2 1.2 1.3 102
cos
34
2 1 2
u u u u
Câu 10: Cho hình chóp S A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a S A vng góc với mặt
phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho
a BH ,
(0 )
KD x xa Tìm giá trị x để hai mặt phẳng SAHvà SAK tạo với góc 45
A a
x B
5 a
x C
7 a
x D
5 a x
Lời giải
Chọn A
M
N
K
Q P C
B
D A
A' D'
(20)Trang 20/69 Ta chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ
Khi A0;0;0 ; B a;0;0 ; D0; ;0 ;a SOz
Qua ta có tọa độ điểm ; ; ; ;3 ; ; ; ;0
a
C a a H a K x a
Ta có: ;3 ; ; ; ; 0
a
AH a AK x a
Ta có
0; 0;1 ; ;
4 k
a AH a
, ; ;
4 a
k AH a
Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng SAH 3;1; n
Ta có
0; 0;1 ; ; k
AK x a
k AK, a x; ; 0
Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng SAK n a x; ;0 Gọi góc hai mặt phẳng SAHvà SAK,
2
2
2
2 2
3
4 3 25
cos cos 45
4 16
3
1
a x
n n a
x a x
n n
a x
2
7 48 0
7 a
x ax a x do x
Vậy a x
Cách khác:
(21)Trang 21/69 Ta có
2
2
4
a a
AH a
;
2
AK a x
2
2
a
HK ax
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AHK ta có:
2 2
2 cos 45 HK AH AK AH AK
2
2 25 2 2
( )
16 16
a a a
a x a x a x
2
2
2
a
x a x
a2x2 6a8x
50(x2a2)64x296ax36a2
2
14x 96ax14a 0 48
a
x ax a x do x
Vậy a x
Câu 11: Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có 5; tan
OAOB AOB Điểm C di động tia Oz vng góc OAB, gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng:
A
4 B
3
2 C
5
2 D
Lời giải Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O, tia Oxtrùng tia OA, tia Oy nằm mặt phẳng OAB cho tia OBnằm hai tia Ox Oy, hình vẽ Khi A5;0;0và B3;4;0
x
z
H
E
y
A
O
B C
(22)Trang 22/69 Giả sử C0;0;c Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi E4; 2;0 trung điểm AB Ta có mặt phẳng OCE vng góc với AB mặt phẳng cố định
Gọi K trực tâm tam giácOAB, A, Bvà K nằm mặt phẳng Oxy Giả sửK x y ; ;0, ta có
OK AB BK OA
2
x y
x
3 x
y
Tìm 3; ; 03 K
Do
AB OEC HK AB
HK CA CA BHK
90
KH CAB KH HE KHE Do H thuộc mặt cầu đường kính 1
4
KE thuộc mặt phẳng OCE cố định Vậy H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính
4 R
Cách khác:
Gọi E trung điểm AB Ta có AB(OCE) nên ABCE H thuộc CE nên H ln nằm mặt phẳng (OCE) cố định
Gọi K trực tâm OAB, ta có:
( )
AK OB
AK OBC AK BC
AK OC
mà AH BC
nên BC(AHK) HKBC mà HK AB HK (ABC)
KHE900 H thuộc đường trịn đường kính KE nằm (OCE) cố định
Ta có:
2
1
cos
16 25
1 tan 1
9 AOB
AOB
cos
5
AOB OM 3,AM 4
MN 1,ON 4,NE2 (N trung điểm MB)
N
K
E O
A
B C
(23)Trang 23/69 OE ON2NE2 2
Lại có
4
KE NM OE
KE
OE ON
Vậy bán kính đường trịn đường kính KE
2
KE
R
Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BCD120
SA ABCD Thể tích khối chóp S ABCD
3 a
Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a
A 57
19 a
h B 57
38 a
h C
5 a
h D
19 a h
Lời giải Chọn A
Cách 1: Phương pháp dựng hình
Tam giác SOD vuông O nên M trung điểm SD
Ta có , ,
2
DM
d M SBC d D SBC
DS ; AD BC//
, ,
2 //
AD SBC d D SBC d A SBC
Vậy , ,
2
d M SBC d A SBC
Gọi H trung điểm BC, tam giác ABC nên AH BC, lại có
SA ABCD SABC nên BCSAHSBC SAH Dựng AK SH AK SBCd A SBC , AK
Diện tích hình thoi ABCD là:
2
0
.sin 60
2
ABCD
a
S AB BC
Từ suy
2
S ABCD
ABCD
V
SA a
S
Tính
2 a AH
Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên: K
M
H
D S
A
B C O x
y z
M
D S
A
B
(24)Trang 24/69
2 2 2
1 1 19 228
3 12 19
a AK
AK AH SA a a a
Vậy , 57
2 19
a d M SBC AK
Cách 2: Phương pháp tọa độ
Khơng tính tổng quát, ta giả sử a1
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz SA// Khi ta có 0; 0; , 1; 0; , 0; 3; , 1; 0;
2 2
O A B C
3 1
0; ; ; 0; , ; ;1
2 4
D S M
1
; ; , 1; 0; 2
SB SC
Ta có , ; 1;
2
SBC
n SB SC
Phương trình mặt phẳng SBC là: 3
2
xy z
Suy
3
57
,
19 3
4
d M SBC
Vậy , 57
19 a
d M SBC
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC điểm A Các điểm M N, thay đổi đường thẳng cho MBC NBC Biết
,
ABb AC c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c bằng A
2
2
3b c b c
B
2
2
b c b c
C
2
3 bc b c
D
2
2
3 b c b c
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho OA, tia Ox Oy Oz, , trùng với tia , ,
AB AC AM
(25)Trang 25/69 Khi A0;0;0 , B b ;0;0 , C0; ;0 , c M0; 0; m Giả sử N0; 0; n Ta có:
MBC: x y z
b c m có véctơ pháp tuyến
1 1 ; ; b c m
NBC : x y z
bc n có véctơ pháp tuyến
1 1 ; ; b c n
Vậy MBC NBC 12 12
b c mn
2
2
b c
m n
b c
mn0
Mặt khác m0 nên n0 Vậy M N nằm hai phía A
Ta có BC b c; ;0 , BM b;0;m BN, b;0;n, BM BN , 0;b n m ;
Vậy VMNBC =
1
,
6 BC BM BN bc n m
1
6bc m n
Ta có
2
2
b c
m n
b c
không đổi
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có VMNBC =
2
2
1 1
.2
6
b c
bc m n bc m n
b c
Dấu đẳng thức xảy m n
2
bc b c
Vậy VMNBC nhỏ M N, nằm hai phía A
AB AC
AM AN
BC
Khi giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC
2
2
1
b c b c
(26)
Trang 26/69 Dựng AH BC, ta có BC (MHN) nên HMN vng H
Do
2 2
2
b c
AM AN AH
b c
Khi thể tích tứ diện MNBC
1
3
MNBC MABC NABC ABC ABC
V V V AM S AN S 1
3 AM AN SABC
6bc AM AN
2
2
1
.2
6 3
b c
bc AM AN
b c
Dấu “=” xảy
2
bc AM AN
b c
Vậy
2
2
min
3
MNBC
b c V
b c
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết
2 a
MN , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD
A
5 B
3
3 C
5
5 D
Lời giải Chọn B
H
N M
C
(27)Trang 27/69 Gọi I hình chiếu M lên ABCD, suy I trung điểm AO
Khi 3
4
a CI AC Áp dụng định lý cosin ta có:
2
2 2 10
2 cos 45
4 4
o a a a a a
NI CN CI CN CI
Do MIN vuông I nên
2
2 14
2
a a a
MI MN NI
Mà / / , 14
2
a MI SO MI SOSO Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ
Khi ta có tọa độ điểm: O0 ; 0; 0, ; 2; B
, ; 2; D
, 2; 0;
C
,
2
; ;
4
N
, 2; 0;
A
, ; ; 14 S
, 2; ; 14
4
M
Khi 2; 2; 14
2 4
MN
, ; 2; 14
2
SB
, ; 2; 14
2
SD
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBD: n SB SD, ; 0; 0
Suy
2
2 3
sin ,
3
MN n
MN SBD
MN n
(28)Trang 28/69 Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A 2 57
19 a
B 57
19 a
C 2 13
19 a
D
19 a
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Tọa độ đỉnh: (0; 0; 0), ; 0; , (0; ; 0), ( ; ; 0), ; 0; , 0; ;
2
a a
A B a D a C a a M N
Suy ; ;
2 a
DM a
phương trình : ; ; 0
0 x t
DM y a t H t a t
z
; ; , ; ;
2 a
CH t a t CN a
Vì ;3 ; ;3 ;
5 5 5
2
t a t a a a a a
H CN t a t t H S a
a a
Ta có:
2
2
4
; ; , ; 0; , 3; ;
5
a a a
SC a DC a DM SC a a
3
,
DM SC DC a
Vậy
3
, 3 2 57
,
19 19
,
2
DM SC DC a a
d SC DM
a DM SC
z
x
y H
N
M B
A D
(29)Trang 29/69 Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E M, trung điểm cạnh BC SA, , góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính
sin A sin
3
B sin
C sin
D sin 2 Lời giải
Chọn A
Gọi ACBD O Vì hình chóp tứ giác S ABCD hình chóp nên SOABCD Đặt OA1 Vậy AC2 đáy hình chóp S ABCD hình vng có cạnh Do giả thiết hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh nên SA Xét tam giác SAO vuông O có SO SA2AO2 2 12 1
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OxOC Oy, OB Oz, OS Khi ta có: C1;0;0 , A1;0;0 , B0;1;0 , S0;0;1
Do E M, trung điểm cạnh BC SA, nên 1; ; , 1; 0;1
2 2
E M
AC SBD nên mặt phẳng SBD nhận AC2;0;0 vectơ pháp tuyến Đường thẳng EM nhận 1; ;1
2 ME
(30)Trang 30/69 Vậy ta có:
2
2
1
1.2 0
2 2 6
sin
1 1
1
2
ME AC ME AC
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB
A
2
2
4
ah h a
B
2
4
4
ah h a
C
2
4
ah h a
D
2
2
2
ah h a
Lời giải
Chọn A
Gọi O giao điểm AC BD Ta có 2 a OAOBOC
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S
Khi đó: 2; 0; a
A
, 0; 2; a
B
, 2; 0;
a
C
,S0;0;h
Gọi M giao điểm SO AI Tam giác SAC có M giao điểm hai đường trung tuyến nên M trọng tâm, 0; 0;
3 h M
Mặt phẳng AIB qua A B, , M nên có phương trình:
2
3
2
x y z
h a a
2
1
x y z
a a h
(31)Trang 31/69 Do khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB là:
2
2 2
3
2
2 9
h
ah h
d
h a
a a h
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA, M trung điểm củaAE, N trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC
A a
B
2 a
C
4 a
D
8 a
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Đặt SOh gọi I trung điểm SA
Ta có tọa độ đỉnh là: 0; 2; a
A
, 2; 0; a
B
, 0; 2; a
C
, 2; 0; a
D
0;0;
S h
I , N trung điểm SA, BC 0; 2;
a h
I
, 2; 2;
4
a a
N
E đối xứng với D qua I 2; 2;
2
a a
E h
M trung điểm AE 2; 2;
4 2
a a h
M
Do 0;3 2;
4
a h
MN
, AC0;a 2; 0, 3; 2;
4
a a
AN
(32)Trang 32/69
, ; 0;
2 ah
MN AC
,
4 a h MN AC AN
Vậy
, 2
,
4 ,
MN AC AN a d MN AC
MN AC
Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A B C có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M, N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ABC CMN
A
5 B
3
4 C
2
5 D
4 13 Lời giải
Chọn C
Khơng tính tổng qt ta chọn a1
Gọi O trung điểm A B Gọi H tâm ABCA H ABC Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O0;0;0
Khi đó: 1; 0; A
, 1; 0; B
, 0; 3; C
Dễ thấy mpABC có vtpt n10; 0;1
Do: 0; 3; H
,
3
A H 0; 3;
6
A
Ta có AB A B 1; 3;
6
B
M trung điểm AA 1; 3; 12
M
, N trung điểm BB 3; 3; 12
N
z
y
x
H M N
O B'
A'
C'
C
(33)Trang 33/69 1;0;0
MN
, 1; 3;
4 12
CM
CMN có vtpt n2 0; 2;5
Đặt ABC , CMN
cos 2
5 5
1 33 33
n n n n
tan 12
cos
2
5
( góc nhọn)
Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân Avà ABa, BAC120 SASBSC Gọi góc hai mặt phẳng SAB SBCsao cho cos
7
Khi thể tích khối chóp SABClà
A
3 12
a
B 2a3 C
3
3 a
D
3
2 a
Lời giải
Chọn A
Vì SASBSC Hình chiếu S lên ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
D (với D đỉnh hình thoi ABDC) Đặt SDx x0
Gắn hệ tọa độ: D0; 0; , B a ; 0; , S 0; 0;x Vì 0; 3;
2
a a
DI I
Ta có ; 0; , ; 3;
2 2
a a DB a IA DBA
, ; 3;
2 a a C
3
; ; , ; 0; , ; ;
2 2
a a a a
SA x SB a x SC x
2
1
3
, ; ; 3; ;
2 2
ax xa a
SA SB n x x a
(34)Trang 34/69
2
2
, 0; ; 0; ;
2 a
SA SC ax n x a
vecto pháp tuyến SAC
2
1
2
1
2 3 5
os
4
n n x a
c x a
x a
n n
2
1 3
3 12
SABC ABC
V SD S a a a
Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC 2a, tam giác SAB tam giác SCB vuông A, C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 2a Cơsin góc hai mặt phẳng SAB SCB bằng:
A 1
2 B
1
3 C
1
2 D
1 Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ cho: B0;0;0, A a 2; 0; 0, C0;a 2; 0, S x y z ; ; ,z0
Ta có ABC:z0, AB a 2; 0; 0, CB0;a 2; 0, AS x a 2; ;y z,
; 2;
CS x ya z
Do AS AB 0x a 2a 20 xa
CS CB ya 2a 20ya
Mà d S ABC , 2a z 2a Từ S a 2;a 2; 2a
Ta có AS 0;a 2; 2a, CSa 2; 0; 2a, BSa 2;a 2; 2a
SBC có vtpt n 2; 0;1, SAB có vtpt m 0; 2; 1
Vậy cos 3
(35)Trang 35/69 Câu 22: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M N,
các điểm thuộc SB SD, cho SB3SM SD, 3DN Khoảng cách AM CN A 40
857 B
72
857 C
24
153 D
40 257 Lời giải
Chọn A
Gọi O giao điểm AC BD, SOABCD
2, 18
OA SO
Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ (Ox AB Oy AD Oz// , // , OS)
Tọa độ điểm A 1; 1; 0, B1; 1; 0 , C1;1; 0, D1;1; 0, S0; 0; 4
Từ giả thiết ta có
1
1 1
1 ; ;
3 3 3
1
4
3
M
M
M
x
SM SB y M
z
Tương tự tọa độ điểm 2 4; ; 3 N
Suy 8; ; , 5; 4; , 2; 2;0
3 3 3
AM CN AC
Chọn vectơ phương đường thẳng AM u12;1; 4, chọn vectơ phương đường thẳng CN u2 5;1; 4
Ta có u u1; 2 8; 28; 3
(36)Trang 36/69 Khoảng cách hai đường thẳng AM CN,
1
2 2
1
; 16 56 0 40
;
857
; 28
u u AC d AM CN
u u
Câu 23: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2a, ABa Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách d từ M tới mặt phẳng SAB
A 165
30 a
d B 15
3 a
d C 65
15 a
d D 65
10 a d
Lời giải Chọn A
Gọi O hình chiếu S ABC, ta suy O trọng tâm tam giác ABC Do M trung điểm BC nên
2 a
AM Suy
3 a
OA
6 a
OM
Xét tam giác SOA vuông O, ta có
2
2 2 33
4
3
a a
SO SA OA a
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ, ta được: 0 ; ; 0
O , 3;0;0
3 a
A
, 0; 0; 33 a S
, 3; 0;0
6 a
M
Suy 3; ;
6
a a
B
, 3; ;
6
a a
C
Ta có 3; 0; 33 , 3; ; 33
3
a a a a a
SA SB
(37)Trang 37/69 Suy
2 2
33 11
; ; ;
6
SAB
a a a
n SA SB
Phương trình măt phẳng SAB 33 11 11
6 6
a
x y z
Suy
33 11
6 6 165
,
30 33 11
36 36
a a
a d M SAB
Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp
S ABCD
3 a
A
10 B
3 310
20 C
310
20 D
3 10 Lờigiải
Chọn C
Cách1:
Vì ABCD hình thang cân có AD2AB2BC2CD2a AD2 ;a ABBCCDa
2 a CH ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S
nên
2
1 3
.SA
3 4
ABCD
a a
V SAa
(38)Trang 38/69 Ta có: K0; 0; , ; 0; ,
2 a B
3
0; ;0 ,
2 a C
3
0; ;0 ,
2 a A
3 ; ; ,
2
a a N
3
0; ; ,
2 a S a
3
; ;
4
a a a
M
3 3
; ;
4
a a a
MN
Chọn u1 3;3 3; 2 cùng phương với MN Nhận xét: BK SA BK SAC
BK AC
; 0; a BK
vtpt SAC.Chọn n1 1;0;0 phương với BK Gọi góc góc MN SAC Ta có 1
1
3 10
sin
20 u n
u u
cos 310
20
Cách2:
Gọi mp qua MN song song với mp SAD Khi cắt AB tạiP, cắt SC Q, cắt AC K Gọi I giao điểm MN QK I SAC
Suy ra:P, Q, K trung điểm củaAB, SC vàAC.
Lại có: ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC2CD2a
AD2 ;a ABBC CDa
2 a CH ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S
Nên
2
1 3
3 4
ABCD
a a
V SA SA a
2
a
MP SA
2 a NP Xét tam giác MNPvuông P:
2
3 10
2 2
a a a
MN ,
MP KQ đường trung bình tam giác SAB,SAC MP KQ SA// // KN đường trung bình tam giác
2
ACD KN AD a
(39)Trang 39/69 Xét tam giác AHC vuông H:
2 2
3
3
2
a a
AC a
3 a KC
Suy ra: tam giác KNCvuông C C hình chiếu vng góc N lên SAC góc MN SAC góc NIC
Khi đó: 2 10 10
3 3
IN KN a a
IN MN
MN NP
Xét tam giác NICvuông tạiC: ; 10
2
a a
NC IN
2 2
10 31
3
a a a
IC
cos 31: 10 310
6 20
IC a a
NIC IN
Câu 25: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A, AB3a, AC 4a Các mặt bên SAB, SAC, SBC tạo với đáy ABC góc
45 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ABC nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt phẳng SAC vàSBC Tính cos
A cos 10
B cos
C cos
D cos 15 Lời giải
Chọn A
Gọi H hình chiếu Slên mặt phẳng ABC Gọi M N P, , hình chiếu H AB, AC BC Ta có góc (SAB) (BAC) góc SMH Tương tự ta có
45 SMH SNHSPH
Do SMH SNH SPH HM HNHP
(40)Trang 40/69 Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC,
1
3
1 3 4 5
2
ABC ABC
AB AC
S a a
r a
p AB BC CA a a a
Tam giác SHM vuông cân H nên SH HM r
Chọn hệ trục Đề-các vng góc Axyznhư hình vẽ Khi ta tìm tọa độ điểm sau 0;0;0
A , B3 ;0;0a , C0; ;0a , H r r ; ;0 a a; ;0,S x H;yH;SH a a a; ; Suy ra: Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến 1 12 , 1;0;1
4
n AS AC
a
Mặt phẳng SBC có véc tơ pháp tuyến n2 21 AS AC, 4;3;5 a
Do
2 2 2
1.4 0.3 1.5
cos
10
1
Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H thuộc cạnh AB cho HA2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC 60o
Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A 42
8 a
B 42
12 a
C 42
4 a
D 42
24 a
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ có gốc M , trục hoành MC, trục tung MB, trục cao Mz/ /HS (xem hình vẽ)
Ta có: 2
6
AB a a
(41)Trang 41/69
o o 21
, 60 tan 60
3 a SC ABC SCH SH CH
Do tọa độ điểm 0; ; a A
,
21 0; ;
6
a a S
, 0; ; a B
,
3 ; 0; a
C
2 21
0; ;
3
a a
SA
, 3; ;
2
a a
BC
, AB0; ; 0a
2 2
21
, ; ;
6
a a a
SA BC
, , 42
8 ,
SA BC AB a d SA BC
SA BC
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABACa, góc ABC30, góc đường thẳng A B mặt phẳng ABC
45 Gọi M , N trung điểm B C CC Cosin góc mặt phẳngAMN mặt phẳng ABC
A 1
2 B
3
2 C
13
4 D
3 Lời giải
Chọn D
Ta có A B ABC , A B AB , ABA 45 nên A AB vuông cân A
AA AB a
Gọi H trung điểm BC sin 30
2 a
AH BC AH AB
2
2
BC BH AB AH a
z
y x
N M
H
A C
B A'
B'
(42)Trang 42/69 Lại có M H, trung điểm B C BC
; //
MH BB AA a MH BB MH ABC
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có H O, suy H0;0;0, ; 0; a A
,
3 0; ;
2 a
B
, M0;0;a
0; 3; a C
, 0; 3;
2
a a
N
3
;0; , ; ;
2 2
a a a a
AM a AN
2
3
, ; ;
2 4
a a a
AM AN
AMN
có VTPT n 3; 1;
2 4
Ta có HM 0;0;a, HM ABC ABC có VTPT n10;0;1
Gọi góc mặt phẳngAMN mặt phẳng ABC
từ
1 cos
n n n n
2 2
3
3
.1
2 4
3
Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABClà tam giác cạnh a mặt bên hình vng cạnh a Gọi Glà trọng tâm tam giác ABCvà Ilà trung điểm đoạn thẳng CC' Khoảng cách hai đường thẳng A B' GI
A 11 22 a
B 3 11
7 a
C 11
12 a
D 3 11
22 a
(43)
Trang 43/69 Chọn hệ trục tọa độ cho A0;0;0 , C a ;0;0 , A' 0;0; a trục Aynằm mặt phẳng
ABC vng góc với trục Ax Khi gọi H K, hình chiếu Blên trục ,
Ax Ay góc BAy300nên
cos 30 ; cos 60
2
a a
AK AB AH AB nên
3
; ;
2
a a B
Vì Glà trọng tâm tam giác ABCnên ta có ; 3;0
2
a a G
Đồng thời I trung điểm CC' nên , ; 0;
2 a I a
Suy
3
' ; ; ; ; ; ; ' ; 0;
2 2 2
a a a a a a
A B a IG A I a
Ta có
2 2
3 3
' , ; ; ' , '
12 4
a a a a
A B IG A B IG A I
2 33
' ,
6 a A B IG
Vậy
' , ' 3 11
' ,
22 ' ,
A B IG A I a d A B GI
A B IG
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giácABCvuông cân A, cạnh BC a Góc mặt phẳng AB C' mặt phẳng BCC B' ' 60 Tính thể tích V khối lăng trụABC A B C ' ' '?
A
3
2
a
V B
3
a
V C
3
3
a
V D
3
3
a V
(44)Trang 44/69 Vì tam giácABCvng cân A, cạnh BCa nên AB ACa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A0;0;0, C a 3; 0; 0, B0;a 3; 0, A0;0;zz0
0; 3;
B a z
; BCa 3;a 3; 0, BB 0; 0;z VTPT BCC B là: 1 , 1;1; 0
3
n BC BB
za
3; 0; 0
AC a
, AB 0;a 3;z
VTPT mặt phẳng BA C là: 2 , 0; ; 3
n AC AB z a
a
Vì góc mặt phẳng AB C' mặt phẳng BCC B' ' bằng60 nên:
2
60 ,
cos cos n n
2
1
2
z
z a
3 z a
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là:
3
1 3
2
a V AC AB AA
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân, vớiAB ACa góc
120
BAC , cạnh bên AA a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ABC AB M
A 11
11 B
33
11 C
10
10 D
30 10
Lời giải
(45)Trang 45/69
Cách 1:
Ta có BC2 AB2AC22AB AC .cosBAC 2
2 a a a a
2 3a
BCa
Trong tam giác vuông B AB , ta có 2
AB BB AB a2a2 a Trong tam giác vng MAC, ta có MA MC2AC2
2
4 a a
2 a
Trong tam giác vng MB C ,ta có B M B C 2C M
2
4 a a
13
2 a
Xét tam giác MB A có
2
2 2
2
4 a B A MA a
2 13
4 a
B M
MB A vuông A
2
MB A
S AB AM
2
a a
2 10 a
Lại có sin
2
ABC
S AB AC BAC
2a a
2 a
Gọi là góc tạo hai mặt phẳng ABC AB M
Ta có ABC hình chiếu vng góc AB M mặt phẳng ABC Do SABC SMB A cos
2
3 10
.cos
4
a a
cos 30
10
(46)Trang 46/69 ( gốc tọa độ O trùng với trung điểm BC)
0; ;0 a A
,
3 ; 0; a
B a
, 3; 0; a
C
, 3;0;
2 a
C a
, 3; 0;
2
a a
M
3
; ; 3; 1;
2 2
a a a
AB a
;
3
; ; = 3; 1;1
2 2
a a a
AM a
Có:
2 2
3 3
; ; ; 1; 3 ;
4 4
a a a a
AB AM
Mặt phẳng ABC có véc tơ pháp tuyến n 1k 0; 0;1
Mặt phẳng AB M có véc tơ pháp tuyến
2
; 1; 3 ;
4 a AB AM
Chọn véc tơ pháp tuyến n2 1; 3 ; 3
1
2
2 2 2
1
0.1 0.( 3)
30
cos ;
10
0 0 1 1 ( 3) 2 3
n n ABC AB M
n n
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông A, ABACa có cạnh bên 2a Gọi M N, trung điểm BB CC', ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN)
A a B 2
3 a
C 3
2 a
D a 3
(47)Trang 47/69 Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A trùng với gốc tọa độ, điểm Bnằm trục Ax, điểmC
nằm trục Ay, điểmA' nằm trục Az Ta có:
(0; 0; 0), B( ; 0; 0), C(0; ; 0), A'(0; 0; a), B'( ; 0; a), C'(0; a; a)
A a a a
Do M N, trung điểm BB CC', 'M(a; 0; a), N(0; ; )a a
2 2 ' ( ; 0; ), ' (0; ; )
' , ' ( ; ; )
A M a a A N a a
n A M A N n a a a
Suy : n1 (1;1;1)
là vecto pháp tuyến mặt phẳng ( 'A MN) Phương trình mặt phẳng ( 'A MN) :
1(x0) 1( y0) 1( z2 )a 0 x y z 2a0
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A MN) là: (A;(A'MN))
2 2
2
3
1 1
a a
d
Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân C, AB2a, AA a, góc BCvà ABB A 60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng BC N
A 2 74 37 a
B 74
37 a
C 2 37
37 a
D 37
37 a
Lời giải
(48)Trang 48/69 Gọi H K, là trung điểm cạnh A B và AB Từ giả thiết ta có:
2 tan 60o
HBaHBa HCHB a Mặt khác:
` , v a
HC HB HKđôi vuông góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ có H O
Tọa độ hóa:H(0;0;0), C(0;a 6; 0), A ( a;0; 0), A(a; 0; )a , ; 0; a Na
, B a( ;0;0)
,
( ; 0; )
B a a , ; 0; a M a
Xét mặt phẳng (BC N ) có
( ; 6; )
( 6; 3; 6) ; 0;
2 C B a a a
vtpt n a
BN a
Phương trình (BC N )là: 6( ) a xa y z
Khoảng cách từ M đến (BC N ) là:
6 ( ) 3.0 6( )
2 74
2 ( ; ( ))
37
6 96 111
a a a a
a a
d M BC N
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABACa, góc BAC 120, AA a Gọi M, N trung điểm B C CC Khoảng cách đường thẳng MN AH A
2 a
B
4 a
C
2 a
D
4 a
Lời giải
(49)Trang 49/69 Gọi H trung điểm BC Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
2 2 2
2 .cos .cos120 3
BC AB AC AB AC BAC a a a a a BCa
2 2 2
2 2
4 4
AB AC BC a a a a a
AH AH
Vì tam giác ABC cân Acó AH đường trung tuyến nên AH BC H hay cạnh MH, HA HB đơi vng góc với Ta chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho điểm AHx, điểm BHy điểm MHz Khi ta có tọa độ điểm sau: H0; 0; 0,
; 0; a A
, 0; 3;0 a B
, 0; 3; a C
, M0; 0;a, 0; 3;
2
a a
N
Ta có: 0; 3;
2
a a
MN
; ; 0;
2 a AH
; ; 3;
2 2
a a a
AN
Suy ra:
2
3
; 0; ;
4
a a
MN AH
Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta có:
6
, 6
32 ,
4 ,
4 a
MN AH AN a
d MN AH
a MN AH
(50)Trang 50/69 A
2 15 a
B
2 15 a
C
2 a
D
2 10 a
Lời giải
Chọn A
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A O ; BOy; A1Oz Khi A0;0;0, B0; ;0a A10;0;2a, 1 3; ;
2
a a
C a
và D0; ;a a
Do M di động AA , tọa độ1 M0;0;t với t0; 2a Ta có:
1
1
,
DC M
S DC DM
Ta có:
3
( ; ; )
2
(0; ; )
a a
DC a
DM a t a
DC DM1,
( ; 3( ); 3
2 a
t a t a a
2 2
1, ( ) 3( )
2 a
DC DM t a t a a
1
2
2
4 12 15
2
12 15 2
DC M
a
t at a
a
S t at a
Xét f t – 12 t2 at 15a2 (t0; 2a)
' – 12
(51)Trang 51/69
'( )
2 a
f t t
Lập BBT giá trị lớn
1
2 15
DC M
a
S t0 hay M A
Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a, Mlà điểm di chuyển đường thẳng A C' '; Tính khoảng cách lớn AM BC'
A 34 a
B 17
4 a
C 14
4 a
D 21
6 a
Lời giải
Chọn C
Khơng tính tổng qt chọn a1; Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng C'; Ox trùng C A' '; Oz trùng với C C' ; Sao cho:
1 3
'(1; 0; 0); '(0; 0; 0); B'( ; ; 0); (1; 0;1); ( ; ;1); (0; 0;1); M(m; 0; 0)
2 2
A C A B C
Khi đó:
, ' ' ( ; ' )
, ' AM C B AC d AM C B
AM C B
Ta có: ( 1;0; 1); ' 1; 3;1 ; ' ( 1; 0; 1)
2
AM m C B AC
2 2
3 ( ; ' )
3
( ) ( ) ( 1)
2
m d AM C B
m m
=
2
2
3
2
7 7
4 4
m
m m
m m
(52)Trang 52/69 Khoảng cách lớn 2
4 m 2 m4 nhỏ
1
7 m
m
; Khi đó: khoảng cách lớn là: 14
4 ; Vậy: trường hợp tổng quát, khoảng cách lớn 14 a
'
a MC
Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông, , cạnh bên Gọi M trung điểm BC. Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM B C
A B C D
7 a
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc sau:
; A ; C ; B’ ; M ; 0;
2 a
; ;
Ta có:
+) Khoảng cách
Vì: nên chéo
, ' , ' '
, ' AM B C AB d AM B C
AM B C
3
4 4
7
7
2 a
a
a a a
ABBCa
'
AA a a
3
a 21
7 a
7 a
Oxyz (0;0;0)
B 0; ;0a a; 0;0 0; 0;a 2
; ; a
AM a
' ; 0;
B C a a
' 0; ;
AB a a
2
2
, ' 2; ;
2 a
AM B C a a
, ' AM B C
3
, ' '
2 a AM B C AB
(53)Trang 53/69 Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy ABClà tam giác vng A AB1,AC2.Gọi
là góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng (A BC )có số đo lớn Biết sin p q
( với ,
p q nguyên tố ) Giá trị tổng p q
A 11 B 7 C 5 D 9
Lời giải Chọn D
Giả sử AA m(m0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 2; ), (0; 0; )
A B C C m A m
Phương trình mặt phẳng (A BC )là: 2
1
x y z
mx my z m
m
véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (A BC )là:n(2 ; ; 2)m m ( 1; 2; )
BC m
véc tơ phương đường thẳng BC
2
2
sin cos( ; )
5 (5 20) 29
m m
n BC
m m m m
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số
5m 20:
2
4
2 2
sin
7
20 29
2 20 29
m m
m m
m m
(54)Trang 54/69 Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh đáy a Góc A BC ABCbằng 60 Gọi M N, trung điểm BC CC Tính khoảng cách A M
AN A 6 97
97 a
B 3 97
97 a
C 6 65 65 a
D 3 65
65 a
.
Lời giải Chọn B
Do BCvng góc với mặt phẳng A MA nên góc mặt phẳng ABC A BC góc A MA 60,
Trong tam giác vuông A AM : ' 3
tan 60 '
2
AA a a
AA AM
Trong mặt phẳng ABC kẻ đường thẳng Ay song song với BC, đường , ,
AM Ay A A đôi vuông góc với Xét hệ tọa độ Axyz cho:MAx A, 'Az
Ta có: (0; 0; 0), '(0; 0;3 ), ( 3; 0; 0), ( 3; ;3 )
2 2
a a a a a
A A M N
suy ra:
2 2
3 3 3 3
' ( ; 0; ), ( ; ; ) ' , ( ; ; )
2 2 4
a a a a a a a a
A M AN A M AN
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta có:
2
' , 3 3 / 8 3 97
( ' , )
97 291 /
' ,
A M AN AM a a
d A M AN
a A M AN
(55)Trang 55/69 Kẻ A E AN E // AC AN//A ME d A M AN , d AN ,A ME d A A ME ,
AK
Có 12 2 2 AK AA AH
+Có góc A BC ABC A MA 60 A A' tan 60 AM 3
2
a a
+Dễ thấy AEA F' 2AC, với F A N' AC
1
;
2
AME AME
S
S AH EM AH
EM
mà
2
2
.3
3
AME MEC ABC ABC
a
S S S S
2 31
2 cos150
2 a
EM AE AM AE AM 53
31 a AH
Vậy 2 2 2 972 AK AH AA a
3 97 97
AK a
Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a M điển thỏa mãn
2
CM AA Cơsin góc hai mặt phẳng A MB ABC A 30
10 B
30
8 C
30
16 D
1 Lời giải
Chọn A
(56)Trang 56/69 Gọi D giao điểm A M AC
Vì tam giác A B C tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung tuyến
2 a
Suy tọa độ điểm hình vẽ
Theo giả thiết ta có
CM AA ADACDM AD DA 2DC CD
Vậy tọa độ điểm D là: 0; ;12 D
Ta có mặt phẳng (ABC) có phương trình 0 0;0;1
ABC
z n
Mặt khác mặt phẳng A MB mặt phẳng qua ba điểm A,D B Ta có: 0; ;12
3 A D
1; ;1 2 A B
1 3
n , ; ;
6
A BM A D A B
Vậy cô sin góc tạo hai mặt phẳng A MB ABC là:
cos A BM' , ABC cos nA BM ,nABC
3
3 30
10
1 10
36
Cách khác:
3 ; ;1 2 A B
, 0;1;3
2
A M , , 1; 3; 11;3 3; 3
4 4
(57)Trang 57/69 mpA MB có vectơ pháp tuyến nA BM 1;3 3; 3
Mp(ABC) mp(Oxy): z=0 có vtpt 0; 0;1
ABC
n
30
cos ' , cos ,
10 27 12
A BM ABC
A BM ABC n n
Câu 40: Cho hình hộp ABCD A B C D tích V Gọi M, N , P trung điểm cạnh AB, A C , BB Tính thể tích khối tứ diệnCMNP
A
48V B
1
8V C
7
48V D
1 6V Lời giải
Chọn A
Đây toán tổng quát, ta đưa cụ thể, giả sử hình hộp cho hình lập phương có cạnh Khi đóV 1
Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, A gốc toạ độ, trục Ox Oy Oz, , nằm cạnh , ,
AB AD AA Khi đó,
1;1; 0
C ; 1; ; 0 1; ; B M
; 1; ;1 1; ;1 B P
;
0; 0;1 , 1;1;1 1; ;1 2 A C N
Ta có 1; 1;
2
CM
, 1; 1;1
2
CN
, ; 1;1 CP
Khi , 5
6 48
CMNP
V CM CN CP 48
CMNP
(58)Trang 58/69 Câu 41: Cho hình hộp ABCD A B C D , có đáy hình thoi cạnh 2a, tâm O,
60
BAD AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O Gọi M trung điểm
CD Khoảng cách hai đường thẳng A M B D bằng: A 21
7 B
2 21
7 C
3 21
7 D
4 21 Lời giải
Chọn B
+) Đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, tâm O, 60
BAD nên tam giác ABD tam giác
cạnh 2a 3.2
2
AO a a
2 2
4
A O AA AO a a a
+) Giả sử a1 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ OO0 ; ; 0, D1; ; 0Ox,
0; ; 0
C Oy A0 ; ;1Oz Khi đó, B1; ; 0, A0; ; 0 Ta có: BB DDAA0; ;1 nên tìm B 1; ;1 D1; ;1
M trung điểm CD 1; 3;0
2
M
+) Ta có:
;
;
;
A M B D A B d A M B D
A M B D
1
; ;
2 ; 0; 2;
2; 0; A M
A M B D B D
z
y
x M
C' D'
B'
O C A
B
D
(59)Trang 59/69 Mà A B 1; ; 0 nên ; 21
7
d A M B D
Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D , có AB a AD, a ,góc A C mặt phẳng ABCD 30 Gọi H hình chiếu vng góc Atrên A B K hình chiếu vng góc A A D Tính góc hai mặt phẳngAHK ABB A
A 60 B 45 C 90 D 30
Lời giải Chọn B
Do ABCD A B C D hình hộp chữ nhật nên A C' ' hình chiếu vng góc A C'
(ABCD)( ' , (A C ABCD))( ' ,A C A C' ')CA C' '30
Ta có 2 3; tan' ' ' '
' ' CC
AC AB AD a CA C CC a
A C
Kết hợp với giả thiết ta ABB A' ' hình vng có H tâm Gọi E F, hình chiếu vng góc K A D' '& ' A A
Ta có 2 2 12 6;
'
a AK
AK A A AD
2
' ' ;
3 a A K A A AK
2
2 2
1 1
; '
' 3
a a
KF KE A K KF KE
KF KA A K
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn OA' D B A, , theo thứ tự thuộc tia
, ,
Ox Oy Oz Khi ta có tọa độ điểm là:
2 2
(0;0; ), '(0; ;0), (0; ; ), ( ; 0; ), ( ; 0;0), (0; 0; )
2 3 3
a a a a a a
A a B a H K E F
(60)Trang 60/69 Ta có
2 2
, , (2; 2; 2)
6 a
AK AH n n
Mặt phẳng (AKH)có VTPT n2 (2; ; );
Gọi góc hai mặt phẳngAHK ABB A
Ta có
1
( , ) 45
2
cos cos n n
Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc
A lên ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1
A a
B
2 a
C 21
4 a
D
2 a
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O hình vng ABCD gốc toạ độ, OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 trục Oz hình vẽ
2; 0;0
2 a
A
Vì mp A BD 1 mp Oyz( ) nên mp A BD 1 có phương trình: x0
AB cắt mp A BD 1 tại trung điểm AB1 (B ;(1 1 )) ( ;( 1 )) 2
2
a a
d A BD d A A BD
Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi K trung điểm DD' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D'
A a
B
4 a
C
5 a
D
2 a
(61)Trang 61/69 Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, tia Ox, Oy, Ozlần lượt trùng với tia AB, AD, AA' Khi A0; 0; 0, B a ; 0; 0, D0; ; 0a , A' 0; 0; a, B a' ; 0;a,
; ; 0 C a a
Gọi M trung điểm BB' ; 0; a M a
' ; 0; a A M a
, A D' 0; ;a a
2
2
' , ' ; ; 1; 2;
2
a a
A M A D a a
Suy A DM' nhận n1; 2; 2 làm vec tơ pháp tuyến qua điểm A' 0; 0; a A DM' : x2y2z2a0
Do M trung điểm BB' nên A M' / /CK
, ' , ' , ' 2 2 2
3
1 2
a a a a
d CK A D d CK A DM d C A DM
Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB3 ,a AD AAa Lấy điểm M thuộc đoạn AB, điểm N thuộc đoạn A C cho AM A N x, 0 x 10a, Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ
A 0 B 30
3 a
C 10
2 a
D 10
3 a
Lời giải
(62)Trang 62/69
Ta có 2 2
9 10
AB AB BB a a a Gọi E hình chiếu M lên AB
Ta có 3
10 10
AE AM AB AM ax x
AE
AB AB AB a
10 10
ME AM BB AM ax x
ME
BB AB AB a
Gọi F hình chiếu N lên A B
Tương tự ta tính A C 10a, 10
x A F ,
10 x
NF
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A, điểm B, D, A nằm tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa điểm là: A0; 0; 0, B3 ; 0; 0a , D0; ; 0a , A0; 0;a,
3 ; 0;
10 10
x x
M
, ; ;
10 10 x x N a
Ta có
2
2 2
2
2 2
10 10 10 10 10 2
x x x ax x a a a
MN a a
GTNN MN a
khi 10
2
10
x a a
x
Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB , a AD2 , a AA'3 a Gọi M N P, , trung điểm BC C D DD, ' ' ' Tính khoảng cách từ A đến mpMNP
A 15
22a B
9
11a C
3
4a D
15 11a Lời giải
Chọn D
D'
C' B'
A'
F N
M
E z
y
x
D C
B
(63)Trang 63/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm B, tia Ox Oy Oz; ; trùng với tia
; ; '
BA BC BB Khi B0; 0; ; A a ; 0; ; C0; ; ;a D a ; ; ;a C' 0; ; 3 a a;D a' ; ; 3a a Suy 0; ; ; ; ;3
2 2; ;3 a
M a P a a và Na a a
Ta có ; ;3 ; ; ;
2
a a
MP a a MN a a
, vectơ pháp tuyến MNP là:
2
2
; ; ; 6; 9;
2 4
a nMP MNa
Suy MNP:6x9y2z9a0; A a ;0;0 Vậy
2 2
6 15
;
11
6
a a a
d A MNP
Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vuông cân, AA 2a, ABACa Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A B C , I tâm hình chữ nhật ABB A Thể tích khối A IGCG
A a
B
3 a
C
3 a
D
3 30 a
Lời giải
(64)Trang 64/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O trùng với điểm A, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia AB, AC AA
Suy A0;0;0, B a ;0;0, C0; ;0a , A0;0; 2a, B a ;0; 2a, C0; ;2a a, ; ; 3 a a G
, ; ;
3 a a G a
, 2; 0;
a I a
(vì I trung điểm AB
A B )
Ta có ; ;
6 a a IG a
;2 ;
3 a a G C a
Suy IG
G C phương Do bốn điểm I, G, C, G đồng phẳng
Mặt khác ;2 ;
3 a a GC
Vì
2
4
, ; ;0
3
a a
G C GC
nên mặt phẳng IGCG có véc-tơ pháp tuyến n2;1; 0
Vậy phương trình mặt phẳng IGCG: 2xya0
Suy d ,
5
a a
h A IGCG
Diện tích tứ giác IGCG 1 .d ,
IGCG
S IGG C IG G C
Trong 41
6
a
IG , 41
3
a
G C ,
,
d , d ,
G C GC
IG G C G G C
G C Vì 2
, ; ;
3
a a
G C GC
nên d , 41 IG G C a
Suy
2
1 41 41 5
.2
2 41
IGCG
a a a
S a
Thể tích cần tìm
2
1 5
.d ,
3
A IGCG IGCG
a
V S A IGCG a
6
a
Cách khác:
Gọi E , E trung điểm AB, A B , kẻ AHvng góc C E H CEE C hình chữ nhật,
(65)Trang 65/69
EE CC' a,
2
2
4
a a
CEC E a ,
3
a
CGC G ,
6
a GE G E ,
5
E
A AC a
AH
CE
2
5 5
2 2
2
IGCG CEE C IEG IE G CG C
a a a a
S S S S S a. a. a.
2
1 5
3
A IGCG IGCG
a a
V S AH a
Câu 48: Cho hình hộp ABCDA B C D' ' ' ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng (ABB A' ') vng góc với đáy, tam giác A AB' vng A', góc BA' đáy
6 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA' DB' A
2 55
a
B
55
a
C
55 a
D
2
a
Lời giải
Chọn C
Gọi O hình chiếu vng góc A' lên cạnh AB Vì mặt phẳng (ABB A' ') vng góc với (ABCD) nên A O' (ABC D)
Ta có góc BA' mặt phẳng (ABCD) góc A BO'
Ta có
' cos 60
a
BA AB ,
' cos 60
a
BO A B , ' ' sin 600
4
a
OA A B
Chọn hệ tọa độ O xyz hình vẽ Khi (0; 0; )
O , '(0;0; 3)
4
a
A , ( ; 0; 0)
4
a
B , ( ; ;0), ( ; ;0), '( ;0; 3)
4 4
a a a a
I D a B a
Ta có ' ; ; , ' ; ; ; ' ' ;0;0
4 4
a a a a a
IA DB a A B a
(66)Trang 66/69 Khi đó:
2 2
3 3
'; ' ; ;
8 8
a a a
IA DB
Ta có:
3
3
3
'; ' ' ' 8 3 8 3
(A'I; DB')
8 55 55
3 27 25 '; '
64 64 64 a
IA DB A B a a
d
a IA DB
a
Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bên SA2avà vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Mlà trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng
(AMC)và (S B C) A
2 B
2
5 C
2
3 D
5
Lời giải Chọn B
Để thuận tiện việc tính tốn ta chọn a 1
Trong khơng gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho gốc O trùng với điểm A, tia O x chứa đoạn thẳng AB, tia O y chứa đoạn thẳng AD, tia Oz chứa đoạn thẳng AS Khi đó:A(0 ; ; 0), B(1; 0; 0), C(1;1; 0), S(0; 0; 2), D(0;1; 0)
Vì Mlà trung điểm SD nên tọa độ Mlà 0; ;11
M
Ta có (1; ; 2)
(0 ;1; 0)
SB BC
nSBC [ SB BC ; ] =(2;0;1)
Gọi góc hai mặt phẳng (AMC)và (S B C)
Suy
5
cos cos ;
3
SBC AMC SBC AMC
SBC AMC
n n
n n
n n
Mặt khác, tan2 12 tan 12
cos cos
Vậy
2
1
tan
5
3
(67)Trang 67/69 bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là?
A 7 B 12 C 14 D 16
Lời giải: Chọn C
Xét bóng góc nhà
Chọn hệ trục hình vẽ, trục O x O y O z, , ba mép tường nhà; O góc nhà Tâm bóng I a b c ; ;
Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt
phẳng tọa độ, d I Oxy ; d I Oyz ; d I Oxz ; R a b c R0
Gọi M x y z ; ; điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà
tiếp xúc 1; 2; 4, ta suy M1;2;4 Điểm M nằm bóng khi:
1 2 2 2 42
IM R a a a a a
2
2a 14a 21
7
2
7
2 a a
Vì hai bóng có vai trị tính chất nên chúng có bán kính là:
1
7 7
;
2
R R
Vậy tổng đường kính hai bóng d2R1R214
- HẾT - a
a
a z
y
x
O