Dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn

Tại Việt Nam Trong xu hướng phát triển hiện nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong môn toán, và tăng cường liên hệ với thực tiễn thông qua

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAI VIỆT LONG

DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CỦA

THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

HÀ NỘI – 2012

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAI VIỆT LONG

DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CỦA

7

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các ký hiệu, các chữ cái viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Danh mục các đồ thị iv

Mục lục v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số vấn đề về lý luận 5

1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa 5

1.1.2 Năng lực và năng lực toán 12

1.2 PISA và các bài toán của PISA 16

1.3 Một số vấn đề về thực tiễn 36

1.3.1 Các vấn đề trong chương trình giáo dục phổ thông 36

1.3.2 Các vấn đề về phong cách học tập của người học 37

1.3.3 Một số thực trạng của việc sử dụng các PPDH toán hiện nay 38

1.3.4 Một số thuận lợi của đổi mới PPDH môn Toán hiện nay 38

1.3.5 Một số khó khăn, hạn chế của việc đổi mới PPDH môn Toán hiện nay 39

1.3.6 Một số định hướng khai thác ứng dụng của toán học trong thực tế 39

1.3.7 Một số biện pháp để khai thác ứng dụng của toán học trong thực tiễn 40

1.3.8 Một số ý nghĩa của việc khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn Toán 40

1.3.9 Một số khó khăn của việc khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn Toán 40

1.3.10 Thực trạng của việc dạy học gắn với thực tiễn ở một số trường THPT tại Việt Nam 41

1.4 Các tiếp cận dạy học 42

1.4.1 Tiếp cận Dạy học định hướng phát triển năng lực 42

1.4.2 Tiếp cận đánh giá năng lực toán học THPT của PISA 46

Kết luận chương 1 48

Chương 2 THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC DẠY HỌC VỚI CÁC BÀI TOÁN GẮN LIỀN VỚI THỰC TIỄN 49

2.1 Xây dựng Quy trình tổ chức dạy học với các bài toán gắn liền với thực tiễn 49

2.1.1 Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt được ở bài dạy 49

2.1.2 Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn nhằm đạt được mục tiêu ở trên 50

2.1.3 Học sinh thực hiện mô hình hóa Toán học bài toán thực tiễn ở trên 51

8

2.1.4 Học sinh xây dựng chiến lược giải quyết bài toán 52

2.1.5 Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn 52

2.1.6 Giáo viên và học sinh đánh giá bài học 52

2.2 Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong môn Hình học 53

2.2.1 Bài dạy Hệ thức lượng trong tam giác – Định lý hàm số Cosin – Định lý hàm số Sin 53

2.3 Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong môn Đại số 58

2.3.1.Bài dạy 2.3.1: Hàm số bậc nhất 58

2.3.2 Luyện tập: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn 62

Bài 2.3.2.1 Chim di cư 63

2.3.2 Một số bài toán thực tiễn 65

Bài 2.3.2.1 Nước cam hương vị tự nhiên 65

Bài 2.3.2.2 Đánh thuế thu nhập 66

Bài 2.3.2.3 Speeding Tickets 68

Bài 2.3.2.4 Thi chạy 100m 69

2.4 Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong môn Lượng giác 70

2.4.1: Luyện tập đồ thị hàm số 70

Bài 2.4.1 Bài toán ngọn hải đăng 70

2.4.2 Luyện tập đồ thị hàm số 73

Bài 2.4.2 Bài toán Chiều dài bóng của một người 74

2.5 Một số bài toán thực tiễn luyện tập 77

2.5.1 Fencing a Field 77

2.5.2 Fencing a Garden Plot 78

2.5.3 Light from a Window 79

2.5.4 Biodiversity 80

2.5.5 Transparency of a Lake 81

Kết luận chương 2 83

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84

3.1 Mục đích thực nghiệm 84

3.2 Nội dung thực nghiệm 84

Bài toán của người thợ làm thùng đựng dầu 84

Bài toán: Tìm vị trí chỗ ngồi thích hợp trong rạp chiếu phim 90

3.3 Tổ chức thực nghiệm 95

3.4 Đánh giá thực nghiệm 96

Kết luận chương 3 97

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 99

1 Kết luận 99

2 Khuyến nghị 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101

4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development, tổ chức hợp tác phát triển kinh tế

6

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Trang

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa theo Kaiser 8

Sơ đồ 1.2 Mô hình toán học 8

Sơ đồ 1.3 Mô hình toán học 9

Sơ đồ 1.4 Quá trình toán học hóa theo PISA 10

Sơ đồ 1.5 Đánh giá của PISA đối với các môn khoa học tự nhiên 21

Sơ đồ 1.6 Các thành phần cấu trúc năng lực 43

từ đó thay đổi được một số phương pháp dạy học giúp cho việc tăng hiệu quả truyền đạt những kiến thức cho học sinh cũng như là việc tiếp thu kiến thức trên lớp của các học trò

Bên cạnh đó, trong chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông hiện nay các bài giảng, các bài toán chưa quan tâm nhiều đề giải quyết vấn

đề của đời sống thực cho học sinh

Từ những lý do trên nên đề tài mà tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là:

“Dạy học toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn của đề thực tiễn”

2 Lịch sử nghiên cứu

Các nước trên thế giới

Vào năm 1997, OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development, tổ chức hợp tác phát triển kinh tế) đã khởi xướng chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Program for International Student Assessment) Mục đích chính của PISA là kiểm tra đánh giá và so sánh trình

độ học sinh ở độ tuổi 15 giữa các nước trong khối OECD và các nước khác trên thế giới Chương trình của PISA không chỉ là điều tra khối lượng kiến thực của học sinh học được ở nhà trường mà vận dụng những tính huống ứng

10

dụng hữu ích trong cuộc sống thông qua bốn năng lực: Toán, Đọc hiểu, Khoa học và Giải quyết tình huống

Tại Việt Nam

Trong xu hướng phát triển hiện nay đã có nhiều công trình nghiên cứu

về phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong môn toán, và tăng cường liên

hệ với thực tiễn thông qua một số dạy học trong chương trình trung học phổ thông Điều này chứng tỏ việc vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên chúng tôi thấy một vài điểm mà các công trình trên chưa quan tâm:

Thứ nhất: Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết các vấn đề ứng

dụng trong thực tiễn chưa được quan tâm đúng mực

Thứ hai: Các bài toán chưa quan tâm đến thực tiễn

Thứ ba: Chưa có quy trình toán học hóa để giải quyết các bài toán

trong thực tiễn

3 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng một số bài giảng, các bài toán ở các môn: Đại số, Giải tích, Hình học theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề của thực tiễn phù hợp với điều kiện đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thứ nhất: Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc phát triển năng lực giải

quyết các vấn đề về thực tiễn

Thứ hai: Thiết kế và tổ chức các hoạt động với các bài giảng, bài toán

gắn với đời sống thực trong chương trình sách giáo khoa ở Việt Nam

Thứ ba: Tổ chức thực nghiệm sử phạm để khảo sát thực trạng, đánh giá

sự phù hợp của đề tài với các điều kiện giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam

5 Phạm vi nghiên cứu

7 Câu hỏi nghiên cứu

Dạy học môn toán theo các bài toán của thực tiễn có thể thực hiện trong khuôn khổ chương trình toán ở THPT có làm nâng cao năng lực giải quyết của học sinh không?

8 Giả thuyết khoa học

Dạy học môn toán theo các bài toán của thực tiễn có thể thực hiện trong khuôn khổ chương trình toán ở THPT cho mọi đối tượng học sinh và làm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề về thực tiễn của học sinh

9 Phương pháp nghiên cứu

9.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Nghiên cứu mục tiêu, nội dung, cách đặt vấn đề và phương pháp giải quyết vấn đề của một số mô hình dạy học quốc tế

Nghiên cứu các chủ đề Đại số, Hình học, Giải tích trong chương trình toán trung học phổ thông

Nghiên cứu cơ sở lý luận và phương pháp dạy học toán liên quan đến

Thực nghiệm đánh giá giả thuyết

Thực nghiệm giảng dạy để đánh giá tính khả thi của đề tài

12

Thực nghiệm kiểm tra, so sánh với nhóm đối chứng để đánh giá hiệu quả của đề tài

Phương pháp thống kê toán học

Thống kê, phân tích xử lý số liệu thực nghiệm để đánh giá tính hiệu quả của đề tài

10 Đóng góp của luận văn

11 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn

dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Chương 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán gắn liền với thực tiễn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận và khuyến nghị

Tài liệu tham khảo

13

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1 Một số vấn đề về lý luận

1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa

1.1.1.1 Các bài toán thực tiễn

G Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần

thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [Sáng tạo toán học,

trang 119] Bài toán xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta gọi là ước muốn (hay vấn đề), ước muốn có khi dẫn đến một bài toán, có khi không dẫn đến bài toán Nếu khi có một ước muốn, mà trong đầu ta, không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phương tiện rõ ràng mạch lạc, mà dùng phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì sẽ không nảy

ra bài toán Nhưng nếu không có được một phương tiện như vậy, thì đó là một bài toán Một vấn đề có thể là bài toán đối với người này nhưng không phải là bài toán đối với người khác tùy thuộc vào phương tiện (kiến thức và kinh nghiệm) mà họ có

Như vậy, bài toán thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt

được xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống Ví dụ: “Chọn một chỗ ngồi thích

hợp trong rạp chiếu phim” là một bài toán thực tiễn Chúng ta cần phân biệt

bài toán “thực tiễn đích thực” với bài toán “ngụy thực tiễn” Có một số sách, tài liệu đã đồng nhất hai khái niệm này Ví dụ: “Một bà bán trứng cho ba người: bán cho người thứ nhất số trứng và 3 quả; bán cho người thứ hai số trứng còn lại và 4 quả; bán cho người thứ ba số trứng còn lại và 5 quả Cuối cùng còn lại 6 quả Tính số trứng bà đã bán cho ba người?” [Bùi Văn Tuyên, Bài toán 383, trang 90, Bài tập nâng cao một số chuyên đề Toán 6] Thoạt nhìn đây là bài toán thực tiễn bởi “ngôn ngữ thực” của bài toán Tuy nhiên, bài toán này không xuất phát từ một mong muốn nào trong thực tế, chúng ta

14

có thể đếm xem trong rổ có bao nhiêu quả trứng có khi còn khả thi hơn là tính

tỷ lệ như bài toán nêu trên G Polya gọi các bài toán này là các “bài toán đố

bằng lời”, tức là các bài toán được hư cấu nhằm thách đố người giải Về

nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa những bài toán thuần túy toán học Tuy nhiên, các lý luận và phương pháp chính để giải thì về căn bản là như nhau Hơn nữa, những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần toán học Trong bài toán thực tiễn, các ẩn, các dữ kiện, các điều kiện là phức tạp hơn và không được xác định rõ ràng như trong một bài toán thuần túy toán học Để giải quyết một bài toán thuần túy toán học, chúng ta xuất phát từ những khái niệm rất rõ ràng, tương đối có trật tự trong ý nghĩ của chúng ta Với một bài toán thực tế nhiều khi ta phải xuất phát từ những ý nghĩ mơ hồ và việc làm sáng tỏ các khái niệm có khi lại là một bộ phận quan trọng của bài toán Như vậy, giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học Muốn đạt và giải một bài toán thuần túy toán học xuất phát từ những vấn đề thực tiễn thì thông thường chúng ta giới hạn trong việc tính gần đúng, vì ta buộc phải bỏ qua một số dữ

kiện và điều kiện phụ của bài toán thực tiễn Vì vậy, “trong các bài toán thực

tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản

để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [G Polya,

Sáng tạo toán học, tr 50]

Chính vì vậy mà khi gặp một vấn đề thực tiến để giải một bài toán thực tiễn này, người ta tìm cách dịch nó sang ngôn ngữ toán học để được bài toán

thuần túy toán học Quá trình đó gọi là quá trình “toán học hóa” Từ một vấn

đề của thực tiễn hoặc bài toán thực tế thông qua quá trình toán học hóa, có thể biến thành một bài hoặc có thể nhiều bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toán giải quyết một nhiệm vụ của bài toán thực thế đó Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chấn của lĩnh vực thực tế và vào “tay

1.1.1.2 Mô hình hóa toán học và quá trình toán học hóa

Mô hình hóa toán học theo Kaiser (2005) cho rằng, bên cạnh việc áp dụng các thuật toán chuẩn trong chương trình vào bối cảnh thế giới thực và các bối cảnh thế giới phục vụ như là minh họa cho các khái niệm toán học (ví

dụ như sử sụng các khoản nợ để giới thiệu số âm), các vấn đề mô hình hóa như là các ví dụ dựa theo bối cảnh của đời sống thực đang ngày càng được coi trọng Tiếp cận mô hình hóa, theo đó, dựa trên cả thế giới thực và thế giới toán học Một quá trình mô hình hóa được thực hiện như sau: một bối cảnh thế giới thực là điểm khởi đầu của quá trình Tiếp đó, bối cảnh được ý tưởng hóa (chẳng hạn, đơn giản hóa hoặc được cấu trúc để có được một mô hình thế giới thực) Tiếp theo, mô hình thế giới thực được toán học hóa (tức là được diễn dịch vào trong toán học sao cho nó trở thành một mô hình toán học của

16

bối cảnh ban đầu) Những xem xét toán học cho mô hình toán tạo nên các kết quả toán học, cái mà phải được thông dịch trở lại bối cảnh thực tế Tính phù hợp của các kết quả phải được kiểm tra, xác nhận Trong trường hợp lời giải không thỏa đáng, điều hay xảy ra trong thực tế, quá trình này cần được lặp lại

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa theo Kaiser

Quá trình mô hình toán học theo Kaiser được thể hiện cụ thể qua một

sơ đồ tối giản kèm theo giải thích Chúng tương đồng với quá trình mô hình hóa toán học mà PISA chọn làm nền tảng lý luận

Trong sách “Functions and Models” của tác giả James Stewart có đề cập đến Mathematical model

Sơ đồ 1.2 Mô hình toán học của tác giả James Stewart

Mô hình toán học là sử dụng tóan học để đưa ra những đánh giá về các hiện tượng trong xã hộ ví dụ như tính dân số, số lượng sản phẩn trong sản

17

suất, vận tốc của các vất thể….Mục đích của mô hình là để hiểu rõ hơn về các hiện tuợng đó và có thể đưa ra những dự đóan trong tương lại Hình dưới đây diễn tả quá trình mô hình hóa toán học Đưa ra một bài toán tực tế, nhiệm vụ đầu tiên là lập công thức bằng xác định các biến độc lập và phụ thuộc, đưa ra các giả sử về tính đơn giản của bài tóan để có thể giải được Chúng ta sử dụng các hiểu biểt về vật lý và kỹ năng tóan học để có thể đưa ra các phương trình liên quan tới các biến Trong trường hợp không có định luật vật lý , chúng ta cần phải thu thập các số liệu và kiểm tra các số liệu đó dưới dạng bảng để đưa

ra quy luật Từ cách biển diễn bằng bảng số liệu, ta sẽ tìm cách để biểu diễn

Có rất nhiều dạng hàm số khác nhau được dùng để đưa ra mô hình các bài tóan trong thực tế

18

Khi giải các bài toán thực tế, người ta cần tìm cách dịch nó sáng ngôn ngữ toán học để được bài toán thuần túy toán học đó là “Quá trình toán học hóa”

Theo OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh Giải quyết các vấn đề như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và trong đời sống thực Theo PISA, một quá trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được biểu hiện theo sơ đồ sau:

Sơ đồ 1.4 Quá trình toán học hóa theo PISA

19

- Quy trình ba giai đoạn toán học hóa

Giai đoạn thứ nhất Quy trình toán học hóa bắt đầu bằng việc chuyển

bài toán từ thế giới thực sang bài toán của thế giới toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề được đặt ra trong thực tế; Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc

tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt nó vào những giả thuyết phù hợp Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngôn ngữ kí hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến, nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn

đề đã biết; chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học, chẳng hạn như thành một

mô hình toán

Giai đoạn thứ hai Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa Một khi

học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về hoàn cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các kết nối và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm: Dùng ngôn ngữ

ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; Hoàn thiện và điều chỉnh các

mô hình toán; kết hơpk và tích hợp các mô hình; lập luận; tổng quát hóa

Giai đoạn thứ ba Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề

liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả

Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quá trình phản ánh này là hiểu lĩnh việc và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn hết của nó; Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả

- Quy trình 5 bước toán học hóa

Bước 1 Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế

Bước 2 Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố toán học tương thích

20

Bước 3 Dần thoát khỏi thực tiễn thông qua các quá trình: Đặt giả thiết, khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành vấn đề của toán học

Bước 4 Giải quyết bài toán

Bước 5 Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của thế giới thực, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

1.1.2 Năng lực (Competence) và năng lực toán (mathematical competence)

1.1.2.1 Năng lực (Competence)

Theo từ điển Bách khoa Việt Nam [tập III, tr 41]: “Năng lực là đặc

điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó”

Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá

nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt”

Theo Nguyễn Văn Cường [tr44]: “Năng lực là khả năng thực hiện có

trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghè nghiệp, xã hội hay

cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động.”

Như vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân

đảm bảo thực hiện được một dạng hoạt động nào đó”

1.1.2.2 Năng lực toán (Mathematical competence)

Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các

hoạt động toán học Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có) Các hoạt động toán học

đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng minh,…) với các đối tượng, nội dung toán học

21

Một cá nhân phải tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối cảnh, các tính huống bên trong hay bên ngoài toán học và những ý tưởng bảo quát cần có được một số các năng lực toán học Một năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau, theo cả hai kỹ năng cụ thể và

mức độ thành thạo đòi hỏi

Trong khuôn khổ của PISA, OECD (1999) định nghĩa về năng lực toán học (Mathematical Literacy) là năng lực của một cá nhân có thể nhận biết về

ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; là khả năng lập luận

và giải toán; biết học toán, vận dụng toán theo cách nhằm đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt Do đó, cần quan tâm đến năng lực của học sinh được hình thành qua việc học toán nhằm đáp ứng với những thách thức của đời sống hiện tại và tương lai; quan tâm đến năng lực phân tích, lập luận và trao đổi thông tin một cách có hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trong những tình huống

và hoàn cảnh khác nhau

Bởi vậy, năng lực toán học không phải là một hệ thống kiến thức toán học phổ thông truyền thống mà đều được nhấn mạnh ở đây là kiến thức toán học được sử dụng như thế nào để tạo ra ở học sinh khả năng suy xét, lập luận

và hiểu được ý nghĩa của kiến thức toán học

Trong PISA, người ta xem xét ba cấp độ của năng lực toán học:

- Cấp độ 1: Ghi nhớ, tái hiện;

- Cấp độ 2: Kết nối và tích hợp;

- Cấp độ 3: Khái quát hóa, toán học hóa

Các thông tin trong Bảng sau cho biết cụ thể về cách nhận biết và phân biệt về các cấp độ năng lực toán học thông qua việc mô tả các đặc điểm của mỗi cấp độ

22

Bảng 1.1 Các đặc điểm của ba cấp độ năng lực toán học

Thực hiện được một cách làm quen thuộc

Áp dụng một thuận toán đặc trưng

Cấp độ 3: Khái quát

hóa, toán học hóa

Học sinh có thể:

Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn

đề phải giải quyết

Sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề Biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học

Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học

thấy:

*) Năng lực T

n thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

23

tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh v

, giải bài toán,…

Theo V.A.Krutetxki cấu trúc năng lực toán gồm 4 thành phần:

1) Khả năng thu nhận thông tin toán

2) Khả năng chế biến thông tin toán

3) Khả năng lưu trữ thông tin toán

4) Khuynh hướng chung về toán

Ngoài ra, còn một số yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán học:

Yếu tố tự nhiện – sinh học: Yếu tố này , sinh l khác biệt của cá nhân, ch u ảnh hưởng của y u tố bẩm sinh di truy n v mặt sinh học, được phát triển hay hạn ch u kiện khác của môi trường sống

Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Ngoài n về

(ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được

triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

Yếu tố nội dung của toán học: Bản thân môn toán học với nội dung có

đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triểu các năng lực toán học cho học sinh Việc học tập toán một cách có hệ thống, phương pháp phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển một cách bền vững

Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò

quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán Muốn hình thành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một các tích cực, say mệ cộng với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần hình thành

và lĩnh hội các tri thức toán học

24

nh thành và phát triển những năng lực cơ bản nói chung và năng lực toán học của học sinh trong học tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.2 PISA và các bài toán của PISA

1.2.1 Tổng quan về PISA (Programme for International Student Assessment)

PISA (Programme for International Student Assessment) – là chương trình đánh giá học sinh quốc tế do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) khởi xướng và chỉ đạo từ năm 1997, đến năm 2000 cuộc thi PISA lần đầu tiên được tổ chức với 43 nước tham gia trong đó có 14 nước không thuộc khối OECD Đến nay

đã có thêm 3 đợt khảo sát tiếp theo với chu kỳ 3 năm/lần vào các năm 2003,

2006, 2009 Đợt khảo sát tiếp theo sẽ tổ chức vào năm 2012, đã có hơn 70 quốc gia đăng ký tham gia để đánh giá và theo dõi tiến bộ của mình nhằm phấn đấu đạt được các mục tiêu giáo dục cơ bản

Đặc điểm của PISA

PISA nổi bật nhờ quy mô toàn cầu và tính chu kỳ Đây là khảo sát giáo

dục lớn nhất trên thế giới từ trước đến nay đánh giá năng lực phổ thông

(literacy) của học sinh ở độ tuổi 15, độ tuổi kết thúc giáo dục bắt buộc ở hầu hết các quốc gia OECD Tính độc đáo của PISA thể hiện ở những vấn đề

được đánh giá Đó là chính sách công (public policy); hiểu biết phổ thông (literacy); học tập suốt đời (lifelong learning)

Ngoài việc xác định thực trạng kết quả học tập của học sinh tại thời

điểm đánh giá, PISA còn nhằm tìm ra câu trả lời cho các vấn đề: “Đâu là tiêu

chuẩn để đánh giá kết quả học tập của học sinh trong các hệ thống giáo dục khác nhau?”, “Hiệu quả của các chính sách về giáo dục và liên quan đến giáo

25

dục như thế nào?” và “Cái gì có thể coi là đầu ra – kết quả cuối cùng của nhà trường trong một xã hội hiện đại?”

Mục tiêu của PISA

PISA không chỉ có ý nghĩa như một cách “chụp ảnh” mô tả tại một thời điểm nhất định mà mục tiêu của PISA là nhằm kiểm tra xem khi đến độ tuổi kết thúc phần giáo dục bắt buộc, học sinh đã được chuẩn bị để đáp ứng các thách thức của cuộc sống sau này ở mức độ nào Chính vì vậy nội dung đánh giá của PISA không dựa vào nội dung chương trình giáo dục của các quốc

gia, mà đánh giá năng lực phổ thông (literacy) mà học sinh có được từ các

chương trình đó PISA đánh giá năng lực của học sinh ở độ tuổi 15 ở 4 lĩnh vực: Toán học (mathematic); Đọc hiểu (reading); Khoa học (science); Giải quyết tình huống (problem solving) Đây được xem như là 4 năng lực thiết yếu chuẩn bị để đáp ứng những thử thách trong cuộc sống ở một xã hội hiện đại PISA thu thập và cung cấp cho các quốc gia các dữ liệu có thể so sánh được ở tầm quốc tế, để các quốc gia có những thay đổi đối với chính sách giáo dục của mình

Dạng thức bài thi của PISA

Trong mỗi kỳ, PISA sẽ đánh giá trên 4 lĩnh vực: Toán, khoa học, đọc hiểu và xử lý tình huống (mới chỉ đưa vào 1 lần năm 2003) và một lĩnh vực được chọn làm trọng tâm, trọng tâm ở lĩnh vực nào thì 2/3 số câu hỏi sẽ tập trung vào lĩnh vực đó Toán học được đặt trọng tâm vào năm 2003 và sắp tới

là năm 2012 Ở mỗi kỳ, số lượng câu hỏi tương đương với tổng thời lượng làm bài 6,5 giờ Các câu hỏi này được tổ hợp thành các bộ đề thi (booklet) khác nhau, mỗi bộ đề thi sẽ đánh giá một số nhóm năng lực nào đó của một lĩnh vực nào đó và được đóng thành quyển “Bộ đề kiểm tra PISA” để phát cho học sinh, thời gian làm bài mỗi bộ đề khoảng 2 giờ Trong mỗi đề thi viết gồm 2 phần: phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm và một phần là trả lời câu hỏi viết Mỗi đề thi của PISA được cấu thành từ các bài tập (unit), cấu trúc mỗi bài gồm hai phần: phần đầu là phần dẫn, phần này nêu nội dung một tình

26

huống trình bày dưới dạng văn bản, bảng, biểu đồ,… phần thứ hai là các câu hỏi (items) Các dạng câu hỏi thường được sử dụng trong các bài tập là: câu hỏi nhiều lựa chọn; câu trả lời đóng; câu trả lời ngắn và câu điền tiếp Ví dụ, PISA năm 2006 có khoảng 40% dạng câu hỏi trả lời ngắn; 8% loại câu hỏi đóng và khoảng 52% loại câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lực chọn

Trước khi làm bài học sinh, giáo viên và nhà trường phải điền vào phiếu điều tra về thông tin như thói quen và động cơ học tập, phương pháp học tập và các thông tin về gia đình Giáo viên và nhà trường trả lời phiếu điều tra về tài chính và các điều kiện của nhà trường Những thông tin này giúp xác định các nhân tố tác động đến kết quả điều tra Sau kỳ điều tra, phải mất ít nhất một năm để xử lý dữ liệu và hoàn thành báo cáo

Quy mô của PISA

Cuộc thi PISA lần đầu tiên năm 2000 có 43 nước tham gia (14 nước không thuộc khối OECD); năm 2003 có 41 nước tham gia (10 nước không thuộc khối OECD); năm 2006 có 57 nước tham gia (27 nước không thuộc khối OECD); năm 2009 có 67 nước tham gia (36 nước không thuộc khối OECD); năm 2010 đã có hơn 70 nước đăng ký tham gia (có cả Việt Nam) Như vậy, có thể nói PISA có quy mô toàn cầu và không ngừng mở rộng sau mỗi chu kỳ tổ chức Phần lớn các nước tham gia PISA đều là các nước đã và đang có thu nhập bình quân trên đầu người cao hoặc tương đối cao (những nước có sự quan tâm và đầu tư lớn cho giáo dục), ngoại trừ Indonesia (1900 USD/người), Tunisia (3700 USD/người), Jordan (2700 USD/người) Việt Nam cũng đã đăng ký tham gia khảo sát PISA vào năm 2012

Khung đánh giá của PISA đối với lĩnh vực toán học:

Khác với đánh giá truyền thống, việc đánh giá trong PISA đòi hỏi không chỉ chú ý đến nội dung kiến thức học sinh đã tiếp thu được, mà còn cần chú ý đánh giá những năng lực, những kỹ năng tiến trình đã hình thành cho học sinh Vì vậy khi xây dựng khung đánh giá của PISA đối với năng lực toán học cần chú ý đến hai yếu tố:

27

- Một là: Tiến trình: Bao gồm những kỹ năng thích hợp với mọi cấp độ giáo dục như:

 Kỹ năng tư duy và lập luận toán học

 Kỹ năng giao tiếp toán học

 Kỹ năng mô hình hóa toán học

 Kỹ năng đặt và giải quyết vấn đề

 Kỹ năng biểu diễn

 Kỹ năng sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ và phép toán hình thức

 Kỹ năng sử dụng phương tiện và công cụ

- Hai là: Nội dung: Những nội dung được xem xét khi xây dựng khung đánh giá bao gồm:

 Thay đổi và liên hệ: Biểu diễn sự thay đổi trong Các đặc điểm của các cấp độ năng lực toán học ở các dạng nhận thức được (có ở trong bảng dưới đây); những dạng thay đôi cơ bản và áp dụng vào thực tiễn Suy luận về các mối quan hệ: các mối quan hệ có thể biểu diễn dưới các dạng khác nhau (ký hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình học) Các biểu diễn này nhằm phục vụ các mục đích khác nhau và có các tính chất khác nhau Việc chuyển dịch giữa các biểu diễn này thường liên quan đến tình huống và nhiệm vụ cần giải quyết

 Hình phẳng và hình khối: liên hệ các đồ vật trong thực tế đời sống như nhà cửa, cầu cống, đồ pha lê, (con) sao biển, bóng nắng, ; Nhận biết cách thể hiện khác nhau dưới nhiều góc độ và nhiều chiều, từ đố nhận biết những điểm tương đồng hoặc khác biệt khi phân tích cấu trúc của hình Liên hệ với hình ảnh các đồ vật có thực tế đời sống

 Đại lượng và Xác suất

28

Bảng 1.2 Các đặc điểm của ba cấp độ năng lực toán học

Ngoài môn Toán ra PISA còn đánh giá đối với các môn Khoa học liên quan tới kiến thức, thái độ và liên quan đến bối cảnh

29

Sơ đồ 1.5 Đánh giá của PISA đối với các môn khoa học tự nhiên

1.2.2 Bài toán của PISA

1.2.2.1 Đặc điểm các bài toán của PISA

Các bài toán của PISA đều xuất phát từ bối cảnh, tình huống và những vấn đề thực tiễn của cuộc sống cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu có thể xảy ra hàng ngày Các bài toán PISA bao phủ toàn bộ nội dung toán cơ bản phổ thông, được thiết kế dưới dạng các bài tập rất sinh động, có hình ảnh, bảng biểu, đồ thị minh họa và thách thức người giải bởi lời dẫn và cách đặt các câu hỏi từ dễ đến khó Ta tìm hiểu hai đặc điểm nổi trội làm nên tính đặc thù của các bài toán PISA

1) Thế giới thực tiễn

Dễ dàng nhận thấy các bài bài toán của PISA có một đặc điểm rất đặc thù và nổi bật đó là đều xuất phát từ các tình huống, các vấn đề của thực tiễn, rất gần gũi với đời sống hằng ngày của cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu như: người đi bộ, tham quan ở trường, băng chuyền, xây dựng hình khối, khúc côn cầu trên băng, tốc độ đua xe, trồng táo, trang trại, diện tích lục địa, Kèm theo lời dẫn khá lôi cuốn và thách thức nêu ra các dữ kiện của bài toán là các

30

hình ảnh, mô hình, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị, làm cho người đọc có cảm giác là mình đang đứng trước thực tiễn đó, đó là vấn đề của mình, tạo hứng thú và động cơ thúc đẩy giải bài toán Điều này khác xa các bài toán khô khan

mà học sinh của chúng ta đang học

Vì các bài toán của PISA rất gần với thực tế nên ngoài mục đích là đưa

ra vấn đề cần giải quyết cho học sinh, bài toán còn cung cấp rất nhiều thông tin bổ ích từ thực tiễn như các môn thể thao, các công nghệ ứng dụng trong đời sống, địa lí thế giới, lịch sử, thời tiết, sản xuất, quản lý nhân sự, điều khiển máy móc, Do đó, có thể nói các bài toán PISA ngoài là đề thi còn là một hình thức truyền tải bài học đầy kiến thức cho học sinh Không cần phải bắt các em học, để làm được bài toán các em phải đọc đi, đọc lại, nghiên cứu

kỹ bài toán chình là một cách học hết sức hiệu quả của các em rồi mà ngay bản thân các em cũng không biết là mình đang học Hơn nữa, các bài toán PISA phản ánh các vấn đề thực tiễn gần gũi với học sinh nên tạo cho các em ý thức xung quanh mình lúc nào cũng tồn tại các bài toán mà mình hoàn toàn có thể giải quyết được, giúp các em tiếp cận với nghiên cứu khoa học và học tập suốt đời

2) Thế giới toán học

Các bài toán của PISA bao phủ hầu như toàn bộ các nội dung toán học

cơ bản ở phổ thông: số học, đại số, giải tích, tình học phẳng, hình học giải tích, tập hợp thống kê, tọa độ, đồ thị, Một bài toán PISA có thể chứa nhiều đơn vị kiến thức của các phân môn khác nhau, nên khi giải cần có kiến thức tổng hợp và phải rất thận trọng khi thực hiện quá trình toán học hóa để giải quyết bài toán Về độ khó, các bài toán PISA không yêu cầu cao về kiến thức toán cũng như các kỹ năng biến đổi toán học Xét thuần túy về mặt toán học thì chúng không khó và rất cơ bản Nếu bài toán đã được toán học hóa thành một bài toán học thuần túy thì đối với học sinh trung bình trở lên ở Việt Nam việc giải chúng không có gì khó khăn Nhưng các bài toán PISA lại đòi hỏi kỹ năng phán đoán, phân tích, suy luận và đặc biệt là kỹ năng giải quyết vấn đề

31

Cái khó trong các bài toán này đó là phải thấy được “thế giới toán học trong bài toán” và vận dụng những kiến thức nào của toán học để giải quyết chúng Như vậy, để giải được các bài toán PISA học sinh cần có kiến thức toán cơ bản và khá tổng hợp; đồng thời, phải thường xuyên được rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề và thực hiện thành thục quá trình toán học hóa

1.2.2.2 Một số bài toán của PISA và các phân tích

Trong phần này, chúng tôi đưa ra một số bài toán đã được PISA sử dụng vào năm 2006 [PISA], để làm ví dụ minh họa và phân tích một số yêu cầu về năng lực để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra Ở bài toán thứ nhất (M037_Trang trại) và bài toán thứ hai (M136_Những cây táo), bên cạnh phần văn bản dịch Tiếng Việt, chúng tôi giữ nguyên văn bản gốc Tiếng Anh

(in nghiêng và trong ngoặc) để so sánh với bản dịch; ở các ví dụ tiếp theo

chúng tôi chỉ trích phần văn bản dịch để tiện cho việc trình bày

1 M037_Trang trại (M037: Farms)

Bạn thấy một bức ảnh của một nhà ở trang trại có dạng một hình kim tự

tháp (Here you see a photograph of a farmhouse with a roof in the shape of a

pyramid.)

Dưới đây là mô hình toán học của một học sinh về mái của nhà trang

trại đó với các số đo được thêm vào (Below is a student’s mathematical model

of the farmhouse roof with measurements added)

32

Mặt bằng tầng mái, ABCD trong mô hình là một hình vuông, những xà

đỡ mái là những cạnh của một hình khối (khối chữ nhật) EFGHKLMN Với E

là trung điểm của AT, F là trung điểm của BT, G là trung điểm của CT, H là trung điểm của DT Tất cả các cạnh của kim tự tháp trong mô hình có chiều

dài 12m (The attic floor, ABCD in the model, is a square The beams that

support the roof are the edges of a block (rectangular prism) EFGHKLMN E

is the middle of AT, F is the middle of BT, G is the middle of CT and H is the middle of DT All the edges of the pyramid in the model have length 12 m)

Câu hỏi 1: Trang trại (Question 1: FARMS)

Tính diện tích mặt bằng tầng mái ABCD (Calculate the area of the

attic floor ABCD)

Diện tích của mặt bằng tầng mái ABCD = m2

Câu hỏi 2: Trang trại (Question 2: FARMS)

Tính chiều dài cạnh EF, một trong những cạnh ngang của khối

(Calculate the length of EF, one of the horizontal edges of the block)

Chiều dài cạnh EF = m

Cách chấm điểm:

Câu hỏi 1: Trả lời 144, cho điểm tối đa; các trả lời khác, không cho điểm Câu hỏi 2: Trả lời 6, cho điểm tối đa; các trả lời khác không cho điểm

33

Phân tích:

Nội dung toán trong bài tập: Hình học không gian, diện tích

Yêu cầu về năng lực toán:

Để giải quyết được nhiệm vụ trong câu hỏi 1, học sinh cần biết kết nối

mô hình thực tế với mô hình toán học; cần biết tính diện tích của hình vuông khi biết độ dài cạnh Học sinh cũng cần biết thực hiện những tính toán đơn

giản khi tính diện tích

Để giải quyết được nhiệm vụ trong câu hỏi 2, học sinh cần biết kết nối

mô hình thực tế với mô hình toán học Học sinh cần phải nhìn thấy một hình tam giác (hai chiều) trong hình biểu diễn ba chiều; biết lựa chọn thông tin thích hợp về độ dài tương ứng và từ đó giải bài toán

2 M136_Những cây táo (M136_Apples)

Một người nông dân trồng táo theo một quy luật hình vuông Để tránh

gió bảo vệ cây táo, bác đã trồng những cây chắn gió ở quanh vườn (A farmer

plants apple trees in a square pattern In order to protect the apple trees against the wind he plants conifer trees all around the orchard)

Ở đây bạn sẽ thấy sơ đồ có quy luật của các cây táo và cây chắn gió với

số (n) hàng của cây táo: (Here you see a diagram of this situation where you

can see the pattern of apple trees and conifer trees for any number (n) of rows

of apple trees)

34

Câu hỏi 1: Các cây táo (Question 1: APPLES)

Hãy hoàn thiện bảng sau: (Complete the table)

Câu hỏi 2: Những cây táo (Question 2: APPLES)

Có hai công thức bạn có thể dùng để tính số cây táo và số cây chắn gió theo

quy luật đã mô tả ở trên: (There are two formulae you can use to calculate the

number of apple trees and the number of conifer trees for the pattern described above)

Số cây táo (Number of apple trees) = n2

Số cây tùng chắn gió (Number of conifer trees) = 8n

Ở đây, n là số hàng của vườn táo (where n is the number of rows of apple

trees)

Có một giá trị của n để số cây táo bằng số cây chắn gió Tìm giá trị của n và

chỉ ra phương pháp của bạn để tính giá trị này (There is a value of n for which

35

the number of apple trees equals the number of conifer trees Find the value

of n and show your method of calculating this):

Câu hỏi 3: Những cây táo (Question 3: APPLES)

Giả sử rằng người nông dân muốn làm một cái vườn lớn hơn với nhiều hàng cây Khi người nông dân mở rộng vườn cây của mình, loại nào sẽ tăng nhanh hơn: Số cây táo hay số cây chắn gió? Giải thích bạn tìm ra lời giải như thế nào

(Suppose the farmer wants to make a much larger orchard with many rows of trees As the farmer makes the orchard bigger, which will increase more quickly: the number of apple trees or the number of conifer trees? Explain how you found your answer):

Cho điểm một phần: Điền sai 1 lỗi trong bảng

Partial credit [These codes are for ONE error/missing in the table Code 11 is for ONE error for n=5, and Code 12 is for ONE error for n=2 or

3 or 4]

Không cho điểm: Nhiều hơn 2 lỗi

No credit [These codes are for TWO or more errors]

Câu hỏi 2:

Cho điểm tối đa: n = 8 và chỉ ra một trong các cách tìm như sau:

Full credit

Code 13: n=8, using other methods, e.g., using pattern expansion or drawing

[These codes are for responses with the correct answer, n=8, PLUS the answer n=0, with different approaches.]

Code 14: As for Code 11 (clear algebra), but gives both answers n=8 AND n=0

Code 00: Other responses, including just the response n=0

• n2 = 8n (a repeat of the statement from the question)

8 stays the same The number of apple trees increases more quickly

• The number of apple trees increases faster because that number is being squared instead of multiplied by 8

• Number of apple trees is quadratic Number of conifer trees is linear

So apple trees will increase faster

• Response uses graph to demonstrate that n2 exceeds 8n after n=8 [Note that code 21 is given if the student gives some algebraic explanations based on the formulae n 2 and 8n]

Cho một phần điểm: Tính đúng số táo dựa trên những trường hợp đặc biệt hoặc dựa trên một bảng mở rộng Hoặc tính đúng số táo và có một vài luận chứng hiểu được mối quan hệ giữa n2

và 8n nhưng không rõ ràng như trong trường hợp đúng tuyệt đối

Partial credit

Code 11: Correct response (apple trees) based on specific examples or based

on extending the table

• The number of apple trees will increase more quickly because, if we use the table (previous page), we find that the no of apple trees increases faster than the no of conifer trees This happens especially after the no of apple trees and the number of conifer trees are equivalent

• The table shows that the number of apple trees increases faster

OR

38

Correct response (apple trees) with SOME evidence that the relationship between n2 and 8n is understood, but not so clearly expressed as in Code 21

• Apple trees after n > 8

• After 8 rows, the number of apple trees will increase more quickly than conifer trees

• Conifer trees until you get to 8 rows, then there will be more apple trees

Không được điểm: Tính đúng số táo nhưng câu trả lời chỉ có tính chất cảm tính hoặc giải thích sai hoặc không có giải thích

• Apples trees because they are surrounded by conifer trees

Code 02: Other responses

Để thực hiện được nhiệm vụ của câu hỏi 3, học sinh phải nhận biết được tính chất biến thiên của đồ thị hàm số bậc 1 và bậc 2; biểu đạt được đồ thị của hai hàm số; sử dụng công thức biểu diễn của hai hàm số và trình bày được ý tưởng để trả lời

3 M148_Diện tích lục địa (M148_Continent Area)

Dưới đây là bản đồ châu Nam Cực

Câu hỏi: Diện tích lục địa

Ước lượng diện tích của châu Nam Cực bằng cách dùng tỉ lệ của bản đồ

40

Hãy trình bày bài làm của bạn và giải thích bạn đã ước lượng như thế nào (Bạn có thể vẽ trên bản đồ nếu nó giúp cho việc ước lượng của bạn)

Cách cho điểm:

Được điểm tối đa:

Ước lượng được diện tích hình đã cho ở vào khoảng giữa 12.000.000

Được một phần điểm:

Trả lời đúng nhưng không chỉ ra được cách làm hoặc chỉ ra được cách làm đúng nhưng kết quả tính không chính xác hoặc không đầy đủ

Không cho điểm:

+ Nhầm lẫn diện tích với chu vi

+ Các trường hợp sai khác

Phân tích:

Nội dung toán trong bài tập: Hình học phẳng, diện tích, ước lượng, sai

số

Các yêu cầu về năng lực toán: Để thực hiện được nhiệm vụ của câu

hỏi, học sinh phải biết cách ước lượng diện tích của một hình bất kỳ bằng cách chọn ra một hoặc nhiều hình thông dụng, dễ dàng tính diện tích đã biết (như hình chữ nhật, tam giác, hình tròn,…); sao cho các hình này bao phủ được toàn bộ hình đã cho; sau đó học sinh chỉ việc tính diện tích của những hình này để từ đó tìm ra diện tích của hình cần phải tìm

4 M159_Vận tốc Xe ô tô đua (M159_Speed of Racing Car)

41

Đồ thị này chỉ sự thay đổi vận tốc của một chiếc xe đua khi chạy trên một quảng đường dài 3km ở vòng đua thứ hai

Câu hỏi 1: Vận tốc của xe đua

Khoảng cách thich hợp từ vạch xuất phát đến vị trí bắt đầu đoạn đường thẳng dài nhất của đường đua là bao nhiêu?

Câu hỏi 2: Vận tốc của xe đua

Ở đâu thì xe đạt vận tốc nhỏ nhất ghi lại được trong vòng thi thứ hai?

A Ở vạch xuất phát B Ở khoảng cách 0,8 km

C Ở khoảng cách 1,3 km D Ở nửa đường đua

Câu hỏi 3: Vận tốc của xe đua

Bạn có thể nói gì về vận tốc của xe đua ở khoảng giữa hai vạch 2,6km

và 2,8km?

A Vận tốc không đổi B Vận tốc đang tăng lên

C Vận tốc đang giảm xuống D Không xác định được

Câu hỏi 4: Vận tốc xe đua

Sau đây là hình ảnh của năm đường đua Chiếc xe đã chạy theo đường đua nào để tạo nên được đồ thị của vận tốc đã chỉ ra ở trên (S là điểm xuất phát)